Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование динамики литосферной плиты как структурно- неоднородного деформируемого тела 26
1.1 Начально-краевые задачи динамической теории упругости 26
1.2 Постановка динамических задач для блочно-структурированной среды, взаимодействующей с поверхностными объектами 32
1.2.1 Задача Коши для уравнений движения массивного тела 35
1.2.2 Постановка задач для элементов структуры 36
1.3 Определения теории «вирусов» вибропрочности 43
2 Факторизационные методы исследования задач для структурированных сред 49
2.1 О факторизации функций и матриц-функций 50
2.1.1 Факторизация функций 50
2.1.2 Факторизация матриц-функций 54
2.2 Общая схема дифференциального метода факторизации 65
2.3 Применение факторизационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 74
2.4 Применение дифференциального метода факторизации к задаче для упругого тела 81
2.5 Применение дифференциального метода факторизации к задаче для блочной структуры 96
2.6 Блочные элементы. Примеры построения блочных элементов 104
3 Метод факторизации исследования динамических задач для слоисто-структурированных сред как «вирусов» вибропрочности различного строения 113
3.1 Построение функциональных уравнений для слоя 115
3.1.1 Дифференциальный метод факторизации в краевой задаче для слоя 115
3.1.2 Построение граничных уравнений с помощью формулы Бетти... 120
3.2 Построение функциональных уравнений для сплошной1 многослойной среды 129
3.3 Построение функциональных уравнений для многослойной среды, содержащей совокупность трещин 138
3.4 Построение функциональных уравнений для многослойной среды, содержащей совокупность включений 149
3.5 Построение систем интегральных уравнений динамических задач для слоисто-структурированных сред 157
4 Применение факторизационных методов в моделировании динамических процессов для сред с покрытиями 166
4.1 Постановка задачи для одной модели покрытия 167
4.2 Построение систем интегральных уравнений задачи для слоисто-структурированной среды с покрытием 172
4.3 Способы построения приближенных решений для полуограниченных и неограниченных покрытий 178
4.4 О моделировании временных покрытий 184
5 Метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач 193
5.1 Общая схема метода фиктивного поглощения решения интегрального уравнения в произвольной в плане области 194
5.2 Метод фиктивного поглощения решения системы интегральных уравнений 209
5.3 Метод фиктивного поглощения решения интегральных уравнений для частных случаев областей 213
5.3.1 Метод фиктивного поглощения для одномерного интегрального уравнения 213
5.3.2 Построение приближенного решения интегрального уравнения для осесимметричного случая 219
5.3.3 Построение приближенного решения интегрального уравнения для пространственной задачи 223
5.4 Построение приближенного решения интегрального уравнения с растущим символом ядра 227
Заключение 233
Список использованной литературы 239
- Постановка задач для элементов структуры
- Применение дифференциального метода факторизации к задаче для блочной структуры
- Построение функциональных уравнений для многослойной среды, содержащей совокупность включений
- Способы построения приближенных решений для полуограниченных и неограниченных покрытий
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Создание
теоретических основ систем сейсмодеформационного мониторинга и методов обработки данных, ориентированных на прогнозирование катастрофических природных и техногенных явлений - одна из центральных проблем геомеханики и геофизики. Многолетние попытки поиска прогностических признаков землетрясений подтверждают исключительную сложность задачи и необходимость комплексного применения всех возможных геофизических и математических методов, проведения общего анализа материалов сейсмологических наблюдений и расчетов напряженно-деформированного состояния геологической среды.
В настоящее время существуют разные модели сейсмичности. Фундаментальные проблемы динамики земной коры исследованы в работах В.В. Адушкина, К. Аки, П. Ричардса, АС. Алексеева, В.Н. Родионова, М.А Садовского, В.Ф. Писаренко. Важные результаты в области развития методов исследования структуры верхней литосферы и интерпретации данных сейсморазведки принадлежат Г.А. Гамбурцеву, Ю.В. Ризниченко, Е.В. Гальперину. Большой вклад в развитие моделей сейсмических волновых процессов внесли А.О. Глико, А.В. Николаев, Л.Е Собисевич, А.Л. Собисевич, Ю.К. Чернов и другие ученые. Используемые механико-математические модели геофизической среды весьма многообразны, степень их общности и сложности определяется решаемыми с их помощью задачами.
Несмотря на значительные усилия и очевидные успехи, проблема оценки сейсмичности и прогноза землетрясений далека от полного решения. Это объясняется чрезвычайной сложностью рассматриваемой системы и указывает на необходимость разработки новых методов ее исследования. Анализ сейсмической напряженности литосферных плит с позиции механики деформируемого твердого тела приводит к изучению задач для слоисто-блочных сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия различной природы. Решение такого рода задач
требует привлечения методов механики контактных взаимодействий деформируемых тел.
Значительный вклад в исследование контактных задач внесли российские и зарубежные ученые Б.А. Абрамян, В.М. Александров, Ю.М. Амензаде, А.Е. Андрейкив, Б.Д, Аннин, Н.Х. Арутюнян, А.А. Баблаян, А.В. Белоконь, Н.М. Бородачев, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Л.А. Галин, И.П. Гетман, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, А.Г. Горшков, И.Г. Горячева, В.Г. Гринченко, АН. Гузь, И.М. Дунаев, О.Ю. Жарий, В.В. Зозуля, Д.А. Индейцев, В.И. Колесников, В.В. Калинчук, А.С. Космодамианский, В.Д. Купрадзе, Е.В. Ломакин, А.В. Манжиров, В.П. Матвеенко, В.В. Мелешко, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, Н.И. Мусхелишвили, А.В. Наседкин, В. Новацкий, В.В. Панасюк, В.З. Партон, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, B.C. Саркисян, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Б.И. Сметании, А.В. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, Л.А. Филыптинский, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, J.D. Achenbach, A. Ben-Menahem, A.H.-D. Cheng, D.T. Cheng, W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, M.J. Musgrave и др.
В последние десятилетия появилось множество доказательств, позволяющих говорить о постоянных изменениях, происходящих на поверхности и в глубинах Земли не только в сейсмоактивных районах, но и в равнинно-платформенных областях1. То есть сейсмические события происходят и в удаленных от глобальных разломов зонах, что указывает на определенную роль разломов сравнительно малой мощности и необходимость анализировать и мелкомасштабные особенности при изучении предпосылок сейсмического события. Это одна из причин усиления внимания исследователей в различных областях науки к изменению напряженно-деформированного состояния верхней части земной коры.
Кузьмин Ю.О. Современные суперинтенсивные деформации земной поверхности в зонах платформенных разломов // Геологическое изучение и использование недр: информ. сб. М., 1996. № 4. С. 43-45.
Другая очевидная причина повышения интереса к изучению напряженно-деформированного состояния литосферных плит -глобальные масштабы промышленной деятельности человека, связанной с отбором углеводородов из глубинных зон Земли, взрывами большой мощности, имеющими место в очагах военных действий, и т.д., создающие так называемые наведенные геомеханические процессы, способные вызвать техногенные катастрофы. Несмотря на редкие проявления сейсмичности в виде техногенных землетрясений, нанесенный ими экологический ущерб может быть велик. Реакция земной коры на внешние воздействия зависит не только от их интенсивности, но и от энергонасыщенности ее структур, величины и распределения напряжений в ней. Неоднородность геологической среды, проявляющаяся в виде естественных структурных нарушений (тектонические разломы, множественные включения и трещины разного масштаба и т.д.), определяет ее деформационные и прочностные свойства, играющие важную роль в формировании отклика на внешние воздействия. Под действием внешних сил на неоднородности литосферной плиты могут активизироваться процессы, приводящие к появлению зон разуплотнения (дилатансных зон). Зарождение и развитие зон дилатансии можно связывать с активизацией «вирусов» вибропрочности -совокупностей неоднородностей различной природы (трещин и включений) . Академиком А.С. Алексеевым и его учениками установлено, что зарождение и развитие локальных дилатансных структур имеет место на этапе подготовки сейсмических событий в упругих средах.
Верхняя часть земной коры, где сосредоточена деятельность человека, является практически важным объектом изучения. Особое внимание в настоящее время уделяется воздействию на земную кору техногенных источников, например, слабых, но продолжительных по времени механических вибраций (автомобильные и железные дороги, промышленные комплексы),
Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупности включений и трещин) // Известия РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5-9.
способных приводить к резонансным явлениям на некоторых элементах земной коры3.
Настоящая работа посвящена изучению влияния поверхностных воздействий на напряженно-деформированное состояние геологической среды и связана с оценкой концентраций напряжений, возникающих в литосферных плитах, с учетом блочного строения последних и наличия межблоковых нарушений сплошности (трещин, включений), которые определяют в целом деформационные свойства и устойчивость к внешним воздействиям слагающих плиты массивов.
Цель диссертационной работы: математическое моделирование динамики литосферных плит в результате воздействия поверхностных факторов; изучение напряженно-деформированного состояния литосферных плит, обусловленного воздействиями различного типа на поверхность Земли; разработка основанного на идеях факторизации математического аппарата для исследования деформационных процессов, позволяющего учитывать сложное строение среды (слоисто-блочную структуру, наличие внутренних концентраторов напряжений и покрытий); выявление закономерностей, связанных с поведением литосферных плит различного строения.
Достижение поставленной цели осуществлялось путем решения следующих задач:
- моделирование динамического поведения сред с учетом их
блочного строения;
- моделирование динамических процессов в слоистых
средах при наличии множественных дефектов типа плоских
жестких включений и трещин, ориентированных параллельно
плоскостям раздела слоев;
- моделирование динамических процессов в упругих средах
при наличии покрытия;
3 Адушкин В.В. Актуальные проблемы геомеханики земной коры //
Вестник ОГГГН РАН. 2001. № 1(16). URL:
l/h_dgggms/l -200 l/adushkin.htm#begin (дата обращения: 17.12.2009).
- развитие математических методов исследования краевых
задач, возникающих при моделировании динамических процессов
в средах сложного строения;
- применение развитых факторизационных методов к
решению задач для слоисто-структурированных сред при
наличии дефектов на границах структурных элементов;
- применение факторизационных методов к исследованию
процессов формирования покрытий за счет осаждения
субстанций на поверхность Земли;
- развитие метода фиктивного поглощения решения
интегральных уравнений динамических контактных задач.
Научная новизна работы определяется следующими результатами.
Математический аппарат, включающий в совокупности теорию «вирусов» вибропрочности, дифференциальный метод факторизации, интегральный метод факторизации, метод блочного элемента, впервые применен к исследованию задач механики деформируемого твердого тела для многослойных сред с множественными неоднородностями и оболочек, испытывающих динамические воздействия.
Предложен новый аналитический метод построения систем интегральных уравнений динамических задач для слоистых и блочных упругих сред с учетом включений и расслоений на контактных границах.
Получены матрично-функциональные соотношения для различных сред, служащие основой для построения систем интегральных уравнений исследуемых задач.
Эффективный метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач - метод фиктивного поглощения обобщен на случай невыпуклых в плане областей контакта.
Построены аналитические представления решений краевых задач для блочно-структурированной среды.
Научное и практическое значение результатов работы. В диссертационной работе проведен комплекс теоретических исследований напряженно-деформированного состояния литосферных плит как сложных деформируемых объектов с
неоднородностями. Получил дальнейшее развитие метод факторизации, использующий топологический подход и позволяющий строить представления решений рассматриваемых задач в различных интегральных формах.
Полученные результаты открывают определенные перспективы разработки моделей и развития методов, направленных на построение теории деформирования литосферных плит и слагающих их горных массивов с учетом их строения. Совокупность научных положений и результатов, полученных и обоснованных в диссертационной работе, служит развитию нового перспективного научного направления в механике деформируемых тел сложной структуры.
Методы, получившие дальнейшее развитие в диссертационном исследовании, позволяют с единых позиций изучить комплекс проблем сейсмологии, связанных с нарастанием напряжений в литосферной плите.
Результаты проведенных теоретических исследований, построенные модели и разработанные подходы позволяют по-новому подойти к изучению сейсмических событий, разработке методов вибрационного воздействия на очаги концентрации напряжений, постановке экспериментальных работ, связанных с изучением волновых полей в геофизической среде, а также дать правильное толкование наблюдаемым геофизическим процессам и явлениям.
Изучение динамики упругих сред с множественными неоднородностями может найти применение при выборе путей и методов изменения резонансных свойств среды, в геофизике и сейсмологии - при разработке методов контроля напряженного состояния горных пород, раннего прогнозирования землетрясений и выявления путей разрядки сейсмичности.
Предложенные методы также могут быть использованы при расчетах конструкций и их элементов на прочность, в решении проблем виброзащиты и сейсмостойкости сооружений.
Исследования проводились в КубГУ в рамках ряда государственных научно-технических программ, в том числе: Федеральной целевой комплексной программы «Интеграция науки и высшего образования России 2002-2006 гг.», проект
№А0017; программ Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ» (грант НШ-2107.2003.1), «Фундаментальные проблемы механики твердого деформируемого тела» (грант НШ-4839.2006.1), «Фундаментальные проблемы механики и сейсмологии» (грант НШ-2298.2008.1), «Разработка теоретических основ и прикладных методов применения блочных элементов для дефектоскопии материалов и конструкций сложного строения с зонами недоступности» (грант НШ-3765.2010.1); программы Минобразования России «Фундаментальные исследования в области естественных и точных наук», грант «Разработка математических моделей, методов и программных средств исследования динамических процессов в связанных задачах механики деформируемого твердого тела», проект № Е-02-4.0-191.
Исследования проводились при поддержке грантов РФФИ, выполняемых под руководством диссертанта: 06-01-96802-р_юг_офи, 06-01-96638-р_юг, 08-01-99016-р_офи, 10-08-00289_а; грантов с участием диссертанта в качестве исполнителя: REC-004 Американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза, РФФИ: 99-01-00787_а, 00-01-96007-р_юг, 00-01-96024-р_юг, 03-01-00694_а, 03-01-96537-р_юг, 05-01-00902_а, 06-01-00295_а, 03-01-96519-р_юг_а, 03-01-96658-р_юг, 06-01-08017_офи, 06-01-96805-р_юг_офи, 06-08-00671_а, 08-01-99013, 08-08-00669_а, 09-01 -96503-р_юг_а, 09-08-00170_а, 09-08-00294_а.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов, сравнением результатов решения простых задач с полученными иными методами, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами.
На защиту выносятся:
-
математические модели динамики блочно-структурированной литосферной плиты с учетом наличия внутренних концентраторов напряжений;
-
развитие дифференциального метода факторизации для исследования напряженно-деформированного состояния
литосферных плит как деформируемых объектов сложного строения;
-
метод построения матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании слоистых материалов с неоднородностями и покрытиями;
-
новые функционально-матричные соотношения, связывающие основные динамические характеристики изучаемых моделей;
-
обобщение метода фиктивного поглощения решения интегральных уравнений и систем интегральных уравнений динамических задач теории упругости для случая односвязных областей произвольной конфигурации;
-
методы исследования процессов формирования покрытий за счет осаждения субстанций на подложку.
Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее части докладывались: на научно-практической конференции «Проблемы строительства в сейсмоопасных регионах» (Ростов-на-Дону, 2002 г.), Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 2004 г.), ежегодных всероссийских конференциях по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 2002-2007 гг.), XVI (Санкт-Петербург, 2003 г.), XVII (Кострома, 2004 г.), XVIII (Казань, 2005 г.) международных научных конференциях по математическим методам в технике и технологиях, Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону - Азов, 2004 г.), XXIV Российской школе по проблемам науки и технологий, посвященной 80-летию со дня рождения акад. В.П. Макеева (Миасс, 2004 г.), Международной научно-технической конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2005 г.), Российской конференции с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005 г.),
IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной
механике (Нижний Новгород, 2006 г.), VII (2001 г.), VIII (2002 г.),
X (2006 г.), XI (2007 г.), XII (2008 г.) международных
конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону), VI, VII, VIII всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике, VI Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 2010 г.), на конференциях грантодержателей регионального конкурса Российского фонда фундаментальных исследований и администрации Краснодарского края «Юг России» (Краснодар, 2006-2009 гг.). В полном объеме результаты диссертационной работы представлялись и обсуждались на семинарах кафедры математического моделирования КубГУ и Научно-исследовательского центра прогнозирования и предупреждения геоэкологических и техногенных катастроф КубГУ.
Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 58 публикациях, в том числе 15 публикациях, вышедших в изданиях, включенных ВАК в перечень рекомендованных для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук. Теоретические положения работы использованы в ряде спецкурсов, а также включены в учебное пособие «Математическое моделирование экологических процессов распространения загрязняющих веществ», рекомендованное отделением Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки РФ в ЮФО для студентов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика и информатика» и «Безопасность жизнедеятельности в техносфере». Результаты диссертационных исследований использованы в 4 свидетельствах об официальной регистрации созданных программ в Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы, объемом 265 страниц, и приложений. Список использованной литературы включает 299 наименований.
Постановка задач для элементов структуры
Если рассматривается установившийся характер движения среды, осуществляется переход от вещественных функций, определяющих периодическую зависимость от времени внешних факторов и решения, к комплексным функциям. Переход совершается путем замены вещественных осциллирующих функций sin cot или cos cot на е ш. Все параметры задачи представляются в виде gl (х,/) = g(x)e lcot, х = (х15.х:2,х,). После подстановки в уравнения и граничные условия рассматриваются амплитудные значения заданных и искомых функций, временной множитель ё ш опускается. Далее решается задача относительно неизвестных комплексных амплитуд, найденные комплексные амплитуды домножаются на е , а затем берется вещественная или мнимая часть получившегося выражения.
Введение комплексных амплитуд удобно тем, что они описывают одновременно амплитуду и сдвиг фазы (для vn(x,t) = wn{x)cos(On -cut) vn(x,t) = Re\un(x)e ,e l, w„(x) = wn(x)eie") и позволяют избавиться от временной зависимости в рассматриваемой задаче. Изучение гармонических колебаний важно также при решении нестационарных задач, так как в силу принципа суперпозиции для линейных систем произвольная зависимость от времени может быть представлена в виде ряда или интеграла Фурье по гармоническим составляющим. Положим u(x,/) = u(x)e_,fl". После внесения этого представления в (1.2.2) система уравнений Ляме запишется в виде (Я + ju) graddivu + JUAVL + ра 2и = 0. (1.2.19) В дальнейшем основное внимание сосредоточено на решении краевых задач для случая установившихся колебаний. Уравнение (1.2.19) описывает нестационарный режим (в образах Лапласа), если в нем осуществить замену со на ip. Установившиеся колебания анизотропного тела описываются системой уравнений Q2U стя я +Р\=0, i,j,k,l = 1,3.
Известно, что в случае установившихся гармонических колебаний для обеспечения единственности решения должно удовлетворяться дополнительное условие на бесконечности, сформулированное в той или иной форме: условие излучения Зоммерфельда, требующее выполнения предельного асимптотического соотношения, принцип предельного поглощения Игнатовского, состоящий в переходе через систему с искусственным внутренним трением к системе без поглощения, принцип предельной амплитуды, требующий рассмотрения установившихся колебаний как предельного во времени решения задачи Копти, принцип излучения энергии Мандельштама. Детальный анализ этих условий на примере смешанных задач для неоднородной полосы проведен в работах И.И. Воровича [90, 91]. Установлено, что при распространении волн в сложных средах принципы Игнатовского и Мандельштама остаются эквивалентными.
В настоящей работе в качестве условия излучения используется принцип предельного поглощения, состоящий в нагружении уравнений движения членами, характеризующими внутреннее трение. Последние принимаются в виде малых скоростей є— (є 0), добавляемых в правую часть уравнений. В окончательном варианте параметр є устремляется к нулю. Замечание. При постановке задач о вибрации трещин полагается, что на их берега или на среду наряду с динамическими действуют статические напряжения, «разводящие» берега. Постановка задач о колебании трещин аналогична постановке задач о вибрации штампов на поверхности среды, при решении которых подразумевается статическая нагрузка, не допускающая их отрыва.
Проблемы оценки сейсмичности и прогноза землетрясений приводят к необходимости создания методов анализа напряженности протяженных тел с учетом внутренних неоднородностей.
Разрушение литосферных плит как деформируемых тел может происходить как в зонах, где нагрузки превышают предел прочности, так и в зонах наличия неоднородностей различной природы. Геологическим структурам наиболее часто сопутствуют дефекты типа совокупности параллельно ориентированных плоских жестких включений и полостей-трещин. Подобный вид неоднородностей является одним из основных предвестников утраты прочностных свойств структуры. При некоторых сочетаниях характеристик воздействий, параметров среды и имеющихся неоднородностей наличие последних приводит к локализации деформаций, напряжений или волновых процессов в случае вибрации, к возникновению резонансов и разрушениям.
Существуют различные подходы к исследованию таких задач. Применение полуаналитических методов [17, 50] предполагает получение общего представления решения системы интегральных уравнений задачи, последующий анализ которого позволяет формулировать условия, обеспечивающие локализацию процесса и возникновения резонансов. На основе численных методов [103, 104] решения тех же интегральных уравнений исследуются деформационные и энергетические поля в среде, в результате чего определяются условия возникновения резонансов для сред с неоднородностями. В обоих случаях решение смешанных краевых задач осуществляется путем сведения их к интегральным уравнениям [51, 92-94, 138, 140]. Сложности решения динамических смешанных задач с помощью прямых численных методов детально описаны в [51].
Исследование динамических контактных задач для структурно-неоднородных сред с дефектами (полостями или включениями) связано с многочисленными трудностями как чисто теоретического, так и практического характера. Это обусловлено тем, что исследуемые области характеризуются большим количеством параметров, определяющих упругие и геометрические характеристики слоев, положения неоднородностей по отношению к поверхности и границам раздела свойств, форму границ неоднородностей и т.д. Отмеченные сложности определяют многообразие подходов к исследованию таких задач. Присутствие совокупности неоднородностей в значительной степени усложняет как описание прочностных свойств материала, так и возможность обнаружения таких неоднородностей. Так, если в случае одной трещины критерий разрушения диктуется концентрацией напряжения в ее вершине, то при наличии совокупности трещин критерий разрушения может зависеть уже от их взаимодействия.
В экспериментальном отношении единичный дефект, как правило, поддается локации. В случае совокупности неоднородностей задача усложняется в связи со способностью группы дефектов сильно рассеивать падающий сигнал. Такие скрытые дефекты в работах [16, 25, 26] были названы «вирусами» вибропрочности.
Работы в этой области инициированы теоретическими исследованиями академика И.И. Воровича [90, 91]. Обнаруженный высокочастотный резонанс в полуограниченных деформируемых средах с неоднородностями [50] позволил глубже понять природу волновых процессов в сложных средах. В работах [16, 18, 24, 25, 26] создана теория «вирусов» вибропрочности, позволяющая определить и классифицировать объекты, находящиеся в полуограниченной упругой среде, способные локализовывать волновой процесс и создавать резонансы в условиях вибрации. К таким объектам относятся ориентированные параллельно границе полости-трещины и жесткие включения в слоистых областях, включения и полости-трещины, занимающие некоторые области в соосных цилиндрических областях, неоднородности тех же типов на некоторых множествах концентрических сфер в шаре, а также двумерные неоднородности в произвольных трехмерных телах.
С математической точки зрения явление локализации волнового процесса объясняется наличием у оператора соответствующей краевой задачи, описывающей поведение упругого тела с неоднородностями, определенных спектральных свойств, например, наличие точек изолированного спектра для всего семейства неоднородностей [90, 91].
Применение дифференциального метода факторизации к задаче для блочной структуры
Дифференциальный метод факторизации, примененный к отдельному выпуклому изотропному упругому телу в работах [42, 45], может быть перенесен на блочные структуры, частным случаем которых являются слоистые.
В п. 2.4 приведены функциональные соотношения для отдельного выпуклого упругого тела, позволяющие построить приблюкенное решение, а также общий алгоритм метода факторизации. Приближенное решение становится более точным по мере приближения тела по форме к полупространству.
Аналогичный алгоритм позволяет получить соотношения для блочных структур, однако, как показано в [44, 46, 53], множественность числа блоков и возможность различных их сочетаний, приводит к гораздо более сложным соотношениям. Далее под блочными структурами понимаются системы, занимающие ограниченные, полуограниченные или неограниченные области, называемые контактирующими блоками. Предполагается, что в блочной структуре каждый блок может обладать своими специфическими свойствами поведения при воздействии физических полей различной природы. Считается, что эти поля описываются краевыми задачами для систем связанных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами.
Метод излагается для блочных структур на примере разнотипных изотропных блоков, однако он может быть использован и для материалов с произвольными свойствами блоков. Далее полагается, что область Q блочной структуры состоит из соприкасающихся выпуклых областей Qy, j = \,N, с границами 8D.J. Может оказаться, что часть границы дС1 некоторого блока с номером п является общей с границей другого блока с номером р. Ниже такие границы будут называться контактирующими, в их обозначениях будет использован двойной индекс. Остальные части границ обеих областей являются неконтактирующими dQn, 3D. , они могут быть подвержены внешним воздействиям или свободны. Предполагается, что в каждой области С1п ставится одна из краевых задач, рассмотренных в п. 1.1. Для каждого блока, имеющего свои механические характеристики, возьмем определяющие уравнения изотропной теории упругости в форме (2.2.8) (A, + Мп) graddivu„ + //„ Au„ + p„a 2un = 0, На неконтактирующих частях границы ставятся традиционные краевые условия теории упругости, приведенные в п. 1.1. На контактирующих частях, в частности на 8Q , при условии сохранения сплошности среды ставятся условия равенства векторов напряжений и перемещений, то есть ип=иР і=тр, х! = {тп,т!2,т13},1 = п,р, (2.5.1) ТП = ИЗ Т12 = &12Ъ Т13 = /33 Следуя схеме дифференциального метода факторизации [42] и рассматривая каждую область Q.n в отдельности, краевая задача сводится к системе функциональных уравнений вида К»и„(а)= j]V (2.5.2) Здесь Кл(а) - полиномиальная матрица-функция, Кп(а)= &Л!/(а) . Матрицы Кп(а) соответствуют (2.4.1) с добавлением индексов п, ш„ — вектор внешних форм краевой задачи в области Qn, имеющий в качестве компонентов двухмерные внешние формы вида (2.4.5). Краевые условия на контактирующих границах в общем случае содержат значения напряжений и перемещений на границе по крайней мере из двух соседних областей.
Этим блочные структуры существенно отличаются от рассмотренного случая для отдельного выпуклого тела. Не повторяя алгоритмы, изложенные ранее, далее приводится вид псевдодифференциальных уравнений для случая контакта двух тел. Удовлетворение граничных условий осуществляется по следующей схеме. Вначале граничные условия на неконтактирующеи границе для каждого отдельного блока вносятся в соответствующие векторы внешних , форм функциональных уравнений (2.5.2). При контакте блоков на общих границах д1пр выполняются условия сопряжения (2.5.1). Эти соотношения должны быть внесены в соответствующий вектор внешних форм лишь одного из функциональных уравнений, в то время как вектор внешних форм второго уравнения остается неизменным. Как показано в [52], это обеспечивает удовлетворение заданных граничных условий (2.5.1), не требуя отделения обобщенных функций от классических составляющих, возникающих естественным путем в решениях, получаемых с помощью метода факторизации. Опустив процедуру применения дифференцального метода факторизации к рассматриваемой краевой задаче, включающую его реализацию в каждой области Cln, Qp отдельно, что выполнено в [42, 45, 46], ниже приведены псевдо дифференциальные уравнения для блочной структуры из двух блоков
Построение функциональных уравнений для многослойной среды, содержащей совокупность включений
Исследуется задача о вибрации пакета упругих слоев, содержащих систему внутренних включений. Колебания упругих сред с неоднородностями типа жестких включений исследовались в [48, 49, 69, 216, 218, 219]. В работах [278, 283] рассматривались задачи, моделирующие возникновение трещины на стыке с включением.
Так же, как и в п. 3.3, дефекты могут присутствовать как в плоскостях раздела слоев, так и внутри слоев, поверхность пакета подвергается воздействию штампа или системы штампов, нижняя граница жестко сцеплена с недеформируемым основанием.
На поверхности в области контакта со штампами задаются смещения, на остальной части поверхности ставится условие отсутствия напряжений, на нижней границе пакета ставится условие отсутствия смещений.
Плоскости дефектов и плоскости раздела физико-механических свойств рассматриваются как границы полуограниченных блоков. Если включение находится внутри одного из слоев, свойства двух введенных блоков, граничащих в плоскости дефекта, полагаются одинаковыми. При этом на стыках слоев-блоков в областях, занятых включениями, смещения считаются заданными, ставится условие равенства перемещений на берегах разрезов, на остальной части плоскости раздела ставится условие идеального контакта, то есть равенства смещений и контактных напряжений. Далее будем считать, что во всех плоскостях раздела слоев на высотах hn l = 2,N имеются жесткие включения, занимающие односвязные области Qy/ с кусочно-гладкими границами, j = \iNl.
Метод сведения к системам интегральных уравнений, позволяющий понизить размерность задач, является одним из наиболее эффективных методов исследования задач в динамической теории упругости. С помощью дифференциального метода факторизации система функционально-матричных соотношений, связывающих Фурье-образы напряжений и перемещений на границах раздела блоков, представляется в виде
В работах [48, 49] метод факторизации применяется к исследованию задач для однородных сред с совокупностью жестких включений. В [201], основываясь на теореме Бетти, построены функционально-матричные соотношения для слоистой среды при наличии жестких включений на стыках слоев.
Для задач, приведенных в этом пункте, аналогично предыдущему рассмотренному случаю, неизвестные образы скачков напряжений на берегах включений могут быть выражены через заданные величины.
В рассматриваемой задаче заданными являются перемещения в областях включений и смещения под штампом на верхней границе. Кроме того, задано условие жесткого закрепления нижней грани пакета.
В работах О.Д. Пряхиной, А.В. Смирновой проведено аналитическое исследование корневых и полярных множеств элементов и определителей матриц-символов, ядер ряда динамических задач для многослойных сред с неоднородностями.
Полученные в настоящей работе представления матриц-блоков символов ядер систем интегральных уравнений для слоисто-структурированных сред с нарушениями сплошности на структурных границах позволяют реализовать численные алгоритмы построения корневых и полярных множеств их элементов и определителей для широкого круга задач. В приложении В приведены примеры расчетов нулей и полюсов элементов и определителей блоков матриц для однородной, двух- и трехслойной структур с дефектами типа жестких включений и трещин.
Построение систем интегральных уравнений динамических задач для слоисто-структурированных сред
Построение интегральных уравнений, порождаемых динамическими задачами для структурно-неоднородных сред, осуществляется на основании полученных функционально-матричных соотношений с учетом заданных смешанных граничных условий на границах элементов структуры (3.3.3), (3.3.5), (3.3.7), (3.4.2), (3.4.4), (3.4.6). Блочная матрица символа ядра системы интегральных уравнений формируется с помощью выражений, определяющих интегральные характеристики перемещений и напряжений, соответствующих плоскостям нарушения сплошности рассматриваемой среды. Кроме того, при наличии поверхностных воздействий смешанные граничные условия на поверхности среды также приводят к системе интегральных уравнений. Элементы блоков матриц определяются моделью среды, типом и глубиной залегания дефектов. Размерность блоков для изотропной упругой среды 3x3, термоэлектроупругой —5x5.
Если на поверхности среды и на границах раздела слоев заданы смешанные граничные условия (1.2.27) и (1.2.17) для системы включений или (1.2.18) для системы трещин, полученные матрично-фунциональные соотношения (3.3.3) и (3.4.2) приводят к системам интегральных уравнений относительно контактных напряжений tiN+l = т7 +1 ( JCX , JC2 ) в областях поверхностных воздействий и относительно скачков перемещений uJn=u n(xl,x2)-u n(xl,x2) в областях расположения трещин ClJn или скачков напряжений 1 ы = х+ы (хр х2 )-ткп (х1Ух2) в областях включений 0.ы, п = 2,N.
Способы построения приближенных решений для полуограниченных и неограниченных покрытий
Настоящая глава посвящена развитию теории интегральных уравнений, задаваемых в областях сложной формы.
Метод фиктивного поглощения обобщен для случая невыпуклых в плане областей, занимаемых штампом или дефектом. Приведены примеры построения решений для ряда областей. Предложена модификация в части подбора базисных функций. Использование производных дельта-функций облегчает построение решений.
Моделирование поведения структурно-неоднородных сред, подвергающихся гармоническим воздействиям, приводит к динамическим смешанным задачам, исследование которых требует дальнейшего развития методов решения порождаемых ими систем интегральных уравнений.
Развиваемые в диссертации методы позволяют преодолетьряд проблем, возникающих при решении динамических задач теории упругости для сред сложного строения.
Для построения решений СИУ можно применять различные методы: метод факторизации [22, 93], вариационно-разностный метод [51, 102], асимптотические методы [6, 92], метод ортогональных полиномов [239], метод граничных элементов [66, 70], фиктивного поглощения и т.д. Изложение перечисленных методов, сравнительный анализ, а также примеры решения динамических контактных задач содержатся в монографиях [25, 52, 96, 139, 140].
В [22, 93, 94] сформулированы условия корректности постановок краевых задач и энергетические принципы отбора единственного решения. При исследовании задач для систем штампов [23] установлена неединственность их решения при некоторых значениях параметров.
Общая схема метода фиктивного поглощения решения. интегрального уравнения в произвольной в плане области
Как было сказано ранее, для решения полученных систем, можно воспользоваться различными методами: вариационно-разностным методом факторизации, методом фиктивного поглощения и т.д.
Далее излагается метод решения интегральных уравнений динамических контактных задач, суть которого состоит в таком преобразовании интегрального уравнения, в результате которого оно оказывается сходным по своим свойствам с интегральным уравнением задачи для вязкоупругой среды с сильным поглощением. Данный метод позволяет в качестве вспомогательных задач с поглощением брать соответствующие статические задачи, решение которых с высокой степенью точности можно получить с помощью метода факторизации, ортогональных полиномови т.д. Основы этого метода заложены в работе [22]. Дальнейшее развитие применительно к решению некоторых классов интегральных уравнений и систем метод получил в работах [19, 20, 94]. В работах [47, 55, 139] предложено использование в рамках метода численных процедур, позволяющих опустить этап аппроксимации символа ядра.
Методом фиктивного поглощения можно решать пространственные задачи при любых условиях контакта штампов со средой, при наличии плоских полостей-трещин и включений. Достоинством данного метода является возможность описания решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ.
В настоящей работе метод фиктивного поглощения рассматривается для решения контактных задач о вибрации штампов, жестких включений или полостей произвольной в плане формы.
Далее излагается общая схема метода фиктивного поглощения для решения пространственных динамических смешанных задач о вибрации штампа, занимающего область Q на поверхности полуограниченной упругой среды. К уравнениям такого же типа приводят задачи о колебании дефекта в полуограниченной среде.
Метод фиктивного поглощения получил свое название в связи с тем, что он основан на таком преобразовании ядер интегральных уравнений или систем интегральных уравнений, которое позволяет уравнения с сильно осциллирующими и медленно убывающими ядрами приводить к интегральным уравнениям с ядрами, экспоненциально убывающими с ростом аргумента. Такое поведение ядер соответствует задачам для сред с сильным затуханием. Для решения интегральных уравнений этих задач существует большой арсенал приближенных методов.
Метод фиктивного поглощения позволяет выделить осциллирующие составляющие решения с тем, чтобы в качестве неизвестной оставалась бы неосциллирующая функция. Затем с помощью обратных преобразований строится решение исходной задачи. Схема метода, изложенная ниже, отличается от развитой в [55, 94, 139, 140] тем, что здесь используются базисные функции более сложного вида [22, 56], которые позволяют получать решение в более простой форме.
