Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Напряженно-деформированное состояние оболочки глаза после, некоторых операций по отслойке сетчатки
1.1. Напряженно-деформированное состояние наружной оболочки глаза при циркляже 25
1.2. О механических характеристиках оболочки глаза 33
1.3. Циркляж узкой лентой 3h
1.4. Другие способы решения М
1.5. Расчет напряженно-деформированного состояния глаза по трехмерной теории упругости 4&
1.6. Об устойчивости оболочки глаза при циркляже 55
Глава 2. Деформация решетчатой пластины глаза. Математические модели развития глаукоматозной атрофии зрительного нерва 65
2.1. Постановка задачи о'деформации решетчатой пластинки 66
2.2. Уравнения общей уточненной теории изгиба неоднородных пластин, обладающих цилиндрической анизотропией 70
2.3. Осесимметричная деформация круглых решетчатых пластин 73
2.4. Неосесимметричпые деформации круглых решетчатых пластин
2.5. Деформация эллиптических пластин, близких к круговым
2.6. О больших прогибах решетчатой пластинки 93
2.7. Расчет деформации решетчатой пластинки по уточненной, итерационной теории 106
2.8. О потере устойчивости симметричных форм равновесия решетчатых пластинок 110
2.9. Модель многослойной безмоментной оболочки вращения
Глава 3. О механизмах возникновения послеоперационного отслоения сосудистой оболочки глаза 123
3.1. Скачкообразное отслоение 12;5
3.2. Удельная работа разрушения 127
3.3. Простейшая модель отслоения сосудистой оболочки
3.4. Простейшая модель вакуум-синдрома
3.5. Модель вакуум-синдрома при отслоении тонкой пластинки
Глава 4. Об устойчивости сферических оболочек при некоторых воздействиях 133
4.1. Осесимметричная деформация сферической оболочки под действием сосредоточенной силы и внутреннего давления 139
4.2. Бифуркация осесимметричного равновесия сферической оболочки под действием сосредоточенной силы 143
4.3. Об устойчивости несовершенных сферических оболочек под действием внешнего давления 146
4.4. Об устойчивости сферической оболочки переменной толщины 152.
Указатель литературы 156
- О механических характеристиках оболочки глаза
- Об устойчивости оболочки глаза при циркляже
- О больших прогибах решетчатой пластинки
- Удельная работа разрушения
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время все большее внимание уделяется математическому моделированию различных процессов в биологических системах. Такой подход позволяет лучше понять причины и механизмы развития различных явлений в биологических объектах. В 2002 г. в МГУ открылся первый в России факультет биоинженерии и биоинформатики для подготовки специалистов, решающих задачи современной биологии с помощью математических методов.
Относительно недавно методы механики деформируемого твердого тела стали применяться для исследования состояния глаза. В 1998 г. на XIII Международном конгрессе исследователей глаза была организована секция биомеханики глаза. В 2001 г. в Московском Педиатрическом институте введен курс биомеханики глаза. На основе читаемого курса и исследований, проводимых в институте, коллективом авторов издана монография "Акустическая биомеханика глаза и ее значение для клиники" [123], первый раздел которой посвящен основным определениям и понятиям механики деформируемого твердого тела.
Изучение биомеханики глаза важно для понимания травмы глаза, механизма многих заболеваний, для разработки экспериментальных моделей, при внедрении новых имплантатов, новых технологий. Новые знания в области биомеханики глаза позволяют улучшить диагностику различных заболеваний, развивать новые методы терапевтического и хирургического лечения глаза.
Общие сведения о строении глаза. Глазное яблоко (в первом приближении шаровидной формы) имеет три основных оболочки; наружную фиброзную капсулу, среднюю — сосудистую оболочку и внутреннюю оболочку — сетчатку (рис. 1).
Форму глазного яблока определяет плотная наружная оболочка, задний отдел которой (склера) непрозрачен и имеет белый цвет. Склера предохраняет более нежные внутренние структуры глаза и служит основой для прикрепления сухожилий наружных прямых мыыщ, обеспечивающих фиксацию глазного яблока в направлении рассматриваемого предмета.
РОГОВИЦА
ПЕРЕДНЯЯ КАМЕРА ЗАДНЯЯ КАМЕРА
ОПТИЧЕСКАЯ ОСЬ
СОСУДИСТАЯ ОБОЛОЧКА
СКЛЕРА
РЕШЕТЧАТАЯ ПЛАСТИНКА
РЕСНИЧНОЕ ТЕЛО
ЗРИТЕЛЬНЫЙ НЕРВ
РАДУЖНАЯ ОБОЛОЧКА
Рис. 1.
В передней части фиброзная капсула глазного яблока переходит в более выпуклую, плотную, но прозрачную для световых лучей роговую оболочку, которая как бы вставлена в склеру наподобие часового стекла, так как иа месте перехода склеры в роговицу в первую очередь прозрачными становятся глубокие слои склеры, а уже затем — поверхностные. Роговица чрезвычайно богата чувствительными нервными окончаниями. Она не только участвует в защите содержимого глаза от внешних воздействий, но и является главной линзой оптической системы глаза, преломляя проходящий через нее свет с силой примерно в 60.0 дптр.
Средняя оболочка глаза (или сосудистый тракт), располагающа-
яся сразу под склерой, состоит из собственно сосудистой оболочки (хориоидеи), ресничного (или цилпарного) тела и радужки,
Хориоидея выстилает изнутри весь задний отдел склеры, но прочно связана с нею лишь в месте выхода зрительного (оптического) нерва. Слабая механическая связь со склерой создает условия для возникновения отслоек сосудистой оболочки в тех ситуациях, когда часть содержимого глаза, создающего "подпор" изнутри, утрачивается, а жесткая, особенно "старческая", склера сохраняет свою форму.
Ресничное тело представляет собой среднюю утолщенную часть сосудистого тракта. Оно выступает в виде циркулярного валика внутрь глаза вблизи перехода склеры в роговицу и в разрезе имеет форму, близкую к треугольной, Задний отдел ресничного тела, называется ресничным кружком или плоской частью. Передний, выступающий внутрь, отдел содержит множество тонких ресничных отростков, вырабатывающих водянистую влагу, которая несет питательные вещества к бсссосудистым тканям (роговице и хрусталику) и способствует поддержанию нормального внутриглазного давления (ВГД). От кольца, образуемого ресничным венцом, начинается множество тончайших нитей, называемых цинновой (ресничной) связкой, удерживающей хрусталик.
Внешней частью сосудистого тракта является радужная оболочка, которая располагается не пристеночно, а во фронтальной плоскости лимба (места перехода склеры в роговицу). В центре радужки находится круглое отверстие — зрачок-Внутренняя оболочка глаза — сетчатка (ретина) — выстилает сосудистую оболочку изнутри. Макроскопически световосприни-мающая часть сетчатки имеет неравномерную толщину (от 0,08 в центре до 0,4 мм на периферии). Сетчатка совершенно прозрачна, имеет собственную сеть сосудов и лишь в двух местах плотно спаяна с сосудистой оболочкой — у диска зрительного нерва и у зубчатой линии, рядом с которой заканчивается плоская часть ресничного тела. Поэтому при разрывах сетчатка легко отслаивается, т. е. через разрыв под нее может затекать внутриглазная жидкость. Сетчатка играет роль периферического рецепторного (светочувствительного) отдела зрительного анализатора. Луч света, прежде чем достичь светочувствительного слоя сетчатки, проходит через прозрачные среды глаза и всю толщину сетчатки, от-
ражается от пигментного эпителия, тесно спаянного с хориоидееи, и попадает на клетки нейроэпителия, в которых возникает биоэлектрический импульс в ответ па световое раздражение.
Заключенное в оболочках содержимое глазного яблока состоит из прозрачных светопреломляющих сред. Задний отдел и центральная часть глазного яблока заполнены стекловидным телом, по консистенции напоминающим сырой белок куриного яйца. В норме стекловидное тело своей пограничной мембраной касается сетчатки и местами связано с ней. Если стекловидное тело отслоилось, но сохранило в каких-либо участках связь с сетчаткой, то возникают силы натяжения последней, и в этом месте может возникнуть клапанный или дырчатый ее разрыв. Помимо фиксации необходимого положения частей оптического аппарата стекловидное тело обеспечивает "демпфирование" колебаний внутриглазных структур, а также тесное прилегание друг к другу внутренних оболочек глаза.
Спереди в наиболее компактной части стекловидного тела имеется вдавление (fossa hyaloidea), в котором расположен хрусталик. Хрусталик имеет вид двояковыпуклой лиизы, подвешенной позади зрачка на цинковой связке. Прозрачное вещество хрусталика заключено в эластичную тонкую сумку, которая едина, но в ней выделяют переднюю часть (переднюю капсулу) и заднюю часть (заднюю капсулу), которые не препятствуют изменению формы под действием внутренних напряжений. Вещество хрусталика у детей мягкое, по к 20 годам формируется более плотное хрусталиковое ядро, которое с возрастом увеличивается в размере, и хрусталик теряет свою эластичность (обезвоживается или " склероз ируется"). Преломляющая сила хрусталика 20.0 дптр, и его основной функцией является аккомодация, т. е. приспособление к четкому зрению на разных расстояниях.
Роговица, водянистая влага, хрусталик, стекловидное тело и сетчатка составляют оптическую, или рефракционную, систему глаза.
Различные травматические повреждения или другие патологические состояния органа зрения проявляются в виде одной из причин слепоты и наступления инвалидности. Проблемы этиопато-генеза (причины и механизмы возникновения) и лечения отслойки сетчатки, глаукомы, развития отслойки сосудистой оболочки не те-
ряют своей актуальности и остаются в настоящее время одними из наиболее трудных в хирургии и тяжелых по исходам патологических состояний глаза [79, 184]. Для решения этих задач требуются комплексные исследования, связанные и с вопросами биомеханики глаза. Важную роль при этом играет и математическое моделирование данных процессов.
Некоторые вопросы, связанные с расчетом напряженно-деформированного состояния оболочки глаза после операций по лечению посттравматических отслоек сетчатки (циркляжа или эпи-склерального пломбирования глаза), представлены в работах [97, 109 —111]. В работе [179] напряженно-деформированное состояние глаза после таких операций изучается экспериментально.
В последнее время появился ряд работ [96,174, 197—201, 209, 210], посвященных изучению деформации решетчатой пластинки глаза под действием внутриглазного давления. В большинстве этих работ исследование проводится на основе клинических наблюдений [197, 198] или специальных экспериментальных исследований [199,201, 209, 210]. Некоторые вопросы, связанные с математическим моделированием этого процесса, освещены в работе [96].
Возможные механические причины развития послеоперационной отслойки сосудистой оболочки обсуждаются а работах В.В. Волкова [47,48]. Этому же вопросу посвящен большой раздел монографии офтальмолога Н.Б. Мелянчеико [107].
Для построения адекватных математических моделей потребовались данные о механических и геометрических характеристиках глаза, выявление факторов, оказывающих влияние на изменение этих параметров. Ряд таких работ, посвященных определению характеристик оболочки глаза, появился в последнее время. Испытания проводились па глазах человека и животных. В работах Саулгозиса Ю.Ж., Иомдипой Е.Н., Зимина Б.А. [86-88,137,138] и др. содержатся данные о толщине оболочки глаза, модулях упругости, пределах прочности при растяжении и сдвиге. Все параметры, как и любые параметры биологических тканей колеблются в широких пределах, зависят от возраста, от нагрузок, связанных с родом деятельности человека, от возможных заболеваний и пр. В некоторых работах [86-88] отмечается, что основная оболочка глаза, склера, является неоднородной и анизотропной. В других
работах [1,2,137,138] полагают, что анизотропией склеральной оболочки можно пренебречь.
Диссертация состоит из введения и четырех глав.
Математические модели. В главе 1 настоящей, работы рассмотрены простейшие математические модели эписклеральных противоотслоечных операций — цирк ляж а и пломбирования. Оболочка глаза рассматривается как тонкая сферическая изотропная оболочка, заполненная несжимаемой жидкостью. В зависимости от степени укорочения циркляжной ленты или нити определяется напряженно-деформированное состояние оболочки глаза. Рассматривается классический вариант циркляжа строго в экваториальном направлении. Если лента является узкой, решение представляется в виде суммы безмомеитного состояния и быстроменяющегося состояния п окрестности ленты, определяемого из уравнений краевого эффекта. В этом случае удается получить аналитические соотношения для максимального прогиба (вала вдавливания), изменения передне-задней оси, изменения внутриглазного давления и напряжений в окрестности циркляжной ленты в зависимости от степени укорочения и параметров ленты (ширины, толщины, жесткости). Результаты, полученные по аналитическим соотношениям, сравниваются с численными, полученными из решения уравнений осесимметричного деформирования сферической оболочки. С учетом относительно большой толщины оболочки глаза, проведено также сравнение с результатами, полученными по трехмерной теории упругости. Рассматривается также задача о локальной потере устойчивости оболочки глаза при наложении циркляжного шва.
Биомеханической концепции глаукомы посвящена глава 2. В рамках различных теорий анизотропных неоднородных пластин проведен расчет деформации различных по структуре решетчатых пластинок глаза при изменении соотношения внутриглазного и внутричерепного давления. Деформации сдвига на краю пластины могут приводить к атрофии зрительного нерва. Так как расчеты, проведенные на основе теории однослойных пластин, не позволяют объяснить тот факт, что по данным офтальмологов, атрофия зрительного нерва происходит именно при выходе из оболочки глаза, на "наружном слое", то рассматривается также модель многослойной пластинки в предположении, что слои могут проскальзывать
друг по другу. Определяются большие осесимметричные деформации пластинки. Представленные модели поддерживают механическую концепцию происхождения глаукоматозной атрофии зрительного нерва.
Одной из причин, вызывающих отслойку сосудистой оболочки при хирургических операциях, сопровождающихся ВСКрЫТИ-ем глазного яблока, является так называемый вакуум-синдром по В.В.Волкову [47, 48]. В главе 3 построены простейшие модели, позволяющие описать это явление. При этом склеральная оболочка рассматривается как сферическая композитная оболочка, находящаяся под действием нормального давления. На основе энергетического критерия Гриффитса определяется толщина слоя, наиболее "предрасположенного" к местной, локальной потере устойчивости. Рассмотрены также упругие статические задачи об отслоении тонкой балки и тонкой пластинки от полупространства под действием внутреннего давления. Эта модель иллюстрирует рост имеющейся трещины между сосудистой оболочкой и относительно толстой склерой.
В главе 4 рассмотрены некоторые задачи об устойчивости сферических оболочек: задача о бифуркации осесимметричиого равновесия сферической оболочки, находящейся под действием сосредоточенной силы и внутреннего давлния, в неосесимметричное состояние, а также влияние малых отклонений в кривизне, локализованных по параллели начальных несовершенств формы и толщины оболочки на величину критического внешнего давления. Так как ряд осложнений в офтальмологических процессах связан с явлением локальной потери устойчивости, то решение этих задач помогает объяснить некоторые из таких осложнений.
Методы решения. Решение поставленных задач было получено различными способами. При решении задач устойчивости, а также решении задачи о иапряженно-деформированном состоянии оболочки глаза при наложении циркляжа узкой лентой использовались асимптотические методы, разработанные для решения сингулярно возмущенных систем уравнений. Ряд аналитических соотношений, характеризующих влияние малой неоднородности, на прогиб и усилия решетчатых пластин, находящихся под действием Еіормального давления, получен методом возмущений, т.е. асим-
птотическим методом для регулярно возмущенных систем (прямыми разложениями [114]). Ряд результатов получен численными методами, в виде рядов по полиномам Лежандра, методом ортогональной прогонки и т.д. Для иллюстраций и дополнительной проверки некоторые задачи решались таккже по прикладной программе ADINA (900 nodes).
Задачи статики анизотропных неоднородных пластин и оболочек Решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упругости сопряжено с большими трудностями, и поэтому, как известно, создаются приближенные теории, сводящие трехмерные уравнения теории упругости анизотропного тела к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин. Широкое применение в механике анизотропных пластин и оболочек получила классическая теория, разработанная сначала для изотропных однородных структур [4-6,101,102]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пластин и оболочек от теории изотропных заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [8,42]. Для ряда орто-тропных объектов (прямоугольных и круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [4,5,42,101]. Для пластин другой формы решение получить гораздо сложнее, так как необходимо удовлетворять граничным условиям на контурах, не совпадающих с координатными линиями. Некоторые подходы к решению задач изгиба пластин сложной формы предложены в [44]. В [41] описан алгоритм построения приближенного решения для определения напряженно - деформированного состояния изотропных пластин произвольной формы. Дифференциальные уравнения в [41] представляются в полярной системе координат и удовлетворяются точно, а граничные условия - приближенно. Известны аналитические решения для жестко защемленных эллиптических однородных пластин.
Классическая теория была обобщена и на слоистые тонкостенные конструкции введением эффективных по толщине (приведен-
пых) характеристик жесткости [6,73]. В большинстве работ, посвященных исследованию напряженно - деформированного состояния слоистых структур, рассматриваются модели, в которых полагается, что контакт между смежными слоями является идеально жестким, и компоненты вектора перемещений остаются непрерывными по толщине. Однако в ряде случаев представляет интерес ослабленный контакт слоев. В работе [40] изучаются малые осесимме-тричныс деформации оболочек вращения из слоистого материала при наличии упругого проскальзывания по поверхности контакта между слоями. Расчет проведен для двуслойной цилиндрической оболочки. В монографии [75] рассмотрен ряд задач о деформировании цилиндрических и сферических оболочек при идеальном проскальзывании слоев. В работе [72] анализируются различные модели деформирования слоистых оболочек с различными условиями контакта слоев, а также рассмотрены различные модели расслоений - одного из наиболее распространенных дефектов в конструкциях из слоистых материалов. В [173,192] классический подход использован для решения задач об осесимметричном изгибе круглых изотропных пластин в случае, когда модуль упругости или толщина оболочки являются функциями радиальной координаты. Многочисленные результаты, полученные по классической теории анизотропных пластин, представлены в монографии С.Г. Лехницкого [101].
Однако дальнейшие исследования показали, что при рассмотрении некоторых прикладных задач классическая теория дает слишком грубые оценки и требует уточнения. К таким вопросам относятся, например, задачи о деформировании пластин средней толщины, особенно слоистых, о концентрации напряжений около отверстий, о распространении упругих волн, о высокочастотных колебаниях и др. В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы педеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига. Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко -гипотезе прямолинейного элемента [142, 127]. В монографии [127]
последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и таким образом фактически учтена транс-версальная изотропия материала оболочки. В ряде работ [73,74] теорию, изложенную в [127], называют теорией траисверсалыю-изотропных оболочек.
Расчету многослойных пластин и оболочек посвящено большое число работ, которые можно подразделить иа две группы. Отличительной чертой первой группы является принятие гипотез, характеризующих поведение всего пакета в целом. В этом случае порядок системы уравнений не зависит от числа слоев. Для второй группы характерно то, что гипотезы формулируются для каждого слоя отдельно. Теории, основанные на гипотезе ломаной линии, применяемые для многослойных оболочек, представлены в работах Э.И. Григолюка [69]. В связи с тем, что линейное распределение перемещений по толщине не всегда согласуется с решением трехмерных задач, получили развитие и другие модели. Обзор работ по уточненным теориям пластин, основанным на задании распределения перемещений, содержится в работе [180].
Развивались также модели теории оболочек и пластин, в которых задавались законы распределения касательных напряжений, согласованные с условиями нагружения лицевых поверхностей. Таким уточненным теориям анизотропных пластин и оболочек, посвящены монографии С.А. Амбарцумяна [4,6]. Основная из его теорий, названная общей уточненной теорией, основана на гипотезах Новожилова В.В. [120]: нормальное к срединной поверхности перемещение не изменяется по толщине, а касательные напряжения в плоскости, перпендикуляр]юй поверхности пластины, изменяются по толщине пластины по квадратичному закону. Эта теория позволяет получить более точное значение нормальной к срединной поверхности составляющей вектора перемещений. В монографии [4] на основе общей уточненной теории представлены решения задач об изгибе прямоугольных ортотропных пластин и симметрично нагруженных круглых пластин при различных условиях опирання краев.
Новая уточненная итерационная теория деформаций анизотропных пластин, удобная для разработки алгоритмов численных ре-
шений краевых задач, представлена и монографии В.А.Родионо-вой, Б.Ф.Титаева, К.Ф.Черныха [134]. Предложенная теория позволяет построить модель деформации пластины, учитывающую поперечные сдвиги, поперечные нормальные напряжения, повороты волокон, а также измєнєешє их длины.
В работе [74] представлен обзор исследований, посвященных физически и геометрически линейным анизотропным неоднородным оболочкам. Рассматриваются особенности, которыми обладают неоднородности, вызванные различными способами изготовления и температурными воздействиями. Проведено сравнение решений, полученных на основе некоторых уточненных теорий и в пространственной постановке.
При решении задач о напряженно - деформированном состоянии конструкций, состоящих и из массивных частей и из тонкостенных элементов также не всегда удобно везде применять трехмерные уравнения теории упругости. Работа [77] посвящена построению гетерогенной линейной математической модели теории упругости, то есть теории, в которой одновременно используются модели разной мерности. Общие уравнения теории упругости используются для более массивных составных частей конструкции, для тонкостенных областей используется теория оболочек типа Тимошенко.
Вопросам нелинейной теории оболочек посвящены труды И.И.Воровича, А.С. Вольмира, Э.И. Григолюка, К.З. Галимова, К.Ф. Черныха, С.А. Кабрица, и др.
В работах [91,152] предложен вариант нелинейных уравнений К.Ф. Черныха, учитывающий "кинематическое" обжатие. Еще один вариант нелинейных уравнений, учитывающих поперечные сдвиги по модели Тимошеико, представлен в работе [90]. Анализ осссимметричіїого деформирования полусферы, находящейся под действием внешнего давления, проведен в работе [89] на основе моделей, преложенных в [152,90]. Отмечается, что обе теории дают близкие результаты на начальном участке диаграммы деформирования и на участке зеркального выворачивания и дают существенно разные результаты в "критической" области.
Различные подходы к исследованию нелинейных задач о деформирования тонкостенных конструкций произвольного вида обсуждаются в монографии [70]. Кроме квадратичных вариантов нелинейных уравнений пластин и пологих оболочек, представлены
варианты квадратичных уравнений непологих оболочек Э.И. Гри-голюка, в частности вариант теории пепологих многослойных анизотропных оболочек произвольного вида. Методы решения геометрически нелинейных задач рассматривались в работах Григорел-ко Я.М., Василенко А.Т., Мяченкова В.И., Григорьева И.В. [73-77]
Как уже отмечалось, значительное число задач о напряженно - деформированном состоянии анизотропных неоднородных оболочек было решено с использованием гипотез о характере распределения напряжений, деформаций или перемещений по толщине. Теории, построенные методом гипотез, называют иногда [4,74] полуобратным методом теории упругости. Они являются наглядными и часто позволяют получить простые разрешающие соотношения. Однако этот метод не обладает возможностью построения процесса для уточнения получаемых результатов и иногда возникают трудности при оценке погрешности принятых аппроксимаций.
Следует отметить, что метод гипотез - не единственный способ сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин.
Метод асимптотического интегрирования, использующий малость относительной толщины оболочки, не только приводит к приближенным двумерным уравнениями, но и дает асимптотический порядок их погрешности. Для линейных конструкций этот метод успешно использовался во многих работах ([64-66] и Др.), подробно данный метод представлен в монографии А.Л. Гольденвейзера [64]. Для нелинейных задач применение метода асимптотического интегрирования наталкивается на существенные трудности. В работе П.Е. Товстика [205] при частных предположениях дается вывод двумерных нелинейных уравнений теории оболочек асимптотическим методом. Материал оболочки предполагается нелинейно упругим и изотропным.
Метод представления решения трехмерных уравнений упругости в виде степенного ряда по нормальной к срединной поверхности координате изложен в монографии [44].
Об устойчивости сферических оболочек При описании поведения тонких оболочек важным является исследование устойчивости этих объектов. Известно, что в теории устойчивости упругих консервативных систем различают два типа потери устойчивости. Первый тип по классификации Пуанкаре связан с поняти-
ем предельной точки, т.е. точки строгого максимума на кривых деформирования нагрузка-прогиб. (Потеря устойчивости в этом случае обычно называется прощелкиванием.) Второй тип связан с точкой бифуркации (ветвления), т.е. точкой, в которой существует два или более равновесных состояний конструкции. (В этом случае потеря устойчивости обычно называется выпучиванием.) Математическая задача об определении точек бифуркации обычно проще, чем задача об определении предельных точек, так как точки бифуркации определяются как собственные значения линейных задач. В начале века таким образом были получены и первые (классические) критические нагрузки для цилиндрических оболочек под действием осевого сжатия, а затем и сферических оболочек под действием внешнего давления. Однако сравнение экспериментальных и теоретических критических нагрузок показало, что экспериментальные, имея большой разброс, составляют меньше третьей части классических (полученных из линейных задач) критических нагрузок. В 1939 г. Т. Карман и Г,С. Тзянь в работе [187], посвященной именно устойчивости сферической оболочки, под действием внешнего давления, ввели фундаментально новый метод исследования устойчивости оболочек. Вместо бесконечно малых отклонений от докритического состояния они рассматривали конечные перемещения. Это исследование показало существенную роль нелинейных эффектов в выпучииании оболочек. Выяснилось, что новые формы равновесия, несмежные с безмо-ментпой, существуют при нагрузках, существенно меньших, чем классические критические значения. В работе [1S7] впервые были введены понятия верхней и нижней критических нагрузок и выявлено снижение выдерживаемой оболочкой нагрузки с ростом закритических деформаций. Верхней была названа наибольшая нагрузка, до которой исходное состояние не имеет смежных форм равновесия, а нижней - наименьшая нагрузка, до которой первоначальное состояние единственно. В качестве исходных уравнений в работе [187] использовались нелинейные уравнения пологих оболочек. Из-за сложности задачи в [187] использовался приближенный вариационный метод Ритца. После работы [187] полнилось большое число аналогичных исследований, разичающихся в основном только видом выражения, аппроксимирующего прогиб оболочки. Величины нижних критических нагрузок, полученные в этих
работах, лучше соответствовали экспериментальным данным, чем классическая верхняя нагрузка, и возникло предложение в качестве критерия устойчивости принимать нижнюю критическую нагрузку. Однако позднее с помощью ЭВМ было обнаружено, что величина нижней критической нагрузки уменьшается при увеличении числа членов, удерживаемых в разложении прогибов, а в некоторых работах были получены даже отрицательные значения этой величины, Доннелл [175] преложил объяснять низкие экспериментальные критические нагрузки цилиндрических оболочек наличием начальных несовершенств формы срединной поверхности. Этот факт подтвердили и эксперименты Р.Теннинсона, проведенные на моделях оболочек, достаточно точно изготовленных в вакуумных условиях, и показавшие хорошее соответствие с классической линейной теорией. Известно, что сферические оболочки под действием всестороннего сдавливания также являются весьма чувствительными к начальным прогибам. Особая чувствительность к несовершенствам цилиндрических и сферических оболочек объясняется наличием большого числа форм потери устойчивости, соответствующих одной и той же нагрузке для этих конструкций. Существенный вклад в общую теорию послекритического поведения несовершенных конструкций, находящихся под действием консервативных сил, внес в 1945 г. Койтер. Теория Койтера основана на рассмотрении малых, но конечных отклонений от основного (до-критического) состояния. Наиболее важным результатом теории Койтера является появление предельных точек, соответствующих случаю неустойчивого критического состояния "идеальной" упрощенной модели. Значение истинной критической тгагрузки оказывается в таких случаях очень чувствительным к влиянию начальных несовершенств. Теория Койтера позволяет получить асимптотические формулы, связывющиею параметр начальных несовершенств с отклонением значения критической нагрузки от классического, вычисленного для "идеальной" конструкции. При подходе Койтера чувствительность к несовершенствам описывается как мера начального послекритического поведения и определяется величиной первого ненулевого коэффициента в степенной зависимости параметра нагрузки от амплитуды бифуркационной формы потери устойчивости. На основе этой теории был решен ряд конкретных задач Койтером, Хатчинсоном и др. [183,188-190]. В
[189] Койтер подробно описал закритическое состояние сферической оболочки под действием внешнего давления с учетом влияния несовершенств, соответствующих различным формам потери устойчивости сферы. Осесимметричная потеря устойчивости пологой сферической оболочки при различных граничных условиях рассматривалась в работе [185]. Обзор работ, посвященных влиянию реальных несовершенств формы на устойчивость оболочек, представлен в [203]. В работе [67] на основе современных компьютерных методов и асимптотической теории Койтера представлен алгоритм расчета на устойчивость оболочки произвольной формы с учетом геометрических несовершенств формы. Особенности потери устойчивости многослойных оболочек, классификация возникающих при этом форм потери устойчивости, представлены в обзоре [125].
О деформировании тонкостенных конструкций с расслоениями Как отмечается в [72, 108], результаты экспериментов показывают, что при статическом сжатии начало разрушения связано с потерей устойчивости материала вдоль имеющихся расслоений. К настоящему времени проведено большое количество исследований, посвященных работе многослойных сред с различного рода несовершенствами поверхностей контакта между слоями. По-видимому, первая теоретическая оценка влияния дефектности структуры на свойства слоистого материала получена в работе В.В.Болотина [37]. Математические модели прочности и разрушения слоистых материалов с трещинами с учетом неоднородности их структуры подробно освещены в монографии [108]. В [108] эти модели разделены на два класса:
Модели определения скорости роста расслоений под действием постоянных или переменных нагрузок и определения критических размеров расслоений, при которых исчерпывается несущая способность конструкции [36] и
Задачи о деформировании конструкций с нераспространяющи-мися или распространяющимися с малой скоростью расслоениями, размеры которых меньше критических. В ряде работ [72, 108] такие расслоения названы равновесными.
На основе первого подхода, являющегося обобщением концепции Гриффитса на многопараметрические задачи, рассмотрены проблемы разрушения пластин, имеющих тонкие отслоения различной
формы в плане - прямоугольные, круговые, эллиптические. Обзор исследований, посвященных этому классу задач, представлен в работе [62].
Большинство задач по расчету конструкций с равновесными расслоениями решены в предположении, что расслоение находится вблизи поверхности сжатого элемента коЕЮТрукции или в сжатой зоне изгибаемого элемента. При этом учитывается возможное выпучивание, локальная потеря устойчивости, тонкого отслоившегося участка над расслоением [92,93]. В работах [92-95] энергетическим методом рассмотрены различные задачи устойчивости стержней, пластин и оболочек с расслоениями. Критическое напряжение, при котором происходит расслаивание, определяется сравнением энергии форм равновесия до и после прощелкивания с учетом работы разрушения. Величина этого напряжения зависит от толщины отслоившегося участка и, как показано в [93,96], имеет один минимум. Таким образом, определяется слой наиболее склонный к прошел киванию, и соответствующее напряжение рассматривается как нижняя оценка критического напряжения, при котором может происходить расслоение.
В работе [37] отмечается, что в зависимости от параметров слоистой оболочки и характера расслоения потеря устойчивости может сопровождаться не только "раскрытием берегов расслоения", но и взаимодействием слоев. При "раскрытии берегов расслоения" можно рассматривать локальную потерю устойчивости отдельных слоев и критическую нагрузку определять из решения задач устойчивости для отслоившегося участка. Если же происходит потеря устойчивости, и берега расслоения не расходятся, то надо рассматривать общую потерю устойчивости или смешанные формы потери устойчивости, а за критическое значение параметра нагрузки принимать наименьшее собственное значение, соответствующее форме потери устойчивости без пересечения берегов расслоения [37]. В работах [72, 78] отмечается, что напряженно - деформированное состояние слоистых конструкций с расслоениями изучено относительно меньше, чем устойчивость. В большинстве работ, посвященных расчету напряж енно- деформированного состояния тонкостенных конструкций с расслоениями, для решения задачи используется вариационные методы.
Целью данной работы является построение моделей некоторых из офтальмологических процессов. Постановка задач и получен* ные результаты обсуждались с врачами кафедры и клиники офтальмологии Российской воєнно-медицинской Академии, Медицин* ской Академии Последипломного Образования и Городской глазной больницы N 7.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Построен ряд математических моделей, описывающих неко
торые варианты эписклеральных противоотслоечных операций —
циркляжа. Модели позволяют описать напряженно - деформи
рованное состояние оболочки глаза для случая, когда циркляж
выполненн в "обычном" варианте (при наличие внутри оболочки
несжимаемой жидкости) или осуществляется на "сухом глазу", то
есть с откачкой внутриглазной жидкости и поддержанием посто
янного внутриглазного давления. Исследована устойчивость обо
лочки глаза при наложении циркляжного шва.
2. Построен ряд моделей развития глаукомы. Представлен
ные модели поддерживают механическую концепцию возникнове
ния глаукоматозной атрофии зрительного нерва. Получены асим
птотические соотношения для прогиба и деформаций сдвига решет
чатой пластинки в зависимости от неоднородности РП по радиусу
и по углу, а также в зависимости от степени отклонения формы
пластинки от круговой.
3. Построены простейшие модели возможных механизмов обра
зования отслойки сосудистой оболочки глаза. Выполнен расчет
нижней границы опасного напряжения, вызывающего расслоение.
4. С использованием асимптотических и численных методов
определены критические ЗЕїачения нагрузки и формы потери ус
тойчивости осесимметричного равновесия сферической оболочки
под действием сосредоточенной силы и внутреннего давления.
5. Для сферических оболочек и оболочек вращения, близких к
сферическим, находящихся под действием всестороннего давлени
получены асимптотические формулы, характеризугощие влияние
локализованных вдоль параллели несовершенств формы и откло
нений в толщине оболочке, на точку бифуркации осесимметрично
го равновесия.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11-35], [158-170]. Экспериментальные данные п работах [11, 13,16-
18,21,22,29], [162] получены Б.А.Зиминым. Медицинские аспекты в работах [11, 12,16-19,21,29], [162,163] представлены врачами- офтальмологами В.В.Волковым и А.Б.Качановым, А.И.Журавлевым. В работах [16,26,28,170] часть расчетов выполнена А.Н. Мироновым, в работах [30,164,168] — аспиранткой Е.Б.Воронковой, в работах [18,19] — Э.Н.Мишиной. Результаты работ [12,13,22,23,160,161] многократно обсуждались с П.Е. Товстиком. В работе [35] Бауэр СМ.написан раздел "Применение моделей оболочек и пластин в офтальмологии".
Результаты работы представлялись на I и II семинарах по биомеханике глаза в Московском НИИ глазных болезней им. Гельм-гольца. (1997, 2001 г.), на Международном конгрессе исследователей глаза (Париж, 1998), на конференции в Военно-медицинской академии С.Петербурга "Офтальмология на рубеже ьеков", посвященной 80 летию проф. В.В.Волкова (С.Петербург 2001), на II-YI Всеросийских конференциях по биомеханике (Нижний Новгород, 1994,1996,1998, 2000, 2002 г.),на семинаре в Доме "Ученых (С.Петербург, октябрь 1998) и на семинарах "Актуальные вопросы биомеханики зрительной системы человека" (С.Петербург 1999, 2001), на II Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике (Минск 1999), на восьмом всероссийский съезде по теоретической и прикладной механике в Перми (2001). Результаты были представлены на международных конференциях EUROMECH 3 (Механика Твердого тела, Стокгольм 1997), EUROMECH 4 (Меха-пика Твердого тела, Мец, 2000), 2 ой Европейской конференции по Компьютерной Механике (Краков 2001), 13 ой Европейской конференции по биомеханике (Вроцлав, 2002), 5 ом мировом Конгрессе по Компьютерной Механике (Вена, 2002).
Г л а в a 1
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА ПОСЛЕ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАЦИЙ ПО ОТСЛОЙКЕ СЕТЧАТКИ
Отслойка сетчатки — это такое патологическое состояние, при котором сетчатка теряет контакт с сосудистой оболочкой и отходит от нее внутрь полости глаза (рис. 1.1). Отслойка сетчатки может возникнуть в результате травмы глаза, например, при падении, ушибах головы, поднятии тяжести. Развитие отслойки приводит к разрыву сетчатки с последующим проникновением под нее внутриглазной жидкости.
Рис. 1.1.
В большинстве случаев отслойка сетчатки подлежит хирургическому лечению [7,9,56—58,83,99,146—149,153,154,191] с эвакуацией жидкости из образовавшейся полости [9,56—58,83,146—149,153] (или без пункции - без удаления жидкости [7,9,191]) и вдавлением наружных слоев оболочки глаза до совмещения их с отслоившейся сетчаткой.
Для вдавливания склеральной оболочки применяют различные приемы.
Особое место среди способов хирургического вмешательства занимает круговое вдавление или так называемый цирк ляж — перетягивание глаза нитью или лентой по параллели, (см. рис. 1.2,1.3).
Классический вариант циркляжа — круговое вдавливание строго в экваториальном направлении. Осуществляется циркляж перетяжкой оболочки глаза шелковой нерастяжимой нитью, силиконовой упругой нитью или лентой [56—58,146—149].
В некоторых случаях применяется также локальное пломбирование. Кроме описанных выше приемов используют комбинирование циркляжа и пломбы без пришивания пломбы к склере.
Популярность таких операций вызвана способностью закрывать множественные разрывы, относительной легкостью выполнения и обоснованностью с точки зрения биомеханики глаза.
Круговое вдавление, или так называемый циркляж, который появился исторически позже локального пломбирования и был введен в практику двумя выдающимися офтальмологами (К. Скепен-сом - 1954 г. и X. Арруга - 1958 г.), занимает особое место среди способов пломбирования, Циркляж с применением силиконовых эластичных имплантатов может быть выполнен в различных вариантах.
Иногда круговое вдавливание осуществляется силиконовой лентой (рис. 1.2).
Рис. 1.2.
Лента, концы которой соединяются в отрезок капиллярной трубки, проводится под прямыми мышцами. При этом лента должна без натяжения плотно облегать склеру в 10—12 мм от лимба. Она укрепляется над зоной разрывов четырьмя швами (ло одному в каждом квадранте). Для создания вала вдавливания каждый из
концов ленты протягивается через отрезок силиконовой капиллярной трубки примерно на 6 мм. Таким образом проводится укорочение окружности силиконовой ленты обычно на 11—12 мм.
Иногда для циркулярного вдавливания используется силиконовый жгут (рис. 1.3).
Кроме того, выполняется циркулярное "апплапирующее" пломбирование склеры. Пористый силиконовый жгут рассекается вдоль и образующийся при этом полуцилиндрический сегмент трубки подшивается наружной поверхностью.
Разработаны также методики операции цирк ляж а на "сухом глазу" [83], т. е. лечения посттравматических отслоек сетчатой оболочки введением различных газов в полость глаза, частично или полностью замещающих стекловидное тело в ходе операции.
Рис. 1.3.
В целях совершенствования техники проведения операций на сетчатке постоянно ведется поиск новых приемов и методов лечения.
Выбор оптимального способа оперативного вмешательства по-прежнему остается одним из ваяшых вопросов в хирургии отслоек сетчатки. Иногда при осложненных формах отслоек хирурги применяют более "жесткий " циркляж силиконовым жгутом. Чрезмерное затягивание циркляжной ленты или швов над пломбой является одним из важнейших факторов, вызывающих операционные и послеоперационные осложнения в хирургии отслойки сетчатки [7,9, 56—58, 146—149]:
повышение внутриглазного давления, вызывающее изменения в центральной артерии сетчатки;
синдром сдавливания, возникающий при пережатии цилиарных артерий или вортикозных вен;
продавливание циркляжной ленты или пломбы сквозь склеру в полость глаза — синдром "бельевой веревки";
отслойка сосудистой оболочки;
стойкое уменьшение размеров глаза, возникновение дополнительных складок.
В связи с этим понятно, что математическое моделирование играет важную роль при планировании и разработке операций по лечению посттравматических отслоек сетчатки.
Далее качественная картина напряжнно-деформировашюго состояния оболочки глаза при циркляже изучается с помощью простейших моделей.
О механических характеристиках оболочки глаза
Одной из причин, вызывающих отслойку сосудистой оболочки при хирургических операциях, сопровождающихся ВСКрЫТИ-ем глазного яблока, является так называемый вакуум-синдром по В.В.Волкову [47, 48]. В главе 3 построены простейшие модели, позволяющие описать это явление. При этом склеральная оболочка рассматривается как сферическая композитная оболочка, находящаяся под действием нормального давления. На основе энергетического критерия Гриффитса определяется толщина слоя, наиболее "предрасположенного" к местной, локальной потере устойчивости. Рассмотрены также упругие статические задачи об отслоении тонкой балки и тонкой пластинки от полупространства под действием внутреннего давления. Эта модель иллюстрирует рост имеющейся трещины между сосудистой оболочкой и относительно толстой склерой. В главе 4 рассмотрены некоторые задачи об устойчивости сферических оболочек: задача о бифуркации осесимметричиого равновесия сферической оболочки, находящейся под действием сосредоточенной силы и внутреннего давлния, в неосесимметричное состояние, а также влияние малых отклонений в кривизне, локализованных по параллели начальных несовершенств формы и толщины оболочки на величину критического внешнего давления. Так как ряд осложнений в офтальмологических процессах связан с явлением локальной потери устойчивости, то решение этих задач помогает объяснить некоторые из таких осложнений. Методы решения. Решение поставленных задач было получено различными способами. При решении задач устойчивости, а также решении задачи о иапряженно-деформированном состоянии оболочки глаза при наложении циркляжа узкой лентой использовались асимптотические методы, разработанные для решения сингулярно возмущенных систем уравнений. Ряд аналитических соотношений, характеризующих влияние малой неоднородности, на прогиб и усилия решетчатых пластин, находящихся под действием Еіормального давления, получен методом возмущений, т.е. асим птотическим методом для регулярно возмущенных систем (прямыми разложениями [114]). Ряд результатов получен численными методами, в виде рядов по полиномам Лежандра, методом ортогональной прогонки и т.д. Для иллюстраций и дополнительной проверки некоторые задачи решались таккже по прикладной программе ADINA (900 nodes). Задачи статики анизотропных неоднородных пластин и оболочек
Решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упругости сопряжено с большими трудностями, и поэтому, как известно, создаются приближенные теории, сводящие трехмерные уравнения теории упругости анизотропного тела к двумерным уравнениям теории оболочек и пластин. Широкое применение в механике анизотропных пластин и оболочек получила классическая теория, разработанная сначала для изотропных однородных структур [4-6,101,102]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пластин и оболочек от теории изотропных заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого подхода обсуждался в [8,42]. Для ряда орто-тропных объектов (прямоугольных и круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными, при определенных механических параметрах такой подход дает хорошие результаты [4,5,42,101]. Для пластин другой формы решение получить гораздо сложнее, так как необходимо удовлетворять граничным условиям на контурах, не совпадающих с координатными линиями. Некоторые подходы к решению задач изгиба пластин сложной формы предложены в [44]. В [41] описан алгоритм построения приближенного решения для определения напряженно - деформированного состояния изотропных пластин произвольной формы. Дифференциальные уравнения в [41] представляются в полярной системе координат и удовлетворяются точно, а граничные условия - приближенно. Известны аналитические решения для жестко защемленных эллиптических однородных пластин. Классическая теория была обобщена и на слоистые тонкостенные конструкции введением эффективных по толщине (приведен пых) характеристик жесткости [6,73]. В большинстве работ, посвященных исследованию напряженно - деформированного состояния слоистых структур, рассматриваются модели, в которых полагается, что контакт между смежными слоями является идеально жестким, и компоненты вектора перемещений остаются непрерывными по толщине. Однако в ряде случаев представляет интерес ослабленный контакт слоев. В работе [40] изучаются малые осесимме-тричныс деформации оболочек вращения из слоистого материала при наличии упругого проскальзывания по поверхности контакта между слоями.
Расчет проведен для двуслойной цилиндрической оболочки. В монографии [75] рассмотрен ряд задач о деформировании цилиндрических и сферических оболочек при идеальном проскальзывании слоев. В работе [72] анализируются различные модели деформирования слоистых оболочек с различными условиями контакта слоев, а также рассмотрены различные модели расслоений - одного из наиболее распространенных дефектов в конструкциях из слоистых материалов. В [173,192] классический подход использован для решения задач об осесимметричном изгибе круглых изотропных пластин в случае, когда модуль упругости или толщина оболочки являются функциями радиальной координаты. Многочисленные результаты, полученные по классической теории анизотропных пластин, представлены в монографии С.Г. Лехницкого [101]. Однако дальнейшие исследования показали, что при рассмотрении некоторых прикладных задач классическая теория дает слишком грубые оценки и требует уточнения. К таким вопросам относятся, например, задачи о деформировании пластин средней толщины, особенно слоистых, о концентрации напряжений около отверстий, о распространении упругих волн, о высокочастотных колебаниях и др. В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы педеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига. Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко -гипотезе прямолинейного элемента [142, 127]. В монографии [127]
Об устойчивости оболочки глаза при циркляже
Большинство задач по расчету конструкций с равновесными расслоениями решены в предположении, что расслоение находится вблизи поверхности сжатого элемента коЕЮТрукции или в сжатой зоне изгибаемого элемента. При этом учитывается возможное выпучивание, локальная потеря устойчивости, тонкого отслоившегося участка над расслоением [92,93]. В работах [92-95] энергетическим методом рассмотрены различные задачи устойчивости стержней, пластин и оболочек с расслоениями. Критическое напряжение, при котором происходит расслаивание, определяется сравнением энергии форм равновесия до и после прощелкивания с учетом работы разрушения. Величина этого напряжения зависит от толщины отслоившегося участка и, как показано в [93,96], имеет один минимум. Таким образом, определяется слой наиболее склонный к прошел киванию, и соответствующее напряжение рассматривается как нижняя оценка критического напряжения, при котором может происходить расслоение. В работе [37] отмечается, что в зависимости от параметров слоистой оболочки и характера расслоения потеря устойчивости может сопровождаться не только "раскрытием берегов расслоения", но и взаимодействием слоев. При "раскрытии берегов расслоения" можно рассматривать локальную потерю устойчивости отдельных слоев и критическую нагрузку определять из решения задач устойчивости для отслоившегося участка. Если же происходит потеря устойчивости, и берега расслоения не расходятся, то надо рассматривать общую потерю устойчивости или смешанные формы потери устойчивости, а за критическое значение параметра нагрузки принимать наименьшее собственное значение, соответствующее форме потери устойчивости без пересечения берегов расслоения [37]. В работах [72, 78] отмечается, что напряженно - деформированное состояние слоистых конструкций с расслоениями изучено относительно меньше, чем устойчивость. В большинстве работ, посвященных расчету напряж енно- деформированного состояния тонкостенных конструкций с расслоениями, для решения задачи используется вариационные методы. Целью данной работы является построение моделей некоторых из офтальмологических процессов. Постановка задач и получен ные результаты обсуждались с врачами кафедры и клиники офтальмологии Российской воєнно-медицинской Академии, Медицин ской Академии Последипломного
Образования и Городской глазной больницы N 7. На защиту выносятся следующие результаты: 1. Построен ряд математических моделей, описывающих неко торые варианты эписклеральных противоотслоечных операций — циркляжа. Модели позволяют описать напряженно - деформи рованное состояние оболочки глаза для случая, когда циркляж выполненн в "обычном" варианте (при наличие внутри оболочки несжимаемой жидкости) или осуществляется на "сухом глазу", то есть с откачкой внутриглазной жидкости и поддержанием посто янного внутриглазного давления. Исследована устойчивость обо лочки глаза при наложении циркляжного шва. 2. Построен ряд моделей развития глаукомы. Представлен ные модели поддерживают механическую концепцию возникнове ния глаукоматозной атрофии зрительного нерва. Получены асим птотические соотношения для прогиба и деформаций сдвига решет чатой пластинки в зависимости от неоднородности РП по радиусу и по углу, а также в зависимости от степени отклонения формы пластинки от круговой. 3. Построены простейшие модели возможных механизмов обра зования отслойки сосудистой оболочки глаза. Выполнен расчет нижней границы опасного напряжения, вызывающего расслоение. 4. С использованием асимптотических и численных методов определены критические ЗЕїачения нагрузки и формы потери ус тойчивости осесимметричного равновесия сферической оболочки под действием сосредоточенной силы и внутреннего давления. 5. Для сферических оболочек и оболочек вращения, близких к сферическим, находящихся под действием всестороннего давлени получены асимптотические формулы, характеризугощие влияние локализованных вдоль параллели несовершенств формы и откло нений в толщине оболочке, на точку бифуркации осесимметрично го равновесия. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11-35], [158-170]. Экспериментальные данные п работах [11, 13,16 18,21,22,29], [162] получены Б.А.Зиминым. Медицинские аспекты в работах [11, 12,16-19,21,29], [162,163] представлены врачами- офтальмологами В.В.Волковым и А.Б.Качановым, А.И.Журавлевым. В работах [16,26,28,170] часть расчетов выполнена А.Н. Мироновым, в работах [30,164,168] — аспиранткой Е.Б.Воронковой, в работах [18,19] — Э.Н.Мишиной. Результаты работ [12,13,22,23,160,161] многократно обсуждались с П.Е. Товстиком. В работе [35] Бауэр СМ.написан раздел "Применение моделей оболочек и пластин в офтальмологии". Результаты работы представлялись на I и II семинарах по биомеханике глаза в Московском НИИ глазных болезней им. Гельм-гольца. (1997, 2001 г.), на Международном конгрессе исследователей глаза (Париж, 1998), на конференции в Военно-медицинской академии С.Петербурга "Офтальмология на рубеже ьеков", посвященной 80 летию проф. В.В.Волкова (С.Петербург 2001), на II-YI Всеросийских конференциях по биомеханике (Нижний Новгород, 1994,1996,1998, 2000, 2002 г.),на семинаре в Доме "Ученых (С.Петербург, октябрь 1998) и на семинарах "Актуальные вопросы биомеханики зрительной системы человека" (С.Петербург 1999, 2001), на II
Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике (Минск 1999), на восьмом всероссийский съезде по теоретической и прикладной механике в Перми (2001). Результаты были представлены на международных конференциях EUROMECH 3 (Механика Твердого тела, Стокгольм 1997), EUROMECH 4 (Меха-пика Твердого тела, Мец, 2000), 2 ой Европейской конференции по Компьютерной Механике (Краков 2001), 13 ой Европейской конференции по биомеханике (Вроцлав, 2002), 5 ом мировом Конгрессе по Компьютерной Механике (Вена, 2002). Отслойка сетчатки — это такое патологическое состояние, при котором сетчатка теряет контакт с сосудистой оболочкой и отходит от нее внутрь полости глаза (рис. 1.1). Отслойка сетчатки может возникнуть в результате травмы глаза, например, при падении, ушибах головы, поднятии тяжести. Развитие отслойки приводит к разрыву сетчатки с последующим проникновением под нее внутриглазной жидкости. В большинстве случаев отслойка сетчатки подлежит хирургическому лечению [7,9,56—58,83,99,146—149,153,154,191] с эвакуацией жидкости из образовавшейся полости [9,56—58,83,146—149,153] (или без пункции - без удаления жидкости [7,9,191]) и вдавлением наружных слоев оболочки глаза до совмещения их с отслоившейся сетчаткой. Для вдавливания склеральной оболочки применяют различные приемы. Особое место среди способов хирургического вмешательства занимает круговое вдавление или так называемый цирк ляж — перетягивание глаза нитью или лентой по параллели, (см. рис. 1.2,1.3).
О больших прогибах решетчатой пластинки
Склера, занимающая 5/6 фиброзной оболочки глаза, состоит из плотной соединительной ткани. Недалеко от заднего полюса через склеру из глаза выходит зрительный нерв (рис.1). Сплошного дефекта склеры в этом месте нет, а имеются ее истончения и множество мелких отверстий, через которые проходят пучки зрительного нерва. Участок склеры, через который проходит зрительный нерв, называют решетчатой пластинкой. Решетчатая пластинка играет важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений ( ВГД и ВЧД ). "Склеральная пластинка в зоне диска зрительного нерва должна быть перфорированной и вместе с тем эластичной, чтобы не ущемлять нервные волокна при колебаниях ВГД" [116]. По одну сторону от решетчатой пластинки в межоболочечном пространстве зрительного нерва находится цереброспинальная жидкость, по другую — стекловидное тело глаза. Таким образом, "в норме уровни давления по одну и по другую сторону от решетчатой пластинки диска зрительного нерва различны, и со стороны глаза мембрана испытывает постоянно вдвое большее механическое воздействие" [49]. "Иными словами, решетчатая пластинка выступает в роли мембраны, сдерживающей сдвиги давления либо по одну (в глазу) либо по другую (в зрительном нерве и мозге) сторону". [82] Известно [49,55,116,117], что при глаукоме утрата зрения наступает как следствие атрофии зрительного нерва как раз на уровне решетчатой пластинки. На данный момент не существует единого мнения, объясняющего развитие глаукоматозной атрофии зрительного нерва. С середины прошлого века существует две точки зрения на этот процесс. Одни ученые, начиная с A. von Graefe (1857 г), выступают за признание механического генезиса этой атрофии. Это положение поддерживают J.Emery [177], R.Radius, A.Maumenee [202], D.Minckler [195], В.В.Волков [49-55]. Другие, Е. Jaeger и его последователи, за щцемическую (сосудистую) природу этого заболевания. К сторонникам сосудистого генеза глаукомы относятся D.O.Harington [181], А.П.Нестеров [116,117]. В настоящее время сохраняются обе эти точки зрения, однако "роль механического фактора" признается и сторонниками ишемической концепции [115,119].
Одним из наглядных доказательств роли механического фактора может служить следующий эксперимент, описанный в [53, 54]. Глаз подвергался воздушной или вакуум-компрессии и как только решетчатая пластинка начинала прогибаться, в поле зрения испытуемых появлялись типичные для глаукомы дефекты. Существенно, что никаких нарушений кровообращения ни в диске зрительного нерва, ни в сетчатке во время эксперимента замечено не было. Сразу после прекращения компрессии зрительные функции полностью восстанавливались. Классическим симптомом глаукомы долгое время считалось повышение ВГД. Однако, в настоящее время отмечается "часто неопределенный характер симптомов в начальной стадии заболевания, существование доброкачественной офтальмогипертензии, с одной стороны, и глаукомы с нормальным давлением - с другой" [119]. (Доброкачественной офтальмогипертензией офтальмологи называют превышение нормативных показателей ВГД, не приводящее к нарушениям в структуре и функциях зрительного нерва.) "При гипертензиях, которые еще не приняли характер глаукома-тозных, решетчатая пластинка хорошо противостоит гипербарической нагрузке изнутри" [119]. По определению В.В.Волкова [51] "Глаукома, это прежде всего специфическое нарушение зрительных функций от сдавления нервных волокн, обусловленного выпячиванием решетчатой мембраны из полости глаза. ... Глау коматозная атрофия отличается от всех других наличием вдавливания на диске за счет действительного выпучивания решетчатой пластинки из глаз (—экскавации диска зрительного нерва)".
Как показали исследования H.Quigley, E.Addicks [197,199], предпосылкой к появлению экскавации служат не особенности строения сосудистой сети диска, а неоднородность решетчатой пластинки глаза на разных участках. Интересно отметить, что в 1996 году в Канаде предложен новый способ лечения глаукомы, основанный на синтезе биополимеров, укрепляющих решетчатую пластинку глаза [186]: "Биополимер вводится в область основания зрительного нерва и затем после окончательной полимеризации затвердевает и предохраняет основание зрительного нерва от механических воздействий повышенного давления." Придерживаясь механического генезиса глаукомы, В.В. Волков [50—55] предложил КОЕЩСПЦИЮ происхождения глаукомы псевдо-нормалыюго давления (при ВГД, не выходящим за пределы статистической нормы). Он рассматривает оба глазных яблока, зрительные нервы и полость мозгового черепа как единую систему. Если отношение внутриглазного давления к внутричерепному давлению увеличивается по сравнению с нормальным для конкретного пациента значением [49, 45] (а это может происходить не только вследствие увеличения ВГД, но и за счет уменьшения ВЧД), то решетчатая пластинка прогибается. Вместе с нею начинает как бы "выдавливаться" из глазного яблока диск зрительного нерва (ДЗН). Появляется так называемая экскавация зрительного нерва. При повышении ВЧД или при глазной гипотонии (например, после травмы или операции [49]) образуется так называемый застойный ДЗН, решетчатая пластинка деформируется внутрь глазного яблока. В медицинской литературе имеются данные [45,49—55,82,116— 119], подтверждающие концепцию В.В.Волкова, о неблагоприятном течении глаукоматозного процесса при системной артериальной, а следовательно, и цереброликворпой гипотонии и о более благоприятном течении этого процесса при повышенном артериальном давлении, Итак, как уже отмечалось, многочисленные экспериментальные данные [49,82,116,117] говорят о том, что при повышеннии ВГД такие явления, как отечность зрительно - нервных аксонов, их дез
Удельная работа разрушения
Как уже отмечалось, глазное яблоко имеет неравномерную толщину и состоит из трех основных оболочек: наружной фиброзной капсулы толщиной 0.6 -1.2 мм, средней сосудистой оболочки толщиной 0.3-0.4 мм и внутренней оболочки — сетчатки, толщина которой меняется от 0,08 до 0,4 мм. Форму глазного яблока определяет плотная фиброзная оболочка склера, предохраняющая более нежные внутренние структуры глаза. Средняя оболочка глаза состоит из сосудистой оболочки, располагающейся сразу под склерой, ресничного (цилиарного) тела и радужки (рис.3.1). Анатомическое соотношение между ресничным телом и склерой таково, что они прочно соединены между собой только в переднем отделе — в области так называемой склеральной шпоры, сосудистая оболочка связана со склерой в четырех точках по экватору глазного яблока (места выхода из глаза так называемых варикозных вен) и сзади — у зрительного нерва. На всей остальной (увеосклеральныЙ путь). Такое соединение ресничного тела и сосудистой оболочки со склерой создает условие для отслоения средней оболочки, которое иногда возникает после операций, сопровождающихся вскрытием глазного яблока, особенно в пожилом возрасте [10,47,48,107]. Существуют различные предположения о происхождении такой отслойки [100, 107]. В работе [106] высказано предположение, что цилиохориоидальная отслойка (ЦХО) происходит в результате нарушения концентрации белка во влаге передней камеры глаза. Авторы работы [3] полагают, что ЦХО возникает из-за нарушения внутриглазной гемодинамики. По мнению В.В.Волкова [47,48] к развитию послеоперационной отслойки сосудистой оболочки приводит ряд следующих механических факторов. 1, Послеоперационная деформация роговично-склералъной капсулы глаза вследствие извлечения или потери части его содержимого (рис.3.1,а). Сумка хрусталика, остающаяся в глазу, сдерживает стекловидное тело от движения вперед, и тогда после опорожнения камеры и извлечения хрусталика роговица неизбежно прогибается назад, заполняя образовавшуюся пустоту, или в камеру заскакивает пузырек воздуха (рис.3.1,б). Если после интра-капсулярного извлечения хрусталика не наблюдается деформация роговицы, то это происходит потому, что деформировалась склера (рис.3.1, в). 2.
Герметизация раны в капсуле глаза при дефиците его со держимого, т.е. еще до того, как оболочка глаза расправилась до обычного состояния. В послеоперационном периоде давление в оперированном глазу начинает постепенно возрастать, прибли жаясь к нормальному. Наступает момент, когда с помощью вос станавливающегося офтальмотонуса и под влиянием собственных упругих сил (рис.3.1, г) деформированная склера расправляется (рис.3.Іуд), как это бывает с вмятиной в стенке несильно надутого резиного мяча. 3. Возрастное уплотнение (склерозирование) склеры, отмечен ное В.П.Филатовым и С.Ф.Кальфа (1953) и др., выступает как важная сила, ведущая к восстановлению формы глаза. Этот фактор является существенным в реализации описанного выше процесса. 4. Тенденция к образованию вакуума з супрахориоидалъном про странстве. Анатомическое соотношение между ресничным те лом и склерой создает условие для быстрого восстановления ша ровой формы склеры после окончания операции и восстановления внутреннего объема глаза. Более "мягкая" сосудистая оболочка "не успевает" за более жесткой склерой. Сосудистую оболочку сдерживают соединенные с ней сетчатка и стекловидное тело. В результате образуется полость с пониженным давлением. Данная полость, как пишет В.В.Волков [47], "подобно кровососной банке ex vaco, начинает насасывать в супрахориоидальное пространство жидкие фракции лимфы, крови, стекловидного тела из всех сосед них областей." 5. Заполнение супрахориоидалъного пространства, жидкостя ми.
Все несвязные жидкости внутри глаза устремятся сквозь ми кропоры в его структурных элементах в направлении намечающе гося в супрахориоидальном пространстве вакуума. разрушения — в виде макротрещины, распространяющейся по поверхности раздела, т. е. трещены расслоения. В механике разрушения композитных материалов известно влияние структуры материала на картину разрушения. В частности, в зонах сжатия может произойти отслоение, причиной которого является местная потеря устойчивости, обычно сопровождающаяся разрывом связующего [36,92—94,139]. Полный анализ этого динамического процесса труден, поэтому Ъспользуемся предложенным в работах Л.М.Качанова [92—95] подходом, основанном на энергетическом критерии Гриффитса и приводящим к нижней оценке напряжений расслаивания. Предполагается, что перед выщелкиванием в слое толщиной ho накоплена упругая энергия сжатия U\. После выщелкивания этот слой будет обладать энергией С/г, которую в этом случае полагают преимущественно энергией изгиба [95]. Исходя из концепции Гриффитса работа разрушения представляется в виде где S — площадь поверхности отрыва, а 7 — удельная работа разрушения, т. е. работа разрушения, необходимая для образования единицы площади свободной поверхности (при этом образуются две свободные поверхности площадью S). Предполагается, что при отслаивании происходит переход к более низкому энергетическому уровню, т.е. нижняя граница опасного напряжения определяется из соотношения В работе [95] отмечается, что необходимо различать случаи отслаивания с плоской и кривой поверхности. В случае отслаивания с кривой поверхности можно не учитывать сжатие отслаиваемого участка и полагать, что амплитуда выпучивания не зависит от напряжений сжатия. В этом случае потенциальная энергия изгиба изотропного слоя имеет вид
