Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квазинесжимаемые трансверсально-изотропные среды .
1.1. Представление трансверсально-изотропной среды в аффинных пространствах.
1.2. Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения трансвер-сально-изотропного материала .
1.3. Вычисление компонент преобразующего тензора. Выводы по главе 1.
Глава 2. Экспериментальное исследование закона пластического течения прокатных материалов .
2.1. Экспериментальное определение характеристик пластической анизотропии листового материала на примере листовых прокатных металлов.
2.2. Вычисление характеристик пластической анизотропии .
2.3. Экспериментальная проверка гипотезы о несжимаемости пластического течения.
2.4. Определение компонент преобразующего тензора. Выводы по главе 2.
Глава 3. Соотношения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности трансверсально-изотропной среды .
3.1. Постановка задач осесимметричного течения изотропных и транс-версально-изотропных сред.
3.2. Условие полной пластичности трансверсально-изотропной квазинесжимаемой среды.
3.3. Условие полной пластичности трансверсально-изотропной среды в осесимметричной задаче .
3.4. Поле напряжений и скоростей осесимметричной задачи трансверсально-изотропной среды.
Выводы по главе 3.
Глава 4 Численный эксперимент по исследованию осесимметричного течения трансверсально-изотропного материала .
4.1 Вдавливание круглого штампа с плоским основанием в трансвер-сально-изотропное полупространство.
4.1.1 Построение сетки линий скольжения при вдавливании круглого штампа с плоским основанием в трансверсально-изотропное полупространство .
4.1.2 Анализ вариантов вдавливания круглого штампа с плоским основанием в трансверсально-изотропное полупространство.
4.2 Вдавливание круглого штампа со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство.
4.2.1 Построение сетки линий скольжения при вдавливании круглого штампа со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство.
4.2.1 Анализ вариантов вдавливания круглого штампа со сферическим
основанием в трансверсально-изотропное полупространство.
Выводы по главе 4.
Выводы по диссертационной работе.
Литература
- Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения трансвер-сально-изотропного материала
- Вычисление характеристик пластической анизотропии
- Условие полной пластичности трансверсально-изотропной среды в осесимметричной задаче
- Построение сетки линий скольжения при вдавливании круглого штампа с плоским основанием в трансверсально-изотропное полупространство
Введение к работе
История построения соотношений теории идеальной пластичности изотропных и анизотропных сред.
Рассмотрим построение теории идеальной пластичности анизотропных сред на основе квадратичного условия пластичности.
Существенные результаты в исследовании теории идеальной пластичности в нашей стране и за рубежом были получены авторами: Б. Сен-Венаном, А. Хааром и Т. Карманом, Губером, Р. Мизесом, Анниным Б.Д., Адамеску Р.А., Бриджменом П., Геогджаевым В.О., Гольденблатом И.И., Ивлевым Д.Д., Ишлинским А.Ю., Яковлевым СП., Кухарем В.Д., Яковлевым С.С [2-4, 11-13, 21, 32, 42, 49, 83, 84, 85, 90, 92, 96, 99, 105, 118, 120, 121, 139, 164, 171, 202-204, 218, 225, 226, 243-248, 251-255, 259, 260, 268, 269, 277-283, 286, 287, 292, 297, 306, 313-316].
Французский ученый Треска (1864 г.) [347], анализируя результаты экспериментов по штамповке заготовок из свинца, предложил гипотезу, о пластическом течении изотропного материала, которое возникает при достижении максимальным касательным напряжением- ттах предельного значения \Tmax\ = j(cTi-aj) k k = comt (ij = 1.2.3) (ЇМ)
где ai- главные компоненты тензора напряжения, причем Gj (J 2 с j
Условие пластичности Треска можно представить шестигранной призмой, «призмой Треска», в пространстве главных напряжений
7i(i — l,z,5j ПрИчем грани призмы параллельны гидростатической оси. Призма Треска рассекаясь девиаторной плоскостью, с уравнением
а1 + а2 + а3 - и 9 строит шестиугольник Треска. Позже Б. Сен-Венан (1870 г.), в монографии «Об установлении уравнении внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости», вводит зависимость напряжений и скоростей деформации для двумерного пластического течения идеально-пластического тела, эти соотношения остаются актуальными и сегодня. Запишем систему квазилинейных уравнений, предложенную Б. Сен-Венаном:
2ksin26— + 2kcos20— = 0,
дх дх ду
+ 2ксо52Є™ + 2к іп2в™ = 0. (Г-2
ду дх ду )
Эти соотношения получают, путем подстановок ry = cr — kcos20,, cry = cr-k cos 20, (Уф = к sin 20, ст = ( тх -сгу)/ 2, удовлетворяющих
2 2 2
условию пластичности Треска (сгх-€гу) +4(7 ху=4к , в уравнения дсгх , даху догху дау
равновесия —— + — = 0, —-\ — = 0.
дх ду дх ду
Вообще уравнение грани призмы Теска выглядит, как ( 7( -&;) = 2к,
его записал ученый М.Леви (1871 г.) [157] в компонентах тензора напряжений о у в произвольной декартовой системе координат, где пластическое течение определяется из условия пропорциональности касательных напряжений сдвигам, в своей теории идеальной пластичности для пространственного течения. А. Хаар и Т. Карман (1909 г.) в работе «К теории напряженного состояний в пластических и сыпучих средах» [293], показывают общие корни теории пластичности и теории предельного состояния грунтов. Условие полной пластичности А. Хаара и Т. Кармана представляет собой зависимость между главными напряжениями: 71 у21 jj -oj- 2 cr3 ZK чт0 соответствует пересечению двух граней призмы Треска, образующих ребро- соответствующее напряженному состоянию.
Согласно зависимости А. Хаара и Т. Кармана между главными напряжениями, максимальное касательное напряжение достигается на конусе с раствором угла я"/ с осью вдоль главного напряжения Gl.
При разработке обобщенного ассоциированного закона пластического течения выяснилось фундаментальное значение условия пластичности Хара-Кармана в теории малых упруго пластических деформаций.
Губер [327] и Р. Мизес [217] (приблизительно в 1904 г. Губер , а в 1913 г. Р. Мизес) ввели квадратичное условие пластичности, причем Р. Мизес связал его с предельным значением упругой энергии формоизменения изотропного тела и предложил математическую форму условия пластичности проще, чем уравнение грани призмы Треска, данное М. Леви.
Условие пластичности Губера-Мизеса представляет собой цилиндр в пространстве главных напряжений, направляющая которого параллельна гидростатической оси (aj-a2)2 +(ст2-ст3)2 (о-з- )2 =4k2. Понятие «жесткопластического тела», предложенное Прандтлем (1921 г.) [335], послужило одной из основ теории идеальной пластичности. Он показал, что система квазилинейных уравнений, предложенная Б. Сен-Венаном (Г.2), принадлежит к гиперболическому типу. Прандтль вычислил предельные нагрузки для вдавливаемого жесткого штампа в идеально пластическое полупространство, предложив свою форму построения сетки линий скольжения под штампом, усеченный клин, аналитически решил задачу о сдавливании полосы шероховатыми плитами. В 1928 г. Р. Мизес установил ассоциированный закон пластического течения для гладких поверхностей текучести, введя принцип максимума («принцип максимума Мизеса»). Принципа максимума позволил объяснить, что для построения теории пространственного течения М. Леви использовал уравнение грани призмы Треска, условие несжимаемости и соотношения пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей деформаций, т.е. М. Леви соединил условие пластичности Мизеса с уравнением грани призмы Треска. Разработка указанных соотношений позволила решать задачи теории обработки металлов давлением, несущей способности строительных конструкций, оснований фундаментов и самое основное- сформулировать основные теоремы теории изотропного идеально пластического тела.
В начале XX века наиболее яркие работы были представлены Гейрингер (1930 г.), которая получила соотношения скоростей перемещений вдоль линий скольжения. До середины XX века С.Г. Михлин [222], С.А. Христианович [294] получили результаты, связанные с интегрированием уравнений плоской задачи в теории идеальной пластичности.
В предположении, как Хаар и Карман, что условие текучести определяется не одним, а двумя соотношениями, А.Ю. Ишлинский [114] предложил описание пространственного течения идеально-пластического тела в виде следующих соотношений: - уравнения равновесия
дах [ даху [ daxz =0 дх ду dz
даху [ д ту [ до-yz дх ду dz (Г.4)
dVxz , а° , daz =0. дх ду dz
- условия совпадения главных осей тензора напряжений и скоростей деформации, условие изотропии
хуя + ayyz + °yzz = 7 у +СТг-ЄУ+ Gzyz T zx + °yzxy + а Є» = ° Є™ + ахуЄУ + а Є (1 -5)
- условие несжимаемости
ех+еу+ег=0,
ди dv dw n
— + — + — = 0; (Г 6)
дх ду dz К }
- условие пластичности
fl(v,h h) = 0, /2(ст,І2,Із) = 0, (1\7)
где a, 12-, І з - инварианты тензора напряжений
cr = (ax + cry + crz)/3,
2 2 2
12 = тхсгу + Jy yz + crzax - axy - ayz - azx,
2 2 2
h = Vx&yVz + 2crxycryzcrxz - x yz - Vy&xz -Vz&xy (! •8)
To, что для изотропного тела пространственное пластическое течение возможно только при условии пластичности соответствующем ребру призму Треска, было показано в 1959 г. Д.Д.Ивлевым.
Следует отметить, что Р. Мизесом [331] распространил предположение о существовании пластического потенциала для изотропных сред на среды анизотропные, что стало началом исследований предельных состояний анизотропных сред. В основе его теории лежит предположение о том, что условие пластичности анизотропного тела представляет собой некоторую квадратичную функцию напряжений, инвариантную относительно точечной группы преобразований координат, характеризующей симметрию свойств этого тела. Кроме того, предполагалось, что анизотропное тело обладает свойством идеальной пластичности и несжимаемо, отсутствует эффект Баушингера, функция текучести совпадает с пластическим потенциалом скоростей деформаций. Условие пластичности Мизеса в общем случае анизотропии содержит пятнадцать констант материала, а для ортотропного материала их количество уменьшается до шести. В.Л. Герман [45] в качестве основного недостатка условия текучести Мизеса отмечает отсутствие физической трактовки этого условия. В. Ольшак [333] показал, что при определённых соотношениях между упругими характеристиками анизотропного тела условие текучести Мизеса может трактоваться как энергетическое.
В середине XX века Р. Хилл [297] вновь вернулся к исследованию условия текучести Мизеса для случая ортотропного тела, когда в каждой точке существуют три взаимно ортогональные плоскости симметрии механических свойств. Наиболее простую форму это условие принимает в системе координат, связанной с главными осями анизотропии. В этот же период Маховер [216] исследовав квадратичное условие пластичности для материала с моноклинной сингониеи получил соотношения, из которых результаты, полученные Р. Хиллом, вытекают, как частный случай.
Анализом течения жёсткопластического ортотропного материала в условиях плоского напряжённого состояния и плоской деформации, при использовании соотношений Хилла, занимались Арышенский В.Ю., Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В., Быковцев Г.И. , Геогджаев В.О., Дмитриев A.M., Кухарь В.Д., Ренне И.П., Яковлев СП., Кузин В.Ф., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. [11, 12, 26, 37, 40-43, 58, 59, 82, 229, 252-255, 277-282, 307, 313-316]. Благодаря трудам вышеперечисленных авторов, началось обобщение критериев прочности и пластичности для изотропных материалов на анизотропные материалы. При этом следует отметить характерный недостаток- число экспериментов для нахождения констант резко увеличивалось, так критерий Мизеса-Хилла требует шести опытов на растяжение - кручение в главных осях ортотропии. Девять опытов при обобщенном критерия прочности В.Н.Захарова [91] и двенадцать, в случае ортотропного материала с различными механическими свойствами при растяжении и сжатии в критерии Соботки [342].
Сингулярные условия пластичности изотропных материалов пытаются применить к анизотропным ученые Ю. Н. Шевченко, Р. Г. Терехов [306], они предлагают некоторые кусочно-линейное условие текучести самого общего вида интерпретировать в пространстве напряжений неправильной призмой, образующая которой параллельна гидростатической оси, при этом девиаторное сечение указанной поверхности будет являться выпуклым многоугольником. Гольденблат И.И. и Копнов В.А., в своем труде: «Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов» [49], проводят анализ регулярных и сингулярных предельных поверхностей, являющихся обобщением всевозможных изотропных критериев, этим же занимается Кравчук А.С. в своей работе: «О теории пластичности анизотропных материалов» [141]. В рассмотренных работах проведен достаточно полный анализ как регулярных, так и сингулярных предельных поверхностей, являющихся обобщением всевозможных изотропных критериев, и потому рассмотрим работы, которые не рассматриваются в вышеприведенных обзорах. В основном к ним можно отнести труды: Косарчука В.В., Ковальчука Б.И., Лебедева А.А. «Теория пластического течения анизотропных сред» [139], Прагера В., Ходжа Ф. «Теория идеально пластических тел» [246], Попова Е.А. «Основы теории листовой штамповки» [245], Толоконникова Л.А., Яковлева СП., Кузина В.Ф. «Плоская деформация со слабой пластической анизотропией» [279]. При построении теории идеальной пластичности предельные условия S = S для каждого изотропного подпространства (S - соответствующая каждому из них квадратичная форма тензора напряжений, S - экспериментально определяемые величины) для всего пространства аппроксимируют кусочно-линейными поверхностями, т.к. в одномерных подпространствах не предполагается различия в пределах текучести на растяжение и сжатие, количество экспериментов для нахождения Sok равно числу собственных подпространств. Толоконников Л.А., Яковлев СП. и Кузин В.Ф. [279], рассматривают условия пластичности, как функции инвариантов тензора напряжений, они предлагают условие пластичности считать-экспериментально определяемой, по коэффициентам, функцией линейных и квадратичных инвариантов //, ..., 1п тензора напряжений, то есть если Ф(1],...,1п) Ф0, где Ф0 может зависеть от истории нагружения, то связь между напряжениями и скоростями деформации квазилинейна. А.С.Кравчук в своей работе «О теории пластичности анизотропных материалов» [141], описывает некоторые особенности пластического деформирования анизотропных материалов по теории течения и деформационной теории пластичности с использованием понятия собственных напряженных состояний, введенных Я. Рыхлевским [257]. В работе А.А. Лебедева, Б.И. Ковальчука и В.В. Косарчука [139] предложено в главных осях напряжений и анизотропии условие текучести трансверсально-изотропных материалов, отражающее долевой вклад октаэдрических и максимальных касательных напряжений в наступлении текучести. В пространстве напряжений это условие (для нахождения которого необходимо провести четыре эксперимента) в зависимости от значений входящих в него параметров геометрически интерпретируется как гладкой (регулярной), так и сингулярной поверхностью. Эти же авторы, обобщают рассмотренное условие для произвольного напряженного состояния ортотропных материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению сжатию, представляя его в пятимерном пространстве напряжений S/j \ в виде [t1(Y.SJ/r])1/2 + (l-i1)YJcjSj]2+ (1\9)
+ IdSJ;/rj2 = l(j = l,2,k = 3,...,5), В данном условии неизвестные параметры определяются на основании характеристик: ар1т,ст т,с7Р2т,и]т,аС2т,с сіт,т12т 2Вт 31т 2т? то есть из десяти опытов.
К теориям пластического течения, в которых учитывается зависимость текучести от гидростатических напряжений, относятся исследования М.А. Грекова [52] . В самом общем случае анизотропии в условии текучести присутствуют девять неизвестных констант. Также автор указывает на необходимость одновременного исследования как упругих, так и пластических свойств материалов в полном объеме. Икегами в работе «Эксперименты пластичности над анизотропными материалами» [329] систематизирует критерии предельного состояния материалов, анизотропия которых вызвана предварительной пластической деформацией, при этом основное внимание уделено различиям формы поверхности текучести в начальном состоянии и его трансформация при пластическом деформировании.
Изотропные изображающие пространства.
Далее обратимся к исследованиям, в которых рассматриваются различные аспекты преобразования анизотропного тела к изотропному изображению. Одно из направлений - представление поведения анизотропного тела в "изотропном изображающем пространстве" - основано на математических преобразованиях пространства напряжений, скоростей деформаций, то есть на формальном введении А.А. Ильюшиным "изотропных" тензоров типа s(kl) = c(kl) (hi) (V{0)
При исследовании трансверсально-изотропного материала Н.Б. Алфутова [5-7] использовала этот принцип А.А. Ильюшина.
Другим подходом, является принятие пластического потенциала в виде квадратичной функции компонент напряжений предложенное Л.А. Толоконниковым и Н.М. Матченко [204, 275], при этом коэффициенты анизотропии Ау определяются экспериментально. Обобщенные напряжения Sjj =ajj(Afci )(7 1 в таких случаях выбираются так, чтобы условие текучести в пространстве % сводилось к требованию постоянства обобщенного октаэдрического напряжения. Скорости пластических деформаций находятся как градиенты к данным поверхностям.
Следующий вариант - это непосредственное введение тензора напряжений, а иногда и скоростей деформаций, в "изотропном" представлении, причем необязательно, что связь ау с обобщенными напряжениями s-y анизотропного тела будет линейной, предложенный J.
Betten [318]. Пластический потенциал в данном случае рассматривается как скалярная функция "изотропных" инвариантов.
Толоконников Л.А. и Матченко Н.М. [202, 204, 275, 276], при формулировке предельных состояний и законов течения анизотропных материалов предлагают использовать линейные преобразования пространств координат, компонент вектора скорости, компонент тензора напряжения и скорости пластических деформаций. В преобразованном пространстве все операции производятся так же, как и в изотропном. Причем в отличие от предыдущих работ, одним из условий, накладываемых на матрицу преобразования, является тождественность мощности диссипации механической энергии при пластическом течении в физическом и изображающем изотропном пространстве. Требование изотропии преобразованного пространства накладывает ограничения на пластические характеристики материала. При формулировке условий пластичности, по мнению многих рассмотренных авторов, необходимо руководствоваться условиями:
- условие предельного состояния должно максимально точно описывать поведение реального материала,
- для определения констант, входящих в предельное условие, проводить минимум экспериментов,
- условие предельного состояния должно быть математически целесообразным, т.е. по крайней мере, в рамках жесткопластической модели, приводить к уравнениям гиперболического типа.
Т.к. исследования предельных условий для материалов с произвольной анизотропией является весьма сложными, в дальнейшем остановимся на квадратичном условии пластичности.
Анализ постановок задач осесимметричного течения изотропных и трансверсально-изотропных сред и методов решения.
Следует отметить, что в настоящее время наиболее малоизученными остаются вопросы — по отработке методов решения практически важных задач осесимметричной деформации с учетов анизотропии;
- по изучению пластического течения анизотропных, неоднородных тел в условиях плоско-напряденного и плоско-деформированного состояний; - по установлению одновременного влияния анизотропии и неоднородности на силовые и деформационные параметры процессов обработки металлов давлением;
- в отечественной и зарубежной литературе практически отсутствуют данные по изучению изменения анизотропии и неоднородности механических свойств различных материалов в зависимости от изменения температуры;
-практически отсутствуют работы по исследованию анизотропии в процессах осесимметричной деформации.
Вместе с тем, проведем обзор работ авторов занимающихся определением поля характеристик (сетки линий скольжения) для анализа напряженно деформированного состояния тела в процессах обработки металлов давлением.
Осесимметричное напряженное и деформированное состояние описывается компонентами напряжений и компонентами скоростей деформации отнесенными к цилиндрическим координатам. Указанные компоненты известным образов входят в уравнения равновесия, условие текучести и уравнения связи компонент напряжений и компонент скоростей деформации см. (2.2-2.7). Уравнения составляют систему семи уравнений для определения семи неизвестных (4 компоненты напряжения, 2 компоненты скорости и скалярный множитель). В общем случае, эта система является эллиптической, решение которой в настоящее время практически не изучено. Имеется только три уравнения, содержащих одни напряжения, четвертое может быть получено из уравнений связи посредством исключения 2-х компонент скорости и скалярного множителя, так как в физической задаче устанавливаются граничные значения напряжений, а не их производных, то для того, быть уверенным в однозначности решения, в любом случае быть рассмотрены уравнения для скоростей. Поэтому, вообще говоря, задача не является статически определимой.
Решения некоторых задач могут быть получены с введением "полной пластичности", предложенного Хааром и Карманом [293]. Применяя указанную гипотезу, Генки Г. [38] и Ишлинский А.Ю., [116] рассмотрели задачу о вдавливании жесткого цилиндрического штампа в полупространство. Ишлинский А.Ю. также исследовал задачу о вдавливании жесткого шара в пластическую среду, также условие полной пластичности широко используется в разработке инженерных расчетов обработки металлов давлением.
Некоторые точные частные решения осесимметричных задач получены полуобратным методом. Отметим здесь задачи Соколовского В.В. о течении пластической массы в круговом конусе и об осесимметричном радиальном перемещении упрочняющейся массы. Решение отыскивалось автором в предположении радиального течения.
Хилл Р. [297], используя обратный метод, построил решение о сжатии цилиндра усилиями, распределенными на торцах по определенному закону. Им рассмотрена задача о вдавливании металлического стерня из сжимающейся цилиндрической втулки по аналогии с циклоидальным решением Прандтля для массы, сжатой между шероховатыми плитами, а также ряд других задач (о цилиндрической трубе подверженной действию осевого растяжения внутреннего давления, об обжатии труб, о распределении давления в шейке растягиваемого образца, о сжатии цилиндра шероховатыми плитами).
Все вышеизложенные решения получены с использованием условия текучести Губера-Мизеса. Положение изменяется, если применяется критерий текучести Треска. Напряженное состояние в этом случае может быть представлено сторонами или вершинами шестигранной призмы, Шилд [338], используя критерий текучести Треска, получил замкнутое решение для полупространства, подвергающегося действию цилиндрического штампа и исследовал задачу о течении идеально-пластического и упрочняющегося материала в конической канале. Ивлев и Ершов для решения осесимметричных задач применили метод возмущений, используя упруго-пластическую модель. Таким образом, была рассмотрена задача о толстостенной конической трубе, подвергающейся внешнему давлению.
Следует отметить однако, что при использовании условия текучести Треска заранее, вообще говоря, неизвестны границы зон, отвечающих за различные режимы. Построение решения требует тщательного анализа расположения зон с различными режимами и выполнения всех надлежащих ограничений и условий совместности.
При этом возникают трудности точного интегрирования дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности, что заставило многих исследователей при решении осесимметричных задач по определению деформирующих усилий (при осадке, вытяжке, прошивке, выдавливании, волочении и т.д.) вводить упрощающие предпосылки, составлять для каждого случая упрощенные уравнения равновесия и решать их совместно с условием пластичности. Все это составило основу инженерного метода.
Для решения осесимметричных задач установившегося течения может быть использован визиопластический метод, предложенный Э. Томсеном и сотрудниками [287.1]. Метод предусматривает использование координатной, наносящейся на меридиональную плоскость цилиндрического образца, с целью экспериментального установления векторного поля скоростей, определение скоростей деформации и определение напряжений с помощью уравнений связи. В настоящее время при решении осесимметричных задач широко применяется метод верхней оценки Кудо-Кабояши [329.1], заключающийся в распространении введенного понятия единичной прямоугольной области деформации (для случая плоской деформации) на анализ осесимметричных задач и в рассмотрении допустимых полей скоростей.
Некоторыми исследователями сделаны попытки найти такие методы анализа, которые достоверно отражали бы действительный механизм осесимметричной деформации.
Так же предлагается метод, делящийся развитием метода Shabalk, Altan, которые ввели понятие о функции тока и применили визиопластичный способ исследования с использованием счетно-решающего устройства. Известен метод, когда на основе условия пластичности Хаара-Кармана определяется усилие осесимметричного прессования. При этой вводится полуобратный метод, предполагающий, что нормальные и касательные напряжения распределены на контактной поверхности по прямолинейному закону и, что поле скоростей определяется для граничных условий исходя из скоростей жестких зон, расположенных вреди и сзади пластической зоны. В заключение следует ответить, что во всех вышеизложенных методах решения осесимметричных задач, в основном, рассматривается идеальный жестко-пластический изотропный материал, в как в практике технологических задач приходится иметь дело с анизотропным материалом.
Известна работа В.О. Геогджаева [43], в которой решается задача волочении через коническую матрицу тонкостенных труб из изотропного материала, подчиняющегося условию текучести Мизеса-Хилла. Показывается, что анизотропия существенно влияет на напряженно деформированное состояние труб при волочении.
Так же следует отметить, что теоретический анализ процессов пластического формоизменения анизотропных материалов связан со значительными математическими трудностями. Поэтому в большинстве решений анизотропия механических свойств учитывается на основе эксперимента. Несмотря на значительное число работ, посвященных исследованию анизотропии и её влияния на процессы пластического формоизменения, многие вопросы, связанные с анизотропией, требуют дальнейшей разработки.
Постановка основных задач диссертационного исследования.
Целью настоящего диссертационного исследования является рассмотрение осесимметричных задач теории пластичности, в частности постановка численного эксперимента по исследованию осесимметричного течения трансверсально-изотропного материала (вдавливание штампов в полупространство), экспериментальное исследование закона пластического течения прокатных материалов и, как следствие развитие теории осесимметричного течения трансверсально-изотропных материалов.
Гипотеза о квазинесжимаемости пластического течения трансвер-сально-изотропного материала
To, что для изотропного тела пространственное пластическое течение возможно только при условии пластичности соответствующем ребру призму Треска, было показано в 1959 г. Д.Д.Ивлевым.
Следует отметить, что Р. Мизесом [331] распространил предположение о существовании пластического потенциала для изотропных сред на среды анизотропные, что стало началом исследований предельных состояний анизотропных сред. В основе его теории лежит предположение о том, что условие пластичности анизотропного тела представляет собой некоторую квадратичную функцию напряжений, инвариантную относительно точечной группы преобразований координат, характеризующей симметрию свойств этого тела. Кроме того, предполагалось, что анизотропное тело обладает свойством идеальной пластичности и несжимаемо, отсутствует эффект Баушингера, функция текучести совпадает с пластическим потенциалом скоростей деформаций. Условие пластичности Мизеса в общем случае анизотропии содержит пятнадцать констант материала, а для ортотропного материала их количество уменьшается до шести. В.Л. Герман [45] в качестве основного недостатка условия текучести Мизеса отмечает отсутствие физической трактовки этого условия. В. Ольшак [333] показал, что при определённых соотношениях между упругими характеристиками анизотропного тела условие текучести Мизеса может трактоваться как энергетическое.
В середине XX века Р. Хилл [297] вновь вернулся к исследованию условия текучести Мизеса для случая ортотропного тела, когда в каждой точке существуют три взаимно ортогональные плоскости симметрии механических свойств. Наиболее простую форму это условие принимает в системе координат, связанной с главными осями анизотропии. В этот же период Маховер [216] исследовав квадратичное условие пластичности для материала с моноклинной сингониеи получил соотношения, из которых результаты, полученные Р. Хиллом, вытекают, как частный случай.
Анализом течения жёсткопластического ортотропного материала в условиях плоского напряжённого состояния и плоской деформации, при использовании соотношений Хилла, занимались Арышенский В.Ю., Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В., Быковцев Г.И. , Геогджаев В.О., Дмитриев A.M., Кухарь В.Д., Ренне И.П., Яковлев СП., Кузин В.Ф., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. [11, 12, 26, 37, 40-43, 58, 59, 82, 229, 252-255, 277-282, 307, 313-316]. Благодаря трудам вышеперечисленных авторов, началось обобщение критериев прочности и пластичности для изотропных материалов на анизотропные материалы. При этом следует отметить характерный недостаток- число экспериментов для нахождения констант резко увеличивалось, так критерий Мизеса-Хилла требует шести опытов на растяжение - кручение в главных осях ортотропии. Девять опытов при обобщенном критерия прочности В.Н.Захарова [91] и двенадцать, в случае ортотропного материала с различными механическими свойствами при растяжении и сжатии в критерии Соботки [342].
Сингулярные условия пластичности изотропных материалов пытаются применить к анизотропным ученые Ю. Н. Шевченко, Р. Г. Терехов [306], они предлагают некоторые кусочно-линейное условие текучести самого общего вида интерпретировать в пространстве напряжений неправильной призмой, образующая которой параллельна гидростатической оси, при этом девиаторное сечение указанной поверхности будет являться выпуклым многоугольником. Гольденблат И.И. и Копнов В.А., в своем труде: «Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов» [49], проводят анализ регулярных и сингулярных предельных поверхностей, являющихся обобщением всевозможных изотропных критериев, этим же занимается Кравчук А.С. в своей работе: «О теории пластичности анизотропных материалов» [141]. В рассмотренных работах проведен достаточно полный анализ как регулярных, так и сингулярных предельных поверхностей, являющихся обобщением всевозможных изотропных критериев, и потому рассмотрим работы, которые не рассматриваются в вышеприведенных обзорах. В основном к ним можно отнести труды: Косарчука В.В., Ковальчука Б.И., Лебедева А.А. «Теория пластического течения анизотропных сред» [139], Прагера В., Ходжа Ф. «Теория идеально пластических тел» [246], Попова Е.А. «Основы теории листовой штамповки» [245], Толоконникова Л.А., Яковлева СП., Кузина В.Ф. «Плоская деформация со слабой пластической анизотропией» [279]. При построении теории идеальной пластичности предельные условия S = S для каждого изотропного подпространства (S - соответствующая каждому из них квадратичная форма тензора напряжений, S - экспериментально определяемые величины) для всего пространства аппроксимируют кусочно-линейными поверхностями, т.к. в одномерных подпространствах не предполагается различия в пределах текучести на растяжение и сжатие, количество экспериментов для нахождения Sok равно числу собственных подпространств.
Вычисление характеристик пластической анизотропии
В теории идеальной пластичности изотропных и анизотропных сред широко используется гипотеза о несжимаемости пластического течения. Благодаря этой гипотезе квадратичное условие пластичности изотропных и анизотропных сред удается выразить только через девиаторные компоненты тензора напряжения. Условие несжимаемости накладывает ограничения на характеристики пластической анизотропии среды. В частности для трансвер-сально-изотропного материала гипотеза о несжимаемости накладывает два ограничения на пластические характеристики.
Покажем, что переход в аффинные пространства позволяет уменьшить количество этих ограничений. Среди бесконечного множества аффинных пространств найдем такие пространства, в которых пластическое течение трансверсально-изотропного материала будет несжимаемым. Свойство несжимаемости анизотропного материала в аффинном пространстве будем называть квазинесжимаемостью.
1. Введение аффинных пространств не накладывает никаких ограничений на характеристики пластической анизотропии материала.
2. Гипотеза о квазинесжимаемости трансверсально-изотропного материала в аффинном пространстве накладывает только одно ограничение на пластические характеристики трансверсально-изотропного материала, в то время как гипотеза о несжимаемости пластического течения в физическом пространстве накладывает два ограничения.
3. Следовательно, гипотеза о квзинесжимаемости является менее жесткой, чем гипотеза о несжимаемости в физическом пространстве.
4. Гипотеза о несжимаемости пластического течения трансверсально-изотропного материала в физическом пространстве является частным случаем гипотезы о квазинесжимаемости пластического течения в аффинных пространствах.
5. Условие пластичности (1.10) описывает более широкий класс транс-версалыю-изотропных материалов, нежели условие пластичности Мизеса-Хилла.
Для проверки гипотезы о квазинесжимаемости были проведены эксперименты по пластическому деформированию листовых прокатных материалов.
Испытаниям были подвергнуты образцы алюминиевого сплава АДО, меди Ml, латуни Л63, титанового сплава ВТ1, сталей ОХ18Н10Т и 08кп с различной исходной толщиной hg, широко используемых в различных отраслях промышленности. Эксперименты проводились под руководством профессора Яковлева СП.
В проведенных экспериментах одноосному растяжению подвергались плоские стандартные образцы, вырезанные под углом 0, 45 и 90 по отношению прокатки по шесть штук каждого вида, в соответствии с ГОСТ 11701-84 (при ho 4мм) и ГОСТ 1497-84 (при h0 4мм). Схема раскроя листов и вырезки образцов приведена на рис. 2.1, 2.2. Точность размеров образцов обеспечивалась их обработкой в специальных шаблонах.
Предварительно перед испытаниями на образец в зоне расчетной длины ад наносились квадратные ячейки со стороной 10 мм, которые при погрешности измерения размера 0,004... 0,005 мм обеспечивают точность получения величин с ошибкой, не превышающей 0,25 %.
Ячейки с точностью до 0,0025...0,003 мм наносились алмазным ин-дентором на измерительном микроскопе УИМ-21 с приставкой ПМТ-3. Усилие на инденторе подбиралось таким образом, чтобы глубина рисок не влияла на характер разрыва образца, и в то же время риска была устойчива и хорошо просматривалась при измерении ячейки после растяжения образца.
Растяжение образцов производилось по этапам на универсальных испытательных машинах Р-5 и УМЭ-ЮТМ до разрушения с записью индикаторных диаграмм.
До испытаний и на каждом этапе испытаний размеры ячеек образцов измерялись на том же микроскопе. Также, замеры длины а, ширины b и толщины h в процессе эксперимента измерялись микрометром со сферическим наконечником малого радиуса с точностью 0,005 мм.
Отличие проводимых экспериментов от известных, заключалось в том, что одновременно замерялись три деформационные характеристики: по длине, ширине и толщине. Обычно измерялись только две, а третья вычислялась из условия несжимаемости пластического течения.
На каждом этапе фиксировалось усилие, изменение длины, ширины и толщины образца в области нанесенных ячеек и находятся величины коэффициентов анизотропии F = eh/ea, Q = eb/ea (2.1) где еа = 1п(а/ ад), efr = ln(b/bg), е = ln(h/hg), a ад, bg, fig, a, b, h- исходная и текущая на каждом этапе растяжения в процессе деформации длина, ширина и толщина ячейки образца в пределах равномерной деформации. Так же определяется величина коэффициентов анизотропии Fa, Qa вырезанного под углом «, на каждом этапе деформирования по замерам ячейки
Условие полной пластичности трансверсально-изотропной среды в осесимметричной задаче
Задача о вдавливании круглого штампа с плоским основанием в полупространство является характерным примером осесимметричных задач теории пластичности. В настоящем исследовании решение задачи о вдавливании круглого штампа с плоским основанием проводилось в аффинных пространствах и в предположении, что трение между поверхностью полуплоскости и торцом штампа отсутствует. В этом случае нормаль к поверхности штампа и контакта среды будет являться первым главным направлением для тех элементов тела, которые расположены у этой поверхности.
На свободной поверхности, (отрезок ОА) см. рис. 4.1, граничные условия для напряжений будут следующие =0, Трд = 0, тдфО, а исходя из свойств линий скольжения, получим, что линии скольжения подходят к свободной границе среды около штампа под углом +/?, где /? = я74. Решением данной осесимметричнои задачи является поочередное рассмотрение краевых задач, а именно: задачи Соколовского- Гурса (область ВОС), Коши (область АОВ) и смешанной (область COD) см. рис. 4.1. Основным способом решения указанных задач является интегрирование гиперболических уравнений (см. 3.55), записанных с учетом граничных условий для каждой конкретной задачи, с применением метода конечных разностей.
В настоящем решении задачи о вдавливании круглого штампа, с плоским основанием в трансверсально-изотропное полупространство, рассматривалась конструкция поля линий скольжения под штампом в пластической области, предложенная Р. Хиллом, см. рис. 4.1.
Выдвинем гипотезу о том, что небольшое искривление поверхности вокруг штампа, которое происходит при пластическом деформировании, не влияет на напряженное состояние материала под штампом и, что границу среды вне контакта со штампом можно считать плоской. На самом деле, следует отметить, что для обеспечения чистоты эксперимента свободная граница среды может считаться плоской лишь в том случае, если предварительно сделана выемка материала в форме штампа и его сила давления на среду не больше предельного значения, при превышении которого штамп начинает погружаться в среду. Будем полагать трение между поверхностью среды и поверхностью штампа отсутствующим. При этом нормаль к поверхности контакта среды и штампа оказывается первым главным направлением для тех элементов среды, которые примыкают к этой к этой поверхности. Для элементов среды, расположенных на окружности раздела свободной границы среды и поверхности контакта, первое главное направление неопределенно зависит от пути, по которому совершается приближение к точкам раздела.
Следует отметить, что конечно-разностные соотношения для изотропных материалов по форме совпадают с аналогичными выражениями (4.4) в модифицированных пространствах, меняются лишь комбинации значений коэффициентов Лі Л2» определяемые в зависимости от значений пределов текучести , в безразмерной форме, полученных из экспериментов по одноосному растяжению образцов, вырезанных в направлении осей Р» $ и под углом 45 к ним в плоскости
Построение сетки линий скольжения, при вдавливании круглого штампа с плоским основанием в трансверсально-изотропное полупространство, вообще говоря, сводится к решению ряда задач, в частности Соколовского- Гурса (область ВОС), Коши (область АОВ) и смешанной (область COD) см. рис. 4.1.
Построение сетки характеристик начинается со свободной поверхности и заканчивается под штампом. Решение задачи Соколовского- Гурса (область ВОС), Коши (область АОВ) и смешанной (область COD) см. рис. 4.1., в начальный момент пластического течения следует начинать с построения сетки характеристик (линий скольжения), получаемой из совместного решения в конечных разностях уравнений (3.55). Итак, поместим начало цилиндрической системы координат, в плоскость, содержащую свободную границу среды, а ось $ направим по оси симметрии внутрь среды, рис. 4.1. Оси $ и Р в силу симметрии являются главными направлениями деформации среды в точках оси $ и близки к главным направлениям в точках, расположенных около этой оси. Радиальное направление в штампе также является всюду главным.
Рассмотрим ряд характерных случаев, возникающих при построении сетки характеристик (линий скольжения), определения искомых неизвестных в поле сетки линий скольжения с помощью конечно-разностного метода.
Построение сетки линий скольжения при вдавливании круглого штампа с плоским основанием в трансверсально-изотропное полупространство
Задача о вдавливании круглого штампа со сферическим основанием в
полупространство является характерным примером осесимметричных задач теории пластичности. В настоящем исследовании решение задачи о вдавливании круглого штампа со сферическим основанием проводилось в аффинных пространствах и в предположении, что трение между поверхностью полуплоскости штампом отсутствует. В этом случае нормаль к поверхности штампа и контакта среды будет являться первым главным направлением для тех элементов тела, которые расположены у этой поверхности.
Итак, рассмотрим схему вдавливания круглого штампа со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство.
Схема вдавливания круглого штампа со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство
На свободной поверхности, (отрезок ОА) см. рис. 4.35., граничные условия для напряжений будут следующие z = 0, хрд =0, Т0 О, а исходя из свойств линий скольжения, получим, что линии скольжения подходят к свободной границе среды около штампа под углом ±/?, где /? = я74. Решением данной осесимметричной задачи является поочередное рассмотрение краевых задач, а именно: задачи Соколовского- Гурса (область ВОС), Коши (область АОВ) и смешанной (область COD) см. рис. 4.35. Основным способом решения указанных задач является интегрирование гиперболических уравнений (см. соотношения 2.77), записанных с учетом фаничных условий для каждой конкретной задачи, с применением метода конечных разностей. Следует отметить, что конечно-разностные соотношения для изотропных материалов по форме совпадают с аналогичными выражениями (4.4) в модифицированных пространствах, меняются лишь комбинации К К значений коэффициентов і 2» определяемые в зависимости от значений пределов текучести , в безразмерной форме, полученных из экспериментов по одноосному растяжению образцов, вырезанных в направлении осей Р $ и под углом 45 к ним в плоскости 7 ".
Построение сетки линий скольжения, при вдавливании круглого штампа со сферическим основанием в трансверсально-изотропное полупространство, невозможно без решения ряда задач, в частности Соколовского- Гурса (область ВОС), Коши (область АОВ) и смешанной (область COD) см. рис. 4.35. Причем в области COD решение смешанной задачи производится для случая когда нехарактеристическая кривая OD-является частью образующей полусферы штампа. То, что OD- является частью образующей полусферы штампа, не влияет на значения углов подхода линий скольжении к штампу # и т.к. OD свободная от трения фаница среды, согласно нашему допущению, то согласно свойств линий скольжения, они подходят к свободной от трения фанице под 45.
Линии скольжения будем строить, начиная со свободной поверхности, в направлении к основанию штампа. Решение задачи Соколовского- Гурса (область ВОС), Коши (область АОВ) и смешанной (область COD) в начальный момент пластического течения следует начинать с построения сетки характеристик (линий скольжения), получаемой из совместного решения в конечных разностях уравнений (4.1, 4.2). Итак, поместим начало цилиндрической системы координат, в плоскость, содержащую свободную границу среды, а ось S" направим по оси симметрии внутрь среды, рис. 4.35. Оси $ и Р в силу симметрии являются главными направлениями деформации среды в точках оси S" и близки к главным направлениям в точках, расположенных около этой оси. Радиальное направление в штампе также является всюду главным.
При построении сетки линий скольжения будем использовать материалы с соотношением механических характеристик аналогичными, как для штампа со сферическим основанием, согласно табл. 4.1.
Рассмотрим задачу Коши (область АОВ), см. рис. 4.36. Построение ведется из точки А. Серией расчетов, при использовании соотношений (4.4), можно определить значения неизвестных
р, д, /3, р во всей области АОВ. Следует отметить, что в точке О, рис. 4.36, нарушается непрерывность внешней нагрузки, а следовательно, и напряжений.
Детально рассмотрим решение задачи Коши в области АОВ. Исходными являются точки, расположенные на положительной полуоси Р, по которой действует нормальное давление р. Количество точек определяется точностью вычислений. Абсциссы точек на линии ОА находятся по соотношению р0/+1 = p0i + (лр)/, / = 1,2,3 п, где др- шаг по переменной рг Для точек [0,0] и [0,1] имеет р[00] = 0, р[01]=др. Ординаты точек на линии ОА равны 0. Вычисляем значения р и /? в точках [0,0] и [0,1] по условиям (4.4). По вычисленным значениям р, д, /?, р в точках [0,0] и [0,1], используя приведенные выше разностные соотношения, можно определить значениям р, д, /?, р в точке [1,1] характеристики ОВ. Затем вычисляются Р[02]=Р[0Ц+(АР\, р[02], Д02].
Зная значения неизвестных параметров в точках [0,2] и [0,1], можно найти значения р, д, J3, р в точке [1,2] , используя соотношения (4.4). Значения р, д, /?, р в точке [1,1] и [1,2] позволяют найти аналогичные неизвестные в точке [2,2], аналогично используя соотношения (4.4). Используя соотношение р[03] = р[02] + [лр)2, а затем применяя соотношения (4.4), определяем неизвестныер, д, Р, р в точках [1,3], [2,3], [3,3]. Остановимся на приведенных иллюстрациях расчета при построении сетки линий скольжения, отметив, лишь, что аналогичным образом производятся все расчеты для всех последующих характеристик второго семейства, из конечных точек которых слагается совокупность точек искомой линии ОВ.
Рассмотрев область АОВ и определив в ней неизвестные/?, д, J3, р, перейдем к центрированной области СОВ - в ней необходимо решить задачу Соколовского- Гурса, см. рис. 4.37. Область СОВ является центрированной -что соответствует вырожденному случаю начальной характеристической задачи Соколовского- Гурса.
Похожие диссертации на Осесимметричная задача теории идеальной пластичности трансверсально-изотропной среды
