Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Реакция деформируемых тел при их статическом взаимодействии
1.1. О существующих моделях упругого основания 28
1.2. Постановка задачи взаимодействия деформируемых тел 33
1.3. Реактивное давление на прямоугольной площадке 44
1.4. Реактивное давление на цилиндрической поверхности 51
1.5. Реактивное давление на прямоугольных в плане поверхностях 60
1.6. К определению реакции тела сложной формы 69
1.7. Реакция вязко-упругого тела
ГЛАВА II. Напряженно-деформированное состояние пологих оболочек с упругим телом
2.1. Постановка задачи 83
2.2. Деформация оболочки с упругим телом 92
2.3. К вопросу о граничных условиях 100
2.4. Осесимметричная деформация цилиндрической конструкции 106
2.5. Неосесимметричная деформация системы под действием радиальных нагрузок
ГЛАВА III. Устойчивость пластин на упругом основании
3.1. Основные соотношения устойчивости пластин на упругом основании 124
3.2. Устойчивость бесконечно широкой ортотропной пластинки на упругом основании 130
3.3. Пластинка конечных размеров на упругом основании при одноосном сжатии 136
3.4. Комбинированное нагружение
3.5. Устойчивость прямоугольных пластин за пределом упругости 150
ГЛАВА IV. Устойчивость цилиндрических оболочек с заполнителем
4.1. Основные соотношения устойчивости оболочек с заполнителем 157
4.2. Сжатие замкнутой оболочки с заполнителем вдоль образующей 162
4.3. Оболочка с заполнителем при внешнем давлении 170
4.4. Устойчивость оболочки с заполнителем при кручении
4.5. Устойчивость при изгибе 183
4.6. Устойчивость конструкции в температурном поле 189
4.7. Устойчивость моментного состояния оболочки с заполнителем при совместном действии внешнего давления и осевого сжатия 197
4.8. Устойчивость конструкции за пределом упругости 205
ГЛАВА V. Устойчивость оболочек вращения
5.1. Об основных допущениях и методе решения . 211
5.2. Сферическая оболочка с заполнителем
5.3. Произвольная оболочка вращения 221
5.4. Устойчивость за пределом упругости 226
ГЛАВА VI. Вопросы динамки оболочек с заполнителем
6.1. Постановка задачи о динамике системы оболочка - заполнитель 231
6.2. Собственные колебания системы оболочка - упругое тело 238
6.3. Примеры по определению собственных частот 243
6.4. Параметрические колебания 249
6.5. Устойчивость пологой конструкции, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа
Основные результаты и выводы 261
Литература
Приложение
- Реактивное давление на прямоугольных в плане поверхностях
- Осесимметричная деформация цилиндрической конструкции
- Устойчивость бесконечно широкой ортотропной пластинки на упругом основании
- Устойчивость моментного состояния оболочки с заполнителем при совместном действии внешнего давления и осевого сжатия
Введение к работе
Исследования прочности, устойчивости и динамики конструкции, состоящей, в основном, из тонкостенных элементов (пластин, оболочек), связанных с деформируемым телом (основанием, заполнителем), вызваны широким применением их в современной технике. В частности, они встречаются в виде теплоизоляционных панелей в гражданском строительстве; подземных и подводных емкостей и трубопроводов в промышленном строительстве; различного рода амортизационных устройств в машиностроении; твердотопливных двигателей в ракетостроении и т.п. Характерной особенностью таких конструкций является то, что модуль упругости обо- лочечных элементов на несколько порядков выше, чем модуль упругости деформируемого тела. Теоретическое изучение эксплуатационных характеристик их тесно связано с решением задач взаимодействия деформируемых объектов при статических и динамических нагрузках.
Состояние вопроса
К настоящему времени накоплена обширная научная литература по разработке теории и методов решения задач статики и динамики отдельных элементов конструкции. Основополагающие результаты в области механики оболочек получены Амбариумяном С.А., Болотиным В.В., Власовым В.З., Вольмиром А.С., Галимовым К.З., Гольденвейзером АЛ., Григолюком Э.И., Ильюшиным А.А., Кильчев- ским Н.А., Лурье А.И., ВДуштари Х.М., Новожиловым В.В., Огиба- ловым П.Н., Колтуновым М.А., Работновым Ю.Н., Саченковым А.В., Тимошенко СЛ., Черных К.Ф. и другими. В область механики деформируемых тел внесли большой вклад Блох В.И., Ван Цзи-де, Гузь А.Н., Лурье А.И., Ляв А., Новожилов В.В., Мусхелишвили Н.И., Седов Л.И. и т.д. Однако вопросы взаимодействия оболочек
с заполнителем (в частном случае, пластин с упругим основанием) оказались недостаточно исследованными. По-видимому, книгу [132] следует считать первой попыткой объединить исследования по расчету на прочность, устойчивость и динамику тонкостенных элементов, взаимодействующих с деформируемыми объектами.
В зависимости от расчетной схемы, используемой для описания поведения заполнителя, исследования можно разделить на две группы.
К первой отнесем те работы, в которых заполнитель моделируется основанием типа Винклера либо Пастернака. Расчетная схема в этом случае является наиболее простой, поскольку коэффициенты пропорциональности в таких моделях считаются постоянными и не зависят от геометрических и физических характеристик конструкции. Получаемые здесь результаты отражают иногда качественную сторону поведения оболочки, однако судить о количественной стороне затруднительно, поскольку коэффициенты пропорциональности по существу не известны. Кроме того, поведение самого заполнителя остается не определенным. Анализ состояния вопроса при этом подходе имеется в обзорной статье [92], где дается библиография по расчету напряженно-деформированного состояния рассматриваемых конструкций, а по работам [6,99,132, 213,236] можно судить о результатах, достигнутых в решении задач устойчивости.
Ко второй группе отнесем работы, в которых заполнитель рассматривается как трехмерное деформируемое тело и описывается уравнениями теории упругости или вязкоупругости. Поскольку здесь будут рассмотрены вопросы статики и динамики как оболочки, так и заполнителя, то приводится анализ только второй группы исследований. При этом можно выделить три основных направления:
первое из них связано с определением напряженно-деформированного состояния конструкции, второе - с потерей устойчивости при статических и третье - с поведением конструкции при динамических нагрузках.
I. Напряженно-деформированное состояние оболочки с заполнителем.
Наибольшее количество исследований в этом направлении посвящено расчету цилиндрических конструкций. Начало игл положили работы [260,266,268,26у] , в которых рассматривалось плоское напряженное состояние вертикально расположенного тяжелого цилиндра, заключенного в абсолютно жесткую оболочку. Решение указанных задач с учетом деформации оболочки проводилось в [70,191, 261,262] . В [ИЗ] аналитическими и в [134] численными методаш подобные исследования обобщаются на случай деформации вертикального цилиндрического сектора и упругого параллелепипеда [192]. Упругое и вязкоупругое поведение системы ортотропная оболочка-наполнитель изучалось в [80-84,216] .
Исследование горизонтально расположенной конструкции в поле сил тяжести проводилось рядом авторов. Сюда можно отнести работы [95,114], в которых рассматривалась деформация длинных цилиндрических оболочек с заполнителем, опирающихся на равноотстоящие друг от друга узкие опоры [114] или на сплошные опоры [95] . Случай опирания конструкции конечной длины на две узкие опоры с заданным углом их обхвата изучался в [90,91,93,94, 112] . Решение представлялось в виде двойных тригонометрических рядов, позволяющих удовлетворять граничным условиям на торцах в интегральном смысле. Точное их выполнение проведено в работе [264] путем комбинации аналитического и численного методов. Здесь предполагалось, что оболочка находится в безмоментном состоянии, в то время как в рассматриваемых задачах могут иметь место значительные перерезывающие силы и моменты, особенно в окрестности опор. Равновесие подкрепленной кольцом ортотропной цилиндрической оболочки с тяжелым заполнителем рассматривалось в [246,247]. Общий случай нагружения подобной конструкции без кольца отражен в работе [21].
Другой круг исследований посвящен вопросам напряженно-деформированного состояния конструкции при радиальных нагрузках, локализованных или сосредоточенных по ее внешней поверхности. В частности, изгиб цилиндрической оболочки при осесимметрич- ной нагрузке изучался в работах [22,23,59,276,281-283]. При этом в [59] используются решения плоской задачи теории упругости, в [276] - функции напряжений типа Буссениска-Неибера и в [276,282,283] - функции Лява. Анализ неосесимметричного напряженно-деформированного состояния конструкций проведен в работах [31,57,58,60,61,118-121,230]. Влияние подкреплений цилиндрических оболочек с заполнителем в виде колец и продольных ребер на прочность приведено в [240-244,246]. В работе [244] дается решение задачи, позволяющее учесть взаимное влияние подкрепляющих колец при их частом расположении. Конструкции с редко расположенными кольцами рассматривались в [242,243], где выявлены условия, при которых их взаимным влиянием на поведение системы можно пренебречь.
Ряд работ посвящен вопросам поведения конструкции при других видах нагружения. К ним относятся [69,71,72,84,148,149,245], где исследовалась осесимметричная деформация оболочки с заполнителем при внутреннем давлении. При этом решение задачи в [245] проводилось аналитическими методами, в [69,71,72] - методом конечных разностей, а в [148,149] использован метод конечных элементов. Температурные напряжения в конструкции изучались в [41,
135,146,152,224], совместное действие температуры и внутреннего давления - в [71,72]. В [80,84] рассматривается напряженно- деформированное состояние ортотропной оболочки с заполнителем конечной длины при действии внутреннего давления и растягивающих усилий. Решение задачи сводится к решению систем алгебраических уравнений 97 порядка. Аналогичные конструкции под действием внешнего давления и осевого сжатия рассмотрены в работах [42,49]. При этом внутренняя поверхность заполнителя усилена тонкой оболочкой. Неосесимметричная деформация при различных видах нагружения изучалась в [55,220,267]. Упрощенное решение задачи о взаимодействии цилиндрической оболочки с упругим наполнителем дано в [220]. Экспериментальное исследование прочности конструкции при внешнем давлении проводилось в работах [85,87].
Напряженно-деформированное состояние системы оболочка-заполнитель отличных от цилиндрических форм изучалось в работах [5,83,117,153,215]. В них исследовались сферические конструкции в температурном поле [5,153,215] и оболочки вращения при равномерном внешнем давлении [83]. Осесимметричный нагрев анизотропных оболочек вращения с заполнителем приведен в [117] . При этом использовались аналитические методы решения задач, за исключением работы [215] , где применен метод конечных элементов.
2. Другое направление решения задач взаимодействия оболочек с заполнителем связано с исследованием устойчивости их к воздействию статических нагрузок. Этим вопросам посвящено наибольшее количество исследований, отличающихся как их постановкой, так и методом решения. Многие из них отражены в обзорах [99,132,213,226,236]. Современная теория и практика расчета на устойчивость тонких оболочек без заполнителя отражена в книге [53].
Сравнительно небольшое количество работ посвящено устойчивости пластин на упругом основании [15,73,76-78,86,89,144, 145,174,219,221,257,258,271,272,277,284]. В первой из них рассматривалась полоса, связанная с упругой полуплоскостью; в [73, 76-78] изучалась пластинка, связанная с основанием конечной толщины, при одноосном сжатии и при комбинированном нагружении [78]. Экспериментальное определение критических нагрузок отражено в статье [78]. В [73] приведено поведение этих конструкций в закритической области. Случай трехслойных пластин при комбинированном нагружении и при совместном действии температуры и одноосного сжатия исследовался в работах [144,145]. При этом заполнитель рассматривался как трехмерное упругое тело. В [257] на основе принципа виртуальных работ записываются условия равновесия системы пластинка - упругое тело и соотношения на контактной поверхности при решении задачи односторонней потери устойчивости пластинки, опертой без трения на деформируемое тело.
В работах [86,89,219,221,258,272] реакция упругого тела моделируется основанием Винклера, а в [284] - основанием Пастернака. Влияние нелинейных свойств подкрепления на значения критических нагрузок исследовалось в [174,271].
Наибольшее внимание уделено устойчивости цилиндрических конструкций. Значительное распространение в этих исследованиях получила расчетная модель, в которой учитывается воздействие заполнителя на оболочку только в радиальном направлении. Это оправдывается тем, что потеря устойчивости цилиндрических конструкций от действия радиального давления обычно характеризуется образованием вдоль оси полуволны, а по окружности - нескольких. Исходя из этого, в одних из первых работ [275,280] предлагается рассматривать заполнитель как систему плоских дисков, не связанных между собой. Эта же модель использовалась в работах [140,20l]. В последней исследовалась устойчивость конструкции при раздельном действии осевого сжатия и внешнего давления. Наиболее строгим следует признать подход, основанный на решении уравнений трехмерной теории упругости для заполнителя. Такой подход был использован в работе [274] при решении задач устойчивости цилиндрической оболочки со сплошным заполнителем при названных выше нагрузках и их комбинациях. Получаемая при этом расчетная схема сравнительно проста и дает вполне удовлетворительные результаты, согласующиеся с экспериментом [274]. Поэтому она нашла применение и при решении других задач устойчивости при кручении [278], при исследовании орто- тропных [270], анизотропных [265] оболочек с заполнителем, изучении поведения конструкции после потери устойчивости [256] и т.д. [26,28,248]. Анализ этих работ показывает, что при увеличении жесткости заполнителя критические давления возрастают, причем это возрастание наибольшее при действии радиального давления и наименьшее - при осевом сжатии. Влияние граничных условий на величину критических нагрузок сказывается лишь для коротких оболочек. Уже при L/R^0.5 оно несущественно [25,43, 48,222] . Кроме того, влияние отрыва заполнителя от оболочки на значения осевой критической нагрузки также незначительно, хотя суммарная поверхность отрыва может достигать и третьей части поверхности контакта [2б].
Исследования [166], проведенные в задаче устойчивости цилиндрических конструкций средней длины под действием радиального давления, показали, что верхние и нижние критические нагрузки совпадают уже при весьма малой жесткости заполнителя.
При малой суммарной толщине оболочки и заполнителя получается хорошее совпадение результатов с решением по теории двухслойных оболочек (для системы оболочка - заполнитель) или по теории трехслойных оболочек (для системы оболочка - заполнитель - - оболочка) как при осевом сжатии [44], так и при внешнем давлении [45,166].
Б работах [227,228,231,280] и других показано, что жесткое склеивание оболочек с заполнителем повышает, в основном, осевую критическую нагрузку не более чем на 8-10$. Это объясняется тем, что главным стабилизирующим фактором при потере устойчивости оболочек с заполнителем является радиальное напряжение .
Другой круг задач посвящен вопросам устойчивости оболочек с учетом докритического напряженного состояния заполнителя. Начало этим исследованиям положено в работе [263], в которой рассматривалась длинная цилиндрическая конструкция при гидростатическом нагружении. Обобщение этих исследований на случай конструкции конечной длины содержится в [34,35,142,156,157]. Решение аналогичных задач при осевом сжатии проведено в [32, 33,36-38,54], а при кручении - в работе [141]. Анализ полученных результатов показывает, что для довольно широкого диапазона изменения жесткостных и геометрических характеристик конструкции можно пренебречь влиянием изменения геометрии заполнителя при выводе уравнений нейтрального равновесия и состояния его описывать линейными уравнениями Ляме. Однако в некоторых задачах при коэффициенте Пуассона заполнителя ~0.5это влияние может быть значительным [46,102,263].
Обычно поверхность контакта оболочки с заполнителем отождествлялась с ее срединной поверхностью. Отказ от этого предположения был предпринят в работах [36,154,263], где показано, что максимальное отклонение уточненной постановки задачи от приближенной составляет ~ 4%.
Исследованием условий на внутреннем канале заполнителя занимались авторы [143,175,176,186] и др. Здесь показывается, что наличие относительно малого осевого отверстия практически не влияет на значения критической нагрузки.
Учет поперечных сдвигов в оболочке, производимых согласно моделям Тимошенко и Амбарцумяна [141,184,196,202,209,234], показывает, что результаты, полученные по теории Кирхгофа-Лява [i,45-47,123,185,188-190,198,199], оказываются для ряда значений параметров завышенными и нуждаются в уточнении.
Устойчивость данных систем под действием только температуры или температуры совместно с нагрузками рассматривается в [lI5,122,124,125,194,197]. Здесь устанавливается, что при нагревании оболочка, как правило, теряет устойчивость от осевого, а при охлаждении - от окружного усилия.
Определение критических нагрузок для изотропной оболочки с вязкоупругим заполнителем приведено в [29,96] и для ортотро- пных оболочек - в [210-212]. Решение некоторых вопросов о минимизации веса и оптимальном проектировании цилиндрических оболочек с упругим и вязкоупругим заполнителем, находящихся в условиях осевого сжатия, внешнего давления или их комбинации, рассмотрено в [177,180,208]. Решение задач устойчивости рассматриваемых здесь конструкций численным методом предпринималось в работах [133,279]. В первой из них изучается осесимметричная форма потери устойчивости вертикально расположенной цилиндрической оболочки с заполнителем под действием собственного веса. Методом конечных элементов в работе [279] решается задача о потере устойчивости оболочек вращения с заполнителем. Аналогичная задача аналитическими методами решалась в работах [97,158, 159] для сферических конструкций, а в [100,128] - для произвольных осесимметричных конфигураций.
К настоящему времени накоплен большой экспериментальный материал по устойчивости цилиндрических оболочек с заполнителем [2,4,34,74,75,126,127,129,150,187,232,250,274]. Результаты этих работ показывают, что при осевом сжатии с увеличением относительной жесткости заполнителя форма потери устойчивости переходит от неосесимметричной (ромбовидные вмятины) к осесим- метричной (кольцевые складки). При внешнем давлении форма потери устойчивости остается неосесимметричной при наличии одной выпучины вдоль образующей [274,74]. Данные экспериментальных исследований лежат между нижними и верхними значениями критической нагрузки [25б]. При этом снижается влияние и начальных несовершенств с увеличением относительной жесткости заполнителя. Последнее подтверждается теоретическими исследованиями [27].
3. Исследование динамического поведения оболочек с заполнителем и обзор литературы приведен в книге [132]. В работе [14] анализируются численные результаты расчетов спектров областей динамической неустойчивости композитных цилиндрических оболочек с вязкоупругим заполнителем. Из этих обзоров следует, что значительное место уделено собственным колебаниям системы оболочка - заполнитель. При этом для оболочки и заполнителя использовались, соответственно, динамические уравнения теории тонких оболочек и теории упругости. К одним из первых в этом направлении можно отнести работу [273], в которой исследовались поперечные колебания сплошного цилиндра, заключенного в упругую оболочку бесконечной длины. Дальнейшее развитие этого вопроса на случай конструкции конечной длины дано в [7,8,10,11, 18-20,130,131,136,137,155,163,181,195,223,238,239] . Колебания сферических систем рассмотрены в [97,160,162,173J . В работах [l38,I6l] предложена модель заполнителя, основанная на использовании одного из трех динамических уравнений теории упругости, записанного для радиального перемещения. Методика эксперимента и результаты опытного определения частот радиальных, продольных и крутильных колебаний отражено в [18,19,56].
Основным качественным отличием собственных колебаний оболочки с заполнителем от свободных колебаний пустой оболочки является образование бесконечного спектра собственных частот для фиксированных форм колебаний в продольном и окружном направлениях. При этом низшие частоты всей системы могут быть меньше соответствующих частот оболочки. Кроме того, наличие заполнителя снижает влияние условий закрепления торцов оболочки и ее инерции в тангенциальном направлении на первые частоты системы.
Другая группа работ посвящена параметрическим колебаниям и вопросам динамической устойчивости цилиндрических оболочек с заполнителем [8-10,12,13,151,205,206,233,285]. Здесь рассмотрен большой круг задач по определению частот параметрических колебаний и областей динамической неустойчивости систем. Использовались два варианта условий контакта: жесткое скрепление (условия непрерывности перемещений и напряжений) и контакт только по нормали, когда касательные составляющие напряжений равны нулю. Исследовались изотропные, ортотропные оболочки, связанные с упругим и с вязкоупругим заполнителем; осесиммет- ричные и неосесимметричные колебания. Анализ этих работ показывает, что области динамической неустойчивости и параметрические частоты существенным образом зависят от условий контакта и от форм колебаний. Увеличение жесткости заполнителя приводит к увеличению этих частот и смещает начало спектра в сторону больших частот. Кроме того, изменение коэффициента Пуассона заполнителя в интервале ^0.5 практически не сказыва
ется на начальных спектрах областей динамической неустойчивости.
Ряд исследований посвящен распространению упругих волн в цилиндрических конструкциях [165,193,204], вопросам поведения системы оболочка - заполнитель при движущихся нагрузках [79J и устойчивости при них [164]. Влияние подкреплений в виде дискретных ребер жесткости на колебания и устойчивость конструкции рассмотрено в работе [183]. Решение нелинейной задачи динамической устойчивости этих конструкций при быстром нагруже- нии осевым усилием и внешним давлением приведено в [182]. За критическую здесь принималась нагрузка, соответствующая моменту максимума скорости нарастания прогиба оболочки.
Вопросы оптимизации рассматриваемых систем при динамических нагрузках отражены в [207] .
Решения других задач динамики оболочек с заполнителем, которые здесь не приводятся, отражены в книге [132].
Из приведенного обзора исследований поведения рассматриваемых здесь конструкций следует, что решен большой крут задач, отличающихся друг от друга как постановкой, так и методикой их решения. При этом в большинстве случаев они связаны с . конструкциями "классических" форм, в первую очередь с цилиндрической оболочкой с заполнителем, реже со сферическими системами и конструкциями других форм. Решение данных задач существующими методами в строгой постановке приводит, в основном, к сложностям вычислительного характера и реализации их на современных ЭВМ. Кроме того, имеющиеся в литературе приближенные модели поведения конструкции либо привязаны к конкретным системам, либо приводят к результатам, значительно отличающимся от экспериментальных. Поэтому сохраняет свою актуальность разработка единого подхода к решению задач взаимодействия оболочек с заполнителем, позволяющего получить простые и надежные расчетные формулы, не требующие больших затрат для определения количественных характеристик поведения конструкции.
Целью настоящей работы является исследование механизма взаимодействия твердых деформируемых тел при малых перемещениях и деформациях и разработка инженерной методики решения задач механики пластин и оболочек, подкрепленных упругим массивом.
Диссертация является обобщением и дальнейшим развитием работ автора [i,30,43-49,76-78,93-120,132,192]. Она состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложения.
Во введении обсуждается состояние вопроса по теме диссертации, ее актуальность; ставится цель работы, кратко описывается ее содержание, формулируются научные положения, которые выносятся на защиту.
Первая глава посвящена построению математической модели твердого деформируемого тела применительно к статическим задачам взаимодействия его с другими деформируемыми объектами. Здесь дана постановка задач, выведены уравнения равновесия предварительно напряженного тела. Сформулированы условия и ограничения, при которых построенные уравнения и их решения могут быть рекомендованы для практического использования. В частности, устанавливается, что предлагаемая модель деформируемого тела для
конструкции прямоугольной формы приводит к тем же результатам, что и уравнения теории упругости (уравнения Ляме).
Рассматриваются два вида условий безотрывного контакта тел: первый - поверхность соприкосновения абсолютно гладкая (отсутствие на ней касательных напряжений), второй - поверхность абсолютно жесткая в своей плоскости (касательные перемещения на ней отсутствуют). Показывается, что нормальная составляющая реакции слабо зависит от этих условий для малосжима- емых тел.
В этой же главе предлагается приближенный метод решения задач теории упругости для деформируемых объектов "неклассической" формы. Полученные результаты обобщены на случай, когда исследуемое тело обладает вязкоупругими свойствами.
Во второй главе рассматривается напряженно-деформированное состояние пологих конструкций. Сначала выводятся основные соотношения, характеризующие состояние оболочки произвольной формы, жестко скрепленной с упругим телом при нормальной внешней нагрузке. На основе их решается задача выполнения заданных граничных условий для цилиндрической панели на упругом основании. В качестве приложения рассматривается осесимметричная и неосесимметричная деформация цилиндрической оболочки конечной и бесконечной длины с заполнителем при локальных нагрузках. Здесь показывается, что для сплошного заполнителя осесимметричная задача может быть разрешена в квадратурах, а неосесимметричная - сведена к вычислению одинарных рядов. На этих примерах устанавливаются преимущества и численная погрешность предлагаемой методики по сравнению с более строгим подходом к исследованию рассматриваемых вопросов.
В третьей главе решается ряд задач статической устойчивости прямоугольных пластин на упругом основании. При их постановке учитываются анизотропные свойства пластинки и ее сдвиговая жесткость. Исследуются как бесконечно широкие, так и конечных размеров конструкции при одноосном, двухосном сжатии и комбинированном нагружении.
Критические нагрузки определены в упругой области и за пределом упругости материала пластинки. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными.
Четвертая глава посвящена вопросам устойчивости цилиндрических систем. В предположении, что начальное состояние оболочки безмоментное, а в заполнителе до потери устойчивости сохраняется одномерное напряженное состояние, получены формулы для определения локальной потери устойчивости. Изучаются различные виды нагрузок: осевое сжатие, постоянное внешнее давление, кручение, изгиб; а также исследуется потеря устойчивости конструкции в температурном поле. Выявляется влияние моментно- сти начального состояния и предварительно напряженного состояния заполнителя на величину критической нагрузки. Приведены сравнения полученных здесь результатов с результатами других авторов, использовавших более строгий подход при решении данных задач. Для частных видов нагружения конструкции устанавливаются простые расчетные формулы, не требующие больших затрат для определения количественных характеристик потери устойчивости. Аналогичные результаты получены и за пределом упругости.
В пятой главе исследуются вопросы устойчивости безмомент- ного состояния оболочек вращения формы, отличной от цилиндрической (замкнутых в вершине и открытых) с заполнителем при внешнем постоянном давлении и осевом сжатии. Приведены расчетные формулы для критических нагрузок и формообразования в упругой
области и за пределом упругости материала оболочки.
В шестой главе рассматриваются некоторые вопросы динамического поведения пологих оболочек с заполнителем. Сначала дается постановка задачи, в которой использованы допущения и предложения, принятые при изучении поведения этих конструкций в статике. На основе этой постановки изучаются собственные колебания исследуемых конструкций. На примерах определения собственных колебаний пластинки на упругом основании и цилиндрических оболочек с заполнителем устанавливается область применения предлагаемой методики решения этих задач.
Разрабатывается методика расчета конструкций на параметрические колебания и определения областей динамической неустойчивости. Рассматривается также устойчивость пологой оболочки с заполнителем, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа.
В заключении диссертации приведены основные выводы и рекомендации для практического использования результатов исследований.
При этом автором защищаются следующие основные положения:
математическая постановка задачи взаимодействия твердых деформируемых тел при малых перемещениях и деформациях;
разработка приближенной методики определения реакции упругого и вязкоупругого тела, контактирующего с тонкостенными элементами;
результаты исследования механизма взаимодействия деформируемых тел;
разработка инженерной методики решения задач механики подкрепленных пластин и оболочек;
результаты решения новых задач по определению напряженно-деформированного состояния, исследованию локальной потери
устойчивости, собственных и параметрических частот колебаний оболочек с заполнителем.
Научная новизна диссертации состоит в разработке метода решения задач механики взаимодействия тонкостенных элементов с твердым деформируемым телом, позволяющего математически корректно формулировать контактные задачи для широкого класса оболочек с заполнителем; в решении новых задач по установлению зависимостей между составляющими реакции тела и нормальной составляющей перемещения контактной поверхности, по определению напряженно-деформированного состояния, по исследованию устойчивости пластин на упругом основании и локальной потери устойчивости оболочек вращения с заполнителем, по изучению собственных, параметрических колебаний и устойчивости конструкции в сверхзвуковом потоке газа; в развитии инженерной методики решения задач механики подкрепленных пластин и оболочек.
Практическая ценность состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы во многих инженерных расчетах и конструкторских разработках двигателей на твердом топливе, элементов самолетных и строительных конструкций, амортизационных устройств и т.п. В частности, некоторые теоретические разработки переданы предприятиям (п/я Х-5539, п/я 1У1-5731, Москва; Воткинский машиностроительный завод) в виде 12 научно-технических отчетов; имеется 4 акта о внедрении этих результатов.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30,43-48,76-78,96,97,99-109,115-120,132]. Причем работы [43-48] выполнены совместно с Гатауллиным М.З.; [76-78] - с Гусевым A.M.; [i 15-117] - с Камаловым А.З.; [lI8-I20] - с Сафиул- линым Ф.Х.; монография [132] - с Ильгамовым М.А. и Гулиным Б.В.; исследования в работе [30] проведены совместно с Васильевым А.
Н.; в [9б] - с Зариповш P.M. Вклад соавторов заключается в следующем.
Васильев А.Н. разработал программу расчета оптимальных углов намотки анизотропной оболочки с заполнителем при устойчивости такой конструкции к внешним нагрузкам, привел иллюстративный материал к работе [30] и принимал участие в оформлении и обсуждении полученных результатов.
Гатауллину М.З. принадлежит разработка аналитического решения задач, алгоритмизация их для ЭВМ [44-48], обработка и обсуждение полученных результатов. Кроме того, в [43,44,48] им предложено обобщение постановки задачи устойчивости цилиндрических конструкций на случай, когда внутренняя поверхность заполнителя связана с тонкостенной оболочкой, и определение реакции заполнителя на основе строгого решения линейных уравнений теории упругости [47].
Гусеву A.M. принадлежит разработка экспериментальной методики определения критических нагрузок пластин на упругом основании [76], подход, позволяющий удовлетворить заданным граничным условиям на кромках пластинки [78] при ее одноосном сжатии, а также реализация математических выкладок, связанных с получением аналитических зависимостей между нагрузкой и параметрами конструкции [76-78].
Зарипов P.M. в работе [96] проводит решение задачи о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки с вязкоупругим заполнителем.
Камалову А.З. принадлежит методика решения задач устойчивости и прочности цилиндрических оболочек с заполнителем в температурном поле [II5-II7], на основе которой им получены расчетные формулы.
Сафиуллину Ф.Х. принадлежит разработка методики аналитического решения задач прочности цилиндрических оболочек с заполнителем при различных видах нагружения на основе совместного решения уравнений теории оболочек и теории упругости [И8-120]. Им созданы алгоритмы и программы для ЭВМ, получены числовые результаты.
Автору принадлежит постановка рассмотренных с соавторами задач, руководство выполнением работ, анализ и обсуждение полученных результатов.
Главы 1,2 в [132] написаны совместно с Ильгамовым М.А., 5-8 и обзор ко второму разделу - автором, остальные - Гулиным Б.В. и Ильгамовым М.А.
Отдельные результаты работы докладывались на 1У Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике (Харьков, 1972); IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Ленинград, 1973); Летней школе по теории взаимодействия оболочек с жидкостью, газом и твердым деформируемым телом (Казань, 1975); XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977); Всесоюзном симпозиуме по нелинейной теории пластин и оболочек (Казань, 1980); Всесоюзном симпозиуме по устойчивости в механике деформируемого твердого тела (Калинин, 1981); 1У Всесоюзном симпозиуме по механике конструкций из композиционных материалов (Новосибирск,1982); Республиканской научно-технической конференции по механике сплошных сред (Набережные Челны, 1982).
Диссертация в целом обсуждалась на семинаре физико-технического института Казанского филиала АН СССР по теории оболочек под руководством проф. М.С.Корнишина; на семинаре Казанского государственного университета по механике оболочек и пластин под руководством проф. К.З.Галимова и проф. А.В.Саченкова; на научном семинаре по теории упругости Казанского инженерно- строительного института, руководимом проф. И.Г.Терегуловым; на семинаре Московского автомеханического института по механике твердого деформируемого тела под руководством чл.-корр. АН СССР Э.И.Григолюка; на семинаре по тонкостенным пространственным конструкциям института механики АН УССР под руководством проф. Я.Ф.Каюка; на семинаре Ленинградского государственного университета по механике сплошной среды под руководством проф. К.Ф. Черныха; на научном семинаре Московского гидромелиоративного института по строительной механике конструкций, руководимом проф. Ю.Н.Новичковым; на научном семинаре Пермского института механики сплошных сред УНЦ АН СССР, руководимом проф. В.В.Мо- шевым.
Автор выражает глубокую признательность доктору физико- математических наук, профессору М.А.Ильгамову за постоянное внимание и советы, высказанные им в процессе выполнения работы.
Реактивное давление на прямоугольных в плане поверхностях
Васильев А.Н. разработал программу расчета оптимальных углов намотки анизотропной оболочки с заполнителем при устойчивости такой конструкции к внешним нагрузкам, привел иллюстративный материал к работе [30] и принимал участие в оформлении и обсуждении полученных результатов.
Гатауллину М.З. принадлежит разработка аналитического решения задач, алгоритмизация их для ЭВМ [44-48], обработка и обсуждение полученных результатов. Кроме того, в [43,44,48] им предложено обобщение постановки задачи устойчивости цилиндрических конструкций на случай, когда внутренняя поверхность заполнителя связана с тонкостенной оболочкой, и определение реакции заполнителя на основе строгого решения линейных уравнений теории упругости [47].
Гусеву A.M. принадлежит разработка экспериментальной методики определения критических нагрузок пластин на упругом основании [76], подход, позволяющий удовлетворить заданным граничным условиям на кромках пластинки [78] при ее одноосном сжатии, а также реализация математических выкладок, связанных с получением аналитических зависимостей между нагрузкой и параметрами конструкции [76-78]. Зарипов P.M. в работе [96] проводит решение задачи о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки с вязкоупругим заполнителем. Камалову А.З. принадлежит методика решения задач устойчивости и прочности цилиндрических оболочек с заполнителем в температурном поле [II5-II7], на основе которой им получены расчетные формулы. Сафиуллину Ф.Х. принадлежит разработка методики аналитического решения задач прочности цилиндрических оболочек с заполнителем при различных видах нагружения на основе совместного решения уравнений теории оболочек и теории упругости [И8-120]. Им созданы алгоритмы и программы для ЭВМ, получены числовые результаты. Автору принадлежит постановка рассмотренных с соавторами задач, руководство выполнением работ, анализ и обсуждение полученных результатов. Главы 1,2 в [132] написаны совместно с Ильгамовым М.А., 5-8 и обзор ко второму разделу - автором, остальные - Гулиным Б.В. и Ильгамовым М.А.
Отдельные результаты работы докладывались на 1У Всесоюзной конференции по проблемам устойчивости в строительной механике (Харьков, 1972); IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Ленинград, 1973); Летней школе по теории взаимодействия оболочек с жидкостью, газом и твердым деформируемым телом (Казань, 1975); XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Харьков, 1977); Всесоюзном симпозиуме по нелинейной теории пластин и оболочек (Казань, 1980); Всесоюзном симпозиуме по устойчивости в механике деформируемого твердого тела (Калинин, 1981); 1У Всесоюзном симпозиуме по механике конструкций из композиционных материалов (Новосибирск,1982); Республиканской научно-технической конференции по механике сплошных сред (Набережные Челны, 1982). Диссертация в целом обсуждалась на семинаре физико-технического института Казанского филиала АН СССР по теории оболочек под руководством проф. М.С.Корнишина; на семинаре Казанского государственного университета по механике оболочек и пластин под руководством проф. К.З.Галимова и проф. А.В.Саченкова; на научном семинаре по теории упругости Казанского инженерно- строительного института, руководимом проф. И.Г.Терегуловым; на семинаре Московского автомеханического института по механике твердого деформируемого тела под руководством чл.-корр. АН СССР Э.И.Григолюка; на семинаре по тонкостенным пространственным конструкциям института механики АН УССР под руководством проф. Я.Ф.Каюка; на семинаре Ленинградского государственного университета по механике сплошной среды под руководством проф. К.Ф. Черныха; на научном семинаре Московского гидромелиоративного института по строительной механике конструкций, руководимом проф. Ю.Н.Новичковым; на научном семинаре Пермского института механики сплошных сред УНЦ АН СССР, руководимом проф. В.В.Мо- шевым.
Автор выражает глубокую признательность доктору физико- математических наук, профессору М.А.Ильгамову за постоянное внимание и советы, высказанные им в процессе выполнения работы. Решение задач взаимодействия деформируемых твердых тел связано с совместным интегрированием уравнений, описывающих их поведение, выполнением условий контакта и реализацией сложных математических операций, необходимых для оценки прочности рассматриваемых конструкций. Поэтому для упрощения задачи во многих случаях, где не требуется высокая точность расчетов, прибегают к различным моделям, приближенно характеризующим напряженно-деформированное состояние упругого тела.
В течение длительного времени при расчете конструкций на упругом основании, в частности, при определении критических нагрузок для оболочек с заполнителем использовалась так называемая модель Винклера-Циммермана. Ее можно интерпретировать как систему отдельных не связанных между собой пружин с линейными характеристиками. Согласно этой модели, реакция упругого основания Q принимается пропорциональной перемещению контактной поверхности W
Осесимметричная деформация цилиндрической конструкции
Разработан новый приближенный подход к решению задач статики и динамики оболочек, связанных с упругим деформируемым телом. В соответствии с этим подходом удается получить црос- тые и надежные результаты по определению характеристик напряженно-деформированного состояния и устойчивости конструкции при статических и динамических нагрузках. Представляется возможность считать реакцию деформируемого тела пропорциональной перемещению поверхности раздела сред по нормали к ней и выявить связь этих коэффициентов пропорциональности с существующими моделями упругого тела.
Установлено, что коэффициент пропорциональности, характеризующий реакцию тела по нормали к контактирующей поверхности при безотрывном взаимодействии, слабо зависит от условий контакта. Этот факт позволяет разделить решение задачи взаимодействия на две самостоятельные задачи. Первая заключается в определении коэффициентов пропорциональности, которые на втором этапе могут быть использованы при решении задач теории оболочек.
Показано, что для толщин упругого тела, сравнимых с характерным размером конструкции, нормальную составляющую реакции тела можно считать приближенно пропорциональной корню квадратному из суммы квадратов параметров волнообразований в направлении координатных осей. Аналогичная картина наблюдается и в случае, когда в конструкции имеет место частое волнообразование, по крайней мере, в одном из направлений. Применение этих приближенных зависимостей приводит к существенным упрощениям при исследовании локальной потери устойчивости оболочек с заполнителем. Принципиальная схема расчетов критических нагрузок здесь практически не отличается от методики, основанной на моделировании реакции тела основанием Винклера.
Разработанная методика является эффективным средством решения задач не только линейных, но и линеаризованных уравнений теории упругости для формы тела, слабо отличающейся от прямоугольной. При этом полученные результаты могут быть обобщены на случай, когда деформируемое тело обладает вязкоупругими свойствами .
Предложен один из способов определения реакции тела сложной геометрии, заключающийся в отображении исходного тела на тело классической формы (параллелепипед, цилиндр, сфера и т.п.), у которого ограничивающие поверхности входят в число координатных поверхностей.
На основе разработанной методики дано решение задачи напряженно-деформированного состояния прямоугольной в плане тонкостенной слоистой анизотропной оболочки с упругим телом, под действием внешнего давления. Решения представлены в виде либо двойных рядов, соответствующих разложениям искомых величин по собственным функциям, либо одинарного ряда, коэффициентами которого являются несобственные интегралы. 7. На примерах исследования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек с заполнителем при локальных нагрузках показывается преимущество разработанной методики по сравнению с более строгим подходом к решению подобных задач. В частности, осесимметричная деформация этой конструкции определяется в квадратурах, в то время как более точное решение приводит к вычислению бесконечных рядов или интегралов с бесконечными пределами. 8. Получены решения новых задач устойчивости пластин на упругом основании, цилиндрических, сферических и оболочек вращения с заполнителем при различных видах нагружения, иллюстрирующие возможности использования разработанной методики определения реакции упругого тела. Предложены простые и удобные для инженерных расчетов формулы для критических нагрузок, достоверность которых устанавливается как экспериментальными данными, так и сравнением их с другими теоретическими исследованиями. 9. Достоинством предлагаемого подхода к решению задач устойчивости является возможность использования обширного материала, накопленного по этому направлению в механике оболочки, особенно в подборе функций, характеризующих форму нейтрального равновесия. При этом информация о форме потери устойчивости пустой оболочки определяет и форму реакции заполнителя, который входит как дополнительный член в уравнение для критических нагрузок. 10. Показана возможность использования предлагаемой методики решения задач статики при исследовании некоторых динамических процессов оболочки с заполнителем. Установлено, что такие характеристики этого процесса, как собственные и параметрические колебания, область динамической неустойчивости, устойчивости в сверхзвуковом потоке газа, могут быть эффективно определены по разработанной методике.
Устойчивость бесконечно широкой ортотропной пластинки на упругом основании
Наибольшее внимание уделено устойчивости цилиндрических конструкций. Значительное распространение в этих исследованиях получила расчетная модель, в которой учитывается воздействие заполнителя на оболочку только в радиальном направлении. Это оправдывается тем, что потеря устойчивости цилиндрических конструкций от действия радиального давления обычно характеризуется образованием вдоль оси полуволны, а по окружности - нескольких. Исходя из этого, в одних из первых работ [275,280] предлагается рассматривать заполнитель как систему плоских дисков, не связанных между собой. Эта же модель использовалась в работах [140,20l]. В последней исследовалась устойчивость конструкции при раздельном действии осевого сжатия и внешнего давления. Наиболее строгим следует признать подход, основанный на решении уравнений трехмерной теории упругости для заполнителя. Такой подход был использован в работе [274] при решении задач устойчивости цилиндрической оболочки со сплошным заполнителем при названных выше нагрузках и их комбинациях. Получаемая при этом расчетная схема сравнительно проста и дает вполне удовлетворительные результаты, согласующиеся с экспериментом [274]. Поэтому она нашла применение и при решении других задач устойчивости при кручении [278], при исследовании орто- тропных [270], анизотропных [265] оболочек с заполнителем, изучении поведения конструкции после потери устойчивости [256] и т.д. [26,28,248]. Анализ этих работ показывает, что при увеличении жесткости заполнителя критические давления возрастают, причем это возрастание наибольшее при действии радиального давления и наименьшее - при осевом сжатии. Влияние граничных условий на величину критических нагрузок сказывается лишь для коротких оболочек. Уже при L/R 0.5 оно несущественно [25,43, 48,222] . Кроме того, влияние отрыва заполнителя от оболочки на значения осевой критической нагрузки также незначительно, хотя суммарная поверхность отрыва может достигать и третьей части поверхности контакта [2б].
Исследования [166], проведенные в задаче устойчивости цилиндрических конструкций средней длины под действием радиального давления, показали, что верхние и нижние критические нагрузки совпадают уже при весьма малой жесткости заполнителя.
При малой суммарной толщине оболочки и заполнителя получается хорошее совпадение результатов с решением по теории двухслойных оболочек (для системы оболочка - заполнитель) или по теории трехслойных оболочек (для системы оболочка - заполнитель - - оболочка) как при осевом сжатии [44], так и при внешнем давлении [45,166].
В работах [227,228,231,280] и других показано, что жесткое склеивание оболочек с заполнителем повышает, в основном, осевую критическую нагрузку не более чем на 8-10$. Это объясняется тем, что главным стабилизирующим фактором при потере устойчивости оболочек с заполнителем является радиальное напряжение .
Другой круг задач посвящен вопросам устойчивости оболочек с учетом докритического напряженного состояния заполнителя. Начало этим исследованиям положено в работе [263], в которой рассматривалась длинная цилиндрическая конструкция при гидростатическом нагружении. Обобщение этих исследований на случай конструкции конечной длины содержится в [34,35,142,156,157]. Решение аналогичных задач при осевом сжатии проведено в [32, 33,36-38,54], а при кручении - в работе [141]. Анализ полученных результатов показывает, что для довольно широкого диапазона изменения жесткостных и геометрических характеристик конструкции можно пренебречь влиянием изменения геометрии заполнителя при выводе уравнений нейтрального равновесия и состояния его описывать линейными уравнениями Ляме. Однако в некоторых задачах при коэффициенте Пуассона заполнителя 0.5это влияние может быть значительным [46,102,263].
Обычно поверхность контакта оболочки с заполнителем отождествлялась с ее срединной поверхностью. Отказ от этого предположения был предпринят в работах [36,154,263], где показано, что максимальное отклонение уточненной постановки задачи от приближенной составляет 4%.
Исследованием условий на внутреннем канале заполнителя занимались авторы [143,175,176,186] и др. Здесь показывается, что наличие относительно малого осевого отверстия практически не влияет на значения критической нагрузки.
Учет поперечных сдвигов в оболочке, производимых согласно моделям Тимошенко и Амбарцумяна [141,184,196,202,209,234], показывает, что результаты, полученные по теории Кирхгофа-Лява [i,45-47,123,185,188-190,198,199], оказываются для ряда значений параметров завышенными и нуждаются в уточнении.
Устойчивость данных систем под действием только температуры или температуры совместно с нагрузками рассматривается в [lI5,122,124,125,194,197]. Здесь устанавливается, что при нагревании оболочка, как правило, теряет устойчивость от осевого, а при охлаждении - от окружного усилия.
Устойчивость моментного состояния оболочки с заполнителем при совместном действии внешнего давления и осевого сжатия
К настоящему времени накоплен большой экспериментальный материал по устойчивости цилиндрических оболочек с заполнителем [2,4,34,74,75,126,127,129,150,187,232,250,274]. Результаты этих работ показывают, что при осевом сжатии с увеличением относительной жесткости заполнителя форма потери устойчивости переходит от неосесимметричной (ромбовидные вмятины) к осесим- метричной (кольцевые складки). При внешнем давлении форма потери устойчивости остается неосесимметричной при наличии одной выпучины вдоль образующей [274,74]. Данные экспериментальных исследований лежат между нижними и верхними значениями критической нагрузки [25б]. При этом снижается влияние и начальных несовершенств с увеличением относительной жесткости заполнителя. Последнее подтверждается теоретическими исследованиями [27].
3. Исследование динамического поведения оболочек с заполнителем и обзор литературы приведен в книге [132]. В работе [14] анализируются численные результаты расчетов спектров областей динамической неустойчивости композитных цилиндрических оболочек с вязкоупругим заполнителем. Из этих обзоров следует, что значительное место уделено собственным колебаниям системы оболочка - заполнитель. При этом для оболочки и заполнителя использовались, соответственно, динамические уравнения теории тонких оболочек и теории упругости. К одним из первых в этом направлении можно отнести работу [273], в которой исследовались поперечные колебания сплошного цилиндра, заключенного в упругую оболочку бесконечной длины. Дальнейшее развитие этого вопроса на случай конструкции конечной длины дано в [7,8,10,11, 18-20,130,131,136,137,155,163,181,195,223,238,239] . Колебания сферических систем рассмотрены в [97,160,162,173J . В работах [l38,I6l] предложена модель заполнителя, основанная на использовании одного из трех динамических уравнений теории упругости, записанного для радиального перемещения. Методика эксперимента и результаты опытного определения частот радиальных, продольных и крутильных колебаний отражено в [18,19,56].
Основным качественным отличием собственных колебаний оболочки с заполнителем от свободных колебаний пустой оболочки является образование бесконечного спектра собственных частот для фиксированных форм колебаний в продольном и окружном направлениях. При этом низшие частоты всей системы могут быть меньше соответствующих частот оболочки. Кроме того, наличие заполнителя снижает влияние условий закрепления торцов оболочки и ее инерции в тангенциальном направлении на первые частоты системы.
Другая группа работ посвящена параметрическим колебаниям и вопросам динамической устойчивости цилиндрических оболочек с заполнителем [8-10,12,13,151,205,206,233,285]. Здесь рассмотрен большой круг задач по определению частот параметрических колебаний и областей динамической неустойчивости систем. Использовались два варианта условий контакта: жесткое скрепление (условия непрерывности перемещений и напряжений) и контакт только по нормали, когда касательные составляющие напряжений равны нулю. Исследовались изотропные, ортотропные оболочки, связанные с упругим и с вязкоупругим заполнителем; осесиммет- ричные и неосесимметричные колебания. Анализ этих работ показывает, что области динамической неустойчивости и параметрические частоты существенным образом зависят от условий контакта и от форм колебаний. Увеличение жесткости заполнителя приводит к увеличению этих частот и смещает начало спектра в сторону больших частот. Кроме того, изменение коэффициента Пуассона заполнителя в интервале 0.5 практически не сказывается на начальных спектрах областей динамической неустойчивости.
Ряд исследований посвящен распространению упругих волн в цилиндрических конструкциях [165,193,204], вопросам поведения системы оболочка - заполнитель при движущихся нагрузках [79J и устойчивости при них [164]. Влияние подкреплений в виде дискретных ребер жесткости на колебания и устойчивость конструкции рассмотрено в работе [183]. Решение нелинейной задачи динамической устойчивости этих конструкций при быстром нагруже- нии осевым усилием и внешним давлением приведено в [182]. За критическую здесь принималась нагрузка, соответствующая моменту максимума скорости нарастания прогиба оболочки. Вопросы оптимизации рассматриваемых систем при динамических нагрузках отражены в [207] . Решения других задач динамики оболочек с заполнителем, которые здесь не приводятся, отражены в книге [132].
Из приведенного обзора исследований поведения рассматриваемых здесь конструкций следует, что решен большой крут задач, отличающихся друг от друга как постановкой, так и методикой их решения. При этом в большинстве случаев они связаны с . конструкциями "классических" форм, в первую очередь с цилиндрической оболочкой с заполнителем, реже со сферическими системами и конструкциями других форм. Решение данных задач существующими методами в строгой постановке приводит, в основном, к сложностям вычислительного характера и реализации их на современных ЭВМ. Кроме того, имеющиеся в литературе приближенные модели поведения конструкции либо привязаны к конкретным системам, либо приводят к результатам, значительно отличающимся от экспериментальных. Поэтому сохраняет свою актуальность разработка единого подхода к решению задач взаимодействия оболочек с заполнителем, позволяющего получить простые и надежные расчетные формулы, не требующие больших затрат для определения количественных характеристик поведения конструкции.
