Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Метод варьирования по определяемому состоянию и построение итерационной теории изгиба пологих оболочек 14
I. Основные положения метода варьирования по определяемому состоянию (МВОС) 14
2. Уравнения равновесия и соотношения между внутренними силами и деформациями 20
3. Основные уравнения теории пологих оболочек в форме смешанного метода. Краевые условия 31
4. Упрощенный вариант теории изгиба пологих оболочек 55
Глава 2. Некоторые задачи изгиба трансверсально изотропных пологих оболочек 58
5. Действие локальной нагрузки на свободно опертую пологую оболочку
6. Сферический сегмент, под действием нагрузки, распределенной по круговой площадке
Глава 3. Концентрация напряжений в трансверсально изотропных пологих оболочках 130
7. Решение осесимметричной задачи концентрации напряжений 130
8. Концентрация напряжений около свободного круго вого отверстия 138
9. Концентрация напряжений около подкрепленного кругового отверстия 149
Заключение 162
Литература
- Уравнения равновесия и соотношения между внутренними силами и деформациями
- Основные уравнения теории пологих оболочек в форме смешанного метода. Краевые условия
- Сферический сегмент, под действием нагрузки, распределенной по круговой площадке
- Концентрация напряжений около свободного круго вого отверстия
Введение к работе
В Основных направлениях экономического и социального развития СССР на І98І-І985 годы и на период до 1990 года указывается, что развитие науки и техники должно быть в еще большей мере подчинено решению экономических и социальных задач советского общества, содействовать ускорению перевода экономики на путь интенсивного развития, повышению эффективности общественного производст-ва«
В области естественных и технических наук следует сосредоточить усилия на решение таких важных проблем: развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях...
Весомый вклад в осуществление решений ХХУІ съезда КПСС должно внести применение современных достижений механики при проектировании тонкостенных элементов конструкций в виде пластин и оболочек, широко применяемых в различных областях техники.
Возможности применения тонкостенных конструкций значительно расширились вследствие создания и широкого применения композиционных материалов, обладающих целым рядом специфических свойств, которые необходимо учитывать при определении их напряженно-деформированного состояния.
К настоящему времени можно считать завершенным построение теории пластин и оболочек, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява. В достаточной мере разработаны и методы их расчета.
Большой вклад в разработку теории и методов расчета внесли исследования В.З. Власова /19,20 У, А.Л. Гольденвейзера /39-43 7, А.И. Лурье /68 У, Г.Н. Савина /97 У и др. ученых.
Теории, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, дают, как правило, удовлетворительные результаты для достаточно тонких пластин
и оболочек с малым показателем изменяемости напряженного состояния, выполненных из традиционных изотропных материалов.
Широкое внедрение в инженерную практику композиционных материалов, обладающих низкой поперечной сдвиговой жесткостью и высокой податливостью обжатию, обусловило необходимость создания уточненных теорий, свободных от кинематических и статических ограничений, принимаемых классической теорией, или решений задач в трехмерной постановке.
Указанные факторы следует учитывать при расчете нетонких пластин и оболочек, оболочек с быстро изменяющимися параметрами, а также в задачах с повышенными градиентами напряженно-деформированного состояния, вызванных действием локальных нагрузок, наличием концентраторов и т.д.
При решении таких задач с использованием уравнений трехмерной теории упругости возникают значительные трудности. Полученные результаты на основе уравнений трехмерной теории упругости, наряду с прикладным, имеют и теоретическое значение, т.к. позволяют оценить точность различных приближенных теорий, установить область их применения.
Вместе с тем, класс задач, для которых удается построить решения на основе трехмерной теории упругости, весьма ограничен и потому получили широкое развитие различные уточненные теории пластин и оболочек.
Выдающиеся ученые прошлого Коши, Пуассон, Кирхгоф, Ляв, Навье, Леви и др. внесли важный вклад в основы теории упругости, в построение теории пластин и оболочек. Еще в конце прошлого века были сформулированы гипотезы, связанные с учетом деформации поперечного сдвига - сначала для изгиба балок и устойчивости стержней, а в начале нынешнего века - для пластин и оболочек.
Подробный анализ методов построения уточненных теорий пластин
и оболочек приведен в обзорах И.И.Воровича /"28,30 /, А.К.Галинь-ша /"35 7, А.Л.Гольденвейзера /41,42 J, монографии Н.А.Кильчев-ского, Г.А.Издебской, Л.М.Кисилевской /62./, монографии Н.А.Киль-чевского /"61 У. А.Л.Гольденвейзер /"39/ при переходе от трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теорий пластин и оболочек выделяет три группы методов: I) метод гипотез ; 2) метод разложений по толщине ; 3) асимптотические методы.
При построении уточненных теорий с использованием различного рода кинематических и статических гипотез задают (аппроксимируют) законы изменения по толщине пластины или оболочки некоторые компоненты напряженно-деформированного состояния. Остальные компоненты напряженно-деформированного состояния определяют из трехмерных уравнений теории упругости. Разрешающие уравнения выводятся или с помощью вариационных принципов, либо с использованием уравнений трехмерной теории упругости (такие теории часто называют прикладными). Отличительной особенностью теорий, построенных с учетом деформаций поперечного сдвига является повышение порядка основных дифференциальных уравнений (шестой для пластин, десятый для оболочек). Отметим, что имеется значительное количество прикладных теорий, предложенных различными авторами. По этому вопросу в [ ЪЪ J указывается: "... невозможно построить универсальную прикладную теорию, т.е. теорию, которая давала бы одинаково приемлемые результаты для всех характеристик напряженно-деформированного состояния конструкции. Может считаться установленным, что для определенного класса задач нужна определенная теория".
Первым на необходимость учета деформации поперечного сдвига при рассмотрении колебаний балки указал С.П.Тимошенко. В 30-х годах Н.А. Кильчевский / 61 J построил теорию оболочек, свободную от ограничений классической теории, вопросам расчета толстых плит
посвящены труды Б.Г.Галеркина, А.И.Лурье.
Широкое применение и дальнейшее развитие сдвиговая модель С.П.Тимошенко получила в работах Б.Л.Пелеха /77,83/, Б.Л.Пеле-ха, А.А.Сяського /"81 У, А.Н.Гузя, И.С.Чернышенко, Вал. Н. Чехова, Вик. Н. Чехова, К.И.Шнеренко / 70 / и др. авторов.
Как свидетельствуют проведенные исследования, в задачах с большим показателем изменяемости напряженно-деформированного состояния необходим учет не только деформаций поперечного сдвига, но и обжатия.
Рейсснер f I29-I3I J в 40-х годах опубликовал уточненную теорию пластин, которая подробно проанализирована в работе А.Л.Гольденвейзера [ 38 7. В более поздних работах / 91,92 J Рейсснер обобщих свои результаты на оболочки.
Построению уточненных теорий пластин и оболочек и их модификаций посвящены исследования С.А.Амбарцумяна [ 6-8 /. В них не учитывается обжатие и принимается закон изменения поперечных касательных напряжений в виде квадратной параболы. Для определения всех остальных неизвестных функций используются трехмерные уравнения теории упругости. Отметим, что в отличие от классической теории и теории типа Тимошенко закон изменения изгибных напряжений по толщине, как и в некоторых из модификаций теорий Рейсснера, является нелинейным.
Наряду с достоинствами прикладных теорий (сравнительная простота основных уравнений) необходимо отметить и их недостатки, которые заключаются в том, что не представляется возможным повысить точность результатов без изменения принятых гипотез. Вследствие этого развиваются методы приведения трехмерных задач к двумерным, в которых содержится регулярный процесс уточнения решения. При реализации этих методов компоненты напряженно-деформированного состояния раскладываются в бесконечные ряды. Н.А.Кильчевский /бЗУ
с учениками [ 62 7 применили разложение искомых функций в тензорные ряды по поперечной координате. В качестве аппроксимирующих функций принимались ряды Тейлора, а также ряды по функциям, зависящих от толщинной координаты. Разрешающие уравнения получаются путем использования трехмерных уравнений теории упругости или вариационных принципов. В этом направлении выполнены работы Н.А. Кильчевского, Г.А.Издебской, Л.М.Кисилевской /"61, 62 7, И.Н.Векуа /16,17 7» М.В.Бегина, И.Ю.Хомы /9 7, Б.Л. Пелеха, М.А.Сухороль-ского /79,80 7, Э.Г.Сайфулина, А.В.Саченкова /100/, Д.В.Вайн-берга, В.Н.Кислоокого, А.С.Сахарова / 15 7.
Весьма широкое применение и развитие получила теория оболочек и пластин И.Н.Векуа / 16,17 7, в которой искомые величины раскладывались в ряды по полиномам Лежандра. Некоторые задачи на ее основе рассмотрены в работах М.В.Бегина, И.Ю.Хомы /9 7» В.И.Гуляева, В.А.Баженова, П.П.Лизунова /52 7» Г.Н.Савина, И.Ю.Хомы /99/, И.Ю. Хомы / 116 У.
К недостаткам теорий, получаемых методом разложений по толщинной координате, следует отнести увеличение порядка уравнений при повышении их точности.
К третьей группе методов построения уточненных теорий относятся асимптотические методы, среди которых можно выделить два направления. Идея асимптотического метода А.Л.Гольденвейзера заключается в непосредственном интегрировании трехмерных уравнений теории упругости с учетом малости толщины пластины или оболочки, приводящих к итерационному определению трех видов напряженного состояния - внутреннего напряженного состояния, распространяющегося на всю пластину или оболочку, и двух (плоского и антиплоского) быстрозатухающих краевых эффектов. Изложение метода А.Л.Гольденвейзера приводится в / 40-43 7. В этом методе порядок разрешающих
уравнений не увеличивается с повышением точности теории.
Асимптотический метод, отличный от метода, используемого в /" 40-43 У, предложен в работе И.И.Воровича [ 28 У. В методе [ 28 У асимптотическим разложениям подвергаются общие решения уравнений трехмерной теории упругости, получаемые с помощью однородных решений А.И.Лурье. Метод позволяет построить решения как для внутреннего напряженного состояния, так и для краевых эффектов.
В.Л.Бердичевский [ 10 У применил вариационно-асимптотический метод построения уточненных теорий тонкостенных конструкций, который основывается на асимптотическом анализе функционала полной энергии трехмерного тела.
В работе Н.К.Аксентяна, Н.А.Полякова, Ю.А.Устинова /4 У на основе асимптотического метода проведен анализ напряженного состояния плиты в окрестности нагрузки локального типа. В работе Ю.А. Устинова [ 112 У этот метод обобщен на случай замкнутой сферы, нагруженной в полюсах сосредоточенными силами. На основе асимптотического метода рассмотрены некоторые задачи о концентрации напряжений около отверстий в пластинах в работах О.К.Аксентян и А.К.Ко-солапова /"ЗУ, И.И.Воровича и О.С.Малкиной /29 У, Г.В.Соколовской и М.А.Шленева [ 103 У.
Подробный перечень исследований по развитию и применению асимптотических методов приводится в работах А.Л.Гольденвейзера /"40-43 У, И.И.Воровича /28,30 У и обзорной статье А.К.Галиньша /"35 У.
На основании приведенного обзора можно сделать следующие выводы, определяющие выбор темы диссертационной работы:
I. Приближенные теории оболочек, учитывающие все компоненты напряженно-деформированного состояния, развиты недостаточно. Работы в этом направлении следует продолжить с целью разработки эффективных приближенных методов решения задач теории пологих оболочек с
высоким градиентом изменяемости напряженно-деформированного состояния.
2. На основе уточненных теорий рассматривались задачи, как правило, с учетом деформаций поперечного сдвига. Для задач с высоким показателем изменяемости напряженно-деформированного состояния проведенные исследования необходимо продолжить с учетом всех его компонент перемещения и напряжения.
В диссертационной работе рассмотрены некоторые задачи изгиба трансверсально изотропных пологих оболочек на основе уравнений уточненной итерационной теории, полученных на основе метода варьирования по определяемому состоянию, предложенного в работах А.П.Прусакова, А.В.Плеханова /85,89 7.
В первой главе работы на основе метода варьирования по определяемому состоянию получены уравнения равновесия трансверсально изотропной пологой оболочки и зависимости между силовыми и деформационными факторами для і -го напряженного состояния ( [ = О, I, 2...). Эти уравнения учитывают все компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки. Уравнения первого приближения при с /Е =0 совпадают с уравнениями сдвиговой модели Тимошенко и определяют несамоуравновешенное по толщине оболочки напряженное состояние. Последующие напряженные состояния определяют самоуравновешенные по толщине напряженные состояния и уточняют внутреннее напряженное состояние, вихревой погранслой и описывают в соответствующих приближениях потенциальный погранслой. Порядок разрешающих уравнений для первого приближения равен десяти, для последующих не повышается и равен шести.
Оценено влияние на напряженно-деформированное состояние оболочки деформации Е и напряжения &z .
Во второй главе на основе уравнений метода варьирования по определяемому состоянию решены некоторые задачи изгиба трансвер-
сально изотропных пологих оболочек.
Рассмотрена задача изгиба свободно опертой прямоугольной в плане пологой оболочки под действием синусоидальной нагрузки. Оценено влияние симметричных относительно срединной поверхности напряженных состояний ( I = 2, 4), а также деформации и напряжения о _ на общее напряженное состояние для некоторых упругих и геометрических параметров оболочки. Рассмотрена задача о действии на свободно опертую оболочку локальной нагрузки, представленной в виде двойных тригонометрических рядов.
Изложен метод построения решения уравнений МВОС (метода варьирования по определяемому состоянию) в полярной системе координат. На основе полученного решения рассмотрена задача о действии на оболочку в виде сферического сегмента нагрузки, равномерно распределенной по круговой площадке.
В третьей главе рассмотрена задача о концентрации напряжений в сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением и ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями. Коэффициенты концентраций определены для мембранных и изгибных напряжений, что позволило оценить влияние упругогеометрических параметров кольца и оболочки на величину компонент напряженно-деформированного состояния оболочки. Рассмотрено влияние поперечного обжатия на концентрацию напряжений для оболочки со свободным и подкрепленным отверстиями.
В приложениях приведены программы реализации алгоритмов для ЭВМ.
Научная новизна диссертационной работы состоит в дальнейшем развитии метода варьирования по определяемому состоянию и построении итерационной теории изгиба пологих трансверсально изотропных оболочек (для [ -го напряженного состояния) с учетом всех компонент напряженно-деформированного состояния; в получении варианта
итерационной теории, не учитывающей, начиная с [ - 3, деформации 8z и напряжения о . В работе дан способ исключения функций первого приближения из уравнений второго и последующих напряженных состояний. На примерах задач о действии локальной нагрузки, равномерно распределенной по круговой площадке, и задач концентрации напряжений в сферической оболочке, ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями, показано, что с ростом податливости оболочки на сдвиг увеличивается погрешность решения на основе модели С.П.Тимошенко.
Достоверность результатов подтверждалась:
сравнением решений рассмотренных задач с решениями по другим теориям оболочек;
предельным переходом к пластине при рассмотрении задачи о действии поперечной локальной нагрузки и сравнением с решением ее по уравнениям трехмерной теории упругости ;
- сравнением некоторых решений с результатами экспериментов.
Практическая ценность работы заключается в том, что на осно
ве итерационной теории изгиба трансверсально изотропных пологих
оболочек можно определять их напряженно-деформированное состояние для широкого диапазона изменения их упругогеометрических параметров, для задач с большим показателем изменяемости ВДС (действие локальных нагрузок, концентрация напряжений). При этом с повышением точности теории порядок уравнений изгиба для несамоуравнове-шенного напряженного состояния равен десяти, для самоуравновешенных напряженных состояний остается постоянным и равным шести, что значительно упрощает решение задач в высоких приближениях. Результаты решений задач представлены в виде таблиц, графиков и программ для ЭВМ, что позволяет их использовать при проектировании оболо-чечных конструкций различного назначения.
Результаты работы внедрены в ГПЙ "Днепрпроектетальконструк-ция" Госстроя СССР для исследования напряженного состояния купола воздухонагревателя в области ослабления люком.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах /"23-27,86,90 У, доложены на второй Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" в г.Днепропетровске (1981 г.), на Третьей конференции молодых ученых и специалистов по механике композитных материалов в г.Риге (1981 г.), на УІ научной конференции молодых ученых Горьковского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. Н.И.Лобачевского (1981 г.), на У тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций" в г.Ленинграде (1981 г.), на научно-технической конференции "Нелинейные задачи теории пластин и оболочек" в г.Саратове (1981 г.), на республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" в г.Донецке (1983 г.), на семинарах НТО "Стройиндустрия" и на заседаниях кафедры сопротивления материалов в Днепропетровском инженерно-строительном институте в I98I-I983 гг.
На защиту выносятся:
уравнения итерационной теории, полученные МВОС для трансверсально изотропных пологих оболочек, учитывающие все компоненты напряженно-деформированного состояния, порядок которых не зависит от номера напряженного состояния ;
уравнения итерационной теории, не учитывающие влияние деформации и напряжения б (при [ ^ 3) на общее напряженное состояние оболочки;
решение уравнений МВОС в полярной системе координат для трансверсально изотропной пологой оболочки как при отсутствии так и при наличии поперечной нагрузки ;
решение задачи о действии локальной нагрузки на пологую оболочку;
решение задачи о концентрации напряжений в сферической оболочке, нагруженной внутренним давлением и ослабленной круговым свободным и подкрепленным отверстиями.
В заключение автор выражает благодарность А.В.Плеханову за внимание к работе и обсуждение результатов.
Уравнения равновесия и соотношения между внутренними силами и деформациями
Для получения уравнений равновесия, зависимостей между силовыми и деформационными факторами, а также граничных условий в первом приближении функционал Рейсснера будем варьировать по перемещениям и напряжениям первого несамоуравновешенного по толщине напряженного состояния оболочки ( =0,1). При этом полагаем все функции с индексом \ I равными нулю. Считая затем неса-моуравновешенное напряженное состояние известным, для определения самоуравновешенного напряженно-деформированного состояния с индексом г =2, следует варьировать функционал Рейсснера по напряжениям и перемещениям второго напряженного состояния. Для получения разрешающих уравнений \ -го напряженного состояния функционал Рейсснера варьируем по напряжениям и перемещениям \ -го самоуравновешенного напряженного состояния, считая все предыдущие состояния известными. В итоге получаем итерационный процесс, при котором уравнения первого приближения ( \ =0,1) имеют десятый порядок, порядок дифференциальных уравнений, описывающих последующие само-уравновешенные напряженные состояния ( \ =ь 2), равен шести.
Важно отметить, что МВОС можно использовать лишь при наличии самоуравновешенных напряженных состояний ( \ - 2). При этом напряженное состояние оболочки в некотором приближении определяется суммой несамоуравновешенного напряженного состояния ( = 0,1) и соответствующего количества самоуравновешенных напряженных состояний.
В рядах (1.2), аппроксимирующих компоненты напряженно-деформированного состояния, члены с четными \ учитывают симметричные, а с нечетными \ -кососиммтеричные (изгибные) относительно срединной поверхности напряженные состояния оболочки. Вследствие взаимного влияния симметричных и изгибных напряженных состояний разделения разрешающих уравнений на две независимые системы, как
Таким образом, уравнения равновесия первого ( I- =0,1) не-самоуравновешенного напряженного состояния,при Е/Е =0 соответствующие сдвиговой модели С.П.Тимошенко, имеют вид (1.10), а последующие, самоуравновешенные напряженные состояния ( \ ± 2) -(I.II). Зависимости между силовыми и деформационными факторами для первого и последующих состояний определяются выражениями (I.I5), (1.16),(1.17),(1.22),(1.25),(1.33).
Систему уравнений (1.10) приведем к двум совместным уравнениям относительно неизвестных функций F и (J , где F функция усилий. Безмоментные компоненты силовых факторов через функцию усилий выражаются так Г 19 ] .
Уравнения (I.51) представляют систему двух дифференциальных уравнений относительно г и иГ. и отдельного уравнения для определения т , которое определяет вихревой краевой эффект (краевой эффект Рейсснера). Отметим, что из уравнений (I.5I), как частный случай, полагая Е = о , получаются уравнения изгиба трансверсально изотропной о оболочки с учетом деформации поперечного сдвига (модель СП. Тимошенко).
В дальнейшем напряженное состояние, определяемое первыми двумя уравнениями (I.5I), будем называть основным, напряженное состояние, определяемое (1,64)-потенциальным, функциями Ф (І - 1) -вихревым. Общее напряженное состояние будет состоять из основного, потенциального и вихревого напряженных состояний. Основное напряженное состояние распространяется на всю оболочку. Потенциальное напряженное состояние содержит два качественно различных напряженных состояния, одно из них распространяется на всю оболочку (основное потенциальное напряженное состояние), второе локализуется на краях оболочки (потенциальный краевой эффект). Вихревое напряженное состояние, определяемое функциями Т » имеет характер краевого эффекта (вихревой краевой эффект или краевой эффект Рейсснера).
Итак, внутреннее напряженное состояние состоит из основного, определяемого в первом приближении, и основного потенциального состояния, определяемого в последующих приближениях. Напряженное состояние погранслоя состоит из потенциального и вихревого краевых эффектов.
В 2, используя МВОС, получены основные уравнения, зависимости между силовыми и деформационными факторами с учетом всех компонент напряженно-деформированного состояния оболочки. Как отмечалось, порядок уравнений в первом приближении ( I =0,1) равен десяти, в последующих - шести.
Исследования показали, что в ряде случаев можно не учитывать некоторые компоненты напряженно-деформированного состояния -деформацию 8Z и напряжение б .С целью оценки влияния этих факторов на напряженное состояние оболочки были получены, начиная с [ - 3,уравнения, не учитывающие эти компоненты напряженно-деформированного состояния.
Основные уравнения теории пологих оболочек в форме смешанного метода. Краевые условия
Расчеты выполнялись при отношениях Е /Е = I, 4; &/&3= I, 20; к/Л « 1/5 , I/I5; &/R = О, I, 0, 8. В табл. I приведены значение напряжений 6 /fl , в табл.2 - прогибов tf Е/()0к при Х = И=0.5 ;Z=-0.5li; для случая действия локальной нагрузки (2.15) в первом ( [ = 0,1), во втором ( к = 0,1,2), третьем ( \ = 0,1,2,3) и четвертом ( [ =0,1,2,3,4) приближениях с учетом всех компонент напряженно-деформированного состояния оболочки, а также значения этих же величин без учета поперечных деформаций cz и напряжений Dz при [ 3 ( Е =с 0) . При решении задачи принимались d /ft = 0,3 ; W\, и К - нечетные числа, которые изменялись от I до 39, что обеспечивало высокую точность реализации решения на ЭВМ. Вычисления выполнялись по программе, приведенной в приложении № I.
В табл. 3 приведены значения напряжений, в табл. 4 - проги-бов при действии нагрузки Ч, Ч0 t К " М -т- , для чего в (2.15) удерживался только первый член при оС/ ft = I; Х--Ц = 0.5 ft , Z =- к/2 . Для сравнения приведены результаты по [ 8 ].
Приведенные в табл. 1-4 результаты показывают, что для изотропных пологих тонких оболочек как для локальной так и синусоидальной нагрузок можно ограничиться решением в первом приближении.
Увеличение толщины и стрелы подъема оболочки требует решения задачи в более высоких приближениях, причем в большей мере это относится к локальному нагружению.
Увеличение параметров Е/Е, , / , Для всего диапазона изменения относительных толщин и подъемистости оболочки требуют решения в более высоких приближениях. При этом добавки к решению первого приближения (сдвиговая модель С.П.Тимошенко, которая не учитывает поперечного обжатия - Е/Е, =0) увеличиваются с увеличением податливости сдвигу. Для тонких оболочек влияние симмет-ричных самоуравновешенных состояний ( V = 2, = 4) при Е/Е = 1 и G/G-, 1 незначительно и им можно пренебречь. В этом случае можно также пренебречь, начиная с I =3, влиянием поперечных деформаций и напряжений б2 » что приводит к существенному упрощению разрешающих уравнений и зависимостей между силовыми и деформационными факторами.
Полагая \ = 1,3 в (2.5),(2.8) R - , получаем решение задачи об изгибе пластины, которое позволяет сравнить полученное решение на основе уравнений МВОС с точным решением изгиба пластины на основе трехмерных уравнений теории упругости и тем самым оценить сходимость решений МВОС. Для изотропного материала в табл. 5,6 приведены значения прогибов \ІЇ и напряжений б. при Xе jj =0.5 a,z= к/2 . Решение задачи в постановке трехмерной теории упругости приведено в / 125 /.
Как свидетельствуют приведенные в таблицах результаты, метод варьирования по определяемому состоянию обладает хорошей сходимостью как для синусоидальной так и для локальной нагрузок в широких пределах изменения относительной толщины. Так, при h7 = 0,1 уже во втором приближении ( \ =1,3) погрешность при определении напряжений б составляет 0,23 %. Для прогибов результаты практически совпадают. С увеличением толщины k/ft =0,2 погрешность для б1 составляет 2,12 %9 для (дГ - 0,75 %, при k/fy = 0,5 для б погрешность при решении во втором приближении составляет для (АГ - 3,33 %. Как и следовало ожидать, погрешность решения теории пластин Рейсснера, являющейся первым приближением МВОС, увеличивается с увеличением толщины пластины, причем, для локальной нагрузки более значительно, чем для синусоидальной.
Рассмотрим пологую трансверсально изотропную сферическую оболочку. Толщина оболочки к » радиус кривизны - R . Оболочка (рис.2) в полюсе нагружена равномерно распределенной по круглой площадке радиуса Ъ0 нагрузкой 0, . Решение задачи будем строить на основе уравнений метода варьирования по определяемому состоянию в первом, втором и третьем приближениях с учетом всех компонент НДС.
В выражения для определения компонент НДС ( V =2,3) входят функции, являкнциеся решением неоднородного уравнения (2.33). Для упрощения решения задачи функция Vj введена так, что уравнение (2.37) не содержит tf и Г .В связи с этим, выражения для компонент НДС lr -го состояния можно выразить через функции Таким образом, напряженно-деформированное состояние оболочки в I -том ( If л I) приближении определяется выражениями (2.68)--(2.74).
Так как рассматривается задача о действии осесимметричной равномерно распределенной нагрузки, в (2.68)-(2.74) обращаются в нули производные от нагрузки. Для осесимметричной задачи функции У\ - О .С учетом сказанного выражения (2.68)-(2.74) примут видчто соответствует классической теории оболочек, получаем решение, совпадающее с /"120 У.
Выражение для определения їй", может быть получено из (2.83) Для решения задачи в последующих приближениях (I =2,3) используем уравнение (2.37).
Таким образом получены выражения для определения функции усилий F (2.102), tJ (2.83) для первого приближения; для W- -(2.106) при L: I и (2.107) при L: I последующих ( I = 2,3) напряженных состояний для случая действия единичной поперечной нагрузки, действующей по кольцу радиуса Z0 . Другие способы осесиммет-ричного загружения оболочки получаются использованием метода суперпозиции.
Сферический сегмент, под действием нагрузки, распределенной по круговой площадке
При решении задачи в третьем ( \ = 0,1, 3) приближении добавки к решению первого приближения зависят от размеров площадки нагружения и относительной толщины оболочки. Так, для оболочки с k/R = I/IO, Z0/\\ = 0,25 при E/G- = 50 расхождение с первым приближением составляет 35 %, При тех же размерах площадки нагружения, но k/R = І/І00 - 15 %. Для изотропного материала во всем диапазоне изменения относительных толщин оболочки и размеров площадки нагружения добавки не превышают 10 % и они тем меньше, чем меньше толщина оболочки. Рис.5 иллюстрирует изменение прогибов по меридиану оболочки (k/R = 1/50, Ъ /h = 1,5). Сплошные линии соответствуют третьему" приближению МВОС, пунктирная - первому приближению при E/G-= 2,6, штрихпунктирная - первому приближению при Е/&3 = 50. Как показали исследования прогибы в оболочках при Е/&3 = 50 затухают быстрее, чем для изотропной оболочки.
Рис.5, б иллюстрируют изменение соответственно радиальных и окружных силовых факторов. Так, моментные составляющие напряженного состояния при определении их в первом приближении с увеличением E/G-j до 50 уменьшаются в пределах примерно двух радиусов площадки нагружения до 7-Ю %, Как и следовало ожидать, с увеличением податливости поперечному сдвигу добавки к решению первого приближения возрастают. Если для изотропного материала они составляют 3-Ю %, то при Е/б-, = 50 они достигают 15-30 % и они тем больше, чем меньше площадка нагружения и толще оболочка. При l/h = (2,5 - 3) Ъ0/к для изотропной и податливой на сдвиг оболочки происходит изменение знака изгибных радиальных напряжений при Z = п/2 . Тангенциальные составляющие напряженного состояния Ог с увеличением податливости сдвигу возрастают, причем более существенно ближе к центру площадки нагружения. Их возрастание объясняется увеличением прогиба с увеличением податливости сдвигу. Что касается окружных напряжений 0 , то для них сохраняются закономерности напряжений о с той лишь осо бенностью, что добавки к решению первого приближения возрастают и составляют 20-40 %. Напряжения u при увеличении податливости сдвигу увеличиваются на расстоянии не превосходящем двух радиусов площадки нагружения, затем по мере удаления от полюса происходит их уменьшение. На основе проведенных расчетов можно сделать следующий вывод: для изотропных материалов при определении напряжений и перемещений можно ограничиться решением в первом приближении ; с увеличением податливости сдвигу при определении всех компонент НДС необходимо решение задачи в последующих приближениях.
Впервые задачу о концентрации напряжений в сферической оболочке, нагруженной равномерным внутренним давлением и ослабленной круговым отверстием, рассмотрел в рамках классической теории Ю.А. Шевляков [ 121 7, а на основе сдвиговой модели СП. Тимошенко задача рассматривалась в работах А.Н.Гузя и К.И. Шнеренко /47 7, а также Б.Л. Пелеха и А.А. Сяського /81 J и др. Следует отметить, что исследованию напряженно-деформированного состояния в пластинах и оболочках, ослабленных свободными и подкрепленными отверстиями, посвящено значительное количество публикаций, обстоятельные обзоры которых приведены в статьях А.Н.Гузя и И.И.Шне-ренко /49 7» А.Н.Гузя, И.С.Черньппенко, Вал.Н.Чехов, Вик.Н.Чехов, К.И.Шнеренко /50 7, Г.Н.Савина /95 7, Г.Н.Савина, А.С.Космода-мианского, А.Н.Гузя /96 7, Г.Н.Савина и Б.Л.Пелеха /98 7« Наиболее полная библиография по этому вопросу представлена в / 70 /.
Из указанных обзоров следует, что актуальность рассматриваемых задач не уменьшается, и исследования в этом направлении следует продолжать с привлечением уточненных теорий, учитывающих не только деформации поперечного сдвига, но и обжатия.
Концентрация напряжений около свободного круго вого отверстия
Задача о концентрации напряжений около неподкрепленных отверстий рассматривалась достаточно подробно в работах [ 48,76_/. Задача же о концентрации напряжений около подкрепленных отверстий изучена менее подробно, и, что необходимо отметить, либо с позиций классической теории, либо со значительными упрощениями расчетной схемы подкрепляющих элементов /48,70 J на основе уточненной теории оболочек типа С.П.Тимошенко. В настоящей работе эта задача рассматривается с использованием уравнений метода варьирования по определяемому состоянию / 85,89 J,
Рассмотрим трансверсально изотропную сферическую оболочку радиуса R , нагруженную,как и при рассмотрении неподкрепленно-го отверстия, внутренним давлением интенсивности . Оболочка ослаблена круговым отверстием радиуса Z0 , в которое без каких-либо возмущений впаяно кольцо радиуса Z из другого трансверсально изотропного материала. Принимаем, что плоскости изотропии кольца и оболочки совпадают со срединной поверхностью оболочки. Толщина кольца и оболочки л , их кривизны 1/R приняты одинаковыми. Отметим, что линия спая кольца и оболочки проходит по всей толщине k . Отверстие в кольце закрыто крышкой, передающей на кольцо действие только поперечной силы. На "бесконечности" возмущенное состояние отсутствует и имеет место только основное (безмоментное) состояние.
Напряженное состояние оболочки и кольца представим в виде суммы основного, совпадающего с безмоментным состоянием неослабленной оболочки Nz SN и возмущенных состояний, определяемых методом варьирования по определяемому состоянию:
На рис.9 линиями 7, 8 изображены теоретические значения коэффициентов концентрации напряжений К в зависимости от параметра ( , треугольники с точками - экспериментальные результаты работы /69 _/, в которой исследуется влияние подкрепляющих элементов на концентрацию напряжений.
Согласно /69 J Ж s F/& Прямоугольниками с точками на рис.9 показаны результаты, полученные по нашей методике в первом приближении.
Как видим, эти результаты удовлетворительно согласуются с данными эксперимента. Некоторое превышение полученных нами теоретических результатов по сравнению с / 69 J можно объяснить тем, что нами принята менее жесткая расчетная схема подкрепляющего элемента, учитывающая деформации поперечного сдвига (в отличие от модели подкрепляющего элемента, принятого в виде упругой нити в
Полученные результаты показывают, что с увеличением ширины подкрепляющего кольца, как и следовало ожидать, коэффициенты концентрации мембранных и изгибныъ напряжений в оболочке уменьшаются в 1,5-2,7 раза. Поправки, вносимые в решения первого приближения для изотропного материала, незначительны и ими можно пренебречь.
С увеличением податливости сдвигу оболочки поправки к решению первого приближения достигают 60 % и они тем больше, чем меньше отверстие, что свидетельствует о необходимости решения задачи в более высоких приближениях.
Рис.10 иллюстрирует изменение поперечных касательных напряжений о на контуре подкрепленного отверстия в зависимости от податливости материала оболочки сдвигу (кольцо считается изотропным). Сплошные линии - значения б в третьем приближении МВОС, штриховые - первое приближение МВОС для изотроп-ного материала оболочки штрихпунктирные - первое приближение МВОС для материала оболочки с. Как видим, закон изменения 6 zz по толщине оболочки значительно отличается от закона квадратной параболы, и в большей степени для не изотропного материала. Максимальные касательные напряжения бгг , как и по другим теориям (теории С.П.Тимошенко, С.А.Амбарцумяна), возникают
