Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Факторизация функций и матриц-функций 27
1. Некоторые сведения из теории факторизации функций 27
2. Факторизация матриц-функций 29
3. О факторизации матриц-функций, не вырождающихся в функционально-коммутативные
4.0 факторизации матриц-функций порядка N 42
5. Факторизация матриц-функций относительно оси 44
6. Новые формулы факторизации некоторых мероморфных матриц-функций 49
Глава 2. Метод факторизации в краевых задачах для систем дифференциальных уравнений механики сплошных сред и математической физики 60
1. Топологическая основа метода факторизации 60
2. Метод факторизации для обыкновенного дифференциального уравнения в сравнении с другими методами 62
3. Прямой метод факторизации решения некоторых краевых задач.. 73
4. Обобщенная факторизация в краевых задачах в многосвязных областях 82
5. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях 96
6. О методе факторизации в краевых задачах для сплошных сред... 104
7. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики 111
8. Исследование краевых задач двойной факторизацией 119
9. Исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений высокого порядка 128
10.0 выполнении граничных условий в методе факторизации 134
Глава 3. Факторизация в теории вирусов вибропрочности 145
1. Некоторые вопросы локализации, резонансов и вирусов вибро прочности для сред с неоднородностями 145
2. О существовании вирусов вибропрочности 146
3. Локализация и резонансы в случае единичных штампа и трещины 158
4. О классификации вирусов вибропрочности 165
5. Метод факторизации в теории вирусов вибропрочности 171
Глава 4. Проблема оценки воздействий на нижнее основание литосферной плиты 182
1. Основные уравнения теории переноса субстанций 182
2. Задача переноса субстанций в многослойной среде 189
3. Распределение субстанций-плюмов на границе Мохоровичича с разнородными зонами 194
4. Задача о движении и концентрации субстанций при конвективном движении среды 196
Глава 5. Проблема концентрации напряжений во взаимодействующих литосферных плитах и их устойчивость 205
1. Уравнения напряженно-деформированного состояния литосферной плиты 205
2. Концентрация напряжений во взаимодействующих литосферных плитах 214
3. Потеря устойчивости литосферных плит 218
4. Об оценке поведения плит после потери устойчивости 223
Заключение 227
Библиографический список 230
Приложения 253
- Факторизация матриц-функций
- Метод факторизации для обыкновенного дифференциального уравнения в сравнении с другими методами
- О существовании вирусов вибропрочности
- Задача переноса субстанций в многослойной среде
Введение к работе
Актуальность проблемы
К числу нерешенных современных проблем наук о Земле относится прогноз землетрясений. Исследования в этой области ведутся издавна, опубликовано большое количество работ, проблемой занимаются выдающиеся ученые планеты. Однако до сих пор нет сколько-нибудь надежных ее решений.
Причина заключается в том, что оценка сейсмического состояния глубинных слоев Земли - одна из труднейших задач, с которыми когда-либо сталкивались исследователи, в ней воплощены все известные проблемы математики, механики, физики, химии и экспериментальных исследований. Сложности проблемы и разнообразным подходам к их решению посвящены работы [3, 121, 127, 148, 155, 168, 172, 173, 176-181, 193, 198, 200, 220] и др.
Назовем некоторые из них. Прежде всего, недоступность глубинных слоев Земли для получения надежных данных относительно параметров среды и протекающих там процессов. Известны лишь сравнительно приближенные модели тектонического строения Земли. Велико разнообразие и разброс как геометрических характеристик глубинных зон, так и физико-механических и химических процессов, протекающих в активных зонах, известных лишь приближенно, а зачастую принимаемых на основе гипотез.
Добавим к этому отсутствие знаний или установившейся точки зрения относительно строения коры Земли - является она сплошной структурой или блочной.
В настоящее время накоплен значительный материал, относящийся к оценке произошедших землетрясений по оценкам магнитуды и балльности сейсмических событий, местах традиционного проявления этого события, построены модели протекания процесса разрушения среды. Однако исследований по анализу нарастания сейсмической напряжённости с позиции механики разрушения литосферных плит выполнено очень немного. Известные в этой области работы связаны со значительной идеализацией литосферных плит - идеализацией неоднородностей, разломов, вызванных незнанием строения литосферных плит в заданном районе.
И тем не менее концепция механического разрушения литосферных плит имеет под собой основу. Приведем соображения, которые дают основания применять этот подход в проблеме сейсмичности.
Кора Земли представляет собой деформируемое тело - сферическую плиту, в основном упругую, имеющую сложное строение, с разломами, рельефами, включениями и полостями (рис. В. 1). В ней различают, как правило, три характерные границы между осадочными структурами и кристаллическими - гранитом, между гранитом и базальтом (граница Конрада) и между базальтом и верхней мантией (граница Мохоровичича). Это не исключает наличия и других многочисленных границ в разных местах Земли. Нельзя исключать и часть коры Земли, превосходящую по площади территорию суши, покрытую океаном, где сформирована граница между водным слоем и непосредственно твердыми кристаллическими структурами дна (рис. В. 2).
С точки зрения происходящих сейсмических событий кору Земли нельзя рассматривать крупномасштабным объектом, поскольку сейсмические события в масштабах размеров Земли носят мелкомасштабный, локальный характер. Максимальные зарегистрированные разломы Земли, появлявшиеся при землетрясениях, не превосходят 100 км в длину, что в масштабах протяженности экватора Земли (40 000 км) является малой величиной. Это же показывают и сейсмические события. Их проявления в одних местах, как правило, не влекут за собой подобных событий в других, удалённых районах. В связи с этим при изучении сейсмического события в литосферной плите анализируются мелкомасштабные особенности, разломы, включения, неоднородности, воздействия, а сама литосферная плита принимает образ горизонтально протяжённой и даже неограниченной трёхмерной плиты, имеющей сложное строение с рельефными внешними и внутренними границами. Проблема усугубляется тем, что относительно литосферной плиты нам достоверно известна лишь форма доступной её верхней границы. С учётом знаний и теорий исторических геологических процессов имеется предположительное описание строения зон осадочных пластов и пород, возможно, содержащихся в них, и совсем мало сведений известно относительно кристаллической части лито-сферной плиты (рис. В. 3). В то же время понятно, что основная часть упругой энергии накапливается именно в этой зоне, здесь формируются очаги наиболее сильных землетрясений, что следует из оценок глубин этих очагов (рис. В. 4).
Известно, что кора Земли имеет толщину от 6—8 км под дном океанов до 50 км в зонах горных массивов. Поэтому сильные землетрясения с глубинами более 50 км, называемые глубокофокусными, случаются редко и их разрушительное воздействие мало. Граница Мохоровичича разделяет упруго-деформируемую кристаллическую часть коры Земли и предположительно вязко-упругую, текучую, пластическую, относящуюся к верхней мантии ас-тиносфере. Наличие и места расположения разломов литосферньгх плит глобального характера, большой протяжённости, если они не выходят на поверхность, установлены по сейсмическим проявлениям, местам эпицентров землетрясений, сейсмической активности, а также с помощью спутниковых наблюдений. Это приэкваториальная зона, обилующая и вулканическими объектами, а также береговые зоны ряда океанов, в том числе и на Севере (рис. В. 5).
Однако сейсмические события происходят и в зонах, удалённых от глобальных разломов, т.е. определенную роль играют и разломы сравнительно малой мощности. Более того, в последние годы жизни академик М.А. Садовский, посвятивший много исследований проблемам сейсмичности, пришел к концепции блочного строения коры Земли. В его работах приведены многочисленные примеры, свидетельствующие о наличии оснований для такого утверждения [178-181]. Однако изучение волновых явлений в коре Земли не позволяет отвергать и ее сплошную структуру. Экспериментальные исследования глубинного строения литосферной плиты вплоть до нижнего основа 7 ния в штате Огайо, выполненные профессором Р. Вильямсом (университет
Теннесси, США) методом вибросейсморазведки с использованием тяжелого передвижного вибросейсмоисточника Y-3000, показали наличие как трещиноватого строения, претендующего на блочность литосферной плиты, так и зоны ее сплошности.
Скорее всего, имеет место и то и другое. Касаясь строения литосферных плит, нельзя не учитывать их преднапряжённость, сильную анизотропию, термоэлектроупругость, хотя и слабо проявляющуюся, а также вязкоупру-гость, по крайней мере, верхних слоев, где известны поднятия и опускания геологических структур (рис. В. 6).
Не меньше проблем представляет описание внешних факторов, влияющих на напряжённо-деформированное состояние литосферных плит. К их числу относится следующий, далеко не полный набор: центробежные силы, связанные с вращением Земли, наиболее значительные на экваторе и, возможно, наиболее значимые при подготовке землетрясений, атмосферное давление, притяжение Луны и возникающие приливы, выпадение осадков и волнения морей и океанов, подводные океанические течения, вызывающие ко-риолисовы силы, смена времён года и связанные с этим температурные и деформационные изменения, солнечная активность, техногенные воздействия, связанные с деятельностью человека. Нельзя исключать из рассмотрения и роль изобилующих на поверхности Земли и в глубинах ее коры электролитов - естественных и наведенных, последствия выемки углеводородного топлива в различных формах, приводящей к образованию полостей, и др. Наконец, требует исследования малоизученный фактор внешних воздействий на нижнее основание литосферной плиты (границу Мохоровичича), обусловленных глубинной активностью Земли в нижней мантии между границами Гуттен-берга и Мохоровичича, где не исключаются в условиях высокой плотности сложные физико-химические, а возможно, и термоядерные процессы, сопровождающиеся конвективными движениями жидких масс, движением плюмов с выделением тепла, газов и радиации (рис. В. 7, 8). К числу важнейших факторов необходимо отнести зарегистрированный медленно происходящий по границе Мохоровичича дрейф литосферных плит, сопровождающийся их горизонтальной деформацией, причина которого до конца неясна. Кроме того, нельзя исключать из рассмотрения ни один, даже кажущийся незначительным, фактор, поскольку, в сумме с другими факторами вблизи точки бифуркации он сможет спровоцировать сейсмическое событие (рис. В. 9).
Именно сложность строения литосферных плит и многофакторность внешних воздействий на них явились той причиной, что до сих пор нет признанного и строго установленного фактора или факторов, наиболее ответственных за нарастание сейсмической напряжённости литосферных плит. Понятно лишь одно: землетрясение - это разрушение литосферной плиты, происходящее с высвобождением упругой энергии, накопившейся в литосферной плите за счёт внешних воздействий. Здесь можно назвать несколько сценариев разрушения литосферных плит. В одних случаях места разрушения расположены в зонах наибольшей концентрации напряжений, выявляемой при решении основных или смешанных задач [4-9, 13-16, 25, 37, 84, 85, 92— 111, 123, 151, 152, 158, 163, 167, 169-171, 182, 184, 194, 195]. Процессы разрушения происходят при максимальных соответствующих напряжениях, если зона без неоднородностей. Если имеются разломы, то разрушения проявляются в вершинах трещин, включений или иных структур сложного строения, состоящих из совокупностей неоднородностей (вирусов вибропрочности) [92-101]. Могут иметь место упруго-пластические разрушения при наличии больших нелинейных деформаций [ 15 8, 173 ].
Наряду с разрушением литосферных плит по причине превышения предельных значений концентрации напряжений, в основном в зонах разломов, нельзя исключать разрушение их в связи с потерей устойчивости как нелинейных протяженных оболочек сложного строения за счет выпучивания или иных сложных движений, в том числе крутильного характера, но уже при сравнительно меньших напряжениях, чем нужны для разрушения твердого тела [66, 81, 91, ПО, 125, 188, 189]. Возможны и иные комплексные процессы, вызывающие разрушение литосферных плит, возникающие лишь при одновременном синхронном воздействии на плиту нескольких факторов в моменты подходящего стечения обстоятельств. Именно сложность определения мест подготовки землетрясения явилась причиной развития направления статистической оценки возможного землетрясения [121]. Понятно, что это не решает проблему прогноза.
Таким образом, при любых подходах к решению проблемы прогноза мест подготовки землетрясений, вопрос исследования напряженно-деформированного состояния литосферой плиты как сложного деформируемого тела обязательно возникает, и нет никаких оснований уклониться от анализа этих вопросов, если мы хотим понять процесс ее разрушения.
Как видно из сказанного, проблема оценки сейсмичности в теоретической части соприкасается практически со всеми разделами современной механики, прикладной математики, термодинамики, физики твердого тела, геофизики. Но для того чтобы они смогли быть успешно применены при оценке сейсмичности, многие методы из числа перечисленных нуждаются как в доработке, так и в приспособлении к проведению с их помощью многофакторного анализа.
Таким образом, специфика проблемы состоит в том, что в описанных задачах сейсмичности воедино переплетаются такие факторы, влияющие на прочность и разрушение литосферных плит, как сложная геометрия тел с не-однородностями, в том числе разной размерности и гладкости, сложное физико-механическое строение тел, совместное влияние различных полей, воздействующих и на внутренние, и на внешние точки твердого тела.
Нужно добавить, что эта задача ставится в условиях достаточно большой неопределенности. Если влияние вращения Земли вокруг оси и гравитационное поле достаточно определенны, то факторы, связанные с малыми движениями плит, не говоря о воздействии на нижнее основание на границе Мохоровичича, оказываются неизвестными. Описанная картина сложности в исследовании литосферных плит поначалу может показаться исключающей возможность решения проблемы. Однако созданные в настоящее время экспериментальные технологии и аппаратура позволяют получать важные данные геофизического характера, необходимые для постановок и исследований описанных задач.
Рядом возможностей для проведения экспериментальных исследований в этой области располагает геофизический полигон Кубанского государственного университета, где сосредоточены современные отечественные и зарубежные средства возбуждения, приема и обработки геофизической, сейсмологической, магнитотеллурической, гравитационной и физико-химической информации. Особое значение имеют данные о ежедневных вертикальных перемещениях поверхности Земли, получаемые на территории Краснодарского края с помощью сети гидрогеологических скважин и специальной автономно работающей аппаратуры (рис. В. 10).
С их помощью можно получить ряд данных, необходимых для корректных постановок математических задач. Заметим, однако, что информации лишь одного региона недостаточно для решения проблемы прогноза землетрясений. Необходима глобальная информация с обширных территорий.
Целью исследования является создание специально приспособленного для исследований в области сейсмологии математического аппарата, способного охватить описанный комплекс проблем механики деформируемого твердого тела. Метод должен быть достаточно унифицированным, чтобы обеспечить однотипный подход к решению достаточно разнообразного круга задач, описываемых как дифференциальными, так и интегральными уравнениями. Он должен быть достаточно универсальным, способным описывать процессы в глобальных и локальных областях, не утрачивая точности. Таковым явился метод факторизации, качественно обобщивший на дифференциальные уравнения подход, в свое время развитый Н. Винером, только для интегральных уравнений. Чтобы понять причины и убедиться в необходимости создания этого метода при наличии большого количества других подходов, проанализируем существующие методы решения пространственных задач.
Задачи о равновесии и установившихся колебаниях сред в рамках линейных моделей математической физики обычно описываются при помощи краевых задач для эллиптических операторов второго порядка. К таким классам относятся модели изотропной и анизотропной теории упругости, модели геоэкологии, модель пористоупругой среды Био, электроупругая и магнито-упругая среды, модели диффузии, теплопроводности и термоупругости.
Аналитические решения частных задач
Ряд точных решений для моделей связанных полей можно найти в монографиях [113, 114, 122, 153, 166, 217]. Однако они имеют специализированную направленность и не обладают универсальностью.
Аналитические и полуаналитические методы решения
К числу наиболее часто используемых методов построения аналитических (и полуаналитических) решений исторически относятся метод разделения переменных и метод интегральных преобразований, которые используются обычно для канонических областей. В последние годы получил развитие метод конечных интегральных преобразований, обобщающий известный метод Фурье разделения переменных; в некоторых задачах решение строится в рядах, в некоторых дополнительно приходится решать бесконечные системы [136, 183].
К числу методов, часто используемых при решении краевых задач, принадлежат метод суперпозиции и метод однородных решений. Эти подходы, как правило, приводят к бесконечным алгебраическим системам, которые необходимо решать численно на основе метода урезания и, как правило, позволяют обосновать сходимость метода редукции. К недостаткам этого подхода относятся достаточно узкий класс областей и сложность исследования структуры решения на особых множествах границы. Исследования в этой области, несмотря на долгую предысторию, продолжаются и в наше время [184]. Численные методы решения
В большинстве краевых задач для упомянутых операторов для неканонических областей точное решение построить не удается и встает вопрос об эффективном численном анализе задачи. Все существующие численные методы анализа краевых задач для дифференциальных операторов в частных производных и способы сведения к конечномерным проблемам условно можно разбить на две большие группы.
1-я группа. Метод алгебраических систем К первой группе относятся методы, основанные на прямом сведении пространственных задач (3D) к алгебраическим системам. Сюда относятся разностные методы, основанные на простейших аппроксимациях операторов в частных производных разностными, и проекционные, базирующиеся на идеях метода Галеркина [203, 204].
При наличии слабых постановок можно использовать конечноэлемент-ные аппроксимации. Отметим, что наибольшего расцвета технология конеч-ноэлементных аппроксимаций достигла, оформившись в ряд мощных пакетов, для которых посильно решение самых разных задач из упомянутых областей механики и математической физики.
Так, вывод уравнений МКЭ из вариационных принципов электроупругости был проведен впервые, по-видимому, в [206].
В многочисленных публикациях, посвященных МКЭ для электроупругих сред, этот метод получил дальнейшее развитие. Были использованы (и построены новые) различные типы КЭ, разработана техника учета граничных условий для электродированных поверхностей (аналог контактных элементов), созданы специализированные КЭ-программы [258-260], позволяющие определять все требуемые характеристики полей, частоты резонансов и ан-тирезонансов, КЭМС и т.п.
Развитие конечноэлементных технологий в настоящее время осуществляется в нескольких направлениях.
1. Построение внутри конечного элемента аппроксимаций повышенной точности, использование для этого сплайн-аппроксимаций, позволяющих по 13 лучать гарантированную точность решений при небольшом числе элементов, в том числе и вблизи границ [246].
Наиболее полно идеология такого подхода и ряд теоретических результатов по КЭ-аппроксимациям высокого порядка изложены в монографии [11].
2. Построение новых типов элементов [251].
3. Использование концепции суперэлементов, на основе которой возможно значительное сокращение порядка решаемых алгебраических систем [162].
4. Построение принципиально новых типов элементов, функции формы которых точно удовлетворяют дифференциальным уравнениям (элементы Треффтца) (см., например, [248]).
5. Распространение идей МКЭ на новые типы краевых задач, учитывающих разнородность сред и сопряжение физических полей (электроупругость, акустоупругость, акустэлектроупругость, термоэлектроупругость, различные керамики и ферроэлектрики) [52-54, 59, 117, 156, 213, 215, 219, 223, 224, 227-229, 233, 234, 242, 243, 256].
6. Создание автоматических алгоритмов разбиения области, обладающих минимальной шириной ленты в системе алгебраических уравнений [209-212, 218, 235, 247, 253, 254].
Созданию новых технологий в МКЭ посвящена работа [68].
2-я группа. Метод граничных интегральных уравнений. Эта группа методов алгебраизации краевых задач основана на предварительном понижении размерности исходных проблем и сведении их к двумерным операторным (интегральным) уравнениям — граничным интегральным уравнениям (ГИУ). При этом различают прямую формулировку, когда в качестве неизвестных фигурируют граничные значения векторов перемещений и напряжений, и непрямую, когда в качестве неизвестных выбираются плотности фиктивных сил. Кроме того, для прямой формулировки возможны два подхода при построении этих систем. Первый основан на использовании идей теории потенциала и теоремы взаимности в самой общей форме для линейных моделей. Наиболее ясно этот подход изложен для операторов теории упругости и термоупругости в известной монографии [134].
В анизотропном случае отметим работы [252] и дальнейшее развитие метода в работе [255]. Вычислительные аспекты и приложения в механике даны в работах [ 126, 143, 192, 214, 225, 245].
Соответствующие граничные уравнения для моделей линейной электроупругости приведены в монографиях [165, 195].
Разработка граничноэлементных аппроксимаций применительно к новым классам операторов типа задач электроупругости осуществлена в работе [231].
Нестандартная формулировка граничноэлементной аппроксимации изложена в работе [232].
Ключевым моментом в построении систем ГИУ является разработка фундаментальных и сингулярных решений для соответствующего оператора в частных производных. Если оператор имеет постоянные коэффициенты, то фундаментальное решение существует и может быть найдено эффективно из теоремы Мальгранжа - Эренпрейса при помощи трехмерных интегралов Фурье (см., например, [130, 131, 140, 250]).
Основным препятствием для более интенсивного использования граничных уравнений и технологий на основе МГЭ является либо отсутствие простой формы фундаментальных решений (например, представление через гипергеометрическую функцию), либо невозможность кардинального упрощения интегрального представления. В то же время построение новых представлений функций Грина (удовлетворяющих некоторым граничным условиям) открывает большие перспективы на пути использования метода ГИУ. Ранее построенные фундаментальные решения нашли отражение в работах [230, 236-238]. Построенные системы двумерных ГИУ второго рода по границе тела
могут быть использованы как для аналитического изучения структуры решения (особенно в окрестности особых множеств границы), так и для приближенного анализа и сведения к конечномерным проблемам (линейным алгебраическим системам) на основе различных подходов. Отметим, что уравнения, построенные согласно этой схеме, имеют нерегулярные ядра, хотя для большинства используемых таких уравнений. справедливы теоремы Фред-гольма.
Классический метод ГЭ, основанный на аппроксимации граничных полей, начал развиваться относительно недавно, что связано с появлением мощных вычислительных машин. Классический метод МГЭ (ВЕМ) приводит к решению хорошо обусловленных систем в силу того, что интегральные операторы в двумерных ГИУ имеют сингулярные особенности. К сожалению, для ряда осесимметричных задач изотропной теории упругости, для задач анизотропной теории упругости ядра интегральных операторов не выражаются в явном виде, что в значительной степени осложняет процедуру численной реализации, поскольку метод приводит к вычислению большого количества кратных сингулярных и несингулярных интегралов. При дискретизации и сведении к алгебраическим системам основная трудность - вычисление коэффициентов матрицы системы, которые даже в случае наличия явного вида фундаментальных решений (изотропная теория упругости) приводят к вычислению большого числа двойных интегралов; для более сложных ситуаций, когда фундаментальные решения не имеют явного представления, эти интегралы становятся многократными и главное достоинство метода ГИУ — понижение размерности - сходит на нет.
Одним из альтернативных подходов представленной идеологии является сведение краевых задач к граничным уравнениям первого рода, которые в теории потенциала были предложены впервые в работах В.Д. Купрадзе и М.А. Алексидзе [7-9, 132-134]. Однако в качестве ядер интегральных операторов были использованы фундаментальные решения соответствующих дифференциальных операторов. В.Д. Купрадзе предложил использовать регулярные интегральные уравнения, которые формулировались по некоторой вспомогательной поверхности, лежащей вне тела, что приводило к плохо обусловленным алгебраическим системам при дискретизации. В силу того, что фундаментальные решения многих операторов не выражаются в явном виде, этот подход оказался совершенно неэффективным для операторов анизотропной теории упругости и электроупругости, других, более сложных моделей, для которых возможно лишь построение интегральных представлений фундаментальных решений. Дадим характеристику этого метода в сопоставлении с другими методами исследования и решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Численные методы, основанные на вариационных принципах, методы Рица, Галеркина эффективны при исследовании задач, решения которых описываются слабо осциллирующими функциями и в ограниченных областях. Увеличение размеров области и наличие внутренних особенностей и сильной осцилляции делает эти методы неэффективными.
Метод граничных интегральных уравнений позволяет формулировать краевые задачи, сугубо связанные с дифференциальными уравнениями изотропной теории упругости в ограниченных областях. Переход к уравнениям более общего вида, анизотропным, с электроупругими соотношениями требует дополнительных усилий по построению аналогов формулы Бетти. Недостатками метода являются сингулярность входящих в представление интегральных уравнений операторов, а также полная утрата качественных особенностей задач вибрации, наличия параметров, описывающих осцилляци-онный характер зависимостей, связанных с возникновением волновых процессов.
Метод фундаментальных решений в отличие от предыдущего случая уже учитывает характер зависимости параметров, описывающих ядра инте 17 гральных уравнений от частоты, однако его недостатком является наличие особенностей в ядрах.
В работах [23, 47] на основе анализа трансформант Фурье функций с носителем в конечной области была построена система интегральных уравнений 1-го рода с гладкими ядрами для оператора изотропной теории упругости. Фактически в качестве ядер в этом случае фигурируют экспоненциальные решения соответствующего оператора. При прямой численной реализации этого подхода оказывается, что коэффициенты соответствующего дискретного оператора представимы в виде интегралов от экспоненциальных или цилиндрических функций. Если говорить об общем пространственном случае при достаточно простой аппроксимации границы многогранником и простых интерполирующих функциях, то коэффициенты алгебраических систем, которые при этом получаются, могут быть выписаны в явном виде, что является несомненным достоинством этого подхода и открывает большие перспективы. Главный недостаток полученных ГИУ 1-го рода - плохая обусловленность возникающих при этом алгебраических систем. На сегодняшний день имеются достаточно мощные вычислительные средства, позволяющие анализировать алгебраические системы, в основе которых лежит метод регуляризации в той или иной форме. Так, синтез МГЭ и метода регуляризации позволяет использовать эти уравнения для определения как характеристик напряженно-деформированного состояния, так и резонансных частот. Использование априорной информации о структуре решения позволяет существенно продвинуться в процедуре обращения вполне непрерывного оператора и создать эффективные численные алгоритмы для этого.
Идеология ГИУ первого рода с гладкими ядрами развивалась в работах [69-71,217].
Для регуляризации использовались либо метод А.Н. Тихонова, либо метод решения плохо обусловленных систем (метод Пейджа - Саундерса). Отметим, что в этом случае достаточно точно и устойчиво определялись резонансные частоты краевой задачи (это следует из сравнения результатов рас 18 четов с точными решениями для модельных задач для канонических областей). Точность определения граничных значений неизвестных несколько хуже. Для более точного определения граничных значений неизвестных предложено использовать регуляризацию на компактных множествах, в качестве которых выбирались множества кусочно-гладких на границе функций с известными точками (линиями) нарушения гладкости. При этом использовались аппроксимации высокого порядка (второго, третьего и квазисплайны), для которых условия сопряжения на границе элемента выполняются автоматически.
Отметим таюке работу, посвященную новым ГИУ для трещин [257]. Кроме того, возможные варианты построения ГИУ с непрерывными ядрами обсуждены в работе [114].
В последние десятилетия интенсивно развиваются гибридные схемы, сочетающие конечноэлементяые и граничноэлементные аппроксимации [49, 221].
Сочетание метода граничных элементов для акустических сред с конечно-элементными аппроксимациями для упругих и пьезоэлектрических областей рассматривалось также в [240].
Данный обзор показывает, что существующие методы не обладают универсализмом и больше специализированы для решения конкретных частных задач. Усложнение областей, типов неоднородностей, концентраторов напряжений, выход на задачи с бифуркациями делает неприемлемыми те или иные из перечисленных методов, начиная с некоторого усложнения задачи. Эти методы практически не применялись в задачах для совокупностей трещин и включений. Рассматриваемые в диссертации краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных, являющиеся весьма общими, исследовались при различных предположениях относительно свойств оішсьівающих ее параметров, коэффициентов. Теоретические исследования подобных систем в предположении эллиптичности изучались различными методами в работах С.Г. Михлина, О.А. Ладыженской, М.И. Ви 19 шика, Г.И. Эскина и других авторов, например, [1, 12, 50, 56, 74-76, 78-80, 116, 120, 132, 135, 138, 141, 144, 150, 183, 186, 190, 204].
Приведенный достаточно полный обзор существующих методов показывает, что несмотря на эффективность при решении конкретных специальных задач, ни один из них не удовлетворяет полностью всем требованиям, необходимым для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит. Эти методы могут быть использованы на разных этапах после стадии математического анализа проблемы, который будет выполняться создаваемым методом факторизации.
Научная новизна результатов работы. Для исследования напряженно-деформированного состояния литосферных плит, преодоления перечисленных сложностей был развит метод факторизации исследования краевых задач, использующий топологический подход, приведший к применению методов интегральной геометрии, теории функций многих комплексных переменных, многомерных вычетов, внешнего анализа, факторизации [2, 12, 58, 61, 63, 73, 77, 78, 89, 90, 112, 137, 144, 149, 174, 175, 191, 199, 204, 205], т.е. методов разных математических направлений. Стояла проблема изучения воздействия на литосферную плиту большого количества отмеченных выше внешних факторов. Это приводило к краевым задачам для больших систем дифференциальных уравнений в частных производных. Данную проблему удалось преодолеть, впервые построив формулы факторизации основных типов полных мероморфных матриц-функций [18, 20, 36], чего не удавалось сделать раньше [34, 72, 84, 88, 105-108, 139, 159, 204, 241]. Это освободило исследователя от непростой работы по изучению собственных векторов крупноразмерной матрицы-функции многих переменных с большим количеством параметров, не имеющих конкретных числовых значений, и формализовало исследование краевой задачи для системы дифференциальных уравнений до уровня одного дифференциального уравнения. При изучении этих вопросов появилась теория «вирусов вибропрочности», справедливо названная так из-за скрытости совокупностей неоднородностей (вирусов), в одних условиях и их разрушительного воздействия на механический объект - в других [15,16,25,29].
Учет блочных объектов, неоднородностей той же размерности, что и плита, привел к необходимости разработки таких методов исследования задач прочности, которые учитывали бы совместное, комплексное влияние и физических, и геометрических характеристик поставленных задач. Протяженность, неограниченность литосферных плит с рельефными поверхностями делает неэффективным применение множества традиционных для таких задач численных методов [7, 8, 9, 11, 52-55, 59, 62, 68-71, 117, 162, 192, 206-219, 221-240, 242-260].
Методом факторизации удается исследовать ряд задач и из смежных областей -экологии, материаловедения.
Для исследования потери устойчивости литосферных плит сформулированные задачи механики для литосферных плит сведены к исследованию систем, в общем случае нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений с большим числом неизвестных и свободных входных параметров в неоднородных средах со сложной геометрией.
В процессе исследования этих задач впервые решена проблема построения уравнений разветвления при потере устойчивости взаимодействующих литосферных плит и сформулированы достаточные условия потери устойчивости литосферных полубесконечных и полуограниченных плит. Научное и практическое значение результатов работы Разработан достаточно универсальный метод исследования и решения краевых задач для больших систем, линейных дифференциальных уравнений в частных производных в любых областях , в том числе неограниченных с рельефной поверхностью и при наличии неоднородностей меньших размерностей. Метод применим также при исследовании и решении краевых задач для псевдодифференциальных и интегральных уравнений. Эти задачи возникают не только в сейсмологии, но и в различных областях механики, физики, экологии, электроники. Ряд задач и соответствующие уравнения даны в приложении.
К системам такого рода приводятся задачи теории упругости для изотропных и анизотропных сред, термоупругости, электроупругости, при наличии гравитационных полей и полей иной природы, в том числе для пьезоке-рамических материалов. В такой же степени охватываются задачи моментной теории упругости, материалы БИО и др. Развиваемым методом можно исследовать и задачи из смежных областей, например, теории пластичности, гидромеханики, теории переноса загрязняющих веществ в экологии [57, 64, 67, 109, 113, 115, 126, 127, 129, 130, 131, 132, 134, 143, 153, 157, 158, 160, 161, 164,165, 181, 187, 197, 203, 206, 217].
В частности, близкой является проблема описания воздействий глубинной активности Земли в верхней мантии на нижнее основание литосферных плит по границе Мохоровичича. Предлагаемый метод также применим для решения проблемы проектирования материалов с заданными свойствами.
Практическое значение полученных результатов заключается в возможности единым методом одновременно решать комплекс вопросов сейсмологии, связанных с разрушением литосферных плит, чего не удавалось сделать другими методами, а также методом факторизации исследовать ряд новых, важных в приложениях задач механики, материаловедения, электроупругости, экологии и др.
Прикладное значение результатов состоит в создании модели прогноза зон подготовки землетрясений как по максимальным разрушающим напряжениям, касательным, в случае простых воздействий и областей, в зонах разломов или при потере устойчивости.
Достоверность результатов
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов, а также проверкой результатов на тех частных задачах, которые решаются иными методами. Например, при проверке метода факто 22 ризации использовалось спрямление границ, приводившее в слоистых областях к задачам, которые решаются методом интегральных преобразований.
Для проверки решений в случае искривленных границ применялся метод исследования и решения дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, разработанный М.И. Вишиком и Л.А. Люстер-ником [74-76].
Исследования в области сейсмологии опирались на установленные и экспериментально подтвержденные результаты академика М.А. Садовского по блочному строению Земли, а также результаты профессора Р.Вильямса, построившего экспериментально горизонты в штате Огайо.
На защиту выносятся:
1. Разработка метода факторизации исследования и решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициетами произвольного порядка в ограниченных, полуограниченных и неограниченных областях. Области могут быть многосвязными, границы - кусочно-гладкими или содержащими неоднородности той же или меньшей размерности.
2. Разработка метода факторизации исследования и решения систем интегральных уравнений, порождаемых применением метода факторизации к краевым задачам для уравнений в частных производных.
3. Разработка нового метода факторизации полных мероморфных матриц-функций.
4. Разработка метода расчета концентрации напряжений во взаимодействующих литосферных плитах.
5. Разработка метода исследования потери устойчивости взаимодействующих литосферных плит и разных их состояний (ветвление решений).
6. Разработка метода учета воздействия верхней мантии на нижнее основание литосферных плит. Апробация работы
Результаты работы докладывались на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), на Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001 г.), на IV и V Международных экологических конференциях студентов и молодых ученых «Экологическая безопасность и устойчивое развитие» (Москва, 2000 г. и 2001 г.), на V Международном семинаре «Фундаментальные и прикладные проблемы мониторинга и прогноза стихийных бедствий. Стихия-2001» (Севастополь, 2001 г.), на I научной конференции «Экология и рациональное природопользование» (Санкт-Петербург, 2001 г.), на IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001 г.), на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону, Азов, 2003 г.), на Международном симпозиуме «Technological Civilization Impakt of the Environment» (Германия, Карлсруэ, 1996 г.), на всероссийских научных конференциях грантодержателей РФФИ и администрации Краснодарского края конкурсов «Р2000Юг» и «Р2003Юг» (Сочи, 2000-2004 г.), на Международном симпозиуме «Pollutants Transfer by Tornadoes and Convective Movements» (Германия, Висбаден, 2004 г.), а также на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Института проблем механики и геоэкологии КубГУ.
Структура, содержание и объем работы
Диссертация состоит из введения, 5 глав, приложения, заключения, списка использованной литературы.
Во введении дается обзор основных проблем сейсмологии, проводившихся в этой области исследований и имеющихся результатов. Обосновывается необходимость развития концепции оценки напряженно-деформированного состояния литосферных плит для прогноза зон подготовки землетрясений. Показано, что при решении ряда математических проблем, а имен 24 но разработке удобного математического аппарата сейсмологии, имеющиеся
экспериментальные средства могут дать все необходимые исходные данные для постановки строгих математических задач при оценке напряженно-деформированного состояния.
Дается анализ существующих математических подходов к изучению краевых задач для связанных систем линейных дифференциальных уравнений. Акцентируется внимание на недостаточности этих методов для решения проблем сейсмологии.
Рассматриваются особенности метода факторизации, его преимущества при исследовании проблем сейсмологии перед другими методами, а также определенные сложности технического характера при его применении.
В первой главе излагаются элементы теории факторизации функций и матриц-функций. Приводятся новые, впервые установленные результаты по факторизации полных мероморфных матриц-функций любого порядка, в том числе зависяпщх от нескольких переменных. Этот результат неулучшаем, так как доказано [105, 107], что факторизуемыми являются матрицы-функции, принадлежащие распадающимся алгебрам - замыканиям рациональных. Именно таковы мероморфные матрицы-функции в пространстве аналитических функций.
Во второй главе приводятся сведения из топологической алгебры, лежащие в основе развитого в диссертации метода факторизации. Демонстрируется его применение на примере обыкновенного дифференциального уравнения, решаемого другими методами. Показано, каким образом при применении метода факторизации расширяется класс функций до медленно растущих обобщенных функций.
Описывается выделение классического решения. Излагается применение метода факторизации, в том числе обобщенной, для исследования краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в произвольных областях - ограниченных, полуограниченных, неограниченных, многосвязных. Развивается метод двойной факторизации, сводящий исследование краевых задач для указанных систем дифференциальных уравнений к аналогу одного уравнения. Исследование опирается на теорию многообразий, теорию многих комплексных переменных, представление групп, внешний анализ.
В третьей главе излагается теория вирусов вибропрочности - механических объектов - совокупностей трещин и включений, в том числе плоскопараллельных, свойственных литосферным плитам. Указанные объекты снижают прочностные свойства литосферной плиты и могут быть концентраторами напряжений, локализаторами резонансов.
Развивается теория расчета концентрации напряжений для вирусов вибропрочности. Для использования в этой теории результатов второй главы предлагается метод «мероморфизации» символов псевдодифференациальных уравнений, состоящий в приближении произвольных функций мероморфны-ми. Последнее позволяет решать ряд задач в конечном виде.
В четвертой главе предприняты шаги по исследованию и моделированию воздействия со стороны верхней мантии на нижнее основание литосферной плиты. В основу положена принятая в настоящее время в геофизике гипотеза о конвективном движении среды мантии в зоне между границами Мохоровичича и Гуттенберга, вызывающем отрывы плюмов и их оседание на нижнем основании коры Земли, меняя ее свойства в разных зонах. Для моделирования этого процесса развит метод переноса субстанций в многослойной среде и ее оседание на разнотипные подстилающие поверхности. Последнее позволяет считать, что литосферные плиты покоятся в общем случае не на однородной среде астиносферы, а на имеющей неоднородности, что соответствует современным представлениям о границе Мохоровичича. Новым в этой главе явилось исследование системы интегральных уравнений с равным нулю определителем символа.
В пятой главе излагается одна из теорий подготовки землетрясений при взаимодействии литосферных плит оценки зоны возможного сейсмического события и выявления условий, при которых это может произойти. Избрано в качестве модели взаимодействие двух полубесконечных литосферных плит, описываемых нелинейными уравнениями. Рассматриваются случаи взаимодействия литосферных плит до потери устойчивости и случай потери устойчивости, когда возможен спад напряжений в литосферных плитах, но происходит их выпучивание. Метод исследования включает применение теории нормально разрешимых операторов, определения их дефектных чисел, ядра и коядра оператора. Проблема сводится к выявлению решения нелинейного операторного уравнения.
В заключении формулируются новые результаты, полученные в диссертации, перспектива в дальнейших исследований и приложений.
В приложении приводятся сведения из теории обобщенных функций, сведения о наиболее часто встречающихся краевых задачах из различных научных направлений, рисунки и результаты численных расчетов.
Список литературы содержит 260 наименований.
Факторизация матриц-функций
Приведем основные сведения из общей теории факторизации функций и матриц-функций, необходимые для изложения результатов, полученных при проведении исследований. Ниже приводится определение факторизации матриц-функций относительно контура а в форме, используемой в динамических задачах [105-108]. 1. Определение 1.1. Матрица-функция К (и) = 1Ктп (и) } с непрерывными на контуре а коэффициентами правосторонне (левосторонне) факторизована, если построены две матрицы с регулярными элементами и отличными от нуля определителями соответственно в областях Х± — выше и ниже контура сг К-(и)Т (и)К+(и) = К(и), К+(и)В(и)К-(и) = К(и). (1.5) Матрица D(w) -диагональная, имеющая вид D(«) = К Snk }Г, щ = , 8nk = IU: к (1.6) и + г \и,пфк, &, kr.. kN — некоторые целые числа (частные индексы). Факторизация называется канонической, если при условии К(и)єЕ, К±(н)єЕ± также имеет место свойство [К ІІД- ЄЕ,. (1.7) Здесь Е± - распадающиеся алгебры-замыкания множества рациональных функций в L. Для матриц-функций справедлива теорема. Теорема 1.1 [108]. Для того чтобы всякая неособенная матрица-функция с элементами из Е допускала правую (левую) каноническую факторизацию, необходимо и достаточно, чтобы алгебра Е была распадающейся. Из этой теоремы вытекают два следствия. Следствие 1.1. Пусть элементы неособенной при м со матрицы-функции К(ы) допускают представление K(M) = I + R(M). (1.8) Здесь R(w) - матрица, элементами которой являются преобразования Фурье суммируемых функций. Тогда матрица-функция допускает каноническую факторизацию относительно вещественной оси. Следствие 1.2. Пусть неособенная матрица-функция K(w) пред ставима в виде (1.8), где функция R(w) регулярна в окрестности контура а и убывает на нем на бесконечности. Тогда матрица-функция К(и) допускает каноническую факторизацию относительно контура а. Действительно, в условиях обоих следствий элементы матрицы-функции K(w) могут быть аппроксимированы системой рациональными функциями, т.е. принадлежат распадающейся алгебре. В приложениях, в частности, в задачах теории упругости, не всегда матрицы-функции, возникающие при решении краевых задач, обладают свойством (1.8). Как и в случае функций, элементы матриц-функций оказываются на бесконечности растущими или убывающими.
Факторизация матрицы-функции К (и) требует, чтобы наряду с регулярностью элементов матриц-функций К± (и) в своих областях были бы отличны от нуля и определители этих матриц-функций, что равносильно регулярности в этих областях матриц-функций К"1 (и). Если матрица-функция К (и) не обладает свойством (1.8), причем к(и)-»0«ри11еи-»оо, то построение некоторых матриц-функций R±(M) и умножение на них слева и справа приводит ее к виду (1.8). Эта операция названа нормализацией матрицы-функции [84]. Построение матриц-функций R± (и) - довольно сложная задача. 2. В случае факторизации матриц-функций, в отличие от функций, как отмечалось выше, уже нет в общем случае формул, которые представляли бы матрицы-функции К± (и) в интегральной форме. Можно выделить среди матриц-функций лишь узкий класс, для которого сохраняются операции обыч 32 ных функций. Матрицы этого класса называются функционально-коммутативными. Определение 1.2. Матрица-функция К (и) называется функционально-коммутативной, если для любых значений щ, и2 на контуре а выполняется равенство К(«,)К(м2) = К(м2)К(м1). (1.9) Невырожденная функционально-коммутативная матрица факторизуется с помощью тех же соотношений, что и функция, а именно К±(и) = ехр{1пК(и) }\ (1.10) Логарифмическая и экспоненциальная функции от матриц определены известным способом [87], каким обычно вводятся аналитические функции от матриц. Именно, если f (Я) — аналитическая функция, то функция от матрицы f(K(w)) определяется соотношением f[K(«)] = — J [K(u)-Ujlf(X)dX. (1.11) Контур c ограничивает спектр матрицы К (и). Функции от матриц можно вводить с помощью полиномов Сильвестра. Например, если спектр Лк матрицы-функции не имеет кратных точек и функция f (/1) определена на спектре, то функция от матрицы дается соотношением [87]
Рассматривая вопрос о функционально-коммутативных матрицах, И.А. Лаппо-Данилевский указал общую форму такой матрицы второго порядка: Условие принадлежности матрицы-функции к функционально-коммутативным в общем случае установил В.В. Морозов. Теорема Морозова. Для того чтобы A(t) была функционально-коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в форме А(/) = ,А1+ ... px{t)Am, где px(t),...q m{t) - линейно-независимые функции; А15 ..., Ат - линейно-независимые, попарно коммутативные постоянные матрицы. Эта теорема сводит семейства А,, ..., Ат постоянных, попарно-коммутативных матриц. Рассмотрим линейное матричное семейство с базисом A,, ..., Ат:ЛАх + ... ЛАт. Это семейство {А,} образует коммутативную алгебру Ли, представленную матрицами. Однако Н.Г. Чеботарев, отправляясь от исследований В.В. Морозова, установил, что с помощью формул факторизации функционально-коммутативных матриц-функций, т.е. возможность перехода от матриц-функций к экспонентам от них позволит факторизовать более широкий класс матриц-функций, коммутирующих со своим сингулярным интегралом.
Метод факторизации для обыкновенного дифференциального уравнения в сравнении с другими методами
В настоящем параграфе излагается простейший пример, иллюстрирующий основные идеи метода факторизации в применении к дифференциальным уравнениям. Используется голоморфность функции Ф{а), а именно тот факт, что она является целой функцией как преобразование Фурье суммируемой на отрезке функции. Идеи использования свойств целых функций для построения решений пространственных интегральных уравнений легли в основу метода фиктивного поглощения [34, 47] и были применены для получения граничных уравнений для систем дифференциальных уравнений в частных производных [69-71]. Недостатком этого метода является возможность исключения полюсов только для функций, заданных в выпуклых областях. Способ 2. Метод факторизации Идеи метода факторизации заключаются в следующем.
Допустим, дифференциальное уравнение имеет непрерывное с несколькими производными решение в некоторой области с гладкой границей. Граничные условия на решение и его производные понимается как предельное значение изнутри области по нормам. Построив такое решение в области, можем его продолжить вне области с гладким переходом вместе с производными к нулю. В этом случае решение имеет ограниченные производные во всем пространстве, если задача трехмерная, в плоскости, в двумерном случае и на всей оси - в одномерном. Однако можно решение сразу вне границы положить равным нулю, ограничив носитель решения строго областью задания дифференциальных уравнений. Понятно, что если для такого решения придется вычислять производные во всем пространстве, то неминуемо на границе области появятся произволные от функций скачка, т.е. обобщенные функции класса медленно растущих, т.е. типа 8 -функций и ее производных.
Понимая природу появления этих функций, можно, невзирая на их присутствие строить решения краевых задач в таком расширенном пространстве с последующим исключением не влияющих на решение обобщенных функций.
Особенностью этих интегралов является то, что в обоих случаях в принятых системах координат область, в которой задана краевая задача, отрезок [а, Ь], находится на отрицательной полуоси и функции Ф, ), Ф2( 2) оказываются аналитическими продолжительными в нижнюю полуплоскость. Отсюда обе функции (/,), (p2{t2) обращаются в 0 при tK 0.
В данном примере оба метода привели к одинаковым системам для определения неизвестных. Однако между ними есть большое отличие, которое обнаруживается при переходе к краевым задачам в многомерных областях. Метод целой функции используется лишь для выпуклых областей, в то время как метод факторизации применим для любых областей с гладкой границей, а также с границей, допускающей угловые множества.
Примем во внимание, что в этом представлении при х а числитель не обращается в нуль в точках а = ±к, а при х = а он равен нулю. Положив х = а, деформируем контур интеграла так, чтобы он оказался выше полюса а = к, а это означает, что других полюсов выше уже нет. При этом значение интеграла не изменится. Очевидно, интеграл от второй функции в фигурных скобках равен нулю, его можно замкнуть в верхнюю полуплоскость, так как нет полюсов и имеется экспоненциальное затухание. Изучим более детально оставшийся интеграл p{a) = — ч da = 1 . 2fx\i akchk(b-a) + k2shk(b-a)]-2k f2 2TC } (a2+k2) 2kchk(b-a)
Здесь контур Г - выше всех полюсов. Очевидно, интеграл нельзя замкнуть для вычисления в верхнюю полуплоскость, поскольку он убывает только как а"1. Поэтому деформируем контур интегрирования таким образом, чтобы он огибал все особенности, не пересекая их, а затем устремим контур к бесконечности и найдем вычет в бесконечно удаленной точке.
О существовании вирусов вибропрочности
Для изложения материала приведем пример традиционной постановки некоторых смешанных задач динамической теории упругости для слоистых сред при гармонической вибрации, следуя [84].
Рассмотрим эти уравнения для упругого слоя толщины h, совместив нижнюю его границу с плоскостью хОу и направив ось z по нормали вверх. Если допустить, что нижнее основание закреплено, т.е. слой лежит на жестком неподвижном основании и с ним сцеплен, то для уравнений (3.1) должны выполняться условия [84]. Аналогично вводятся условия для характеристики пленочного контакта с частичным сцеплением и др. Детально эти вопросы изложены в [84, 85]. Вне штампов все поверхностные напряжения равны нулю. В том случае, если в качестве штампов принимаются абсолютно жесткие шайбы с плоским основанием, тогда в соотношениях (3.4), (3.5) необходимо положить fk=Ck= const0. Знаки у компонент перемещений означают две стороны включений. Если включения массивные, необходимо добавить соотношения, приведенные для массивных штампов. Задачи о колебании штампов, трещин и включений относятся к числу смешанных задач теории упругости - наименее изученному разделу в механике сплошных сред.
Решение смешанных краевых задач осуществляется путем сведения последних к интегральным уравнениям [47, 84, 85]. Развиваемые прямые численные методы решения краевых смешанных задач, особенно динамических задач, эффективного получения надежных решений пока не обеспечивают. Сложности решения динамических задач детально изложены в [47].
В работах [34, 47, 86] развит удобный для решения и анализа динамических смешанных задач метод фиктивного поглощения. Благодаря этому методу удалось выявить особенности вибрации полуограниченных сред и на основе из анализа обнаружить свойство локализации процесса вибрации в ограниченной зоне и ослабления процесса вне ее.
Положение контуров ах детально описано в [84], здесь лишь отметим, что контуры обходят почти всегда положительные вещественные полюсы снизу, отрицательные - сверху. Нарушения бывают при появлении волн с отрицательной фазовой скоростью; для них правило обхода контурами — про 151 тивоположное [84]. В тех случаях, когда полюсы оказываются двукратными на вещественной оси, в слое возникает резонанс 2-го ряда с неограниченной энергией.
Для колебания слоя в случае резонанса 2-го ряда характерен неограниченный рост, пропорциональный 4t амплитуды колебания, если действующая нагрузка имеет отличный от нуля главный вектор сил в проекции на нормаль, и колебание начинается из состояния покоя [84]. В случае неограниченных установившихся колебаний невесомого штампа на этой частоте главный вектор контактных напряжений равен нулю, а энергия колебания в общем случае - неограниченная. Детально эти вопросы изучены в [84]. В работе [84] доказано, что лишь в этом случае решение задачи ограничено, там же построены соответствующие решения на указанных частотах. Установлено также, что если свойства (3.12) не выполняются и рассматривается поведение системы из нулевого начального состояния, то амплитуда колебаний будет нарастать пропорционально 4t. Однако в связи с тем, что слой неограничен, для вывода системы на резонансный режим необходимо ввести в нее неограниченную энергию. В первом случае решением задачи будет составляющая W = с = const, если о = «j. Если же со = соп, п 1, то наряду с этим решением дополнительно будут волны, связанные с полюсами ,к, которые описываются соответствующими членами формулы (3.9).
В случае "и аналогичных частот, в формуле (3.9) наряду с членом Hf (R) также присутствует и член # 2) (?-#) [84]. Коэффициенты у них оди 153 наковые. Объединив их, приходим к формуле, свидетельствующей, что наряду с бегущими волнами, описываемыми формулой (3.9), в решении будет присутствовать стоящая волна J0( R) [84].
В том случае, если f = 5- штамп с плоским основанием, выполнение соотношений (3.17) может быть осуществлено только за счет выбора формы и размеров области Q. После этого из соотношения (3.18) находим резонансную массу т, при которой происходит неограниченный резонанс массивного штампа для частот выше критических, т.е. при со со\ что ранее считалось невозможным.
Таким образом, установлена следующая причинно-следственная связь для случая колебания одного штампа: если имеет место локализация процесса, т.е. выполняется соотношение статичности (3.17), то следуют соотношения (3.20), которые при соответствующем выборе массы штампа т, приводят к резонансному соотношению (3.19). Отсюда следует, что причиной резонанса является локализация процесса. Локализация может иметь место, а резонанс может и не произойти.
Как видно из предыдущего пункта, одним односвязным штампом, с плоским основанием сложно удовлетворить условию (3.17) для достаточно больших частот, когда число Р \. Можно, однако, брать штамп, выпуклый в плане, но больших размеров, и все равно, как это видно на примере круглого штампа, наличие плоской (а не гибкой) подошвы практически делает невозможным удовлетворение условиям (3.17) для Р 1. Для Р = \ это возможно за счет подбора размеров области.
Качественно новые эффекты обнаруживаются при переходе к системе штампов. Дело в том, что в задаче о вибрации системы штампов на полуограниченных телах, в частности, на слое, единственность решения не была ус 156 тановлена, в отличие от случая одного штампа [34, 47, 84]. Как будет показано далее, в условиях локализации процесса вибрации системы штампов может возникнуть ситуация дискретного резонанса невесомых штампов — это новое явление, и пока не встречалось о нем сообщений в научной печати. Резонанс массивных штампов, установленный выше, в случае одного штампа, также имеет место.
Задача переноса субстанций в многослойной среде
В работе развит новый подход к решению ряда практически важных задач экологии, проблемы наращивания суши, являющийся дальнейшим развитием изложенного в [39, 41, 42, 44-48]. В частности, он применим для оценки экологической нагрузки на территории, подверженные систематическим воздействиям СБ, выбрасываемых в атмосферу или водную акваторию и осаждающихся на поверхность Земли или дно водоема. В случае литосферных плит это - субстанции. Особенность метода заключается в возможности учета как многослойности среды, так и разнотипности подстилающих поверхностей, на которые осаждаются СБ. Метод позволяет быстро получать необходимые параметры для моделирования природного или техногенного процесса простым экспериментом.
Метеорологические данные приближенно описываются многослойной средой. Движение среды считается установившимся в каждом слое, доступном для оперативного измерения. Свойства подстилающих поверхностей в рассматриваемой зоне наделяются параметрами, характеризующими способность данного участка поверхности удерживать часть осаждающихся веществ при наличии приповерхностных движений среды. Источники выбросов веществ могут быть сосредоточенными либо распределенными. Исследуются процессы в мезомасштабном приближении [147]. Модели сложных физико-химических взаимодействий веществ в атмосфере или в водном пространстве, а также сложных турбулентных движений среды здесь не рас 190 сматриваются. В то же время учитываются такие данные, как диффузия и поглощение веществ, конвективные процессы, влияние приповерхностных движений среды, приводящие к разным эффектам для зон с различными свойствами. Метод приспособлен в первую очередь для изучения явлений на разнотипных подстилающих поверхностях. В нем применяется схема описания осаждения веществ на поверхности с учетом способности последних частично удерживать оседающие вещества при наличии приповерхностных движений среды. В частности, степень сдува или смыва веществ, в том числе химически взаимодействующих [157, 197], с конкретной зоны подстилающей поверхности описывается граничным условием, содержащим параметры, зависящие от скорости движения среды в приповерхностном слое. Эти параметры, являющиеся характеристиками каждого типа подстилающих поверхностей, входящих в исследуемую зону, должны определяться экспериментально.
Граничные условия (4.16) переводят краевую задачу в класс смешанных с линиями раздела граничных условий. Входящие в представление (4.16) параметры являются функциями скоростей нижнего слоя, т.е. a\om(uv VPWIA aiQm(uv v\iw\)- Тем самым принимается модель, при которой в зависимости от величин скоростей в нижнем, приповерхностном, слое будет происходить частичное или полное сдувание или смывание оседающего вещества: при аХОт = О полное, а при а20т = 0 — отсутствует. Введенные таким образом граничные условия близки к реальности. Они описывают локально происходящие природные процессы ветрового или водопотокового воздействия на разнотипные поверхности, по-разному удерживающие осевшие вещества. На бесконечности решения краевой задачи должны стремиться к нулю.
В связи, с тем, что краевая задача является смешанной, сведем ее к системе интегральных уравнений. С этой целью введем вспомогательную краевую задачу. Для этого заменим граничные условия (4.16) одним, положив для какого-нибудь т аЮп, Г--а т Р\ = Ч(Х\, Х2 А Х3 = Х\ Х2 Є R2 т = COnSt- (4-17) дх3 В частности, можно принять аюи=0 «20», =-1» Рі=Я(хі х2), хъ=0, xx,x2eR2 m = const. (4.18) В этом случае функция q характеризует распределение СБ на нижней границе первого слоя, т.е. на Земле. Введенная функция q(xx,x2), имеющая проекции qm(xx,x2) на области Qm, является неизвестной и нуждается в определении. Отыскивая решение вспомогательной краевой задачи в пространстве медленно растущих обобщенных функций, применяя либо метод факторизации, либо метод преобразований Фурье, приходим к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых строятся либо методом преобразования Фурье в связи плоскопараллельностью слоев, либо методом факторизации.
