Некоторые вопросы теории и задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических сред Радаев Сергей Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Плоские задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел 36

1.1 Основные соотношения теории предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. Плоская задача. 41

1.2 Вдавливание жесткого плоского штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство . 47

1.3 Рассечение и пробой анизотропной идеальнопластической полосы жесткими острым и тупым инденторами .

Глава II. Пространственные задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел 52

2.1 Основные соотношения теории предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. Пространственная задача. 62

2.2 Вдавливание прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство . 65

2.3 Вдавливание четырехгранной пирамиды в анизотропное идеальнопластическое полупространство .

Заключение 69

Литература

• Вдавливание жесткого плоского штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство
• Рассечение и пробой анизотропной идеальнопластической полосы жесткими острым и тупым инденторами
• Вдавливание прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство
• Вдавливание четырехгранной пирамиды в анизотропное идеальнопластическое полупространство

Введение к работе

Диссертационная работа посвящена плоским и пространственным задачам теории идеальной пластичности анизотропных сред.

Изотропные материалы являются частным случаем анизотропных материалов, проявляющих полную симметрию свойств.

Пластическое деформирование материала сопровождается явлением приобретенной анизотропии. Е. И. Шемякин [85] указывает, что «индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация». Материал с приобретенной анизотропией при дальнейшем использовании можно считать начально-анизотропным.

Ниже рассматривается начально-анизотропный идеальнопластический материал. Впервые условие пластичности начально-анизотропного идеаль-нопластического тела было сформулировано Мизесом [61, 106]. Мизес предположил, что выражение удельной энергии формоизменения упругого анизотропного тела является постоянной величиной в процессе деформирования анизотропного идеально пластического тела.

Условие пластичности Мизеса в общем случае можно представить в виде квадратичной функции:

"nivx-Vy? ^+а2з(^у-^г}^+аЗ\{о-_г-0-_х)² +

+ b_]2(a_x-a_y)r_xy+c_n(a_x -o-_y)r_yz+g_]2(a_x-o-_y)r_xz +
+ b₂₃{o-_y-a_z)r_yz+c₂₃(cr_y-a_z)r_xz+g₂₃(a_y -а_г}г„ + (1)

+ bi₃(_z - _x)t_xz + c_l3(a_z -(ТхУф + g_u(a_z - a_x)r_yz + + n_nrly + n₂₂r²_yz + n_3xr²_xz + m_l2T

xz^yz X^xy^yz ^K '

где a_i}, by, c_y, gy, пу, m_tJ, k - константы.

Из полученного Мизесом [61] общего выражения упругой энергии формоизменения при соответствующих предположениях следует условие пластичности Мизеса для изотропного материала:

(сг_х-а_у)² +{a_y-cr_z)² +(cr_z -a_x)²+6( т^ + т²_у2 + z²_xz) = 6k², k₀ = const. (2) где a_x,a_y,_z,r_xy, r_yz, t_xz - компоненты тензора напряжения.

Если в материале ориентация отдельных кристаллов не беспорядочна, то предел текучести и макроскопические зависимости между напряжением и деформацией изменяются с направлением. Например, для сильно прокатанной в холодном состоянии латуни предел текучести при растяжении в направлении, перпендикулярном к прокатке, может быть на 10% выше, чем для направления, параллельного прокатке [97]. Анизотропия свойств материала может явиться следствием в результате механических тепловых обработок. При этом образуется окончательная рекристаллизация текстуры, приближающаяся к текстуре монокристалла (например, прокатанная полоса меди может быть подготовлена так, что изменившиеся размеры зерен делают их кубическими с осями, параллельными краям полосы [103]).

Состояние анизотропии может характеризоваться тремя взаимно ортогональными плоскостями симметрии в каждой точке. Пересечения этих плоскостей известны как главные оси анизотропии. Полоса, вырезанная из центра холоднокатаного листа, представляет собой пример равномерно направленной анизотропии, где главные оси лежат в направлении прокатки, в поперечном направлении в плоскости листа и нормально к этой плоскости [104]. Главные оси в данном элементе могут в процессе непрерывного деформирования изменятся также относительно самого элемента, как, например, при простом сдвиге.

В литературе обычно рассматривается анизотропный материал, в котором главные оси анизотропии совпадают с декартовой системой координат. Условие Мизеса приблизительно описывает течение изотропного материала. Поэтому простейшим условием текучести для анизотропного материала является то, которое сводится к закону Мизеса, когда анизотропия мала.

Хилл [82] предположил, что условие текучести представляет собой квадратичную функцию компонентов.

Хилл [82] рассматривал условие пластичности анизотропного идеально пластического тела в виде:

А(ст_х - ст_у)² + В(ст_у -a_z)² + C(a_z -а_х)² + 2(Fr²_xy + Gz²_yz + Hr²_xz) = 1, (3)

где А, В, С, F, G, H - параметры, характеризующие текущее состояние анизотропии.

Обобщением условия пластичности Мизеса - Хилла (3) является выражение, включающие члены «винтовой» анизотропии.

А(сг_х - о _yf + В(ст_у -ст₂)²+ C(a_z -ст_х)²+ 2{Fv²_xy + Gt²_z + Hv²_xz) + + 2L(a_x -o-y)^ + 2M(a_y - a_z)r_yz + 2N(a_z - a_x)v_xz = 1,

где L, M, N - константы «винтовой» анизотропии.

Термин «винтовая» анизотропия связан с направленным изменением сетки поверхностей скольжения в случае симметричного нагружения, обусловленным величинами L(cr_x-a_y)r_xy,M(a_y-a_z)T_yz, N(a_z-_x)r_xz в условии пластичности (4).

При этом линейные члены не приняты во внимание, поскольку, предполагается, что эффект Баушингера отсутствует. Квадратичные члены, в которых любое из касательных напряжений встречается линейно, отбрасываются из соображений симметрии. Если предположить, что гидростатическое напряжение не влияет на текучесть, то в условии пластичности может фигурировать только разность нормальных компонентов напряжения.

Согласно [2], во многих теориях анизотропной пластичности к числу наиболее важных исходных предположений относятся гипотезы о независимости текучести от среднего нормального напряжения (гидростатического давления) и пластической несжимаемости материала. Предположение о независимости процесса текучести материалов от среднего нормального напряжения было принято в первых теориях анизотропной пластичности Мизесом [61] и Хиллом [82]. Вследствие этого предположения пластические деформации, полученные из ассоциированного закона течения, удовлетворяют условию пластической несжимаемости. Более поздний неквадратичный критерий

Хилла [82] также соответствует этому предположению. Ряд авторов, при разработке подходов к описанию анизотропной пластичности, использовали предположение о независимости текучести от среднего нормального напряжения, ссылаясь, в основном, на опыты Бриджмена. В работе [108] отмечено большое значение в развитии теории пластичности общепринятых предположений о независимости текучести от гидростатического давления и пластической несжимаемости материала. Вопрос о связи между влиянием гидростатического давления на предел текучести материала и его пластической сжимаемостью обсуждался в работе [109]. На различных сталях и полимерах была выявлена [109] заметная зависимость предела текучести от давления, но не обнаружено соответствующего пластического изменения объема. В работе [105] на экспериментальных данных для алюминиевых сплавов и углеродистых сталей подтверждена гипотеза о неизменности объема при неупругом деформировании материалов в пределах деформаций до 4%. Другие авторы [100], используя результаты экспериментов на плоских образцах из алюминиевого сплава, установили нарушение пластической несжимаемости и объяснили это наличием пластической анизотропии исследуемых материалов.

В настоящее время опубликовано множество работ, основывающихся на различных предположениях при описании анизотропной пластичности, в том числе имеются работы, в которых не принимается гипотеза о пластической несжимаемости материала. В работах [95, 110-113] развита теория анизотропной пластичности для пластически сжимаемых материалов. В статье [95] предложен обобщенный потенциал для анизотропного материала, учитывающий эффект Баушингера и пластическую сжимаемость, из которого, как частный случай, получается потенциал Хилла. В этой статье на экспериментальных данных для титанового сплава было показано, что характер изменения кривых текучести существенно зависит от введенного автором параметра сжимаемости.

Хилл [82] показал, если X,Y,Z- пределы текучести при растяжении в главных направлениях анизотропии, то имеют место следующие выражения:

¹ =С₊Л, 2В ^l ' ^l

X² Y² Z² X²'

-\ = A + B, 2C = -L- + -L~-L (5)

Y² Z² X² Y²

¹ =B + C, 2A = -Kr+ ^{l 1}

Z^z X^і Y^l Z'

A,B,C могут быть отрицательными и что это возможно, лишь когда пределы текучести отличаются значительно. Кроме того, В>С, если только X > Y, причем имеют место еще два аналогичных неравенства. Если R,S,T - пределы текучести при сдвиге по отношению к главным осям изотропии, то в этом случае:

2G = \,2H = -\,2F = ^j. (6)

R² S² Т²

Таким образом, F,G,Н -положительные величины. Если в элементе существует круговая симметрия относительно оси z, то форма выражения (3) остается инвариантной для произвольной системы осей х,у. Из условия (3) Хилл получил:

\а + С)а_х -2Аа_хсг_у +(А + В)а_у + 2Fr_xy\-2(Са_х + Ba_y)a_z +

+ 2(gt% + Нті)+ (В + C)a²_z=\. Пусть другие оси (х, ,y_l ,Z]) выбраны так, что ось z_] совпадает с осью z, тогда как ось Х\ наклонена на угол а против движения часовой стрелки относительно оси х. Имеют места следующие соотношения: <7_V = cr_r cos²a + cr_v sin² a - 2r_r,, sin a cos a, <7_y = (7_Xi sin² a + cr_yi cos² a + 2т_Х{Уі sin a cos a,

т„, = _r smacosa-a., smacosa + t_y ,. (cos a-sin a),

^ЛУ ^л1 У\ ^Л\У\

^Txz =^Tx_lz_l^csa-T_yiZlsma,

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы анизотропия была симметрична относительно оси z, будут следующие выражения:

F = B + 2A = C + 2A, G = H. (9)

Если имеет место полная сферическая симметрия или изотропия, то

G = H = F = 3B = 3C = 3A, (10)

если 2В = —, то из выражения (3) получим условие текучести Мизеса.

Для того чтобы полностью описать состояние анизотропии элемента, необходимо знать направление главных осей и значение шести независимых пределов текучести X,Y,Z,R,S,T. Последние должны быть рассмотрены как функции механической и тепловой обработки, поскольку элемент был изотропным, обычно они будут изменяться так же в процессе дальнейшей деформации. Пока не вполне ясно, каким образом количественно связать пределы текучести с микроструктурой, например со степенью предпочтительной ориентации. Пределы текучести определяются посредством механических экспериментов.

Хилл [82] допустил, что /(с_;у) в уравнении (3) представляет собой пластический потенциал. Тогда соотношения, для приращения деформации, отнесенные к главным осям анизотропии, будут иметь вид:

A(a_x-c7_y) + C(c7_x-a_z)_A B(a_y-cr_z) + A(cr_y-(T_x) C(a_z-cr_x) + B(cr_z-a_v)

de_x = dX ds_y = dX ds_z = dX

> dy_yz=dXGr_yz,

, dy_xz=dXHr_xzi (11)

>_xJ'-r_z ~_yJ\, dy_xy=dXFr_xy.

Имеет место тождество ds_x + ds_y + de_z = 0. Если напряжения меняет

знак, то знак приращения деформации также меняется на обратный. Кроме того, если главные оси напряжения совпадают с осями изотропии, то с последними совпадают также и главные оси приращения деформации. В противном случае главные оси напряжения и приращения деформации обычно не совпадают.

Для экспериментального определения состояния анизотропии необходимо, чтобы анизотропия была бы распределена равномерно по объему, достаточному, чтобы можно было вырезать образцы для испытаний на растяжение в произвольном направлении. Тогда, если полоса или цилиндр, вырезанные параллельно оси х анизотропии, находятся в условиях чистого растяжения с напряжением X, то приращения деформации относятся, как

de_x:ds_y\de_z = A + C:-A\-C. (12)

Деформация в каждом поперечном направлении представляет собой относительное упрочнение до тех пор, пока пределы текучести отличаются настолько, что один из двух параметров, А или С, является отрицательным. Укорочение в направлении у больше, если А>С, т.е. если Z>Y; поэтому

деформация в направлении большего предела текучести меньше. Аналогично испытания на растяжение в направлениях у и z дают отношения В/А и С/В. В принципе это допускает непосредственную проверку теории с точки зрения требования (А/С)*. (С/В)х(В/А) = \. Используя полуторадюймовый прокатный алюминиевый лист, Клингер и Закс измеряли деформации в растягиваемых образцах, вырезанных в различных направлениях в плоскости листа и наклонно к нему. Когда образец был перпендикулярен к плоскости прокатки, то два поперечных компонента деформации в пределах экспериментальной ошибки были равны. Если х- направление прокатки, а у- поперечное направление в плоскости прокатки, то это означает, что B~C. Было так же замечено, что одна главная деформация всегда происходила в направлении, параллельном плоскости прокатки. Там, где теория применима, измерения отношений деформации при растяжении образцов, вырезанных в направлениях* и у, обеспечивают благодаря уравнению (5) косвенный метод определения отношений трех пределов текучести при растяжении. Это предпочтительно перед прямым методом, если текучесть недостаточно резко выражена. В частности, когда материал имеет форму тонкого листа, в этом состоят удобные способы определения предела текучести в направления толщины. С

другой стороны, независимые измерения отношений деформации пределов текучести обеспечивают дополнительную проверку справедливости теории.

Для растягиваемого образца, вырезанного под углом а к направлению прокатки, значения коэффициентов А, В, С, F могут быть выведены из наблюдаемой зависимости предела текучести от угла наклона. Максимум и минимум предела текучести при растяжении имеет место вдоль осей анизотропии, а так же в направлениях а , где

2- F-C-2A

tg^za= . (13)

F-B-2A '

Если F>B + 2Ak F > С + 2А, то предел текучести имеет максимальные (неравные) значения в направлениях х и у, а минимальные (равные) значения - в направлениях а . Кук, Палмер и Смит наблюдали такого рода изменения на латуни после различной степени прокатки и отжига. Клинглер и Закс нашли, что предел текучести листа из алюминиевого сплава имеет минимум в направлениях, близких к 45, и что В~С. Если Fи F < С + 2А, то предел текучести имеет минимальные (неравные) в направлениях х и у, а максимальные (равные) значения - в направлениях а . Если F

находится между В + 2А и С + 2А, то предел текучести имеет максимум в направлении х и минимум в направлении у, когда В>С,к наоборот, когда

В<С. Отсюда очевидно, что зависимость F от величин В + 2А и С + 2А имеет определенный физический смысл.

Известно, что при растяжении тонкой полосы, шейка образуется не прямо поперек образца, а под косым углом, зависящим от состояния анизотропии. Образование шейки начинается в точке, в которой имеется небольшая неоднородность. Принимая во внимания свойства характеристик как кривых, вдоль которых распространяются малые сдвиги, найдем, что теоретически направление шейки должно совпадать с характеристикой. Имеются две характеристики, проходящие через точку. Вследствие деформации, нормальной к листу, характеристики обычно не ортогональны. Наклон dy/dx удовлетворяет уравнению:

[(A + C)a_x - Aa_y\k² + 2Fr_xydxdy + [(A + ^B)&y ~ ^А(7х}*У² = - (¹⁴) Пусть/?- угол наклона возможной шейки, измеряемой в направления прокатки. Тогда, согласно Хиллу [82], /3 определяется из соотношения:

atg² /3 + 2btgj3-c = 0, (15)

a = A + (2F -В-С- 4^)sin² acos² а,

b =

(F -В- 2^)sin² a -{F - С - 2/l)cos² ajshmcosa, (16)

с = a + 2? sin² a + Ccos² a = —-,

a = [вып²a + Ccos²a + A + (2F-B-C-4^)sin²acos²a\ 2. (17)

В изотропном листе A - В = С = F/3, b = 0, а с = 2a, так что tg J3 = V2 или P « ±54,7. Таким образом, существуют два одинаково возможных направлений образования шейки, равно наклоненной к оси образца; если источник сдвига, который индуцирует образование шейки, лежит не на краю, а в середине образца, то иногда наблюдается V образная шейка, ветви которой совпадают с частями обеих характеристик.

Когда лист является анизотропным, то существуют по - прежнему два одинаково возможных направления шейкообразования, соответствующих корням квадратного уравнения для tg/?, но обычно различно наклоненных.

Корни этого уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, если b = 0, что происходит, когда а = 0, а , тг/2, где а определяется из выражения (13). Для этих значений а возможны две шейки симметрично расположенные относительно оси образца. Если F больше как В + 2А, так и С + 2А, то b отрицательно, когда а<а, и положительно, когда а>а . Когда а<а, Р численно больше для шейки, имеющей склонность располагаться поперек направления прокатки, и наоборот, когда а>а . Эти неравенства меняют знак, когда F меньше как В + 2А,тж и С + 2А. Измерения Кёр-

бера и Хоффа углов наклона шее для алюминия, меди и никеля находятся в качественном соответствии с теорией Хилла. Состояние анизотропии в их материалах после 98% холодной прокатки должно быть таково, что F>C + 2А>В + 2А. Это совпадает с пределами текучести, который для обжатия был меньше в направлении прокатки, чем в поперечном направлении (т.е. X

Когда посредством глубокой вытяжки из круговой заготовки, вырезанной из прокатанного листа, образуется стакан, то обнаруживают, что высота края выше основания неравномерна, в отличие от симметричного процесса в случае изотропной заготовки. В местах, симметрично расположенных по отношению к направлению прокатки, в первоначальной полосе образуются «ушки». Обычно получаются четыре ушка: или по концам двух диаметров, составляющих 45 с направлением прокатки, или по концам диаметров, расположенным под углом 0и 90 с направлением прокатки. Расположение и высота ушков зависят от особенностей металла. В одном и том же метал-ле(медь и сталь) могут быть получены оба типа ушков. У латуни в местах расположенных под 0и 60, наблюдалось шесть ушков. Признанно, что ушкообразование обусловлено анизотропией прокатного листа.

Ушки и углубления образуются в крайних точках, где радиальное направление представляет собой одну из главных осей приращения деформации, т.е. где главные оси напряжения и приращения деформации совпадают. Предполагают, что ушки и углубления развиваются соответственно от точек, где касательные к краю представляют собой направления минимального и максимального значений текучести при одноосном растяжении. Эта гипотеза подкреплена результатами детального исследования ушкообразования, проведенного Болдуином, Говалдом и Россом. Материал был такой, что В-С. Относительные значения F и В + 2 А в образцах вырезанные из прокатанного листа были таковы, что для меди, у которой ушки возникают под углом 0 и 90, Fа для меди, у которой ушки образуются под углом 45, F>B + 2A. Настоящая теория предсказывает самое большее четыре ушка;

для того чтобы охарактеризовать анизотропию в таком материале, как прокатная патронная латунь, у которой после окончательного отжига около 700 С образуется шесть ушков, теория должна быть обобщена. Предполагается, что условие текучести и пластический потенциал являются многочленами степени п приведенных компонентов напряжения. Для плоского напряженного или деформированного состояния полином выбирается в форме:

где степени /,/, к -положительные целые числа или нуль (i + j + kчисло к, когда направления х, у представляют собой главные оси анизотропии,

должно быть четным.

Замечено, какое бы ни было условие текучести, ушки и углубления образуются там, где касательные к краю представляют собой направления стационарных значений предела текучести. Эти направления определяются из

условии — = 0. da

Обсуждение проблемы экспериментального исследования анизотропии прокатных металлов содержится в обзоре В. Н. Демичева, И. Н. Матченко, С. С. Яковлева [19]. Отмечено, что анизотропия проката является следствием образования текстуры предпочтительной ориентировки кристаллографических осей в зернах обрабатываемого материала, характера распределения и ориентировки фаз дефектов металла и остаточных напряжений, возникающих вследствие неоднородности пластической деформации при прокатке [1, 10, 11, 53, 65]. Отмечено так же, что при обработке данных экспериментов существенно используется гипотеза о несжимаемости пластического течения, т.е. независимость пластического течения анизотропного листового материала от гидростатического давления. Поэтому, в качестве теоретической основы для обработки экспериментальных данных, используется условие пластичности Мизеса - Хилла [82].

Необходимо отметить большой вклад, который внесен членами Тульской школы механики в изучение анизотропных свойств пластичности де-

формируемых металлов: В. Д. Кухарем, И. Н. Матченко, Н. М. Матченко, Е. М. Селедкиным, Л. А. Толоконниковым, Н. Д. Тутышкиным, В. В. Шевелевым, С. П. Яковлевым, С. С. Яковлевым и другими [19, 45-47, 55-59, 76-79, 81,84,89-94].

Для уменьшения числа необходимых экспериментов при исследовании анизотропных материалов привлекаются теоремы о числе независимых инвариантов заданной совокупности тензоров. Деформационная теория, также опирающаяся на теоремы об инвариантах, рассматривалась в работах А. С. Кравчука, Б. Е. Победри, Рыхлевского[67]. Перспективный подход к описанию пластичности анизотропных сред предложен в работах С. А. Христиано-вича, Е. И. Шемякина [83, 85-88]. Все эти работы объедены тем, что операции с инвариантами напряженно - деформированного состояния проводятся в физическом пространстве.

Следуя [28], рассмотрим некоторые вопросы построения моделей анизотропных пластических тел.

Приобретенная анизотропия пластических материалов связана с упрочнением. Упрочнение материала в процессе направленного пластического деформирования вызывает изменение механических свойств в различных направлениях - возникает приобретенная анизотропия наклепанного материала. Одним из проявлений приобретенной анизотропии является известный эффект Баушингера.

Свойства пластического материала могут быть описаны функцией на-гружения и законом связи между приращениями пластических деформаций и напряжений. В основу построения пластичности может быть положен постулат Драккера [98], из которого следует ассоциированный закон течения:

def:=dX-^—, (dX>0) (19)

где /-функция нагружения, - соответственно компоненты тензоров

напряжений и пластических деформаций, а также условие устойчивости:

d0.

(20)

Условие устойчивости накладывает ограничения на законы упрочнения, или, другими словами, на характер изменения функций нагружения при пластическом деформировании. Тем самым условие устойчивости (20) оказывается связанным с явлениями приобретенной анизотропии.

Предположим, что функция нагружения определяется значением пластических деформаций:

/(^,^,^)=0 (k_t = const). (21)

Частным случаем соотношения (21) является функция нагружения теории линейного изотропного упрочнения:

Е₂ = к + cl₂ {к,с = const), (22)

2₂=(^^.)^,/2, I₂={e^f², а также функция нагружения теории трансляционного упрочнения:

(ау - се? )² = к² (к, с = const). (23)

Теория трансляционного упрочнения была развита в работах А. Ю. Ишлинского [36, 37] и В. Прагера [69, 70].

В пространстве напряжений Р функция нагружения (20) при фиксированном значении ef: интерпретируется некоторой поверхностью нагружения (рис. 1а).

ст — const

е^р = const

Р ^~~ X S

Рис.1

Вводится пространство пластических деформаций S\ тогда при фиксированном значении о функция нагружения (21) будет интерпретироваться некоторой поверхностью пластических деформаций. В исходный момент нагружения пластические деформации равны нулю

(efj = 0), в этом случае поверхность пластических деформаций проходит через начало координат (рис.16).

При одной и той же величине пластических деформаций efj, при нейтральном нагружении различным значениям а (рис. 2а) будут соответ-

а Рис. 2

ствовать различные поверхности пластических деформаций (рис. 26). При

изменении вектора напряжений а происходит приращение пластических деформаций. Согласно ассоциированному закону течения для гладких функций нагружения при любых приращениях напряжений направление приращения пластической деформации вполне однозначно: оно направлено по нормали к поверхности нагружения. Следовательно, при данном деформированном состоянии поверхность пластических деформаций испытывает вполне определенное смещение в пространстве S.

Таким образом, несмотря на то что компоненты сг_;уИ е? входят в

функцию нагружения (21), по существу, симметрично и равноправно, ассоциированный закон течения определяет их неравноправное положение. Если вектор о может фактически принимать любое значение внутри фиксированной поверхности нагружения, то вектор е^р подобной свободой перемещения внутри фиксированной поверхности пластических деформаций не располагает. Для функции нагружения определено понятие

нейтрального нагружения, когда приращения напряжений могут быть любыми; для фиксированной поверхности пластических деформаций приращение пластической деформации всегда однозначно определено в каждой ее точке.

При данном деформированном состоянии вектор приращений пластических деформаций в зависимости от нагружения может получить любое направление; это обстоятельство интерпретируется тем, что для разных

значений а через данную точку efj проходит множество поверхностей пластических деформаций (рис. 26).

Можно указать следующее соответствие между поверхностями нагружения и пластических деформаций. Если путем изменения напряженного состояния от до сг,у(2) (рис. За) пластические деформации изменились от значения е?,^ до efj^ (рис. 36), причем они лежат на одной поверхности деформаций, соответствующей а^^ = const, то поверхность нагружения при фиксированном е?,₂*. будет обязательно проходить через конец вектора cJij^ (рис. За).

(Tij(i) = const

^&ijW ^{== сопз}'-

'hW

а Рис. З ^б

Для приращения напряженного и деформированного состояния как следует из (21), имеет место соотношение:

⁵/ Аг.+Лл^о.

_{а*, ' Ч *}

(24)

Используя соотношения ассоциированного закона (19), из (24) и (19) получим:

da^de? + {dX)² -^Ж- = 0. (25)

дату де?

Согласно (20) и (24) будем иметь:

д/ д/

дстудеЦ

Соотношение (26) можно рассматривать как следствие условия устойчивости (20) для пластических сред, функция нагружения которых определена в виде (21).

Соотношение (26) утверждает, что скалярное произведение векторов нормали к поверхности нагружения и поверхности пластических деформаций в соответствующих точках неотрицательно.

Из (19) и (26) вытекает, что вектор приращения пластической деформации направлен внутрь поверхности пластических деформаций. В самом

деле, из (19) и (26) при условии с1Л>0получим de? df де? <0, откуда и

следует высказанное утверждение. Отметим, что в частных случаях вектор приращения пластических деформаций направлен по нормали к поверхности пластических деформаций. Так, для теории изотропного упрочнения (22) поверхности пластических деформаций представляют сферы, совпадающие в совмещенном пространстве Р и S со сферами поверхностей нагружения. Для теории анизотропного упрочнения (23) имеем:

de? = dX-^- = _МЛ_ ₌ f _ р \
^lJ да_і} с де? ^{Kl} uJ}

Рассматривается выполненное неравенство (26) для некоторых моделей упрочняющегося пластического тела. В случае теории изотропного упрочнения (23) неравенство (26) примет вид:

а_уе?>0. (28)

в' о

а б

Рис.4

Пусть в результате пластического деформирования (для определенности растяжения вдоль ОА) поверхность нагружения приобрела положение, изображенное на рис. 4а сплошной линией. Тогда для точек полуокружности ВАВ' имеет место условие устойчивости (28): ое^р >0; для точек полуокружности ВСВ' (исключая точки В и В¹) имеет место условие

ое^р <0, т.е. условие устойчивости Claude? >0 не выполняется. Произведем

нагружение в зоне неустойчивости, для определенности - сжатие в точке С. Тогда пластические деформации должны уменьшиться; вектор приращения пластической деформации в точке С направлен в сторону, обратную вектору е^р, т. е. по направлению внешней нормали к поверхности нагружения в точке С, а вектор приращения напряжений согласно условию

dade^p <0 направлен внутрь поверхности нагружения, которая будет стремиться занять положение, показанное на рис. 4а пунктиром. Диаграмма одноосного растяжения-сжатия будет иметь вид, изображенный на рис. 46.

Таким образом, изотропно упрочняющийся материал не обладает свойствами устойчивости при разгрузке. Сказанное можно пояснить на механической модели (рис. 5).

Предположим, что на горизонтальную шероховатую плоскость втягивается силой Р абсолютно гибкая лента единичной ширины. Собственным весом ленты будем пренебрегать. Пусть суммарная сила трения возрастает пропорционально площади контакта ленты с плоскостью. Если вести от-

Ай Аї

Рис. 5

счет перемещения от точки А₀ то диаграмма «усилие-длина» p-s будет

совпадать с диаграммой а-е^р на рис. 46. При изменении знака усилия р

лента будет находиться в неустойчивом положении равновесия.

Рассматриваются анизотропно упрочняющийся материал в случае линейного упрочнения (22). Условие устойчивости (26) в этом случае принимает вид

c(v₀-cej;J*0. (29)

Согласно (23) условие (29) всегда имеет место при с>0. Значит при о 0 закон трансляционного упрочнения приводит к выполнению условия устойчивости для всех путей деформирования.

Рассматривается общий вид функции нагружения (21). Условие устойчивости (20) предполагает, что в данной точке нагружения А (рис. 6) происходит упрочнение, в то время как на других участках поверхности нагружения возможно и разупрочнение. После некоторой догрузки в точке А

напряженное состояние будет соответствовать точке А', лежащей вне первоначальной поверхности нагружения /\ст^,е^,k_tj=0.

Пусть Aef},_As - приращения пластических деформаций в результате

догрузки, тогда /[сг^еЦ + Де^, &,]=() - уравнение поверхности нагружения после догрузки.

Произведем разгрузку, а затем произведем повторное нагружение из точки нагружения В', в которой приращение пластических деформаций

Де_;у_(В.ч имеет направление, обратное Aefj,_Ay для простоты можно положить, что

Ае^_В1 = -АеР_(Ау

Тогда при подобном деформировании поверхность нагружения будет стремиться занять первоначальное положение, имевшее место до догрузки из точки нагружения А, и точка В' будет стремиться занять положение В.

Если при догрузке в точке А точка В' вышла за пределы первоначальной зоны упругости, т. е. в этой точке произошло упрочнение материала (пунктир на рис. 6), то для нагружения из точки В' постулат устойчивости места иметь не будет: deride? < 0.

Если при догрузке в точке А поверхность нагружения в окрестности точки В' смещается внутрь упругой области, постулат устойчивости

deride? > 0 будет выполнен.

При одноосном растяжении образца происходит наклеп, то для устойчивого материала предел упругости при сжатии увеличиться не может. Таким образом, наличие эффекта Баушингера связано с процессами устойчивого деформирования материала.

Для описания свойств анизотропии материала можно воспользоваться определением функции анизотропии [3]. Рассмотрим поверхность нагружения f^T^efj ,к^=0. В пространстве напряжений Р каждой фиксированной поверхности нагружения может быть поставлена в соответствие функция анизотропии К, являющаяся годографом вектора напряжений относительно нормали в соответствующей точке поверхности нагружения. Поясним сказанное на рис. 7.

Рис.7

Поверхности нагружения (рис. 7а) ставится в соответствие поверхность анизотропии А (рис.76); при построении поверхности анизотропии вектор о откладывается от фиксированной оси OO_l под углом, который он образует с нормалью в данной точке поверхности нагружения. Очевидно, что для сферической изотропной поверхности нагружения поверхность К стягивается в точку. Эффект Баушингера характеризуется отрезком АВ на рис. 76.

Для устойчивых материалов при нагружении отрезок АВ (рис. 76) будет увеличиваться, причем точки А и В будут двигаться в противоположных направлениях; для неустойчивых материалов отрезок АВ будет изменяться так, что точки А и В будут двигаться в одном направлении. Вообще для устойчивых материалов при нагружении поверхность анизотропии последующего состояния будет включать в себя поверхность анизотропии предыдущего состояния.

Представление о трансляционном механизме упрочнения могут быть положены при определении широкого класса моделей сплошных сред.

В основу построений могут быть положены три основных механизма деформирования: упругий - Е, вязкий - v и пластический -р.

Простейшие комбинации механизмов: ЕР - модель упругопластиче-ского тела, EV — модель упруговязкого тела. Для этих моделей полная деформация слагается из упругой и пластической или упругой и вязкой:

de = ds^e + ds^p, ds = ds^e + de^v, (30)

В случае последовательного действия механизмов Р и Е или V и Е соответствующее деформирование является только пластическим или вязким, поэтому эти механизмы будем обозначать соответственно Ре и Ve. В данном случае упругие элементы, являясь внутренними, не меняют природы деформирования, существенно сказываясь на характере зависимости сг-е.

Большие буквы указывают на механизм, определяющий характер деформирования; внутренние механизмы, не меняющие характера деформирования, обозначаются малыми буквами. Отметим, что в рассматриваемом случае деформирование может иметь характер: упругий, вязкий, пластический, упруго-вязкий, упруго-пластический. Модель, состоящую из механизмов Р и V, следует обозначить Pv, так как деформирование носит характер пластического и элемент V в данном случае является внутренним. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести разгрузку. Аналогично механизм, состоящий из элементов V и Р, следует обозначить Vp.

Для построения связи между тензором напряжений и тензором деформаций є у рассмотрим, следуя идеям работы [36], двумерные динамические модели.

На рис. 8а изображена двумерная динамическая модель EVeveve, или, как удобнее обозначить, EVe_lv_]e₂v₂e₃ Очевидно, что

dey = dsy + dejj (31)

W v W-

V4* v

w-

_{г л}

vn

P v-

Рис.8 Приписывая в дальнейшем девиаторам соответствующих тензоров штрих наверху и считая для простоты всюду материал несжимаемым (более того, будем считать все тензоры как действительных, так и внутренних деформаций девиаторами), получим:

^и 2G ^J

(32)

где G - модуль сдвига.

Обозначим тензор внутренних, соответствующий элементу е_п, через

s\f*; тензор внутренних деформаций (микродеформаций), соответствующий перемещениям элемента v_n, через к у . Получим:

del=мК-Т\dKf^^-'hЛф-Ъ^Т-'ТЛ (33)

где ju,ju„ - коэффициенты вязкости элементов V, v_n.

К соотношениям (33) следует присоединить условия, определяющие напряжения, соответствующие натяжениям в элементах е_п:

'(З)

dsjj -dKf = c_xdsf\dKf -dxf = c₂ds'V\dKy³⁾ = c₃ds}j

(34)

где \\с_п - коэффициенты жесткости элементов е_п. На рис. 86 изображена двумерная динамическая модель ЕРе_хр_хе_гр_ге_ъ. Очевидно, что

ds_ij=ds-_j+dsP_j (35)

причем справедливо соотношение (32).

Условие пластичности, соответствующее элементу Р, запишем в виде

/(<т,у —s\j ) = к; условие пластичности, соответствующее элементу р_п - в виде. _n\s\p - s\"^+v*)=k_n. Тензор внутренних деформаций (микродеформаций), соответствующий перемещениям элементов р_п, обозначим 4у Будем иметь:

/К -4^=^ vMP -4²⁾)=*i.P2(4²⁾ -4³⁾)=*2' (³⁶)

dsf =dx3-, dt$ = Л, 1^, <> =^1. (37)

8а₀ dsf 8s}/>

del -d$> = c,,,<» - <> = с₂^>, <> = c₃^>, (38)

где JA, dX_n - коэффициенты пропорциональности.

Для того чтобы тензоры деформаций были девиаторами, необходимо предположить, что все условия пластичности не зависят от первых инвариантов соответствующих тензоров.

В соотношениях (37) используется ассоциированный закон течения. Представления ассоциированного закона течения следуют из соображений экстремальности приращения напряжений на соответствующих приращениях деформации. Эти соображения использованы выше как для действительных, так и для внутренних напряжений и деформаций. Дифференцирование в (37) ведется по первому из напряжений, хотя дифференцирование можно вести по суммарным напряжениям, так как

_{эк-4")_, а(4"- 4"*") ,}

_____________ » __ ^ ^

Поэтому

df 3tp„ ₌ d

da» 5(^-4")' dsf a(5<")-4"⁺")'

Построение связи cjjj-Sjj для сред, включающих в v_n,p_m себя как

составные элементы, не представляет никаких трудностей. Например, для модели EPe_xve₂p соотношения искомой связи записываются в виде (35), (32); далее будут также иметь место соотношения

f(ij-sf) = K (39)

Ч = ^dA~&'^Лкч⁼ ^ -*»") **<> = ^м< _я|т^Я WY ⁽⁴⁰⁾

⁰ij \?ij ^sij )

d_ePj=dK_tJ =c_xdsf_tdKg-d^j =c₂dsf\ (41)

Изложенный подход конструирования связи <Ту - Єу является непосредственным обобщением подхода, развитого в теории трансляционного упрочения. В данном случае не только основные, но и внутренние механизмы пластичности и вязкости определяют свои поверхности нагружения, которые испытывают перенос в своих пространствах напряжений.

Случай, когда связь между отдельными элементами жесткая, интерпретируется как предельный и может быть рассмотрен при стремлении соответствующих коэффициентов с_п к нулю.

Нелинейные эффекты могут быть учтены, если предположить, что величины к_п,/л_п с_п зависят от инвариантов соответствующих тензоров.

Не представляет принципиальных трудностей воспользоваться кусочно линейными потенциальными поверхностями. Рассмотренные соотношения устанавливают связь между девиаторами соответствующих тензоров. Зависимость между первыми инвариантами соответствующих тензоров, определяющая сжимаемость материала, может быть установлена независимо.

Отметим, что модель EV соответствует телу Максвелла, модель Ve — телу Фойхта. Обычно в литературе рассматривается двустороннее прило-

жение внешней силы, и для модели Фойхта элементы Е и V включаются параллельно. Подобная схематизация неудобна при построении соответствующих двумерных моделей.

В качестве одного из основных механизмов можно использовать также механизм идеального затвердевания, который может позволить учесть ряд новых интересных эффектов.

Для ряда материалов зависимость между касательным усилием г и необратимой частью сдвига у (в дальнейшем будем рассматривать только жестко-пластический материал) удовлетворительно описывается диаграммой, представленной на рис. 9.

Рис.9

Существенно, что в этом случае предел пластичности т = к_х (точка А на рис. 9) и предел текучести т = т (точка В на рис. 9) не совпадают между собой. Участок АВ (к_х<т<т) характеризует упрочнение материала и является, вообще говоря, нелинейным. При т = т наступает идеально пластическое течение.

Рассмотрим поведение материала при идеально пластическом течении (участок ВС на рис. 9). В этом случае, в отличие от обычного построения теории, идеально жестко-пластического тела [70] возможны различные подходы к построению теории.

Если упрочняющееся тело остается изотропным, то соотношения идеально пластического течения имеют обычный вид [70]. В случае, когда имеет место анизотропное упрочнение, возникающие остаточные микронапряжения обусловливают характерные особенности идеально пластического течения. Для простоты рассмотрим случай идеального эффекта Баушингера.

WV /

V77777?7777Z77777777^7Z77777?777Z77,

В с

к,

Рис. 10 Рассмотрим вначале одномерную модель (рис. 10а), состоящую из двух элементов сухого трения, соединенных пружиной. Если обозначить через k_x и к₂ пределы сопротивления трению соответственно

у первого и второго элементов, то зависимость между растягивающей силой Т и перемещением q будет представлена рис. 106. Нелинейность на участке АВ может быть достигнута за счет нелинейной характеристики жесткости пружины. На рис. 11 представлена соответствующая двумерная модель.

Очевидно, что на поведении модели существенным образом скажутся усилия (рис.11) в пружинах aa_x,bb_x. Эти усилия соответствуют микрона-

с Ui.

Рис. 11

т.

пряжениям сплошной среды. Случай, когда усилия в пружинах aa_x,bb_x не в состоянии преодолеть сопротивление сухого трения элемента 2, рассмотрен в работе [38]. В данном случае рассматривается идеально пластическое течение материала, когда усилия в пружинах аа_х,ЬЬ_хв состоянии преодолеть сопротивление сухого трения элемента 2.

Обозначая через 7j и Т₂ внешние усилия, натяжения пружин аа_{ и ЪЪ_Х- через 5, и s₂- предположим, что усилия 7}, S;таковы, что элементы/и 2 получают некоторые приращения перемещений. На рис. 12 первоначальное положение элемента 1 схематизировано точкой О, последующее -точкой О_х. Элемент 2, занимавший положение аЪс, перейдет в положение а_хЪ_хс_х. Должно иметь место:

fr-*i)²+te-s₂)²=*i², (42)

sf+sl=k_x². (43)

Обозначим далее через q_x, q₂ перемещения элемента / и через г_ь г₂ -

перемещения элемента 2. Из рис.12 имеем: Of = Aq_x,O_xq = Aq₂,c_xd~Ar₂.

Коэффициенты жесткости пружин оа и оЬ обозначим через 1/с, тогда

A(q_x-r_x) = cAs_x, A(q₂-r₂) = cAs₂ (44)

Перемещения элементов і и 2 происходят в направлении действующих

сил, поэтому

Aq₂ T₂-s_l' Ar₂ s₂ '

Соотношения (42)-(45) позволяют изучить поведение системы, изображенной на рис. 12. Следует отметить условный качественный характер развитых построений и предостеречь от далеко идущих аналогий между поведениями динамической модели и сплошной среды. В этом случае не учитывается, например, вращение элемента 2 и связанные с этим эффекты, несущественные для дальнейшего рассмотрения.

Некоторые особенности идеально пластического течения в данном случае удобно иллюстрировать при помощи кинематических моделей [70]. Для анизотропно упрочняющегося материала с идеальным эффектом

Рис. 13 Рис. 14

Баушингера моделью может служить круговая рамка, передвигающаяся в плоскости под действием цапфы А, в случае, если между цапфой и рамкой отсутствует трение (рис. 13). Точка О — первоначальный центр рамки, точка O_l - текущий центр рамки. Расстояние АО соответствует напряжениям, расстояние ОО_х - деформациям.

В данном случае соответствующую кинематическую модель можно представить в следующем виде. Представим два плоских кольца, вначале расположенных концентрично. Одно из них двигается под действием цапфы А, причем это же кольцо имеет в центре цапфу О_х, под действием которой двигается второе кольцо. Трение между кольцами и цапфами отсутствует. Точка О - первоначальный центр обеих рамок (соответствующий естественному состоянию), точка О,- центр первого кольца, точка 0₂ -

центр второго кольца (рис.14).

Расстояние А0₂ соответствует напряжениям, О_х0₂ - микронапряжениям, ОО_х - деформациям.

Отметим, что при развитом течении, путь нагружения которого стремится к некоторой прямой, точки А_>0_],0₂ будут стремиться занять положение на одной прямой.

При использовании динамических аналогий усилиям ставятся в соответствие напряжения, перемещениям - деформации.

Обозначим через тензор действительных напряжений (соответствующий усилиям 7}), через Sjj - тензор микронапряжений (соответствующий усилиям t_t), через ву - тензор действительных деформаций (соответствующий перемещениям q_x элемента 1), через к - тензор внутренних микродеформаций (соответствующий перемещениям г,- элемента 2). Девиаторам соответствующих тензоров припишем штрих наверху.

Компоненты тензора напряжений <7у удовлетворяют уравнениям равновесия Gyj =0, а компоненты тензора деформаций ву выражаются через

КОМПОНеНТЫ Перемещения ву =—(Ujj +Ujj)-

Поведение материала в случае, когда микронапряжения Sy не в

силах преодолеть сопротивление соответствующих элементов сухого трения, описывается соотношениями теории анизотропного упрочнения и изучалось в работах [36, 38] и др. Ниже рассматриваются соотношения идеально пластического течения, в этом случае напряжения (jy и Sy таковы,

что сухое трение обоих элементов преодолено. Условия текучести запишем в виде

Mij-Sij) = k_x, f₂(sy) = k₂. (46)

Рассмотрим выражения приращения работ:

dA_x=<7ydey, dA₂=SydKy. (47)

Предполагая экстремальность выражений dA_x и dA₂ соответственно при условиях (46), определим закон деформирования, рассматривая выражения (46) в качестве пластического потенциала:

de_ij=dA_l-^-, dK_ij=dA₂^-, (48)

day dsy

где dAi,dAq - множители пропорциональности.

Отметим, что аналогично можно было исходить из выражения работы dA_l2=\cr_ij - Sjjjdejj. Окончательные выражения получились бы неизмен-

ными, так как — = 1 и, следовательно,

dfi ₌ dfx до-ij diay-sy)'

Используя предположение о природе тензора микронапряжений, получим:

d(e_iJ-fc'ij) = cds_iJ, (49)

где с можно считать функцией инвариантов тензора Sy и даже тензоров а у, а у - Sy. Вообще говоря, следует присоединить также условие

e-rc = Ks, (50)

где e,K,s - первые инварианты соответствующих тензоров, величину К можно также считать функцией инвариантов тензоров напряжений.

Если /j и f₂ не зависят соответственно от первых инвариантов тензоров а у -Sy и Sy, то из (48) следует, что ву =Єу,к-у =Ку, е = к = 0. Так

как s^O, то К = со.

Приведенный выше краткий обзор отдельных результатов в области теории пластической анизотропии не охватывает многих вопросов теории, как разработанных, так и нуждающихся в дальнейших исследованиях.

В заключении приведем слова И. А. Кийко [40] посвященные теории пластической анизотропии: «Имеются разные варианты теории пластичности анизотропных тел; все они, однако, за редкими частными исключениями, построены для случая малых деформаций, когда можно считать, что тип анизотропии не меняется. Очевидно, для процессов развитого формоизменения это не так. Представляется, что при построении теории пластичности анизотропных тел для случая больших деформаций конструктивной будет предположение о том, что носителями механических свойств материала, в

том числе и класса анизотропии, являются материальные волокна, выделенные в теле в начальный момент процесса. Понятны трудности, возникающие на пути построения такой теории; прежде всего — это теория эксперимента по выявлению скалярных функционалов, определяющих свойства материала. Обсуждаемая проблема — одна из наиболее сложных, но и важных в МДТТ (А.А.Ильюшин оказался прав, когда полвека назад говорил, что построить анизотропную пластичность гораздо сложнее, чем пластичность при сложных нагружениях); тем более интересно заниматься ее разрешением».

Диссертационная работа состоит из двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе* посвященной плоским задачам определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел, рассматриваются соотношения для определения предельного напряжения при внедрении плоского штампа и клина в идеальное анизотропное пространство, а также некоторые задачи рассечения и пробоя, анизотропных идеальнопластических сред жесткими, острым и тупым инденторами.

В первом параграфе рассматривается анизотропия, определенная соотношением:

А{а_х -о-_у)²+ 4Вт1у + 2L(a_x - а_у )т^ = 4к%, А, В,L,k₀ - const.(51)

Предполагается:

A = \ + 8а, В = l + 8b, L = 5c, (52)

где 8- малый безразмерный параметр, характеризующий анизотропию материала.

При 8 = О, согласно (52) А = В = \,L = 0 соотношение (50) переходит в

условие пластичности для изотропного тела.

Исходные соотношения представлены в виде разложения по степеням малого безразмерного параметра 8 до второго приближения включительно.

Во втором параграфе рассмотрена задача о вдавливании жесткого плоского штампа и остроугольного клина в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание штампа в изотропное идеально пластическое полупространство рассмотрено Прандтлем [75], вдавливание штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство - Хиллом [82].

Хилл [82] рассматривал условие пластичности в виде:

А{а_х-а_у)²+ABt²_xy=Akl, Л,В,к₀ -const. (53)

Хилл [82] получил исходные соотношения и предложил численный метод решения. В диссертационной работе дано приближенное аналитическое решение задачи.

В третьем параграфе решение Д. Д. Ивлева и Л. А. Максимовой [33] о рассечении и пробое изотропной идеально пластической полосы распространено на случай анизотропного материала.

Во второй главе рассматриваются пространственные задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. В силу анизотропии материала, предельная нагрузка зависит от ориентации вдавливаемых тел относительно осей анизотропии.

В первом параграфе рассматриваются основные соотношения, приведенные в виде разложения по малому параметру до второго приближения включительно.

Во втором параграфе рассмотрено вдавливание прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание жестких штампов и пирамид в изотропное идеальнопла-стическое полупространство рассмотрено в работах Д. Д. Ивлева, А. Ю. Иш-линского и Р. И. Непершина [28-31], А. В., П. В. Горских [14].

Определено предельное давление в зависимости от ориентации штампа относительно осей анизотропии.

В третьем параграфе рассмотрено вдавливание жесткой четырехугольной пирамиды в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание плоского жесткого клина в идеально пластическое полупространство рассмотрено Хиллом, Ли и Таппером [82], вдавливание жестких пирамид - Д. Д. Ивлевым, А. Ю. Ишлинским, Р. И. Непершиным [28], А. В. и П. В. Горскими [14].

Определено предельное давление в зависимости от ориентации пирамиды относительно осей анизотропии.

Заключение содержит сводку основных результатов диссертационной работы. Список литературы насчитывает 117 наименований, в том числе 3 работы автора по теме диссертации.

Вдавливание жесткого плоского штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство

Баушингера моделью может служить круговая рамка, передвигающаяся в плоскости под действием цапфы А, в случае, если между цапфой и рамкой отсутствует трение (рис. 13). Точка О — первоначальный центр рамки, точка Ol - текущий центр рамки. Расстояние АО соответствует напряжениям, расстояние ООх - деформациям.

В данном случае соответствующую кинематическую модель можно представить в следующем виде. Представим два плоских кольца, вначале расположенных концентрично. Одно из них двигается под действием цапфы А, причем это же кольцо имеет в центре цапфу Ох, под действием которой двигается второе кольцо. Трение между кольцами и цапфами отсутствует. Точка О - первоначальный центр обеих рамок (соответствующий естественному состоянию), точка О,- центр первого кольца, точка 02 центр второго кольца (рис.14).

Расстояние А02 соответствует напряжениям, Ох02 - микронапряжениям, ООх - деформациям.

Отметим, что при развитом течении, путь нагружения которого стремится к некоторой прямой, точки А 0],02 будут стремиться занять положение на одной прямой.

При использовании динамических аналогий усилиям ставятся в соответствие напряжения, перемещениям - деформации. Обозначим через jy тензор действительных напряжений (соответствующий усилиям 7}), через Sjj - тензор микронапряжений (соответствующий усилиям tt), через ву - тензор действительных деформаций (соответствующий перемещениям qx элемента 1), через к - тензор внутренних микродеформаций (соответствующий перемещениям г,- элемента 2). Девиаторам соответствующих тензоров припишем штрих наверху.

Компоненты тензора напряжений 7у удовлетворяют уравнениям равновесия Gyj =0, а компоненты тензора деформаций ву выражаются через

Перемещения ву =—(Ujj +Ujj) Поведение материала в случае, когда микронапряжения Sy не в силах преодолеть сопротивление соответствующих элементов сухого трения, описывается соотношениями теории анизотропного упрочнения и изучалось в работах [36, 38] и др. Ниже рассматриваются соотношения идеально пластического течения, в этом случае напряжения (jy и Sy таковы, что сухое трение обоих элементов преодолено. Условия текучести запишем в виде Рассмотрим выражения приращения работ:

Предполагая экстремальность выражений dAx и dA2 соответственно при условиях (46), определим закон деформирования, рассматривая выражения (46) в качестве пластического потенциала: deij=dAl- -, dKij=dA2 -, (48) day dsy где dAi,dAq - множители пропорциональности. Отметим, что аналогично можно было исходить из выражения работы dAl2=\crij - Sjjjdejj. Окончательные выражения получились бы неизмен ными, так как — = 1 и, следовательно, day dfi = dfx до-ij diay-sy) Используя предположение о природе тензора микронапряжений, получим: d(eiJ-fc ij) = cdsiJ, (49) где с можно считать функцией инвариантов тензора Sy и даже тензоров а у, а у - Sy. Вообще говоря, следует присоединить также условие e-rc = Ks, (50) где e,K,s - первые инварианты соответствующих тензоров, величину К можно также считать функцией инвариантов тензоров напряжений. Если /j и f2 не зависят соответственно от первых инвариантов тензоров а у -Sy и Sy, то из (48) следует, что ву =Єу,к-у =Ку, е = к = 0. Так как s O, то К = со.

Приведенный выше краткий обзор отдельных результатов в области теории пластической анизотропии не охватывает многих вопросов теории, как разработанных, так и нуждающихся в дальнейших исследованиях.

В заключении приведем слова И. А. Кийко [40] посвященные теории пластической анизотропии: «Имеются разные варианты теории пластичности анизотропных тел; все они, однако, за редкими частными исключениями, построены для случая малых деформаций, когда можно считать, что тип анизотропии не меняется. Очевидно, для процессов развитого формоизменения это не так. Представляется, что при построении теории пластичности анизотропных тел для случая больших деформаций конструктивной будет предположение о том, что носителями механических свойств материала, в том числе и класса анизотропии, являются материальные волокна, выделенные в теле в начальный момент процесса. Понятны трудности, возникающие на пути построения такой теории; прежде всего — это теория эксперимента по выявлению скалярных функционалов, определяющих свойства материала. Обсуждаемая проблема — одна из наиболее сложных, но и важных в МДТТ (А.А.Ильюшин оказался прав, когда полвека назад говорил, что построить анизотропную пластичность гораздо сложнее, чем пластичность при сложных нагружениях); тем более интересно заниматься ее разрешением».

Рассечение и пробой анизотропной идеальнопластической полосы жесткими острым и тупым инденторами

Диссертационная работа состоит из двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе посвященной плоским задачам определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел, рассматриваются соотношения для определения предельного напряжения при внедрении плоского штампа и клина в идеальное анизотропное пространство, а также некоторые задачи рассечения и пробоя, анизотропных идеальнопластических сред жесткими, острым и тупым инденторами.

В первом параграфе рассматривается анизотропия, определенная соотношением: А{ах -о-у)2+ 4Вт1у + 2L(ax - ау )т = 4к%, А, В,L,k0 - const.(51) Предполагается: A = \ + 8а, В = l + 8b, L = 5c, (52) где 8- малый безразмерный параметр, характеризующий анизотропию материала. При 8 = О, согласно (52) А = В = \,L = 0 соотношение (50) переходит в условие пластичности для изотропного тела.

Исходные соотношения представлены в виде разложения по степеням малого безразмерного параметра 8 до второго приближения включительно. Во втором параграфе рассмотрена задача о вдавливании жесткого плоского штампа и остроугольного клина в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание штампа в изотропное идеально пластическое полупространство рассмотрено Прандтлем [75], вдавливание штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство - Хиллом [82]. Хилл [82] рассматривал условие пластичности в виде: А{ах-ау)2+ABt2xy=Akl, Л,В,к0 -const. (53) Хилл [82] получил исходные соотношения и предложил численный метод решения. В диссертационной работе дано приближенное аналитическое решение задачи.

В третьем параграфе решение Д. Д. Ивлева и Л. А. Максимовой [33] о рассечении и пробое изотропной идеально пластической полосы распространено на случай анизотропного материала.

Во второй главе рассматриваются пространственные задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. В силу анизотропии материала, предельная нагрузка зависит от ориентации вдавливаемых тел относительно осей анизотропии.

В первом параграфе рассматриваются основные соотношения, приведенные в виде разложения по малому параметру до второго приближения включительно.

Во втором параграфе рассмотрено вдавливание прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство.

Вдавливание жестких штампов и пирамид в изотропное идеальнопла-стическое полупространство рассмотрено в работах Д. Д. Ивлева, А. Ю. Иш-линского и Р. И. Непершина [28-31], А. В., П. В. Горских [14].

Определено предельное давление в зависимости от ориентации штампа относительно осей анизотропии.

В третьем параграфе рассмотрено вдавливание жесткой четырехугольной пирамиды в анизотропное идеально пластическое полупространство. Вдавливание плоского жесткого клина в идеально пластическое полупространство рассмотрено Хиллом, Ли и Таппером [82], вдавливание жестких пирамид - Д. Д. Ивлевым, А. Ю. Ишлинским, Р. И. Непершиным [28], А. В. и П. В. Горскими [14].

Определено предельное давление в зависимости от ориентации пирамиды относительно осей анизотропии.

Заключение содержит сводку основных результатов диссертационной работы. Список литературы насчитывает 117 наименований, в том числе 3 работы автора по теме диссертации.

Вдавливание прямоугольного в плане штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство

Диссертационная работа посвящена плоским и пространственным задачам теории идеальной пластичности анизотропных сред.

Изотропные материалы являются частным случаем анизотропных материалов, проявляющих полную симметрию свойств.

Пластическое деформирование материала сопровождается явлением приобретенной анизотропии. Е. И. Шемякин [85] указывает, что «индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация». Материал с приобретенной анизотропией при дальнейшем использовании можно считать начально-анизотропным.

Ниже рассматривается начально-анизотропный идеальнопластический материал. Впервые условие пластичности начально-анизотропного идеаль-нопластического тела было сформулировано Мизесом [61, 106]. Мизес предположил, что выражение удельной энергии формоизменения упругого анизотропного тела является постоянной величиной в процессе деформирования анизотропного идеально пластического тела.

Условие пластичности Мизеса в общем случае можно представить в виде квадратичной функции:

Если в материале ориентация отдельных кристаллов не беспорядочна, то предел текучести и макроскопические зависимости между напряжением и деформацией изменяются с направлением. Например, для сильно прокатанной в холодном состоянии латуни предел текучести при растяжении в направлении, перпендикулярном к прокатке, может быть на 10% выше, чем для направления, параллельного прокатке [97]. Анизотропия свойств материала может явиться следствием в результате механических тепловых обработок. При этом образуется окончательная рекристаллизация текстуры, приближающаяся к текстуре монокристалла (например, прокатанная полоса меди может быть подготовлена так, что изменившиеся размеры зерен делают их кубическими с осями, параллельными краям полосы [103]).

Состояние анизотропии может характеризоваться тремя взаимно ортогональными плоскостями симметрии в каждой точке. Пересечения этих плоскостей известны как главные оси анизотропии. Полоса, вырезанная из центра холоднокатаного листа, представляет собой пример равномерно направленной анизотропии, где главные оси лежат в направлении прокатки, в поперечном направлении в плоскости листа и нормально к этой плоскости [104]. Главные оси в данном элементе могут в процессе непрерывного деформирования изменятся также относительно самого элемента, как, например, при простом сдвиге.

В литературе обычно рассматривается анизотропный материал, в котором главные оси анизотропии совпадают с декартовой системой координат. Условие Мизеса приблизительно описывает течение изотропного материала. Поэтому простейшим условием текучести для анизотропного материала является то, которое сводится к закону Мизеса, когда анизотропия мала.

Хилл [82] предположил, что условие текучести представляет собой квадратичную функцию компонентов. Хилл [82] рассматривал условие пластичности анизотропного идеально пластического тела в виде:

Термин «винтовая» анизотропия связан с направленным изменением сетки поверхностей скольжения в случае симметричного нагружения, обусловленным величинами L(crx-ay)rxy,M(ay-az)Tyz, N(az- jx)rxz в условии пластичности (4).

При этом линейные члены не приняты во внимание, поскольку, предполагается, что эффект Баушингера отсутствует. Квадратичные члены, в которых любое из касательных напряжений встречается линейно, отбрасываются из соображений симметрии. Если предположить, что гидростатическое напряжение не влияет на текучесть, то в условии пластичности может фигурировать только разность нормальных компонентов напряжения.

Согласно [2], во многих теориях анизотропной пластичности к числу наиболее важных исходных предположений относятся гипотезы о независимости текучести от среднего нормального напряжения (гидростатического давления) и пластической несжимаемости материала. Предположение о независимости процесса текучести материалов от среднего нормального напряжения было принято в первых теориях анизотропной пластичности Мизесом [61] и Хиллом [82].

Вдавливание четырехгранной пирамиды в анизотропное идеальнопластическое полупространство

Для растягиваемого образца, вырезанного под углом а к направлению прокатки, значения коэффициентов А, В, С, F могут быть выведены из наблюдаемой зависимости предела текучести от угла наклона. Максимум и минимум предела текучести при растяжении имеет место вдоль осей анизотропии, а так же в направлениях а , где F-B-2A Если F B + 2AK F С + 2А, то предел текучести имеет максимальные (неравные) значения в направлениях х и у, а минимальные (равные) значения - в направлениях а . Кук, Палмер и Смит наблюдали такого рода изменения на латуни после различной степени прокатки и отжига. Клинглер и Закс нашли, что предел текучести листа из алюминиевого сплава имеет минимум в направлениях, близких к 45, и что В С. Если F B + 2A и F С + 2А, то предел текучести имеет минимальные (неравные) в направлениях х и у, а максимальные (равные) значения - в направлениях а . Если F находится между В + 2А и С + 2А, то предел текучести имеет максимум в направлении х и минимум в направлении у, когда В С,к наоборот, когда

В С. Отсюда очевидно, что зависимость F от величин В + 2А и С + 2А имеет определенный физический смысл.

Известно, что при растяжении тонкой полосы, шейка образуется не прямо поперек образца, а под косым углом, зависящим от состояния анизотропии. Образование шейки начинается в точке, в которой имеется небольшая неоднородность. Принимая во внимания свойства характеристик как кривых, вдоль которых распространяются малые сдвиги, найдем, что теоретически направление шейки должно совпадать с характеристикой. Имеются две характеристики, проходящие через точку. Вследствие деформации, нормальной к листу, характеристики обычно не ортогональны. Наклон dy/dx удовлетворяет уравнению: [(A + C)ax - Aay\k2 + 2Frxydxdy + [(A + B)&y А(7х} У2 = - (14) Пусть/?- угол наклона возможной шейки, измеряемой в направления прокатки. Тогда, согласно Хиллу [82], /3 определяется из соотношения:

В изотропном листе A - В = С = F/3, b = 0, а с = 2a, так что tg J3 = V2 или P « ±54,7. Таким образом, существуют два одинаково возможных направлений образования шейки, равно наклоненной к оси образца; если источник сдвига, который индуцирует образование шейки, лежит не на краю, а в середине образца, то иногда наблюдается V образная шейка, ветви которой совпадают с частями обеих характеристик.

Когда лист является анизотропным, то существуют по - прежнему два одинаково возможных направления шейкообразования, соответствующих корням квадратного уравнения для tg/?, но обычно различно наклоненных.

Корни этого уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, если b = 0, что происходит, когда а = 0, а , тг/2, где а определяется из выражения (13). Для этих значений а возможны две шейки симметрично расположенные относительно оси образца. Если F больше как В + 2А, так и С + 2А, то b отрицательно, когда а а, и положительно, когда а а . Когда а а, Р численно больше для шейки, имеющей склонность располагаться поперек направления прокатки, и наоборот, когда а а . Эти неравенства меняют знак, когда F меньше как В + 2А,тж и С + 2А. Измерения Кёр бера и Хоффа углов наклона шее для алюминия, меди и никеля находятся в качественном соответствии с теорией Хилла. Состояние анизотропии в их материалах после 98% холодной прокатки должно быть таково, что F C + 2А В + 2А. Это совпадает с пределами текучести, который для обжатия был меньше в направлении прокатки, чем в поперечном направлении (т.е. X Y).

Когда посредством глубокой вытяжки из круговой заготовки, вырезанной из прокатанного листа, образуется стакан, то обнаруживают, что высота края выше основания неравномерна, в отличие от симметричного процесса в случае изотропной заготовки. В местах, симметрично расположенных по отношению к направлению прокатки, в первоначальной полосе образуются «ушки». Обычно получаются четыре ушка: или по концам двух диаметров, составляющих 45 с направлением прокатки, или по концам диаметров, расположенным под углом 0и 90 с направлением прокатки. Расположение и высота ушков зависят от особенностей металла. В одном и том же метал-ле(медь и сталь) могут быть получены оба типа ушков. У латуни в местах расположенных под 0и 60, наблюдалось шесть ушков. Признанно, что ушкообразование обусловлено анизотропией прокатного листа.

Похожие диссертации на Некоторые вопросы теории и задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических сред

Задачи определения упругопластического состояния сложных и упрочняющихся средКовалев Алексей Викторович

Применение конформных преобразований для определения напряженнного состояния упругих сред, ослабленных системой трещинАфян, Борис Александрович

Методы факторизации в проблеме оценки напряженно - деформированного состояния сред территорий с разломамиФедоренко, Алексей Григорьевич

Собственные упругие и пластические состояния анизотропных сред Матченко Илья Николаевич

Аналитический метод исследования напряженно-деформированного состояния неоднородных многослойных сред и конструкций с учетом сингулярности границМеньшова Ирина Владимировна

Вариант построения теории пластичности ортотропных сред : Квадратичная функция предельного состоянияКузнецов Евгений Евгеньевич

Вариант построения теории идеальной пластичности ортотропных сред : Полиномиальная функция предельного состоянияЗахарова Ирина Александровна

Плоское состояние микрополярной связной сыпучей средыСмотрова Ольга Анатольевна

Напряженное состояние случайно-неоднородной среды с полостьюУатаев, Каблан Шарипханович

Осесимметричная деформация пластически сжимаемых сред в условиях неоднородного напряженного состояния Флакс Матвей Яковлевич