Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Методы теории функции комплексного переменного в теории упругости 18
1. Основные соотношения плоской теории упругости для бесконечной области. Преобразование основных формул 18
2. Конформные отображения звездообразных областей .23
3. Конформное отображение единичного круга на плоскость с разрезами 26
4. Некоторые сведения из теории операторов и теории сингулярных интегральных уравнений... 32
5. Пространства, порождаемые нулями символа интегрального уравнения 35
6. Сингулярные интегральные операторы с сопряжением..39
ГЛАВА 2. Решение основное задачи для областей с кусочно гладкой трещиной 42
1. Приведение основной задачи к функциональным уравнениям 42
2. Приведение; к сингулярному интегральному уравнению с неподвижными особенностями 48
3. Об операторе с неподвижными особенностями 52
4. Модельный оператор сингулярного интегрального уравнения с неподвижными особенностями 54
5:. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений 57
6. Применение условия нормального отрыва к системе радиальных трещин. Результаты расчетов 66
ГЛАВА 3. Коэффициенты интенсивности напршений упругой плоскости и полуплоскости с разрезами 77
1. О некоторых задачах для полуплоскости с трещинами 77
2. Применение метода закругленных углов для тел с прямолинейными трещинами...87
3. Сосредоточенные силы в узловой точке двух радиальных трещин...30
4. Асимптотика коэффициентов интенсивности в случае сближения концов двух радиальных трещин ...95:
5. Численные результаты в задаче о системе трех радиальных трещин...
Заключение ..108
Литература... .111
Приложение. Программа решения ПЗУ 126
- Конформное отображение единичного круга на плоскость с разрезами
- Пространства, порождаемые нулями символа интегрального уравнения
- Модельный оператор сингулярного интегрального уравнения с неподвижными особенностями
- Асимптотика коэффициентов интенсивности в случае сближения концов двух радиальных трещин
Введение к работе
Проблема разрушения является в настоящее время одной из главных проблем механики деформируемого твердого тела. Известно, что существенное влияние на прочность реальных твердых тел оказывают имеющиеся в них различного рода дефекты - концентраторы напряжений, такие как микро- и макротрещины, границы зерен, полости и другие. В окрестности этих дефектов происходит значительное повышение напряжений, что может привести к разрыву атомных связей и вызвать локальное или полное разрушение тела. Однако обычно не удается провести непосредственное рассмотрение прочности атомных связей, поэтому большое значение приобретает другой подход к проблеме разрушения - подход с позиции механики сплошной среды. Необходимость решения практических вопросов о прочности элементов конструкций и сооружений с трещинами вызвала большой интерес многих исследователей к изучению процесса деформирования и разрушения реальных твердых тел.
Основы современной теории хрупкого разрушения были заложены в известных работах А.Гриффитса і05,І0б], продолженных Й.О.Ораваном [і2б], Г.Р.Ирвином [іїз] и др.
Математические вопросы механики разрушения упругих тел с разрезами разработаны в трудах Г.И.Баренблатта, Р.В.Гольд-штейна, Е.М.Морозова, Н.Ф.Морозова, В.В.Новожилова, В.В.Панаеюка, В.З.Партона, П.И.Перлина, Ю.Н.Работнова, Р.Л. Салганика, Л.И.Седова, Л.И.Слепяна, Г.П.Черепанова, К.Ф.Чер m 0 «a ныха, Я.СУфляяда и других советских ученых. Вклад в решение этих проблем зарубежными математиками и механиками связывает» ся с именами Н.Бюкнера, М.Вильямса, М.Каесира, Дж.Раиса, Г.Си, И.Снеддона и другими.
Теории хрупкого разрушения твердых тел посвящены монографии В.В.Панасюка \бІ] , У.Брауна, Дж.Сроули [іб], Г.П.Черепа-нова [бё], Н.Ф.Морозова [47,50] В.З.Партона и Е.М.Морозова [?о] и др., отдельные главы в монографиях Н.Й.Мусхелишвили [55], Л.И.Седова [efj, Г.Н.Савина [тб}, а также ряд обзорных статей ГГ.И.Баренблатт [12], В.В.Новожилов [62,63J , Г.Р.Йрвин •А.А.Уэлс [Ш], Г.Н.Савин,В.В.Панасюк [7б], Г.П.Черепанов [87], В.З.Партон,Г.П.Черепанов [72]]}, в которых обобщены результаты исследований по отдельным аспектам этого научного направления.
Изучению напряженно-деформированного состояния упругих тел, ослабленных системой трещин, посвящено большое число работ. Укажем здесь на исследования Н.Й.Мусхелишвили, Д.И.Шерма-на, Д.М.Волкова, В.В.Панасюка, Г.П.Черепанова, А.А.Храпкова, Н.Ф.Морозова, Л.И.Слепяна, Б.М.Морозова, В,З.Партона, М.П. Саврука, а также О.Л.Бови, П.С.Теокариса, Н.И.Иокамидиса, М.Исида, Х.Китогава, Р.Юуки и др.
Математические методы, развитые Н.Й.Мусхелишвили [55J и Д.И.Шерманом L90J, позволяют свести к вычислению квадратур за« дачу для бесконечной плоскости с любой системой трещин вдоль одной и той же прямой, или вдоль одной и той же окружности. Распределение напряжений в пластине с произвольным числом дугообразных трещин изучил Д.М.Волков [їв] (см.также [і?]). Замкнутое решение можно получить также для бесконечной плоскости с разрезом по дуге параболы (Б.Рао [l27j, А.Ахмед JJ9XJ )• Следует отметить также работы И.А.Прусова [73j, Г.П.Черепанова [88] t Д.В.Грилицкого [23], посвященные изучению упругого равновесия неоднородной пластины с разрезами вдоль дуг окружности раздела материалов. А.М.Линьков [35,3б] получил интегральные уравнения теории упругости для плоскости с конечным числом криволинейных разрезов, нагруженных самоуравновешенными усилиями. Эти уравнения такого же типа как уравнения Н.И.Мус-хелишвили [бб] Для многосвязной бесконечной области.
С помощью представления комплексных потенциалов в виде ряда Лорана М.Исида [ііб] получил приближенное решение задачи о системе N произвольно ориентированных непересекающихся трещин при линейном распределении напряжений на бесконечности. Для общего случая самоуравновешенной нагрузки приближенное решение другим путем получил М.П.Саврук и А.П.Дацышин [2б] (см. также [77,68,117,21,22,120,127] ). Для той же задачи Б.Н.Семенов [82] , методом теории функции комплексного переменного, приближенно построил потенциалы Колосова-Мусхелишвили, при помощи которых восстановил напряженно-деформированное состояние и определил коэффициенты интенсивности напряжений Кд и К . Затем на основе идеологии нормального отрыва определяется наиболее опасное направление в окрестности вершины трещины.
Для практического решения основных задач (главным образом первой задачи) в случае областей с угловыми точками обычно применяются частные приемы, основанные на методе разделения переменных, использовании тригонометрических рядов или интегралов фурье, методе закругления углов.
Метод разделения переменных применим лишь к узкому кругу задач и его использование связано с рядом вычислительных неудобств, например с необходимостью представления заданных функций интегралами Фурье (или тригонометрическими рядами), в связи с чем приходится выполнять большое количество вычислений. Таким путем решены многие задачи теории упругости. Обзор этих работ можно найти в l3j.
В методе закругленных углов заменяют функцию, отображающую односвязную область с углами на круг, рациональной функцией (см.[75,76»97,Ш-123]). Однако этот прием не всегда приводит к эффективным результатам, так как задача о подборе рациональной отображающей функции уже сама по себе довольно трудна. Кроме того, заметим, что метод закругления углов пока теоретически не обоснован в случае нарушения конформности отображающей функции на границе, хотя ряд практически важных задач решен именно этим методом.
С.М.Белоносов [із] развивает метод решения плоских, задач теории упругости для произвольных односвязных областей, представляющий собой как бы синтез двух методов: метода интеграла типа Коши и метода интегралов Фурье. С помощью конформного отображения на полуплоскость и применения интегрального преобразования Щурье-Лапласа указанные задачи приводятся к интегральным уравнениям с симметричным ядром, относительно обратного преобразования Лапласа от комплексного потенциала, что приводит к дополнительным трудностям при нахождении тензора напряжений и вектора перемещений.
Вопрос о взаимодействии коллинеарных трещин изучался в работах Т.Уилмора [из], М.А.Садовского [іЗО] (в случае равных трещин), а в случае двух неравных трещин в работе В.В.Панасюка и Б.Л.Лозового [65]. Б.Л.Лозовой [зв] и Л.Т.Бережницкий [и] исследовали предельное равновесие пластины с тремя коллинеар-ными трещинами. Е.М.Морозов и В.З.Партон (_46J получили решение задачи о растяжении бесконечной плоскости, ослабленной двумя полубесконечными разрезами и конечной трещиной, расположенной на одной линии с разрезами.
Одним из основных вопросов механики хрупкого разрушения при расчете на прочность элемента конструкций и сооружений является, как известно, определение распределения напряжений около трещин, характеризующегося коэффициентами интенсивности напряжений.
В работе [58] С.А.Назаров нашел асимптотику поля смещений и коэффициенты интенсивности напряжений для случая, когда берега разреза сцеплены по участкам, сгущающимся к вершинам, а также исследовал вопрос о слиянии микроразрезов в магистраль-ную трещину. В работе О.Б.Агаларяна и С.А.Назарова [г] мето-дом составных асимптотических разложений решена задача об изменении коэффициента интенсивности напряжений при запайке продольной трещины в призматическом стержне. В статье [бб] С.А.Назарова и Ю.А.Ромашева найдено изменение коэффициента интенсивности при слиянии коллинеарных трещин.
Задача теории упругости для бесконечной плоскости, ослабленной системой N радиальных разрезов одинаковой длины, исходящих из одной точки и удовлетворяющих условиям циклической симметрии, была исследована (при условии постоянного внутреннего давления) Р.А.Вестманом l4l]. С помощью интегрального преобразования Мелина, он свел задачу к интегральному уравнению с разностным ядром, которое решил методом Винера-Хопфа, вычислил значения коэффициентов интенсивности напряжений при разных N и дал асимптотическое представление этой величины при больших N .
К.Н.Шривастав и П.Нараин [іЗЗ] рассмотрели эту же задачу в случае произвольных, но одинаковых для всех трещин нагрузок.
Используя интегральное преобразование Меллина, авторы свели задачу к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого для некоторых значений N Чпри постоянном да-влении на трещинах) получено численным путем. Уильяме [142 ] эту задачу (при произвольном давлении на трещинах) привел к интегральному уравнению первого рода, которое решил методом Винера-Хопфа. В случае системы трещин, нагруженных радиальными сосредоточенными силами, приложенными в вершинах клиньев, Е.Н.Шер [89] получил численное значение коэффициентов интенсивности напряжений (см. также ц139_) •
В работе Х.Китогава и Р.Юуки [122] рассматриваются три типа задач: трещины звездообразной формы в бесконечном теле под действием равномерного растяжения, изогнутые трещины в бесконечном теле при одноосном растяжении и вилкообразные трещины при одноосном растяжении. С помощью полиномиального приближения конформного отображения внешности единичного круга на бесконечную область, содержащей трещину заданной формы, авторы нашли коэффициенты интенсивности напряжений в концах трещин. Однако отсутствует доказательство сходимости примененного приближенного метода. Эти же авторы указали, что для получения приемлемой точности решения необходимо проведение большого количества вычислений. На этот недостаток в своей обзорной работе [іЗб] указал П.С.Теокарис.
При решении плоских задач теории упругости для бесконечной пластины с ветвящейся трещиной, применяются методы, которые можно разделить на две категории. При первом подходе применяется метод полиномиального приближения отображающей функции. При втором подходе задача для ветвящейся трещины прямо приводится к сингулярным уравнениям, которые также решаются методом механических квадратур.
В работе П.С.Теокариса [іЗб] с помощью второго подхода рассмотрена растягиваемая на бесконечности пластина с ветвящейся трещиной, представляющей собой прямолинейный разрез, от одной из вершин которого исходят два боковых симметричных разреза одинаковой длины. При этом используются известные сингуля-рные интегральные уравнения плоской задачи теории упругости для систем произвольно ориентированных непересекающихся прямолинейных трещин в бесконечной плоскости. Этим же методом В КНИ»" ге [77] М.П.Саврука решен ряд задач о ветвящихся трещинах (см. также [111,112,64,137]).
В работе С.Н.Чатерджи [Ю0] рассмотрена задача об упругой плоскости с двумя радиальными разрезами, когда на бесконечности действуют растягивающие усилия. При помощи конформного отображения единичного круга на данную область задача сведена к краевой задаче Римана для кусочно-гладкого контура. Эта же задача при малом отростке трещины рассмотрена в работах М.Аместоу, Хай Дзонг и Кай Данг [92] и Б.Билби и Дж.Кардев [94], Б.Билби, Дж.Кардев и Й.Ховард [95], в которых ищется асимптотика комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений через коэффициенты интенсивности задачи с одной трещиной. Однако так же как в [lOO,I24] существенно использовалось наличие именно двух трещин.
Отметим еще работы Н.Б.Ромалиса [74], В.В.Дудукаленко и Н.Б.Ромалиса [2б], где задача о двух слившихся трещинах решается модификацией метода полиномиального приближения отображающей функции. Однако, там не доказана сходимость предложенного метода.
Задача об упругой плоскости ослабленной полубесконечной трещиной с отростком рассмотрена Л.И.Слепяном [вз] (антигагос-кий сдвиг), Б.Билби, Дж.Кардев [95] .
Случай крестообразной трещины подверженной равномерному давлению, изучался Л.А.Новиковым и А.Н.Поповым [бО]. Указанную задачу они свели к парным интегральным уравнениям в комплексной области, решение которых получено в виде бесконечного произведения. Эту же задачу решили П.Д.І ук и Й.Н.Снеддон [_I29J» М.П.Сталибрасс [і35] , Л.Т.Бережницкий [іб], А.А.Баблоян и А.М.Мкртчян [К], К.Н.Сривастава, Б.Нат [і34], Х.Авайн[іЗ . Подробный обзор работ, посвященных решению двумерных задач теории трещин, приведен в [50,54,68,88], а так же в упомянутых выше работах.
Применение методов сингулярных возмущений в механике разрушения получило развитие в последние десять лет с разработкой математического аппарата построения асимптотических представлений решений задач математической физики.
Работа [5l] Н.Ш.Морозова и С.А.Назарова посвящена исследованию асимптотики напряженно-деформированного состояния и разрушающей нагрузки плоской области, содержащей трещину, одна или обе вершины которой упирается в малое включение.
Исследование [48] Н.Ш.Морозовым асимптотики разрушающей нагрузки плоскости, содержащей вырез в виде лунки, с выходящими из ее вершин малыми надрезами, доказывает динамический характер развития трещины с острой кромкой. Искусственное введение малого параметра и применение методов сингулярных возмущений позволило Н.Ф.Морозову и С.А.Назарову [52] показать, что изменение энергии в задаче А.А.Гриффитса не зависит от способа перехода от конечной области к бесконечной.
Многочисленные работы посвящены изучению напряженного со - 12 стояния полуплоскости, полосы, клина, прямоугольных пластин, кругового диска с разрезами и отверстиями [28,29,32,42,66,69, 78,79,93,96,98,99,101,102,107,108,109,115,125,128,131,132,138, 144]. Следует отметить работы А.А.Храпкова [84-8б], где зада-ча об упругом равновесии бесконечного клина с несимметричным надрезом в вершине сведена к неоднородной задаче Гильберта для некоторого двумерного кусочно-голоморфного вектора. В частности получено решение, когда к берегам трещины приложены нормальные сосредоточенные силы.
Об асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи угловых и конических точек в настоящее время известно достаточно много [40] . Однако асимптотическое поведение решений интегральных уравнений тех же задач мало изучено, несмотря на необходимость таких исследований для метода граничных интегральных уравнений.
В работе [l40J рассматриваются интегральные уравнения задач Дирихле, Неймана и смешанной для оператора Лапласа в плоской области с криволинейной многоугольной границей. При помощи преобразования Меллина строятся регуляризаторы и выписаны два первых члена асимптотики решений вблизи угловых точек. Другой метод нахождения асимптотики интегральных уравнений тех же задач использован в работах С.С.Заргаряна и В.Г.Ма-зьи [30,31J , где на примере интегральных уравнений теории логарифмического потенциала указывается способ определения асимптотики решений вблизи угловых точек контура. Найдены асимптотические представления решений интегральных уравнений вблизи угловых точек контура и получены формулы для коэффициентов к Кондратьев В.А.,0лейник 0#А. Краевые задачи для уравнения с частными производными в негладких областях. УМН,1983,т.38, вып.2. этих представлений. При этом, как и в L.I40J , информация о решениях интегральных уравнений теории потенциала выводится из известных результатов об асимптотике решений внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана.
Описанию поведения решений сингулярных интегральных уравнений в окрестности угловых точек контура, посвящены работы Т.С.Кука, Ф.Ердогана, Г.Г пта [l03,I04].
К настоящему времени в рамках линейной теории упругости решено довольно много различных задач о напряженно-деформированном состоянии тел с разрезами (трещинами). Большинство из этих решений относятся к телам с одним разрезом или с системой определенным образом упорядоченных разрезов, а предложенные методы решения эффективно применимы лишь к тем или иным классам задач. В то же время нужно отметить работы П.С.Теокориса, Н.И. йокамидиса [ill,112,136,137], М.П.Саврука [77] , П.Н.Осива и М.П.Саврука [б4], где предложен новый подход решения плоских задач теории упругости для тел с кусочно-гладкими разрезами. Он основан на предельном переходе в уравнениях плоской теории упругости для тел с гладкими непересекающимися разрезами (трещинами), при слиянии трещин к фиксированной точке.
Данная работа имеет целью получение граничных интегральных уравнений для плоскости, ослабленной кусочно-гладкой трещиной, исследование этих уравнений, анализ приближенных методов построения решения и затем нахождение коэффициентов интенсивности напряжений в узловых и концевых точках трещины, механическая интерпретация полученных результатов, описание класса задач теории упругости, для которых можно получить аналогичные граничные интегральные уравнения, исследование взаимодействия двух сближенных трещин, расположенных под углом друг к другу.
Следует отметить, что в работе не используется предельный переход в известных уравнениях плоской теории упругости для тел с непересекающимися гладкими разрезами, так как обоснование этого предельного перехода в общем случае затруднительно.
Метод исследования. При решении простейших задач плоской теории упругости для тел с трещинами возникают специфические трудности: появление дополнительных операторов с неподвижными особенностями, соответствующими узловым точкам трещин, наличие оператора комплексного сопряжения и необходимость из-за этого рассматривать сингулярные интегральные уравнения в подходящих весовых классах.
Как и в гладком случае здесь возможны два варианта исследования. Первый - основывается на хорошо разработанной теории краевых задач для областей с угловыми точками. Этим методом ведутся исследования В.Г.Мазьи и С.С.Заргаряна, а также зарубежными учеными (В.Л.Вендланд, И.Штефан и др.). Другой путь, рассмотренный здесь, сведение краевой задачи к интегральному уравнению (или системе уравнений) с разностным ядром, и последующим использованием более детально разработанной (в одномерном случае) теории сингулярных интегральных уравнений с разностным ядром на полуоси. Используется метод построения асимптотики решений эллиптических краевых задач в сингулярно возмущенных областях.
Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, дан обзор литературы по теме, перечислены полученные результаты.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся основные соотношения плоской теории упругости для бесконечной области, а так же преобразование этих соотношений при конформном отображении единичного круга на данную область. Основой для исследования краевых задач рассматриваемых в главе 2 служит изучение свойств отображающих функций вблизи границы области. При решении простейших задач плоской теории упругости для тел с нерегулярной границей кроме сингулярного интегрального оператора возникают операторы с неподвижными особенностями, соответствующие нерегулярным точкам границы, операторы комплексного сопряжения, кроме того символ интегрального оператора вырождается в концевых точках трещины. Из-за этого необходимо рассматривать уравнения в подходящих весовых классах. Во вто рой главе выводится граничное интегральное уравнение для упругой плоскости, ослабленной кусочно-гладкой трещиной, а так же явно вычислены коэффициенты этого уравнения для задачи о растяжении упругой плоскости, ослабленной произвольной системой радиальных разрезов выходящих из нуля. Описывается численная реализация решения полученного уравнения методом механических квадратур. В третьей главе указан ряд задач теории упругости для плоскости и полуплоскости с трещинами, для которых возможно применение разработанного во второй главе метода, а так же исследуется и строится асимптотика напряженно-деформированного состояния упругой плоскости в случае сближенных концов двух радиальных трещин. Приводится численные значения коэффициентов интенсивности напряжений для трехзвенной радиальной трещины при различных значениях параметров. В заключении сделаны общие выводы по диссертации. В приложении приводится программа решения граничного интегрального уравнения для упругой плоскости, ослабленной системой радиальных трещин произвольной длины, выходящих из фиксированной точки под произвольными углами.
Таким образом, прослеживается логическая связь всех разделов работы, что и оправдывает целесообразность принятой последовательности изложения материала.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на школе-семинаре "Теория упругости и вязкоупругости" (Цахкадзор, 1982 г.), на конференции молодых ученых института механики АН Арм.ССР (Ереван, 1983 г.), на конференции молодых ученых ЛГУ (Ленинград, 1983 г.), на рабочем совещании "Метод граничных интегральных уравнений" (Пушино, 1984 г.), на Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984 г.), а также на семинаре лаборатории математической физики НИИММ и кафедры теории упругости Ленинградского университета.
Научная новизна и практическая ценность. В работе подход, основанный на методе конформных отображений Н.И.Мусхелишвили, применен к решению плоских задач теории упругости для тел с кусочно-гладкими разрезами и угловыми точками границы. Указан класс задач теории упругости, для решения которых можно применить предложенный в работе метод, а также приведено достаточное условие для принадлежности этому классу. В этот класс входят, например, задача об упругой плоскости с радиальными (конечными или полубесконечными) трещинами, задача об упругой полуплоскости с краевыми и полубесконечными разрезами и др. Получено новое граничное интегральное уравнение, позволяющее эффективно решать основные задачи теории упругости для тел с кусочно-гладкими трещинами. Это сингулярное интегральное уравнение с неподвижными особенностями относительно комплексного потенциала Колосова-Мусхелишвили, которое позволяет вычислить коэффициенты интенсивности напряжений не только в концевых, но и в узловых точках трещин. Решение граничного интегрального уравнения в случае произвольной звездообразной трещины (с раз-ными длинами звеньев и разными углами между ними) реализовано в виде действующей программы для машины EC-I060 на языке "Фортран", Выяснено влияние длин трещин и углов между ними на начальное направление распространения трещин (по критерию нормального отрыва) и на напряженное состояние в окрестности вершин звездообразных трещин. Построена асимптотика коэффициентов интенсивности напряжений в случае сближенных концов двух радиальных трещин.
Эти новые научные результаты выносятся на защиту. Результаты работы и полученные формулы могут быть непосредственно использованы в расчетах для конструкций ослабленных звездообразными трещинами, а так же представляют практический интерес при изучении напряженно-деформированного состояния упругих тел расслабленных кусочно-гладкими трещинами.
Конформное отображение единичного круга на плоскость с разрезами
С помощью представления комплексных потенциалов в виде ряда Лорана М.Исида [ііб] получил приближенное решение задачи о системе N произвольно ориентированных непересекающихся трещин при линейном распределении напряжений на бесконечности. Для общего случая самоуравновешенной нагрузки приближенное решение другим путем получил М.П.Саврук и А.П.Дацышин [2б] (см. также [77,68,117,21,22,120,127] ). Для той же задачи Б.Н.Семенов [82] , методом теории функции комплексного переменного, приближенно построил потенциалы Колосова-Мусхелишвили, при помощи которых восстановил напряженно-деформированное состояние и определил коэффициенты интенсивности напряжений Кд и К . Затем на основе идеологии нормального отрыва определяется наиболее опасное направление в окрестности вершины трещины.
Для практического решения основных задач (главным образом первой задачи) в случае областей с угловыми точками обычно применяются частные приемы, основанные на методе разделения переменных, использовании тригонометрических рядов или интегралов фурье, методе закругления углов.
Метод разделения переменных применим лишь к узкому кругу задач и его использование связано с рядом вычислительных неудобств, например с необходимостью представления заданных функций интегралами Фурье (или тригонометрическими рядами), в связи с чем приходится выполнять большое количество вычислений. Таким путем решены многие задачи теории упругости. Обзор этих работ можно найти в l3j.
В методе закругленных углов заменяют функцию, отображающую односвязную область с углами на круг, рациональной функцией (см.[75,76»97,Ш-123]). Однако этот прием не всегда приводит к эффективным результатам, так как задача о подборе рациональной отображающей функции уже сама по себе довольно трудна. Кроме того, заметим, что метод закругления углов пока теоретически не обоснован в случае нарушения конформности отображающей функции на границе, хотя ряд практически важных задач решен именно этим методом.
С.М.Белоносов [із] развивает метод решения плоских, задач теории упругости для произвольных односвязных областей, представляющий собой как бы синтез двух методов: метода интеграла типа Коши и метода интегралов Фурье. С помощью конформного отображения на полуплоскость и применения интегрального преобразования Щурье-Лапласа указанные задачи приводятся к интегральным уравнениям с симметричным ядром, относительно обратного преобразования Лапласа от комплексного потенциала, что приводит к дополнительным трудностям при нахождении тензора напряжений и вектора перемещений.
Вопрос о взаимодействии коллинеарных трещин изучался в работах Т.Уилмора [из], М.А.Садовского [іЗО] (в случае равных трещин), а в случае двух неравных трещин в работе В.В.Панасюка и Б.Л.Лозового [65]. Б.Л.Лозовой [зв] и Л.Т.Бережницкий [и] исследовали предельное равновесие пластины с тремя коллинеар-ными трещинами. Е.М.Морозов и В.З.Партон (_46J получили решение задачи о растяжении бесконечной плоскости, ослабленной двумя полубесконечными разрезами и конечной трещиной, расположенной на одной линии с разрезами.
Одним из основных вопросов механики хрупкого разрушения при расчете на прочность элемента конструкций и сооружений является, как известно, определение распределения напряжений около трещин, характеризующегося коэффициентами интенсивности напряжений.
В работе [58] С.А.Назаров нашел асимптотику поля смещений и коэффициенты интенсивности напряжений для случая, когда берега разреза сцеплены по участкам, сгущающимся к вершинам, а также исследовал вопрос о слиянии микроразрезов в магистраль-ную трещину. В работе О.Б.Агаларяна и С.А.Назарова [г] мето-дом составных асимптотических разложений решена задача об изменении коэффициента интенсивности напряжений при запайке продольной трещины в призматическом стержне. В статье [бб] С.А.Назарова и Ю.А.Ромашева найдено изменение коэффициента интенсивности при слиянии коллинеарных трещин.
Задача теории упругости для бесконечной плоскости, ослабленной системой N радиальных разрезов одинаковой длины, исходящих из одной точки и удовлетворяющих условиям циклической симметрии, была исследована (при условии постоянного внутреннего давления) Р.А.Вестманом l4l]. С помощью интегрального преобразования Мелина, он свел задачу к интегральному уравнению с разностным ядром, которое решил методом Винера-Хопфа, вычислил значения коэффициентов интенсивности напряжений при разных N и дал асимптотическое представление этой величины при больших N . К.Н.Шривастав и П.Нараин [іЗЗ] рассмотрели эту же задачу в случае произвольных, но одинаковых для всех трещин нагрузок.
Используя интегральное преобразование Меллина, авторы свели задачу к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, решение которого для некоторых значений N Чпри постоянном да-влении на трещинах) получено численным путем. Уильяме [142 ] эту задачу (при произвольном давлении на трещинах) привел к интегральному уравнению первого рода, которое решил методом Винера-Хопфа. В случае системы трещин, нагруженных радиальными сосредоточенными силами, приложенными в вершинах клиньев, Е.Н.Шер [89] получил численное значение коэффициентов интенсивности напряжений (см. также ц139_)
Пространства, порождаемые нулями символа интегрального уравнения
Метод исследования. При решении простейших задач плоской теории упругости для тел с трещинами возникают специфические трудности: появление дополнительных операторов с неподвижными особенностями, соответствующими узловым точкам трещин, наличие оператора комплексного сопряжения и необходимость из-за этого рассматривать сингулярные интегральные уравнения в подходящих весовых классах.
Как и в гладком случае здесь возможны два варианта исследования. Первый - основывается на хорошо разработанной теории краевых задач для областей с угловыми точками. Этим методом ведутся исследования В.Г.Мазьи и С.С.Заргаряна, а также зарубежными учеными (В.Л.Вендланд, И.Штефан и др.). Другой путь, рассмотренный здесь, сведение краевой задачи к интегральному уравнению (или системе уравнений) с разностным ядром, и последующим использованием более детально разработанной (в одномерном случае) теории сингулярных интегральных уравнений с разностным ядром на полуоси. Используется метод построения асимптотики решений эллиптических краевых задач в сингулярно возмущенных областях.
Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, дан обзор литературы по теме, перечислены полученные результаты.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся основные соотношения плоской теории упругости для бесконечной области, а так же преобразование этих соотношений при конформном отображении единичного круга на данную область. Основой для исследования краевых задач рассматриваемых в главе 2 служит изучение свойств отображающих функций вблизи границы области. При решении простейших задач плоской теории упругости для тел с нерегулярной границей кроме сингулярного интегрального оператора возникают операторы с неподвижными особенностями, соответствующие нерегулярным точкам границы, операторы комплексного сопряжения, кроме того символ интегрального оператора вырождается в концевых точках трещины. Из-за этого необходимо рассматривать уравнения в подходящих весовых классах. Во вто рой главе выводится граничное интегральное уравнение для упругой плоскости, ослабленной кусочно-гладкой трещиной, а так же явно вычислены коэффициенты этого уравнения для задачи о растяжении упругой плоскости, ослабленной произвольной системой радиальных разрезов выходящих из нуля. Описывается численная реализация решения полученного уравнения методом механических квадратур. В третьей главе указан ряд задач теории упругости для плоскости и полуплоскости с трещинами, для которых возможно применение разработанного во второй главе метода, а так же исследуется и строится асимптотика напряженно-деформированного состояния упругой плоскости в случае сближенных концов двух радиальных трещин. Приводится численные значения коэффициентов интенсивности напряжений для трехзвенной радиальной трещины при различных значениях параметров. В заключении сделаны общие выводы по диссертации. В приложении приводится программа решения граничного интегрального уравнения для упругой плоскости, ослабленной системой радиальных трещин произвольной длины, выходящих из фиксированной точки под произвольными углами.
Таким образом, прослеживается логическая связь всех разделов работы, что и оправдывает целесообразность принятой последовательности изложения материала.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на школе-семинаре "Теория упругости и вязкоупругости" (Цахкадзор, 1982 г.), на конференции молодых ученых института механики АН Арм.ССР (Ереван, 1983 г.), на конференции молодых ученых ЛГУ (Ленинград, 1983 г.), на рабочем совещании "Метод граничных интегральных уравнений" (Пушино, 1984 г.), на Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984 г.), а также на семинаре лаборатории математической физики НИИММ и кафедры теории упругости Ленинградского университета.
Научная новизна и практическая ценность. В работе подход, основанный на методе конформных отображений Н.И.Мусхелишвили, применен к решению плоских задач теории упругости для тел с кусочно-гладкими разрезами и угловыми точками границы. Указан класс задач теории упругости, для решения которых можно применить предложенный в работе метод, а также приведено достаточное условие для принадлежности этому классу. В этот класс входят, например, задача об упругой плоскости с радиальными (конечными или полубесконечными) трещинами, задача об упругой полуплоскости с краевыми и полубесконечными разрезами и др. Получено новое граничное интегральное уравнение, позволяющее эффективно решать основные задачи теории упругости для тел с кусочно-гладкими трещинами. Это сингулярное интегральное уравнение с неподвижными особенностями относительно комплексного потенциала Колосова-Мусхелишвили, которое позволяет вычислить коэффициенты интенсивности напряжений не только в концевых, но и в узловых точках трещин. Решение граничного интегрального уравнения в случае произвольной звездообразной трещины (с раз-ными длинами звеньев и разными углами между ними) реализовано в виде действующей программы для машины EC-I060 на языке "Фортран", Выяснено влияние длин трещин и углов между ними на начальное направление распространения трещин (по критерию нормального отрыва) и на напряженное состояние в окрестности вершин звездообразных трещин. Построена асимптотика коэффициентов интенсивности напряжений в случае сближенных концов двух радиальных трещин.
Эти новые научные результаты выносятся на защиту. Результаты работы и полученные формулы могут быть непосредственно использованы в расчетах для конструкций ослабленных звездообразными трещинами, а так же представляют практический интерес при изучении напряженно-деформированного состояния упругих тел расслабленных кусочно-гладкими трещинами.
Модельный оператор сингулярного интегрального уравнения с неподвижными особенностями
При решении простейших задач плоской теории упругости для тел с трещинами возникают специфические трудности: появление дополнительных операторов с неподвижными особенностями, соответствующими узловым точкам трещины, вырождение символа в концевых точках трещины и необходимость из-за этого рассматривать сингулярные интегральные уравнения в подходящих весовых классах, наличие оператора комплексного сопряжения, существенно меняющего индекс системы. Эти трудности проиллюстрированы в настоящей главе на примере задачи о растяжении упругой плоскости, ослабленной радиальными трещинами.
Пусть L с С - ограниченная кусочно гладкая кривая и в окрестности 0 каждой точки Ъ & V- она устроена следующим образом: либо ъ. - регулярная точка L , т.е. L (10 - диффеоморфно открытому интервалу; либо Ъ концевая точка L т.е. иП0г = ( + 0 ; либо 2. - узловая точка L , т.е. LflQ5 = (L + HO [ V\ 1 j . Здесь L v\ - система Y\ прямолинейных разрезов выходящих из нуля. Соответствующее отображение единичного круга на C\L имеет вид (1.1$) Предположим, что CAL область и пусть конформное отображение единичного круга на эту область. ЛЕММА 2.1. Пусть , є \_ узловая точка, Х ПГ углы между соседними разрезами, j Фх ОЛ) - прообразы узловой точки Ъ0 , т.е. о=0й( ) І 1Д,..., К. Тогда существуют аналитические в некоторой окрестности точки х функции \ - д . _ п такие, что в этой окрестности А так как в достаточно малой окрестности 0ЇО узловой точ ки то локальные свойства функ ции &)(&) в окрестности вершины каждого из углов раст вора Я;И (j = 1,- ) совпадают с локальными свойствами ка нонического отображения J fe) (подробнее см.34J стр. I70-I7I). В частности, для некоторых л I , Отсюда видно, что при \je 4l производная 0) ("U) 0 при Х А имеем бУОо) = с 0 ЛЕММА 2.2.)Оуществует ступенчатая функция ( = p(j W)j t= exp l4?") на единичной окружности fsjc- Oil такая, что о(ч0 - неубывающая функция, имеющая разрывы лишь в прообразах узловых точек 2i0 — 6vi( i &=\,...}У\ со скачками равными соответственно лд К" , о о; &, і-\, —№ и в некоторой окрестности произвольной точки "to единичной окружности выполнено: ) Лемма 2.2 доказал ]М.В_.Паукшто ( см. где Ф в (Л) - гладкая функция в окрестности точки \0? \\0\ \ Ф+ CU =0.. На комплексной плоскости произведем разрез от 0 до Оо . Под функцией 2: j ol у о понимаем ветвь, положительную на верхнем берегу разреза. Из леммы 2.1 следует, что в некоторой окрестности прообраза Ij узловой точки контура 1_ . Значит, при 2:о = 66 ( ) имеем Заметим, что функция AQ (l j терпит разрыв первого рода в точке "tj со скачком ol TT , поэтому произведение [йвУЙ( у[оУ?Г)] с функцией вида непрерывно в окрестности точки tj . Далее, олч (S - А) = "ЇЇ -- Q/LCAJ (3/ (\- ІА- ) ,» 3 - Ivvx S и функция - 45 нечетна по 3 , сле довательно, производная этой функции четная функция по Я и при 3- 0 значения производной сопадают. Таким обра зом функция будет не только непрерывной, но и непрерывно дифференцируемой в окрестности точки ; . Итак, в окрестности Оь прообраза любой уз ловой точки контура L находим где Ф(.. () - некоторая гладкая функция в окрестности 0-точки Ч (Ч О ФО , olj o). Пусть теперь { 0xk] k-4,-..,iw « конечное покрытие единичной окружности, ІХкІ 1 , такое, что среди точек \Хц содержатся все прообразы всевозможных узловых точек контура L. Считаем, что точки I X 1 упорядочены: йлд Хк-и Оілл Х t К- \,% " Если X - прообраз узловой точки (т.е. для некоторого I Х - \- ), то положим \(У\ - \\ 1 при \ е 0хл - 0-fcj t причем С: - 1 .В противном случае положим tyOt) = \ при і е Ox-i Для следующей ТОЧКИ Ха. снова определим 5.ft) при "Ы 0хд» Если Хд прообраз узловой точки, то ft) = ї ) ПРИ " Ох - On с константой Q = ОЧ + о) . В противном случае пусть (V) = 2 (X 4 + о) так что 5 ft) непрерывна при - е 0Х О О Ох Продолжая этот процесс, найдем функцию СЬ) определенную на всей единичной окружности и обладавшею требуемыми свойствами, при Гладкие функции ФХч (Л) » определяемые локально при т 0Хк связаны между собой следующим образом Заметим, что функция 2 СО , нормированная условием С+о)- \ ( 4:„ - некоторая точка единичной окружности, не являющаяся прообразом узловой точки) определяется по контуру L однозначно и не зависит от выбора покрытия \0хк]. Обозначим RwxCs) полином степени Yv\ , обращающийся в нуль в тех точках единичной окружности U , где 6t)() = 0j 6i() ф 0 (эти точки включают прообразы концевых точек контура L , Уп - число концевых точек контура L ). После замены переменных г= 6j(s) задача теории упругости в терминах комплексных потенциалов (,s)- P(u)C ) , (.S) = Y ) примет вид (см.(і.І2)) Величина т - Тд+ L л а. определяется на контуре L равенством (1.4) и ее считаем заданной функцией. Кроме того, предполагается, что функция \ не только однозначна и непрерывна, но и имеет непрерывную производную по 8 \ "t = u ) , удовлетворяющую условию Гельдера. Для этого достаточно, чтобы функции Хм и і и также удовлетворяли условию Гельдера (см. [20,56] ).
Асимптотика коэффициентов интенсивности в случае сближения концов двух радиальных трещин
Столбец реализует как векторное поле смещений в S1Q под действием антисимметричных сосредоточенных нагрузок, приложенных к точкам (0 +о) и (0, - о), a ( -векторное поле смещений в -Ф- о под действием симметричных сосредоточенных в тех же точках нагрузок. Пусть -О- « плоскость Я э ослабленная двумя радиальными полубесконечными разрезами (см.рис.2а). Предположим, что на бесконечности действуют самоуравновешенные сосредоточенные силы в том смысле, что ищется решение однородной задачи теории упругости с заданной асимптотикой на бесконечности. Именно: Конформное отображение единичного круга на .Л имеет вид (I.I7) или (1.29 ). Учитывая равенство (1.30), находим комплексные потенциалы fIs) и f (.s Компоненты вектора перемещения будут соответственно: и для них справедливо асимптотическое представление (3.18) В работах [_57 39-41 предложен метод построения асимптотического решения краевых задач в случае, если известны решения соответствующих предельных задач. Например, при помощи этого метода в статье [57] решена задача теории упругости для плоскости, ослабленной параллельными трещинами, которые расположены на малом расстоянии друг от друга Сем. также [z\).
Здесь рассматривается задача классической теории упругости для плоскости R , ослабленной двумя.конечными радиальными непересекающимися разрезами и находящейся под действием произвольной внешней нагрузки. Предполагается, что радиальная длина Ц С см. рис.8) между этими трещинами мала. При помощи решений задачи в плоскости R с двумя радиальными разрезами, образованным слиянием двух первоначальных трещин ( 3.2 (задача А) и задачи на плоскости к , ослабленной двумя полубесконечными разрезами (3.3 (задача В)) конструируется асимптотика решения исходной задачи. Исследуется аналитическая зависимость от U1 коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещин, имеющая вид в дальних концах и в ближних. Такая зависимость от 1п .связана с неразрешимостью в классе убывающих функций предельной задачи для внутреннего разложения. Поэтому для сращивания асимптотик необходимо [39-41] привлечь логарифмически растущие решения однородных предельных задач. Указанные решения и приводят к возникновению & j І Ц в представлении приближенного решения задачи.
Пусть -iLv « плоскость R. , ослабленная двумя конечны- ми радиальными разрезами С см. рис. № ). В области SL\ рассмотрим задачу классической теории упругости: где Jf (.20 - Тл а " заданная функция, а на бесконечности напряжения и смещения отсутствуют. Тогда существует решение - вектор перемещения) задачиjединственное с точностью до смещения и поворота -2-V как твердого тела при любом V\ (см. \ьъ] стр.143). Построим асимптотику решения U при 1 V\ \ - о . Для этого будет использован алгоритм [39-41,57] (см.также [бб]). В качестве основного приближения к U естественно выбрать решение U0 задачи А. Вектор-функция U не принадлежит, вообще говоря, пространству С (-2-v0 f при 1ч"? о. Поэтому вблизи узловой точки поведение вектора U описывается при помощи решения задачи В. Асимптотику вектор-функции U в \\ \ -окрестности узловой точки будем искать в виде: VIM = 5( , is\ \, где А и uj (і 4) «некоторые постоянные, подлежащие определению. Так как правая часть формулы (3.20) содержит логарифмически растущие слагаемые, то для описания асимптотики.
Похожие диссертации на Применение конформных преобразований для определения напряженнного состояния упругих сред, ослабленных системой трещин
