Содержание к диссертации
Введение
Состояние вопроса и задачи исследования 6
Основы математической теории идеальной пластичности 6
Условия пластичности ортотропных сред 18
Квадратичный критерий пластичности и его модификации 21
1. Модификация Мизеса-Хилла 22
2. Модификация Толоконникова-Матченко 25
3. Модификация Рыбакиной 26
4. Квазинесжимаемые цилиндрически-анизотропные материалы
Цели и задачи исследования '
Квазинесжимаемые цилиндрически-анизотропные среды 29
О множественности представлений цилиндрически-анизотропной среды в аффинных пространствах
1 Возможности экспериментального определения характеристик пластической анизотропии
2. Аффинные преобразования 31
Гипотеза о квази несжимаем ости пластического течения цилиндрически-анизотропного материала
Вычисление компонент преобразующего тензора 36
Моделирующая среда. Изотропное изображающее пространство.
Некоторые аналогии в теории идеальной пластичности цилиндрически-анизотропных сред
Аналогии для напряжений и скоростей пластических деформаций цилиндрически-анизотропной среды .
1. Обобщенные напряжения. 41
2. Обобщенные скорости деформации. Замкнутость уравнений пластического течения 48
3.3. Частные формы условия пластичности 55
3.4. Условие полной пластичности 61
Аналоги вариантов условий пластичности цилиндрически- ,
анизотропных сред.
n , Условные интенсивности напряжений и скоростей пластических .„ деформаций.
Некоторые особенности пластического течения цилиндрически-анизотропной среды в аффинных пространствах (An*).
4. Основные уравнения осе симметричной задачи теории идеальной пластичности цилиндрически-ортотропной среды
4.1. Общие соотношения 81
4.2. Аффинные пространства 82
4.3. Основные уравнения 87
4.4. О статической определимости осе симметричной задачи 90
4.5. Уравнения поля напряжений 94
5. Решение частных задач осесимметричного пластического течения .
5.1. Методы решения задач осесимметричного пластического течения.
5.2. Истечение цилиндрически-ортотропного материала из цилиндрической втулки.
5.3. Численный эксперимент по исследованию осесимметричного 101 течения цилиндрически-ортотропной среды
5.3.1. Построение сетки линий скольжения при вдавливании круглого 101 штампа с плоским основанием в цилиндрически-ортотропное полупространство.
5.3.2. Анализ вариантов вдавливания круглого штампа с плоским 110 основанием в цилиндрически-іортотропное полупространство.
6. Выводы 114
7. Литература
- Квадратичный критерий пластичности и его модификации
- Гипотеза о квази несжимаем ости пластического течения цилиндрически-анизотропного материала
- Частные формы условия пластичности
- О статической определимости осе симметричной задачи
Введение к работе
В диссертации изложены исследования возможностей построения соотношений теории идеальной пластичности цилиндрически-анизотропных квазинесжимаемых сплошных сред.
Используя аффинных преобразований координат, компонент поля скоростей, компонент тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций в рамках условия пластичности в виде квадратичной функции напряжений формулируется гладкое условие предельного состояния и ассоциированный с ним закон течения цилиндрически-анизотропных сред.
Выделяется класс цилиндрически-анизотропных материалов, обладающих свойством несжимемости пластического течения в аффинных пространствах (свойство квазинесжимаемости). Показано, что, ранее предложенные Р. Хиллом [123], Тлоконниковым Л.А. и Матченко Н.М. [80, ИЗ] условия пластичности, вытекают из предложенной модели, как частные случаи.
Посредством выбора обобщенных напряжений и соответствующих им обобщенных скоростей пластических деформаций для моделирующего материала вводится изотропное изображающее пространство, в котором квадратичное условие пластичности квазинесжимаемой цилиндрически-анизотропной среды записывается в форме, аналогичной условию пластичности изотропной среды.
Для моделирующей среды получен вариант соотношений теории идеальной пластичности А.Ю. Ишлинского [68]. Используя метод аффинного подобия получено обобщение этих соотношений на случай цилиндрически-анизотропных сред.
Предложено условие полной пластичности цилиндрически-анизотропной среды моделирующего материала. В изотропном изображающем пространстве условие полной пластичности представляется как ребро призмы Треска, вписанной в цилиндр Мизеса. Выписаны соотношения ассоциированного закона пластического течения.
На основе метода аффинного подобия записаны условия пластичности цилиндрически-анизотропного материала. Исследованы некоторые особенности пространственного течения цилиндрически-анизотропного материала. Решена обобщенная задача Прандтля о пространственном течении пластического тонкого слоя,
Дана постановка осесимметричной задачи цилиндрически-анизотропных сред. Принимается гипотеза полной пластичности в изотропном изображающем пространстве. Условия пластичности цилиндрически-анизотропной среды выписываются на основе метода аффинного подобия.
С использованием предложенных кусочно-линейных условий пластичности решены задачи о выдавливании цилиндр ически-ортотропно го материала из цилиндрической втулки и о вдавливании плоского штампа в цилиндрически-анизотропное полупространство.
Квадратичный критерий пластичности и его модификации
Условия пластичности анизотропных сред. Впервые критерий разрушения анизотропных тел, записанный через тензорный полином от тензора деформаций, в неявном виде, по-видимому [149], предложил В. Фойгт (1890г.).
Р. Мизесом (1928 г.) [165], опираясь на введенное им квадратичный критерий пластичности для изотропных тел и принцип максимума, положил начало исследований предельных состояний анизотропных сред. Он распространил предположение о существовании пластического потенциала для изотропных сред на среды анизотропные.
В основе его теории лежит предположение о том, что условие пластичности анизотропного тела представляет собой некоторую квадратичную функцию напряжений, инвариантную относительно точечной группы преобразований координат, характеризующей симметрию свойств этого тела. Кроме того, предполагалось, что анизотропное тело обладает свойством идеальной пластичности и несжимаемо, отсутствует эффект Баушинге-ра, функция текучести совпадает с пластическим потенциалом скоростей деформаций. В общем случае квадратичная функция напряжений для тела с произвольной анизотропией содержит 21 константу, однако, в силу гипотезы о не сжимаемости пластического течения условие пластичности Мизеса содержит 15 констант, характеризующих пластические свойства материала, а для ортотропного материала их количество уменьшается до 6.
В.Л. Герман [20] в качестве основного недостатка условия текучести Мизеса отмечает отсутствие физической трактовки этого условия. Однако В. Олынак [166] показал, что при определённых соотношениях между упругими характеристиками анизотропного тела условие текучести Мизеса может трактоваться как энергетическое.
Случай плоской деформации при условии пластичности Мизеса (1.37) исследовал Е.В. Маховер (1947) [98]. Он показал, что при моноклинной симметрии материала уравнения поля напряжений и деформаций в случае плоской деформации являются гиперболическими. Е.В. Маховер выписал уравнения характеристик и соотношения вдоль них.
Впоследствии (спустя двадцать лет после статьи Мизеса и год после публикации Маховера), Р. Хилл (1948 г.) [149] вновь вернулся к исследованию условия текучести Мизеса для случая несжимаемого ортотропного тела (правда, без ссылки на статьи Мизеса и Маховера), когда в каждой точке существуют три взаимно ортогональные плоскости симметрии механических свойств. Наиболее простую форму это условие принимает в системе координат, связанной с главными осями анизотропии.
Довольно много работ отечественных и зарубежных исследователей [5, 6, 12, 15, 17-21, 28, 29, 30-32, 39, 49, 51, 76, 77, 98, 100, 101, 105, 118, 119 и др.] посвящено анализу течения жёсткопластического ортотропного материала в условиях плоского напряжённого состояния и плоской деформации при использовании соотношений Мизеса.
Например, в работах Л.А.Толоконникова, СП. Яковлева и их учеников [115, 116, 128-133, 151, 154, 155] для листовых прокатных металлов подробно исследованы соотношения между коэффициентами пластической податливости, входящими в условие пластичности Мизеса, и методы их определения. На основе простых опытов показано значительное различие пластических свойств ряда прокатных металлов в зависимости от направления вырезки образцов по отношению к направлению прокатки.
После введения Мизесом условия пластичности несжимаемых анизотропных сред, началось обобщение критериев прочности и пластичности для изотропных материалов на анизотропные материалы [21]. Причем число экспериментов даже для ортотропного материала при нахождении констант ка лов у MA. Грекова присутствуют девять неизвестных констант, а в условии текучести О.Г. Рыбакиной - шесть. В этих работах указывает на необходимость одновременного исследования как упругих, так и пластических свойств материалов в полном объеме. Следует заметить, что в этих условиях пластичности удается независимо определить у О.Г. Рыбакиной пять констант, а у М.А. Грекова - восемь.
Критерии предельного состояния материалов, анизотропия которых вызвана предварительной пластической деформацией, достаточно полно рассмотрены и систематизированы в работе Икегами [164], библиографический список которой достигает двухсот шестидесяти восьми наименований. Основное внимание уделено различиям формы поверхности текучести в начальном состоянии и его трансформация при пластическом деформировании. Далее рассмотрим возможности развития квадратичного условия пластичности анизотропных материалов.
Гипотеза о квази несжимаем ости пластического течения цилиндрически-анизотропного материала
Поскольку система уравнений1 (2.1) - (2.3) и (2.6) представляют собой статически и кинематически неопределимую задачу для пластического цилиндр ически-ортотропн ого материала, и в общем случае не является гиперболической, то рассмотрим возможности ее упрощения. Ранее в работах [22-27, 33-38, 82-85, 91-97, 138-142] для выделения класса квазинесжимаемых пластически анизотропных ортотропных сред, оси ортотропии которых совпадают с прямоугольной системой координат, использовалось аффинное преобразование координат, компонент вектора скорости перемещения, компонент тензора напряжения и скорости пластической деформации, причем преобразующий тензор имел вид Рассмотрим возможности использования такого приема для цилиндри-чески-ортотропной среды.
Несложно видеть, что преобразования (2.17) - (2.20) переводят цилиндрически ортотропный материал из физического пространства в аффинные пространства, сохраняя класс симметрии. Особенность аффинного моделирования цилиндрически-ортотропного материала заключается в том, что угловые координаты в физического и аналогичная координата со аффинного пространства одинаковы. Сопряжение физического пространства и аффинных пространств проводится по угловой координате. В этом случае параметр преобразования С в (2,16) необходимо положить равным единице При этом условие пластичности (2.1) и ассоциированный закон пластического течения (2.6) принимают вид:
Обратим внимание, что преобразования (2.17 - 2.20) вводят аффинные пространства цилиндрически-анизотропного материала таким образом, что диссипация механической энергии в физическом и модифицированном пространствах тождественна
Таким образом, цилиндрически ортотропному жесткопластическому материалу (А) в физическом пространстве, сопоставлен в аффинных пространствах жесткопластический цилиндрически ортотропный материал (В).
Поскольку компоненты преобразующего тензора А и В выбираются произвольно, то в физичесішм пространстве исходному материалу (Л) можно сопоставить в аффинных пространствах бесчисленное множество материалов (В).
Обратим внимание на то, что если в прямоугольной системе координат для пластически ортотрош-юго материала уравнения равновесия и соотношения Коши в аффинном пространстве по форме написания не отличаются от аналогичных уравнений в физическом пространстве, то для цилиндрически ортотропного материала эта закономерность не наблюдается.
Введем понятие квазинесжимаемости. Обычно в теории идеальной пластичности существенно используется гипотеза о несжимаемости пластического течения [143-145]. Введем обобщение условия несжимаемости. Пластически анизотропные материалы, проявляющие свойство несжимаемости пластического течения в аффинных пространствах, будем называть квази-песжимаемым. Среди бесконечного множества аффинных пространств найдем такие пространства, в которых пластическое течение цилиндрически-ортотропного материала обладает свойством квазинесжимаемости.
Третье уравнение системы (2.34) является условием совместности характеристик пластической анизотропии, которое определяет свойство квазинесжимаемости пластического течения в аффинном пространстве. Подставляя значения параметров аффинного преобразования А и В, вычисленных по формулам (2.35) получим
Несложно видеть, что условие совместности характеристик пластической анизотропии (2.36) может быть представлено в виде
Подчеркнем, что введение гипотезы о квазинесжимаемости пластического течения в аффинном пространстве накладывает только одно ограни І чение (2.37) на пластические характеристики цилиндрически-ортотропного материала, в то время как модификации Мизеса-Хилла накладывает три ограничении.
Следовательно, гипотеза о квзинесжимаемости является менее жесткой, чем гипотеза о несжимаемости в физическом пространстве. Отсюда так же вытекает, что гипотеза о несжимаемости пластического течения в физическом пространстве является частным случаем гипотезы о квазинесжимаемости пластического течения в аффинном пространстве. Таким образом, условие пластичности (2.32) описывает более широкий класс материалов нежели условие пластичности Мизеса-Хилла.
Условие пластичности кв&з и несжимаемой цилиндрически анизотропной среды, отнесенной к декартовой системе координат r0z, в аффинных пространствах (Ап ) записывается в форме
В аффинных пространствах (Ап ) рассмотрим моделирующую среду, пластические характеристики которой удовлетворяют условиям Условие пластичности моделирующей среды в системе координат рсоС. имеет форму Несложно увидеть, что условие пластичности (3.3) описывает цилиндрически-анизотропную среду, подчиняющуюся условию пластичности Толо-конникова-Матченко [93].
Частные формы условия пластичности
Напряженное состояние определено компонентами обобщенных S-.-. или значениями главных обобщенных напряжений S: и их ориентацией, определяемой направляющими косинусами /-, т.. п-. Обобщенная скорость де формации может быть определена компонентами Е или значениями глав ных компоннент обобщенной скорости деформации Е; и направляющими косинусами а-... Для моделирующей среды тринадцать уравнений: шесть уравнений (3.51), уравнение (3.62), шесть уравнений (3.64), (3.83 - 3.85), относительно тринадцати неизвестных Ej, а-, X, при известном напряженном состоянии полностью определяют кинематику деформирования.
Подставляя в соотношения (3.100 - 3.105) выражения (3.98), (3.99), (3.103) для неопределенных множителей Лагранжа ц.,, ц2, v, получим искомые выражения ассоциированного закона пластического течения.
В случае, когда в моделирующем материале направления главных обобщенных напряжений и главных обобщенных скоростей деформации совпадают, т.е. т, = т-, И] = п; и условие пластичности (3.86) не зависит от направляющих косинусов.
Уравнения (3.135 - 3.138) определяют искомые соотношения ассоциированного закона пластического течения для моделирующей среды.
Поскольку в моделирующей среде направления главных обобщенных скоростей деформации и обобщенных напряжений совпадают, следовательно, функция F не зависит от направляющих косинусов щ, и ассоциированный закон пластического течения принимает вид
Если в соотношения (3.140), в соответствии с (3.137), подставить выражения для произведений направляющих косинусов ПП., то получим соотношения, аналогичные соотношениям А.Ю.Ишлинского. Следовательно, в случае полной пластичности только два из этих соотношений являются независимыми.
Условие пластичности (3.6) в главных обобщенных напряжениях имеет вид В соответствии с (3.91) условию (3.140) можно придать вид Если потребовать, чтобы условие полной пластичности (3.120) принадлежало поверхности Мизеса (3.141), то следует
Для моделирующей среды условия полной пластичности (3.125) -(3.130) представляют собой одно и тоже условие пластичности, только имеющее различную форму записи. Наличие для цилиндрически-анизотропного материала различных вариантов условий пластичности указывает на возможность пластического течения по различным схемам.
Условные интенсивности напряжений и скоростей пластических деформаций. Используя метод аффинного подобия, введем понятия условных напряжений и скоростей деформаций для цилиндрически-анизотропной среды.
Интенсивность напряжений моделирующей среды, выраженная через обобщенные напряжения, имеет вид
Таким образом, главные обобщенные напряжения равны т.е. напряженное состояние в каждой точке характеризуется наложением обобщенного среднего давления на обобщенное напряжение чистого сдвига. Направления площадок, на которых в моделирующем материале действуют максимальные обобщенные касательные напряжения, определяются из уравнений
Предположим, что имеет место однородное напряженное состояние Sp = S, = const, Sc -S2 = const, SpC = 0. (3.178) Тогда, из (3.170) имеем т.е. в физическом пространстве, как это следует из (3.188), при однородном напряженном состоянии (3.178), (3.179), течение имеет безвихревой характер. Если свойства материала таковы, что А = В = 1, т.е. он является несжимаемым в физическом пространстве, то ортотропный материал течет как несжимаемая жидкость.
О статической определимости осе симметричной задачи
Осесимметричные задачи теории пластичности представляют значительный интерес для приложений [18, 19, 35-38, 64, 67, 99, 105, 154, 155 и др.]. Работы, посвященные осесимметричной задаче цилиыдрически-ортотропных идеально-пластичных сред, отсутствуют. При построении осесимметричной задачи теории идеальной пластичности изотропных сред существенно используется гипотеза Кармана-Хаара [147] о полной пластичности. Ниже изложены основные соотношения осссимметричного пластического течения цилиндрически-ортотропной среды, построенные на основании предположения о состоянии полной пластичности анизотропной среды. В отличие от известных построений условий полной пластичности изотропных сред [49-51], здесь на основе метода аффинного подобия [59, 60] вводится обобщенное условие полной пластичности для цилиндрически-ортотропной среды. Гипотеза Кармана-Хаара является частным случаем предложенного обобщения.
Поскольку параметры преобразования А и В произвольны, то преобразованиями (4.17)-(4.20) вводятся бесконечные множества аффинных пространств. Здесь, в силу осевой симметрии, координата в, компоненты напряжения стй, скорости деформации єв и компонента вектора скорости перемещения щ - не преобразуются. Условие пластичности (4.6) и ассоциированный закон пластического течения в аффинных пространствах принимают вид
Характеристики пластичности Сп, ,.., С2,, Du в аффинных пространствах выражаются через характеристики пластичности Ап, ..., А23, ..., В]2 в физическом пространстве по формулам
Таким образом, гипотеза о квазинесжимаемости осесимметричного пластического течения приводит только к одному ограничению (2.36) на характеристики пластической анизотропии типа.
Если потребовать, чтобы ортотропный материал подчинялся условию пластичности Мизеса-Хилла [99], т.е. был бы несжимаемым в физическом пространстве (А - В = 1), то на характеристики пластической анизотропии накладывалось бы три ограничения:
Таким образом, условие пластичности цилиндрически ортотропного материала (4.41) и ассоциированный закон пластического течения (4.42) в аффинном пространстве по форме записи совпадает с условием пластичности Мизеса-Хилла в физическом пространстве и с ассоциированным с ним законом пластического течения.
Несложно видеть, если пластические свойства цилиндрически ортотропного материала таковы, что А В = \, то материал описывается ус ловием пластичности Мизеса-Хилла. Если же то мате риал подчиняется условию пластичности Толокоиникова-Матченко. Таким образом, условие пластичности (4.43) является обобщением известных условий пластичности Мизеса-Хилла и Толоконникова-Матченко.
Система уравнений (4.16), (4.17), (4.41) и (4.42) образует замкнутую систему дифференциальных уравнений осесимметричной задачи теории идеальной пластичности цилиндрически ортотропного тела.
Симметричное напряженно-деформированное состояние, возникающее в теле, в аффинном пространстве характеризуется: - компонентами тензора напряжений - компонентами вектора скорости пластической деформации - компонентами тензора скоростей пластических деформаций
Напряжения тр, т , тд, трС и скорости деформации ур, ус уд, ур/, должны удовлетворять соотношениям Коши (4.16), уравнениям равновесия (4.17), условию пластичности (4.41) и ассоциированному закону пластического течения (4.42).
Уравнения равновесия (4.17) и условие пластичности (4.41) образуют статически неопределимую задачу. Имеется четыре неизвестных напряжения: три нормальных напряжения г , т,, тв и одно касательное напряжение
В то время как для их определения имеется только три уравнения: два уравнения равновесия и условие пластичности. Выше отмечалось, что статически и кинематические неопределимая осесимметричная задача теории идеальной пластичности сводится к статически определимой задаче посредством введения дополнительного условия:[ 147].
Похожие диссертации на Осесимметричная задача теории идеальной пластичности цилиндрически ортотропной среды
