Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор некоторых теорий анизотропных тел 12
1.1.Некоторые аналитические исследования и преобразования основных разрешающих уравнений теории упругости анизотропных тел 12
1.2.Основные направления расчёта анизотропных пластин 14
1.3. Некоторые вариационные принципы и их особенности в теории пластин 21
2. Упругая анизотропия в модифицированных пространствах 25
2.1.Основные определяющие соотношения теории упругости анизотропных сред в физическом и модифицированных пространствах 25
2.2. Основные уравнения осесимметричных задач трансверсально изотропных тел в физическом и эталонном пространствах 34
2.3. Графическое представление упругих свойств анизотропных материалов в физическом и эталонном пространствах 38
3. Устойчивость трансверсально изотропных круглых пластин в эталонном пространстве 42
3.1.Уточнённая теория 42
3.2. Устойчивость шарнирно опёртой по контуру круглой пластины под действием равномерного радиального сжатия 51
3.3.Устойчивость защемлённой по контуру круглой пластины под действием равномерного радиального сжатия 54
4. Устойчивость ортотропных прямоугольных пластин в эталонном пространстве 56
4.1.Уточнённая теория 56
4.2.Техническая теория 85
4.3. Устойчивость шарнирно опёртой прямоугольной пластины сжатой в одном направлении 86
Заключение 98
Литература
Приложения 121
- Некоторые вариационные принципы и их особенности в теории пластин
- Основные уравнения осесимметричных задач трансверсально изотропных тел в физическом и эталонном пространствах
- Устойчивость шарнирно опёртой по контуру круглой пластины под действием равномерного радиального сжатия
- Устойчивость шарнирно опёртой прямоугольной пластины сжатой в одном направлении
Введение к работе
Пластинчатые системы широко применяются в строительном деле, машиностроении, гидротехнике, судо- и авиастроении, дорожном деле и в других областях техники. Пластины являются одним из наиболее распространнённых монтажных элементов сборных пространственных конструкций типа оболочек, складок, Байтовых покрытий и других систем.
Применение пластин в качестве конструктивных элементов сопряжено с необходимостью их расчёта на прочность с целью обоснованного выбора толщины и других параметров, от которых зависят величины напряжений и деформаций. Использование новых высокопрочных материалов обусловило широкое распространение легких, изящных и экономичных тонкостенных конструкций в современной технике. Для таких конструкций роль расчётов на устойчивость в общем цикле прочностных расчётов существенно возросла, ибо разрушение тонкостенной конструкции чаще всего связано с потерей её общей устойчивости или устойчивости отдельных элементов.
Большинство из таких современных высокопрочных материалов обладают анизотропными свойствами. Слово «анизотропия» происходит от греческих: «анизос» - неравный и «тропос» - направление и означает неодинаковость свойств материала в различных структурных направлениях.
Анизотропия является следствием упорядоченности в расположении структурных элементов и их ориентации.
При рассмотрении анизотропии в первом приближении не учитываются неоднородность строения и изменчивость свойств материала.
Из реальных анизотропных тел в первую очередь следует назвать монокристаллы различных веществ, а также стержни и пластинки, вырезанные из монокрислаллов, поэтому большие успехи в изучении физических свойств анизотропных тел накопились в кристаллофизике.
Доказано, например, что существует всего 32 вида геометрической симметрии кристаллов, объединённых в семь сингоний. Что касается классов упругой симметрии, то их значительно меньше, так как одна и та же форма уравнений обобщённого закона Гука имеет место для нескольких видов геометрической симметрии. Симметрия кристаллических тел является следствием их правильного внутреннего строения, поэтому не только форма, но и свойства кристаллов симметричны. Широко применяемое в кристаллофизике учение о симметрии открывает новые возможности и для исследования анизотропии механических свойств композитов. Такие материалы состоят из армирующих элементов высокой прочности и жёсткости и из менее прочного и жёсткого связующего, обеспечивающего монолитность композиции. Армированный материал можно с некоторым приближением рассматривать как однородную и анизотропную среду, обладающую, в зависимости от структуры армирования, тем или иным видом структурной симметрии которая влечёт за собой упругую симметрию.
Ортотропные (ортогонально анизотропные) материалы характеризуются наличием в каждом элементарном объёме трёх взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии свойств. К таким материалам относятся композиционные материалы (КМ), армированные последовательно чередующимися слоями волокон в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис. В 1.1.) и тканями с продольно-поперечной укладкой, а также слоистые композиционные материалы, армированные в двух неортогональных направлениях xj и х'2 с правильным чередованием слоев. В последнем случае плоскостями симметрии являются срединная плоскость листа и две плоскости, перпендикулярные ей и проходящие через биссектрисы углов, образованных осями х',
Рис. В1.1. Схематическое изображение и х' структуры ортотропного КМ, армированного чередующимися слоями волокон в двух взаимно перпендикулярных направлениях
Слоистые композиционные материалы со звездной укладкой волокон в смежных слоях (рис. В 1.2.) обладают изотропией свойств в плоскости листа в том случае, если угол между направлениями укладки волокон в смежных слоях меньше 72. Например, в слоистых композиционных материалах, у ко торых волокна в смежных слоях образуют друг с другом равные углы - 60, 45 или 30, все направления в плоскости листа эквивалентны друг другу. Та кие материалы, имеющие плоскость изотропии и перпендикулярную ей ось симметрии бесконечного порядка, называются трансверсально-изотропными (или транстропными). К трансверсально-
Рис. В 1.2. Схема ориентации слоях изотропным относятся одноосно- армированные, или однонаправленные, композиционные материалы, в которых оси волокна ориентированы в одном направлении. В этом лярна направлению укладки волокон х (рис. В1.3.).
Рис. В 1.3. Схематическое изображение однонаправленного КМ
Одноосно-армированные композиционные материалы называют также композиционными материалами с ориентацией волокон 1:0; двухосно-армированные слоистые композиционные материалы с взаимно перпендикулярной укладкой волокон обозначают дробями 1:1, 1:2, 1:3, 3:4 и т. д., в которых цифры указывают отношение числа слоев в продольном и поперечном направлениях. Трехосно-армированные ориентированные композиционные материалы получают армированием матриц волокнами в трех взаимно перпендикулярных направ- лениях или объемными тканями. ' Композиционные материалы: Справочник / Под ред. Карниноса Д.М. - Киев: Наукова думка, 1985.-с. 19-20.
7 К ортотропным материалам также относят древесину в малых объёмах с незначительной кривизной годичных слоев, однако в стволе древесину следует рассматривать как материал с криволинейной (цилиндрической) анизотропией. В изделиях и элементах конструкций древесине можно присваивать ортогональную, цилиндрическую или трансверсальную схему анизотропии в зависимости от формы, размеров и ориентации сечений. При достаточно больших размерах сечений и при отсутствии правильной их ориентации по отношению к годичным слоям (доски, брусья, рейки) направление волокон древесины условно считается осью симметрии её строения, а плоскость, перпендикулярная этой оси, плоскостью изотропии всех её свойств. На донущении о поперечной изотропии (транстропности) основано рассмотрение древесины в СНиП И-25-80. Лущённый шпон имеет структуру, свойственную тангенциальному разрезу древесного ствола, и представляет собой словно развёртку ствола на тангенциальную плоскость симметрии древесины. Лущёный шпон фанеру и плиты, склеенные из лущеного шпона можно ещё с большим основанием, чем древесину отнести к материалам ортогонально изотропным, так как кривизна годичных колец не влияет на их механические свойства.
Анизотропия может возникнуть в деталях машин как следствие определенной технологии их изготовления. Особенно опасной может оказаться анизотропия металлических деталей, которые после обработки давлением подвергались обработке резанием. Проектирование ответственных деталей без учета возникающей в них но тем или иным причинам анизотропии может привести к серьезным ошибкам.
Широкое распространение материалов, обладающих анизотропными свойствами, породило весьма широкие исследования в области механики анизотропных тел. Однако известно ограниченное число работ, посвященных уточнённым теориям эффективного аналитического решения задач теории анизотропных пластин (в частности задачам устойчивости), а в имеющихся недостаточно изучена параметрическая роль упругих постоянных. Кроме то-
8 го, весьма важным и мало изученным остаётся вопрос о выработке общих критериев для сопоставления различных теорий анизотропных пластин между собой и разработке рекомендаций по их применимости.
Нельзя не отметить появившееся в последнее время большое количество численных методов решения подобных задач, которые, с одной стороны, являются альтернативой аналитическим, а с другой, имея ряд недостатков, присущих всем численным методам, дополнительно подчёркивают изящество аналитических.
Таким образом, можно констатировать, что построение подхода, позволяющего упростить уравнения при описании анизотропных тел, получить уточнённую теорию анизотропных пластин с наглядно представленной параметрической ролью упругих постоянных, выработать критерии для сопоставления теорий анизотропных пластин и оценить пределы применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости, является актуальной задачей как в научном, так и в прикладном плане.
Цель работы. Исследовать представления анизотроного тела в теории упругости при введении определённого класса аффинных преобразований и разработать на основе этого представления подход, позволяющий упростить уравнения при построении уточнённой теории устойчивости анизотропных пластин, наглядно представить параметрическую роль упругих постоянных при решении конкретных прикладных задач, выработать общие рекомендации по применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости.
Научная новизна работы.
1. В бесконечном множестве модифицированных пространств, введённых посредством аффинных преобразований координат, перемещений, компонентов тензоров напряжений и деформаций, выделяется одно ^ эталонное.
2. Приводятся соответствующие эталонному пространству аффинные преобразования, а также основные уравнения МДТТ для ортотропного материала в декартовой системе координат и для трансверсально изотропного в цилиндрической системе координат.
Проведён сравнительный анализ механических характеристик ряда ортотропных материалов в разных направлениях при помощи диаграмм и поверхностей анизотропии в физическом и эталонном пространствах.
Предложена уточнённая теория устойчивости трансверсально изотропных круглых пластин в эталонном пространстве при осесимметричной нагрузке.
Для шарнирно опёртых и защемлённых круглых трансверсально изотропных пластин при потере устойчивости под действием равномерного радиального сжатия в эталонном пространстве исследована роль упругих постоянных и даны рекомендации по применимости технической теории.
Предложена уточнённая теория устойчивости ортотропных прямоугольных пластин в эталонном пространстве.
Для шарнирно опёртых прямоугольных ортотропных пластин при потере устойчивости под действием сжатия в одном направлении исследована роль упругих постоянных и даны рекомендации по применимости технической теории.
Полученные в работе результаты имеют важное практическое значение, так как аналитические решения задач доведены до алгебраических формул, которые могут быть использованы в инженерных расчётах; разработаны альтернативные алгоритмы и программы численного решения этих же задач, которые несложно использовать при решении аналогичных задач с другими граничными условиями; даны простые в использовании рекомендации по применимости технической теории анизотропных пластин в задачах устойчивости.
Достоверность результатов обеспечивается применением фундаментального математического аппарата механики деформируемого твёрдого тела
10 при постановке задач, сравнением с ранее полученными результатами других исследователей и использованием различных методов решения поставленных задач.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.
В первом разделе даётся обзор основных направлений, связанных с аналитическим исследованием и преобразованием основных разрешающих уравнений теории упругости анизотропного тела, приводится описание основных направлений в исследованиях в теории анизотропных пластин, а также описываются некоторые вариационные принципы и их особенности в теории пластин.
Во втором разделе посредством определённого класса аффинных преобразований координат, перемещений, компонентов тензоров напряжений и деформаций вводится бесконечное количество модифицированных пространств, одно из которых - эталонное - оказывается удобным при рассмотрении в нём анизотропных тел. Приводятся соответствующие этому пространству аффинные преобразования и все основные уравнения теории упругости в декартовых координатах для ортотропных тел и в цилиндрических - для трансверсально изотропных. Посредством графического представления в виде диаграмм и поверхностей анизотропии анализируются свойства ортотропных тел в эталонном пространстве и сопоставляются с соответствующими свойствами в обычном физическом пространстве.
В третьем разделе в эталонном пространстве разработана уточнённая теория решения осесимметричных задач устойчивости круглых трансверсально изотропных пластин, учитывающая влияние нормального напряжен1я а7, деформацию поперечного сдвига, а также обжатие по толщине. Решены задачи об устойчивости шарнирно опёртых и защемлённых круглых пластин под действием равномерного радиального сжатия. Проведен анализ расчетов для пластин из трансверсально изотропных материалов с разными отноше- ниями радиуса к толщине, произведено сравнение полученных результатов с результатами расчетов по технической теории. Даны рекомендации по применимости технической теории в рамках рассмотренных задач.
В четвёртом разделе в эталонном пространстве разработана уточнённая теория решения задач устойчивости прямоугольных ортотропных пластин, учитывающая влияние нормального напряжения az, деформации поперечного сдвига, а также обжатие по толщине. Приведён детальный вывод системы разрешающих уравнений и граничных условий. Приведено дифференциальное уравнение изгиба ортотропной прямоугольной пластины в эталонном пространстве на основе технической теории. Решена группа задача об устойчивости орторопных шарнирно опёртых пластин сжатых в одном направлении. Проведен анализ расчетов для пластин из ортотропных материалов с разными отношениями размеров в плане к толщине, произведено сравнение полученных результатов с результатами расчетов по другим теориям. Даны рекомендации по применимости технической теории в рамках рассмотренных задач.
Заключение содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований.
В приложениях приводится численные, графические и аналитические материалы, позволяющие судить о свойствах ортотропных материалов в эталонном пространстве. Также приводятся таблицы с результатами решений задач устойчивости различных ортотропных пластин, на основании которых делается заключение о применимости классической теории.
Некоторые вариационные принципы и их особенности в теории пластин
Отметим здесь результат, установленный А.Л. Гольденвейзером, о том, что классическая теория пластин является первым приближением при асимптотической процедуре построения теории пластин. Рассматривая классическую теорию пластин с критических позиций с точки зрения приложения к анизотропным материалам, необходимо иметь в виду, что эта теория занимала умы лучших механиков мира, способствовала появлению ряда ярких научных результатов в смежных областях механики, прикладной математики и, наконец, в течение более ста лет являлась основой расчёта и проектирования конструкций различного назначения. Результаты, полученные в рамках классической теории, в значительной степени подтверждены экспериментальными исследованиями. Так, вплоть до сороковых годов прошлого века доминирующую роль играли исследования на основе гипотезы Кирхгофа-Лява. Однако многочисленные исследования, позволили установить, что классическая теория не даёт корректного решения ряда задач, постановка которых не выходит за рамки гипотез. Некоторые из таких задач и исследованы в данной работе; С точки зрения приложений важным является то обстоятельство, что гипотезы Кирхгофа соответствуют действительности лишь тогда, когда модули сдвига в плоскостях, ортогональных к срединной плоскости, и модуль Юнга в направлении нормали к этой плоскости намного превосходят значения других упругих характеристик. Для композиционных материалов с низкой сдвиговой жёсткостью такие гипотезы оказываются неприемлемыми.1 В связи с этим возникла необходимость построения уточнённых неклассических теорий пластин, которые учитывали бы особенности деформирования пластин из анизотропных материалов. Исчерпывающий обзор исследований, посвященный классической теории изгиба пластин, можно найти в работах В.В. Васильева [42-45] и П.А.Жилина [74,75]. В работах В.В. Васильева также анализируются уточнённые теории первого приближения, которые носят названия теория Тимошенко, теория Рейсснера [176-178] или Рейсснера-Миндлина [173]. Совокупность отмеченных выше обстоятельств, а также потребность в теории, которая позволила бы рассчитывать толстые пластины и пластины, изготовленные из материалов с низким модулем межслоевого сдвига, привели к появлению неклассических теорий. Главной целью таких теорий было ввести соответствующие уточнения классической теории. Наибольщее распространение получили неклассические теории, называемые теориями Тимошенко. Они построены на системе гипотез, сводящихся главным образом к тому, что нормаль к срединной плоскости пластины в процессе изгиба остаётся прямолинейной, но не остаётся ортогональной к срединной поверхности. При этом деформации поперечного сдвига отличны от нуля и постоянны по толщине. В основе теорий такого рода могут лежать кинематические гипотезы о распределении перемещений по толщине, гипотезы об аппроксимации напряжений а ,а , т линейными функциями по толщине, а напряжений Txz2xyzzoz квадратичными и кубическими функциями (И. Рейсснер), гипотезы кинематические совместно с гипотезами о распределении поперечных напряжений (С.А. Амбарцумян [7,8]). Уточнения С.А Амбарцумяна улавливают главную часть поправки к классической теории и могут быть применены для получения первой поправки к основному напряжённому состоянию, даваемому классической теорией. Величина этой поправки растёт вместе с отношением Ej/Gi3 и может стать значительной для сильно анизотропных пластин. Характерная особенность различных уточнённых теорий состоит в том, что эти теории в математическом отношении являются лишь вторым приближением к объекту, если при этом в качестве приближения считать теорию, основанную на гипотезах Кирхгофа-Лява. Попытки построения теории пластин в высоких приближениях обычно приводят к сильному осложнению разрешающих уравнений - число уравнений увеличивается в некоторой пропорциональной зависимости с числом приближений и решение становиться затруднительным. Теория изгиба изотропных пластин В.И. Дарагана и А.В. Сеченкова [71] свободна от этого недостатка. Решения, получаемые на её основе, могут быть построены в любом приближении, причём, начиная с третьего и выше, число разрешающих уравнений остаётся постоянным, а структура их оказывается рекуррентной. Этот факт сам по себе представляется интересным и в математическом отношении. В рассматриваемой теории с помощью вариационного принципа Лагранжа выводятся уравнения и граничные условия для поперечно изгибаемой пластины, учитывающие влияние нормального напряжения oz, деформаций поперечного сдвига, а также обжатия по толщине.
Создание конструкций минимального веса является одной из основных задач современной техники. Поэтому в настоящее время широко используются различные инженерные конструкции, состоящие из композиционных стержней, пластин и оболочек. По мере облегчения таких конструкций всё более важную роль приобретает теория устойчивости, поскольку ограничивающим прочность фактором для стержней, пластин и оболочек при различных видах нагружения оказываются потеря устойчивости, а не разрушение материала конструкции.
Весьма интересной, в этой связи, представляется возможность доработки этого подхода для теории анизотропных пластин и случаев, когда наряду с поперечной нагрузкой на пластину действуют силы в срединной плоскости, то есть задач устойчивости.
В последние годы с бурным развитием компьютерных технологий широкое развитие стали получать численные методы решения задач, в том числе и устойчивости анизотропных пластин [151], [152], [153], [159], [160]. [169], [174], [184]. Так, использование метода конечных элементов реализованного, например, в таких пакетах, как ABAQUS [153], ANSYS, MSC/NASTRAN, оказывается весьма эффективным особенно в инженерной практике. Автором настоящей работы также проведены некоторые исследования в этом направлении [22,26].
Основные уравнения осесимметричных задач трансверсально изотропных тел в физическом и эталонном пространствах
Оптимальное конструирование изделий требует полной информации об анизотропии характеристик упругости и прочности материалов при различных напряжённых состояниях. Так, технико-экономическая эффективность современных композиционных материалов зависит от того, насколько их анизотропия соответствует задачам повышения прочности и жёсткости изделия. В простейших случаях задача решается элементарно: максимальные прочность и жёсткость, например, при одноосном растяжении, достигаются тогда, когда все волокна ориентированы по направлению приложенной нагрузки. В более сложных случаях решению задачи может помочь графическое представление изменения характеристики какого-либо свойства в зависимости от направления, которое несёт в себе наглядную систематизированную информацию пригодности того или иного анизотропного материала для тех или иных инженерных целей. В нашем случае это представляется интересным с плане сопоставления механических характеристик ортотропных материалов в разных направлениях в физическом и эталонном пространствах. Одним из таких способов графического представления механических свойств не только в главных направлениях является построение диаграммами анизотропии. При их построении примем допущение о том, что ось сравнения у при повороте (см. рис. 2.3.1.) не выходит из плоскости ху. Если угол между осью сравнения х и плоскостью ху обозначить 0, а угол между осью х и проекцией оси х на плоскость ху - ф, то все направляющие косинусы можно выразить через эти углы. Тогда по формулам (2.20) - (2.29) [13] могут быть получены величины необходимых механических характеристик в любом направлении, характеризующемся углами 0 и ф. Формула (2.3.3) может быть применена и для вычисления других коэффициентов Пуассона, если в ней заменить все индексы в порядке круговой перестановки: х - у - т! и 1 - 2 - 3 . После замен Ex=Ey=Ez-»l, ixy = цух - v,, Hxz =M-zx » v2 p.yz = 11 - 3, Gxy- Gl5 Gxz-+G2, Gyz- G3 формулы (2.3.1-2.3.3) могут быть применены для эталонного пространства. Если откладывать величины углов не в линейных, а в угловых единицах, а величину той или иной физической характеристики изображать в виде вектора, отложенного из начала координат в нужном направлении (х ), то этот вектор опишет своим концом поверхность анизотропии. На основании вышеприведённых теоретических предпосылок в приложении 6 приведены поверхности анизотропии ряда ортотропных материалов в физическом и эталонном пространствах, построенные в среде Maple, а в приложении 7 диаграммы анизотропии1, построенные в среде MathCAD. Подводя итог, отметим: модули упругости любого анизотропного материала в главных направлениях в эталонном пространстве равны между собой и равны единице; 1 Для диаграмм в физическом пространстве введены обозначения ортотропныи материал в эталонном пространстве характеризуется шестью независимыми упругими постоянными; трансверсально изотропный материал в эталонном пространстве характеризуется тремя независимыми упругими постоянными ; коэффициент Пуассона в эталонном пространстве, характеризующий сокращение в направлении оси х при растяжении в направлении у равен коэффициенту Пуассона, характеризующему сокращение оси у при растяжении в направлении х. Соответствующие равенства наблюдаются и для коэффициентов Пуассона по другим осям; V модули сдвига в эталонном пространстве для всех исследованных ортотропных и трайсверсально изотропных материалов2 не превышают единицы. о других случаях более подробно см. приложение 1 2см. приложение 3 и приложение 5. Рассмотрим круглую пластину, изготовленную из трансверсально изотропного материала так, что в каждой точке пластины плоскость изотропии материала параллельна срединной плоскости. В физическом пространстве пластина имеет размеры: радиус а, толщина h (см. Рис. 3.1.1), а в эталонном - радиус а = Е 1 а, толщина h = Е 1 h (см. Рис. 3.1.2). Пусть пластина осесимметрично загружена силами перпендикулярными срединной плоскости (поперечной нагрузкой) и силами, действующими в срединной плоскости (продольными силами). В настоящем разделе будем пользоваться цилиндрической системой координат, основная плоскость которой совпадает со срединной плоскостью пластины.
Устойчивость шарнирно опёртой по контуру круглой пластины под действием равномерного радиального сжатия
Дополнительно эта задача была решена методом Ритца, реализованным в программе, текст которой приведён в приложении 9. Сходимость результатов, полученных на основании двух разных методов, позволяет говорить о достоверности представляемых результатов (см. Приложение 11). Также, как и в случае круглой пластины, влияние коэффициентов Пуассона (в данном случае v,, V2, V3) на величину критической силы мало, поэтому при дальнейшем анализе остановимся лишь на влиянии модулей сдвига Gb G , G3. Для большинства ортотропных конструкционных материалов значения G2 и Сз очень близки, поэтому с достаточной точностью не нарушая физической адекватности, будем считать их равными. Таким образом, величину критиче ской силы N мы можем рассматривать как функцию всего лишь двух упругих постоянных G] и G2=Сз. Эта предпосылка послужила критерием при сопоставлении результатов технической и уточнённой теорий (см. Приложение 11). На основании этого сопоставления можно утверждать, что при максимально допустимой погрешности 5%, техническая теория применима, если отношение толщины к размеру в плане пластины в эталонном пространстве не превышает величины представленной в таблице 4.2.1. при соответствующих механических характеристиках материала пластины. В целом по своему теоретическому и практическому значению проведенные исследования можно квалифицировать как новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела. Основные результаты выполненной работы были сформулированы в каждой из глав. Не повторяя, остановимся здесь на тех из них, которые, по мнению автора, имеют самостоятельную научную и практическую ценность: 1. Введено понятие эталонного пространства и выделены соответствующие ему аффинные преобразования координат, компонентов вектора перемещений, компонентов тензоров напряжений и деформаций. Показано, что в эталонном пространстве уменьшается число независимых упругих постоянных, а модули упругости любого анизотропного материала в главных направлениях равны между собой и равны единице. 2. Предложена уточнённая теория устойчивости трансверсально изотропных круглых пластин в эталонном пространстве. Получена система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях, учитывающая влияние нормального напряжения az, деформации поперечного сдвига, а также обжатия по толщине. 3. Выработаны рекомендации по применимости технической теории пластин при потере устойчивости под действием равномерного радиального сжатия для шарнирно опёртых и защемлённых круглых трансверсально изотропных пластин. 4. Предложена уточнённая теория устойчивости ортотропных прямоугольных пластин в эталонном пространстве. Получена система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях, учитывающая влияние нормального напряжения az, деформаций поперечного сдвига и обжатия по толщине, а также система уравнений статических граничных условий. 5. Разработаны рекомендации по применимости технической теории пластин при потере устойчивости под действием сжатия в одном направлении для шарнирно опёртых прямоугольных ортотропных пластин. 6. Критерии, использованные для сопоставления технической теории и уточнённой, представленной в данной работе, могут быть применены для сопоставления других теорий трансверсально изотропных круглых и ортотропных прямоугольных пластин и при решении задач с другими граничными условиями.
Устойчивость шарнирно опёртой прямоугольной пластины сжатой в одном направлении
В первом разделе даётся обзор основных направлений, связанных с аналитическим исследованием и преобразованием основных разрешающих уравнений теории упругости анизотропного тела, приводится описание основных направлений в исследованиях в теории анизотропных пластин, а также описываются некоторые вариационные принципы и их особенности в теории пластин.
Во втором разделе посредством определённого класса аффинных преобразований координат, перемещений, компонентов тензоров напряжений и деформаций вводится бесконечное количество модифицированных пространств, одно из которых - эталонное - оказывается удобным при рассмотрении в нём анизотропных тел. Приводятся соответствующие этому пространству аффинные преобразования и все основные уравнения теории упругости в декартовых координатах для ортотропных тел и в цилиндрических - для трансверсально изотропных. Посредством графического представления в виде диаграмм и поверхностей анизотропии анализируются свойства ортотропных тел в эталонном пространстве и сопоставляются с соответствующими свойствами в обычном физическом пространстве.
В третьем разделе в эталонном пространстве разработана уточнённая теория решения осесимметричных задач устойчивости круглых трансверсально изотропных пластин, учитывающая влияние нормального напряжен1я а7, деформацию поперечного сдвига, а также обжатие по толщине. Решены задачи об устойчивости шарнирно опёртых и защемлённых круглых пластин под действием равномерного радиального сжатия. Проведен анализ расчетов для пластин из трансверсально изотропных материалов с разными отношениями радиуса к толщине, произведено сравнение полученных результатов с результатами расчетов по технической теории. Даны рекомендации по применимости технической теории в рамках рассмотренных задач.
В четвёртом разделе в эталонном пространстве разработана уточнённая теория решения задач устойчивости прямоугольных ортотропных пластин, учитывающая влияние нормального напряжения az, деформации поперечного сдвига, а также обжатие по толщине. Приведён детальный вывод системы разрешающих уравнений и граничных условий. Приведено дифференциальное уравнение изгиба ортотропной прямоугольной пластины в эталонном пространстве на основе технической теории. Решена группа задача об устойчивости орторопных шарнирно опёртых пластин сжатых в одном направлении. Проведен анализ расчетов для пластин из ортотропных материалов с разными отношениями размеров в плане к толщине, произведено сравнение полученных результатов с результатами расчетов по другим теориям. Даны рекомендации по применимости технической теории в рамках рассмотренных задач.
Заключение содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований.
В приложениях приводится численные, графические и аналитические материалы, позволяющие судить о свойствах ортотропных материалов в эталонном пространстве. Также приводятся таблицы с результатами решений задач устойчивости различных ортотропных пластин, на основании которых делается заключение о применимости классической теории.
Невозможно даже просто перечислить многочисленные публикации, в которых рассматриваются всевозможные задачи расчёта изделий и конструкций из анизотропного упругого материала. Здесь следует, прежде всего, упомянуть основополагающие работы С.Г. Лехницкого [96], А.Л.Рабиновича [127], Н.Г. Ченцова и Р. Ф. С. Хиармона [167]. Весьма интересными до настоящего времени остаются исследования П. Бехтерева [33], содержащие всестороннее исследование закона Гука для линейно упругого анизотропного материала. Это направление исследований в дальнейшем получило развитие в работах К.Ф. Черных [145-147].
