Содержание к диссертации
Введение
I. Задачи термоупругости плит, выполненных из сплошных и пористых материалов 12
1. Физико-механическое моделирование состояния материалов пористой структуры 12
2. Решение задачи теплопроводности балки-пластины из пористого материала, нагреваемой джоулевым теплом 21
3. Решение задачи термоупругости балки-стенки 25
4. Примеры расчетов балки-пластины 28
5. Решение задачи термоупругости прямоугольной пластины 43
6. Примеры расчетов прямоугольной пластины 49
7. Решение задачи теплопроводности круглой пластины 63
8. Решение задачи термоупругости круглой пластины 65
9. Примеры расчетов круглой пластины 69
10. Постановка задачи термоупругости для балки-пластинки (токонесущей шины) из пористого материала при переменной по длине пограничной температуре 83
11. Постановка конструкционно-связанной задачи теплопроводности и термоупругости пористой балки-пластинки в одномерном поле температур 87
II. Задачи термоупругости полых цилиндров, выполненных из сплошных и пористых материалов 93
1. Решение задачи теплопроводности цилиндра с пористостью, переменной по радиусу 93
2. Решение задачи термоупругости цилиндра при полярно симметричном нагреве 96
3. Примеры расчетов цилиндров при полярно-симметричном нагреве ... 101
4. Решение задачи термоупругости тонкого цилиндра при полярно симметричном нагреве ПО
5. Примеры расчетов тонких цилиндров при полярно-симметричном нагреве 114
6. Решение задачи теплопроводности цилиндра с пористостью, переменной по длине и радиусу 122
7. Решение задачи термоупругости цилиндра с пористостью, переменной по длине и радиусу 130
8. Примеры расчетов цилиндров при осесимметричном нагреве 139
9. Решение задачи термоупругости тонкого цилиндра с пористостью, переменной по длине и радиусу 148
10. Примеры расчетов тонких цилиндров при осесимметричном нагреве 152
Выводы по 2 главе 160
III. Задачи термоупругости и тепломассопереноса в трубе при транспортировании жидкого теплоносителя 161
1. Задачи теплопроводности цилиндра и теплоносителя при электротермическом его нагреве 161
2. Задача термоупругости цилиндра при транспортировании жидкого теплоносителя 164
3. Примеры решения задач тепломассопереноса и термоупругости для трубы из пористого материала 166
4. Решение задачи термоупругости тонкостенного цилиндра (оболочки) при конвективном теплообмене с теплоносителем 174
5. Примеры решения задач тепломассопереноса и термоупругости для тонкостенной трубы из пористого материала 176
IV. Задачи термоупругости тел с пористым их охлаждением 183
1. Решение задачи пористого охлаждения прямоугольной пластины без
внутреннего теплового источника 183
2. Решение задачи термоупругости прямоугольной пластины 186
3. Примеры решения задач пористого охлаждения прямоугольной пластины без внутреннего теплового источника 188
4. Решение задачи пористого охлаждения круглой пластины без внутреннего теплового источника 191
5. Примеры решения задач пористого охлаждения круглой пластины без внутреннего теплового источника 194
6. Решение задачи пористого охлаждения прямоугольной плиты с внутренним тепловым источником 197
7. Решение задачи термоупругости прямоугольной плиты с внутренним тепловым источником 199
8. Примеры решения задач пористого охлаждения прямоугольной пластины с внутренним тепловым источником 201
9. Решение задачи термоупругости пористого охлаждения круглой плиты с внутренним тепловым источником 205
10. Примеры решения задач пористого охлаждения круглой пластины с внутренним тепловым источником 207
11. Общая постановка задачи тепломассообмена и теплопроводности цилиндра при пористом охлаждении в случае полярно-симметричного нагрева 210
12. Решение задачи пористого охлаждения цилиндра без внутреннего теплового источника 212
13. Примеры расчетов пористого охлаждения цилиндров при полярно- симметричном нагреве 214
14. Решение задачи пористого охлаждения тонкого цилиндра без внутреннего теплового источника 218
15. Пример расчета пористого охлаждения тонких цилиндров при полярно-симметричном нагреве 220
Выводы по 4 главе 224
Заключение 225
Список литературы 228
Приложение 235
- Решение задачи теплопроводности балки-пластины из пористого материала, нагреваемой джоулевым теплом
- Примеры расчетов цилиндров при полярно-симметричном нагреве
- Примеры расчетов тонких цилиндров при осесимметричном нагреве
- Примеры решения задач тепломассопереноса и термоупругости для трубы из пористого материала
Введение к работе
Актуальность темы
Интенсивное развитие энергоемких технологий в общей машиностроительной, химической и аэрокосмической технике приводит к необходимости исследования проблем прочности элементов конструкций, выполненных из современных нетрадиционных материалов. К последним относятся материалы, имеющие неоднородную и пористую структуру и полученные методом порошкового спекания или порошковой металлургии.
Пористые материалы находят все большее применение в таких конструкциях, как высокотемпературные теплообменники, трубопроводы для перекачки высокотемпературных жидкостей, ракетные сопла, турбинные лопатки. В электроэнергетике это токонесущие шины электропечей и других агрегатов (в виде балки-стенки); в машиностроении – пористые вкладыши подшипников скольжения (полый цилиндр); круглые и прямоугольные пластины – это всевозможные диафрагмы, затворы печей, перекрывающие клапаны и т.п.; пористые фильтры в виде пластин и цилиндров.
Особое место в теплоэнергетике имеет проблема пористого охлаждения. Такому применению пористых материалов способствует отсутствие альтернативных материалов, пригодных для продолжительной работы при высоких температурах, а также то обстоятельство, что обычные способы охлаждения нагретых тел омыванием или обдувкой оказываются неэффективными.
Из перечисленного выше применения пористых материалов видно, что, помимо тепловых задач, необходима разработка методов решения задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) для изделий из пористого материала, чему и посвящена настоящая работа.
Целью работы является разработка новых и развитие известных методов решения задач теплопроводности и термоупругости для тел сплошной и пористой структуры и решения на основе этих разработок нового класса задач.
Для достижения этой цели поставлены следующие задачи исследования:
разработать физико-механическую модель упругого состояния материала пористой структуры при тепловом на него воздействии;
разработать методы решения задач теплопроводности пористых тел, нагреваемых внутренними источниками тепла;
разработать методы решения задач термоупругости пористых тел в форме балки-пластинки, прямоугольных и круглых в плане пластин и полых цилиндров;
разработать метод решения связанной задачи тепломассопереноса, теплопроводности и задачи термоупругости труб с жидким теплоносителем;
разработать метод решения задачи теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Разработана физико-механическая модель упругого состояния материала пористой структуры при тепловом на него воздействии. Предложены расчетные зависимости, описывающие состояние материала на основе экспериментальных данных.
-
Разработан принцип решения задач теплопроводности пористых тел, нагреваемых внутренними источниками тепла. В основу положен метод конечных элементов и схема последовательных приближений.
-
Получены решения задач термоупругости пористых тел в форме балки-пластинки, прямоугольных и круглых в плане пластин и полых цилиндров на основе метода суперэлементов.
-
Предложен метод решения связанной задачи тепломассопереноса, теплопроводности и задачи термоупругости труб с жидким теплоносителем по схеме последовательных приближений.
-
Разработана методика и получены решения задачи теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении.
-
Разработана схема решения конструкционно-связанной задачи теплопроводности и термоупругости балки-пластинки. Учтена зависимость коэффициента теплопроводности от напряжения.
Достоверность полученных результатов основывается на строгости применяемого математического аппарата, тщательности отладки и тестирования программ для ПЭВМ, а также непротиворечивости полученных результатов известным решениям, найденным другими авторами для сплошных однородных тел.
Практическая ценность и реализация результатов. Полученные решения могут быть использованы в практике расчетов на прочность элементов и деталей машин в форме балки-стенки, прямоугольной и круглой плит и полых цилиндров, находящихся в экстремальных условиях эксплуатации.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры МДТ СГТУ (2003-2006 гг.) и на Второй Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г.).
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
-
Физико-механическая модель термоупругого состояния материала пористых тел.
-
Метод последовательных приближений в решении задач теплопроводности и термоупругости пористых тел на основе вариационных принципов и методов конечных элементов и суперэлементов.
-
Постановка и решение связанных задач тепломассопереноса в трубе с жидким теплоносителем на основе метода последовательных приближений и использовании вариационных принципов.
-
Постановка и решение задач теплопроводности и термоупругости плит и цилиндров при пористом их охлаждении.
-
Постановка и схема решения конструкционно-связанной задачи термоупругости балки-пластины.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 8 научных статьях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка использованной литературы. Работа содержит 246 страниц наборного текста, 252 рисунка. Список использованной литературы включает 79 наименований.
Решение задачи теплопроводности балки-пластины из пористого материала, нагреваемой джоулевым теплом
Для поиска нормальных температурных напряжений в балке-стенке исходим из посылки, что длина бруса велика, и краевыми эффектами можно пренебречь. В этом случае с достаточной точностью можно использовать прием, основанный на принципе освобождаемости от связей [12], [62]. Представим условно, что брус защемлен с двух сторон. Осевые напряжения в брусе за счет теплового расширения будут равны Здесь а(Т) - средний в рабочем диапазоне температур коэффициент линейного расширения материала как функция координаты (у) Т0 - начальная температура бруса, принимаемая чаще за ноль, Е(у) переменный по высоте сечения модуль Юнга, зависящий от пористости и температуры. На основании [21] представим модуль Юнга следующей Средний коэффициент линейного расширения в результате преобразований примет вид Входящие в (1.23) и в (1.24) коэффициенты определяются экспериментально. Заметим, что координатная ось (х) проходит по нейтральному слою сечения так, что у = Y - i. Нормальные напряжения (1.21) вызывают в сечении продольную силу N и момент М, определяемые по абсолютному значению по формуле
Если освободить брус от связей, то для расчета действительных напряжений необходимо к напряжениям (1.21) добавить напряжения а"(у), а"(у) обусловленные силой N и моментом М, согласно (1.25), Для поиска напряжений а"г, обусловленных силой N, используем следующий прием. Разобьем брус по высоте на п слоев постоянного сечения Д. (рис. 1.6) с постоянными физико-механическими характеристиками по слою (,. = const). Распределим продольную силу N по слоям, то есть Уравнение совместности деформаций слоев заключается в равенстве их удлинений: Д/, = Д/2 =... = Д/„. Так как Д/, =——, то из уравнения равновесия и условий совместности получим где A. =bxhj - площадь сечения і-го слоя. Для расчета напряжений от изгибающего момента М предварительно найдем положение нейтральной линии из условия равенства нулю продольной силы при чистом изгибе бруса, т. е. Считая брус многослойным с постоянными характеристиками по толщине слоя и следуя [27], из уравнения (1.28) получим /=1
Соответственно по теории изгиба многослойного бруса [27] будем иметь (1.30) На основании полученных решений, используя принцип суперпозиции, получим расчетные формулы для температурных напряжений в стержне при различных способах его закрепления (рис. 1.7(а, б, в)): Формула (1.31) отображает состояние пластины в случае, когда пластина свободна от связей. При наличии подвижной заделки (рис. 1.7(6)), разрешающей осевое перемещение, но запрещающей поворот, в формуле (1.31) убирается последнее слагаемое. В случае жесткой заделки (рис. 1.7(a)) в формуле (1.31) остается лишь первое слагаемое. Пример 1. Проведем практическое исследование полей температур и напряжений бруса постоянного прямоугольного поперечного сечения в одномерном случае температурного воздействия, выполненного из пористого железа с постоянной пористостью. Исходные данные: высота балки h=0,02 м, ширина - произвольная (b«h). По высоте сечения балка разбивается на п=50 элементов. Температурное поле вызвано внутренним тепловыделением джоулевым теплом с удельной объемной мощностью источника Wo=60000——. На верхней границе сечения балки поддерживается м постоянная температура Т=100С, на нижней границе Т=20С. Боковые поверхности теплоизолированы. Распределение пористости по высоте сечения постоянное: Pi=5%, Р2=20%. Также для сравнения взята беспористая балка Р3=0% (рис. 1.8).
Примеры расчетов цилиндров при полярно-симметричном нагреве
Пример 1. На основании полученных теоретических исследований проведем практическое исследование полей температур и напряжений цилиндра, выполненного из пористого железа. Исходные данные: внутренний радиус цилиндра Ri - 0,02 м, внешний радиус R.2 - 0,04 м. Температурное поле вызвано внутренним тепловыделением джоулевым теплом с удельной объемной мощностью источника W=200000——. На внутренней стороне цилиндра поддерживается м постоянная температура Ti=150C, на внешней стороне Т2=50С. Пример 2. Исходные данные: внутренний радиус цилиндра Ri -0,02 м, внешний радиус R2 - 0,04 м. Температурное поле вызвано внутренним тепловыделением джоулевым теплом с удельной объемной мощностью fcBfti источника W=200000—г-. На внутренней стороне цилиндра поддерживается м постоянная температура Ti=150C, на внешней стороне Т2=50С. Рассмотрим задачу термоупругости для полого тонкого цилиндра конечной длины с радиально изменяющейся пористостью при полярно-симметричном нагреве джоулевым теплом. Ограничимся кажущейся (не сквозной) пористостью. Цилиндр радиусов Ri и R2 находится в стационарном температурном поле. Материал цилиндра линейно упруг и термочувствителен. Принимаем цилиндр свободным от закреплений. Цилиндр может иметь или не иметь днище и может быть нагружен внутренним давлением. Решение задачи теплопроводности сводится к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения [70] В отличие от толстостенного цилиндра пренебрегаем радиальным напряжением по толщине слоя. Роль последних играют контактные давления между слоями. Разбиваем цилиндр по радиусу на п кольцевых слоев и пронумеруем их границы і = 1, 2,..., п+1 (рис. 2.19). Обозначим Т., искомую температуру в і-м узле. Соответственно будем иметь Т = Г, при і=1, Т - Т2 при i=n+l. В результате решения дифференциального уравнения (2.32) получим систему уравнений Решение системы (2.33) может быть получено любым из известных методов.
Рассмотрим два смежных элемента 1 и 2, примыкающих к узлу і. Для оценки НДС исходим из посылки безмоментной теории оболочек. Окружные напряжения в слоях определим, суммируя их значения, обусловленные контактным давлением слоев и найденные в силу тонкостенности слоев по безмоментной теории оболочек, с напряжениями от перепада температур по толщине стенки цилиндра [8] где ,=0, 7„+1 =0, r. r rM, Еп /л, - средние значения по элементу модуля Юнга и коэффициента Пуассона. Для определения осевых напряжений аг примем за основу гипотезу о плоской деформации ez= = const. Рассмотрим равновесие отсеченной части цилиндра (рис. 2.20). Проектируя на ось z все силы, действующие на цилиндр, получим Осевая деформация цилиндра согласно закону Гука є =—[ст -jua0]+&Г(г) = 4 Отсюда a = Eg + jucre -аЕТ(г) или для каждого слоя Е Здесь Е .,«,,м-, - средние значения модуля Юнга, коэффициента линейного расширения и коэффициента Пуассона по слоям. Для отыскания контактных давлений q, воспользуемся условием совместности деформаций. Потребуем равенства радиальных перемещений и{г) слоев цилиндра в зоне их сопряжения: и, = им при r = rn i = 1,..., я -1, где В результате получим систему разностных уравнений Решаем эту систему методом итераций при условиях означающих отсутствие давления на внутреннюю и внешнюю поверхность цилиндра. Получим qt в виде qt = q, Для определения єг используем условие равенства нулю осевой силы ЛГ = 0, Т.е. Для разрешения (2.39) относительно sz используем метод двух расчетов. В первом расчете примем єг=0, т.е. полагаем цилиндр защемлённым с двух сторон. Выполнив решение задачи, получим осевую силу первого расчёта iV, Ф 0. Во втором расчёте, приняв произвольно ez = , получим Ы2Ф0. В силу линейной зависимости N от єг найдём действительное значение єг = ет из пропорции Подставляя найденное значение єт в расчётные формулы (2.39), найдем действительные напряжения в сечении цилиндра для средних радиусов элементов.
При наличии в цилиндре днища и внутреннего давления qx Ф 0, условие (2.39) примет вид В остальном ход решения не изменится. Пример 1. Возьмем тонкий цилиндр с внутренним радиусом Ri=0,09 м и внешним радиусом R2=0,095 м. Цилиндр сделан из пористого железа с постоянной пористостью Р=20% (рис. 2.21, сплошная линия). Данный цилиндр сравнивается с беспористым цилиндром, имеющим такие же параметры (рис. 2.21, пунктирная линия). Температурное поле вызвано внутренним тепловыделением джоулевым теплом с удельной объемной мощностью источника W=90000—Г. На внутренней стороне цилиндра поддерживается постоянная температура Ті=300С, на внешней стороне Т2=100С. Полученные графики температуры изображены на рис. 2.22. Пример 2. Сравним тонкий цилиндр, выполненный из пористого железа, пористость которого изменяется по радиусу от 0% до 20% (сплошная линия) и непористый цилиндр (пунктирная линия) (рис. 2.29). Исходные данные: внутренний радиус цилиндра Ri - 0,09 м, внешний радиус R2 - 0,095 м. Температурное поле вызвано внутренним тепловыделением джоулевым теплом с удельной объемной мощностью КВУУІ источника W=90000——. На внутренней стороне цилиндра поддерживается м постоянная температура Ті=300С, на внешней стороне Т2=100С. Приведенные расчетные примеры показывают необходимость учитывать пористость и термочувствительность материала при оценке НДС цилиндра.
Примеры расчетов тонких цилиндров при осесимметричном нагреве
Пример 1. На основании полученных теоретических исследований проведем практический расчет полей температур и напряжений цилиндра, выполненного из пористого железа. Исходные данные: длина цилиндра - 0,1 м, внутренний радиус цилиндра Ri - 0,03 м, внешний радиус R2 - 0,05 м. Температурное поле вызвано внутренним тепловыделением джоулевым теплом с удельной объемной мощностью источника W=9000——. На цилиндрических и торцевых поверхностях цилиндра заданы м тепловые граничные условия первого рода: Цилиндр разбивался по радиусу г на т = 10 частей с постоянным шагом hr - 0,002 м и по длине L на п = 20 частей с постоянным шагом hx = 0,005 м.. Закон распределения пористости имел вид: P = P0(l + e,r)(l + a2z) (рис. 2.60). температура 50 110 Рис. 2.61. Температура (С). Модуль Юнга изображен на рис. 2.62. Пример 2. Для сравнительного анализа рассмотрим цилиндр, выполненный из непористого материала (рис. 2.67). Исходные данные данного цилиндра те же: длина цилиндра - 0,1 м, внутренний радиус цилиндра Ri - 0,03 м, внешний радиус R2 - 0,05 м.
Температурное поле вызвано внутренним тепловыделением джоулевым теплом с удельной объемной мощностью источника КВҐН W=9000—г-. На цилиндрических и торцевых поверхностях цилиндра заданы м тепловые граничные условия первого рода: Цилиндр разбивался по радиусу г на т = 10 частей с постоянным шагом hr = 0,002 м и по длине L на п = 20 частей с постоянным шагом Ля = 0,005 л .. Из примеров 1 и 2 видно, что контактные давления, играющие роль радиальных напряжений, и касательные напряжения малы и могут в расчетах не учитываться. Отметим также, что наличие пористости приводит к росту максимальных напряжений тд, тг, что объясняется большой теплонапряженностью «скелета» цилиндра. В главе 2 получено решение задач теплопроводности и термоупругости толстостенных и тонкостенных цилиндров с пористостью, изменяющейся как по радиусу, так и по длине. Решение доведено до численных примеров, позволяющих оценить роль пористости и термочувствительности в НДС цилиндров. Отмечено существенное влияние пористости на напряжения, что свидетельствует о необходимости ее учета в реальных расчетах на прочность. Третья глава посвящена решению задач теплопроводности и термоупругости цилиндра при движении по нему теплоносителя. Приведены примеры расчета температур трубы и жидкости и напряжений трубы, выполненной из пористого железа. Рассмотрим задачу тепломассопереноса жидкости в пористом цилиндре.
Обозначим внешний радиус трубы R2, внутренний - R.! (рис. 3.1). Цилиндр выполнен из материала методом порошкового спекания и нагревается джоулевым теплом. Изнутри труба охлаждается жидкостью, протекающей в ней в турбулентном режиме с умеренной скоростью (не вызывающей термодинамического нагрева). Тепловой режим трубы и жидкости стационарный. Теплофизические свойства материалов зависят от температуры. Трением в жидкости и работой сил давления пренебрежем. Режимы протекания жидкости внутри цилиндра могут быть различными. Ламинарный - в случае, если число Реинольдса менее 2300. Переходный режим, если число Реинольдса меняется в пределах от 2300 до 6000. Турбулентный режим при числах Реинольдса больше 6000. Причем, если число Реинольдса измеряется десятками тысяч, то задача теплопроводности в жидкости является двумерной. При очень больших числах Реинольдса (сотни тысяч) поле температур в жидкости можно считать одномерным. Рассматриваемая нами задача является двумерной для цилиндра и одномерной для жидкости.
Примеры решения задач тепломассопереноса и термоупругости для трубы из пористого материала
Пример 1. Проведем практическое исследование полей температур трубы и жидкости и напряжений трубы, выполненной из пористого железа. Исходные данные: внутренний радиус цилиндра Ri=0,03 м, внешний радиус - R2=0,05 м. Длина трубы L=0,5 м. Цилиндр нагревается джоулевым теплом с удельной объемной мощностью источника Wo=4000 ——. Изнутри труба охлаждается жидкостью (водой), протекающей в ней в турбулентном режиме со скоростью v=10 м/с. Тепловой режим трубы и жидкости стационарный. Теплофизические свойства материала трубы зависят от температуры и пористости [29, 57, 72]. Трением в жидкости и работой сил давления пренебрежем. Труба разбивается по радиусу г на т = 10 частей с постоянным шагом hr = 0,002 м и по длине L на п-20 частей с постоянным шагом hz = 0,025 м.. Закон распределения пористости имеет вид: Р = Р0(1 + а,г)(1 + а2г), где Р0 = 1,3%. Температура на граничных поверхностях трубы, не соприкасающихся с жидкостью, удовлетворяет условию теплоизоляции контуров: TuJz)=Tl0Jz) при r = R2, 0 z L, Принимаем ГИ=20С. На границе трубы, соприкасающейся с жидкостью, задана температура: Ts(z) = Tex при г = 0и Ts(z) = 220 С при z = L. Температура жидкости при z = 0 удовлетворяет условию в = Твх. Исходя из указанных значений, принимаем величину «смоченного» периметра равной / = 2яЯ, =0,1885 м, массового расхода жидкости G = рУлЯ = 28,2 —, начальные значения теплофизических характеристик Пример 2. В качестве сравнения рассмотрим беспористый цилиндр с такими же исходными данными, что и у пористого: внутренний радиус цилиндра Ri=0,03 м, внешний радиус - R2=0,05 м. Длина трубы L=0,5 м. Цилиндр нагревается джоулевым теплом с удельной объемной Изнутри труба охлаждается жидкостью (водой), протекающей в ней в турбулентном режиме со скоростью v=10 м/с.
Труба разбивается по радиусу г на m = 10 частей с постоянным шагом hr = 0,002 м и по длине L на п = 20 частей с постоянным шагом hz = 0,025 м.. Графики температуры изображены на рис. ЗЛО. Как следует из полученных результатов, при расчете цилиндров на прочность видим существенное количественное влияние пористости на поле температур и НДС цилиндра, что подтверждает необходимость учета описанных факторов. Рассмотрим задачу тепломассопереноса жидкости в тонком пористом цилиндре конечной длины. Обозначим внешний радиус трубы R.2, внутренний - Rj (рис. 3.1). Цилиндр выполнен из материала методом порошкового спекания и нагревается джоулевым теплом. Изнутри труба охлаждается жидкостью, протекающей в ней в турбулентном режиме с умеренной скоростью. Тепловой режим трубы и жидкости стационарный. Материал цилиндра линейно упруг и термочувствителен. Считаем, что пористость кажущаяся (не сквозная). Теплофизические свойства материалов зависят от температуры. Трением в жидкости и работой сил давления пренебрежем. Рассматриваемая нами задача является двумерной для цилиндра и одномерной для жидкости. Для определения полей температур в трубе и жидкости необходимо совместно решить два уравнения Уравнение (3.9) удовлетворяет граничным условиям: T\r=R =e\r=R =TS, где Ts - граничная температура, а также условию теплового контакта двух сред Л дТ = аж(Т5-0). Уравнение (3.10) удовлетворяет граничному г=Я, условию 9 = Твх при г = 0. Решение нелинейного уравнения с переменными коэффициентами (3.9) будем искать по схеме метода последовательных приближений, сведя исходное уравнение к поиску минимума функционала: Принимаем начальные значения теплофизических характеристик 4P=4) «ж=«0» СР=СО- На границе z=0 задаем условие T,(z)=T„\iwQ. Дальнейшее решение задачи теплопроводности ведем аналогично 1. Для решения задачи термоупругости используем метод суперэлементов. Разбиваем цилиндр по длине на ряд коротких цилиндров, или толстых плит, которые условно названы «дисками». Разбиение на элементы сохраним таким же, как и при решении задачи теплопроводности. Длина каждого «диска» равна шагу разбиения hz по оси z в задаче теплопроводности или кратна ему.
Тепловой режим «диска» считаем полярно-симметричным. На цилиндрических поверхностях Ri, R.2 принимаем постоянную температуру, среднюю по длине поверхности суперэлемента. В отличие от толстостенного цилиндра пренебрегаем радиальным напряжением по толщине слоя. Роль последних играют контактные давления между слоями. Разбиваем цилиндр по радиусу на п кольцевых слоев и пронумеруем их границы і = 1, 2, ..., п+1 (рис. 3.2). Обозначим Tt искомую температуру в і-м узле. Соответственно будем иметь Т = ТХ при i=l, Т = Т2 при i=n+l. Дальнейшее решение ведем по схеме 2. Окончательно решение сведется к системе разностных уравнений относительно контактных давлений между слоями Пример 1. Проведем практическое исследование полей температур трубы и жидкости и напряжений трубы, выполненной из пористого железа. Исходные данные: внутренний радиус цилиндра Ri=0,09 м, внешний радиус - R2=0,095 м. Длина трубы L=l м. Цилиндр нагревается джоулевым теплом с удельной объемной мощностью источника Wo=20000 —Г. Изнутри труба охлаждается жидкостью (водой), протекающей в ней в турбулентном режиме со скоростью v=10 м/с. Тепловой режим трубы и жидкости стационарный. Теплофизические свойства материала трубы зависят от температуры и пористости [29, 57, 71]. Трением в жидкости и работой сил давления пренебрежем. Труба разбивается по радиусу г на т = 10 частей с постоянным шагом hr= 0,0005 м и по длине L на и = 20 частей с постоянным шагом hz =0,05 м.. Закон распределения пористости имеет вид: P = P0(l + a,r)(l + a2z), где Р0 = 0,95%. Температура на граничных поверхностях трубы, не соприкасающихся с жидкостью, удовлетворяет условию теплоизоляции контуров: TuJz) = Tl0tH(z) при r = fi2, 0 z L, Принимаем гв = 20С. На границе трубы, соприкасающейся с жидкостью, задана температура: Ts(z) = Твх при z = 0 и г,(г) = 220С при z = L. Температура жидкости при z = 0 удовлетворяет условию в = Твх.
