Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Квазистатическая задача линейной теории в напряжениях 17
1. О новой постановке задачи в напряжениях (задача "Б") 17
2. Вариационная постановка для задачи "Б"
3. Об условиях симметрии (антисимметрии) напряжений 29
Глава 2. Вариационно-разностный метод решения задачи "б" в упэтом параллелепипеде 33
1. Аппроксимация "функционала энергии" для упругого параллелепипеда 33
2. Разностный аналог задачи "Б" 36
3. Решение разностных уравнений итерационным методом 38
4. Упругий параллелепипед под действием взаимно уравновешенных нагрузок 41
5. Упругий параллелепипед под действием сосредоточенных сил 49
Глава 3. Квазистатические задачи о равновесии вязкоупру-гого параллелепипеда 58
1. Метод аппроксимаций для задачи "Б" 58
2. Определяющие функций метода аппроксимаций 60
3. Метод численной реализации упругого решения 65
4. Некоторые задачи о равновесии вязкоупругого параллелепипеда 69
Основные результаты 77
Литература
- Вариационная постановка для задачи "Б"
- Об условиях симметрии (антисимметрии) напряжений
- Решение разностных уравнений итерационным методом
- Определяющие функций метода аппроксимаций
Введение к работе
Развитие техники требует, решения все более сложных задач теории упругости и вязкоупругости. В частности, такими задачами являются пространственные задачи, решение которых дает возможность с достаточной точностью определить напряженно-деформированное состояние исследуемых объектов и более четко выявить закономерности, присущие рассматриваемым процессам. Вместе с тем решение трехмерных задач представляет собой трудную математическую проблему. Впервые на особую сложность пространственной задачи теории упругости обратил внимание Ламе, сформулировавший в 1852 г. задачу о равновесии параллелепипеда под действием взаимно уравновешенных нагрузок. Эта задача, носящая его имя, привлекла внимание многих механиков, математиков и инженеров. Сам Ламе сравнил эту задачу со знаменитой проблемой трех тел небесной механики. Чем же замечательна эта задача? Дело не только в ее непосредственной практической значимости. Эта задача в какой-то степени характеризует уровень развития теории упругости и ее математической строгости, она демонстрирует возможности вычислительной математики. На этой задаче можно проверить многие гипотезы, положенные в основу технической теории упругости, сопромата, теории прочности. Наличие дву- и трехгранных углов в параллелепипеде делает эту задачу крайне интересной и для проведения математических исследований [1,45]. Подходы к решению задачи Ламе были самые разнообразные: с использованием аналитических, численных, экспериментальных и полуэкспериментальных методов. Подробный обзор этих работ проведен Н.Н.Сусловой [83,84].
В пространственных задачах теории упругости, используя один из вариантов метода Треффца, Б.А.Бондаренко построил бесконечную
систему линейно независимых полиномиальных решений. В качестве примера была решена задача, подтверждающая принцип Сен-Венана
Существенное упрощение решения пространственных задач достигается благодаря применению вариационных принципов. Наиболее общая форма приложения вариационных принципов к решению трехмерных задач теории упругости дана П.Ф.Папковичем [78] и впоследствии развита М.М.Филоненко-Бородичем [87], который ввел систему периодических, "почти ортогональных" функций, названных "косинус-биномами", В ряд по системе "косинус-биномов" разлагается функция напряжений Максвелла или Морера [88], в результате чего достигается удовлетворение уравнений равновесия и статистических граничных условий. Коэффициенты разложения находятся из вариационного принципа Кастильяно [88]. Используя этот метод, М.М.Фило-ненко-Бородич решил ряд конкретных задач, в частности, задачу о равновесии параллелепипеда под действием приложенной к противоположным граням колоколообразной нагрузки. Эта задача ныне носит его имя.
Метод М.М.Филоненко-Бородича был использован В.П.Нетребко [б4]для решения задачи о кручении параллелепипеда.
А.И.Мешков [бО] применил этот метод для случая косоугольного параллелепипеда.
Исследования по сходимости метода М.М.Филоненко-Бородича проведены в работах Б.Курманбаева [53].
В монографии В.Н.Ионова, П.М.Огибалова [40] дано обобщение метода М.М.Филоненко-Бородича для случаев упруго-пластического и вязкоупругого параллелепипедов.
М.Мишояов [бЗ] построил решение второй краевой задачи, использовав разложение функций напряжений в тройные тригонометри-
ческие ряды.
Л.Е.Мальцев [59] для решения задачи Ламе использовал вариационный принцип Лагранжа. Решение найдено методом Ритца, перемещения представлены в виде тройного тригонометрического ряда.
В отличие от метода Ритца, метод Канторовича-Власова предусматривает аппроксимацию искомого решения в виде функционального ряда. Применение этого метода сводит задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений от одной из независимых переменных. Используя этот метод при решении задач о равновесии параллелепипеда, Б.Курманбаев [52] и М.Расульмухамедов [54] в соответствии с работами Б.К.Кабулова [42] разработали алгоритм построения разрешающих уравнений. Рассмотрены задачи о сжатии и стесненном кручении призматических тел; приведено косвенное доказательство сходимости по результатам численных экспериментов [52].
Б настоящее время в связи с развитием вычислительных методов был пересмотрен вопрос о ценности так называемых "аналитических" решений. Стало ясно, что основная задача определения напряженно-деформированного состояния тела заключается в получении результатов с наперед заданной точностью при наименьших материальных и физических затратах. Универсальными методами математической физики являются численные методы.
Одним из численных методов, широко распространенных при решении прикладных задач, является метод конечного элемента. В основе этого метода лежит метод Ритца [67], который специальным выбором координатных функций обеспечивает непрерывность перемещения при переходе от одного конечного элемента к другому. Метод конечных элементов эффективен при решении задач теории упругости с особенностями. Однако в этом методе достаточно велик
объем вычислений, особенно при решении пространственных задач теории упругости.
При решении задач в классических областях целесообразно использовать конечно-разностные методы. Решение пространственных задач конечно-разностными методами, начало которому положили Д. Писмен, Н.Рекфорд flOOjn Дуглас fl 00,101], заключается в сведении многомерной задачи к последовательности одномерных. Н.НЛяен-ко [97], А.А.Самарским [8l], В.Г.Дьяконовым [34] и другими были сформулированы общие принципы построения устойчивых и экономических разностных схем расщепления для решения многомерных задач.
Разностные схемы для решения задач о равновесии параллелепипеда предложены Б.А.Батуровым [7], Я.Я.Докторовым [31] и В.Г. Чебаном [91].
В работах Т.Буриева, М.Расульмухамедова [19] и Б.А.Батуро-ва [8,9] рассмотрены статические и динамические задачи со смешанными граничными условиями.
Г.М.Кобельковым [43,44] решены задачи теории упругости для несжимаемых сред.
А.Б.Золотов [Зб] рассмотрел задачу о сжатии параллелепипеда сосредоточенными силами, приложенными в центрах противоположных граней.
Результатом решения разностных аналогов исходных уравнений математической физики с соответствующими граничными условиями являются классическое решение, для существования которого необходима гладкость ограничивающей поверхности рассматриваемой области. Кроме того, граничные условия и решения краевых задач математической физики должны удовлетворять определенным ограничениям. Применяя один из вариационных принципов, т.е. используя
вариационно-разностный метод построения разностных схем, можно получить обобщенное решение исходной задачи [бі], свободное от вышеуказанных ограничений. Такой способ построения разностных уравнений обеспечивает устойчивость положительно определенных разностных операторов.
Вариационно-разностный метод особенно эффективен при решении задач со сложными граничными условиями (смешанными, контактного типа). Если в обычном методе сеток решение задачи построения разностных аналогов краевых условий, приводящее вместе с аппроксимацией уравнения равновесия к корректной разностной схеме, часто связано с большими трудностями, то при вариационно-разностном методе эти условия получаются автоматически.
Одной из первых работ, в которой сформулирована идея вариационно-разностного метода, является работа Р.Куранта, К.Фридрих-са, Г.Леви [55].
И.Г.Белухина [14,15], использовав вариационно-разностный метод на основе вариационного принципа Лагранжа, построила и исследовала разностные схемы для статической и динамической задач теории упругости анизатропных тел.
В работе Д.В.Вайнберга и др. [20] вариационно-разностным методом решена задача об изгибе толстых плит под действием равно-распределенной нагрузки при смешанных граничных условиях.
П.М.Варвак [21-24] решил ряд важных задач о равновесии параллелепипеда (параллелепипед на упругом основании, плиты мостовой опоры и др.).
А.И.Цаплин [94 J применил вариационно-разностный метод для решения пространственных задач термоупругости. Им рассмотрена задача о равновесии единичного куба под действием температурного поля
Эта задача ранее была решена М.М.Филоненко-Бородичем [88].
Среди работ, где был реализован вариационно-разностный метод построения разностных схем для решения трехмерных задач теории упругости, особое место занимает работа Б.Е.Победри, С.В.Ше-шенина [77J. Ими рассмотрена задача о равновесии упругого параллелепипеда под действием взаимно уравновешенных нагрузок. Используя свойство аддитивности Лагранжиана, они показали, что с помощью уравнения, полученного для одной из вершин можно построить уравнения в произвольных точках параллелепипеда. Этот способ составления уравнений сильно упрощает программирование и дает экономию машинной памяти и времени.
В работе [77] рассмотрены задачи:
М.М.Филоненко-Бородича,
сжатии куба между жесткими плитами,
в сочетании матрицы влияния А.А.Ильюшина [Зб] и метода осреднения Н.С.Бахвалова [13] определены "эффективные модули" и "микронапряжения", возникающие в неоднородной среде периодической структуры из двух материалов, расположенных в виде шахматной доски.
В перечисленных работах пространственные задачи решаются конечно-разностными методами в перемещениях. Но во многих прикладных задачах определение напряженно-деформированного состояния является основной задачей. При решении трехмерных задач в перемещениях посредством численного дифференцирования определяются напряжения, что приводит к потере точности. Поэтому для достижения удовлетворительной точности при определении напряженно-деформированного состояния пространственные задачи целесообразно решать в
напряжениях.
В классической постановке задачи в напряжениях во внутренних точках области шесть компонент симметричного тензора напряжений должны удовлетворять шести уравнениям совместности Бельтрами-Мичелла и трем уравнениям равновесия при наличии трех граничных условий на поверхности.
Применяя оператор ^в|Г^З к уравнениям равновесия, А.Н. Коновалов [49] предлагает устойчивую схему расщепления для решения в напряжениях второй краевой задачи динамической теории упругости. Итерационная схема построена им и для статической задачи в напряжениях [50J По этой постановке задачи в напряжениях опубликован ряд работ Н.М.Горской [29,30]. Численных результатов по этим схемам до настоящего времени в литературе нет. Недавно новую постановку задачи механики деформируемого твердого тела предложил Б.Е.Победря [7l]. Согласно этой постановке симметричный тензор напряжений внутри области удовлетворяет системе шести дифференциальных уравнений в частных производных, образованных из уравнений равновесия и неразрывности Сен-Венана, а на границе - трем статическим условиям и трем уравнениям равновесия. В этой постановке для второй краевой задачи доказано, что если уравнения равновесия выполняются на границе, то они верны во всей области [69J.
Кроме того, имеется новый вариационный принцип [70], позволяющий применять вариационно-разностный метод для построения разностных схем решения пространственных задач теории упругости в напряжениях.
На основе нового вариационного принципа, применяя метод . М.М.Филояенко-Бородича, Л.В.Гаврилова [26} решила задачу М.М.Фи-лоненко-Бородича. В полученных решениях существует явление Гиб-
бса, т.е. тензор напряжений в ребрах принимает только нулевые значения, что связано с выбором координатных функций "косинус-биномами" .
В новой постановке задачи механики деформируемого твердого тела Т.Холматов [93 ] дал определение обобщенного решения, предложил методы последовательных приближений для решения этой задачи и доказал сходимость этих методов при некоторых ограничениях на определяющие уравнения.
А.Хамракулов [92] рассмотрел численное решение задачи теории упругости о равновесии параллелепипеда в напряжениях в новой постановке.
В настоящее время вопросы напряженно-деформированного состояния вязкоупругих сред приобрели важное практическое значение. Отметим, что теория вязкоупругости для линейно изотермического случая существует уже давно. Так Больцман [98*] в 1874 г. впервые дал уравнения трехмерной теории изотропной вязкоупругости. 1909 г. Вольттера [99] получил аналогичные уравнения для анизотропных тел. Вместе с тем, общее развитие теория вязкоупругости получила только в 50-х годах. Это связано с открытием, что поведение многих материалов при малых температурах хорошо описывается уравнениями теории вязкоупругости. Кроме того, в технике стали широко применять полимерные и композиционные материалы с ярко выраженными вязкоупругими свойствами.
Существенный вклад в теорию вязкоупругости внесли Н.Х.Арутю-нян [з], А.Ю.Ишлинский [41], А.А.Ильюшин[39], М.А.Колтунов [47], В.В.Москвитин [57], Б.Е.Победря [73], Ю.Н.Работнов [79], А.Р.Ржа-ницын [80] и др. Фундаментальным исследованием по математическому обоснованию механики и термодинамики общей теории термовязко-упругости для анизатропных сред является монография А.А.Ильюшина,
Б.Б.ЇЇобедри [39]. В ней рассмотрены связанные и несвязанные, квазистатические и динамические, линейные и нелинейные задачи теории термовязкоупругости, а также предложены эффективные методы их решения.
Из зарубежных исследований следует отметить работы Д.Бленда [іб], Р.Еристенсена [5б], Дж.Ферри [86], А.Фрейденталя [89].
Наряду с теоретическими работами не менее важна разработка достаточно общих, эффективных, а также легко реализуемых на ЭВМ методов решения вязкоупругих задач. Методы решения квазистатических и некоторых динамических задач теории вязкоупругости были рассмотрены в работах Ф.Б.Бадалова [12], А.А.Ильюшина [37], М.А. Колтунова [47], Б.Е.Победри [74], А.Н.Филатова [90] и др.
С помощью метода усреднений [90], предложенного для решения динамических задач, получаются качественные решения для вязкоупругих сред.
Для решения нелинейных задач термовязкоупругости, когда граница тела меняется по времени, предложен метод последовательных приближений [39].
Применением к вязкоупругим задачам вариационных методов получаются линейные (нелинейные) интегро-дифференциальные или интегральные уравнения по времени [62]. Для их решения Ф.Б.Бадалов flO] предложил метод степенных рядов, с помощью которого получаются более точные решения во всем интервале времени. Этот метод легко реализуется на ЭВМ. Метод основан на возможности разложения вязкоупругих функций в степенной ряд по і . С помощью этого метода решен ряд важных прикладных задач механики l2j.
Для решения пространственных задач квазистатической линейной теории термовязкоупругости существует метод аппроксимации А.А.Ильюшина [37]. Сущность метода заключается в сведении вязко-
упругих задач к упругим использованием принципа Вольтерры. Полученное решение упругой задачи представляется рациональной функцией (или аппроксимируется) от коэффициента Пуассона - 1? , пос-ле чего (принимая во внимание принцип Вольтерры) восстанавливается вязкоупругое решение. Решение получается в квадратурах. Если упругая задача решается численными методами, то можно использовать метод численной реализации упругого решения [75J.
Заканчивая обзор литературы, отметим, что количество работ, в которых рассмотрены пространственные задачи теории вязкоупру-гости, невелико.
Целью предлагаемой диссертационной работы является:
формулировка квазистатической задачи вязкоупругих сред в напряжениях;
разработка единой схемы решения пространственных задач линейной теории вязкоупругости в напряжениях на основе применения вариационно-разностного метода и метода численной реализации упругого решения;
исследование напряженно-деформированного состояния в задачах о равновесии параллелепипеда под действием взаимно уравновешенных нагрузок;
учет влияния коэффициента Пауссона на распределение напряжений в пространственных задачах теории упругости;
исследование напряженно-деформированного состояния вязко-упругого параллелепипеда в зависимости от характера изменения внешних нагрузок.
Первая глава посвящена формулировке квазистатической задачи линейной теории вязкоупругости в напряжениях в новой постановке Б.Е.Победри [71] и соответствующему вариационному принципу
[70]. Глава содержит три параграфа. В первом параграфе выводятся исходные уравнения для вязкоупругих сред, С учетом принципа Вольтерры в пространственных задачах линейной теории вязкоупру-гости показано формальное совпадение исходных уравнений с соответствующими уравнениями теории упругости.
Во втором параграфе рассматривается вариационная постановка этих задач на основе нового вариационного принципа. "Функционал энергии", соответствующий новому вариационному принципу, изменен. Показана эквивалентность вариационной постановки для измененного "функционала энергии" с исходной задачей. В качестве области рассматривается параллелепипед.
Многие задачи о равновесии параллелепипеда являются симметричными или антисимметричными, т.е. в этих задачах поле напряжений или перемещений являются четными или нечетными функциями координат х В точках симметрии или антисимметрии, используя соответствующие граничные условия, задачу можно решать в некоторой части параллелепипеда. Эти условия для задачи в перемещениях используются в [25]. В третьем параграфе аналогичные условия определены для напряжений.
Во второй главе рассмотрено решение вариационно-разностным методом (в сочетании с итерационным методом переменных направлений f82] ) некоторых задач о равновесии параллелешшеда под действием взаимно уравновешенных нагрузок в напряжениях.
В первом параграфе рассмотрена дискретизация "функционала энергии" напряжений, где интегралы с помощью кубатурных формул заменены суммами, производные - разностными производными в форме, удобной для получения разностного аналога исходной задачи.
Разностные аналоги исходных уравнений получены вариационно-
разностным методом, т.е. из условия стационарности "функционала энергии" напряжений. Как известно, разностные уравнения, полученные вариационно-разностным методом, в различных точках параллелепипеда (в грани, на ребре и вершинах) будут разными (27 типов). Их вывод (а тем более программирование) достаточно сложен, требует большой машинной памяти и времени. Во втором параграфе с использованием свойства аддитивности функционала дан способ получения этих уравнений из уравнения, записанного в одном из узлов параллелепипеда.
В третьем параграфе предлагается итерационный метод переменных направлений с чебышевским набором итерационных параметров для решения разностных уравнений задачи в напряжениях [71J и обосновывается выбор итерационных параметров.
Решен ряд тестовых задач. По решению этих задач мы можем судить о сходимости итерационного процесса, а также вариационно-разностного метода. Рассмотрена задача М.М.Филоненко-Бородича, проводится сравнение решений этой задачи полученных нами и другими авторами. Предлагаемое решение подтверждает принцип Сен-Ве-нана, т.е. свидетельствует о правильности полученного решения задачи в напряжениях в новой постановке Б.Е.Победри. Решена пространственная задача термоупругости под действием стационарного поля температуры. Решение этой задачи качественно совпадает с решениями других авторов [85,94,95]. Решены и новые задачи, т.е. задачи о равновесии параллелепипеда под действием сосредоточенных сил, расположенных в различных точках противоположных граней. Решения этих задач, когда сосредоточенная сила расположена в центрах граней, качественно совпадает с решениями задачи Бус-синеска [бб], при этом количественные различия существенны.
Третья глава посвящена решению пространственных задач квазистатической теории вязкоупругости в напряжениях.
В первом параграфе рассматривается метод аппроксимации, когда упругая задача решается в напряжениях. В методе аппроксимации участвуют так называемые определяющие функции от времени t . Вид этих функций можно найти экспериментальным путем. Во втором параграфе для ядра А.Р.Ржаницына [8оЗ, применяя метод степенных рядов [12], приводятся аналитические выражения определяющих функций. Исследуются предельные случаи определяющих функций.
В третьем параграфе описан метод численной реализации упругого решения. В этом методе численно решается несколько упругих задач при различных значениях коэффициента Пуассона и система нелинейных алгебраических уравнений. Для системы нелинейных уравнений приводится метод получения точного решения.
В четвертом параграфе исследуется напряженное состояние вязкоупругого параллелепипеда под действием различных внешних нагрузок. Для неоднородного напряженного состояния показана одновременность ползучести и релаксации напряжений. Решение конкретных задач свидетельствует о различии конечного и начального напряженных состояний при стационарных внешних нагрузок, т.е. происходит перераспределение напряжений.
Вариационная постановка для задачи "Б"
Во втором параграфе рассматривается вариационная постановка этих задач на основе нового вариационного принципа. "Функционал энергии", соответствующий новому вариационному принципу, изменен. Показана эквивалентность вариационной постановки для измененного "функционала энергии" с исходной задачей. В качестве области рассматривается параллелепипед.
Многие задачи о равновесии параллелепипеда являются симметричными или антисимметричными, т.е. в этих задачах поле напряжений или перемещений являются четными или нечетными функциями координат х В точках симметрии или антисимметрии, используя соответствующие граничные условия, задачу можно решать в некоторой части параллелепипеда. Эти условия для задачи в перемещениях используются в [25]. В третьем параграфе аналогичные условия определены для напряжений.
Во второй главе рассмотрено решение вариационно-разностным методом (в сочетании с итерационным методом переменных направлений f82] ) некоторых задач о равновесии параллелешшеда под действием взаимно уравновешенных нагрузок в напряжениях.
В первом параграфе рассмотрена дискретизация "функционала энергии" напряжений, где интегралы с помощью кубатурных формул заменены суммами, производные - разностными производными в форме, удобной для получения разностного аналога исходной задачи.
Разностные аналоги исходных уравнений получены вариационно разностным методом, т.е. из условия стационарности "функционала энергии" напряжений. Как известно, разностные уравнения, полученные вариационно-разностным методом, в различных точках параллелепипеда (в грани, на ребре и вершинах) будут разными (27 типов). Их вывод (а тем более программирование) достаточно сложен, требует большой машинной памяти и времени. Во втором параграфе с использованием свойства аддитивности функционала дан способ получения этих уравнений из уравнения, записанного в одном из узлов параллелепипеда.
В третьем параграфе предлагается итерационный метод переменных направлений с чебышевским набором итерационных параметров для решения разностных уравнений задачи в напряжениях [71J и обосновывается выбор итерационных параметров.
Решен ряд тестовых задач. По решению этих задач мы можем судить о сходимости итерационного процесса, а также вариационно-разностного метода. Рассмотрена задача М.М.Филоненко-Бородича, проводится сравнение решений этой задачи полученных нами и другими авторами. Предлагаемое решение подтверждает принцип Сен-Ве-нана, т.е. свидетельствует о правильности полученного решения задачи в напряжениях в новой постановке Б.Е.Победри. Решена пространственная задача термоупругости под действием стационарного поля температуры. Решение этой задачи качественно совпадает с решениями других авторов [85,94,95]. Решены и новые задачи, т.е. задачи о равновесии параллелепипеда под действием сосредоточенных сил, расположенных в различных точках противоположных граней. Решения этих задач, когда сосредоточенная сила расположена в центрах граней, качественно совпадает с решениями задачи Бус-синеска [бб], при этом количественные различия существенны.
Третья глава посвящена решению пространственных задач квазистатической теории вязкоупругости в напряжениях.
В первом параграфе рассматривается метод аппроксимации, когда упругая задача решается в напряжениях. В методе аппроксимации участвуют так называемые определяющие функции от времени t . Вид этих функций можно найти экспериментальным путем. Во втором параграфе для ядра А.Р.Ржаницына [8оЗ, применяя метод степенных рядов [12], приводятся аналитические выражения определяющих функций. Исследуются предельные случаи определяющих функций.
В третьем параграфе описан метод численной реализации упругого решения. В этом методе численно решается несколько упругих задач при различных значениях коэффициента Пуассона и система нелинейных алгебраических уравнений. Для системы нелинейных уравнений приводится метод получения точного решения.
В четвертом параграфе исследуется напряженное состояние вязкоупругого параллелепипеда под действием различных внешних нагрузок. Для неоднородного напряженного состояния показана одновременность ползучести и релаксации напряжений. Решение конкретных задач свидетельствует о различии конечного и начального напряженных состояний при стационарных внешних нагрузок, т.е. происходит перераспределение напряжений.
Об условиях симметрии (антисимметрии) напряжений
Таким образом, имеем положительную определенность Э\ (-Ю при некоторых ограничениях на скалярный оператор g . Для положительной определенности "функционала энергии" напряжений (1.2.II) необходимо, чтобы граничные условия (I.I.I7) задачи "Б" были основными или естественными. Статические граничные условия (I.I.2) для задачи "Б" будут естественными, если их записать в следующем виде: [і(Щ,к +Йуке ft)n -8(й-к n - &)ty][=0,a.2.zi где - малый безразмерный параметр. Соответствующий функционал для задачи (I.2.I), (1.1,9), (1.2.21) будет иметь вид где
Эквивалентность вариационной постановки для функционала (1.2.22) (в исходной задаче (I.2.I), (I.I.9) и (I.2.2I) легко доказывается (аналогично предыдущему). Функционал (1.2.22) является положительно определенным, что следует из квадратичности (1.2.14). Вместе с тем задача (I.2.I), (I.I.9) и (1.2.21) представляет собой обобщение задачи "Б", т.е. решение задачи "Б" получается из решения задачи (I.2.I), (I.I.9) и (1.2.21) при -?0,
Такой способ обобщения исходных краевых задач называется методом "штрафа" [28І. Численные эксперименты показывают, что при решении вариационной задачи "Б" не нарушается устойчивость счетов, что свидетельствует о целесообразности использования функционала (I.2.II).
Задача определения стационарной точки функционала (1.2.II) эквивалентна задаче определения тензор-функции бл , которая для каждой дважды дифференцируемой тензор-функции Йї удовлетворяет уравнению:
Интегральное тождество (1.2.23) определяет обобщенное решение задачи "Б". В дальнейшем всюду имеется в виду именно это решение. В качестве области V" будем рассматривать параллелепипед. Начало декартовой системы координат поместим в одну из вершин параллелепипеда. Длину сторон, параллельных координатным осям у , обозначим через ёк
Многие задачи о равновесии параллелепипеда являются либо симметричными, либо антисимметричными, т.е. в этих задачах решения будут четными или нечетными функциями координат. Например, задача М.М.Филоненко-Бородича Г87] является симметричной относительно точки {i/ ,6i/t) /%. ) Поэтому в этой задаче можно рассмотреть 1/8 часть параллелепипеда с соответствующими граничными условиями в напряжениях в отсеченных гранях. В этих гранях граничные условия в перемещениях используются в [25], тогда как в произвольных симметричных (антисимметричных) задачах эти условия в напряжениях полностью не известны. Рассмотрение только части тела в пространственных задачах при их решении разностными методами улучшает точность, дает экономию машинной памяти и времени.
При решении симметричных (антисимметричных) задач о равновесии параллелепипеда относительно некоторой точки fK (по оси ) получим четное: или нечетное: решение. Для тензор-пункций if , четных по координатным осям, введем следующие обозначения: В тензор-функциях, нечетных по координатным осям, стрелка имеет обратное направление: где лгЛ: - тензор-функция, четная по 2V и нечетная по Xj . б а Идя. тензор-функций, четных (нечетных) по аргументам, выполняется следующее свойство:
Решение разностных уравнений итерационным методом
Тензор-оператор $ должен быть достаточно близким к тензор-оператору Ь и в то же время легко обратимым. Поэтому исполь-зуем факторизованный тензор-оператор: который обращается тремя последовательными прогонками по направ-лениям Х(9 , При этом на обращение тензор-оператора Б затрачивается число арифметических операций, пропорциональное числу узлов сетки. Если оператор выбирать в виде то операторы #. будут положительными, самосопряженными, ВЗаИМ-но перестановочными, вследствие чего В будет положительным, самосопряженным тензором-оператором.
Введя в рассмотрение оператор $-f_ # Д » неравенство можно записать в компактной форме: Выбор оптимального параметра , при котором отношение У,/& максимально, приведен в [82]: при этом
Вариационно-разностный метод построения разностного аналога (2.2.1) задачи "Б" для упругого параллелепипеда и решение соответствующего сеточного уравнения итерационным методом переменных направлений с чебышевским набором параметров (2.3.1),(2.3.7), (2.3.8) реализованы в виде программ на языке ГДР-АЛГОЛ для ЭВМ БЭСМ-6. Решены тестовые, конкретные и новые задачи о равновесии упругого параллелепипеда в напряжениях.
В заключение отметим, что возможен и другой подход, а именно: получить разностный аналог исходной задачи (I.I.I6) и (I.I.I7) непосредственно, затем решать разностные уравнения итерационным методом pi]. Тогда время счета, затрачиваемое на одну итерацию, уменьшается в три раза, по сравнению с вариационно-разностным методом, что было проверено в простейшем примере об одноосном сжатии параллелепипеда. При этом количество итераций увеличивается почти в два раза. Если действующие нагрузки являются неоднородными, то нарушалась сходимость итерационного процесса. Это, возможно, следует из того факта, что граничные условия (I.I.I7) для задачи ИБ" являются не основными, и не естественными. Поэтому в дальнейшем при решении конкретных задач будем использовать вариационно-разностный метод построения разностной схемы.
В качестве тестовых примеров рассматриваются задачи об одноосном сжатии и чистом изгибе параллелепипеда. Эти задачи имеют точные решения соответственно в следующем виде: где нагрузки приложены в противоположных гранях, перпендикулярных оси 1$ ; положим P-L . Из полученного результата следует, что при увеличении количества итераций приближенное решение стремится к точному. При выполнении (2.3.14) абсолютная погрешность не превышает 0,05% (п,- = 0,2, , = I). При этом достаточно 60 итераций. На каждую итерацию затрачивается 6 с.
Вышеприведенные примеры были решены численно, исходя из постановки задачи в перемещениях/72,77J, по программе, составленной в "95j. После решения задачи в перемещениях требуемой точности проведено численное дифференцирование для подсчета напряжений. При таком подходе к решению задачи об одноосном сжатии куба значение тензора напряжений С не отличается от точного. Вместе с тем, значение тензора напряжений (э для задачи о чистом изгибе куба не является точным. Б табл.1 приводится значение бъъ для последней задачи. Как видно, погрешность приближенного решения задачи в перемещениях значительна в граничных точках, особенно в ребрах и вершинах. Разница точности по напряжениям в вышерас-смотренных задачах объясняется тем, что в первом случае Ц(Х) -линейная функция, а во втором Ц(%) - квадратичный полином. При веденные примеры иллюстрируют преимущество задачи в напряжениях (задачи "Бп) по сравнению с задачей в перемещениях (задачи "А") по мере усложнения соответствующих статических граничных условий,
В этой задаче входные данные { , Xi »"YVj Удовлетворяют усло-виям симметрии (I.3.I2) и (1.3.13) по направлениям QCf9 Zit St,, т.е. в плоскостях симметрии ( 9Гс = У ) можно использовать граничные условия (1.3.10). Для задачи (2,4,3) - (2.4.5) итерационный процесс (2.3,1) сходится за 77 итераций (М = 7), причем сходимость существенно зависит от значения в . Численным экспериментом установлено, что при значениях . , близких к (5"u)0 2,)/3 , сходимость наилучшая. По табл.2, в которой приведены значения G oi (o ri,3,3) через каждые 8 итераций, можно судить о сходимости итерационного процесса (2.3.1).
В табл.3 сравниваются точные и приближенные результаты. Из полученных решений следует, что более точные результаты получаются для касательных напряжений 6 А Ы- fiJt во всех узлах совпадают два знака (hA = 0,083). Этот факт можно объяснить тем, что для 5о{.л в соответствующих четырех гранях известны основные граничные условия, а для $ А . основное граничное условие известно только на одной грани (перпендикулярной к Л )» в остальных же гранях выполняются либо естественные граничные условия, либо уравнения равновесия. В этой задаче число сеточных уравнений (2.2.1) - 2058. Как видно из табл.3, абсолютная погрешность не превышает 6 %.
Вышеприведенные тестовые задачи показывают хорошую сходимость итерационного метода (2.3.1) для решения разностного аналога (2.2.1) задачи "Б".
Одной из интересных пространственных задач теории упругости является задача М.М.Филоненко-Бородича о равновесии упругого параллелепипеда под действием колоколообразной нагрузки, приложенной к противоположным граням, т.е.
Определяющие функций метода аппроксимаций
Рассмотрим вязкоупругий параллелепипед под действием стационарных внешних нагрузок. Для решения рассматриваемых задач используется метод численной реализации упругого решения.
Аналитические выражения (3.3.2) - (3.3.8) точного решения системы алгебраических уравнений в каждой точке параллелепипеда запрограммированы на языке ГДР-АЛГОЛ для ЭВМ-6. Правильность формул (3.3.2) - (3.3.8) проверена в тестовых примерах для различных значений N . При решении конкретных задач о равновесии вязкоупругого параллелепипеда в качестве определяющих функций 00(і) и Qbljt) в (3.3.10) используются выражения (3.2.5) и (3.2.17).
В методе численной реализации упругого решения основным моментом является зависимость упругого решения от безразмерного параметра 0i)o В частности, если упругое решение не зависит от Юо » то вязкоупругое решение не отличается от упругого. Так, в задачах об одноосном сжатии и чистом изгибе вязкоупругого параллелепипеда тензор напряжений не меняется по времени (при стационарной нагрузке). В приложении в виде таблиц приводятся значения тензора напряжений для конкретных задач при различных значениях 0)о = 0&е , в= і Л) ч №1 Они используются в качестве исходных данных для решения системы алгебраических уравнений (3.3.1) в каждой точке параллелепипеда.
Рассмотрим задачу о равновесии вязкоупругого параллелепипеда под действием стационарного температурного поля (2.4.ІІ). Из полученных результатов следует, что искомые выражения (3.3.1) для данной задачи имеют вид откуда, принимая во внимание (3.3.10), решение вязкоупругой задачи получим в форме
Данную задачу рассмотрим для конкретных сред, когда параметры , Z 9 4 в (3.2.6) принимают конкретные значения [АІ]. Вязкоупругий параллелепипед изготовлен из а) органического стекла Ь = 0,075, г= 0,025, Д = 0,028 (3.4.3) б) полиэфирной смолы L = 0,025, = 0,00005, Д = 0,021 (3.4.4) в) полипропилена = ОД, Z = 0,003, А = 0,029 (3.4.5) Для этих случаев на рис.10 показано изменение Є$-х в центрах граней параллелепипеда. Как видно, характер изменения напряжений по времени для каждого случая различается в начальных моментах, что связано с различием k . Качественная картина изменения тензора напряжений Q по времени не зависит от координаты X , т.е. во всех точках вязкоупругого параллелепипеда г бъъ З /ZTZ. _.. А і Ґ Рис.10. Случаи: І - а); 2 - б); 3 - в). Цифры у кривых - значения G0 . для 6" имеет место процесс релаксации.
Теперь рассмотрим действие сосредоточенной силы на вязкоуп-ругий параллелепипед. В качестве исходных данных при решении (3.3.1) используются значения из табл.7-Ю, приведенные в приложении. Искомые выражения (3.3.1) для данной задачи будут 6 -di 4 & я + & ттг? о (3-4-6) откуда следует решение вязкоупругой задачи: $c2,th&l2J+C!tCx) i)C() s fatt) (3.4.7)
В этой задаче тензор напряжений G с течением времени іг в раз-личных точках параллелепипеда может принимать возрастающие и убывающие значения. Отметим, что при этом объемный интеграл во времени не меняется
Вместе с тем, напряженное состояние вязкоупругого параллелепипе 72 да в текущих моментах времени отличается от начального напряженного состояния. Это означает, что в вязкоупругом параллелепипеде с течением времени будет происходить перераспределение напряжений (см.рис.II).
На рис.12-14 приводятся графики изменения б соответствен-но для материалов (3.4.3) - (3.4.5) в различных точках куба. Сплошными линиями обозначены изменения б" в центре куба, заштрихованными - в центрах граней.
Результаты решения рассмотренных задач о равновесии вязко-упругого параллелепипеда при стационарных нагрузках показывают, что напряженное состояние "устанавливается" (т.е. CJ по времени изменяется незначительно) при Zt = 20+25,
Представление (3.4.5) не зависит от точки приложения сосредоточенной силы Р на грани вязкоупругого параллелепипеда, но координатные функции dlit) , L-1,%1l v V;/V+/ зависят от нее. Отметим, что аналитические выражения (3.2.5) и (3.2.17) определяющих функций 00(+) и flpft) метода численной реализации упругого решения позволяют достаточно точно описать вязкоупругое поведение тензора напряжений 5 во всем интервале времени - . Полученные решения рассмотренных задач о равновесии вязкоупругого параллелепипеда при стационарных нагрузках свидетельствуют о нестационарности тензора напряжений (5 , а следовательно, особой сложности деформирования вязкоупругих пространственных конструкций.
Рассмотрим задачу о равновесии вязкоупругого параллелепипеда под действием нестационарных взаимноуравновешенных нагрузок в рамках квазистатической теории вязкоупругости.
