Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые исходные соотношения 16
1.1. Деформация поверхности 16
1.2. Линии на поверхности 19
1.3. Формулы интегрирования по частям 20
1.4. Уравнения упругости, используемые в теории гибких оболочек 22
2. Теория изгиба пластин типа Кармана, учитывающая трансверсальные деформации 29
2.1. Вывод полевых уравнений 29
2.2. К выводу граничных уравнений 37
2.2.1. Классический вариант граничных величин 37
2.2.2. Полу деформационный вариант граничных величин 40
2.2.3. Граничные условия подкрепленного края 4%
2.3. О влиянии учета вариаций параметров поперечного обжатия на распределение контактных реакций 49
2.3.1. Аналитическое решение контактной задачи для пластины над жестким основанием 4$
2.3.2. Применение метода обобщенной реакции к задаче о пластине над жестким основанием 60
2.3.3. Осесимметричное контактное взаимодействие круглой пластины с абсолютно жестким основанием 64
2.4. Контактное взаимодействие двух круглых тангенциально подкрепленных пластин 70
3. Уточненная нелинейная теория пологих оболочек 75
3.1. Уравнения равновесия пологой оболочки без использования гипотез Кирхгофа 75
3.2. Граничные величины в уточненной нелинейной теории пологих оболочек 81
3.3. Обратная задача для спрямленной пологой цилиндрической оболочки 84
4. Общая нелинейная теория жесткогибких оболочек, учитывающая поперечные сдвиги и обжатия 88
4.1. Вариационный вывод уравнений равновесия 88
4.2. К формулировке граничных условий 94
4.3. О возможности применения построенной теории к расчету мягкогибких оболочек 99
Заключение 104
Литература 106
- Линии на поверхности
- К выводу граничных уравнений
- Применение метода обобщенной реакции к задаче о пластине над жестким основанием
- Граничные величины в уточненной нелинейной теории пологих оболочек
Введение к работе
Работа посвящена выводу уточненных соотношений нелинейной теории пластин и оболочек, ориентированных на решение контактных задач со свободной границей. За основу взята квазикирхгофов-ская нелинейная теория оболочек К.Ф.Черныха [76], в которой учитывается изменение толщины оболочки (т.н. поперечное обжатие). При этом функции, связанные с поперечным обжатием (Л^, х^), определяются из некоторых дополнительных условий, что позволяет учесть изменение толщины без повышения порядка разрешающей системы уравнений. В данной работе уточнялась квазикирхго-фовская теория за счет учета вариаций параметров Х^, >с^ и поперечных сдвигов по линейной теории. При этом полевые и граничные уравнения выводились не из условий равновесия бесконечно малого элемента, как это сделано в работе [76], а из вариационного уравнения Лагранжа, что позволило учесть работу поверхностных сил на изменении толщины оболочки.
Актуальность темы. Время от времени публикуются работы, в которых авторы излагают свое видение актуальных задач механики оболочек (см., например, [16, 54, 61]). В работе [16] указаны (так уж совпало) 23 "нерешенные проблемы математической теории оболочек", первая из которых представлена так: "1. Формулировка основных краевых задач нелинейной теории оболочек без предположения пологости и среднего изгиба, т.е. при произвольных поворотах".
Имеет отношение к данной работе и седьмая "нерешенная проблема МТО" по И.И.Воровичу: "7. Построение математической теории краевых задач для вариантов оболочек типа Тимошенко-Рейсснера, учитывающих наряду с геометрической нелинейностью сдвиговые напряжения. Обоснование приближенных методов".
Непосредственное отношение к данной работе имеет высказанное в проблемной статье [54] указание на целесообразность учета вариаций параметров поперечного обжатия при построении двумерной модели механики тонких упругих оболочек, основанной на предложенной К.Ф.Черныхом аппроксимации. Кроме этого в названной статье сказано следующее: "Актуальной является задача по формированию граничных величин для нелинейной теории оболочек, использование которых не приводит к нарушению вариационных принципов. Значительный интерес представляет вариационный вывод деформационных граничных величин, который позволяет сопоставить этим обобщенным смещениям систему обобщенных сил, что является особенно важным при формулировке смешанных граничных условий". Цель работы: на основе единого подхода последовательно получить уточненные соотношения нелинейной теории плоских пластин, пологих оболочек и жесткогибких оболочек произвольной конфигурации, учитывающей поперечные сдвиги в линейном приближении и поперечное обжатие; для теории пологих оболочек получить аналог т.н. полудеформационным граничным величинам теории плоских пластин; установить условие применимости соотношений нелинейной теории жесткогибких оболочек к расчету мягкогибких оболочек; с использованием численных экспериментов оценить значимость внесенных уточнений на решения контактных задач со свободной границей.
Обзор литературы Уточнение классической теории пластин. Как известно, в классической (кирхгофовской) теории пластин принимается допущение об отсутствии поперечных сдвигов. В соответствии с соотношениями закона Гука следовало бы принять, что перерезывающие силы равны нулю, что привело бы к невозможности уравновесить нормальную поверхностную нагрузку. В этом и заключается основное формальное противоречие кирхгофовской теории пластин.
На необходимость учета деформаций поперечного сдвига при колебаниях балок указал С.П.Тимошенко в монографии [68], где им была введена поправка к кривизне стержня за счет учета названных деформаций. Впоследствии аналогичные уточнения были внесены С.П.Тимошенко и в теорию пластин [69].
В 1944 году Э.Рейсснером был предложен вариант теории изгиба плоских пластин [96], в котором предполагался линейный закон изменения тангенциальных напряжений по толщине пластины и ис- пользовался принцип Кастильяно для получения уравнений, связывающих усилия и моменты со смещениями и углами поворота. Этот подход был развит в работах [97, 98]. И хотя в дальнейшем в уточнение результатов Э.Рейсснера был опубликован ряд работ, в том числе более значимых (см., например, [1, 26, 86]), по историческим мотивам за теориями, учитывающими трансверсальные сдвиги, закрепился термин "теории типа Тимошенко-Рейсснера" [24].
Учет поперечного обжатия в теории оболочек впервые, видимо, осуществил П.Нагди [93], который постулировал линейный закон изменения тангенциальных перемещений и напряжений по толщине пластины, а прогиб задавал квадратичной параболой. Уравнения статики в перемещениях получены им на основании вариационного принципа Рейсснера [99] и для случая пластины, по существу, совпали с предложенными названным автором в работе [96]. Поперечное обжатие определялось отдельной формулой.
В 1975 году Э.Рейсснер [100] модифицирует свою теорию пластин. Задав на первом этапе линейный закон изменения тангенциальных напряжений по толщине пластины и получив из уравнений равновесия квадратичный закон для поперечных касательных напряжений, он интегрирует соотношения закона Гука для этих напряжений в предположении, что прогиб не изменяется по толщине пластины. При этом, как нетрудно сообразить, для тангенциальных перемещений получается кубический закон изменения. Подставляя эти перемещения в закон Гука для тангенциальных напряжений, он получает в качестве следующего приближения квадратичный закон изменения последних по толщине пластины. При этом уравнения, связывающие изгибающие моменты с перемещениями, принимают тот же вид, что и в работе [96].
Все перечисленные уточненные теории, включая и теорию П.Нагди [93], приводят к распределению контактных реакций, противоречащему теории Г.Герца [87]. При этом сами реакции, как правило, представляют интерес лишь как фактор, в той или иной мере связанный с напряженным состоянрієм в пластине. Имеется ряд свидетельств, полученных в том числе и при выполнении данной работы, когда наличие сосредоточенных реакций не влияет на напряженно-деформированное состояние пластины в целом. Тем не менее регулярно делаются попытки построить уточненные теории пластин, адекватно описывающие распределение контактных реакций (см., например, [4, 7, 23]).
В работе [76] построена квазикирхгофовская теория оболочек1. Эта теория разрабатывалась К.Ф.Черныхом, исходя різ потребности рассчитывать резинотехнические изделия оболочечного типа, допускающие значительное изменение толщины, но построена как общая теория изотропных оболочек из сжимаемых и несжимаемых материалов в силу того, что определяющие уравнения выражены через упругий потенциал. Выбирая в качестве последнего, например, потенциал неогуковского материала (NHM), можно получить систему уравнений механики мягкогибких оболочек. Для вывода уравнений механики жесткогибких оболочек хорошо зарекомендовал себя упругий потенциал стандартного материала 2-го порядка (STM-2).
Принципиальное различие между неизвестными функциями А^сУ), щ{оі) и искомыми функциями щ(а), ^(а), w(a) в теории К.Ф.Черныха заключается в том, что функции второй группы имеют независимые вариации, через которые могут быть выражены вариации функций первой группы. Иными словами, в работе [74] функции А^(а), х^{а) рассматриваются как параметры (неэнергетические переменные), учет которых не приводит к увеличению числа уравнений, а, следовательно, и порядка разрешающей системы. Этим подход К.Ф.Черныха принципиально отличается от метода построения нелинейных теорий оболочек типа Тимошенко, использованного, например, в наиболее часто цитируемых работах [2, 18, 19].
Заметим, что предложенный в работе [74] вариант квазикирхго-фовской теории оболочек не лишен ряда противоречий. Например, предположение о неэргетичности параметров A^(cv), *^(се) понимается автором статьи [74] как их неварьируемость (см. [76], стр. 179), что приводит даже в линейной теории плоских пластин к потере ряда слагаемых, являющихся существенными при рассмотрении, например, контактных задач со свободной границей. Более того, реализуемый в работе [74] подход к выводу уравнений статики оболочки из условий равновесия ее бесконечно малого элемента, в значительной мере обесценивает заявленный учет параметров А^, щ, так как их влияние проявляется в основном через работу внешних сил и может быть эффективно учтено лишь при использовании вариаци- 11'Квазикирхгофовской" [52] модель механики оболочек [74] названа потому, что в ней используются все гипотезы собственно Кирхгофа [90], т.е. не используется лишь добавленная У.Томсоном и Р.Тэтом [101] часть геометрической гипотезы о нерастяжимости (несжимаемости) нормального элемента оболочки. онных методов вывода уравнений.
Контактные задачи со свободной границей для гибких элементное конструкций. Впервые задача контактного взаимодействия изгибаемого стержня вокруг цилиндрической опоры или о распрямлении стержня в виде части кругового кольца на плоской плите сосредоточенными силами, приложенными к концам стержня, рассмотрена С.П.Тимошенко [70]. Названным автором показано, что для достижения полного прилегания стержня к цилиндрической опоре, так же как и для полного спрямления части кольца на плоской плите, действующие на концы стержней силы должны быть бесконечно большими. При этом в составе контактных реакций на краю зоны контакта появляются сосредоточенные силы. Применивший к первой из названных задач уравнения изгиба стержня, учитывающие деформацию поперечного сдвига, М.М.Филоненко-Бородич показал [79], что сосредоточенные силы в составе контактных реакций не появляются, однако остаются пиковые значения реакций вблизи свободной границы контакта. Задачи цилиндрического изгиба пластин и стержней в постановке М.М.Филоненко-Бородича рассматривались в работах [22, 57, 67].
Первая работа по контактному взаимодействию пластины с абсолютно жестким и с упруго податливым по Винклеру основаниями рассмотрена, видимо, в работе К.Гиркмана [85]. В этой работе на основании кирхгофовской теории изучались условия равновесия круглой пластины, прижатой к плоскому основанию равномерной нагрузкой, а затем на краях отгибаемой от него действием равномерно распределенного момента. Найдена зависимость между глубиной зоны отрыва и действующим моментом. Исследовано напряженное состояние в пластине.
Задача Гиркмана с использованием классической теории пластин исследовалась Р.Гофманом [88]. В той же работе рассмотрена контактная задача об изгибе шарнирно опертой круглой пластины, расположенной над абсолютно жестким основанием. Впервые задача линейной теории пластин названа "нелинейной проблемой", что можно считать началом конструктивно-нелинейной механики.
Осесимметричная контактная задача для круглой пластины с использованием теории пластин типа Тимошенко-Рейсснера (без учета поперечного обжатия) исследована в работах [66, 82, 83, 84].
О результатах, полученных в работе [5], в монографии [24] сказано так: "Совместный изгиб двух пластин с позиции теории С.П.Тимошенко проанализирован также Ю.П.Артюхиным и С.Н.Карасевым [5]. В отличие от работы [84] верхняя пластина нагружена либо равномерным давлением, либо сосредоточенной силой. Расчеты показали, что контактное давление может резко возрастать вблизи границы зоны контакта и меняет там знак (выделено мною, ЕАВ), создавая эффект пары сил. Этот интересный эффект можно объяснить, решая задачу на основе теории Софи Жермен-Лагранжа...".
Однако наличие такого момента означало бы нарушение односторонности связи, что является ошибкой, которая обусловлена, видимо, принятой гипотезой полного прилегания, т.е. предположением, что область контакта пластин является односвязной (подробнее см. в разделе 2).
Содержание работы. Диссертация состоит из четырех разделов (глав). В первом разделе приведены основные (известные) сведения из нелинейной теории упругости и теории поверхностей.
Второй раздел посвящен теории пластин типа Кармана-Тимошенко-Нагди. На уравнениях этой простейшей теории оценивается значимость уточнений (учета поперечных сдвигов по линейной теории и вариаций параметров поперечного обжатия), которые в последующем будут внесены в нелинейные уравнения изгиба жесткогибких оболочек произвольной конфигурации. Определив параметры поперечного обжатия А^, щ из граничных условий на лицевых поверхностях пластины, принимаем, что тангенциальные перемещения аппроксимируются по толщине пластины линейно, а прогиб - по квадратичной параболе.
Учитывая, что вариации параметров поперечного обжатия выражаются через вариации энергетических переменных, на основе вариационного уравнения Лагранжа получаются полевые уравнения изгиба плоских пластин, дифференцированно учитывающие поперечное обжатие и сдвиги по линейной теории.
Также из вариационного уравнения Лагранжа получается и традиционный вариант граничных величин. Замечено, что при использовании традиционных граничных величин полевые уравнения не образуют замкнутую систему. Дело в том, что тангенциальные перемещения не выражаются без интегрирования через основные искомые функции уранений типа Кармана-Тимошенко-Нагди. В работе [52] предложен т.н. полудеформационный вариант гранич-ных величин, на основании которого автором данной работы получены граничные условия подкрепленного (исключительно) тангенциально подвижного края для теории пластин Кармана, которые использовались затем при решении методом обобщенной реакции (см. Приложение Ґ) задачи о контактном взаимодействии двух одинаковых осесимметрично деформируемых круглых пластин с тангенциально подкрепленными краями.
С целью анализа дифференцированного влияния учета трансвер-сальных деформаций на распределение контактных реакций получено аналитическое решение контактной задачи со свободной границей для цилиндрически изгибаемой шарнирно опертой пластины (испытывающей действие равномерной нагрузки) и абсолютно жесткого гладкого основания. Показано, что: задача всегда имеет решение, если учитываются лишь поперечные сдвиги; при учете поперечного обжатия сделанное при постановке предположение об односвязности области контакта выполняется, если действующая нагрузка превышает т.н. нижнюю нагрузку полного контакта q*] во всех случаях, когда контактная задача в принятой постановке имеет смысл на краях области контакта возникают пиковые (но конечные) реакции.
Напомним, что при использовании классической теории пластин рассмотренная контактная задача в предположении, что область контакта односвязна, всегда имеет смысл, однако на границе названной области появляются сосредоточенные реакции.
Если "забыть" о том, что жесткое основание является односторонней связью, то при нагрузке, меньшей q*, контактное давление вблизи границы области контакта меняет знак, "создавая эффект пары сил" [24]. Однако "этот интересный эффект" [24] свидетельствует лишь о том, что принятое условие полного прилегания пластины к основанию по всей области контакта не выполняется. Иными словами, область контакта не является односвязной. Чтобы убедиться в этом, к рассматриваемой задаче был применен метод обобщенной реакции, полностью подтвердивший высказанное предположение.
Если рассмотреть первое обобщенное уравнение Кармана при учете лишь поперечных сдвигов, то оно в линейной части не существенно отличается от соответствующего уравнения С.П.Тимошенко [69], уточняющего уравнение Софи Жермен-Лагранжа.
Что же касается поперечного обжатия, то реализуемый в данной работе единый подход к выводу уравнений плоской пластины, пологой оболочки и оболочки произвольной конфигурации, заключающийся в выражении вариаций параметров поперечного обжатия через вариации основных искомых функций, ранее, судя по имеющимся обзорам (см., например, [21, 24]), не применялся. Поэтому в части учета поперечного обжатия построенные теории пластин, пологих оболочек и оболочек произвольной конфигурации являются новыми.
В третьем разделе рассматривается нелинейная теория пологих оболочек, задаваемых уравнениями вида z = z(xi,X2), и таких, что (условие пологости) 1 ± z\ « 1. При этом был реализован тот же алгоритм преобразований, что использован в разделе 2 применительно к плоским пластинам.
Следует отметить, что здесь впервые получен полудеформационный вариант граничных величин, при использовании которого система уравнений типа Маргера-Тимошенко-Нагди является замкнутой.
Заметим, что деформационные граничные величины, как обобщенные смещения для обобщенных сил в виде компонент главного вектора и главного момента краевых усилий, в линейную теорию оболочек впервые ввел К.Ф.Черных в работе [72]. Позднее в работе [53] были выявлены некоторые принципиальные особенности деформационных граничных величин, заключающиеся в том, что последние сами по себе не обеспечивают единственность решения линейной краевой задачи. Главная отличительная черта деформационных граничных величин заключается в том, что они без интегрирования выражаются через усилия и моменты. Именно, задавшись целью сформулировать геометрические граничные условия в усилиях и моментах, независимо от К.Ф.Черныха и сразу для нелинейной теории оболочек получил деформационные граничные величины К.З.Галимов [17].
Полудеформационный вариант граничных величин характерен тем, что в его составе - лишь две условно деформационные величины, описывающие тангенциальную деформацию края. Причем эти величины, вообще говоря, не выражаются без интегрирования через усилия и моменты, но выражаются через искомые функции полевых уравнений, что соответствует замыслу получить замкнутую систему полевых и граничных уравнений.
К.Ф.Черных предложил вводить деформационные граничные величины путем дифференцирования по граничному контуру двойного тензора, связанного как с деформированной (актуальной), так и с исходной конфигурациями края оболочки [76]. Эти граничные величины, будучи линеаризованными, совпадают с деформационными величинами линейной теории оболочек. Однако они, как и более частный вариант К.З.Галимова [17], не увязаны с соответствующими обобщенными силами (что наглядно показано на примере теории плоских пластин Кармана, см. раздел 3), являясь одной из мер деформации края оболочки. Несколько иной подход к выводу деформационных граничных величин развит в работах [80, 95].
В данной работе впервые вариационным путем введены в нелинейную теорию оболочек (пусть и простейший ее вариант) нетрадиционные (полудеформационные) граничные величины.
Некоторые новые возможности при решении обратных задач появляются в связи с дополнительным нагрузочным слагаемым. Дело в том, что учет фиктивного момента тп позволяет в обратных контактных задачах определять по отдельности поверхностные нагрузки. Для иллюстрации сказанного рассмотрена обратная задача о полном спрямлении пологой цилиндрической оболочки между двумя абсолютно жесткими идеально гладкими плитами.
В разделе 4 представлен уточненный вариант (по сравнению с квазикирхгофовской теорией К.Ф.Черныха) уравнений механики жесткогибких оболочек, учитывающий по линейной теории поперечные сдвиги, а также вариации параметров поперечного обжатия
В заключение работы исследуется возможность использования полученных уравнений статики жесткогибких оболочек для расчета напряженно-деформированного состояния в мягкогибких оболочках. С этой целью строится теория изгиба мягкогибких оболочек на основе упругого потенциала NHM. Показано [47], что уравнения жесткогибких оболочек можно использовать для расчета мягкогиб-ких оболочек при т.н. средних растяжениях (допустимо пренебрежение квадратами компонент тангенциальной деформации по сравнению с единницей).
Объем. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и одного приложения. Содержит 117 страниц, включая 14 рисунков. Список литературы содержит 102 наименования.
Научная новизна состоит в: уточнении нелинейных теорий пластин, пологих оболочек и оболочек произвольной конфигурации за счет учета вариаций параметров (неэнергетических переменных) поперечного обжатия; оценке влияния внесенных уточнений на решения контактных задач со свободной границей; выводе (полудеформационного) варианта граничных величин, при использовании которого система уравнений типа Маргера-Тимошенко-Нагди становится замкнутой; формулировке условия применимости теории жесткогибких оболочек к расчету мягкогибких.
Достоверность результатов основана на использовании современных достижений механики деформируемого твердого тела, математической физики, тензорного анализа и компьютерной алгебры, а также обеспечивается согласованием полученных результатов с известными в литературе и сравнением решений, полученных различными способами.
Практическая и теоретическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы при расчете на прочность, жесткость и устойчивость тонкостенных элементов машин и механизмов, при деформировании которых существенными являются поперечные обжатие и сдвиги. Геометрические граничные величины выведены в совокупности со статическими, что позволяет формулировать все виды граничных условий (включая смешанные), удовлетворяющих граничному вариационому уравнению Лагранжа.
Получено аналитическое решение контактной задачи со свободной границей для цилиндрически изгибаемой пластины, которое по- зволило сделать ряд принципиальных выводов о влиянии поперечных сдвигов и поперечного обжатия на распределение контактных реакций.
Полученные уточненные соотношения вносят вклад в общую теорию пластин и оболочек.
Апробация. Основные результаты работы докладывались на:
ХШ-й Коми республиканской научной молодежной конференции (Сыктывкар, 11-12 апреля 1996 года); молодежной школе-конференции по математическому моделированию физических и технологических процессов, геометрии и алгебре (Казань, 4-11 декабря 1997 года); молодежной научно-технической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Я.Кремса (Ухта, 22-23 апреля 1999 года); XIV-й Коми республиканской научной молодежной конференции (Сыктывкар, 18-20 апреля 2000 года).
Публикации. По теме диссертации автором опубликованно семь научных статей [28-30, 44-47]. Статьи [30, 44-47] выполнены совместно с соавторами Е.И.Михайловским, К.В.Бадокиным.
В статье [30] Е.И.Михайловским для теории изгиба плоских пластин Кармана предложен полудеформационный вариант граничных величин и получены граничные условия подкрепленного края. Соискателем выведены граничные условия тангенциально подкрепленного края и с их использованием решена контактная задача для двух осесиметрично изгибаемых пластин.
В статье [44] Е.И.Михайловским предложена концепция построения варианта теории пластин типа Кармана-Тимошенко-Нагди с учетом вариаций параметров поперечного обжатия. Соискателем выведены уравнения теории типа Кармана-Тимошенко-Нагди и на их основе получено аналитическое решение контактной задачи для цилиндрически изгибаемой пластины над абсолютно жестким идеально гладким основанием. К.В.Бадокин принимал участие в про-ведении численного эксперимента.
В статьях [45, 47] Е.И.Михайловским и соискателем независимо друг от друга по обсужденному плану выведены все уравнения, полученные в этих работах.
В статье [46] Е.И.Михайловским и соискателем независимо друг от друга выведены уравнения нелинейной теории пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди на основе согласованных допущений. Соискателем получен полудеформационный вариант граничных величин для этой теории.
Оформление диссертационной работы выполнено при поддержке гранта для студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов (Санкт-Петербург, 2000 г.).
Результаты, выносимые на защиту: ориентированные на решение контактных задач со свободной границей уточненные соотношения теории типа Кармана-Тимошенко-Нагди изгиба плоских пластин, учитывающих наряду с поперечными сдвигами вариации параметров поперечного обжатия; уравнения типа Маргера-Тимошенко-Нагди, обобщающие теорию изгиба плоских пластин на случай пологих оболочек; полудеформационный вариант граничных величин, обеспечивающий замкнутость системы уравнений пологих оболочек типа Маргера-Тимошенко-Нагди; уточненные соотношения нелинейной теории жесткогибких оболочек, согласующиеся с полученными ранее уравнениями изгиба плоских пластин и пологих оболочек; условие применимости соотношений нелинейной теории жесткогибких оболочек к расчету мягкогибких оболочек; оценка влияния внесенных в теорию изгиба плоских пластин и пологих оболочек уточнений на решение контактных задач со свободной границей.
В заключение - коротко о принятой системе нумерации. Материал разбит на разделы, подразделы и пункты. Формулы внутри одного раздела нумеруются двумя числами, разделенными точкой (Номер подраздела. Номер формулы). Ссылки на формулы из других разделов состоят из трех чисел, разделенных последовательно двоеточием и точкой (Номер раздела: Номер подраздела. Номер формулы). Рисунки внутри раздела имеют сквозную нумерацию (Номер раздела. Номер рисунка).
Линии на поверхности
Рассмотрим на поверхности некоторую кривую Г. Свяжем с этой кривой правую тройку ортов {i/,t,n}, где t — орт касательной к линии Г, п — орт нормали к поверхности вдоль линии Г, v = t х n — орт тангенциальной нормали к линии Г (т.е. орт нормали к Г, лежащий в касательной к поверхности плоскости). Имеем Отсюда следует первая из формул (остальные выводятся аналогично) Здесь Су, clJ — компоненты кососимметричного дискриминантного тензора определяемые формулами Вводя вектор-градиент для поверхности тангенциальные производные вдоль линии Г и перпендикулярно к ней можно выразить равенствами Принимая во внимание соотношения (2.1), (2.1 ) и (1.4) Таким образом, получена первая из формул (остальные выводятся аналогично) В реализуемом ниже вариационном подходе к выводу уравнений нелиненой теории оболочек будут использованы специальные формулы интегрирования по частям (в том смысле, что подынтегральные функции представляют собой компоненты вектора или тензора). Дадим краткий вывод названных формул. Формулы Грина для скалярной функции имеют вид На основании (3.8) имеем В случае малых деформаций уравнения упругости должны переходить в закон Гука, связывающий тензор малых деформаций Коши Е с тензором истинных напряжений 27, отнесенным к исходной кон о фигурации, поэтому меры деформаций f(A) [52] должны удовлетворять условиям Принимая во внимание, что упругий потенциал закона Гука имеет вид / L Умножая обе части равенства (4.9) на F-1 и полагая п = 2, получим следующие уравнения упругости для STM-2: Стоящему в левой части этого равенства тензору Пиолы-Кирхгофа энергетически соответствует тензор Грина-Лагранжа Г.
Принимая во внимание, что уравнению (4.10) можно придать вид Напомним, что закон Гука имеет вид т.е. закон упругости для STM-2, связывающий энергетически сопряженные тензоры Пиолы-Кирхгофа и Грина-Лагранжа формально совпадает с законом Гука, если в последнем заменить тензор Е на о 1 о о тензор Г = Е + Уг(Vи) Vu. Поэтому определяющие уравнения (4.12) часто называют законом Гука (см., например, [2, 18, 60]). В данной работе под законом Гука понимается исключительно определяющее уравнение (4.13), линейно связывающие напряжения и смещения. От использованой выше схемы построения упругого потенциала, основанной лишь на условии перехода в закон Гука при малых деформациях, вряд ли можно ожидать получения "физичных" уравнений упругости. Тем не менее упругий потенциал STM-2 адекватно описывает деформирование эюесткогибких элементов конструкции, т.е. изготовленных из жесткого сжимаемого материала и допускающих конечные перемещения за счет конечных углов поворота при малых деформациях. Традиционно такие элементы конструкций называют гибкими (см., например, [14]). Однако очевидно, что гибкими являются и элементы конструкций, изготовленные из мягкого несжимаемого материала (например, резиноподобного), допускающие большие перемещения как за счет конечных углов поворота, так и за счет конечных деформаций. Такие элементы конструкций, следуя работе [52], будем называть мягкогибкими. Возвращаясь к STM-2, выведем уравнения упругости в криволинейных координатах, взяв за основу формулы (4.8)2- Принимая во внимание, что дгу = 27гу + gij, на основании (4.7) имеем (Подчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются.) Перейдем к рассмотрению упругих законов для мягкогибких элементов конструкций из несжимаемых материалов (ША = 1)- Тогда общий закон упругости можно получить, выполнив в (4.8)і замену где р - всестороннее давление, с точностью до которого определяется тензор напряжений в случае несжимаемого материала. В результате на основании (4.8)2 получаем следующий закон упругости для несжимаемого материала Рассмотрим, в частности, неогуковский материал, упругий потенциал которого получен статистическим путем и имеет вид где К - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, N -число макромолекул в единице объема.
Для получения упругого потенциала с приведенными упругими константами (Л, /л) можно обратиться к полученному феноменологическим путем в конце 30-х годов прошлого столетия потенциалу М.Муни для несжимаемого материала [33]: Здесь \х = Уз-Е/, IIQ — IQ — 1 (условие несжимаемости). Формулы (4.16) и (4.17) согласуются, если в (4.17) положить /3 = 1. Таким образом, упругий потенциал NHM имеет вид Из (4.18) имеем определяющие уравнения упругости для неогуков-ского материала принимают вид (см. (4.15)) Скалярным уравнениям (4.19) отвечает следующее тензорное [52] В работах [39, 43, 60] рассматривается формальная связь между соосными тензорами второго ранга. На основе изложенного в этих работах материала поясним тензорный смысл уравнения упругости (4.12), которое почти исключительно будет использоваться впредь. Известно, что девиатором симметричного тензора А называется следующий тензор:
К выводу граничных уравнений
Если уравнения (1.23) выполнены, то вариационное уравнение Лагранжа (1.16) принимает вид Уравнения (1.29) (при / = 0) и (2.11) совместны, если выполняется 1.28). Исключая из уравнения (1.29) (при h\ — 0) и уравнения 1.28) cja a придем к уравнению (1.30) для случая h\ = 0. Граничные величины теории типа Кармана-Тимошенко совпадают с величинами (2.7)2 при h\ = 0 и тп = О.и Замечание 2.2. Уравнения Кармана, уточненные лишь за счет поперечного обжатия (иІ = 0), совпадают с уравнениями (1.26), (1.30), если в них положить к2ш = 0. Тангенциальные граничные величины при этом сохраняют вид (2.7)і- Для изгибной деформации граничные величины принимают вид (2.12 ) слагаемое h\dqnfdsv в выражении для перерезывающей силы в (2.12) при дополнительном учете поперечных сдвигов исчезает; - все изменения, вносимые в полевые и граничные уравнения Кармана за счет поперечного обжатия связаны лишь с вариациями параметров Л , щ.ш Через функции w, ш\, CU2 элементарно выражаются геометрические граничные величины, характеризующие изгибную деформацию. Что же касается тангенциальных смещений, то для их получения следует дополнительно интегрировать систему уравнений (1.25). Таким образом, в тех случаях, когда граничные условия формулируются в терминах тангенциальных смещений система уравнений {(1.26), (1.30), (1.31)} не является замкнутой. Выведем полудеформационный вариант граничных величин и покажем, что при его использовании уравнения типа Кармана {(1.26), (1.30), (1.31)} образуют замкнутую систему.
На основании формул (2.8), (2.9) и (2.3 ) вектор тангенциальных усилий можно представить формулой Вычислим главный вектор и главный момент относительно текущей точки 5 вектора тангенциальных усилий. Имеем Используя вытекающие непосредственно из (1:2.8) правила дифференцирования ортов производную от вектора тангенциальных смещении можно записать в виде (2.16) С учетом полученных соотношений формулу для работы тангенциальных сил на вариациях отвечающих им смещений можно преобразовать так: Исключив отсюда производные U{j с помощью соотношения (1.25), после элементарных, но громоздких преобразований с учетом формул (1.14), (2.16), находим Выполнив преобразования, аналогичные тем, что были сделаны при выводе формулы (2.19), получим Получим теперь полный набор деформационных величин. Так как величины, соответствующие тангенциальной деформации, уже получены, рассмотрим лишь изгибную деформацию. Главный вектор перерезывающих сил на участке sosi граничного контура определяется формулой Соответственно главный момент относительно текущей точки st перерезывающей силы и изгибающего момента можно представить так: где Объединяя тангенциальные (2.18) и изгибные (2.26) деформационные величины получим следующий вариант граничных величин для пластин Кармана: В случае пластины с многосвязной областью срединной поверхности при формулировке граничных условий в терминах деформационных граничных величин следует учитывать условия однозначности смещений на внутренних контурах д(1{ области О, [53]. Эти условия можно получить следующим образом. Запишем условия однозначности смещений и углов поворота в следующем виде:
Выразим векторы смещений и и углов поворота ut через параметры Щ И Єи Объединяя формулы (2.16) и (2.24), имеем Интегрируя соотношения (2.24) и (2.29) вдоль кривой Гг- от неко Учитывая, что из (2.30) приходим к формуле Формулы (2.30), (2.31) представляют ценность лишь в том случае, когда входящие в них интегралы не зависят от пути интегрирования. Это свойство интегралов установлено в работе [73], где, видимо, впервые и получены формулы (2.30), (2.31). С учетом сказанного (2.28) можно записать так:
Применение метода обобщенной реакции к задаче о пластине над жестким основанием
Предложенный выше алгоритм не дает допустимых решений при нагрузках меньших q . С целью определения закона распределения контактных реакций при до Я был применен метод обобщенной реакции (см. Приложение I). Рассмотрим краевую задачу {(3.1), (3.2)}, где функции w(x) и г(х) должны удовлетворять следующим условиям: Условие (3.29)і указывает на односторонность связи. Неравенство (3.29)2 выражает условие непроникновения пластины через 1В случае учета только обжатия при и близких к 1/2 не удается подобрать нагрузку q , при которой выполнялось бы условие односторонности связи. основание. Равенство (3.29)з называется условием дополняющей нежесткости2 и связывает условия (3.29)і и (3.29)2: если г 0 (имеется сила контактного взаимодействия), то w h 2 = 0 (элементы соприкасаются); если w h//2 0 (элементы не соприкасаются), то г = 0. Условия (3.29) эквивалентны одному существенно нелинейному уравнению Переходя к вспомогательной функции w по формуле (3.3), получаем краевую задачу (3.4) с однородными граничными условиями. Функция Грина, соответствующая этой краевой задаче, вычисляется по формуле Выразим прогиб на нижней лицевой поверхности через вспомогательную функцию w и действующую нагрузку. Имеем Используя введенную функцию Грина и равенство (3.5), краевую задачу (3.4) можно преобразовать к следующему уравнению: Решение уравнений (3.30), (3.33) будем находить методом простых итераций, схема которого записывается так: h\ h\h2 З/і Используя итерационную схему (3.34), (3.35) в сочетании с ко-нечноразностной аппроксимацией, проводился численный эксперимент с варьированием параметров go — Dpo, v (см. (3.1 ), (3.28)). Результаты эксперимента приведены на рис. 2.5, 2.6 (на первом рисунке даются для сравнения результаты, полученные методом обобщенной реакции и аналитическим способом). Замечено, что последовательность (гп) в течение всего процесса ведет себя следующим образом: пик на рисунках устойчиво растет, значения в средней области колеблются вокруг значения действующих нагрузок.
На рис. 2.6 показано характерное решение контактной задачи (причем как в случае учета лишь поперечного обжатия, так и случае совместного учета обжатия и сдвигов), которое нельзя получить аналитическим способом. На этом рисунке отчетливо просматривается участок, на котором г(х) = 0. И хотя по графику прогиба нельзя заметить, что пластина на этом участке отходит от основания, все же значение прогиба здесь меньше зазора, что наблюдается в течение всего процесса. Таким образом, можно утверждать, что часто используемая при решении контактных задач гипотеза о полном прилегании пластины к абсолютно жесткому основанию не выполняется. Нарис. 2.5 показаны параметры напряженно-деформированного состояния пластины при нагрузке до — Ч Заметим, что все графики, полученные методом обобщенной реакции, практически совпадают с графиками, построенными с использованием аналитического решения, за исключением графика для контактной реакции. Это позволяет предположить, что метод обобщенной реакции обеспечивает равномерную сходимость не только прогиба и его первой производной (что гарантируется обоснованием этого метода, приведенным в работе [51]), но также изгибающего момента и перерезывающей силы. Несовпадение графиков реакций можно объяснить тем, что на границе области контакта реакция имеет пик, который плохо аппроксимируется итерационными методами.
Следует также отметить, что при использовании метода обобщенной реакции зона контакта практически не отличается от вычисленной по классической теории Кирхгофа. 2.3.3. Осе симметричное контактное взаимодействие круглой пластины с абсолютно жестким основанием Рассмотрим задачу Р.Гофмана (см. Введение) для круглой пластины радиусом R и толщиной /г, расположенной параллельно абсолютно жесткому основанию с зазором Д.
Считаем, что пластина, испытывающая действие равномерной нормальной нагрузки qQ = const, жестко закреплена по контуру таким образом, что реализуется осесимметричный изгиб. При достижении определенной нагрузки пластина коснется основания. При этом полагаем, что при дальнейшем увеличении нагрузки выполняется гипотеза полного прилегания. В условиях поставленной задачи удобно перейти к полярным координатам: Кроме этого сделаем дополнительные предположения: 1) вводим безразмерную переменную р = r/R (р Є [0,1]); 2) полагаем qn(l) = О, так как нормальная нагрузка на краю пластины полностью воспринимается опорой. С учетом сделанных предположений систему {(1.26), (1.30), (1.31)} можно записать в следующем виде:
Граничные величины в уточненной нелинейной теории пологих оболочек
Предположим, что радиус-вектор материальной точки (с = (а1, 2) є ft, te[-lhklh4) переходит после деформации в следующий: Ща, О = г(а) + Ле(а)(Є + У2 2)п + ( (а), (1.1) где г, г, n, п — радиусы-векторы проекции материальной точки на срединную поверхность оболочки и единичные векторы нормалей к срединной поверхности соответственно до и после деформации. При выводе приведенных ниже соотношений использованы допущения: і) оболочка является тонкой, т.е. ЄЬ г; « 1; (1-2) ii) компоненты тензора деформаций изменяются линейно по толщине оболочки; Ш) производными функций Х (а), х {а) можно пренебрегать; iv) поперечные сдвиги 6 1, с 2 учитываются по линейной теории. На основании принятых допущений имеют место следующие формулы для компонент тензора деформации Грина-Лагранжа: То- = Ту + ("а + P4j)t, ТЙ = Ум, Тзз = Уг(А - 1) + А хе, (1.3) где aiji bij — компоненты метрического тензора и тензора кривизны срединной поверхности (см. раздел 1). Принимая во внимание, что \г] г = &" + &" «afi, f = o, p33 = i, соотношения упругости (1:4.14) можно представить в виде Jaij = (\aljaaP + 2fiaiaa )7 + Aa L Ja = AaQ% + (A + 2p)7 3, JV3 = 2/таг7аз- (1.4 Параметры A , x определяем из граничных условий на лицевых поверхностях Jo33(h/2)=q+, Jai3(-h/2)=q-. (1.5) После несложных преобразований находим ЛЄ - 1 л , г, a Ta/3 + Л + 2/Г ,ар (А + 2/ )Л %, = - д /W + М + р (1.6) где Исключив А , Х из уравнений (1.3)з, (1-4)2 с использованием формул (1.6), получим A oa/? е mn+Zqn 7« = " IW + (ЗГТадІ J r" = Уд(т„+ &„). (1-7)
Усилия и моменты вводим следующими формулами: Л \ SlJ = / {JalJ - —atjJaiZ)d -hL A + 2/i = A / \jaij - —V V J e, 89 »3. Гп = \ І JV4- (1.8) J-hh По найденым усилиям и моментам напряжения у лицевых поверхностей оболочки вычисляются по формулам (принято, что Л « 1) J /г /г2 oil /о о 4 aJy/aiiajjq 1-й J%- = Г Г + 1 а УаиазЙп I1-9) h h2 l-v На основании (1.4), (1.7) и (1.8) получаем Sij = BAij 7a Щ = \zDAij afixa/3, М = X DAlj a aP, Mij = Щ + M J , Тп = /х!іаіаіиа, (1.10) где у /з _ ) /з + 0" . (1.10 ) Принимая для упрощения записи, что нагрузка на боковой поверхности оболочки отсутствует, вариационное уравнение Ла-гранжа можно записать в виде 5U - A{6R) = О, (1.11) где 5U= 6ФЛ( т, А(8И) = / (q+ 6R+ - q 5R-)dfi, Jn J-hh Jo. 8Ф = {F l-JS-F-u} : 6Г = J(TaP6-fl0 + Ja 643+2Jaa4 . (1.11 ) На основании формул (1.3), (1.7) и (1.8) получаем 5С/ = f(SaP67a0 + \7lMa0(6xaP + fya/?) + A-1 ) . (1.12) Преобразуем интеграл (1.12). Прежде всего в силу симметричности S13 и Мг) имеем Sa06yaP = V25 (ra 6vp + Г/3 6rQ) = S r , Map6 = l[2Mal3{6ua + 6LOPA) = Map8uaj. (1.13) Далее с учетом (1.6) находим 5 Q/3 = -\6Ьа0 -f bapavtiTv 6г,,. (1.14) Используя формулы (1:1.4), можно записать Va6rp = 6(дагіз) - Гарбг, = 6(TvaPTv) + (&e/?n) - Г г, - (6a/3n) + rjraf3. (1.15) На основании (1.15) и (1.4) получаем VQ(n 6тр) = Van бтр + п Va = -bvavv бтр + 6Ьар. (1.16) Объединив формулы (1.14) и (1.16), будем иметь $ /? = -A VQ(n - 6т р) - A iv 6rp + —-— Ъара Тг, 6ги. (1.17) Интеграл (1.12) с учетом этой формулы приводится к виду 8U= [[Та?га бгр - Ma/?Va(n ЗД+ +X (M 6cjaiP + Tan6uuQ)]dU, (1.18) где V Тг3 = gij _ Maj + bVilM al] . (1.18 С использованием формулы интегрирования по частям (1:3.11) получаем - f[M Va(n 8гр) - X7lM 6uaiP]dU = = f[Va(VhMaP)n Srp - Х Ч ЛМ бш аЧа2 + Jb (1.19) Ju где J1 = - (f (vaM n dp{6r) - \-luaM 6ijp)dst. (1.19 ) Jdil
На основании (1.19) интеграл (1.18) можно представить так: би= ([(г\і а(Лмв».ц+ J& л/а +A71(-4=V/j(v/aMa/?) + Tan)6 ja]d& + Л. (1.20) Выполнив в (1.20) интегрирование по частям, будем иметь 8U = - [[д0(лДт0ага + Va(VaMQ/?)n) 6г+ Jti +\7\- Vp(VlMa(3) + Tan)}8ua d(xlda2 + Jy + J2 + h. (1.21) ya Здесь J2= / PpT Ta-STdst, J3= і =Va(VhMa )n-6rdst. (1-22) Вводя обозначения о q = q+ - Г = Яа а + gnn, m = / (q " + q-)/ = mara + mnn, получаем q+ 5R+ - q 5R = q 5r + lkh2qn8(X H ) + ra„ 5A + тпРбир+ -bYs A q Sn + upia.- Sr13 + A m 5n. (1.23) Здесь % = —л aaPra 6Г0, 1-У 6{X {) = -—— а іЬхац + 5/za/3) « « Y aa/?[A4Va(n ЗД - Va5 ]. (1.24) Если пренебречь в (1.23) подчеркнутыми слагаемыми, то выражение для работы внешних сил на отвечающих им смещениях в о о области 0\90 можно записать так: A(6R) = [{ 6T + [h2 yQ{aapqn)+m(3}6ujp} dalda\ (1.25) где /2 і q = q + h daWiVp(aaPqn)Yi] + - 9a( mnaQ%). (1.25
