Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Анализ соотношений теории упругопластических процессов 13
1. Анализ соотношений теории пластичности 13
2. О связи между сильной дифференцируемостью и представимостью в виде решения системы дифференциальных уравнений функционалов пластичности 24
3. Экспериментально-теоретическое исследование предложенных дифференциальных соотношений 34
4. Анализ соотношений теории интегрально средней кривизны 48
5. Исследование условий линейности, потенциальности и интегрируемости предложенных соотношений 53
6. Исследование разрешимости предложенных соотношений относительно приращения девиатора деформаций 57
7. Линеаризация соотношений теории упруго пластических процессов малой кривизны методом малого параметра 58
8. Приложение: Об устойчивости плоской формы изгиба консольной балки-полосы за пределом упругости.. 63
Глава II. Анализ краевой задачи теории упругопластических процессов интегрально средней кривизны 71
9. Формулировка краевой задачи теории интегрально средней кривизны 71
10. Доказательство теоремы единственности 74
11. Доказательство теоремы существования обобщенного решения 76
12. О численном решении краевой задачи теории интегрально средней кривизны 80
Глава III. Некоторые методы решения краевой задачи теории упругопластических процессов малой кривизны 81
13. Формулировка и анализ нелинейных методов 83
14. Формулировка и доказательство сходимости линейного метода, основанного на соотношениях 89
15. Решение задачи о кручении толстостенного кругового цилиндра боковыми касательными нагрузками, изменяющимися по длине цилиндра, с использованием деформационной теории, теории малой кривизны и теории средней кривизны 93
Заключение
- Анализ соотношений теории интегрально средней кривизны
- Линеаризация соотношений теории упруго пластических процессов малой кривизны методом малого параметра
- Доказательство теоремы существования обобщенного решения
- Формулировка и доказательство сходимости линейного метода, основанного на соотношениях
Введение к работе
Элементы различных конструкций работают под действием поверхностных и объемных сил, приводящих к неоднородному напряженно-деформированному состоянию, изменяющемуся со временем. При этом напряжения, появляющиеся в теле, в отдельных местах или всюду могут превосходить предел текучести материала. Возникают сложные процессы деформации по траекториям, существенно отклоняющимся от прямолинейных. Для их описания необходимо применять достаточно сложные нелинейные соотношения, учитывающие историю деформации. В связи с этим возникают следующие трудности:
Во-первых, существующие частные уравнения состояния не описывают всех процессов сложного нагружения, поэтому при решении конкретных задач необходимо проверять физическую достоверность используемых соотношений.
Во-вторых, при решении краевых задач теории пластичности для пространственных тел возникают трудности математического характера, так как приходится рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения.
Наиболее достоверными в смысле соответствия уравнений состояния и экспериментальных результатов являются процессы, близкие к простому нагружению, всесторонне рассмотренные в работах А. А. Ильюшина / 29_7. Для произвольных процессов сложного нагружения А. А. Ильюшиным предложен метод СН-ЭВМ / 32, 33_7.
Учет сложности траектории деформации приводит к необходимости усложнения определяющих уравнений и, вместе с тем, выяснения условий их применимости, если соотношения определены для частного класса процессов.
В основе уравнений состояния в общем случае сложного нагру-жения лежат принципы общей математической теории пластичности, сформулированные А. А. Ильюшиным / 30-34_7: постулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности. Они сформулированы при следующих предположениях:
1. В исходном состоянии тело является изотропным. Под исходным (естественным) состоянием понимается такое состояние, при котором в исследуемом теле отсутствуют напряжения и деформации.
2. Считается, что в достаточно малой окрестности произвольной точки тела напряженно-деформированное состояние однородно; это позволяет отождествить процессы, протекающие в каждой фиксированной точке рассматриваемого неоднородно-деформируемого тела с процессами, протекающими при однородной деформации не-, которого образца конечных размеров (постулат макроскопической определимости А. А. Ильюшина).
3. Деформации считаются малыми, то есть их квадратами по сравнению с самими величинами можно пренебречь.
4. Исключаются из рассмотрения реономные свойства материала, то есть время явно не входит в уравнения состояния.
Естественно, каждое из указанных соотношений приемлемо также для процессов, близких к основным, которые можно определить аналогично тому, как это сделано для простой деформации (/ 49_7, стр. 71).
Этими ограничениями пользуются для оценки применимости теории при решении достаточно сложных пространственных задач термопластичности (см., например, / 70_7). Фактически, используется предположение о том, что если при заданных внешних нагрузках согласно какой-либо теории из а) - г) получено решение краевой задачи с траекторией деформации, удовлетворяющей соответствующему этой теории условию (0.8), то и решение, полученное по теории, требующей более слабых ограничений и поэтому более сложной, совпадает с первым или мало отличается от него.
Выяснение условий на характер изменения внешних нагрузок, при котором выполняются соответствующие ограничения (0.8), представляет значительные трудности. Такие условия для простого нагружения получены А. А. Ильюшиным / 29_7; для двух-звенных ломаных этот вопрос рассмотрен в / 61_7; для траекторий малой кривизны соответствующие условия найдены лишь для простейших задач / 4,19_7.
Заметим, что теория д), основанная на гипотезе локальной определенности в более общей форме, нежели (0.6) которая и подразумевалась В. С. Ленским / 33_7, обобщает соотношения а) - г) для некоторых материалов. Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы для данной траектории деформации, удовлетворяющей одному из условий (0.8), тензор напряжений, определяемый интегрированием системы (0.9), мало отличался от тензора напряжений, полученного согласно одной из теорий а) - г), соответствующей заданному условию. Это, в свою очередь, достигается наложением определенных ограничений на вид функций ±іу І =0,1,...,5. Так, например, соотношения (0.5) получаются непосредственным интегрированием (0.9) при de OfSo-S oBi2983Е 930 . Для некоторых материалов выполняется условие некоторая функция, и, таким образом, угол С/ в соотношении (0.4) удовлетворяет уравнению (0.6) / 54_7. Более того, частный вид соотношений (0.9) І0/ І8»/ 0,33,6 ,5),0 ,1 = 3,4, d6a/ots-/,(0,ae, r«,s), 6=3Кб, (09/ где , 96= Эб также будет обобщением теорий а) - г) в указанном выше смысле.
Таким образом, считая, что в рассматриваемом теле реализуются упругопластические процессы, для которых в качестве физически достоверных могут быть использованы уравнения состояния (0.9) (пример множества таких процессов - подкласс РТС,- см. §1 настоящей работы), следует учитывать, что применение какой-либо теории из а) - г), вообще говоря, обосновано лишь тогда, когда решение при тех же внешних нагрузках с использованием (0.9/ приводит к выполнению ограничений (0.8), соответствующих применяемой теории.
Решение краевых задач с использованием (0.9) и даже (0.9)7 связано со значительными математическими трудностями.
В предлагаемой диссертации рассмотрена конкретная реализация соотношений (0.9/ , постановка ж методы решения соответствующих краевых задач.
В §1 на основе анализа общих соотношений (0.1) для некоторых упрочняющихся материалов и достаточно широкого класса многомерных траекторий деформации предложены и обоснованы конкретные, с точностью до трех функций длины дуги $ , определяемых из эксперимента, дифференциальные соотношения типа (0.9/ . Поскольку рассматриваемые соотношения охватывают траектории с точками излома, то для них везде ниже будет применяться название - теория упругопластических процессов интегрально средней кривизны.
В §2 рассмотрен вопрос об условиях, которым должны удовлетворять функционалы пластичности для возможности представления связи между напряжениями и деформациями в виде (0.9) .
В §§3-6 проводится экспериментально-теоретический анализ предложенных в §1 соотношений, найдены функции материала для некоторых металлов, показано соответствие этих соотношений теориям средней и малой кривизны.
В §7 проводится линеаризация соотношений теории малой кривизны для медленных стационарных течений пластического материала.
В §8 рассмотрена задача об устойчивости плоской формы изгиба консольной балки за пределом упругости.
Во второй главе диссертации дается постановка краевой задачи теории упругопластических процессов интегрально средней кривизны. Рассмотрена возможность вариационной постановки задачи (§9). Доказываются теоремы единственности и существования, рассматриваются приближенные методы решения (§§10-12).
В третьей главе диссертации рассмотрены методы решения краевых задач теории малой кривизны (§§13-14). Доказывается сходимость этих методов.
Рассмотрена задача о кручении толстостенного кругового цилиндра касательными нагрузками, изменяющимися вдоль оси цилиндра. Выполнены числовые расчеты. Решение сравнивается с решениями, соответствующими деформационной теории и теории средней кривизны (§15).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах /"19-24_7.
Анализ соотношений теории интегрально средней кривизны
В 1 показано, что собственно для приближения средних кривизн необходимо определить лишь функцию Л(3; , характеризующую векторные свойства функционала напряжений, причем только в пластической области, так как в упругой Л - S. На основании приближения средних кривизн и гипотезы о подобии векторных свойств упругопластических материалов В. И. Малым показано / 55,56_7, что при развитых пластических деформациях для хЛ выполняется соотношение некоторая безразмерная константа, зависящая только от кристаллического класса материала. Для определения константы и/ проведены опыты на сложное нагружение образцов материалов разных кристаллических классов при одновременном воздействии растягивающей силы и крутящего момента в условиях комнатных и низких температур / І7_7. Для Щ. получено значение 1.47 как для материалов с гранецентрированной кубической кристаллической решеткой, так и для материалов с объемноцентрированной кубической решеткой, то есть , практически, для всех основных металлических конструкционных материалов .
Значение 11/ определялось по значению производной сів/ ds в точке излома для двухзвенных ломаных с углом излома S/Z . Из формулы (1.28)2 следует, что для соотношений (1.29) такая процедура соответствует определению величины Jt(S) / Ґ($) . Таким образом, на основании опытных данных работы / 17_7 можно полагать, что при развитых плас - 35 тических деформациях
Конкретные значения для функций (X, Ґ, Z можно получить, используя экспериментальные значения производных Ссс, точке излома при разных углах излома LP , найденные в опытах с траекториями деформации в виде двухзвенных ломаных.
Кроме того, в этих опытах можно определять ОІ и Ґ независимо от Л , если использовать соотношение для dL%/de в точке излома
Таким образом, для определения OL(So) и Ґ($о) достаточно сравнить значения dx/d9 для двух углов излома при одном и том же значении S0 . Например, для (p = Ji/Z,2J//3 из (3.4), (3.5) получаем соответственно. На рис. 3.1 представлены графики зависимостей (Э /ЗСт и ОІ % /d и от угла излома if : сплошными линиями при Г=1+а=Ш,Л=1Я-ФА9,&/3&=0Ш2 ; пунктирными линиями - при г ±+а=1.55,лаМбтФ/з&, Ф7з&=аош.
На рис. 3.2 для этих же значений ОІ, Ґ, Л сплошной и пунктирной линиями представлен график зависимости угла излома траектории напряжений If/ от угла излома траектории деформации W , построенный также с использованием (1.29). Из рис. 3.2 следует, что рассматриваемые соотношения (1.29) описывают известный эффект - для двухзвенных ломаных с углами излома порядка S /Z в пространстве напряжений траектория деформации мало отличается от прямолинейной.
Для рассмотренных металлов значения Х и Ґ в пластической области лежат в пределах 0.3 СС , І.З Ґ i+CL. При этом скорость изменения функций Х Vу Я. и одного порядка, что позволяет для траекторий деформации в виде двухзвенных ломаных пренебречь изменением У и Ct на участке длиной порядка п. , то есть 4 1%, после точки излома. Таким образом, для этих опытов получаем, согласно (1.28) , дифференциальное уравнение
Кривая качественно хорошо согласуется с ре альной кривой (см. / 8,39,40,42,44_7) при значениях близ ких к 1 + СІ или поскольку из (3.1) сле дует малость величины 9? -Я / 9 при развитых пластических деформациях. Количественного соответствия можно достичь, конкретизируя значения CL и Ґ Рассмотрим опыты И. Охаши и др. / 72_7 по совместному кручению и растяжению тонкостенных трубчатых образцов из ла туни и малоуглеродистой стали S15C , причем значения Эц, модифицированы таким образом, что кривая упрочнения при растяжении совпадает с кривой упрочнения при кручении.
Линеаризация соотношений теории упруго пластических процессов малой кривизны методом малого параметра
При изготовлении деталей машин и аппаратов широко используются технологические процессы обработки материалов; давлением, для расчета которых можно применять нелинейные определяющие соотношения (0.3), учитывающие историю деформирования. Однако, для некоторых процессов условия их протекания существенно зависят от скорости деформирования (см., например Поэтому, будем рассматривать соотношения теории упругопластических процессов малой кривизны с функцией упрочнения, зависящей от интенсивности скорости деформации функция упрочнения, определяемая при простом на-гружении. Будем рассматривать медленные стационарные движения. Решение ищем в виде ряда по степеням параметра V : оо
Линеаризация по параметру У предполагает получение системы линейных уравнений относительно искомого приближения, если предыдущие известны. Уравнения равновесия и соотношения связи между компонентами вектора скорости 1? и тензора скорости деформации 1. линейные, поэтому каждое приближение должно им удовлетворять. Линеаризация (7.1) проводится известным образом (см., например, / 28_7; там же проведена линеаризация (7.2) в случае идеальной пластичности, то есть, при
Таким образом, в общем случае в выражение для S 1 вхо дят величины U (V), определяемые соотношениями (7.5). Эти величины удовлетворяют соотношениям и(т (х) 0 УґпУО , поскольку для произвольной точки пространства X линия тока в каждом приближении проходит через эту точку:
Явление потери устойчивости плоской формы изгиба консольной балки-полосы для идеально упругопластического и линейно упрочняющегося материалов рассмотрено в работах / 35,36_7. При решении были использованы деформационная теория и теория пластического течения. В работе Н. Ю. Швайко и С. Н. Чаплыгиной / 69_7 были использованы дифференциально-нелинейные соотношения связи между вариациями напряжений и деформаций. В этом параграфе для решения задачи используются дифференциальные соотношения (1.29), отличающиеся от соотношений работы / 69_7 и полученные из других соображений.
Рассмотрим за пределом упругости балку-полосу с поперечным сечением в виде узкого прямоугольника шириной ри вы-сотой& 23_7. Балка изгибается силой г , приложенной в центре тяжести концевого сечения и действующей в плоскости наибольшей жесткости. Противоположный конец жестко защемлен -см. рис. 8.1, а).
Пусть X, (/, Z - триэдр подвижных осей, причем Ху U. -главные центральные оси поперечного сечения, а ось К направлена по касательной к осевой линии балки: см. рис. 8.1, б). При изгибе полосы в плоскости UZ отличным от нуля считается / 36_7 компонент напряжения б"2 = % (8 ). Деформация определяется формулой --р0Ц, , где ро - кривизна оси балки. Если зависимость \Giz\ - Ф (I 6Z\) известна, то границы U- ±у(%) раздела упругой и заштрихованных (рис. 8.1) пластических зон находятся из уравнения / 69_7: При бесконечно малом выпучивании полоса испытывает дополнительные деформации изгиба и скручивания. Приращения тензора деформаций определяются соотношениями где изменение кривизн и относительного угла закручивания; U и 1Ї - компоненты бесконечно малого смещения точек осевой линии в направлении осей Х0 и Ы0 в триэдре Х0, Чо 20 совпадающем с подвижным триэдром в момент, предшествующий точке бифуркации; if - угол поворота поперечного сечения вокруг оси Z.Q
Доказательство теоремы существования обобщенного решения
Численные расчеты для построения зависимости критической гибкости УІ от нагрузки J4 проведены для алюминиевого сплава АМг. Диаграмма упрочнения этого материала может быть в пластической области аппроксимирована выражением Далее, полагая получаем Z к Наконец, как уже отмечалось в 3, согласно экспериментальным результатам работы / 7_7 что для данного материала соответствует значениям (L O.GB, У 1.53 в пластической области.
Результаты вычислений в безразмерных координатах Л. и N. представлены на рис. 8.2. Линия I дает зависимость критических параметров согласно деформационной теории, линия 2 - согласно теории течения / 69_7, линия 3 построена с использованием соотношений работы / 69_7, линии 4 и 5 соответствуют формулам (8.9) и (8.10), соответственно, линия 6 соответствует закону связи между приращениями напряжений и деформаций в виде
Заметим, что решение с использованием дифференциально-линейных соотношений удовлетворительно согласуется с решением, полученным с использованием дифференциально-нелинейных соотношений (линии 4 и 5 на рис. 8.2) для широкого диапазона изменения параметра нагрузки fll / 37_7.
Для нахождения минимума использовалась подпрограмма FMFP из математического обеспечения ЭВМ БЭСМ-6.
Уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения связи (1.29) вместе с линейной зависимостью между шаровыми тензорами О -дІлВ и граничные условия определяют статическую краевую задачу теории упругопластических процессов интегрально средней кривизны. Эту задачу можно формулировать как задачу определения вектора скорости T}- -вектор перемещения, удовлетворяющего уравнениям равновесия
Решение ищем в классе функций V&
Переход к обозначениям 6 - вместо аО и 1 вместо а сделан только ради краткости записи. Таким образом, соотношения (9.1 - 9.4), так же как и (9.5), являются формулировкой краевой задачи относительно вектора приращения перемещения CLU , и дифференцируемость 66 по времени, вообще говоря, не предполагается.
Относительно функций 7Л?(? Ґ будем считать выполняющимися ограничения (4.9), (4.10). Тогда справедливо
При выполнении условий (4.9), (4.10) справедливо неравенство %(v) щ у% + 9Kv-\ (9.6) Доказательство. На основании (9.3), (9.4) запишем левую часть (9.6) в виде [(Ф где . При выполнении (4.9), (4.10) выражение в квадратных скобках не имеет локального минимума при L Z. d. . Подставив 2 = ± і. , убедимся в справедливости (9.6).
Рассмотрим вопрос о возможности вариационной постановки краевой задачи. Дело в том, что задача (9.1 - 9.4) не всегда может быть представлена как задача отыскания вектора скорости IT , минимизирующего некоторый функционал. Для этого, как следует из утверждения 2 5, необходимо и достаточно выполнения условия (5.5), связывающего СС,ҐГЯ, Я?}Ф :
При выполнении условия (5.5) задача (9.3 -9.5) эквивалентна задаче минимизации квадратичного положительно-определенного функционала.
Доказательство. Рассмотрим функционал, получаем, что если V" - решение зада чи (9.3 - 9.5), то вариация равна нулю, то есть функционал принимает стационарное значение. Из утверж дения I следует, что потенциал W - положительно-опреде ленная функция; кроме того, в ходе доказательства теоремы единственности в 10 показывается, что градиент соункционала W обладает свойством сильной монотонности, поэтому функ ционал W - строго выпуклый. Следовательно, стационарное значение - абсолютный минимум.
Формулировка и доказательство сходимости линейного метода, основанного на соотношениях
Элементы различных конструкций работают под действием поверхностных и объемных сил, приводящих к неоднородному напряженно-деформированному состоянию, изменяющемуся со временем. При этом напряжения, появляющиеся в теле, в отдельных местах или всюду могут превосходить предел текучести материала. Возникают сложные процессы деформации по траекториям, существенно отклоняющимся от прямолинейных. Для их описания необходимо применять достаточно сложные нелинейные соотношения, учитывающие историю деформации. В связи с этим возникают следующие трудности:
Во-первых, существующие частные уравнения состояния не описывают всех процессов сложного нагружения, поэтому при решении конкретных задач необходимо проверять физическую достоверность используемых соотношений.
Во-вторых, при решении краевых задач теории пластичности для пространственных тел возникают трудности математического характера, так как приходится рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения.
Наиболее достоверными в смысле соответствия уравнений состояния и экспериментальных результатов являются процессы, близкие к простому нагружению, всесторонне рассмотренные в работах А. А. Ильюшина / 29_7. Для произвольных процессов сложного нагружения А. А. Ильюшиным предложен метод СН-ЭВМ / 32, 33_7.
Учет сложности траектории деформации приводит к необходимости усложнения определяющих уравнений и, вместе с тем, выяснения условий их применимости, если соотношения определены для частного класса процессов.
В основе уравнений состояния в общем случае сложного нагру-жения лежат принципы общей математической теории пластичности, сформулированные А. А. Ильюшиным / 30-34_7: постулат изотропии, принцип запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о разгрузке и постулат пластичности. Они сформулированы при следующих предположениях:
1. В исходном состоянии тело является изотропным. Под исходным (естественным) состоянием понимается такое состояние, при котором в исследуемом теле отсутствуют напряжения и деформации.
2. Считается, что в достаточно малой окрестности произвольной точки тела напряженно-деформированное состояние однородно; это позволяет отождествить процессы, протекающие в каждой фиксированной точке рассматриваемого неоднородно-деформируемого тела с процессами, протекающими при однородной деформации не-, которого образца конечных размеров (постулат макроскопической определимости А. А. Ильюшина).
3. Деформации считаются малыми, то есть их квадратами по сравнению с самими величинами можно пренебречь.
4. Исключаются из рассмотрения реономные свойства материала, то есть время явно не входит в уравнения состояния.
5. Среднее напряжение &= бт/Ъ является однозначной функцией среднего удлинения = &кк/3 и величину б в экспериментальных исследованиях связи Ь - б , где be/ 6 -5 -О, девиаторы тензоров напряжения и деформации, можно считать внешним параметром, таким, как температура.
Пренебрегается влиянием третьего инварианта девиатора напряжений (деформации) на зависимость Ъу Ву. Постулат изотропии проверялся экспериментально в работах В. С. Ленского /"42-45,47_7 и к настоящему времени получил весьма убедительное обоснование в исследованиях других авторов /"I,2,8,9,16,18,25,26,62,71,72_7.
