Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Изгиб пластин сложной формы '. 32
1.1. Исходные соотношения и гипотезы 32
1.2 Метод компенсирующих нагрузок при изгибе пластин 35
1.3 Граничноэлементное представление интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок 37
1.4 Аналитическое вычисление интегралов по элементам контура 42
1.5 Вычисление интегралов по области пластины 49
1.6 Тестовые задачи 53
Глава 2. Контактные задачи взаимодействия пластин с жесткими телами 57
2.1 Методы решения контактных задач 57
2.2 Контактные задачи с известной областью контакта 59
2.3 Контактные задачи с неизвестной областью контакта 70
2.4 Аналитическое решение задачи контакта круглой пластины с жесткой плоскостью 79
2.5 Давление жесткого гладкого штампа на пластину 84
Глава 3. Плоская задача теории упругости 88
3.1 Исходные соотношения 88
3.2 Фундаментальные решения для полуплоскости 90
3.3 Метод компенсирующих нагрузок в плоской задаче теории упругости 94
3.4 Граничноэлементная постановка задач плоской теории упругости 99
3.5 Аналитическое вычисление интегралов по элементам контура 105
3.6 Тестовая задача 113
Глава 4. Плоские контактные задачи теории упругости 116
4.1 Условие контакта при взаимодействии упругого и жесткого тел 116
4.2 Контакт между двумя соприкасающимися цилиндрическими телами. Решение Герца 118
4.3 Сжатие тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями, радиусы которых почти равны (задача И.Я. Штаермана) 121
4.4 Контакт балки с жестким основанием. Решение балочной теории 124
4.5 Контакта балки с жестким основанием. Решение плоской задачи теории упругости 130
4.6 Изгиб балки под действием жесткого криволинейного штампа 134
4.7 Расчет на прочность цилиндрических зубчатых передач 136
Заключение 140
Литература
- Граничноэлементное представление интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок
- Контактные задачи с известной областью контакта
- Метод компенсирующих нагрузок в плоской задаче теории упругости
- Сжатие тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями, радиусы которых почти равны (задача И.Я. Штаермана)
Введение к работе
Конструирование современных машин и механизмов неразрывно связано с проведением многовариантных прочностных расчетов. Высокие требования, предъявляемые к надежности конструкции, в настоящее время могут быть удовлетворены лишь при условии обеспечения процесса проектирования оперативной и достоверной информацией о ее напряженно-деформированном состоянии. Расчетные схемы исследуемых конструкций при этом должны быть максимально приближены к реальным объектам, учитывать сложность их конструктивных форм, структуры, характер нагружения и взаимодействия с окружающей средой, поведение материалов конструкции в экстремальных условиях и т. д.
В машиностроительных конструкциях передача усилий обычно осуществляется посредством контакта отдельных деталей. Однако при рассмотрении узлов, состоящих из системы взаимодействующих тел, явлениями в локальной зоне контакта зачастую пренебрегают. В этом случае, руководствуясь принципом Сен-Венана, проводят упрощение и схематизацию усилий, воспринимаемых отдельными деталями, и приходят к смешанной задаче теории упругости с заданными на границе силами и смещениями. Такие упрощения расчетной схемы приемлемы далеко не всегда. В большинстве реальных конструкций закон распределения истинных контактных давлений оказывает существенное влияние на НДС взаимодействующей пары, а иногда, как, например, во фланцевых соединениях с упругими прокладками, определяет работоспособность конструкции в целом. В таких случаях возникает необходимость решения контактных задач, где размеры и конфигурация площадок контакта, условия взаимодействия на них нелинейно зависят от приложенной нагрузки. Эти параметры являются искомыми и могут быть определены только в процессе решения задачи.
Теория контактного взаимодействия включает в себя различные классы задач [230]. Среди них выделяют статические и квазистатические, где не учитываются эффекты инерции, а также контактные задачи динамики, где рассматриваются различные режимы движения взаимодействующих тел, пульсирующее, ударное нагружение и т. п. В свою очередь эти задачи подразделяются на так называемые нормальные задачи без трения, где рассматриваются идеальные односторонние связи между телами, и задачи с трением. Для ряда случаев процесс трения аппроксимируется полным сцеплением. Различным проблемам контакта посвящена обширная литература, которая обобщена в подробных обзорах [90, 94, 101,170,203].
Исторически первыми, основополагающими работами в теории контактных задач явились исследования Герца, где впервые было получено распределение местных напряжений в районе контакта упругих тел. И хотя постановка задачи предусматривала ряд серьезных допущений, таких, как малость пятна контакта, отсутствие трения, однородность, изотропность и идеальная упругость материала, результаты исследований до сих пор не потеряли своей теоретической и практической ценности.
Значительный вклад в развитие аналитических методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды отечественных ученых — Н.И. Мусхелишвили, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, С.Г. Михлина, Л.А. Галина, И.Я. Штаермана, Д.И. Шермана, В.Л. Рвачева, а также работы зарубежных математиков и механиков К. Каттанео, Н. Губера, Р.Д. Миндлина, А. Синьорини. Разработанные ими методы теории функций комплексной переменной и теории сингулярных интегральных уравнений оказались достаточно эффективными для решения смешанных задач упругости. Однако круг рассмотренных примеров при этом ограничивался в основном классическими смешанными задачами о внедрении жесткого индентора (штампа) в бесконечную или полубесконечную область, цилиндрическом изгибе пластин и стержней, осесимметричном контакте пластин.
В последние годы получили развитие методы решения контактных задач теории пластин и оболочек, связанные с работами Ю.П. Артюхина, И.А. Биргера, М.В.Блоха, Э.И. Григолюка, B.C. Гудрамовича, Б.Я. Кантора, С.Н. Карасева, М.М. Кира, С.А. Кузнецова, В.Н. Максименко, В.П. Ольшанского, Б.Л. Пелеха, Г.Я.Попова, B.C. Саркисяна, М.А.Г. Сильвы, СП. Тимошенко, В.М. Толкачева, М.М. Филоненко-Бородича, В.Ф. Чижова, Ф.Эссенбурга и др. Однако остался неразработанным вопрос о решении контактных задач для тел произвольной формы. Объясняется это тем, что для таких тел не удается получить в аналитическом виде функцию Грина, определяющую ядра интегральных уравнений, на основе которых построен интегральный подход решения контактных задач.
Впервые задача о стесненном изгибе тонкого первоначально прямого стержня вокруг круговой опоры или о распрямлении изогнутого стержня на плоской плите приложенными к концам стержня силами рассмотрена СП. Тимошенко [255]. Решение построено на основе классической теории изгиба балок Бернулли—Эйлера. Был обнаружен скачок в поперечной силе на конце зоны контакта или сосредоточенная сила в составе реакции. После СП. Тимошенко задачу стесненного изгиба стержня вокруг круговой опоры рассмотрел М.М. Филоненко-Бородич [194] на основе теории изгиба балок, учитывающей деформации поперечного сдвига без учета поперечного обжатия. В решении был устранен скачок в поперечной силе и, соответственно, исчезла сосредоточенная сила в реакции. Задача цилиндрического изгиба пластин и изгиба балок жесткими штампами в постановке М.М. Филоненко-Бородича позднее рассматривалась в работах [27, 145, 158, 178]. Изгиб пластин на упругом основании с помощью штампов изучен В.М. Александровым [11], Б.Л. Пелехом и Р.Д. Сысаком [157]. Эффект поперечного обжатия в рамках прикладных теорий пластин принят во внимание в работах Ю.П. Артюхина и СН. Карасева [103], М.В. Блоха [50], М.В. Блоха, Н.Г. Ващенко, А.А. Гинца [51], Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева [91]. Поперечное обжатие в указанных работах учитывалось путем интегрирования по толщине пластины соотношения закона Гука для поперечной деформации. СО. Саркисян [178] решал контактную задачу о цилиндрическом изгибе пластины с использованием теории С.А. Амбарцумяна [13] и теории П. Нагди [244], в которых учитывается как поперечный сдвиг, так и обжатие.
Задача цилиндрического изгиба пластин штампами на основе уравнений плоской теории упругости изучалась Э.И. Григолюком и В.М. Толкачевым [91], С.Н. Карасевым и Ю.Н. Артюхиным [102], СО. Саркисяном [178], Киром и Сильвой [234]. В работе [234] рассмотрена задача цилиндрического изгиба бесконечной пластины периодической системой жестких штампов с круговой формой основания. Решение строится в тригонометрических рядах и сведено к парным уравнениям, которые решаются численно. Эта же задача описана в статье [91]. Решение строилось с помощью функции Грина и сведено к интегральному уравнению с периодическим логарифмическим ядром. Последнее путем обращения интеграла с логарифмическим ядром сведено к уравнению Фредгольма второго рода, которое решалось численно.
Первая работа, в которой рассмотрена осесимметричная контактная задача для круговой пластины, принадлежит К. Гиркману [224]. В ней с позиции теории пластин С. Жермен— Лагранжа—Кирхгофа предполагалось, что первоначально неизогнутая пластина покоится на абсолютно жестком плоском основании и прижимается к основанию равномерно распределенной нагрузкой (вес пластины, либо давление). Под действием прикладываемых к наружному контуру пластины равномерно распределенных по окружности изгибающих моментов некоторая кольцевая зона пластины, примыкающая к контуру, может оторваться от основания. В работе найдена зависимость между величиной зоны отрыва и моментом, а также напряжения в пластине. В этой же работе обсуждается аналогичная задача для балки, а также для круглой пластины, покоящейся первоначально на податливом основании Винклера. Задача Гиркмана рассматривалась Р. Хофманом [226] также на основе теории С. Жермен— Лагранжа—Кирхгофа. Кроме этого, в статье [226] рассмотрена пластина, которая первоначально опирается на круговую жесткую стенку достаточно мелкой цилиндрической полости с плоским дном. Под действием давления или собственного веса пластина прогибается и некоторой центральной зоной может войти в контакт с дном полости. Здесь в отличие от задачи Гиркмана на контуре пластины действуют только поперечные силы и отсутствует изгибающим момент.
Контактная задача изгиба круговой пластины жестким штампом с параболическим основанием на основе теории пластин с учетом поперечного сдвига без учета поперечного обжатия исследована Л. А. Розенбергом [175].
Ряд исследований по контактным задачам для круглых пластин выполнен Ф. Эссенбургом [215, 216, 217] на основе теории пластин, учитывающей деформации поперечного сдвига без поперечного обжатия. В статье [215] рассмотрена жестко защемленная по контуру пластина, изгибаемая жестким штампом с параболической формой основания. Приведены графики изменения величины зоны контакта в зависимости от нагрузки на штамп, от величины смещения штампа, графики распределения напряжений. Все это сравнивается с результатами, вытекающими из теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. В статье [215] рассмотрена упомянутая задача Р. Хофмана [226] (опирание на днище полости). Решение строится по теории типа С. П. Тимошенко с небольшим видоизменением — учитываются нормальные поперечные напряжения при записи соотношений обобщенного закона Гука для изгибающих моментов. Прогиб не изменяется по толщине пластины и, таким образом, обжатием пренебрегается. Показано, что учет поперечного сдвига приводит к значительному изменению нормальных изгибных и касательных напряжений в пластине по сравнению с полученными по теории С. Жермен—Лагранжа— Кирхгофа. Что касается учета нормальных напряжений в формулах для моментов, то этот учет практически не изменяет ни картину, распределения напряжений, ни характер реакции. В работе [217] исследован контакт двух пластин, которые до деформации могут либо прилегать одна к другой, либо находиться на некотором расстоянии. Совместный изгиб двух пластин с позиций теории С. П. Тимошенко проанализирован также Ю. П. Артюхиным и С. Н. Карасевым [28].
Пластины на упругом основании, сжимаемые штампами, рассмотрены в работах В.М. Александрова [11], Б. Лаинга [237], Б.Л. Пелеха и Р.Д. Сысака [156], И. Снеддона [254] и др.
Наибольшие трудности при решении контактных задач вызывает проблема определения границы области контакта. Одномерные контактные задачи для тонкостенных элементов с неизвестной границей взаимодействия имеют решение [14, 90, 91, 121, 203, 168, 25]. Если контакт происходит по неизвестной площади (двумерная задача), то таких исследований немного. Поэтому особый интерес представляют задачи отыскания двумерных областей контакта. Основополагающей здесь является работа Л.А. Галина [84], в которой рассмотрена задача о давлении жесткого эллипсоида на защемленную круглую пластинку. Размеры области контакта удалось найти путем сведения задачи к обратной краевой задаче для одной аналитической функции. Автор показал, что давление, передаваемое штампом на пластинку, будет распределено по эллиптической границе области контакта, а внутри ее будет равно нулю.
При исследовании взаимодействия штампов с неклассическими областями типа слоя, полосы, клина было установлено существование некоторого числа безразмерных параметров - геометрического или механического происхождения, которые полностью определяют задачу. Например, при рассмотрении взаимодействия плоского в плане осесимметричного штампа с упругим слоем таким параметром служит отношение толщины последнего к размеру контактной площадки, равному диаметру штампа. Решения таких задач удалось получить в виде разложений (преимущественно асимптотических) в определенной области изменения параметра.
Основная идея предложенного метода состоит в переходе от известного решения классической задачи о действии штампа на упругое полупространство к приближенному решению соответствующей задачи о внедрении того же штампа в упругое тело конечных размеров. Существенным преимуществом такого подхода является получение решения в зоне действия штампа в простой аналитической форме, удобной для инженерных расчетов.
Асимптотический метод и его модификации для решения различных смешанных задач был использован в работах И.И. Воровича [7, 77], В.М. Александрова [4, 5, 9], В.А. Бабешко [43, 44] и др.
Наряду с асимптотическими существует ряд методов сведения смешанной краевой задачи к бесконечным системам алгебраических уравнений. Например, в работах В.М. Александрова [8, 10], Г.Я. Попова [166,167], В.Л. Рвачева [172, 173] и др. широко используется метод ортогональных полиномов, с помощью которого производится разложение известной функции, входящей в правую часть интегрального уравнения. Регулярная часть ядра интегрального уравнения 1 рода также раскладывается в двойной ряд, после чего уравнение сводится к алгебраической системе. В работах Б.Л. Абрамяна [2], А.А. Баблояна [45,46] и др. предложены методы непосредственного сведения краевой задачи к бесконечной алгебраической системе, минуя интегральное уравнение.
Иногда интегральные уравнения смешанных задач удается привести к конечным алгебраическим системам. Это обычно достигается путем аппроксимации регулярной части их ядер вырожденными [6] либо применением метода коллокаций [76, 100], где контактное давление представляется определенным числом параметров, для определения которых используются условия связи, налагаемые на перемещения в конечном числе точек области контакта.
Широкое распространение получили методы, основанные на сведении смешанной краевой задачи к некоторым парным или тройным функциональным (интегральным) уравнениям (или рядам), которые в итоге преобразуются в интегральное уравнение Фредгольма II рода, решаемое одним из приближенных методов. Группа данных методов представлена в работах Ю.Н. Кузьмина и Я.С. Уфлянда [127,128], А. А. Баблояна [1], А. Ф. Улитко [192] и др.
Поиск подходов к решению контактных задач для штампа полигональной формы в плане [171] привел к разработке нового математического подхода — метода . -функций, который соединил в себе алгебраические методы математики с классическими методами математической физики. На базе аппарата -функций В.Л. Рвачевым [174] на аналитическом уровне разработан структурный метод решения краевых задач для областей сложной формы со сложным характером краевых условий. Характерной особенностью данного подхода является построение координатных последовательностей для сложных областей в рамках элементарных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям вариационной задачи, рассматриваемой методами типа Бубнова — Галеркина.
Необходимо отметить, что при решении смешанных задач указанной группой методов снимается ряд упрощающих предположений классической теории. В частности, рассматриваются контактные задачи для неоднородных, анизотропных тел, в ряде случаев производится учет трения и микроструктуры контактирующих поверхностей. Существенно и то, что исследуемая область контактного взаимодействия для задач такого типа соизмерима с характерными размерами тел [75, 170, 182, 184].
Однако все указанные решения получены для частных, относительно простых областей, реологических свойств материала и условий контактирования. При этом решение каждой отдельной задачи сопряжено с большими, а порой и непреодолимыми трудностями математического характера, что требует высокой квалификации исполнителя. Поэтому в широкой инженерной практике распространение получила лишь малая часть аналитических методов, наиболее простых с вычислительной точки зрения.
Наряду с классическими постановками контактной задачи существует ее вариационная формулировка, впервые предложенная в работе А. Синьорини [253]. Для ее применения к рассматриваемым задачам строится функционал, достигающий минимума на решении исходной задачи и, кроме того, имеющий граничные условия в качестве необходимых условий экстремума.
На поверхности раздела контактирующих тел вводятся связи специального вида, способные передавать только односторонние сжимающие усилия в направлении общей нормали к контактирующим поверхностям. Взаимные перемещения соприкасающихся тел в том же направлении не могут быть произвольными и ограничиваются условиями непроникания контактирующих тел друг в друга.
В вариационной постановке решение контактной задачи без трения сводится к проблеме минимизации функционала полной энергии системы с линейными ограничениями в виде неравенств. С точки зрения методов оптимизации — это задача квадратичного программирования и для ее решения приемлемы известные процедуры градиентного спуска [72, 74], возможных направлений [126], множителей Лагранжа [73, 114, 164] и др.
Идея использования подходов квадратичного программирования для решения контактных задач впервые была предложена в работах В.М. Фридмана и B.C. Черниной [195, 196]. В дальнейшем вопросы применения квадратичного программирования изучались в работах [97, ПО—112, 114, 246, 247]. Такой подход к решению контактных задач тесно связан с использованием современных численных методов, таких, как вариационно-разностный [99, 164] метод и МКЭ [124, 125, 177, 219, 221], которые базируются на эквивалентных вариационных формулировках задачи. Причем большинство авторов отдает предпочтение МКЭ благодаря его высокой универсальности и эффективности.
В настоящее время известен ряд подходов к решению контактной задачи методом конечных элементов. Наиболее прост с алгоритмической точки зрения прием, основанный на вычислении коэффициентов взаимного влияния точек контактирующих тел в нормальном и касательном направлениях. С помощью метода сил для составления равновесия каждого тела в отдельности находится распределение контактных напряжений. Полученные значения напряжений используются в качестве граничных условий для повторного вычисления по определению напряженного состояния контактирующей пары. Границы контактных площадок и участки проскальзывания находятся итерационным путем в процессе решения задачи. Такой подход использовался в работах [95, 250, 258]. Отметим, что наряду с относительной простотой такой метод не лишен недостатков, основным из которых является необходимость решения задачи на этапе определения коэффициентов податливости 2п раз, где п — число точек контакта.
Существует еще одна группа методов решения контактной задачи МКЭ, где условия взаимодействия между телами моделируются с помощью соотношений физически нелинейных задач механики твердого тела. Первыми работами, в которых механика контакта рассматривалась по аналогии с пластическим течением, явились исследования Р. Михайловского, 3. Мроза и В. Фридриксона. В работе [240] соотношения между силами и перемещениями в зоне контакта представлены в виде ассоциированного и неассоциированного законов скольжения. Несколько иной подход продемонстрирован в работах [221, 222], где использована аналогия между законами пластического течения и законами движения жестких или упругих блоков с сухим трением. Дальнейшее развитие этого направления представлено в работах А. Г. Кузьменко [124, 125], где проводится аналогия механики контактной среды с законами пластичности и ползучести. Достоинства такого подхода особенно ярко проявляются при решении упругопластических контактных задач.
Другой путь к решению контактных задач МКЭ открывается с использованием специальных стыковочных элементов, моделирующих диаграмму сила — смещения на поверхностях раздела взаимодействующих тел. Идея применения элементов особого типа принадлежит, очевидно, авторам работы [225], которые для моделирования трещин и швов горных пород применили разрывные контактные элементы. Дальнейшее усовершенствование контактных элементов проводилось в работах [52, 138, 155, 227, 252] и др.
Авторы работ [147, 212, 219, 242, 256] предлагают решение контактной задачи без использования каких-либо аналогий и стыковочных элементов. В отличие от предыдущего подхода, где контактные элементы объединяют взаимодействующие тела в одну систему, для работ данного направления характерно раздельное рассмотрение контактирующих тел. При этом общая система пополняется определенным количеством уравнений совместности, кратным числу контактирующих узлов. Для решения задачи обычно применяется пошаговый процесс нагружения [219, 223] с уточнением граничных условий на каждом шаге итерационным методом. Приращения нагрузки выбираются достаточно малыми [147] для сохранения линейной связи между перемещениями и деформациями в пределах каждого шага по нагрузке. Такой подход требует многократного решения краевой задачи, а также построения сложных итерационных алгоритмов корректировки граничных условий.
В ряде работ [176,177] для решения контактной задачи МКЭ предлагается использовать релаксационную процедуру. В этом случае континуальное тело предполагается состоящим из системы материальных точек, соединенных между собой упругими связями. Деформация в таком теле распространяется от ее источников равномерно во все стороны путем смещения материальных точек, что приводит к последовательному деформированию связей.
Наиболее современное состояние проблем, возникающих при конечно-элементной реализации приведено в книгах Wriggers Р. [257](2002) и Laursen Р. [238](2002). При решении контактной задачи методом конечных элементов основная сложность заключается в выполнении условий непроникновения, а также дополнительных кинематических условий в случае задачи с трением на общей неизвестной границе. Для выполнения условий контакта при конечно-элементной реализации получили распространения следующие методы: метод множителей Лагранжа, метод штрафа (penalty method), обобщенный метод множителей Лагранжа (Augmented Lagrange Method), прямое решение вариационной задачи ограничениями типа неравенств методами квадратичного программирования. Метод множителей Лагранжа основан на введении на неизвестной границе контакта дополнительных неизвестных, являющимися с механической точки зрения контактными усилиями. Основным неудобством является необходимость решения итерационной задачи с дополнительными неизвестными на контактной границе, что приводит к изменению глобальной матрицы жесткости и операциями с ней на глобальном уровне. Метод штрафа заключается в определении контактных усилий из дополнительно определяемых гипотез, включающих обычно параметр штрафа, при стремлении которого к бесконечности контактные условия выполняются асимптотически точно. Преимущество метода штрафа заключается в том, что дополнительные условия для контактных условий вводятся локально на элементе, что приводит к возможности построения, так называемых, контактных элементов локально. К недостаткам метода можно отнести сложность сходимости при больших значениях параметра штрафа. Объединяющим началом всех трех алгоритмов является алгоритм поиска зоны контакта. Таким стал, обоснованный с точки зрения решения экстремальных задач с ограничениями типа неравенств проекционный алгоритм, получивший название «алгоритм проекции ближайшей точки» (the closest point projection algorithm). Данный алгоритм позволяет построить контактные элементы, основанные на подходе, получившим название «мастер-слуга» («master-slave»).
В последнее время возросло количество публикаций, посвященных применению МГИУ к решению контактных задач. По мнению специалистов, использование МГИУ, обладающего высокой точностью результатов в зонах больших градиентов напряжений, простотой реализации и малым объемом входной информации, дает ряд преимуществ по сравнению с аналогичными схемами МКЭ. Наиболее применяемым для решения контактных задач является прямой вариант МГИУ, где решением являются неизвестные граничные значения переменных, выраженные в естественных физических величинах.
Постановки и подходы к решению контактных задач методом граничных интегральных уравнений во многом сходны со схемами МКЭ. В частности, в работе [209] развиваются идеи использования последовательных и параллельных блочных методов по аналогии с МКЭ для задач контакта нескольких тел. Решены задачи анализа напряжений в резьбовых соединениях с использованием постоянных, линейных и квадратичных граничных элементов. Внимания заслуживает исследование особенностей использования МГИУ для осесимметричных задач при наличии угловых точек на границе. Приведенные расчеты демонстрируют высокую эффективность предлагаемого подхода.
На основе вариационных неравенств и предложенных автором работы [248] полувариационных неравенств приводится постановка задач механики с односторонними ограничениями и ее решение непрямым МГИУ. В силу одностороннего характера взаимодействий вместо интегральных уравнений автором получены интегральные включения.
В работах [206,207] излагаются основные концепции, лежащие в основе формулировок и методов решения плоских контактных задач статической теории упругости. Описаны две методики решения плоских контактных задач, одна из которых применима при отсутствии сил трения, а другая — при их наличии. Рассматривается контакт двух тел, причем каждое из них независимо. Учет условий контакта позволяет связать две системы уравнений в одну. Для нахождения зоны контакта нагрузка прикладывается малыми приращениями, после каждого из которых зоны сцепления и проскальзывания определяются итерационным способом. В созданном программном обеспечении использовались простейшие кусочно-постоянные граничные элементы. Предложенный алгоритм демонстрировался на ряде конкретных задач. Однако рассмотрение контакта только двух тел и использование граничных элементов низкого порядка аппроксимации вводит существенные ограничения на класс и точность рассматриваемых прикладных задач, на возможность расчета НДС различных реальных конструкций.
В более поздних работах Т. Андерсона [208] описывается комплекс программ, реализованный на основе МГИУ для решения плоских контактных задач с учетом трения и без него. Решены задачи о давлении ролика на упругое основание, о контакте круглого диска с границей отверстия в бесконечной области, взаимодействии стальной заклепки с алюминиевым бесконечным листом.
Постановка задачи и возможности реализации МГИУ для решения смешанных и контактных двумерных задач рассмотрены в работе [211]. Особое внимание уделено перспективам применения МГИУ для решения контактных задач.
В работе [239] рассмотрены некоторые приложения МГИУ применительно к решению плоских задач теории упругости. Решена задача о контакте полукруга с полуплоскостью и контакте двух полукругов. Полученные результаты хорошо согласуются с решением по теории Герца.
Используя метод функций Грина и функций влияния, автор работы [259] строит систему МГИУ для решения плоских контактных задач теории упругости с учетом характерных вариантов граничных условий и условий взаимодействия в зоне контакта упругих тел (сцепление, проскальзывание, проскальзывание с трением). Для модельной задачи о контакте двух прямоугольников, в одном из которых имеется длинная неглубокая ступенчатая выемка, даются сравнения решений МГИУ, МКЭ и экспериментальных данных, подчеркивающие точность результатов, полученных МГИУ.
На примере контакта двух квадратных свободно опертых пластин, одна из которых нагружена поперечным давлением [210], рассмотрена задача контакта для изгиба пластин. Зона контакта определяется с помощью итерационной процедуры.
Методом граничных интегральных уравнений решен также ряд задач о внедрении штампов в упругие тела [104, 105, 162, 197]. В работах [104, 105] рассматриваются осесимметричные и плоские задачи о воздействии штампов на балочную плиту и о системе заглубленных штампов. Получены и реализованы системы граничных интегральных уравнений для задач такого класса. Решение сводится к реализации смешанной задачи теории упругости. С использованием методов последовательных приближений для решения граничного интегрального уравнения в работах [108, 167] решен ряд прикладных задач оценки прочности деталей прокатных станов. Подробно рассмотрены вопросы численной реализации для случая второй основной задачи теории упругости. Исследованы задачи о прессовой посадке составных цилиндров с учетом температурного воздействия, волочении проволоки из квадратного прута и т. д. Решение поставленных задач сводится к рассмотрению последовательности смешанных задач теории упругости.
В работе [115] задача о соприкосновении абсолютно жесткого гладкого штампа с изотропным упругим телом ставится как задача нелинейного программирования. Определение зоны контакта, контактного давления и НДС вытекает из минимизации соответствующего функционала. Решение поставленной задачи проводится методом потенциала.
Необходимо отметить, что применение численных методов, таких, как МГИУ и МКЭ, к решению контактных задач существенно расширило спектр их приложений. Благодаря индифферентности методов к описанию геометрии объектов и условий нагружения появилась возможность решения реальных, практически важных задач для резьбовых, фланцевых и замковых соединений различных типов, разнообразных узлов трения деталей машин, технологических посадок и других конструкций.
В большинстве публикаций, посвященных решению прикладных контактных задач, используется двумерная постановка краевой задачи, в которой НДС объектов определяется соотношениями осесимметричной либо плоской задачи теории упругости.
Необходимо отметить, что известные алгоритмы прикладных контактных задач не являются достаточно универсальными, поскольку ориентированы на решение задач определенного класса. Попытки построения более общих алгоритмов решения такого рода задач приводят, как правило, к наложению друг на друга ряда итерационных процедур. В этом случае вычислительная схема задачи становится чрезвычайно громоздкой, что отражается на сходимости процесса решения и затратах машинного времени. Поэтому поиск простых и эффективных методов решения контактных задач с учетом сложной геометрии, условий нагружения и характера деформирования по-прежнему остается актуальной задачей механики твердого деформируемого тела.
В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений или методы потенциала. Они основаны на преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений в систему граничных интегральных уравнений (ГИУ), из решения которой определяются некоторые определенные на границе функции плотности.
Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы.
Своими корнями метод ГИУ уходит в классический математический анализ. В XIX в. были развиты понятия о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [220].
До конца 50-х годов методы граничных интегральных уравнений интенсивно развивались математиками. Большой вклад в развитие этих методов был сделан Михлиным С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвили Н.И., Смирновым В.И. и др. [141, 142,129,130,143,144,180,181].
Купрадзе В.Д. введены векторные интегральные уравнения методов потенциала в задачах теории упругости [129, 130]. Он развил приближенные методы решения статических задач для однородных тел и динамических задач для кусочно-однородных тел. Сформулировал связь между перемещениями и напряжениями на границе среды, используя распределения поверхностной плотности источников.
В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорошо разработана и изложена в известных монографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Пресдорфа 3., Чибриковой Л.И., Партона В.З., Перлина П.И., Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Барчуладзе Т.В. и др. [141,142, 85, 58, 169, 199, 153, 154, 130].
Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для приложений первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.
В этом направлении выполнены фундаментальные работы Иванова В.В., Корнейчука А.А., Белоцерковского СМ., Лифанова И.К., Габдулхаева Б.Г., БойковаИ.В., Плещинского Н.Б. [98, 106, 48, 78, 53, 54, 55, 149, 160,161].
Методы решения граничных задач с помощью разложений по фундаментальным функциям разработаны в монографиях Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Барчуладзе Т.Г., Башелейшвили М.О., Алексидзе М.А. [12, 130]. Идейно эти методы близки к методам ГИУ, где уравнения рассматриваются, как правило, на основной поверхности граничной задачи. Это приводит к интегральным уравнениям второго рода, но при этом ядро интегрального уравнения становится сингулярным. Решения граничных задач методом разложения по фундаментальным решениям приводит к интегральным уравнениям первого рода.
В работах Гавели СП., Мельникова Ю.А. [79-82] строятся интегральные представления, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких неклассических потенциальных представлений принадлежит В.Д. Купрадзе и применялась СП. Гавелей, Ю.А. Мельниковым и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.
Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В.З., Перлина П.И., Верюжского Ю.В., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К., Уокера С, Бенерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С, Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж., Вроубела Л., Громадки Т., Лей Ч., Кузнецова СВ., Лившица И.М., Розенцвейга Л.Н. и др [153, 154, 71, 191, 49, 56, 57, 120, 214, 185, 122, 123, 92, 131].
Метод граничных элементов (МГЭ) - это метод численного решения граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и заданием аппроксимации функций плотности на границе. Интерес исследователей к применению МГЭ связан с несомненными достоинствами этого метода: снижением на единицу размерности рассматриваемой задачи, аналитическим описанием особенностей решения, высокой точностью результатов решения, практическим отсутствием ограничений на геометрию контура.
Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ, основаный на формуле Сомилиана, полученной из теоремы о взаимности работ, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический смысл. В теории оболочек такими величинами являются перемещения и усилия.
В непрямом МГЭ ядра интегральных уравнений представляют фундаментальное решение и его производные, распределенные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности не являются решениями задачи на границе, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов.
Непрямой МГЭ в задачах изгиба пластин известен как метод компенсирующих нагрузок. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распределенных по границе области, или по некоторому контуру, внутри которого находится область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом направлении выполнены Кореневым Б.Г. и дальнейшее развитие этот метод получил в работах Толкачева В.М., Артюхина Ю.П., Грибова А.П., Венцеля Э.С., Крамина Т.В., Крамина М.В и др. [188-190, 16-23, 26, 29-33, 59-70,47, 88, 89].
Монография Верюжского Ю.В. [71] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных тел при статическом нагружении. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации плотностей выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Интегральные соотношения записаны на основе формулы Сомилиана. Предложена методика вычисления эластопотенциалов в виде замкнутых аналитических выражений для кусочно-линейных и сплаиновых аппроксимаций функций плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.
Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок для пластин сложной формы являются работы Толкачева В.М. [188-190], где особое внимание уделено теоретическому анализу. В частности, в связанной с контуром системе координат получены аналитические формулы для ядер интегральных уравнений, дан анализ поведения ядер в особых точках, определены предельные значения основных потенциалов, предложены способы устранения неинтегрируемых особенностей.
Работы Венцеля Э.С. и его соавторов [59-70] посвящены применению метода компенсирующих нагрузок к решению линейных задач теории упругости, пластин и пологих сферических оболочек. В некоторых из них компенсирующие плотности располагаются вне контура пластины, что приводит к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Наиболее полно их исследования опубликованы в монографии [63].
Проблеме построения и анализа фундаментальных решений теории пластин и оболочек посвящены работы Лукасевича С, Ольшанского В.П., Шевченко В.П., Белоносова СМ., Артюхина Ю.П., Гурьянова И.Н. [132, 150, 151, 200, 198,47, 34, 93].
В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, локальные температурные источники и т.д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [198, 200] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.
Работа Серазутдинова М.Н., Банцарева К.Н. [179] посвящена синтезу МГЭ и вариационного подхода при анализе пластин и оболочек. Отмечается, что сочетание достоинств этих методов позволяет снять ограничения, присущие каждому из них в отдельности.
Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [87, 18, 22, 23, 65, 139, 146, 152] и др.
В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных нагружениях; рассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотности; дан анализ ядер интегральных уравнений; разработаны методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения.
Пластины произвольного очертания при различных граничных условиях рассматриваются также в [249]. Изучается интегральная формулировка МГЭ, связанная- с интегральными представлениями для величин прогибов и изгибающих моментов. В [260] применяются прямолинейные граничные элементы с 9 степенями свободы. Сходимость исследуется на примере свободно опертой пластины. Проведено сопоставление с конечноэлементным решением для защемленной пластинки и прямоугольной пластины с квадратным отверстием.
Двумерным задачам теории упругости посвящены работы: [68], [86], [96], [109], [118], [119], [137], [148], [159].
В 1985 году применение МГЭ к решению плоской задаче теории упругости предложено У. Фишером и СИ. Богомоловым в статье [193].
Решение плоской задачи теории упругости МГЭ изложено в [120]. Особое место в ней уделено практическим задачам. Здесь иллюстрируются обобщения МГЭ и технические приемы для увеличения точности решения, построение вычислительных программ; проведено сравнение полученных результатов с аналитическим решением для тестовых задач.
Работа [68] посвящена исследованию плоской задачи теории упругости, однако только в случае разрывных и сосредоточенных нагрузок на границе области. Рассматривается вторая граничная задача в области с границей для системы уравнений Ляме в перемещения (плоская деформация). Основные теоретические и практические результаты применения МКН в граничных задачах обобщены в [69]. Рассмотрены и изучены вопросы, связанные с особенностями построения и исследования приближенных решений интегральных уравнений первого рода в качестве рабочего аппарата МКН. Это позволяет существенно расширить применение упомянутых интегральных уравнений. Разработана численная реализация метода, приведены некоторые численные результаты.
В работе [109] метод граничных интегральных уравнений используется для решения плоской задачи для тел с угловыми точками. Методы построения функций Грина и численной реализации метода граничных интегральных уравнений для уравнений равновесия плоской задачи теории упругости с использованием метода функции напряжений Эри рассматриваются в [261]. Показано применение численных методов решения граничных интегральных уравнений для задач теории упругости; анализа концентрации напряжений при растяжении прямоугольной пластинки с прямолинейной трещиной. Численные решения задач о плоском напряженном состоянии МГЭ представлены в [96], [243].
Прямой МГЭ в применении к плоским задачам теории упругости излагается в [228]; проводится сравнение результатов с данными, полученными МКЭ. Способ определения коэффициента интенсивности напряжений в плоской задаче предлагается в [159]. Применяется теорема взаимности к исходному решению краевой задачи теории упругости для области, ограниченной контуром с угловой точкой, и к вспомогательному решению, удовлетворяющему однородным краевым условиям. Последние имеют специальную, неинтегрируемую особенность в напряжениях. Выражение для коэффициента интенсивности напряжений получается в виде интеграла по контуру от произведения заданного на границе вектора напряжений на смещения вспомогательного решения.
В [117] предложен свой алгоритм численной реализации МГЭ для решения плоской задачи. В рамках прямого подхода и традиционной коллокационной схемы рассматриваются неизопараметрические элементы - линейные по геометрии с квадратичной аппроксимацией граничных неизвестных (в диагональных блоках, однако, - элементы изопараметрические). При определении остальных интегралов производится учет кривизны элемента с помощью разложения в ряд Якобиана преобразования от локальной системы координат к глобальной. В результате удается найти все интегралы по граничному элементу аналитически. В [118] приведены формулы для вычисления напряжений.
В [245] проводится анализ двумерных задач теории упругости. Обсуждаются основы МГЭ, демонстрируются его преимущества при решении двумерных граничных задач. Вариант МГЭ для ПНС при использовании функции Эри представлен в [232]. Здесь, кроме этого, обсуждается алгоритм дискретизации. Граничные интегральные уравнения относительно производных и их применение в плоской задаче теории потенциала рассматриваются в [213]. В качестве неизвестной функции выступает тангенциальная производная потенциала
В [148] приведены плоские граничные интегральные уравнения, в которых в качестве неизвестных выступает вектор напряжения на границе и производные от перемещения на контуре. Такиіе неизвестные позволяют находить тангенциальные граничные напряжения без численного дифференцирования перемещений на границе, что повышает точность. Приводятся результаты численного решения ряда модельных задач. Граничные интегральные уравнения плоской задачи в [140] получены при использовании потенциалов двойного слоя первого и второго рода. Эти уравнения, кроме членов, возникших в соответствующих граничных интегральных уравнениях для задачи с заданными граничными смещениями, содержат также операторы Вольтерра и конечномерные операторы. Представлены асимптотики решений граничных интегральных уравнений около угловых точек границы и указана их связь с соответствующими асимптотиками решения исходной краевой задачи. Конформным и неконформным граничным элементам в плоской задаче теории потенциала посвящена статья [119]. В [233] предлагается новый полигональный элемент (в виде ломаной линии) для решения двумерных задач эластостатики. Разработана техника аналитического интегрирования, позволяющая преодолеть трудности, связанные с сингулярностями. При использовании этого метода напряжения на границе могут быть получены без численного интегрирования. Для оценки точности предлагаемого элемента вычислены значения коэффициента концентрации напряжений для изгибаемой пластины с глубоким вырезом гиперболической формы. Отмечается более высокая эффективность этого элемента по сравнению с линейным элементом.
В [241] приводятся результаты апробирования на ПЭВМ программы решения краевой задачи теории упругости (ПНС) при варьировании количества элементов разбиения границы. Цель исследования - установить допустимый предел точности, позволяющий получать адекватные решения при использовании постоянных элементов разбиения для задач анализа ПНС при растяжении и продольном изгибе консольно заделанной пластины с полукруглыми вырезами и без них и провести анализ погрешности МГЭ в двумерной задаче теории упругости, связанной с погрешностью вычисления интегралов и погрешностью дискретизации. Отмечено, что погрешность особенно велика при вычислении напряжений вблизи границы. Предложен способ снижения погрешности.
Методика оценки погрешности решения МГЭ, связанной с особенностями дискретизации исследуемых областей предложена в [251]. Обсуждается метод, позволяющий рекомендовать оптимальную сетку разбиения. В [183] предлагается использовать самоуравновешенные фундаментальные решения, состоящие из двух равных по величине, но противоположных по направлению сил, одна из которых приложена в узле граничного элемента, а другая - на некотором расстоянии от нее в точке, расположенной на примыкающем к узлу граничном элементе, то есть обе силы направляются вдоль граничного элемента.
Развитие МГЭ для решения плоской задачи теории упругости дано в [86]. Исследуемая область может быть многосвязной с произвольным контуром при произвольном нагружении, включая концентрированные силы. На основе МГЭ разработана методика, алгоритм и программа, позволяющая разделить на подобласти с различными упругими и геометрическими характеристиками исследуемый объект. Затруднения вызывают угловые точки. Даны численные результаты, отражающие эффективность метода. Проблеме подразделения на подобласти посвящена работа [231]. Представление в теории потенциала и линейной теории упругости решения уравнений через решение и его производные на границе (при помощи фундаментального решения уравнений) используется для получения конечных соотношений для некоторых представителей решения и его производных в подобластях, на которые предварительно подразделена область определения решения. В работе даются оценки погрешности предлагаемого метода решения граничных задач, вводится регуляризующий параметр для невязок на границах подобластей. Приведены примеры двумерных задач, в которых область подразделена на две простейшие. МГЭ для подобластей рассматривается и в [235]. Представление Кельвина для перемещений статической линейной теории упругости путем подразделения области на подходящие части сводится к матричному уравнению для некоторых представителей перемещений и усилий в подобластях. Рассмотрены примеры плоской задачи теории упругости для областей, составленных из усеченных секторов и прямоугольников.
В [218] дается аналитический обзор применения МГЭ в теории упругости. Выделяется его преимущества: простота дискретизации, сокращение ненужной вычислительной информации, времени счета и машиной памяти, высокая точность определения напряжений и деформаций во внутренних точках, возможность рассмотрения бесконечных и полубесконечных тел. Из недостатков отмечаются: малое число разработанных коммерческих программных продуктов, необходимость высокого уровня подготовки пользователя, трудности решения задач с существенно вытянутыми областями, а также нелинейных задач. Проводится сравнение МКЭ и МКР.
В работе [116] также подчеркиваются преимущества МГЭ по сравнению с МКЭ. По мере увеличения размерности задач, совокупные расходы для схем МГЭ, связанные с ЭВМ, увеличиваются значительно менее резко, чем для схем МКЭ. Как только получены решения на границе, могут быть вычислены значения переменных, описывающих решение, в любых внутренних точках. Отмечается, что граничное интегральное уравнение, является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах. Погрешности могут быть очень малыми, если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной. Кроме того, численное интегрирование всегда есть более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование.
Из приведенного обзора видно, что современные исследования в области решения контактных задач проводятся в основном в вариационной постановке с использованием метода конечных элементов. Интегральная постановка в решении контактных задач, с которой и получили начало исследования в этой области, ограничивается только задачами для тел с достаточно простой геометрией. Это объясняется трудностью построения функции Грина, которая выступает ядром в разрешающих интегральных уравнениях, для тел сложной формы. Использование метода граничных элементов позволяет построить функцию Грина в численно-аналитическом виде для тел произвольной формы. Отсюда становится актуальным развить МГЭ на решение контактных задач.
Решение большинства прикладных контактных задач, возникающих при прочностных расчетах элементов машиностроительных конструкций, выполнено по теории Герца, которая имеет некоторые ограничения на геометрию и способ взаимодействия тел. С развитием современных численных методов решения контактных задач становится актуальным исследовать применимость решений теории Герца.
Таким образом, перед автором диссертации были поставлены следующие цели:
- применить метод граничных интегральных уравнений к решению контактных задач для тел сложной геометрии путем построения численно-аналитической функции Грина;
- разработать и применить алгоритм на основе НМГЭ решения двумерных контактных задач для пластин произвольной формы с неизвестной областью контакта;
- принимая во внимание, что контактные нагрузки имеют распределение по границам тел, построить интегральные уравнения НМГЭ с фундаментальным решением для полуплоскости решения плоских задач теории упругости для тел сложной формы с замкнутым контуром;
- разработать и применить алгоритм на основе НМГЭ решения плоских контактных задач в отказе от положений теории Герца, сравнить полученные решения с решением по теории Герца.
Диссертация, в которой реализованы поставленные цели, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 261 наименования.
В главе 1 описывается алгоритм применения НМГЭ к решению задачи изгиба пластин произвольного контура в линейной постановке. Приводятся интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для различных способов закрепления пластин. Получены аналитические формулы интегрирования по элементам контура и по внутренней области пластины. На примерах решений тестовых задач показана эффективность используемого метода.
В главе 2 описываются разработанные алгоритмы на основе НМГЭ решения задач передачи усилий на пластины посредством жестких накладок и нелинейной проблемы поиска границ контакта при различных условиях взаимодействия пластины сложной формы с жесткими телами без учета касательного сцепления. Показано, что при взаимодействии пластин с гладкими жесткими телами, для малых областей контакта максимальные контактные напряжения приходятся на точку первоначального касания, а при развитии области контакта происходит перестройка распределения контактных напряжений с концентрацией их к границе контакта. Разобрана методика задания начальных приближений итерационного процесса для неизвестной границы контакта: на начальном этапе при малых областях контакта начальное приближение можно задавать в виде круга, а для развитых областей задачу следует решать пошагово по нагружению, беря в качестве начального приближения решение предыдущего шага. Построено аналитическое решение задачи контакта круглой пластины с жесткой преградой, позволяющее проверить алгоритмы поиска границы контакта.
В главе 3 описывается алгоритм применения НМГЭ к решению плоских задач теории упругости на основе фундаментального решения для полуплоскости. Получены аналитические формулы интегрирования по граничным элементам с линейной аппроксимацией компенсирующих нагрузок.
В главе 4 описываются разработанные алгоритмы на основе НМГЭ решения контактных задач взаимодействия плоских упругого и жесткого тел при неизвестной области контакта. Построены аналитические решение задачи контакта полосы с жестким плоским основанием, позволяющие проверить алгоритмы поиска границы контакта. Решен ряд плоских контактных задач и дано сравнение с решениями по теории Герца. Представлен пример определения напряженного состояния зубьев в цилиндрических зубчатых передачах. На защиту выносится: Алгоритм решения двумерных контактных задач взаимодействия пластин с жесткими телами при неизвестной области контакта на основе НМГЭ. - Результаты решения ряда контактных задач передачи усилий на пластины посредством жестких накладок и штампов.
Интегральные уравнения НМГЭ с фундаментальным решением для полуплоскости решения плоских задач теории упругости для тел сложной формы с замкнутым контуром.
Алгоритм решения плоских негерцевских контактных задач взаимодействия упругих и жестких тел при неизвестной области контакта на основе НМГЭ.
Результаты решения негерцевских задач контакта плоских упругих и жестких тел, сравнение их с решением по теории Герца.
Результаты расчета на прочность эвольвентного зубчатого зацепления.
Достоверность результатов и выводов, сформулированных в диссертационной работе, обеспечивается строгими математическими постановками рассматриваемых задач и обоснованном применении математических методов; совпадением численных результатов ряда тестовых задач с аналитическими, опубликованными в литературе или полученными в диссертации; сходимостью приближенных решений, полученных НМГЭ, при увеличении числа элементов на контуре; тщательностью отладки и тестирования программ для ЭВМ.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35-42], [133-136] и доложены на
- Международной конференции, посвященной 100-летию проф. Х.М. Муштари, 90-летию проф. К.З. Галимова и 80-летию проф. М.С. Корнишина, Казань, 2000 г.
- XIII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции, Казань, 2001 г.
- XI и XIII Межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 2001, 2003 гг.
- VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", Казань, 2002 г.
- XX Международной конференции по теории оболочек и пластин, Н. Новгород, 2002 г.
- городском научно-методическом семинаре по теоретической механике, Казань, 2002 г.
- Республиканском конкурсе научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии имени Н.И. Лобачевского, Казань, 2002.
- XX Международной конференции. "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов". С.Петербург, 2003 г.
- Конференции "Наука и практика. Диалоги нового века", Наб. Челны, 2003.
- Всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения", Казань, 2001, 2003 гг.
Работа выполнена на кафедре теоретической механики Казанского государственного университета за время обучения в аспирантуре.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору Юрию Павловичу Артюхину за постоянную помощь и внимание при выполнении работы, участникам научного семинара при кафедре теоретической механики КГУ и лаборатории механики оболочек НИИММ им. Н.Г. Чеботарева, внимание которых способствовало успешному выполнению диссертационной работы.
Граничноэлементное представление интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок
Полученная после подстановки выражения прогиба (1.2.1) в краевые условия (1.1.5)-(1.1.7) на контуре пластины система интегральных уравнений в общем случае не имеет аналитического решения. Реализация численного подхода решения состоит из следующих этапов.
1) Граница /"разбивается на ряд элементов, внутри которых предполагается, что потенциал изменяется в соответствии с выбранными интерполирующими функциями. Эти элементы можно образовать с помощью прямых линий, круговых дуг, парабол и т.п.
2) Для отдельных узловых точек, распределенных внутри каждого элемента, записывается дискретная форма уравнения, связывающего значение потенциала в каждом узле. Для постоянного элемента узлы располагаются в середине каждого сегмента, а функции p(Q и m(Q полагаются постоянными в области элемента и равны их значениям в узле.
3) Интегралы по каждому элементу вычисляются аналитически или с помощью одной из схем численного интегрирования.
4) Интегральные уравнения, полученные из граничных условий, сводятся к системе линейных алгебраических уравнений.
5) Значения функции w в области Q и на контуре .Г определяются соотношением (1.2.2).
Метод компенсирующих нагрузок с таким способом решения разрешающей системы интегральных уравнений носит название непрямой формулировки метода граничных уравнений (НМГЭ). Он состоит в представлении неизвестной функции в виде потенциалов, обусловленных непрерывно распределенной на границе Г функцией плотности источников при условии, что такое представление функции удовлетворяет граничным условиям для w. В результате этот подход приводит к формулировке интегральных уравнений, где неизвестными являются функции плотности источников. Эти уравнения можно представлять в дискретной форме и решать численно, а значения функции w во внутренних точках можно вычислить путем интегрирования, используя найденные значения на границе.
Рассмотрим условие жесткой заделки границы пластины. Разрешающая система уравнений в этом случае строится путем подстановки интегрального выражения прогиба (1.2.2) в соотношения (1.1.5), после чего примет вид где t(x,y) - точки) на границе пластины Г, n(Q и n{t) - внешние нормальные направления к границе пластины в точках С, и t соответственно. Следует отметить, что (1.3.1) и (1.3.2) являются точным представлением решения задачи. При численном решении любая ошибка в конечном результате получается исключительно из-за дискретизации интегралов и последующего решения алгебраических уравнений.
Здесь интегрирование ведется в пределах у - того элемента, tt - точка наблюдения (і - l,2,...N). Интегралы в записанных дискретных соотношениях устанавливают связь между z -тым узлом иу-тым элементом, по длине которого берется интеграл. Для разбиения контура будем использовать постоянные граничные элементы, т.е. считаем, что неизвестные компенсирующие нагрузки p(Q и m(Q имеют постоянные значения в области каждого элемента. Узловая точка лежит на середине граничного элемента (рис. 1.2). Направление обхода по границе примем таким, что область пластины находится слева от границы.
Контактные задачи с известной областью контакта
Для круглой пластины защемленной по контуру, изгибающейся под действием равномерно распределенной нагрузки, решение последнего уравнения с учетом граничных условий есть
Для некоторых форм пластины удается построить аналитическое решение. На ряде примеров сравниваются аналитические результаты с решением НМГЭ.
Если действующая на круглую пластину нагрузка распределена по ней симметрично относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей через ее центр, то изогнутая поверхность, в которую обратится срединная плоскость пластины, получится симметричной. Напряженное состояние пластины в этом случае также будет осесимметричным. Тогда при решении такой задачи НМГЭ компенсирующие нагрузка и момент по границе, а следовательно и в пределах каждого граничного элемента, будут иметь постоянное значение. То есть используемый постоянный граничный элемент точно удовлетворяет распределению компенсирующих нагрузки и момента, но приближенно описывает геометрию контура пластины.
Аналитическое решение поставленной осесимметричной задачи строится с учетом того, что во всех точках равноудаленных от центра пластины, прогибы будут одинаковы, и потому можно удовлетвориться рассмотрением их лишь в одном диаметральном сечении, проходя щем через ось симметрии [186]. В осесимметричном случае дифференциальное уравнения изгиба, аналогичное (1.1.4), имеет вид d ( dw г
Для круглой пластины защемленной по контуру, изгибающейся под действием равномерно распределенной нагрузки, решение последнего уравнения с учетом граничных условий есть
В таблице 1.1 приведено сравнение точного и приближенного решений в некоторых точках для жестко защемленной пластины под действием равномерно распределенной нагрузки. Для исследования сходимости метода численное решение МГЭ проведено при разных разбиениях контура пластины. Радиус пластины а = 1м, толщина h = 0.05м, нагрузка # = 1МПа, свойства материала:
Обратная ситуация возникает при рассмотрении задач изгиба прямоугольных пластин. В этом случае используемый постоянный граничный элемент точно описывает геометрию границы пластины, но приближенно аппроксимирует распределение компенсирующих нагрузок. В качестве примера рассмотрим прямоугольную пластину, два противоположных края которой шарнирно оперты, два других защемлены. Систему координат поместим в одном из углов пластины. Положим, что края JC = 0 и х = а свободно оперты, а края у = 0 и у = Ь -защемлены. Аналитическое решение в данном случае проводится с использованием тригонометрических рядов. Прогиб пластины под любой поперечной нагрузкой можно получить, решая сначала задачу в том предположении, что все ее края свободно оперты, а затем прилагая по краям у - 0 и у = Ь изгибающие моменты такой величины, чтобы устранить повороты, производимые на этих краях действием поперечной нагрузки. Такой подход к решению имеет аналогию с методом компенсирующих нагрузок. Численное решение задачи проводилось при 44 граничных элементах для различных Ь, а = 1м, /г = 0.05м, q = \MYla, = 2-10пПа, v = 0.3 (Таблица 1.2). Значения аналитического решения приведены с использованием табличных данных из [186]. Из таблицы 1.2 видно, что уже при 44 элементах различие между численным решением МГЭ и аналитическим решением составляет менее 1%.
Как было указано в 1.5, учет распределенной поперечной нагрузки может быть выполнен в интегральном виде (1.5.1)-(1.5.3) или в виде частного решения (1.5.4). На примере защемленных по контуру эллиптических пластинок с разными отношениями осей рассмотрим решение при обоих подходах.
Метод компенсирующих нагрузок в плоской задаче теории упругости
Рассмотрим плоское тело произвольной формы, ограниченное контуром Г. Введем глобальные неподвижные оси хь у\ и локальную подвижную систему координат х, у, связанную с границей Г. Ось х локальной системы направлена внутрь тела перпендикулярно касательной к границе, а ось у образует с ней правую систему координат (рис. 3.3). Обход локальной системы производим так, что материал тела находится справа от границы.
Если в каждой точке С, границы Г будут действовать распределенные нормальная p(Q и касательная T(Q нагрузки, то во внутренней точке z возникнут перемещения в глобальной системе координат
Если требуется вычислить напряжения и перемещения не в глобальной, а в некоторой новой системе координат, то в матрицах преобразований (3.3.2) и (3.3.4) следует ф заменить на угол между осью х подвижной системы и аналогичной осью новой системы координат. Так, например, для вычисления нормальных и касательных напряжений и перемещений в точке t на границе тела, угол ф заменяем на угол между направлениями нормалей к границе в точках t и С, y(t,Q = (p(t)- P(Q- (3.3.5)
Рассмотрим условия на границе для перемещений. Пусть точка z стремится к границе Г и переходит в точку t. Тогда эту точку можно рассматривать как произвольную точку границы и для нее определить граничные условия:
Для нормального и касательного напряжений на контуре появляется внеинтегральный член, а оставшийся интеграл не содержит особенности (особая точка выколота) и понимается как главное значение. Этот результат имеет ясный механический смысл: нормальное и касательное напряжения в точке t складывается из компенсирующих нагрузок в этой точке (внеинтегральный член) и суммарного вклада от компенсирующих напряжений по контуру Г без учета точки t.
Разобьем границу Г плоского упругого тела на ряд прямолинейных элементов, внутри которых полагается, что компенсирующие нагрузки нормальная p(Q и касательная x(Q изменяются по линейному закону. Узлы граничного элемента располагаем на концах. Локальную систему координат элемента помещаем в узел с меньшим номером так, что ось х направлена внутрь тела, а ось у проходит по элементу в сторону второго узла.
Рассмотрим некоторый і - тый граничный элемент длиной Li, в узлах которого неизвестные компенсирующие нормальную и касательную нагрузки обозначим: р\ и т[ в узле с началом системы координат элемента, р 2 и т 2 - во втором узле (рис. 3.4, 3.5). В пределах этого элемента компенсирующие нагрузки изменяются по законам А(4) = р[ + (-Рг - P\)t, ЪШ = + т(4 - )Ь (3.4.1) где , - координата элемента по оси у (0 Ц).
Определим тензор напряжений в локальной системе /-того элемента в некоторой точке (х,у) от действия нормальной нагрузки р((%) по этому элементу. Используя фундаментальное решение (3.2.4), по принципу суперпозиции получим выражения компонент тензора напряжений:
Сжатие тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями, радиусы которых почти равны (задача И.Я. Штаермана)
Предположим, что в точке контакта тела имеют цилиндрические поверхности с радиусами i?j и R2. Если тела сжимаются вдоль нормали силой Р, в точке контакта возникнут местные деформации, приводящие к контакту по некоторой малой площадке. Аналитическое решение Герца построено в предположении, что если радиусы кривизны R} и R2 очень велики по сравнению с размерами контактной площадки, можно при исследовании контакта применить результаты, полученные для полубесконечных тел. В этом случае поверхность контакта нагруженных цилиндров считают плоской, а каждый из цилиндров рассматривают как упругое полупространство, т.е. решают плоскую задачу о соприкосновении двух упругих полуплоскостей.
Примем точку первоначального контакта за начало координат. Будем предполагать, что функции /(х) и f2{x), определяющие конфигурацию сжимаемых тел, имеют непрерывные первые и вторые производные в окрестности точки х = 0. Направляя ось х по общей касательной к кривым, ограничивающим упругие тела в плоскости ху, будем иметь /i (0) = /2 (0) = 0. Сумму вторых производных /ДО) + /2"(0) будем предполагать отличной от нуля. Решение Герца, определяющее по сжимающей силе F полуширину участка контакта а и давление р(х) в области контакта, имеет вид
Рассмотрим задачу о давлении жесткого кругового цилиндра радиуса R2 на упругий круговой цилиндр радиуса Rlt закрепленный в центре (рис.4.1), в решении МГЭ. В неизвестной области контакта (ха,хь) должны быть выполнены контактные условия (4.1.16)-(4.1.18), на остальной части границы упругого цилиндра полагаем граничные условия свободного края, в центре цилиндра обнуляем перемещения в направлении действия силы. Подставляя дискретные выражения напряжений и перемещений (3.4.8) в указанные выше условия получим систему нелинейных алгебраических уравнений. Нелинейно в эти уравнения входят только два параметра, определяющие неизвестную границу области контакта, ха и хь. Выделим из этой системы два уравнения (условия контакта (4.1.16), записанные для узлов, лежащих на границе области контакта) в виде fi(xa,xb) = 0, f2(xa,xb) = 0. (4.2.3)
Оставшиеся уравнения образуют линейную алгебраическую систему, из которой при заданных ха и хъ могут быть найдены компенсирующие нагрузки. Система (4.2.3) решается методом Ньютона с заданием начальных значений ха и хь. Якобиан при решении строится численно с варьированием сетки так, что два узла ее лежат на границе области контакта. Для уменьшения времени счета следует на границе тела выделить сегмент, внутри которого будет находиться область контакта, и варьировать сетку только в пределах этого сегмента. После того как будут получены значения границы области контакта ха и хь и определены компенсирующие нагрузки соответствующие этим значениям, контактные напряжения строятся как нормальные напряжения в упругом теле на границе в области контакта.
Пусть оба цилиндра имеют одинаковый радиус Rx=R2-\ м. Свойства материала упругого цилиндра: =2-1011 Па, v} = 0.3. В решении Герца (4.2.1) параметр, определяющий свойства материала жесткого тела, следует положить 92 = 0. Решение проводилось путем задания осадки жесткого цилиндра а, а действующая при этом сила F вычислялась интегрированием проекций контактных напряжений. В таблице 4.1 приведено решение МГЭ (граница упругого цилиндра разбивалась на 360 элементов) и сравнение его с решением Герца: полуширина области контакта а и максимальное контактное напряжение
Рассмотрим теперь задачу о сжатии двух тел, из которых одно имеет форму кругового цилиндра, а другое имеет круговой вырез (рис.4.3). Обозначим через гх и г2 радиусы цилиндрических поверхностей, ограничивающих сжимаемые тела. Если радиусы весьма мало отличаются один от другого, то при сжатии тел контакт между их поверхностями может распространиться на значительную часть этих поверхностей, и таким образом, решение Герца, изложенное в 4.2, будет уже не применимо.
Поставленная задача решена И.Я. Штаерманом для общего случая, когда оба тела являются упругими [203]. Пусть А\ и А2 две точки упругих тел, соприкасающиеся при сжатии (рис.4.3, 4.4), А - точка первоначального касания сжимаемых тел, ср - угол АОхАх. Пусть далее АХА{ и А2А 2 - упругие перемещения точек Ах и А2. Тогда отрезок А[А2 будет представлять собой сближение упругих тел при сжатии, вследствие которого и осуществляется контакт между точками А\ и А2. При этом Рис.4.3 предполагается, что равнодействующие сжимающих сил проходят через точку первоначального касания сжимаемых тел А и центры Ох и 02, так что относительного поворота сжимаемых тел не происходит и возникает лишь относительное поступательное перемещение тел при сжатии. Обозначим далее через иХг и и2г нормальные упругие перемещения точек Ах и А2 .(отрезки АХА[ и А2А2 на рис.4.4) и через а - сближение тел при сжатии. Ввиду малости упругих перемещений можно отрезок ВС на рис.4.4 принять равным отрезку А2А2 . Тогда из рис.4.4 найдем:
