Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи о сжато-изогнутом стержне 7
1.1. Основные гипотезы и вариационное уравнение. 7
1.2. Дифференциальные уравнения состояния стержня 14
1.3. Последовательные приближения, модальное разложение и метод начальных параметров 21
2 Статические и динамические задачи для центрально-сжатых стержней 27
2.1. Определение продольной силы. 27
2.1. Простейшая задача – плоский статический изгиб стержня постоянной продольной силой 30
2.1.1 Задача о шарнирно-опертом по двум концам стержне . 32
2.1.2 Задача о защемленном одним концом стержне. 33
2.1.3 Задача о стержне, защемленном одним концом и шарнирно-опертом другим. 34
2.1.4 Задача о стержне, защемленном одним концом со скользящей заделкой на другом. 35
2.2. Свободные поперечные колебания при продольной силе, не
зависящей от времени (консервативные задачи). 36
2.2.1 Колебания шарнирно-опертого по краям стержня. 39
2.2.2 Колебания стержня, защемленного одним концом. 41
2.2.3 Колебания стержня, один конец которого защемлен, а на другом – скользящая заделка. 42
2.3. Неконсервативная задача – стойка, защемленная в начале, нагруженная следящей нагрузкой на конце. 46
2.4. Свободные поперечные колебания стержня при продольной силе, переменной по длине. 48
3 Интервальные оценки критической силы для стержней переменной жесткости 57
3.1. Модификация алгоритма метода начальных параметров 57
3.2. Верификация метода. 59
3.3. Оценки критической силы для конического стержня . 61
3.4. Оценка критической силы для стержня с непрерывным изменением поперечного сечения 70
3.5. Методика интервальной оценки критической силы стержня переменного сечения 72
Выводы по разделу 3 .73
Заключение и выводы .75
Литература
- Дифференциальные уравнения состояния стержня
- Последовательные приближения, модальное разложение и метод начальных параметров
- Задача о шарнирно-опертом по двум концам стержне
- Оценки критической силы для конического стержня
Дифференциальные уравнения состояния стержня
Таким образом, основная проблема - определение системы собственных функций уравнения (1.44). Отметим, что собственные функции должны удовлетворять однородным граничным условиям (1.24), (1.25) или (1.31), (1.33). Так как уравнение (1.44) - обыкновенное, то для него легко найти решение задачи Коши (задачи с начальными условиями): Y(x,aj) = V(x,a))Y(0,a)) = V(x,a))Y0(co). (1.49)
Здесь V(x,aj) есть нормированная матрица фундаментальных решений уравнения (1.44), обладающая очевидным свойством: У(0,ш) = I, где I - единичная матрица. Нормированную матрицу фундаментальных решений удобно назвать матрицей влияния начальных параметров или матрицей влияния, векторYo(co), который имеет смысл амплитуд компонент состояния в начале стержня, при х=0, назовем вектором начальных параметров.
Отметим, что на самом деле мы решаем краевую задачу и из начальных параметров известна только половина их общего количества, определенная из граничных условий на краю х=0. Неизвестные начальные параметры определим из условий на конце стержня при х=L. Для этого запишем решение (1.49) в указанной точке: Y(L,co) = V(L,co)Y0(co). (1.50)
Неизвестных в этой системе уравнений всего половина от общего количества; чтобы составить надлежащее количество уравнений, из (1.50) выберем строки, отвечающие заданным на конце стержня компонентам состояния из (1.24), (1.25) или (1.31), (1.33). Так как количество таких уравнений равно количеству неизвестных, то система уравнений имеет квадратную матрицу, которая зависит от параметра со. Эта система однородная в силу однородности граничных условий. Условие существования ее нетривиального решения есть равенство нулю главного определителя. det{v(L,tf?)}=0. (1.51) Здесь V(Z, со) - матрица граничных условий на конце стержня. Так как фундаментальные решения даже линейной задачи о колебаниях стержня есть трансцендентные функции [75, 5], то уравнение (1.51) имеет счетное множество корней и, соответственно, счетное множество нетривиальных решений -форм свободных колебаний.
Для реализации этой процедуры необходимо построение матрицы влияния. Рассмотрим теперь общий случай зависимости продольной силы и от координаты х и времени t. Используем безразмерную систему уравнений изгиба из (1.40), в которой выделим отвечающую за влияние продольной силы часть (матрицу устойчивости по терминологии [49]):
Спектр начального приближения определим, используя граничные условия, как в (1.51); считаем, что эта задача решена и известно конечное множество собственных частот А и собственных состояний Щ).
Аналитическое решение неоднородной задачи построим, пользуясь собственными состояниями стержня, которые удовлетворяют условиям теоремы Стеклова [18] и могут быть использованы для разложения в обобщенный ряд Фурье; обратим внимание на то, что вектор у имеет только одну ненулевую компоненту (см. (1.40)) и для его разложения используется только четвертая компонента собственного состояния. Применяя модальное разложение (1.43), (1.45) при однородных начальных условиях, получим для модальных коэффициентов выражение: ak(j) последовательность норм поправок образует сходящуюся геометрическую прогрессию. Следовательно, последовательные приближения сходятся при указанном условии. Выводы по разд.1.
1. Применение теории конечных деформаций к задачам изгиба с продольным сжатием прямых стержней в рамках гипотез Бернулли позволяет получить формулировку, эквивалентную Эйлеровой, отличающуюся тем, что элементарно учитывается влияние продольной силы, переменной по длине (то есть продольной распределенной нагрузки).
2. При постоянных по длине параметрах стержня и продольной нагрузке возможно получить строгие аналитические решения; при переменных по координате площади, продольной нагрузке и в случае зависимости таковых от времени может быть сформулирована сходящаяся процедура последовательных приближений, позволяющая найти приближенное решение.
3. Предложенная формулировка справедлива как для задач с «мертвой», так и со следящей нагрузкой на конце; отличие таких консервативных задач от неконсервативых полностью определяется граничным условием для силы на свободном конце. Если сила на конце дает проекцию на касательный орт естественного трехгранника в деформированном состоянии, то задача консервативна; если она всегда направлена вдоль него, то задача неконсервативна. 4. Для решения частных задач эффективна матричная формулировка в безразмерных переменных.
Последовательные приближения, модальное разложение и метод начальных параметров
Таким образом, метод начальных параметров оказывается эффективным в геометрически нелинейных задачах рассмотренного класса, обладая несомненными преимуществами: универсальностью алгоритма по отношению к условиям закрепления и возможностью аналитического определения статических состояний; позволяет находить особые точки решений, совпадающие с полученными в известных литературных источниках.
Статическая постановка задачи с учетом влияния продольной силы на состояние изгиба не полностью определяет области устойчивости решений. Для этого следует рассмотреть динамические постановки.
Свободные поперечные колебания при продольной силе, не зависящей от времени (консервативные задачи).
Усложним постановку простейших задач, введя в рассмотрение инерционные силы при изгибе, считая продольную силу постоянной, не зависящей от времени и сохраняющей положение в пространстве относительно неподвижной системы координат («мертвая нагрузка»). Для этого в систему дифференциальных уравнений состояния при изгибе добавим д Аламберовы силы инерции, сохраняя матрицу инерции во втором уравнении (1.39). Принимая матрицу модели в виде (2.20), добавим матрицу инерции из (1.39) и предположим, что поперечная возмущающая нагрузка q отсутствует. Тем самым получим уравнение состояния в виде:
Такая задача может быть названа задачей о свободных поперечных колебаниях стержня в том смысле, что продольная сила (или параметр а) влияет как некоторый внешний параметр. Предположим, что вектор состояния представляется в виде: ув(х,і) = (х)еш. (2.42) Тогда имеем уравнение, описывающее амплитуды состояний или собственные состояния: У = (Ав+а2МвУ (2.43) где вещественный параметр со имеет смысл частоты свободных колебаний, /– мнимая единица. Собственные состояния должны удовлетворять однородным граничным условиям (1.31), (1.33), то есть граничные моменты и силы, как и перемещения границ, должны быть нулевыми. При этом условии решения (2.43) удовлетворяют условиям теоремы Стеклова [18] и могут быть ис 37 пользованы как базис для разложения по ним, например, решений неоднородных задач.
Если использовать безразмерное уравнение состояния (1.40), то матрица влияния выражается через параметры п и О:
Располагая матрицей влияния (2.45) или (2.47), можно решать задачи о свободных колебаниях для различных условий закрепления. 2.2.1 Колебания шарнирно-опертого по краям стержня.
Для стержня, шарнирно-опертого по двум концам (задача Эйлера), так же, как и в 2.1.1, составим частотный определитель из компонент J U1,2, U1,4 (первая строка) и V8 , и4,4 (вторая строка)при =1 и потребуем равенства его нулю (условие существования нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений): - частота свободных поперечных колебаний шарнирно-опертого стержня при отсутствии продольной нагрузки, N Kpk - точка разрыва решения (2.27).
Очевидно, что при растягивающей продольной силе частоты свободных поперечных колебаний вещественны. При сжимающей силе среди спектра колебаний могут появляться мнимые частоты, если сжимающая сила превосходит наименьшую критическую силу. В этом случае движения, соответствующие всем мнимым частотам - апериодические; в соответствии с (2.51) положительной частоте соответствует затухающее, стремящееся к нулю при /—»оо решение, а отрицательному - неограниченное.
Тогда поперечные движения (2.42) устойчивы по Ляпунову при положительной растягивающей силе и неустойчивы при сжимающей, превосходящей критическую силу Эйлера, определенную в решении статических задач. Так как поперечные колебания можно рассматривать как отклонения от начального прямолинейного состояния стержня (в котором присутствуют равномерно распределенные по сечению напряжения, обусловленные продольной силой), то можно утверждать, что растянутое состояние стержня всегда устойчиво, сжатое неустойчиво при продольной силе, превышающей критическую силу Эйлера, соответствующую наименьшему корню (2.49), т.е. при=1.
Найдем формы колебаний, соответствующие собственным частотам. Для этого положим вектор начальных параметров 0={0 6Ь 0 6 0}, что соответствует условиям шарнирного закрепления начала стержня и составим однородную систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных начальных параметров иб (угла поворота начального сечения и безразмерной поперечной силы в начальном сечении):
Задача о шарнирно-опертом по двум концам стержне
В данном разделе рассматривается применение метода начальных параметров к расчету прямых стержней переменной жесткости. Основой оценки критической силы является аппроксимация контура, получающегося в сечении стержня плоскостью, проходящей через его ось, ступенчатой линией, причем используется линии вписанных и описанных вокруг контура прямоугольников. Показано, что полученные таким образом интервальные оценки при достаточно мелком разбиении имеют пригодную для практических целей величину 1..3% от среднего значения критической силы.
Прямым составным стержнем назовем такой, у которого жесткость и погонная масса являются ступенчатыми (кусочно-постоянными) функциями координат. Принимая определение стержня из [24], в котором принимается, что упомянутые характеристики являются непрерывными и гладкими функциями продольной координаты, составной стержень следует рассматривать как систему прямых стержней постоянной жесткости, имеющих общую прямую ось, то есть центры тяжести поперечных сечений составляющих стержней считаются лежащими на одной прямой. Для таких неразветвленных стержневых систем, простейшая математическая модель может быть построена на основе метода начальных параметров (МНП) [5]. Фактически это означает решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами, для которых в точках разрывов первого рода в коэффициентах ставятся условия непрерывности решения: состояние в конце предыдущего участка является начальным для следующего. В терминах МНП это может быть записано следующим образом: где у - вектор состояния стержня, то есть матрица-столбец, составленная из ненулевых компонент состояния стержня (перемещений, углов поворота сечения, крутящего и изгибающих моментов, продольной и поперечных сил) верхний индекс обозначает номер стержня, нижний индекс 0 относится к начальному состоянию. Матрица V(х) есть нормированная матрица фундаментальных решений дифференциальных уравнений состояния (п. 1.2), вычисленная в точке 0 х L, L - длина стержня. Считается, что уравнения состояния допускают представление решения для одного стержня в виде: y(x) = V(x)y0. ( 3.2)
Представление ( 3.2) допустимо в статике и динамике при вычислении собственных состояний; тогда в число аргументов следует добавить неизвестную частоту свободных колебаний со. Пока все дополнительные аргументы опустим для сокращения записи.
Граничные условия в начале стержня удовлетворяются выбором части начальных параметров, очевидным из условий опирания начала стержня. Недостающие значения начальных параметров определяются из условий опирания конца стержня. При анализе свободных колебаний граничные условия однородные; система уравнений для определения начальных параметров - однородная линейная алгебраическая. Для определения параметра со имеем условие равенства нулю ее главного определителя, а вектор начального состояния определяется нетривиальным решением той системы.
Для составного стержня с использованием ( 3.1) очевидна формула, связывающая начальные параметры с состоянием конца стержня:
Здесь произведение матриц фундаментальных решений следует рассматривать как матрицу влияния начального узла системы стержней, имеющего номер 0, на конечный узел, имеющий номер N. Термин «система стержней» следует понимать в вышеприведенном смысле, нумерация узлов 0…N, нумерация стержней - 1…N. Таким образом, для одного стержня присутствуют узлы 0…1 и стержень 1, а матрица Voi представляет собой нормированную матрицу фундаментальных решений V(L).
Отметим, что матрица фундаментальных решений вычисляется в локальной координатной системе с началом в начале стержня, направление продольной оси - от начала к концу, оси у и z - главные центральные оси инерции поперечного сечения. Применим МНП к задаче о поперечных колебаниях составного стержня (системы прямых стержней с общей осью). Отметим, что для систем стержней безразмерные уравнения применить непосредственно не удастся, так как у каждого стержня свои безразмерные переменные и свое безразмерное время. Тогда для стержневых систем (или составных стержней) следует перейти к размерным состояниям, умножая слева матрицу фундаментальных решений на постоянную диагональную матрицу: ( 3.4)
Введение безразмерного времени нерационально; поэтому в уравнениях состояния следует сохранить физическое время. Тогда в аналитических выражениях (2.46) вместо безразмерной частоты Q следует использовать размерную частоту
Структура произведения матриц показывает, что сначала происходит переход от безразмерных переменных предыдущего участка стержня к размерным, а затем - от размерных переменных к безразмерным переменным следующего участка. Следовательно, воздействием на систему стержней являются безразмерные переменные начального узла, а выходом - безразмерные переменные последнего узла:
В качестве примера применения метода рассмотрим задачу о поперечных свободных колебаниях стержня, состоящего из трех участков, рассмотренную в [20, стр. 125]. Параметры стержня задавались следующим образом: материал стержня - сталь с модулем упругости Е=200 Гпа, /т=7850 кг/м3, длина стержня 1 м, сечение стержня - сплошной круг диаметром d, соотношение размеров: а=Д, 0 /?1, d2=M, dl=ad2. Параметр Л принят равным 0.05, (то есть стержень тонкий); остальные параметры - соотношение длин /? и соотношение диаметров а - изменялись в процессе исследований.
Прежде всего, было принято соотношение диаметров а=1, то есть стержень гладкий; изменялось соотношение длин /=0.2…0.8. Результаты расчетов для всех значений оказались идентичны; один из них при /2=0.25 l2=2li) приведен на Рис. 3.2.
Оценки критической силы для конического стержня
Приведенные в таблице результаты показывают, что для конического стержня, защемленного основанием, оценки по системе описанных и вписанных цилиндров сходятся, причем в пределах рассмотренных количеств разбиений сходимость монотонная. Данный факт показывает, что МНП дает простейшую возможность для оценки критической силы стержня переменного сечения как в консервативной, так и в неконсервативной постановках.
Сходимость методики обусловлена тем, что последовательность вписанных и описанных в очертания некоторой непрерывной кривой прямоугольников является фундаментальной, например, для понятия определенного интеграла. Применительно к задаче диссертации такое разбиение можно трактовать как переход от системы уравнений состояния с переменными коэффициентами к системе с кусочно-постоянными коэффициентами с условиями непрерывности в точках их скачкообразного изменения. При неограниченном увеличении количества точек разбиения пределом для решения последней системы является строгое решение при переменных коэффициентах.
Рассмотрим последовательность задач, возникающих при определении критической силы для стержня, полученного вращением вокруг оси плоской кривой, симметричной относительно середины стержня (Рис. 3.14). которая обладает вышеперечисленными свойствами. Параметр f может принимать как положительные, так и отрицательные значения, тем самым определяя как выпуклый профиль (f 0), так и вогнутый (f 0).
В процессе предварительных расчетов выяснено, что описанная в п. 3.3 процедура оценивания критической силы для стержня Рис. 3.14 сходится медленнее, чем для конического стержня: если в Табл. 3.1 уже при 20 элементах разбиения достигается относительный интервал в 0.035 среднего значения, то для достижения сопоставимого интервала порядка 0.01 нужно около 200 разбиений. В Табл. 3.2 приведены оценки критической силы для стержня Рис. 3.14 для различных условий закрепления и различных значений параметра f (напомним, что отрицательные значения соответствуют вогнутому профилю).
Нижняя и верхняя оценки критической силы при увеличении параметра/ монотонно возрастают, что согласуется с интуитивным представлением о потере устойчивости составного стержня, в соответствии с которой критическая сила определяется наименее жестким стержнем в системе (см., например, Рис. 3.3).
Достигнутая величина погрешности (порядка 0.01..0.03) вполне удовлетворительна для практических целей. Методика определения критической силы универсальна по отношению к условиям закрепления, и характеру задачи («мертвая» или следящая нагрузка). Алгоритм ее элементарно реализуется на универсальных математических пакетах прикладных программ; в частности, в данной работе использовался MathCad 14. Для каждой конкретной кривой достаточно разработать алгоритм построения системы вписанных/описанных цилиндров; остальная часть алгоритма универсальна.
Как отмечал И.М. Бабаков [5], метод начальных параметров прекрасно подходит для моделирования стержней ступенчатого профиля, как для статики, так и для динамики. Трудность реализации метода в 50..60 – е годы прошлого века, отмеченная в [5] и состоящая в решении трансцендентных частотных уравнений, в настоящее время элементарно преодолена с помощью эффективных алгоритмов и систем аналитических вычислений современных ПК. Благодаря определению матриц влияния в виде аналитических выражений (разд. 2) алгоритмы [5] применены для решения задач устойчивости неоднородных прямых стержней в динамической постановке. 2. Алгоритм метода начальных параметров модифицирован таким образом, что для каждого из составляющих стержней применяется безразмерное аналитическое решение, универсальное по отношению к размерам и форме поперечного сечения. 3. Верификация алгоритма на задаче о стержне, состоящем из трех участков (решение А.С. Вольмира), показала полное совпадение результатов. 4. Алгоритм показал возможности своего применения к оценке критической силы для стержня переменного сечения, профиль которого очерчен гладкой кривой. Достоинством его является универсальность по отношению к профилю стержня, что отличает предлагаемый метод от прямого определения матриц влияния - фундаментальных решений дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
