Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор по теме, постановка задачи исследования 11
1.1. Понятие тонкостенного стержня, классификация 11
1.2. Области применения легких стальных тонкостенных конструкций
1.2.1. Наружные ограждающие конструкции в сборно-монолитном строительстве 15
1.2.2. Строительство индивидуальных загородных домов 16
1.2.3. Надстройка мансардных этажей офисных зданий старого фонда
1.2.4. Реконструкция жилых домов фонда первых массовых серий с надстройкой мансардных этажей 18
1.2.5. Модернизация зданий дошкольных учреждений с надстройкой мансардных этажей 19
1.2.6. Капитальный ремонт кровель жилых зданий
1.3. Истоки развития теории расчета тонкостенных стержней 21
1.4. Основы теории тонкостенных стержней В.З. Власова 24
1.5. Влияние депланационной составляющей на нормальные напряжения в тонкостенных профилях 30
1.6. Развитие теории расчета тонкостенных стержней в научно-исследовательских работах в XX-XXI веках 37
1.7. Эмпирические методы оценки несущей способности тонкостенных стержней 40
1.8. Тонкостенные стержневые конструкции в методе конечных элементов
1.8.1. Использование оболочечных конечных элементов 44
1.8.2. Метод конечных элементов с использованием дополнительной степени свободы 46
1.8.3. Бистержневая модель тонкостенных конструкций 50
1.9. Основы полусдвиговой теории тонкостенных стержней В.И.
Сливкера 53
1.10. Основные способы узловых соединений тонкостенных конструкций и методы их расчета 56
1.11. Постановка задачи диссертационного исследования 61
2. Построение конечных элементов в бессдвиговой теории В.З. Власова .62
2.1 Формирование матрицы жесткости конечного элемента с четырьмя степенями свободы 62
2.2 Силовой потенциал и узловые нагрузки 65
2.3 Конечный элемент с тремя степенями свободы. Депланационный шарнир 66
2.4 Тонкостенный конечный элемент с двумя степенями свободы 68
2.5 Система конечных элементов 69
2.6 Определение внутренних силовых факторов 71
3. Построение конечных элементов в полусдвиговой теории В.И. Сливкера
3.1. Линейная аппроксимация функций кручения и депланации в полусдвиговой теории 72
3.1.1. Формирование матрицы жесткости конечного элемента 72
3.1.2. Конечные элементы с депланационными шарнирами 74
3.1.3. Силовой потенциал и узловые нагрузки 74
3.1.4. Система конечных элементов з
3.1.5. Определение внутренних силовых факторов 76
3.2. Линейная аппроксимация функции кручения и квадратичная аппроксимация функции депланации в полусдвиговой теории 77
3.2.1. Формирование матрицы жесткости конечного элемента 77
3.2.2. Система конечных элементов 80
3.2.3. Определение внутренних силовых факторов 84
3.3. Квадратичная аппроксимация функций кручения и депланации в полусдвиговой теории 85
3.4.1 Формирование матрицы жесткости конечного элемента. Силовой потенциал 86
3.4.2 Система конечных элементов 87
3.4.3 Определение внутренних силовых факторов 91
3.4. Сопряженная аппроксимация внутренних усилий 93
3.4.1. Сопряженная аппроксимация при линейной аппроксимации функции кручения и квадратичной аппроксимации функции депланации 93
3.4.2. Сопряженная аппроксимация при квадратичной аппроксимации функций кручения и депланации 94
3.5. Особенности реализации метода конечных элементов
применительно к теории тонкостенных стержней замкнутого профиля 96
CLASS 4. Исследование построенных конечных элементов. Решение тестовых задач CLASS 100
4.1 Описание объекта исследования для численных экспериментов.. 100
4.2 Решение основных типов задач по бессдвиговой теории. Сравнение аналитического и численного решений
4.2.1 Стержень, защемленный с двух концов 102
4.2.2 Стержень, шарнирно опертый с двух концов 106
4.2.3 Стержень с одним свободным концом, а одним защемленным.. 109
4.3 Решение основных типов задач по полусдвиговой теории для стержней открытого профиля 112
4.3.1 О коэффициенте влияния формы швеллерового профиля 112
4.3.2 Численные эксперименты при линейной аппроксимации функций кручения и депланации 116
4.3.3 Численные эксперименты при линейной аппроксимации функции кручения и квадратичной аппроксимации функции депланации 119
4.3.4 Численные эксперименты при квадратичной аппроксимации функции кручения и депланации 123
4.4 Решение основных типов задач по полусдвиговой теории для
стержней замкнутого профиля 130
4.4.1 О коэффициенте влияния формы прямоугольного замкнутого профиля 130
4.4.2 Численные эксперименты для замкнутого профиля (квадратичная аппроксимация функций перемещений) 137
4.4.3 Определение внутренних усилий 139
4.4.4 Применение квадратичной сопряженной аппроксимации 141
5. Практическое применение метода конечных элементов в системах автоматизации проектирования и расчета 142
5.1 Переход к произвольной системе координат. Поворот конечных элементов 142
Матрица индексов 143
5.2 Общая матрица жесткости конечного элемента с 14 степенями свободы. Задание нагрузок 143
5.3. Решение системы уравнений. Определение внутренних усилий на элементах 152
5.4. Описание расчетной программы, разработанной на основании аппроксимации функций по полусдвиговой и бессдвиговой теориям 153
5.5. Пример применения расчетной программы
5.5.1 Статический расчет 155
5.5.2 Анализ напряженно-деформированного состояния узловых соединений тонкостенных элементов 159
Заключение 161
Список литературы 162
- Реконструкция жилых домов фонда первых массовых серий с надстройкой мансардных этажей
- Конечный элемент с тремя степенями свободы. Депланационный шарнир
- Линейная аппроксимация функции кручения и квадратичная аппроксимация функции депланации в полусдвиговой теории
- Решение основных типов задач по бессдвиговой теории. Сравнение аналитического и численного решений
Введение к работе
Актуальность работы
В последние годы в России и за рубежом в строительной индустрии наблюдается широкое применение легких стальных тонкостенных конструкций (ЛСТК), рис 1., состоящих из тонкостенных стержней (рис. 2), имеющие ряд технологических и эксплуатационных достоинств (легкость, быстровозводимость, возможность эффективного ремонта и реконструкции, широкие возможности для архитектурно-планировочных решений и т.д.).
К традиционным и перспективным направлениям применения в строительстве конструкций данного типа можно отнести следующие:
наружные ограждающие конструкции в сборно-монолитном строительстве;
строительство индивидуальных загородных домов;
надстройка мансардных этажей офисных зданий старого фонда;
реконструкция жилых домов фонда первых массовых серий с надстройкой мансардных этажей;
модернизация зданий дошкольных учреждений с надстройкой мансардных этажей;
реабилитация кровель жилых зданий и т.д.
iiif
ШШ
1 v
т
і4І
Рис. 1. Тонкостенная конструкция
(а) (б)
Рис. 2. Примеры тонкостенных стержней:
С-образный профиль (а); швеллер (б)
Однако, несмотря на довольно широкую распространенность подобных конструкций в России, на сегодняшний день имеются существенные недостатки нормативной, методической и расчетно-вычислительной базах по расчету ЛСТК.
Теории расчета, основанные на гипотезе плоских сечений, оказываются неприменимы к тонкостенным стержням ввиду малой их толщины и несовпадения центра тяжести и центра изгиба.
Для решения инженерных задач расчета элементов тонкостенных конструкций можно выделить 2 группы способов расчета: основанные на оболочечном моделировании и на стержневом.
Первая группа способов связана с представлением тонкостенного стержня в виде оболочки и дальнейшем численном расчете, как правило, с помощью МКЭ элементов, в расчетных программных комплексах. Такие способы расчета являются достаточно точными, но весьма трудоемкими в инженерно-конструкторской деятельности, особенно с точки зрения комплексного расчета конструкции.
Во второй группе способов можно выделить аналитические и численные методы расчета тонкостенных стержней, связанные с введением дополнительной седьмой степени свободы - депланации поперечного сечения.
В различных теориях тонкостенных стержней фигурирует понятие дополнительного силового фактора - бимомента, - отвечающего седьмой степени свободы - депланации тонкостенного стрежня.
Следует отметить, что в инженерной практике бимомент Вк является важной
характеристикой, поскольку он напрямую влияет на нормальные напряжения а :
N М, М я
а = — ±—г-у±—'-z± —со, (1)
где N', Mv, Мг— внутренние усилия (соответственно, продольная сила и изгибающие моменты относительно осей у и z - рис. 26); А,1г,1 ,1ю - геометрические характеристики поперечного сечения (соответственно, площадь, моменты инерции: относительно осей у и z и секториальный момент инерции); ш-секто-риальная координата.
Также следует отметить, что в новом Своде Правил СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП 11-23-81*», введенного в действие с 20 мая 2011г., бимомент, как силовой фактор, фигурирует наравне с остальными силовыми факторами, например, в следующей формуле, являющейся модификацией формулы (1) для изгибаемого стержня:
Mv М, . В,.,со .. (2)
-z± '=— у±—* <1,
где Rv— предел текучести стали; ус- коэффициент условий работы.
Согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям различных ученых, в тонкостенных конструкциях, находящихся в условиях изгибного кручения, составляющая нормальных напряжений от бимомента может значительно превышать составляющую от изгибающего момента.
В 1930-ых г.г. В.З. Власовым была разработана теория тонкостенных стерж
ней открытого профиля, основанная на отсутствии сдвиговых деформаций в сре
динной поверхности, позволяющая анализировать напряженно-
деформированное состояние стержней открытого профиля. В эти же годы А.А.
Уманским была создана теория тонкостенных стержней замкнутого профиля, раз
витая в дальнейшем в работах Г.Ю. Джанелидзе и Я.Г. Пановко
Теории В.З. Власова и А.А. Уманского развивали и продолжали на протяжение XX-XXI вв. П.А Лукаш, Н.А Кузьмин, И.Е. Милейковский, Е.А. Бейлин, В.Г. Александров, А.П. Анучкин, Д.В. Бычков, А.К. Мрощинский, Б.Н. Горбунов, А.И.Стрельбицкая, В.А. Постнов, И.Я Хархурим, Г.И. Белый.А.Г. Белый, Н.Г. Сотников, Н.Н. Родиков, С.Н. Пичугин, С.Н. Сергеев, П.А. Пяткин, М.А. Гуркова, А.Р. Туснин, А.В. Синельщиков, Ю.М. Ветюков, В.П. Юзиков, A.M. Лимаренко, Н.Г. Сурьянинов, М. Самофалов, В.Ф. Оробей, Ф.С. Хайруллин, С.А. Чернов и другие.
Следует отметить, что использование двух различных теорий (открытого и замкнутого профилей) является крайне неудобным с точки зрения унификации расчетов систем тонкостенных конструкций.
В 2005г. В.И. Сливкер предложил полусдвиговую теорию, учитывающую часть деформаций сдвига в срединной поверхности стенок стержней, вызванных действием секториального крутящего момента.
Полусдвиговая теория В.И. Сливкера, по сравнению с теорией В.З. Власова, подходит для стержней как открытого, так и замкнутого (а также открыто-
замкнутого и многоконтурного) профилей ввиду схожести дифференциальных уравнений по теориям В.И. Сливкера и А.А. Уманского, что дает возможность использования единой расчетной схемы в комбинированных конструкциях из открытых и замкнутых профилей;
Однако аналитические решения данной теории являются сложными или невозможными для расчета систем тонкостенных стержней и возникает необходимость использования численных методов расчета, например, метода конечных элементов (МКЭ).
В настоящее время ни один из численных методов расчета для полусдвиговой теории не реализован.
Данное обстоятельство свидетельствует об актуальности темы работы.
Задачами работы являются:
-
Аналитическое решение ряда задач для тонкостенных стержней открытого и замкнутого профилей.
-
Реализация МКЭ для анализа напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержневых систем открытого и замкнутого профиля по полусдвиговой теории В.И. Сливкера.
-
Разработка алгоритма и программы по вычислению внутренних усилий и перемещений в тонкостенных стержневых системах.
Научная новизна. В диссертационной работе:
-
Построены универсальные аналитические решения ряда задач о стесненном кручении тонкостенных стержней в рамках полусдвиговой теории, применимые для стержней открытого и замкнутого профилей.
-
Построены конечные элементы тонкостенных стержней открытого профиля по бессдвиговой теории посредством кубической аппроксимации функций кручения и депланации.
-
Построены 3 типа конечных элементов тонкостенных стержней открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории, основанные, соответственно, на 3 видах аппроксимаций функций перемещений.
-
Проведены численные исследования построенных конечных элементов.
-
Разработана и реализована для построенных конечных элементов процедура уточнения значений внутренних силовых факторов по методу сопряженных аппроксимаций.
-
Проведены численные исследования напряженно-деформированного состояния узловых соединений, применяемых в тонкостенных стержневых системах.
Практическая значимость работы:
-
Составлена база параметров влияния формы открытого (швеллерового) и замкнутого (прямоугольного) профилей, как наиболее часто встречающихся в инженерной практике, позволяющая использовать построенные в работе конечные элементы.
-
Разработана программа статического расчета пространственных стержневых тонкостенных конструкций произвольной формы, состоящих из открытых и замкнутых профилей в среде программного пакета Maple.
Результаты работы внедрены в деятельность:
-
Проектного института ОАО «ЛенжилНИИпроект» при разработке решений по массовой реконструкции жилых домов фонда первых массовых серий с надстройкой мансардного этажа; при разработке проекта реконструкции офисного цента по адресу пр. Бакунина, д.5; жилого дома по адресу пер. Пирогова, д.5; при разработке альбома типовых решений «Ремонт и замена несущих конструкций кровли».
-
Организации-производителя холодногнутых оцинкованных профилей ООО «БалтПрофиль» в качестве базы секториальных геометрических характеристик.
3. Проектной организации ООО «Балтмонтаж-ХХІвек» при разработке проекта капитального ремонта здания крытого детского спортивного катка с искусственным льдом по адресу: Санкт-Петербург, пер. Каховского, д. 2, лит. К.
Методология и методы исследования
Для численного решения задач по определению напряженно-деформированного состояния систем тонкостенных стержней по полусдвиговой теории В.И. Сливкера в качестве метода дискретизации использован МКЭ. Построение конечных элементов осуществляется на основе вариационных постановок.
На защиту диссертации выносится:
-
Аналитические решения для функций перемещений и внутренних силовых факторов в задачах о стесненном кручении по полусдвиговой теории.
-
Конечные элементы (3 типа) для численного расчета пространственных конструкций из тонкостенных стержней открытого и замкнутого профилей по полусдвиговой теории В.И. Сливкера при различных способах аппроксимации функций перемещений.
-
База параметров влияния формы открытого (швеллерового) и замкнутого (прямоугольного) профилей.
-
Рекомендации по выбору шага сетки конечных элементов для стержней открытого и замкнутого профилей.
Достоверность результатов:
-
Вытекает из достоверности теорий тонкостенных стержней В.З. Власова, А.А. Уманского, Г.Ю. Джанелидзе, Я.Г. Пановко и В.И. Сливкера, которая многократно подтверждалась экспериментально авторами теорий и их последователями.
-
Подтверждена численными экспериментами по определению функций перемещений и внутренних силовых факторов в модельных задачах.
Структура и объем диссертации.
Реконструкция жилых домов фонда первых массовых серий с надстройкой мансардных этажей
В истории развития большинства городов вся деловая среда формировалась от центра к периферии. Прошли столетия, ситуация практически не изменилась, но город столкнулся с проблемой нехватки свободного бизнес-пространства в центре. Например, в исторической части города Санкт-Петербурга около 10 тыс. зданий - старого фонда, которые были построены с конца XVIIIB. ДО 1917Г. ОНИ являются культурным наследием города, пребывают под охраной КГИОП, и поэтому не подлежат сносу.
С другой стороны с развитием городской инфраструктуры возникает потребность в новых полезных площадях, что создаёт определённую проблему для города.
Возведение мансард позволяет не просто продлить срок службы существующих зданий, преобразить их внешний облик, но и создать новые жилые и офисные площади в престижных районах, где получение площадок под новое строительство (так называемых лакун) практически исключено.
Решением сложившейся проблемы может стать реконструкция существующих зданий с надстройкой мансардных этажей, в которых могу располагаться административные, жилые и прочие помещения.
Оптимальным вариантом конструктивной схемы, минимизирующей нагрузку на фундамент, являются ЛСТК [59, 85, 20]. В таблице 1.1. представлены основные типы конструктивных схем рамного типа Область применения
В период с 1956 по 1985 гг. по всей России велось активное строительство пятиэтажных зданий массовых серий, в ходе которого появилось около 290 млн м2 общей площади, что составляет приблизительно 10% от существующего на сегодняшний день. Наиболее массовыми на территории Санкт-Петербурга были жилые панельные дома серий 1-507, ГИ, 1-335, ОД и кирпичные постройки серий 1-527 и 1-528. К «хрущевкам» также относятся дома серий 2-ГП, Г-4п, Г-24, АГ-502, Лг-502-6, Лг-504-3, Га2П, ГаЗП. Проекты большинства типовых домов разрабатывались проектным институтом ЛенПроект [46].
От 10 февраля 2000 г. Правительством Санкт-Петербурга было разработано постановление N 4 [79], согласно которому около 70% фонда необходимо отремонтировать без расселения граждан. Однако в настоящее время правительство города, в основном, ориентируется на снос пятиэтажек, мотивируя это необходимостью повысить плотность заселения городских кварталов. В работе рассматривается конструктивное решение, являющееся достойной альтернативой правительственной программе [43, 84], . В Санкт-Петербурге уже существует положительный опыт реконструкции типовых пятиэтажек [83]. Пилотным проектом подобного типа явился проект реконструкции пятиэтажного жилого дома по ул. Торжковская дом 16, разработанный ООО «ЛенжилНИИпроект» в 2000 г. по заказу датской группы компаний «Carl Вго A/S» (рисунок 1.9). Основными конструктивными элементами несущего каркаса мансарды явились легкие стальные тонкостенные конструкции, позволяющие значительно минимизировать нагрузку на существующий фундамент.
В работе [46] показана целесообразность реконструкции жилых домов с надстройкой мансардных этажей. Предложен вариант создания новой инфраструктуры рассматриваемого квартала и планировок квартир, соответствующий современным требованиям нормативных документов и потребностей общества.
Реконструкция домов ФПМС может так же частично решить проблему социального жилья, т.к. новая площадь возникает в зоне с развитой инфраструктурой, на благоустроенных и озелененных территориях. Именно такая площадь нужна для предоставления ветеранам ВОВ и труда.
Проблема определения ребенка в детский сад является очень сложной для многих семей россиян на протяжении последних нескольких лет. В частности, по данным статистики [105], в 2006г. в Санкт-Петербурге было 1058 детских садов, в 2007 г. - уже 1032, а в конце 2008 г. - только 1018, .т.е.количество этих дошкольных учреждений уменьшалось с каждым годом. За последние 20 лет детских садов в Санкт-Петербурге строилось очень мало, а некоторые из ранее действующих и вовсе закрывались, часть помещений сдавалось в аренду. Особый дефицит свободных мест в детских садах Санкт-Петербурга ощущается в районах массовой застройки - Приморском и Красносельском..
Проблему осложняет еще один момент: с 1 октября 2010 г. на территории РФ действуют новые, более жесткие санитарные нормы по содержанию дошкольных учреждений.
Решение заключается в разработке проекта, который позволит разрешить проблему нехватки мест в детских учреждениях путем увеличения площади зда 20 ний, а значит и внутренних помещений за счет надстройки мансард над уже существующими зданиями. Надстройку предлагается осуществлять, используя современные технологии легких стальных тонкостенных конструкций (ЛСТК). Они позволяют без существенных нагрузок на фундамент надстраивать этажи и увеличивать площадь здания, улучшать экономические характеристики, то есть более эффективно использовать строение. Причем, это строительство оказывается дешевле, поскольку исчезает необходимость выкупать земельный участок, проводить обследование территории, закладывать новый фундамент, прокладывать новые сети.
Планировки серии 2-ЛГ-04-3, 2-ЛГ-04-1/64, 2-528К-СЯ-1, 2-ЛГ-04-13 являются типовыми планировками, позволяющими надстройку мансардного (2-го или 3-го) этажа с последующим переносом туда некоторых помещений (нагрупповых).
Рассмотрим данное направление в применении ЛСТК на примере реконструкции кровель домов типовой серии 84, согласно региональной адресной программе по проведению капитального ремонта многоквартирных домов, расположенных на территории Санкт-Петербурга на 2009 г. [47]
В конструктивную схему кровель домов серии 84 входят такие материалы как: «Лахта», мелотерм, рубероид, мастика, стеклоткань, унифлекс.
В ходе массовых обследований выявлены основные дефекты и повреждения кровель, возникшие за годы эксплуатации: отслоение и возникновение трещин в «Лахте», нарушение работы деформационных швов, выход из строя заделки торцевых плит кровли, протечка сливных воронок, не функционирование мастики, как средства защиты от трещин, образование мест застоя воды на поверхности кровли.
Вопросом устойчивости тонкостенных авиационных стержней занимался немецкий инженер Вагнер; в 1934 году он совместно с Претчером опубликовал теоретическую работу, в которой были даны формулы для определения критических сил при потере устойчивости авиационных стержней в форме закручивания. При выводе своих формул для дополнительных нормальных напряжений от кручения Вагнер пользуется законом, аналогичным закону секториальных площадей, выведенному В.З. Власовым в 1936 году для профилей произвольного очертания (раздел 1.3 и [2]). Следует отметить, что Вагнер при рассмотрении деформации кручения допускает принципиальную ошибку, считая, что центр кручения при потере устойчивости совпадает с центром изгиба. В действительности же центр кручения, как правило, не совпадает с центром изгиба. Совпадение получается только в одном частном случае поперечного сечения стержня, а именно когда центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. По этой причине формула Вагнера применима только для стержней, имеющих в сечении две оси симметрии.
Наибольший вклад в развитие теории тонкостенных стержней внес профессор, доктор технических наук, член-корреспондент Академии наук СССР, лауреат Государственной премии, Василий Захарович Власов (1906-1958).
Конечный элемент с тремя степенями свободы. Депланационный шарнир
Джанелидзе Г.Ю. и Пановко Я.Г. в [39] рассматривают основные уравнения, описывающие статическую работу тонкостенных стержней при условии малых перемещений, прикладная теория Власова В.З. [30] для тонкостенных стержней с открытым профилем и прикладная теория Уманского А.А. [102] для тонкостенных стержней с замкнутым профилем. В данных работах проанализированы гипотезы, принятые Власовым В.З. о недеформируемости контура сечения и отсутствии деформаций сдвига в срединной поверхности стержня.
Анализируя деформации тонкостенных стержней, авторы приходят к выводу о возможности разделения деформаций связанных с кручением стержня и деформаций от изгиба и растяжения. Произведено исследование влияния на деформации стержня двух близкорасположенных сосредоточенных крутящих моментов, равных по величине и имеющих противоположное направление. В результате выявлено, что данное силовое воздействие эквивалентно действию би-момента, величину которого можно определить как произведение величины крутящих моментов на расстояние между ними. Также показано несоблюдение принципа Сен-Венана в случае загружения тонкостенных стержней открытого профиля нагрузками, статически эквивалентными нулю. Рассмотрены задачи кручения тонкостенного стержня относительно оси, не проходящей через центр изгиба сечения и сформированной особенностями конструкции (закрепление профиля на уровне полок, составные стержни, продольная ось которых не проходит через центры изгиба ветвей). Установлено, что при кручении стержня относительно такой в нем возникают изгибающие моменты. Сформулированы упрощенные теории, позволяющие в ряде случаев получать с достаточной инженерной точностью результаты. Авторами показана необходимость разработки практической методики расчета подобных конструкций.
В [4] Александровым В.Г. исследована работа неразрезных тонкостенных балок с открытым профилем и установлено, что при приложении нагрузки с эксцентриситетом от вертикального давления крана напряжения в балке несимметричного сечения возрастают до 1,5 раз, вследствие стесненного кручения,. При устройстве тормозной балки напряжения в отдельных точках сечения увеличиваются до 1,3 раза, а в некоторых точках сечения меняют знак. Касательные напряжения из-за стесненного кручения в сечении меняются незначительно.
В [6] Анучкиным А.П. исследованы вопросы устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля под действием сжимающей нагрузки. Показано, что для неравнополочных уголков форма потери устойчивости практически всегда крутильная. Для швеллеровых профилей крутильная форма потери устойчивости возможна при отношении момента инерции в плоскости стенки к моменту инерции в плоскости полок менее 8,9. Для двутавровых и составных профилей с двумя осями симметрии и полками, направленными внутрь профиля, такая потеря устойчивости возможна, при соотношении данных параметров менее 1,4. Как правило, колонны и стойки двутаврового и швеллерного сечения обычно имеют соотношение моментов инерции соответственно больше 1,4 и 8,9, поэтому расчет их производят без проверки на закручивание. Связевые элементы из угловых, тавровых и крестовых профилей должны обязательно проверяться на закручивание.
Бычковым Д.В. и Мрощинским А.К. [17] кроме теории кручения тонкостенных стержней открытого профиля получена методика расчета одно- и многопролетных тонкостенных балок. Авторами получены специальные графики, таблицы и формулы, позволяющие определить усилия при стесненном кручении тонкостенных стержней открытого профиля с различными условиями закрепления по концам. Также в работе [18] Бычковым Д.В. рассмотрены вопросы расчета балочных и рамных систем из тонкостенных открытых профилей в условиях стесненного кручения. Установлено, что известные в механике методы сил и перемещений, могут применяться и при расчете с учетом стесненного кручения. Автором получены зависимости, сведенные в табличной форме для определения коэффициентов, используемых при вычислении усилий и перемещений в системе. Данные исследования стали важной предпосылкой для разработки численной методики расчета. Также установлено, что для большинства рам угловые и линейные перемещения узлов незначительно влияют на бимоменты и приближенный расчет можно выполнять без учета этих перемещений. Бимоменты по длине балки затухают значительно быстрее, чем изгибающие моменты, поэтому при расчете неразрезных балок можно ограничиться 4 или даже 3 смежными пролетами, в отличие от 5 при расчете на изгиб. Однако в работе рассмотрены только плоские рамы с предположением того, что разработанная методика может быть доработана для пространственных систем. Важным достоинством работы также является построение зависимостей и таблиц для расчета простых тонкостенных систем (прямолинейный стержень с различными граничными условиями, плоские рамы), которые можно использовать в практике проектирования. Невозможность использования предложенной методики расчета для пространственных систем ограничивает область применения результатов данного исследования.
В [33] Горбуновым Б.Н. и Стрельбицкой А.И. рассмотрены вопросы практического расчета рам из тонкостенных стержней при действии пространственной нагрузки. Авторами разработаны методы расчета рам с открытым и замкнутым сечениями. При расчете тонкостенных стержней с открытым профилем использована теория Власова В.З., при расчете тонкостенных стержней с замкнутым профилем - теория Уманского А. А. Для расчета рам предложено использовать метод деформаций и метод сил. В качестве параметра, характеризующего деплана-цию стержней введено понятие меры депланации; используется «метод моторных тензоров», реализующий метод перемещений в матричной форме. Приведена методика построения матриц нагрузки и жесткости, составление системы линейных уравнений для нахождения неизвестных перемещений узлов плоских рам. Общее число неизвестных перемещений в узле, принятое в расчетах, семь: три угловых, три поступательных перемещений и депланация. Основным расчетным случаем являются прямоугольные плоские рамы без эксцентриситетов в узлах при одинаковой, для всех сходящихся в узле, стержней мере депланации. Ось стержня располагается по оси центров изгиба, полки стержней, сходящихся в узле, параллельны плоскости рамы. Также авторами проведены расчеты плоских прямо 39 угольных рам при действии нагрузок, вызывающих кручение и деформацию рам из плоскости. Исследовано влияние на работу рам эксцентриситетов в узлах, вызванных несовпадением центров изгиба и тяжести и невозможностью пересечения в одной точке осей нескольких стержней, соединяемых в узле.
Линейная аппроксимация функции кручения и квадратичная аппроксимация функции депланации в полусдвиговой теории
Кроме того, на перемещения фиктивного стержня накладываются внешние связи, препятствующие смещениям точек его продольной оси в осевом направлении (вдоль оси XF) и в направлении одной из главных осей инерции - Y . Линейные перемещения фиктивного стержня вдоль другой главной оси связываются с углом закручивания vxF соотношением o F=r0xF (1.54) где CDF - перемещение центра тяжести сечения фиктивного стержня в направлении оси ZF , г - некоторая константа (рисунок 1.34).
На механическом уровне наложенные на фиктивный стержень внешние связи интерпретируются как подкрепление фиктивного стержня рядом абсолютно жестких «рычагов» (рисунок 1.33), направленных вдоль оси YF и имеющих длину г. Нижние концы рычагов закреплены от всех линейных перемещений и поворотов вокруг оси ZF.
Таким образом, при закручивании основного стержня фиктивный стержень, благодаря установленным связям, получает поперечные перемещения wF в направлении оси ZF, вызывающие изгиб этого стержня относительно оси YF.
Энергия деформации Е в построенной бистержневой модели является суммой энергий, накапливаемых порознь в основном и фиктивном стержнях. Если основной стержень наделить крутильной жесткостью G/, крутильную жесткость фиктивного стержня положить равной нулю, а жесткость фиктивного стержня при изгибе относительно Оси YF обозначить ElyF, то функционал (1.29) будет выглядеть: что полностью совпадает с (1.29). Если учесть соотношения (1.53) и (1.54), то из-гибную жесткость фиктивного стержня определить соотношением EIyF=EIJr\ (1.56) Таким образом, построенная бистержневая модель энергетически эквивалентна исходному тонкостенному стержню.
Также в работе показано, что внутренние силы в фиктивном стержне можно интерпретировать как обобщенные усилия в исходном тонкостенном стержне, возникающие при стесненном кручении.
Действительно, для фиктивного стержня изгибающий момент относительно оси YF может быть записан в виде
Следует отметить, что при построении дискретной схемы бистержневой модели мы нельзя обеспечить выполнение условий связи (1.53) непрерывно вдоль всей оси X от нуля до I. Однако, разбив основной стержень по длине на некоторое количество (скажем, п) участков, устанавливаем тем самым на нем (п + 1) узел, включая начальный и конечный узлы.
Пусть это будут узлы Мь М2,..., М(п+1). Разбивая теперь фиктивный стержень на точно такие же участки, образуем на нем соответствующие узлы Fb Fz,..., F(n+i). Теперь непрерывные условия связи (1.53) можно приближенно заменить дискретными связями, заданными на конечном множестве точек с координатами xi,X2,...,xn+i, а именно в п+1 узлах основного и фиктивного стержней бистержневой модели. Соответственно и абсолютно жесткие рычаги в системе с дискретными связями сохраняются только в образованных узловых точках.
Таким образом, седьмая степень свободы, связанная с депланацией 0 лишь внешне изменилась, превратившись Qyf. Действительно, для бистержневой модели имеем Однако, если Э х, нельзя напрямую связать с перемещениями узлов как жестких тел, то величина GyF естественным образом интерпретируется как повороты узлов фиктивного стержня относительно оси yf. Именно это обстоятельство и позволяет выполнять расчет тонкостенного стержня, оставаясь в рамках ограничений стандартного программного обеспечения, оперирующего конечными элементами с твердотельными уздами.
Если воспользоваться программным комплексом SCAD Office [52], то для задания связей вида еМ)=вА )- (1-62) гарантирующих равенство углов поворота соответствующих узлов основного и фиктивного стержней, имеется заложенный в эту программу специальный инструмент «объединение перемещений», реализованный в графической среде этой системы.
Если в используемой программе заложена возможность задания смещения оси центров сдвига относительно центроидной оси стержня, то можно в исходной информации к задаче опустить задание эксцентриситетов, описывающих рычаги, и заменить их заданием величины еур = г, где eyF— смещение оси центров сдвига фиктивного стержня относительно его центроидной оси. 1.9. Основы полусдвиговой теории тонкостенных стержней В.И. Сливкера
В теории тонкостенных стержней открытого профиля, созданной многими учеными, но в своей наиболее общей и законченной форме обязанной трудам В.З. Власова, в качестве одного из основополагающих постулатов служит гипотеза об отсутствии сдвигов в срединной поверхности тонкостенного стержня.
В процессе развития этой теории неоднократно возникали различного рода предложения по ее модификации, связанные с попытками отказа от гипотезы отсутствия сдвигов и учитывающие тем самым влияние деформаций сдвига на работу тонкостенного стержня в работах Ададурова [1], Джанелидзе и Пановко [39], Гольденвейзера, Воробьева [31], Мещерякова [66, 65].
Как известно, один из возможных способов построения приближенных теорий связан с разделением напряжений и деформаций на основные и второстепенные с последующим отбрасыванием в разрешающих уравнениях второстепенных компонент по сравнению с основными.
На уровне энергетического истолкования такое разделение соответствует пренебрежению энергией второстепенных компонент.
Если с этих позиций сопоставлять сдвиговую теорию тонкостенных стержней, изложенную в [89] с бессдвиговой теорией В.З. Власова, то можно сказать, что в теории В.З. Власова в качестве основных компонент напряжений приняты нормальные напряжения ах и кососимметричные касательные напряжения от чистого кручения Тк . \„N MV м: в(; н\.
Что же касается касательных напряжений, распределенных равномерно по толщине стенки профилей, то они отнесены к второстепенным компонентам напряжений В 2005 г. Владимиром Исаевичем Сливкером (1937-2011г.г.) в книге «Вариационные основы строительной механики» [89], а позже в других работах [75, 76, 77], была предложена полусдвиговая теория тонкостенных стержней. В данной теории к основным напряжениям относятся, помимо нормальных, только касательные напряжения кручения тк и т(0. Теория В.И. Сливкера, по сравнению с теорией В.З. Власова, имеет ряд достоинств: 1) полусдвиговая теория подходит для стержней как открытого, так и замкнутого (а также открыто-замкнутого и многоконтурного) профилей ввиду схожести дифференциальных уравнений по теориям В.И. Сливкера и А.А. Уманского, что дает возможность использования единой расчетной схемы в комбинированных конструкциях из открытых и замкнутых профилей;
Решение основных типов задач по бессдвиговой теории. Сравнение аналитического и численного решений
Чтобы получить численные решения для обозначенной задачи, зададим граничные условия (4.5), преобразовав матрицу жесткости системы (2.16). Первые две строчки системы уравнений (2.44...2.46, 2.47) свидетельствуют о равенстве нулю соответственно угла закручивания и депланации, т.е. могут быть записаны в виде: Однако в силу теоремы Бетти о взаимности [38], матрица жесткости системы является симметричной матрицей, т.е. к9 = kfi. Поэтому для автоматического выполнения условий (4.15) и (4.16),а также теоремы Бетти, при разбиении данного стержня на любое количество конечных элементов нужно: Решая систему уравнений (2.47) при разных шагах разбиения стержня, получим ряд зависимостей функций перемещения и усилий от координаты по длине балки (рисунок 4.5).
Анализируя результаты таблицы, следует отметить следующее: 1) В шарнирно-опертой балке наблюдается, в целом, лучшая сходимость, чем в жестко-защемленной. 2) Приемлемое значение по погрешности перемещений и момента чистого кручения (не более 3%) наступает при разбиении на 4 конечных элемента; бимомента - при 8 КЭ; секториального крутящего момента - при 32 КЭ. 3) Для практических инженерных расчетов шарнирно опертых расчетных схем (или участков) рекомендуется шаг разбиения на 8 конечных элементов.
Аналитические решения в такой задаче для функций кручения и деплана-ции, бимомента, секториального крутящего момента и момента чистого кручения, согласно [28, 57 и др.], составят соответственно:
Однако, чтобы получить численные решения для обозначенной задачи, зададим граничные условия (4.5), преобразовав матрицу жесткости системы (2.45) и столбец нагрузок (2.46).
Первая и предпоследняя строка системы уравнений (2.44...2.46, 2.47) свидетельствуют о равенстве нулю углов закручивания по краям, т.е. остается справедливым первые выражения в (4.15) и (4.16)
Поэтому для автоматического выполнения этих условий, а также теоремы Бетти, при разбиении данного стержня на любое количество конечных элементов нужно:
Решая системы уравнений (2.47) при разных шагах разбиения стержня, получим ряд зависимостей функций перемещения и усилий от координаты по длине балки (рисунок 4.8). Результаты, показанные на графиках, сведем в таблицу 4.3.
Аналитические решения в такой задаче для функций кручения и деплана-ции, бимомента, секториального крутящего момента и момента чистого кручения, согласно [28, 57 и др.], составят соответственно:
Первая и вторая строки системы уравнений (2.44...2.46, 2.47) свидетельствуют о равенстве нулю углов закручивания по краям, т.е. остаются справедливыми выражения в (4.15). Поэтому для автоматического выполнения этих условий, а также теоремы Бетти, при разбиении данного стержня на любое количество конечных элементов нужно: 1) «обнулить» первую и вторую строчки и столбцы матрицы [К], за исключением элементов главной диагонали, как это показано на примере разбиения на 4КЭ для данной задачи (рисунок 4.10); 2) «обнулить» первое и второе числа столбца нагрузок [Р] (рисунок 4.18, правая часть) Решая системы уравнений (2.47) при разных шагах разбиения стержня, получим ряд зависимостей функций перемещения и усилий от координаты по длине балки (рисунок 4.11). 6(х), рад. 0,420884939 л
Анализируя результаты, следует отметить следующее: 1) В консольной балке наблюдается, в целом, лучшая скорость сходимости, чем в жестко-защемленной и шарнирно опертой 2) Приемлемое значение по погрешности перемещений и момента чистого кручения (не более 2,2%) наступает при разбиении на 2 КЭ; бимомента -при 4 КЭ; секториального крутящего момента - при 32 КЭ 3) Для практических инженерных расчетов консольных расчетных схем (или участков) рекомендуется шаг разбиения на 4 конечных элементов В целом, анализируя результаты по трем проведенным численным экспериментам, следует отметить следующее: 1) сходимость предложенного конечного элемента является приемлемой для инженерных расчетов. С практической точки зрения, с учетом степени важности различных силовых факторов оптимальный шаг разбиения - на 8 КЭ. 2) Ввиду постоянства секториального крутящего момента в пределах конечного элемента, для достижения оптимальной инженерной точности достаточно разбиение на 32 КЭ, либо линейная интерполяция полученных значений до опорных. 3) Самая неблагоприятная сходимость среди трех простых расчетных схем имеет жестко защемленная с двух сторон балка (рисунок 4.3), обусловленная максимальным количеством граничных условий, накладываемых на систему (рисунок 4.4.); именно поэтому в дальнейшем численные эксперименты в настоящей работе будут проводиться именно для этой расчетной схемы, а для остальных в некоторых случаях опускаться.
