Введение к работе
Актуальность проблемы
К числу важных проблем в науках о Земле в настоящее время относится проблема прогноза землетрясений. Землетрясения в Гаити и Индонезии, унесшие более 6оо тысяч жизней, являются серьезным предупреждением для всех сейсмоопасных зон. Работа посвящена исследованию актуальной на сегодняшний день проблемы прогноза нарастания сейсмичности в сейсмоопасных зонах, имеющих сложный ландшафт, в том числе горный, а также разломы. Несмотря на обилие работ в этой области, проблема не решена и по сей день. В работе предлагается исследование этой проблемы с применением метода механики разрушения. Для реализации этого подхода развиваются методы расчета напряженности литосферных плит как деформируемых твердых тел, подвергаемых внешним воздействиям различной природы. Для решения этой проблемы в соответствии с требованиями механики деформируемого твердого тела необходимо сформулировать соответствующие граничные задачи в областях, занимаемых литосферными плитами. В свою очередь литосферные плиты имеют разломы трещины, включения, которые могут сильно влиять на их прочностные свойства. В частности, разломы литосферных плит, согласно имеющимся данным вибросейсмического зондирования, могут быть сквозными, рассекающими литосферную плиту от поверхности до основания, частичными, выходящими либо на поверхность, либо на нижнее основание, внутренними, являющимися полостями, не касающимися границы. Все эти разломы способны существенно влиять на концентрацию напряжений в литосферных плитах и, следовательно, на нарастание сейсмичности. Считается, и это подтверждено практикой, что очагами землетрясений являются именно зоны разломов. В работе развивается метод оценки напряженно-деформированного состояния среды территории, которая имеет разломы, основанный на факторизационных подходах. Отметим, что огромный вклад в решение проблем прочности и разрушения деформируемых тел различной реологии внесли
В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, В.Г.Баженов, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольдштейн, И.Г. Горячева, И.М. Дунаев, Л.А.Игумнов, Д.А. Индейцев, В.И. Колесников, А.М.Липанов, Е.В.Ломакин, С.А.Лурье, А.В. Манжиров, А.А.Мовчан, Н.Ф. Морозов, А.Д. Полянин, В.П. Матвеенко, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, В.С. Саркисян, А.В. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Л.А. Фильштинский, Ю.К.Чернов, Ю.Г. Яновский и др.
Метод, разработанный в диссертации, применяется для сейсмических исследований литосферных плит территории Краснодарского края с учетом имеющихся разломов.
Цель исследования - создание математического аппарата, специально приспособленного для сейсмических исследований территорий, содержащих несколько разломов различной природы с несколькими блоками литосферных плит. Метод должен быть достаточно унифицированным, чтобы обеспечить однотипный подход к решению разнообразного круга задач, описываемых как дифференциальными, так и интегральными уравнениями. Он должен быть достаточно универсальным, способным описывать процессы в глобальных и локальных областях, не утрачивая точности. Таковым является метод факторизации. Результаты исследований должны быть адаптированы для оценки напряженно-деформированного состояния территории Краснодарского края с учетом разломов литосферных плит этого региона.
Научная новизна результатов работы определяется тем, что впервые удалось сформулировать и построить алгоритмы применения однотипного математического аппарата для исследования, казалось бы, разных граничных задач. Впервые построена математическая модель для описания поведения комплекса взаимодействующих блоков литосферных плит, способная учитывать разнотипность разломов.
Научное и практическое значение результатов работы. Научное значение полученных результатов заключается в том, что разработанные методы могут найти применение в смежных областях науки - в нанотехнологиях, при решении проблем оценки прочности подземных сооружений, в теории прочности изделий, для изготовления которых использованы сложные композиционные материалы.
Практическое значение работы состоит в применении этих методов для целей оценки сейсмической обстановки Краснодарского края. С применением ГИС-технологий удается осуществить учет влияния всех основных типов разломов на территории Краснодарского края и территории, на которой возводятся олимпийские объекты. Прикладное значение результатов состоит в создании модели для оценки нарастания сейсмичности по максимальным разрушающим напряжениям в литосферных плитах регионов с разломами.
Результаты исследований нашли внедрение при выполнении грантов РФФИ 06-08-00671-а; 06-01-96804-р_юг_офи; 06-08-96800-р_юг_офи; 07-05-00858-а; 07-01-12028-офи; 08-01-99013-р_офи; 08-07-10000-к; 08-08-00447-а; 08-08-00669-а; 09-08-00171-а; 09-08-00294-а; 09-08-96522-р_юг_а; 09-08-96527-р_юг_а, гранта Президента РФ по поддержке молодых докторов наук МД-1554.2009.1, проекта НШ-3765.2010.1.
Достоверность результатов
Достоверность теоретических результатов следует из применения строгих математических методов, а также подтверждается проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Такие факторизационные методы, как дифференциальный и интегральный методы факторизации, апробированы, опубликованы в ведущих журналах, переведенных за рубежом, докладывались на конференциях и семинарах, включены в научные отчеты.
На защиту выносятся:
1. Разработка метода факторизации исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных для комплекса блочных элементов, моделирующих горизонтально ориентированные блочные структуры
2. Разработка способов применения блочных элементов для моделирования литосферных плит для территорий со сложным, в том числе горным, ландшафтом и разломами.
3. Разработка методов моделирования литосферных плит для территорий с разломами.
4.Построение алгоритма математического моделирования территории Краснодарского края с использованием ГИС - технологий.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на Х Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды": (Ростов н/Д, 2006г.), на всероссийских конференциях грантодержателей РФФИ в 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г., (Краснодар), на семинарах отдела проблем математики и механики ЮНЦ РАН, Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф Кубанского государственного университета, на заседаниях кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета.
Публикации
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 12 публикациях, из них 8 работ – в важнейших изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Личный вклад автора. Выбор темы, цели и задачи, а также возможные пути проведения исследований осуществлялись автором диссертационной работы совместно с научным руководителем и научным консультантом. Научный руководитель определял стратегию исследования проблемы, научный консультант давал консультации по построению блочных элементов и их применению в блочных структурах. Личный вклад автора заключается в следующем: рассмотрен вопрос построения блочных элементов, приспособленных для формирования литосферных плит для территорий с разломами; выполнена работа по построению горизонтально ориентированной блочной структуры, имитирующей литосферные плиты территории с разломами; применен метод блочного элемента, построены все внешние формы для блоков территории Краснодарского края, проведены построения касательных расслоений границ блоков, осуществлена факторизация, построены псевдодифференциальные уравнения, найдены корни коэффициентов характеристических уравнений блоков территории Краснодарского края.
Обсуждение полученных результатов, их анализ и формулировка выводов проводились совместно с научным руководителем и научным консультантом.
Структура, содержание и объем работы
Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованной литературы, содержащего 125 наименований, приложения. Объем диссертации с приложением 132 страницы.
Во введении дается обзор основных проблем сейсмологии, касающихся этой области исследований и имеющихся результатов. Обосновывается необходимость развития концепции оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит для прогноза зон подготовки землетрясений. Дается анализ существующих математических подходов к изучению краевых задач для связанных систем линейных дифференциальных уравнений. Акцентируется внимание на недостаточности этих методов для решения проблем сейсмологии. Разъясняется причина неэффективности решения этой проблемы методами, отличными от факторизационного. Рассматриваются особенности метода факторизации, его преимущества при исследовании проблем сейсмологии перед другими методами, а также определенные сложности технического характера при его применении.
В первой главе диссертации формулируется постановка задачи и излагается дифференциальный метод факторизации. Показано, что для территорий, имеющих разломы, следует рассматривать блочную структуру горизонтальной ориентации. Для этих целей необходимы блочные элементы, допускающие горизонтальное сопряжение. Даются формулы, представляющие общее решение дифференциальным методом факторизации граничной задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных произвольного порядка с постоянными коэффициентами, которое имеет вид
Входящие в формулу параметры описаны в диссертации и публикациях соискателя. На основании этих формул в этой же главе строятся двумерные и трехмерные простейшие блочные элементы в форме прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда. Предварительно дано обоснование целесообразности на данном этапе рассматривать их, не теряя общности, для уравнений Гельмгольца.
Во второй главе рассматриваются блочные элементы полубесконечных размеров, с помощью которых возможно формировать литосферные плиты с разломами в областях больших размеров. Приводятся примеры формирования таких трехмерных структур на основе использования блочных элементов в виде прямоугольных параллелепипедов. Строятся примеры разломов для случаев плоских границ, что позволяет формировать горизонтально ориентированную блочную структуру с разломами заданной геометрии и размеров.
В третьей главе строятся блочные элементы, с помощью которых моделируются горные массивы. Это блочные элементы в виде треугольных и многогранных пирамид. Будучи поставленными плоским основанием на верхнюю границу слоя, они моделируют горную возвышенность, а перевернутые и поставленные на нижнее основание слоя - корень горной возвышенности, если его геометрическая форма установлена.
Приводятся определяющие уравнения и параметры блочных элементов для всех основных блоков пирамидальной формы.
Так, для блочного элемента в форме произвольной треугольной пирамиды внешняя форма для уравнения граничной задачи в локальных системах координат имеет вид
Тогда функциональные уравнения для пирамиды представимы в форме
Псевдодифференциальные уравнения имеют вид
Представление решения дается соотношением
Таким образом, в первых трех главах представлен полный набор средств для моделирования трехмерных структур литосферных плит.
В четвертой главе результаты построений предыдущих глав применяются для моделирования литосферных плит территории Краснодарского края с учетом тектонических разломов. Обосновывается целесообразность рассмотрения, в условиях неопределенности и недостаточного количества параметров, простейших моделей литосферных плит, в частности, мембран и пластин.
Здесь приняты соображения о том, что точную модель, воспроизводящую территорию региона, построить невозможно по целому ряду причин. Вот некоторые из них.
1. Нет достаточно достоверных сведений о глубинной структуре территории, толщинах литосферных плит, расположении границ Конрада и Мохоровичича, характере "корней" горных массивов.
2. Отсутствуют данные о типах разломов - являются они сквозными, частичными или скрытыми, внутренними.
3. Нет сведений о горизонтальных движениях литосферных плит.
4. Неизвестна глубинная активность Земли в зоне территории Краснодарского края.
В связи с этим нет необходимости использовать трудоемкий точный аппарат исследования задачи, а потому целесообразно построение упрощенной модели или моделей. Они будут служить средством для отработки на них алгоритмов и подходов изучения территорий с разломами.
В процессе построения этих моделей должен быть выработан и алгоритм их уточнения по мере поступления дополнительной информации о свойствах перечисленных объектов, данных о которых в настоящий момент нет.
Сказанное выше дало основание принять такого рода модели, которые, с одной стороны, являются достаточно простыми, а с другой позволяют извлекать полезную информацию о пусть ограниченном количестве параметров, но все-таки дающих представление о напряженно-деформированном состоянии такой сложной системы, как территории с разломами.
Приняты следующие варианты.
1. Относительная средняя толщина коры Земли в пересчете на масштаб шара с 30-сантиметровым диаметром составляет доли миллиметра. Это позволяет в качестве моделей литосферных плит приближенно принять модели разнотипных мембран, контактирующих по разломам, или рассеченных разломами, находящихся под действием нормальных сил, действующих сверху и снизу. В процессе этих воздействий возникают касательные силы натяжения, характеризующие напряжения в срединной плоскости литосферной плиты.
Таким образом, уравнение, моделирующее литосферную плиту в этом приближении, принимает вид
Здесь - вертикальное движение мембраны под номером ; - сила натяжения мембраны в сечении; - плотность материала мембраны; поперечные внешние силы, действующие на мембрану.
Граничные условия предполагают отсутствие жесткого закрепления краев мембраны, т.е. допускаются их наклоны, в случае контактов – сопряжение перемещений и наклонов. На границах разломов – условия, диктуемые типом разлома. Граничное условие на неконтактирующей границе может иметь одно из представлений
где - граница мембраны, -нормаль к границе.
В случае статической задачи или гармонических колебаний, граничная задача сводится к уравнению Гельмгольца
С помощью этих моделей, представляющих блоки в виде мембран, оказывается возможным измерение параметров напряжений, лежащих в касательной плоскости блоков.
2. Известно, что модель мембраны не учитывает изгибные напряжения. Для их учета принимаются модели разнотипных пластин Кирхгофа.
Здесь - вертикальное перемещение пластины под номером в заданной точке; - нормальная нагрузка, действующая на пластину; - коэффициенты Ламе материала пластины; - толщина пластины.
Основные характеристики параметров напряженно-деформированного состояния пластины даются соотношениями
Здесь , - суммы перерезывающих сил на единицу длины в сечениях, перпендикулярных осям и соответственно;
, - изгибающие моменты относительно осей и соответственно; , -крутящие моменты относительно осей и соответственно.
Рассматривая литосферные блоки как свободно опертые пластины, что вполне естественно, исследование граничной задачи можно свести к исследованию граничных задач для мембран или для уравнений Гельмгольца в статическом случае , т.е. уравнений Лапласа или Пуассона. На границах разломов задаются соответствующие условия сопряжения.
3. В областях прямолинейных разломов в предположении действия на их границах касательных напряжений, параллельных направлениям разломов, возникает антиплоская граничная задача Она также сводится к уравнениям Гельмгольца.
Показано, что даже для таких моделей проблема исследования напряженно-деформированного состояния среды территории с разломами оказывается достаточно сложной как теоретически, так и технически.
Для принятых моделей, породивших в связи с разломами блочные структуры, построены все необходимые параметры для реализации модели и предложен алгоритм реализации.
В частности, с помощью ГИС-технологий построен комплекс
известных разломов территории Краснодарского края, описанных
уравнениями ломаных, фрагмент приведен ниже.
Для реализации разработанного метода введена горизонтально ориентированная блочная структура, основу которой составили вырезанные разломами блоки, а также блоки, построенные в результате введения "виртуальных" разломов как продолжений или замыканий имеющихся разломов. Достоинство факторизационного метода состоит в том, что псевдодифференциальные уравнения обеспечивают правильное удовлетворение граничных условий, как на реальных, так и на виртуальных разломах.
Дальнейшее исследование блочной структуры использует уже отработанные шаги по введению топологии, двумерных многообразий с краем, их касательных расслоений, введения локальных систем координат, внешних форм, отвечающих граничным задачам в каждом блоке, построению функциональных, а затем в результате факторизации псевдодифференциальных уравнений и представлений решений в каждом блоке.
В частности, для блока, например, треугольной формы,
функциональное уравнение, из которого затем факторизацией строится псевдодифференциальное уравенение и представление решений имеет, в одной из локальных систем координат, вид
Здесь – внешние формы, представимые в виде
- границы блока, вдоль которых осуществляется интегрирование.
Вычислительная часть, связанная с проводимыми расчетами , приведена в приложении. При этом учитывались все 46 разломов, некоторые из которых описывались ломаными линиями.
Окончательные расчеты требуют введения ряда параметров среды в каждом блоке. Наполнение модели параметрами позволит осуществить ее полную компьютерную реализацию.
В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации, перспектива дальнейших исследований и приложений.
В приложении приводится фактический материал по расчетам параметров блочных элементов с использованием ГИС-технологий для территории с разломами применительно к Краснодарскому краю.
Похожие диссертации на Методы факторизации в проблеме оценки напряженно - деформированного состояния сред территорий с разломами
