Содержание к диссертации
Введение
1. Устойчивость деформирования сложных сред при малых однородных и неоднородных джргонескйх деформациях 31
1. Уравнения, определяющие деформированное состояние упрочняющейся упруго-вязко-пластической средн. 31
2. Постановка задачи об устойчивости деформирования упруго-вязко-пластических тел. Линеаризированные соотношения 34
3. Сведение к системам обыкновенных дифференциальных уравнений .41
4. Предельные системы уравнений 47
5. О самосопряженности задач, и условиях применимости метода Эйлера 52
6. Представление общих решений уравнений динамической, квазистатической и статической устойчивости для однородных основных напряженных состояний 62
7. Исследование устойчивости упрочняющихся упруго-вязко-пластических систем в случае однородных докритических состояний. 71
8. Построение системы уравнений для исследования устойчивости деформирования упруго-пластических задач. 86
9. Устойчивость равновесия тел при неоднородных, докритических состояниях и некоторое задачи теории горного давления 89
10. O неустойчивости упруго-пластических грунтов 125
2. Устойчивость дефошированш олоншх сред при конечных одародах и нждаородах джритических деформациях 140
1. Основные уравнения упруго-пластических тел при больших деформациях 140
2. Постановка задачи и трехмерные линеаризированные уравнения устойчивости упруго-пластических тел при больших пластических докритических деформациях 146
3. Общие решения уравнений устойчивости для однородного трехосного напряженно-деформированного основного состояния 151
4. Устойчивость однородных и неоднородных тел. Поверхностная неустойчивость при сжатии 158
5. К устойчивости сжимаемых сред при конечных докритических пластических деформациях 183
6. O неустойчивости в некоторых случаях простого течения упрочняющихся упруго-пластических сред 186
8. Исследование устойчивости сред при конечних упруго-пластических докритических деформациях 203
3. Устойчивость сред со случайными шодюродюстями при малых и больших джшациях и нелинейные среды при конечных возмущениях 226
1. О неустойчивости деформирования сложных сред со случайными неоднородностями при малых докритических деформациях 226
2. Сведение задач устойчивости стохастически неоднородных материалов к задачам на собственные значения 236
3. Исследование устойчивости сред со случайными неоднородностями на основе общих решений трехмерных уравнений 252
4. Устойчивость упругих тел со случайными неоднородностями при конечных деформациях 263
5. Устойчивость нелинейно-упругих тел при конечных возмущениях 268
7. К устойчивости стохастически неоднородных упругих тел при конечных возмущениях 281
8. К устойчивости деформирования нелинейно-вязко-дпругих сред при конечных возмущениях 284
Заключение 294
- Постановка задачи об устойчивости деформирования упруго-вязко-пластических тел. Линеаризированные соотношения
- Представление общих решений уравнений динамической, квазистатической и статической устойчивости для однородных основных напряженных состояний
- Построение системы уравнений для исследования устойчивости деформирования упруго-пластических задач.
- O неустойчивости упруго-пластических грунтов
Введение к работе
Актуальность проблемы
Вопросы устойчивости деформирования тел различной физической природы привлекают внимание физиков, математиков и механиков благодаря своей современности, сложности и многообразию явлений, присущих процессам деформирования сложных сред.
Устойчивости неупругих систем посвящены отдельные монографии и многочисленные статьи. Однако, подавляющее число исследователей, связывая явления потери устойчивости с тонкостенными конструкциями и стремясь упростить решения задач, пользовались двумерными и одномерными прикладными теориями, построенными путем введения вспомогательных гипотез, и занимались решением конкретных, практически важных задач. При этом до последнего времени оставались почти неразработанными проблемы трехмерной теории, а также методы решения и решение отдельных задач в трехмерной постановке .
Задачи механики конструкционных материалов, создание методов расчета конструкций из них, задачи устойчивости толстостенных элементов конструкций, тектоники и горной механики, теория поверхностных явлений и ряд других областей естествознания и техники потребовали разработки трехмерной теории неупругой устойчивости.
Вместе с тем в связи с применением и созданием новых материалов практика современных отраслей машиностроения и строительства требует расчета элементов конструкций и сооружений, учитывающих одновременно упругие, вязкие, пластические, релаксационные и другие свойства; выявления влияния поведения нагрузки, структуры материала и других "возмущающих" факторов, позволяющих оценивать значения критических параметров с большей степенью правдоподобия. Это вызывает конструирование новых моделей, которые уже введены явно или могут быть еще введены, или подразумеваются неявно-потенциально в теориях и в опытных наблюдениях, для научного описания и исследования интересующих нас классов реальных явлений. Математические трудности решения трехмерных задач устойчивости еще более усложняется из-за наличия угловых точек на поверхности текучести и эффектов, связанных с деформационной анизотропией. Вместе с тем упруго-пластическая система обладает склонностью к необратимости. Она запоминает не только то, что относится к невозмущенному процессу деформирования, но и то, что связано с возмущениями, сколь бы малы они ни были.Все эти факторы существенно затрудняют исследование и обуславливают применение приближенных подходов и необходимость разработки новых методов репюния задач устойчивости. Таким образом, исследование устойчивости деформирования тел и элементов конструкций со сложными реологическими свойствами в трехмерной постановке является одной из весьма трудных задач теории устойчивости и наряду с этим одной из актуальных проблем в практическом отношении.
Конструирование и расчет различных объектов, как правило, ведется как с целью снижения их веса, стоимости и одновременно повышения качества с точки зрения надежности и долговечности, так и с целью определения критических параметров, поскольку кроме прочности объектов конструктор обязан обеспечить устойчивый режим работы аппаратуры, несомой объектом. Поскольку и в природе, и в активной человеческой деятельности сколько-нибудь длительно могут быть использованы лишь устойчивые явления и процессы.
Настоящая работа посвящена построению замкнутых систем уравнений и развитию на их основе трехмерной теории устойчиво - 9 -сти сложных сред, развитию теории устойчивости сред со случайными неоднородностями при детерминированных нагрузках, исследованию устойчивости нелинейно-упругих и вязко-упругих сред "в большом", а также обобщению известных и разработке новых подходов и методов решения задач устойчивости при I) малых и конечных до-критических деформациях, 2) малых и конечных возмущениях, 3)консервативных и неконсервативных внешних нагрузках для различных элементов конструкций - стержней, пластин и оболочек,а также некоторых задач теории горного давления с выявлением характерных механических эффектов.
Обзор состояния проблемы и обоснование цели исследования.
Как известно, до 50-х годов работы в области устойчивости деформируемых тел, за малым исключением, основывались на статистических концепциях устойчивости, восходящих к Эйлеру. На базе идей Л.Эйлера [і] возникла обширная литература, посвященная устойчивости деформируемых упругих и неупругих систем. Основные результаты этих исследований представлены в монографиях С.П.Тимошенко [2,з] , А.Н.Динника [4], Б.Г.Галеркина [б], А.Р.Еканицы-на [б], Ф.Блейха [?], А.А.Ильюшина [в], А.С.Вольмира [э] и других исследователей.
Методы, основанные на представлении Эйлера,не смогли привести к удовлетворительному решению ряда задач, таких, как потеря устойчивости под действием "следящих" сил, устойчивость по отношению к конечным возмущениям и т.д. Рассмотрение недостатков классического метода исследования потери устойчивости проведено в работах Г.Циглера [ю], В.В.Болотина[іі] t Я.Г.ЇЇановко и И.И. іубановой I2J. В частности,оказалось, что стати.—ческие методы применимы в случаях, когда системы являются консервативными.
-Для неконсервативных систем следует использовать, как правило, динамические методы исследования, рассматривая процесс движения системы во времени.
Ф.Энгесер (1895 г.) и Т.Карман (1909 г.) развили теорию устойчивости центрально сжатых стержней за пределом упругости. Теория Энгесера-Кармана (приведенно-модульная концепция) явилась результатом переноса теории бифуркации форм равновесия из теории упругой устойчивости на упруго-пластические задачи. Этот перенос требовал обоснования, что стало общепризнанным фактом после того, как Ф.Шенли [l3J показал, что для упруго-пластических систем проблема бифуркации состояния равновесия и бифуркации процесса нагружения не тождественны. Обсуждение концепций Энгесера-Кармана и Шенли и дальнейшее развитие теории неупругой устойчивости содержится в работах Ю.Н.Работнова [14], Я.Г.Панов-ко [15,1б], Н.Хоффа[Г7Д8], В.Д.Клюшникова [ 19-23,4l], Г.В.Иванова [24-2б], В.Г.Зубчанинова [27-29], И.И.Воровича [241 ] и других авторов. В частности, сделан вывод о начале выпучивания при касательно-модульной нагрузке, т.е. показано, что нагрузка Кармана дает верхнее значение критической силы, а нагрузка Шенли -ее нижнее значение. Подтверждено, что концепция продолжающегося нагружения правильна.
Общая теория устойчивости пластин и оболочек на основе деформационной теории была создана А.А.Ильюшиным [30,8]. В работах Л.А.Толоконникова [зі,32 и др.]дано обобщение и дальнейшее развитие результатов А.А.Ильюшина. Результаты, полученные в [33, ЗІ), были уточнены и обобщены в [34]. Применение теории Ильюшина к решению задач тер/юустойчивости пластин и оболочек за пределом упругости дано в монографии П.М.Огибалова и В.Ф.Грибанова Г35]. В теории устойчивости предполагается, что нагружение в различных точках пластин и оболочек является простым, хотя в действительности оно сложное. А.А.Ильюшин, исходя из этого и из построенной им теории пластичности при сложном яагружении, получил общий закон связи между вариациями напряжений и деформаций при потере устойчивости [зб].
На основе касательно-модульной концепции общая теория устойчивости оболочек развивалась Э.И.Григолюком [38-40J, как в рамках теории течения, так и деформационной теории.
В работе [42Jc учетом начальных несовершенств исследована устойчивость цилиндрической оболочки за пределом упругости, показано, что возможна только осесимметричная форма потери устойчивости.
Устойчивость линейных вязко-упругих систем впервые рассматривалась А.Р.Ржаницыным [43]. Задачи устойчивости вязко-упругих систем оказываются проще, чем для упруго-пластических систем, и теория здесь продвинута значительно дальше.
Устойчивость стержней, пластин и оболочек в условиях ползучести изучалась Ю.Н.Работновым и С.А.Шестериковым [44-47,242 и др.],Л.М.Куршиным [48,49],Г.В.Ивановым[24], Э.И.Григолюком и Ю.В.Липовцевым [бо], И.Г.Терегуловым [51]и др. Не рассматривая критерии устойчивости при ползучести [24, 44-46,48,49J, отметим только, что их обсуждение содержится в [47,9,51,202]. Там же изложены основные результаты и дан [202J обзор работ, посвященных проблеме выпучивания при ползучести.
Отметим, что вопросы построения теории ползучести с анизотропным упрочнением аналогично тому, как это сделано в современной теории пластического течения [231-233,16б], а также исходя из некоторых экспериментальных результатов, независимо OT[262J, рассматривались в работах [235,23б] и др.
Обзор исследований по устойчивости неупругих систем дан в работе В.В.Болотина и Э.И.Григолюка [52j.
Различным вопросам нелинейной теории упругости и ее приложениям к расчету элементов конструкций при действии силовых и температурных нагрузок, теоретическому и экспериментальному исследованию устойчивости пластин и оболочек из армированных и композитных материалов посвящены монографии [9,56,58,188,204, 243-248, 250,252-257] и др. Адализ исследовании, выполненных в нелинейной постановке (и в частности, по физически нелинейной теории), дан в обзорных работах В.В.Новожилова, Л.А.Толоконни-кова и К.Ф.Черных [25lJ И.А.Цурлала и Г.Г.Кулиева [253J.
В подавляющем большинстве указанных выше монографий и работ вопросы устойчивости тонкостенных конструкций рассмотрены на основании теорий, построенных с привлечением вспомогательных гипотез кинематического и динамического характера, позволяющих свести трехмерные задачи к двумерным.
Впервые трехмерные уравнения теории устойчивости при малых докритических деформациях были получены Р.Саусвеллом [53 , позже-С.Бицено и Г.Генки [ 54], также исходя из соображений физического характера, М.А.Биот [55J вывел основные соотношения трехмерной теории устойчивости в результате линеаризации нелинейных уравнений теории упругости, а Е.Трефтц [228,229]- вариационным методом, вводя определенные допущения. Идеи Трефтца нашли свое развитие в работе Р.Каппуса [230], где получены впервые строго линеаризированные уравнения движения деформируемого тела при конечных докритических деформациях и рассмотрены упрощения в случае малых деформаций. В.В.Новожиловым [бб] также получены основные линеаризированные соотношения трехмерной теории устойчивости. В лагранжевых координатах деформированного тела линеаризированные уравнения устойчивости при больших докритических деформациях получены в работе [57]. В дальнейшем трехмерные линеаризированные задачи механики деформируемого тела при конечных до критических деформациях рассматривались также в работах А.Грина и «Яж.Адкинса, М.Беатти, А.Грина и В.Зерна, В.Т.Койтера, Х.Нойбера, Б.Р.Сетха, А.И.Лурье, А.Н.іузя, И.Ю.Бабича, а также вработах автора. Исторический очерк развития трехмерной теории устойчивости и классификация постановок задач приведена в монографиях А.Н.іузя [б0,6і].
В последние десятилетия в печати появился ряд работ по трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Четко вырисовывались три подхода. Первый подход связан с предположением больших докритических деформаций. Здесь существуют несколько вариантов постановок, связанных с выбором конкретной зависимости между напряжениями, деформациями и их производными. В основном все исследования этого подхода выполнены для нелинейно-упругих тел. Такой подход применялся в работах [б1-74]и др. Второй подход связан с предположением о малости докритических деформаций. В рамках этого подхода исследовано большое число задач для различных материалов. Этим задачам посвящены монографии М.Биота и А.Н.іузя [бо]. Третий подход, получивший название подхода Л.С. Лейбензона-А.Ю.Ишлияского [76,77], заключается в том, что исследование устойчивости трехмерных тел при малых докритических деформациях производится на основе уравнений линейной теории. Как известно, теорема Кирхгофа о единственности решения исключает возможность применения классической теории к вопросам устойчивости. Для преодоления указанного затруднения в [_76,77Jграничные условия трактуются как условия изменения формы граничной поверхности в результате выпучивания. Так как параметр нагружения не входит в основные уравнения, то исследование задач при таком подходе значительно упрощается. Этот подход является приближенным, так как основные уравнения (уравнения Ламе) и граничные условия не получаются в результате линеаризации основных нели - 14 -нейных уравнений и граничных условий [бо]. Более ранние работы [78,79 и др.] по исследованию потери устойчивости с позиций трехмерных уравнений в основном использовали постановку Лейбензона-Ишлинского.
Сравнительный анализ критических нагрузок, полученных по различным уравнениям устойчивости, дан в работах [80-82].
Вопросы устойчивости движений реологически сложных сред, обладающих одновременно упругими, пластическими, релаксационными, вязкими и другими свойствами, которые позволяют полнее описать разнообразные свойства реальных сред, являются одними из наиболее трудоемких и малоизученных вопросов современной реологии. Сложность уравнений движения большинства реологических моделей приводит в задачах устойчивости к значительным трудностям принципиального и вычислительного характера. Известно сравнительно небольшое количество исследований, посвященных вопросам устойчивости деформирования сложных сред.
Первые исследования в этой области были выполнены в работах А.А.Ильюшина [83J и А.Ю.Ишлинского j_84,85j, где рассмотрена устойчивость течений вязко-пластических сред. В работе _83] А.А.Ильюшин впервые описал вязко-пластическое течение. Методом близких движений рассмотрена устойчивость течений плоской полосы и цилиндра, нагруженных осевой силой, а также вязко-пластической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Получены условия устойчивости. В отличие от [8з] в работе [84] для исследования устойчивости вязко-пластических течений предложен метод элементарных волн и использован способ Эйлера для описания движения. Рассмотрена устойчивость течения полосы и круглого стержня при растяжении и сжатии. Показано, что, когда ширина полосы становится меньше определенной величины, ее состояние становится только неустойчивым. Аналогичные результаты получены в задаче об устой - 15 -чивости течения круглого стержня при его растяжении и сжатии. Устойчивость вязко-пластического течения круглой пластины, находящейся под действием осесимметричной нагрузки, равномерно распределенной по ее боковой поверхности, исследована в работе [8б]. Показано, что непрерывно возрастающие возмущения имеют место при достаточно большом растяжении. При сжатии тенденцию к возрастанию могут иметь лишь возмущения с достаточно малой длиной волны.
В работе Л.В.Ершова и Д.Д.Ивлева [ 86] исследована устойчивость толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления, в случае, если материал трубы подчиняется законам теории малых упруго-пластических деформаций и теории идеальной пластичности. Позже ими [87] была решена задача о потере устойчивости вращающегося диска при условии текучести Треска.
Л.В.Ершов, обобщая исследования Л.С.Лейбензона Г V6J, в работе L88J рассмотрел осе симметричные форш потери устойчивости толстостенной сферической оболочки, находящейся под действием равномерного внешнего и внутреннего давления, исходя из соотношений теории малых упруго-пластических деформаций. В работе [ 89] рассмотрена устойчивость сжатой плоской полосы.
К.Н.Семчинов [эо] в постановке [бз] рассмотрел задачу о неустойчивости плоского движения растянутой полосы из вязко-пластического упрочняющегося материала.
Устойчивость течения вязко-пластической среды в пространстве между вращающимися цилиндрами изучалась в работе И.М.Астрахана [9l].
И.Д.Легеня [92-94J рассмотрел потерю устойчивости толстой свободно опертой прямоугольной плиты под действием равномерной сжимающей нагрузки, исходя из соотношений теории малых упруго-пластических деформаций и уравнений теории течения. Решение дано для квадратной плиты, сжатой равномерными силами в двух направлениях, и для прямоугольной плиты, сжатой в одном направлении.
- 16 В работах Д.Д.Ивлева и И.Д.Легени [95,96J исследована потеря устойчивости толстых плит в общем случае деформационной теории. Дальнейшие исследования [97-100 J привели к выводу о необходимости учета углов поворота при формулировании условий равновесия элемента тела в возмущенном состоянии в постановке В.В.Новожилова [бб].
Уравнения [бб] были использованы [iOIJ для решения задачи о сжатии полосы. В работе [_102_] эти же уравнения применены для изучения образования шейки в плоском образце. Детальное исследование процесса образования шейки в плоских образцах, исходя из уравнений [бб], было выполнено К.Н.Семчиновым [ЮЗІ.
В монографии А.Н.іузя [бо] получены общие решения трехмерных линеаризированных уравнений устойчивости при малых докритических деформациях для однородных докритических напряженных состояний как упругих, так и некоторых сложных сред. Исследованы вопросы устойчивости деформирования упруго-пластических (по теории малых упруго-пластических деформаций и по теории течения), вязко-пластических, нелинейно-вязко-упругих стержней, пластин и оболочек. На частных примерах показано, что независимо от свойств материала гипотеза Кирхгофа-Лява в теории устойчивости пластин и оболочек является асимптотически точной, и что теория, построенная с применением гипотезы Кирхгофа-Лява, дает завышенное значение критической силы. В работах А.Н.іузя [I04-I07J и др. дано обобщение результатов [бо] на вариант геометрически нелинейной теории и сформулированы вариационные принципы.
Большой цикл исследований по теории устойчивости упруго-пластических тел выполнен в работах В.Д.Клюшникова [l08-III,200,20l], относящихся как к трехмерной теории устойчивости, так и двумерным теориями устойчивости; результаты этих исследований также обобщены в монографии В.Д.Клюшникова [201J. В этих исследованиях В.Д. Кшошниковым дана постановка задач устойчивости упруго-пластических тел, основанная на введении концепции потери устойчивости процесса деформирования, что является частным случаем исследования устойчивости движения, рассмотрены различные процессы нагру-жения (активное нагружение, разгрузка, нейтральное нагружение)и возникающие при этом линеаризированные задачи; введены понятия равноактивной деформации, основных и побочных процессов деформирования; показано, в каких случаях не следует учитывать явление разгрузки при потере устойчивости; на простейших моделях исследованы специфические особенности потери устойчивости упруго-пластических систем.
Некоторые качественные оценки влияния истории нагружения на величину критических нагрузок по Карману, исходя из созданной А Д.Ильюшиным [Зб] теории упруго-пластических процессов применительно к проблеме устойчивости, приведены в работах [2I5-22IJ.
Использованию вариантов теории скольжения к постановке и решению задач о бифуркации процесса деформирования и состояния положено начало в работах Н.В.Кнетса, Г.А.Тетерса, Н.Ю.Швайко, Ю.А. Чернякова и др. Вопрос о влиянии истории нагружения на величину критической нагрузки по Шенли и на величину предельной нагрузки простейших моделей элементов конструкций с позиций дифференциально-нелинейного варианта теории скольжения [_222] и постулата изотропии А.А.Ильюшина [36J рассмотрен в работах Н.Ю.Швайко и его сотрудников Г223-22б]. Обзор и анализ указанных результатов, а также соответствующих экспериментальных результатов в области теории устойчивости элементов конструкций при сложном нагружении дан в работе [ 227].
Устойчивость медленных установившихся движений нелинейно-вязко-упругого, гипоупругого и упруго-пластического материала при конечных докритических дефорлациях, исходя из линеаризирован - 18 -ных уравнений устойчивости [57], исследовал С.Захорский j_H2-II8J. Использовалось динамическое понятие устойчивости. В работе [ 112] рассмотрена устойчивость полосы из гипоупругого материала первой степени, а в работах LII3-II6J- несжимаемого вязко-упругого прямоугольного параллелепипеда при сжатии. Простое растяжение (сжатие) круглого цилиндра при больших пластических деформациях исследовано в работах [і 17,118J, при этом использовались определяющие соотношения несжимаемого идеально-пластического тела, полученные Т.Томасом [пэ]. В ряде работ зарубежных авторов [ 120-125 и др.] исследуется устойчивость деформирования пластин и оболочек при конечных однородных пластических деформациях. После формального дифференцирования по времени уравнений равновесия получено в скоростях вариационное уравнение равновесия. Скорости упругих и пластических деформаций считаются аддитивными. Скорости упругих деформаций и скорости компонент напряжений считаются связанными законом іука, а связь между тензорами скоростей пластических деформаций и скоростей изменения напряжений берется по Хиллу [і2б].
Отметим, что обзор работ, а также обсуждение некоторых подходов к созданию теории упруго-пластических течений с конечными деформациями дан в работах Д.Д.Работягова [l27j, В.Н.Кукуджанова и В.И.Кондаурова [l28]. При этом в обзоре \_ 128] на основе приведенного обсуждения работ авторы предлагают некоторую полную систему уравнений упруго-пластического течения с конечными деформациями, удобную для численного решения задач.
Кратко остановимся на истории построения теории больших упруго-пластических деформаций. Как известно, при построении упруго-пластических сред недостаточно использовать только тензор полных деформаций. В большинстве современных работ, изучающих упруго-пластическое деформирование, вводятся меры деформации, связанные отдельно с упругим и отдельно с пластическим деформированием.
- 19 -При этом развито два подхода к разбиению тензора полных конечных деформаций элемента среды на упругую и пластическую составляющую. Одной из первых работ, где исследовался вопрос о разделении тензора полных деформаций на тензоры упругих и пластических деформаций, была монография Л.И.Седова l30]. Позже аналогичное представление для упруго-пластической среды рассматривалось также А.Е.Грином и П.М.Нахди[іЗі], работа которых представляет собой первую теорию конечно-деформированной упруго-пластической среда, где напряженное состояние и температура характеризовались точкой в семимерном пространстве напряжений и температуры с прямоугольными декартовыми осями координат. Существенные недостатки, присущие данному варианту теории [ІЗІ], отмечены в обзоре [I28J. Второй подход, развиваемый Ли [l32J, базируется на допущении, что матрица градиентов полной деформации может быть представлена произведением матриц градиентов пластической и упругой деформаций. Ли применительно к металлам строит теорию упруго-пластических конечных деформаций. Физический смысл разбиений, используемых как в первом, так и во втором подходах, становится ясным j_I28j, если ввести [ 130 , 132] кроме начального и текущего состояний так называемое ненапряженное состояние. Отметим лишь,что разложение матрицы градиентов полной деформации на произведение матриц, соответствующих упругому и пластическому преобразованию ( Ф = Ф ф ), определено неоднозначно вследствие того, что разгруженное состояние остается ненапряженным при наложении на тело произвольного вращения как жесткого целого. В работах l32,133,134д рассматривались некоторые возможные способы устранения этой неоднозначности, которая составляет в этом подходе одну из главных трудностей при введении тензора деформации. К этому направлению примыкают также работы Фреун-да [іЗб], Тинга [_136]» Фокса l37] и Клифтона [іЗв], в которых
фактически была принята модель, соответствующая наложению пластических деформаций на упругую ( Ф = Ф Ф ).
Несколько другой подход к построению теории упруго-пластической среды, основанный на обобщении соотношений вязкоупругости на случай конечных деформаций и учета пластических явлений за счет введения зависимости времени релаксации от интенсивности касательных напряжений, дан B[209J. Таким образом, как следует из краткого обзора, в последние десятилетия явно выражена тенденция к рассмотрению больших упруго-пластических деформаций.
Применение теории устойчивости деформируемых тел в механике горных пород осуществляется в двух направлениях. Первое направление связано с исследованием задач о складкообразовании в толще земной коры L75,139-144 и др.]. Значительное число задач об образовании линейных складок (плоская деформация) в рамках линеаризированной трехмерной теории устойчивости для упруго-вязких тел исследовал М.Биот L75J. Теория складкообразования в толще земной коры в случае прерывистой, куполовидной и линейной складчатости развита в работах Ж.С.Ержанова и его сотрудников [140,141 и др.J , обзор которых дан в работе [_ 142J• Отметим лишь, что все работы этого направления выполнены на основе подхода Лейбензона-Ишлинского. В работе А.Н.іузя и В.Н.Чехова \_ 142J на базе трехмерных линеаризированных уравнений устойчивости развивается теория складкообразования в толще земной коры для различных моделей горных пород. Получены характеристические определители для типов складчатости, рассмотренных в [_I4Ij• Обобщение результатов [і42J на вариант геометрически нелинейной теории дано в работах [і 43-145 J. Второе направление связано с исследованием задач устойчивости горных выработок [I47-I60, 206-208 и др.] и подземных полостей Ї6І, 162, 207 и др.].
В работе Л.В.Ершова Г147J изучается устойчивость вертикальной выработки как упругого тела, ищутся соотношения между параметрами массива и выработки, при которых возможно выпучивание последней. Им же в работах Г148,149] рассмотрены задачи об определении критического (горного) давления в горизонтальных и вертикальных выработках, при этом упруго-пластическое состояние в массиве определяется соотношениями і63]. Дальнейшее исследование задач как упругого, так и упруго-пластического равновесия горного массива проведено в ряде работ Л.В.Ершова и М.Т.Алимжанова 1І50-І54, 156-158 и др.], при этом процесс потери устойчивости рассматривался в статической постановке. Определению критического давления и оптимальных размеров подземных полостей сферической формы посвящены работы М.Т.Алимжанова j_I6I,I62j. Здесь, как и ранее, упруго-пластическое состояние в массиве определялось соотношениями _163], и процесс потери устойчивости рассматривался в статической постановке,
В монографии Ж.С.Ержанова, А.С.Саганова и Ю.А.Векслера і55І излагается разработанный авторами метод расчета устойчивости горизонтальных горных выработок произвольной формы поперечного сечения. При этом учитываются большие деформации ползучести и разрушение горных пород.
В монографии [l59J на базе трехмерной линеаризированной тео .-рии устойчивости деформируемых тел для различных моделей горных пород разработан метод решения задач, основанный на применении вариационных принципов. Рассмотрены случаи вертикальных и горизонтальных выработок. Здесь же выполнена систематизация по исследованию общих вопросов трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел для различных моделей. Почти все работы второго направления,за исключением \_I4Q , 159, 205-208J выполне - 22 -ны на основе приближенного подхода [ 76, 77].
Методы экспериментального определения напряжений в осадочных породах, вопросы механизма разрушения горных пород и грунтов и построения их математических моделей развиты в работах Е.И.Шемякина и его сотрудников 210-214 и др.].
Из обзора следует, что общие вопросы устойчивости деформирования реологически сложных сред, которые позволяют полнее описать разнообразные свойства реальных тел, в трехмерной постановке являются одним из наиболее трудоемких и малоизученных вопросов современной реологии. Последнее свидетельствует о необходимости развития трехмерной теории устойчивости сложных сред как при малых, так и при конечных докритических дефорлациях. Для описания открываемых новых эффектов, явлений, свойств необходим выбор и построение новых моделей. Это в свою очередь влечет за собой решение проблемы теоретического характера - построение замкнутых систем трехмерных уравнений для сложных реологических сред.
Достоверность построенных новых моделей и, следовательно, уравнений состояния вытекает при обработке результатов экспериментов. К настоящему времени накоплен большой экспериментальный материал, разработаны методики определения скалярных функций,входящих в уравнения состояния; эти исследования выполнены в работах А..А..Малинина и Г.М.Хажинского, О.С.Садакова, Л.Н.Крамарева, Ю.Н. Шевченко и Ю.В.Марина, А.М.Борздыки и Л.Б.Гецова, Д.Коларова, А.Балтова и Н.Бончевой и др.j_235-242J.
Изучение процессов дефорлирования реальных систем указывает на существенное влияние структуры материала на характер макроскопического поведения сред. Учет неоднородности горных массивов, поликристаллической структуры металлов, хаотического армирования создаваемых конструкционных материалов в последнее время проводит - 23 -ся на основе моделей стохастически неоднородных сред с привлечением статистических методов. Статистические методы исследования в механике получили широкое развитие благодаря работам в основном отечественных ученых: А.Р.Ржаницына, В.В.Болотина, В.А.Ломакина, Л.П.Хорошуна, И.И.Воровича, В.Н.Москаленко, Т.Д.Шермергора, Ю.Н. Новичкова, Б.П.Макарова, С.Д.Волкова, В.А.Пальмова и др. Вопросы устойчивости деформирования сред с учетом их структуры позволяют оценить с большей степенью точности значения критических параметров, однако до последнего времени они не исследовались и требуют обстоятельного изучения. Таким образом, актуальным направлением теоретических исследований по проблемам устойчивости конструкций, который ждет своего решения, является исследование устойчивости деформирования реологических структурных сред как в пределах, так и за пределами упругости при малых и конечных докритических деформациях с целью получения трехмерных уравнений устойчивости с учетом влияния вероятностных характеристик среды и основного состояния на величину критических параметров.
В отличие от устойчивости "в малом", которой посвящена обширная литература, обзор которой кратко дан выше, проблеме устойчивости "в большом", интерес к которой был вызван в связи с исследованиями устойчивости тонких оболочек, т.к. между теоретическими результатами, полученными на основе концепции устойчивости "в малом" и экспериментальными данными,имеются существенные расхождения, посвящены работы [ 164,165J.
В работе В.В.БолотинаL164J впервые дано изложение теории упругой устойчивости "в большом". В ней прослеживается связь этой теории с нелинейной теорией упругости, с одной стороны, и с теорией бифуркаций Пуанкаре, с другой стороны. Методом Бубнова-Галерки-на статическая задача об устойчивости системы "в большом" сведена к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Нулевое ре - 24 -шеяие этой системы исследуется в дальнейшем на устойчивость в зависимости от вида нелинейных членов. Критерий устойчивости бифуркационный, т.е. отыскиваются точки, в которых происходит смена форд равновесия. В работе [.165 J рассматриваются вопросы теории устойчивости состояния равновесия упругих тел в рамках терюмеха-ники [_203,204j. Следовательно, проблема устойчивости "в большом" нелинейно-упругих и вязко-упругих сред как однородных; так и с учетом их хаотических свойств мало изучена.
Практика современного машиностроения, промышленного и гражданского строительства, вопросы механики горного давления и ряд других областей народного хозяйства требуют обстоятельного изучения проблемы устойчивости элементов и объектов по отношению к конечным возмущениям. Последнее особенно необходимо в зонах с повышенной сейсмичностью не только с целью снижения веса конструкций и объектов, но и с целью обеспечения надежности путем оценки допустимой границы области относительно возмущений при заданных параметрах яагружения и конструкции.
Исследования устойчивости деформирования тел можно разделить на два класса: задачи устойчивости деформирования тел при однородных докритических состояниях и задачи устойчивости деформирования тел при неоднородных докритических состояниях. При исследовании задач, принадлежащих к обоим классам, различными авторами использовались, как правило, различные приближенные методы решения задач. Значительный успех при исследовании устойчивости упругих тел в трехмерной постановке применительно к первому классу задач достигнут в последнее время в исследованиях А.Н.І узя и И.Ю.Бабича благодаря применению операторного метода решения.
Учет сложных реологических свойств сред, характер поведения нагрузки, порядок внешних возмущений и ряд других факторов влечет за собой появление в определяющих уравнениях нелинейных членов как геометрического, так и физического характера. Указанные нелинейности усложняют математический аппарат и создают значительные трудности при решении не только краевых задач об определении решений в основном (докритическом) состоянии, но и при исследовании задач устойчивости. Последнее, по-видимому, обусловило то, что до последнего времени методы решения задач для сложных реологических тел при малых и больших докритических деформациях в трехмерной постановке остаются почти неразработанными.
Таким образом, встает вопрос об обобщении известных и развитии новых подходов и методов решения задач устойчивости для сложных реологических тел, для сред со случайными неоднородностями, а также для нелинейных сред "в большом" и непосредственном решении конкретных, важных с практической точки зрения задач с выявлением характерных механических эффектов.
На основании изложенного анализа формулируются цели настоящего исследования:
- построение замкнутых систем уравнений для реологически сложных сред;
- развитие трехмерной теории устойчивости сложных сред при малых и больших докритических деформациях;
- развитие трехмерной теории устойчивости реологически структурных сред для малых и больших докритических деформаций при детерминированных внешних нагрузках;
- развитие теории устойчивости нелинейно-упругих и вязко-упругих сред "в большом";
- разработка новых подходов и методов решения задач устойчивости, которые могут служить, с одной стороны, апробацией методов и подходов и, с другой стороны, ориентиром для сравнения различных теорий;
- выявление влияния особенностей процессов деформирования,
-механических параметров, поведения нагрузки, характера возмущений, конечных деформаций и др. эффектов на величину критических параметров конструкций и тел.
Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе построены замкнутые системы уравнений для упрочняющихся упруго-вязко-пластических и сжимаемых упруго-пластических сред в общем случае теории изотропного упрочнения. Развита трехмерная линеаризированная теория устойчивости деформируемых тел при малых докритических деформаций. В единой форме построены общие решения уравнений динамической, квазистатической и статической устойчивости при однородных докритических состояниях. Исследованы общие вопросы трехмерной линеаризированной теории: доказана возможность исследования устойчивости процесса деформирования по предельной системе уравнений, установлены типы краевых условий, допускающие применение статических методов определения потери устойчивости, и др. Развита теория устойчивости сложных сред на конечном интервале времени. Исследована в трехмерной постановке устойчивость тел при однородных (поверхностная неустойчивость, устойчивость толстых плит, пластин и оболочек) и неоднородных (устойчивость толстостенных труб и цилиндрических оболочек, горизонтальных и вертикальных выработок, подземных полостей и др.)докритических состояниях. Выполнен сравнительный анализ критических нагрузок, полученный по приближенным подходам и точной трехмерной теории. Выявлены характерные механические эффекты в рассмотренном классе задач.
Во второй главе построены замкнутые системы уравнений механики конечнодеформируемых упруго-пластических материалов, относящиеся к группе теорий деформационного типа и теории течения. Развита трехмерная линеаризированная теория устойчивости (состояния равновесия) упруго-пластических, упруго-вязко-пластических, ежи - 27 -маемых упруго-пластических и реологических материалов при больших докритических деформациях. В единой форле для указанных моделей построены общие решения трехмерных уравнений устойчивости при однородных докритических состояниях. Исследован достаточно обширный класс задач устойчивости (пластины при плоском деформировании, прямоугольные плиты при сжатии, поверхностная неустойчивость, сплошной и полый цилиндры при осевой нагрузке, упруго-пластический шар под внешним давлением)» Приведен графический материал, который может служить основой для определения областей применимости различных вариантов теорий устойчивости конечно-деформируемых упруго-пластических тел в прикладных задачах (инженерных расчетах) и выявлены характерные механические эффекты.
В третьей главе построены замкнутые системы уравнений для различных стохастически неоднородных сред и разработаны подходы к исследованию устойчивости сред при детерминированных нагрузках при малых и конечных докритических деформациях по отношению к детерминированным и случайным возмущениям. Для макрооднородного основного состояния записаны общие решения трехмерных уравнений устойчивости и указан способ перехода к характеристическим определителям, полученным в предыдущих главах, как для случая малых, так и конечных докритических деформаций. Выявлено влияние структуры материала и характера возмущений на критические величины. Разработан метод исследования устойчивости нелинейно-упругих и вязко-упругих сред при конечных возмущениях. Получены достаточные критерии устойчивости. Найдены области устойчивости деформируемых тел (стержень, полоса, полуплоскость) относительно возмущений. Выявлен механизм потери устойчивости "в большом" и установлены границы применимости трехмерной линеаризированной теории.
Необходимо отметить, что построение трехмерной линеаризиро - 28 -ванной теории неупругой устойчивости в варианте, излагаемом в настоящей диссертации, предусматривает создание постановок, методов исследования и решения отдельных классов задач об устойчивости неупругих тел с привлечением трехмерных уравнений устойчивости (без введения гипотез и алгоритмов, сводящих задачи к двумерным и одномерным) и критериев устойчивости, соответствующих общепринятым критериям неупругой устойчивости тонкостенных тел. При этом не ставится вопрос об улучшении и обосновании общепринятых критериев в механике тонкостенных тел с привлечением общей теории устойчивости движения, считая последний вопрос самостоятельным в силу его специфики и актуальности.
Основные научные положения, которые выносятся автором на защиту:
- развитие трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых сложных сред при малых и больших докритических деформациях, включая совокупность постановок задач и исследование общих вопросов;
- построение новых модификаций моделей упруго-пластической среды, не зависящей от масштаба времени, и моделей, учитывающих временные эффекты;
- разработка методов исследования и решение отдельных классов задач в рамках трехмерных линеаризированных уравнений;
- исследование устойчивости нелинейно- упругих и вязко-упругих сред при конечных возмущениях и решение новых задач, имеющих важное практическое значение;
- выявление качественных и количественных закономерностей влияния механических параметров, поведения нагрузки, сил инерции, скорости деформации, характера возмущений, структуры материала, конечных деформаций на устойчивость деформирования конструктивных элементов и тел и величину критических параметров.
Основное содержание диссертации отражено в работах [261-263, 265-271, 273-275, 279, 281-287, 289, 29І-300]. Б работах в соавторстве [267-270, 273, 275, 279-281, 283, 285, 292, 293, 299] автору принадлежат основные идеи и общие постановки задач. По совокупности работ [267-269, 273, 275, 279, 281, 28б] автору принадлежит разработка математических моделей упруго-пластических сред, вывод разрешающих уравнений, построение общих решений уравнений трехмерной теории устойчивости, вывод характеристических уравнений для толстых плит, полосы, поверхностной неустойчивости, анализ полученных результатов. Соавторами получено решение уравнений в случае плоской формы потери устойчивости, коэффициенты линеаризированных уравнений состояния и численное решение задач для пластины, поверхностной неустойчивости и шара. В работах Г 293,2991 автору принадлежит вывод разрешающих уравнений, построение функционала для общего нелинейно-упругого тела (в т.ч. с учетом стохастических свойств), метод анализа. Соавторы получили коэффициенты разрешающих уравнений для частного вида потенциала, осреднен-яую и фяуктуационнуго систему уравнений, численно исследовали влияние свойств материала на форму выпучивания. В работах [270, 280J автору принадлежит вывод характеристических уравнений для рассмотренных задач, коэффициентов линеаризированных уравнений состояния; метод анализа численных результатов. Соавтор вывел основные уравнения в соответствующих криволинейных координатах, получил решение, численно реализовал задачи.В работе Г 2921 соавтору принадлежит только численная реализация задачи.
Отдельные результаты работы обсуждались на Ш, ІУ и У Всесоюзных конференциях по проблемам устойчивости в строительной механике (Каунас, 1967; Харьков, 1972; Ленинград, 1977), УІ и УП Всесоюзных конференциях по прочности и пластичности (Москва, 1975; Горький, 1978), на ІУ Всесоюзной конференции по проблемам надежности в строительной механике (Вильнюс, 1975), на П, Ш, ІУ и У Всесоюзных школах-симпозиумах по механике деформируемого твердого тела (Куйбышев, 1975, 1976, 1977, 1978), на ІУ Всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных конструкций (Киев, 1978), на школе по динамике твердого деформируемого тела (Новосибирск, 1979), на Всесоюзном симпозиуме по устойчивости в механике деформируемого твердого тела (Калинин, 1981), на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости при МГУ (Москва, І97В), семинарах отделов Института механики АН УССР (Киев, 1977, 1978, 1979, 1980) и неоднократно - на научных конференциях Воронежского государственного университета; в целом результаты диссертации были доложены на семинаре по механике деформируемого твердого тела при МГУ (Москва, 1977), семинаре по механике деформируемых систем и общей механике Института механики АН УССР (Киев, 1980), семинаре по механике деформируемого твердого тела при НГУ (Новосибирск, 1978), городском семинаре по механике твердого деформируемого тела (Воронеж, 1979), семинаре "Проблемы механики" ИПНММ АН УССР (Львов, 1980), на кафедре теории упругости при МГУ (Москва, 1980).
Автор выражает благодарность академику АН УССР Александру Николаевичу І узю и профессору Дюису Даниловичу Ивлеву за ценные советы и постоянное внимание к работе.
Постановка задачи об устойчивости деформирования упруго-вязко-пластических тел. Линеаризированные соотношения
Вопросы устойчивости деформирования тел различной физической природы привлекают внимание физиков, математиков и механиков благодаря своей современности, сложности и многообразию явлений, присущих процессам деформирования сложных сред. Устойчивости неупругих систем посвящены отдельные монографии и многочисленные статьи. Однако, подавляющее число исследователей, связывая явления потери устойчивости с тонкостенными конструкциями и стремясь упростить решения задач, пользовались двумерными и одномерными прикладными теориями, построенными путем введения вспомогательных гипотез, и занимались решением конкретных, практически важных задач. При этом до последнего времени оставались почти неразработанными проблемы трехмерной теории, а также методы решения и решение отдельных задач в трехмерной постановке . Задачи механики конструкционных материалов, создание методов расчета конструкций из них, задачи устойчивости толстостенных элементов конструкций, тектоники и горной механики, теория поверхностных явлений и ряд других областей естествознания и техники потребовали разработки трехмерной теории неупругой устойчивости. Вместе с тем в связи с применением и созданием новых материалов практика современных отраслей машиностроения и строительства требует расчета элементов конструкций и сооружений, учитывающих одновременно упругие, вязкие, пластические, релаксационные и другие свойства; выявления влияния поведения нагрузки, структуры материала и других "возмущающих" факторов, позволяющих оценивать значения критических параметров с большей степенью правдоподобия. Это вызывает конструирование новых моделей, которые уже введены явно или могут быть еще введены, или подразумеваются неявно-потенциально в теориях и в опытных наблюдениях, для научного описания и исследования интересующих нас классов реальных явлений. Математические трудности решения трехмерных задач устойчивости еще более усложняется из-за наличия угловых точек на поверхности текучести и эффектов, связанных с деформационной анизотропией. Вместе с тем упруго-пластическая система обладает склонностью к необратимости.
Она запоминает не только то, что относится к невозмущенному процессу деформирования, но и то, что связано с возмущениями, сколь бы малы они ни были.Все эти факторы существенно затрудняют исследование и обуславливают применение приближенных подходов и необходимость разработки новых методов репюния задач устойчивости. Таким образом, исследование устойчивости деформирования тел и элементов конструкций со сложными реологическими свойствами в трехмерной постановке является одной из весьма трудных задач теории устойчивости и наряду с этим одной из актуальных проблем в практическом отношении. Конструирование и расчет различных объектов, как правило, ведется как с целью снижения их веса, стоимости и одновременно повышения качества с точки зрения надежности и долговечности, так и с целью определения критических параметров, поскольку кроме прочности объектов конструктор обязан обеспечить устойчивый режим работы аппаратуры, несомой объектом. Поскольку и в природе, и в активной человеческой деятельности сколько-нибудь длительно могут быть использованы лишь устойчивые явления и процессы. Настоящая работа посвящена построению замкнутых систем уравнений и развитию на их основе трехмерной теории устойчиво- сти сложных сред, развитию теории устойчивости сред со случайными неоднородностями при детерминированных нагрузках, исследованию устойчивости нелинейно-упругих и вязко-упругих сред "в большом", а также обобщению известных и разработке новых подходов и методов решения задач устойчивости при I) малых и конечных до-критических деформациях, 2) малых и конечных возмущениях, 3)консервативных и неконсервативных внешних нагрузках для различных элементов конструкций - стержней, пластин и оболочек,а также некоторых задач теории горного давления с выявлением характерных механических эффектов. Обзор состояния проблемы и обоснование цели исследования. Как известно, до 50-х годов работы в области устойчивости деформируемых тел, за малым исключением, основывались на статистических концепциях устойчивости, восходящих к Эйлеру. На базе идей Л.Эйлера [і] возникла обширная литература, посвященная устойчивости деформируемых упругих и неупругих систем. Основные результаты этих исследований представлены в монографиях С.П.Тимошенко [2,з] , А.Н.Динника [4], Б.Г.Галеркина [б], А.Р.Еканицы-на [б], Ф.Блейха [?], А.А.Ильюшина [в], А.С.Вольмира [э] и других исследователей. Методы, основанные на представлении Эйлера,не смогли привести к удовлетворительному решению ряда задач, таких, как потеря устойчивости под действием "следящих" сил, устойчивость по отношению к конечным возмущениям и т.д. Рассмотрение недостатков классического метода исследования потери устойчивости проведено в работах Г.Циглера [ю], В.В.Болотина[іі] t Я.Г.ЇЇановко и И.И. іубановой I2J.
В частности,оказалось, что стати.—ческие методы применимы в случаях, когда системы являются консервативными. Для неконсервативных систем следует использовать, как правило, динамические методы исследования, рассматривая процесс движения системы во времени. Ф.Энгесер (1895 г.) и Т.Карман (1909 г.) развили теорию устойчивости центрально сжатых стержней за пределом упругости. Теория Энгесера-Кармана (приведенно-модульная концепция) явилась результатом переноса теории бифуркации форм равновесия из теории упругой устойчивости на упруго-пластические задачи. Этот перенос требовал обоснования, что стало общепризнанным фактом после того, как Ф.Шенли [l3J показал, что для упруго-пластических систем проблема бифуркации состояния равновесия и бифуркации процесса нагружения не тождественны. Обсуждение концепций Энгесера-Кармана и Шенли и дальнейшее развитие теории неупругой устойчивости содержится в работах Ю.Н.Работнова [14], Я.Г.Панов-ко [15,1б], Н.Хоффа[Г7Д8], В.Д.Клюшникова [ 19-23,4l], Г.В.Иванова [24-2б], В.Г.Зубчанинова [27-29], И.И.Воровича [241 ] и других авторов. В частности, сделан вывод о начале выпучивания при касательно-модульной нагрузке, т.е. показано, что нагрузка Кармана дает верхнее значение критической силы, а нагрузка Шенли -ее нижнее значение. Подтверждено, что концепция продолжающегося нагружения правильна. Общая теория устойчивости пластин и оболочек на основе деформационной теории была создана А.А.Ильюшиным [30,8]. В работах Л.А.Толоконникова [зі,32 и др.]дано обобщение и дальнейшее развитие результатов А.А.Ильюшина. Результаты, полученные в [33, ЗІ), были уточнены и обобщены в [34]. Применение теории Ильюшина к решению задач тер/юустойчивости пластин и оболочек за пределом упругости дано в монографии П.М.Огибалова и В.Ф.Грибанова Г35]. В теории устойчивости предполагается, что нагружение в различных точках пластин и оболочек является простым, хотя в действительности оно сложное. А.А.Ильюшин, исходя из этого и из построенной им теории пластичности при сложном яагружении, получил общий закон связи между вариациями напряжений и деформаций при потере устойчивости [зб]. На основе касательно-модульной концепции общая теория устойчивости оболочек развивалась Э.И.Григолюком [38-40J, как в рамках теории течения, так и деформационной теории. В работе [42Jc учетом начальных несовершенств исследована устойчивость цилиндрической оболочки за пределом упругости, показано, что возможна только осесимметричная форма потери устойчивости.
Представление общих решений уравнений динамической, квазистатической и статической устойчивости для однородных основных напряженных состояний
Отметим, что вопросы построения теории ползучести с анизотропным упрочнением аналогично тому, как это сделано в современной теории пластического течения [231-233,16б], а также исходя из некоторых экспериментальных результатов, независимо OT[262J, рассматривались в работах [235,23б] и др. Обзор исследований по устойчивости неупругих систем дан в работе В.В.Болотина и Э.И.Григолюка [52j. Различным вопросам нелинейной теории упругости и ее приложениям к расчету элементов конструкций при действии силовых и температурных нагрузок, теоретическому и экспериментальному исследованию устойчивости пластин и оболочек из армированных и композитных материалов посвящены монографии [9,56,58,188,204, 243-248, 250,252-257] и др. Адализ исследовании, выполненных в нелинейной постановке (и в частности, по физически нелинейной теории), дан в обзорных работах В.В.Новожилова, Л.А.Толоконни-кова и К.Ф.Черных [25lJ И.А.Цурлала и Г.Г.Кулиева [253J. В подавляющем большинстве указанных выше монографий и работ вопросы устойчивости тонкостенных конструкций рассмотрены на основании теорий, построенных с привлечением вспомогательных гипотез кинематического и динамического характера, позволяющих свести трехмерные задачи к двумерным. Впервые трехмерные уравнения теории устойчивости при малых докритических деформациях были получены Р.Саусвеллом [53 , позже-С.Бицено и Г.Генки [ 54], также исходя из соображений физического характера, М.А.Биот [55J вывел основные соотношения трехмерной теории устойчивости в результате линеаризации нелинейных уравнений теории упругости, а Е.Трефтц [228,229]- вариационным методом, вводя определенные допущения. Идеи Трефтца нашли свое развитие в работе Р.Каппуса [230], где получены впервые строго линеаризированные уравнения движения деформируемого тела при конечных докритических деформациях и рассмотрены упрощения в случае малых деформаций. В.В.Новожиловым [бб] также получены основные линеаризированные соотношения трехмерной теории устойчивости.
В лагранжевых координатах деформированного тела линеаризированные уравнения устойчивости при больших докритических деформациях получены в работе [57]. В дальнейшем трехмерные линеаризированные задачи механики деформируемого тела при конечных докритических деформациях рассматривались также в работах А.Грина и «Яж.Адкинса, М.Беатти, А.Грина и В.Зерна, В.Т.Койтера, Х.Нойбера, Б.Р.Сетха, А.И.Лурье, А.Н.іузя, И.Ю.Бабича, а также вработах автора. Исторический очерк развития трехмерной теории устойчивости и классификация постановок задач приведена в монографиях А.Н.іузя [б0,6і]. В последние десятилетия в печати появился ряд работ по трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Четко вырисовывались три подхода. Первый подход связан с предположением больших докритических деформаций. Здесь существуют несколько вариантов постановок, связанных с выбором конкретной зависимости между напряжениями, деформациями и их производными. В основном все исследования этого подхода выполнены для нелинейно-упругих тел. Такой подход применялся в работах [б1-74]и др. Второй подход связан с предположением о малости докритических деформаций. В рамках этого подхода исследовано большое число задач для различных материалов. Этим задачам посвящены монографии М.Биота и А.Н.іузя [бо]. Третий подход, получивший название подхода Л.С. Лейбензона-А.Ю.Ишлияского [76,77], заключается в том, что исследование устойчивости трехмерных тел при малых докритических деформациях производится на основе уравнений линейной теории. Как известно, теорема Кирхгофа о единственности решения исключает возможность применения классической теории к вопросам устойчивости. Для преодоления указанного затруднения в [_76,77Jграничные условия трактуются как условия изменения формы граничной поверхности в результате выпучивания. Так как параметр нагружения не входит в основные уравнения, то исследование задач при таком подходе значительно упрощается. Этот подход является приближенным, так как основные уравнения (уравнения Ламе) и граничные условия не получаются в результате линеаризации основных нели- нейных уравнений и граничных условий [бо]. Более ранние работы [78,79 и др.] по исследованию потери устойчивости с позиций трехмерных уравнений в основном использовали постановку Лейбензона-Ишлинского. Сравнительный анализ критических нагрузок, полученных по различным уравнениям устойчивости, дан в работах [80-82]. Вопросы устойчивости движений реологически сложных сред, обладающих одновременно упругими, пластическими, релаксационными, вязкими и другими свойствами, которые позволяют полнее описать разнообразные свойства реальных сред, являются одними из наиболее трудоемких и малоизученных вопросов современной реологии. Сложность уравнений движения большинства реологических моделей приводит в задачах устойчивости к значительным трудностям принципиального и вычислительного характера. Известно сравнительно небольшое количество исследований, посвященных вопросам устойчивости деформирования сложных сред. Первые исследования в этой области были выполнены в работах А.А.Ильюшина [83J и А.Ю.Ишлинского j_84,85j, где рассмотрена устойчивость течений вязко-пластических сред. В работе _83] А.А.Ильюшин впервые описал вязко-пластическое течение. Методом близких движений рассмотрена устойчивость течений плоской полосы и цилиндра, нагруженных осевой силой, а также вязко-пластической трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Получены условия устойчивости.
В отличие от [8з] в работе [84] для исследования устойчивости вязко-пластических течений предложен метод элементарных волн и использован способ Эйлера для описания движения. Рассмотрена устойчивость течения полосы и круглого стержня при растяжении и сжатии. Показано, что, когда ширина полосы становится меньше определенной величины, ее состояние становится только неустойчивым. Аналогичные результаты получены в задаче об устой- чивости течения круглого стержня при его растяжении и сжатии. Устойчивость вязко-пластического течения круглой пластины, находящейся под действием осесимметричной нагрузки, равномерно распределенной по ее боковой поверхности, исследована в работе [8б]. Показано, что непрерывно возрастающие возмущения имеют место при достаточно большом растяжении. При сжатии тенденцию к возрастанию могут иметь лишь возмущения с достаточно малой длиной волны. В работе Л.В.Ершова и Д.Д.Ивлева [ 86] исследована устойчивость толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления, в случае, если материал трубы подчиняется законам теории малых упруго-пластических деформаций и теории идеальной пластичности. Позже ими [87] была решена задача о потере устойчивости вращающегося диска при условии текучести Треска. Л.В.Ершов, обобщая исследования Л.С.Лейбензона Г V6J, в работе L88J рассмотрел осе симметричные форш потери устойчивости толстостенной сферической оболочки, находящейся под действием равномерного внешнего и внутреннего давления, исходя из соотношений теории малых упруго-пластических деформаций. В работе [ 89] рассмотрена устойчивость сжатой плоской полосы. К.Н.Семчинов [эо] в постановке [бз] рассмотрел задачу о неустойчивости плоского движения растянутой полосы из вязко-пластического упрочняющегося материала. Устойчивость течения вязко-пластической среды в пространстве между вращающимися цилиндрами изучалась в работе И.М.Астрахана [9l]. И.Д.Легеня [92-94J рассмотрел потерю устойчивости толстой свободно опертой прямоугольной плиты под действием равномерной сжимающей нагрузки, исходя из соотношений теории малых упруго-пластических деформаций и уравнений теории течения. Решение дано для квадратной плиты, сжатой равномерными силами в двух направлениях, и для прямоугольной плиты, сжатой в одном направлении. В работах Д.Д.Ивлева и И.Д.Легени [95,96J исследована потеря устойчивости толстых плит в общем случае деформационной теории. Дальнейшие исследования [97-100 J привели к выводу о необходимости учета углов поворота при формулировании условий равновесия элемента тела в возмущенном состоянии в постановке В.В.Новожилова [бб]. Уравнения [бб] были использованы [iOIJ для решения задачи о сжатии полосы. В работе [_102_] эти же уравнения применены для изучения образования шейки в плоском образце.
Построение системы уравнений для исследования устойчивости деформирования упруго-пластических задач.
Большой цикл исследований по теории устойчивости упруго-пластических тел выполнен в работах В.Д.Клюшникова [l08-III,200,20l], относящихся как к трехмерной теории устойчивости, так и двумерным теориями устойчивости; результаты этих исследований также обобщены в монографии В.Д.Клюшникова [201J. В этих исследованиях В.Д. Кшошниковым дана постановка задач устойчивости упруго-пластических тел, основанная на введении концепции потери устойчивости процесса деформирования, что является частным случаем исследования устойчивости движения, рассмотрены различные процессы нагру-жения (активное нагружение, разгрузка, нейтральное нагружение)и возникающие при этом линеаризированные задачи; введены понятия равноактивной деформации, основных и побочных процессов деформирования; показано, в каких случаях не следует учитывать явление разгрузки при потере устойчивости; на простейших моделях исследованы специфические особенности потери устойчивости упруго-пластических систем. Некоторые качественные оценки влияния истории нагружения на величину критических нагрузок по Карману, исходя из созданной А Д.Ильюшиным [Зб] теории упруго-пластических процессов применительно к проблеме устойчивости, приведены в работах [2I5-22IJ. Использованию вариантов теории скольжения к постановке и решению задач о бифуркации процесса деформирования и состояния положено начало в работах Н.В.Кнетса, Г.А.Тетерса, Н.Ю.Швайко, Ю.А. Чернякова и др. Вопрос о влиянии истории нагружения на величину критической нагрузки по Шенли и на величину предельной нагрузки простейших моделей элементов конструкций с позиций дифференциально-нелинейного варианта теории скольжения [_222] и постулата изотропии А.А.Ильюшина [36J рассмотрен в работах Н.Ю.Швайко и его сотрудников Г223-22б]. Обзор и анализ указанных результатов, а также соответствующих экспериментальных результатов в области теории устойчивости элементов конструкций при сложном нагружении дан в работе [ 227]. Устойчивость медленных установившихся движений нелинейно-вязко-упругого, гипоупругого и упруго-пластического материала при конечных докритических дефорлациях, исходя из линеаризирован- ных уравнений устойчивости [57], исследовал С.Захорский j_H2-II8J. Использовалось динамическое понятие устойчивости.
В работе [ 112] рассмотрена устойчивость полосы из гипоупругого материала первой степени, а в работах LII3-II6J- несжимаемого вязко-упругого прямоугольного параллелепипеда при сжатии. Простое растяжение (сжатие) круглого цилиндра при больших пластических деформациях исследовано в работах [і 17,118J, при этом использовались определяющие соотношения несжимаемого идеально-пластического тела, полученные Т.Томасом [пэ]. В ряде работ зарубежных авторов [ 120-125 и др.] исследуется устойчивость деформирования пластин и оболочек при конечных однородных пластических деформациях. После формального дифференцирования по времени уравнений равновесия получено в скоростях вариационное уравнение равновесия. Скорости упругих и пластических деформаций считаются аддитивными. Скорости упругих деформаций и скорости компонент напряжений считаются связанными законом іука, а связь между тензорами скоростей пластических деформаций и скоростей изменения напряжений берется по Хиллу [і2б]. Отметим, что обзор работ, а также обсуждение некоторых подходов к созданию теории упруго-пластических течений с конечными деформациями дан в работах Д.Д.Работягова [l27j, В.Н.Кукуджанова и В.И.Кондаурова [l28]. При этом в обзоре \_ 128] на основе приведенного обсуждения работ авторы предлагают некоторую полную систему уравнений упруго-пластического течения с конечными деформациями, удобную для численного решения задач. Кратко остановимся на истории построения теории больших упруго-пластических деформаций. Как известно, при построении упруго-пластических сред недостаточно использовать только тензор полных деформаций. В большинстве современных работ, изучающих упруго-пластическое деформирование, вводятся меры деформации, связанные отдельно с упругим и отдельно с пластическим деформированием. При этом развито два подхода к разбиению тензора полных конечных деформаций элемента среды на упругую и пластическую составляющую. Одной из первых работ, где исследовался вопрос о разделении тензора полных деформаций на тензоры упругих и пластических деформаций, была монография Л.И.Седова l30]. Позже аналогичное представление для упруго-пластической среды рассматривалось также А.Е.Грином и П.М.Нахди[іЗі], работа которых представляет собой первую теорию конечно-деформированной упруго-пластической среда, где напряженное состояние и температура характеризовались точкой в семимерном пространстве напряжений и температуры с прямоугольными декартовыми осями координат.
Существенные недостатки, присущие данному варианту теории [ІЗІ], отмечены в обзоре [I28J. Второй подход, развиваемый Ли [l32J, базируется на допущении, что матрица градиентов полной деформации может быть представлена произведением матриц градиентов пластической и упругой деформаций. Ли применительно к металлам строит теорию упруго-пластических конечных деформаций. Физический смысл разбиений, используемых как в первом, так и во втором подходах, становится ясным j_I28j, если ввести [ 130 , 132] кроме начального и текущего состояний так называемое ненапряженное состояние. Отметим лишь,что разложение матрицы градиентов полной деформации на произведение матриц, соответствующих упругому и пластическому преобразованию ( Ф = Ф ф ), определено неоднозначно вследствие того, что разгруженное состояние остается ненапряженным при наложении на тело произвольного вращения как жесткого целого. В работах l32,133,134д рассматривались некоторые возможные способы устранения этой неоднозначности, которая составляет в этом подходе одну из главных трудностей при введении тензора деформации. К этому направлению примыкают также работы Фреун-да [іЗб], Тинга [_136]» Фокса l37] и Клифтона [іЗв], в которых фактически была принята модель, соответствующая наложению пластических деформаций на упругую ( Ф = Ф Ф ).
O неустойчивости упруго-пластических грунтов
Применение теории устойчивости деформируемых тел в механике горных пород осуществляется в двух направлениях. Первое направление связано с исследованием задач о складкообразовании в толще земной коры L75,139-144 и др.]. Значительное число задач об образовании линейных складок (плоская деформация) в рамках линеаризированной трехмерной теории устойчивости для упруго-вязких тел исследовал М.Биот L75J. Теория складкообразования в толще земной коры в случае прерывистой, куполовидной и линейной складчатости развита в работах Ж.С.Ержанова и его сотрудников [140,141 и др.J , обзор которых дан в работе [_ 142J Отметим лишь, что все работы этого направления выполнены на основе подхода Лейбензона-Ишлинского. В работе А.Н.іузя и В.Н.Чехова \_ 142J на базе трехмерных линеаризированных уравнений устойчивости развивается теория складкообразования в толще земной коры для различных моделей горных пород. Получены характеристические определители для типов складчатости, рассмотренных в [_I4Ij Обобщение результатов [і42J на вариант геометрически нелинейной теории дано в работах [і 43-145 J. Второе направление связано с исследованием задач устойчивости горных выработок [I47-I60, 206-208 и др.] и подземных полостей Ї6І, 162, 207 и др.]. В работе Л.В.Ершова Г147J изучается устойчивость вертикальной выработки как упругого тела, ищутся соотношения между параметрами массива и выработки, при которых возможно выпучивание последней. Им же в работах Г148,149] рассмотрены задачи об определении критического (горного) давления в горизонтальных и вертикальных выработках, при этом упруго-пластическое состояние в массиве определяется соотношениями і63]. Дальнейшее исследование задач как упругого, так и упруго-пластического равновесия горного массива проведено в ряде работ Л.В.Ершова и М.Т.Алимжанова 1І50-І54, 156-158 и др.], при этом процесс потери устойчивости рассматривался в статической постановке. Определению критического давления и оптимальных размеров подземных полостей сферической формы посвящены работы М.Т.Алимжанова j_I6I,I62j. Здесь, как и ранее, упруго-пластическое состояние в массиве определялось соотношениями _163], и процесс потери устойчивости рассматривался в статической постановке, В монографии Ж.С.Ержанова, А.С.Саганова и Ю.А.Векслера і55І излагается разработанный авторами метод расчета устойчивости горизонтальных горных выработок произвольной формы поперечного сечения. При этом учитываются большие деформации ползучести и разрушение горных пород.
В монографии [l59J на базе трехмерной линеаризированной тео .-рии устойчивости деформируемых тел для различных моделей горных пород разработан метод решения задач, основанный на применении вариационных принципов. Рассмотрены случаи вертикальных и горизонтальных выработок. Здесь же выполнена систематизация по исследованию общих вопросов трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел для различных моделей. Почти все работы второго направления,за исключением \_I4Q , 159, 205-208J выполне- ны на основе приближенного подхода [ 76, 77]. Методы экспериментального определения напряжений в осадочных породах, вопросы механизма разрушения горных пород и грунтов и построения их математических моделей развиты в работах Е.И.Шемякина и его сотрудников 210-214 и др.]. Из обзора следует, что общие вопросы устойчивости деформирования реологически сложных сред, которые позволяют полнее описать разнообразные свойства реальных тел, в трехмерной постановке являются одним из наиболее трудоемких и малоизученных вопросов современной реологии. Последнее свидетельствует о необходимости развития трехмерной теории устойчивости сложных сред как при малых, так и при конечных докритических дефорлациях. Для описания открываемых новых эффектов, явлений, свойств необходим выбор и построение новых моделей. Это в свою очередь влечет за собой решение проблемы теоретического характера - построение замкнутых систем трехмерных уравнений для сложных реологических сред. Достоверность построенных новых моделей и, следовательно, уравнений состояния вытекает при обработке результатов экспериментов. К настоящему времени накоплен большой экспериментальный материал, разработаны методики определения скалярных функций,входящих в уравнения состояния; эти исследования выполнены в работах А..А..Малинина и Г.М.Хажинского, О.С.Садакова, Л.Н.Крамарева, Ю.Н. Шевченко и Ю.В.Марина, А.М.Борздыки и Л.Б.Гецова, Д.Коларова, А.Балтова и Н.Бончевой и др.j_235-242J. Изучение процессов дефорлирования реальных систем указывает на существенное влияние структуры материала на характер макроскопического поведения сред. Учет неоднородности горных массивов, поликристаллической структуры металлов, хаотического армирования создаваемых конструкционных материалов в последнее время проводит- ся на основе моделей стохастически неоднородных сред с привлечением статистических методов. Статистические методы исследования в механике получили широкое развитие благодаря работам в основном отечественных ученых: А.Р.Ржаницына, В.В.Болотина, В.А.Ломакина, Л.П.Хорошуна, И.И.Воровича, В.Н.Москаленко, Т.Д.Шермергора, Ю.Н. Новичкова, Б.П.Макарова, С.Д.Волкова, В.А.Пальмова и др. Вопросы устойчивости деформирования сред с учетом их структуры позволяют оценить с большей степенью точности значения критических параметров, однако до последнего времени они не исследовались и требуют обстоятельного изучения.
Таким образом, актуальным направлением теоретических исследований по проблемам устойчивости конструкций, который ждет своего решения, является исследование устойчивости деформирования реологических структурных сред как в пределах, так и за пределами упругости при малых и конечных докритических деформациях с целью получения трехмерных уравнений устойчивости с учетом влияния вероятностных характеристик среды и основного состояния на величину критических параметров. В отличие от устойчивости "в малом", которой посвящена обширная литература, обзор которой кратко дан выше, проблеме устойчивости "в большом", интерес к которой был вызван в связи с исследованиями устойчивости тонких оболочек, т.к. между теоретическими результатами, полученными на основе концепции устойчивости "в малом" и экспериментальными данными,имеются существенные расхождения, посвящены работы [ 164,165J. В работе В.В.БолотинаL164J впервые дано изложение теории упругой устойчивости "в большом". В ней прослеживается связь этой теории с нелинейной теорией упругости, с одной стороны, и с теорией бифуркаций Пуанкаре, с другой стороны. Методом Бубнова-Галерки-на статическая задача об устойчивости системы "в большом" сведена к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Нулевое ре- шеяие этой системы исследуется в дальнейшем на устойчивость в зависимости от вида нелинейных членов. Критерий устойчивости бифуркационный, т.е. отыскиваются точки, в которых происходит смена форд равновесия. В работе [.165 J рассматриваются вопросы теории устойчивости состояния равновесия упругих тел в рамках терюмеха-ники [_203,204j. Следовательно, проблема устойчивости "в большом" нелинейно-упругих и вязко-упругих сред как однородных; так и с учетом их хаотических свойств мало изучена. Практика современного машиностроения, промышленного и гражданского строительства, вопросы механики горного давления и ряд других областей народного хозяйства требуют обстоятельного изучения проблемы устойчивости элементов и объектов по отношению к конечным возмущениям. Последнее особенно необходимо в зонах с повышенной сейсмичностью не только с целью снижения веса конструкций и объектов, но и с целью обеспечения надежности путем оценки допустимой границы области относительно возмущений при заданных параметрах яагружения и конструкции. Исследования устойчивости деформирования тел можно разделить на два класса: задачи устойчивости деформирования тел при однородных докритических состояниях и задачи устойчивости деформирования тел при неоднородных докритических состояниях. При исследовании задач, принадлежащих к обоим классам, различными авторами использовались, как правило, различные приближенные методы решения задач.
