Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Некоторые задачи теории ползучести неоднородно-стареющей среды для шара, полуплоскости и полосы 21
1. Основные уравнения теории ползучести неоднородно-стареющего тела 21
2. Задача Ламе для разновозрастного двухслойного вязкоупругого полого шара 28
3. Напряженное состояние вязкоупругой разновозрастной полуплоскости 40
4. Контактная задача о передаче нагрузки от стрингера бесконечной длины к полосе с учетом неоднородного старения 56
5. Контактная задача о передаче нагрузки от стрингера бесконечной длины к двум одинаковым полосам с учетом неоднородного старения 71
Глава 2. Контактные задачи о взаимодействии стрингеров и тонкостенных включений с полосой и плоскостью 80
1. О передаче нагрузки от стрингера конечной длины к полосе с учетом фактора неоднородного старения 80
2. О передаче нагрузки от двух одинаковых стрингеров конечной длины к полосе с учетом фактора неоднородного старения 95
3. О передаче нагрузки от стрингера конечной длины к двум одинаковым полосам с учетом фактора неоднородного старения 105
4. К задаче контактного взаимодействия между тонкостенным включением конечной длины и плоскостью, находящимися в условиях ползучести 115
Краткие выводы 130
Литература 132
- Задача Ламе для разновозрастного двухслойного вязкоупругого полого шара
- Контактная задача о передаче нагрузки от стрингера бесконечной длины к полосе с учетом неоднородного старения
- О передаче нагрузки от двух одинаковых стрингеров конечной длины к полосе с учетом фактора неоднородного старения
- К задаче контактного взаимодействия между тонкостенным включением конечной длины и плоскостью, находящимися в условиях ползучести
Введение к работе
Общеизвестно большое теоретическое и прикладное значение теории ползучести, составляющей обширную область механики деформируемого твердого тела. Эта теория в последнее время интенсивно развивается и все время обогащается новыми основополагающими идеями.
В настоящее время расчет и проектирование таких конструкций и сооружений, как аэродромные и дорожные покрытия, платы железных дорог, резервуары, гидротехнические сооружения, треки для испытания и площадки для запуска ракет, мосты, корпусы ядерных реакторов и т.д., основываются на решение тех или иных задач теории ползучести.
В современной технике наряду с традиционными материалами (металлами) в технологии изготовления многих деталей и конструкций широко используются полимерные и композиционные материалы. Это приводит к необходимости исследования обширного класса смешанных задач теории ползучести (вязкоупругости) с учетом фактора старения. Эти задачи являются естественным обобщением и разви-. тием соответствующих задач классической теории упругости.
Основные достижения теории ползучести изложены в известных монографиях Н.Х.Арутюняна [4] , Н.Х.Арутюняна, В.Б.Колмановского [її] , Д.Бленда [17], И.И.Бугакова Ll8] » П.И.Васильева, Ю.Н. Кононова [21] , И.И.Гольденблата, Н.А.Николаенко [ 24] Д.А.Ильюшина, Б.Е.Победри [Зб] , Р.Кристенсена [41] , А.К.Малмайстера[4б], М.М.Манукяна (49] , И.Е.Прокоповича,В.А.Зедгенидзе [63] , Ю.Н. Работнова [64,65] , А.Р. Ржаницына [б8}?И.И.Улицкого [77] , Т.Ш. Ширинку лова 86] и других авторов.
В настоящее время теорией ползучести, наиболее полно отражающей основные свойства и поведение материалов во времени под влиянием внешних воздействий, является наследственная теория старения. При помощи этой теории описывается поведение стареющих материалов, которые широко используются в технике и строительстве. Типичными их представителями являются многие полимеры и пластмассы, бетон, древесина, каучук, грунты,горные породы, лед и др.
Начало создания этой теории положено в работе Г.H.Macлова ^503 , а ее полное построение как математической теории ползучести завершено в работе Н.Х.Арутюняна 4-] . Эта теория одновременно учитывает как старение, так и наследственность материала, а также частичную обратимость деформации ползучести.
В самое последнее время эта теория существенно обобщена и развита применительно к неоднородно-стареющим средам.
Теория ползучести неоднородно наследственно стареющих тел -- бурно развивающееся направление в механики деформируемого твердого тела. Эта теория, построенная недавно Н.Х.Арутюняном 8,9] , наиболее точно отражает физико-механические процессы, происходящие в телах и конструкциях, изготовленных из стареющих вязкоупру-гих материалов.
Технология сооружения конструкций из стареющих вязкоупругих материалов обычно связана с процессом их дискретного или непрерывного наращивания элементами с различными физико-механическими характеристиками и различным возрастом. Такие процессы происходят при последовательном возведении и загрузке сооружения, в растущих телах и объектах, при фазовых превращениях в материалах и т.п. Это приводит к необходимости изучения неоднородно-стареющих вязкоупругих тел. Реальные условия сооружения и эксплуатации элементов и самой конструкции приводят к тому, что различные их элементы имеют разные возрасты, а физико-механические свойства зависят в общем случае и от пространственных координат.
Неоднородность может быть двух видов: а) пространственная неоднородность физико-механических свойств среды (в этом случае мгновенные модули и меры позучести сущест венно зависят от координат, т.е. вид определяющих их функций ме няется от точки к точке); б) пространственная неоднородность, связанная с неодновременным зарождением отдельных элементов среды (в этом случае вид функций, определяющих мгновенные модули и меры ползучести, для всех эле ментов среды один и тот же, а аргументы их зависят не только от времени, но и от пространственных координат). Последний вид неод нородности - возрастная неоднородность присуща только стареющим материалам.
Описанные процессы существенно изменяют напряженно-деформированное состояние вязкоупругих тел по сравнению со случаем их однородного старения, поэтому и возникает практическая необходимость использования законов теории ползучести неоднородно наследственно-стареющих тел.
Учет ползучести, особенно факторов однородного или неоднородного старения, вносит существенные коррективы в распределение полей напряженно - деформированного состояния тел. Эти коррективы должны быть учтены в расчетах разнообразных конструкций и их деталей на прочность и долговечность. Во многих задачах эффекты ползучести можно исследовать на основании решений соответствующих упруго-мгновенных задач при помощи принципа Вольтерра. Однако, в контактных и смешанных задач теории ползучести и почти во всех задачах теории ползучести неоднородно наследственно « -стареющих сред этот принцип не проходит. Поэтому построение эффективных аналитических решений таких задач наталкивается на большие математические трудности. С другой стороны, ввиду большой теоретической и практической важности контактных и смешан- ных задач необходимо разработать эффективные аналитические и численные методы и решения. Это обстоятельство обуславливает актуальность исследования контактных и смешанных задач теории ползучести.
Настоящая диссертационная работа относится к указанной области механики деформируемого твердого тела. В связи с этим вкратце изложим основные результаты, полученные в последние десятилетия по контактным и смешанным задачам теории ползучести, а также по смежным направлениям. При этом приведем лишь работы, примыкающие к нашему исследованию.
Сначала остановимся на контактных задачах для однородно--стареющих и нестареющих вязкоупругих тел.
Отметим, что в контактных и смешанных задачах теории вяз-коупругости широко используются методы и идеи этих же задач в постановке теории упругости. В этом направлении укажем на известные монографии В.М.Александрова, С.М.Мхитаряна [з] , И.И.Ворови-ча, В.М.Александрова, В.А.Бабешко [22"] , Л.А.Галина [23*1 , Э.И. Григолюка, В.М.Толкачева [2б] , Н.Ф.Морозова ^5l] , Н.И.Мусхе-лишвили [54] , В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П. Дацышин [59 J , В.З.Партона, Е.М.Морозова [60] , Г.Я.Попова [61 ] , Г.П.Черепанова [81 ] , И.Я.Штаермана [87] и др.
Плоская контактная задача линейной теории ползучести впервые была поставлена И.Е.Прокоповичем {_62] , где в рамках гипотезы Герца рассмотрена контактная задача о взаимодействии двух вязкоупругих тел. При помощи решения известной задачи Фламана теории упругости [87J и основных уравнений [4] наследственной теории старения обсуждаемая задача сведена к решению двумерного интегрального уравнения. При решении последнего применяется метод последовательных обращений, т.е. вначале обращается времен- ной оператор, а затем координатный.
Однако такой метод решения можно применять лишь в том случае, когда область контакта во времени монотонно убывает.
В работе М.М. Манукяна [48 ] показано, что решение плоской контактной задачи теории ползучести с учетом сил сцепления сводится к совместному решению связанных между собой двух интегральных уравнений. Получено решение этих уравнений.
В работе Т.Ширинкулова [85] на основе наследственной теории старения приводится решение плоской контактной задачи линейной теории ползучести с учетом сил трения, когда коэффициенты попе-речнего расширения сжимающих тел равны и постоянны во времени.
Пространственная контактная задача в постановке линейной теории ползучести с учетом старения материала рассматривалась в работе Н.Ф.Какосимиди и И.Е.Прокоповича [36] . Получено решение задачи для невозрастагощей области контакта.
Пространственная задача в той же постановке рассматривалась также в работе Н.Пределяну [97] . Полученные результаты применялись, в частности, к решению задачи о контакте двух сферических тел, находящихся под действием постоянной сжимающей силы.
Решению контактной задачи нелинейной теории ползучести посвящены работы Н.Х.Арутюняна [б] , Н.Х.Арутюняна, М.М.Манукяна [12] Д.И.Кузнецова [49]7СМ.Мхитаряна [55-57 J и др.
Своеобразной контактной задачей является задача о термонапряженном состоянии массивного бетонного блока, лежащего на основании из скалы или ранее уложенного бетона. Соответствующее решение плоской задачи изложено в работе Н.Х.Арутюняна и Б.Л. Абрамяна [ю] . В дальнейшем это решение было развито М.А.Задоя-ном применительно к прямоугольным блокам [33 J с учетом ползучести бетона.
В работе Л.П.Трапезникова и Б.А.Шойхета [74] рассмотрена задача теории ползучести для стареющих однородных линейно-деформируемых тел с растущими разрезами и полостями.
В работах С.А.Шестерикова [83,84] обсуждаются критерии устойчивости при ползучести.
В работе К.С.Карапетяна [39] отражены некотрые результаты по теоретическому и экспериментальному исследованию свойств бетона.
Отметим, что почти все упомянутые выше контактные задачи теории вязкоупругости исследованы при постоянной области контакта, однако методы решения этих задач существенно зависят от поведения области контакта во времени. Первыми работами, в которых обращено внимание на этот факт, были работы Ли и Радока 3 , где рассмотрена задача о вдавливании жесткой сферы в вязкоупругое полупространство. Этот метод решения позволял исследовать контактные задачи теории вязкоупругости лишь при монотонном возрастании области контакта во времени. Решение указанной задачи, когда область контакта имеет один максимум, было изучено Хантером [92 3 .
В работе [91] рассмотрена контактная задача линейной теории вязкоупругости о взаимодействии асимметричного штампа с вяз-коупругим пространством. Полученное решение справедливо в случае одного максимума контактной области.
Задача о вдавливании штампа в вязкоупругое полупространство при произвольном изменении области контакта во времени была почти одновременно изучена в работах А.Б.Ефимова [32] и Тинга [72] .
Отметим также работу А.В.Белоконя и И.И.Воровича [іб] ,где в отличие от перечисленных выше контактных задач линейной теории вязкоупругости предполагается , что в процессе внедрения форма штампа может меняться с течением времени, и рассматривается прямая контактная задача, т.е. по заданным внешним усилиям, приложенным к штампам, определяются параметры контакта.
Наконец отметим, что обширная литература и методы решения контактных задач линейной и нелинейной теории вязкоупругости достаточно полно освещены в коллективной монографии [бб] , а также в обзорной статье Н.Х.Арутюняна [7] .
Перейдем теперь к задачам линейной теории вязкоупругости для неоднородно наследственно-стареющих тел и дадим краткий обзор результатов, полученных в этом направлении.
Первая работа в этой области принадлежит Н.Х.Арутюняну \о], где в постановке теории ползучести неоднородно наследственно--старегощих тел рассмотрена задача Meлана [96] о передаче нагрузки от стрингера бесконечной длины к полуплоскости. Предполагается, что контактирующие элементы имеют разные вязкоупругие характеристики и возрасты, причем возраст стрингера зависит от координаты X . Задача математически сформулирована в виде интег-ро-дифференциального уравнения по координате в сочетании с интегральным уравнением Вольтерра второго рода по времени. В случае, когда возраст стрингера не зависит от координаты X и отличен от возраста полуплоскости, получено интегральное уравнение Вольтерра, которое затем решено в замкнутом виде.
В работе В.М.Александрова, Н.Х.Арутюняна и А.В.Манжирова [I] рассмотрены плоские и осесимметричные задачи теории ползучести неоднородно-стареющих тел для многослойных оснований. В пакет слоев вдавливается гладкий штамп (жесткий), на который действует изменяющаяся во времени нагрузка. Получены основные уравнения плоских и осесимметричных контактных задач, содержащие интегральные операторы Фредгольма по координатам и Вольтерра - по времени. - II -
В работе В.М.Александрова, Е.В.Коваленко и А.В.Манжирова [2] даются решения некоторых плоских и осесимметричных контактных задач теории ползучести неоднородно-стареющих сред. Изучены случаи искусственного и естественного старения пакета слоев, приведены числовые результаты.
Ряд задач по исследованию устойчивости неоднородно наследственно-стареющих вязкоупругих стержней рассмотрен в [її] ,где изучены задачи устойчивости как на бесконечном, так и на конечном интервалах времени. Рассмотрены также неоднородно-стареющие вязкоупругие армированные стержни.
Исследования, связанные с вопросами оптимизации в теории ползучести для наращиваемых стержней приведены в [Ді] .
В работе А.А.Зевина [34] сформулирован аналог принципа Воль-терра для неоднородно-стареющей наследственной среды, который справедлив только для случая постоянных во времени упругих характеристик и экспоненциального представления функции старения. Здесь же одновременно предложены пути численной реализации метода.
Работы [19,20] посвящены некоторым задачам и проблемам термоползучести однородно и неоднородно-стареющих наследственных сред.
В работах Г.Н.Савина и К.У.Уразгильдяева [69,70] и К.У. Уразгильдяева [78] рассмотрены задачи о влиянии ползучести и старения материала на напряженно-деформированное состояние около отверстий.
В работе Е.В.Коваленко и А.В.Манжирова [40] рассмотрена контактная задача о вдавливании без трения штампа в двухслойную стареющую вязкоупругую полосу. Решение полученного уравнения строится асимптотическими методами при большом времени.
Работа А.В.Манжирова [47] посвящена исследованию напряжен- но деформированного состояния неоднородно-стареющих вязкоупру-гих тел при их взаимодействии с концентраторами и жесткими штампами.
В работах З.А.Давтяна [29-31] рассмотрены некоторые контактные задачи кручения и осесимметрической деформации о взаимодействии тонкой цилиндрической оболочки с бесконечными сплошными цилиндрами или пространством с цилиндрической полостью с учетом неоднородного старения контактирующих тел. Решение этих задач строится при помощи преобразования Фурье (случай бесконечной оболочки) или же при помощи ортогональных многочленов (случай конечной оболочки).
Некоторые вопросы и задачи теории ползучести однородно и неоднородно наследственно-стареющих тел рассмотрены также в работах НД.Арутюняна и Б.А.Шойхета [14] , К.Г.І^ляна [28] , Л.П. Трапезникова [73] , Б.Д.Харлаба [79] , А.М.Цыбина [80] и др.
Теперь в кратце остановимся на работах по смешанным задачам о контактном взаимодействии тонкостенных элементов в виде стрингеров с массивными деформируемыми телами, которые также связаны с нашим исследованием.
Первые исследования по задачам указанного типа принадлежат Э.Meлану. В его извенстной работе [9б] рассматриваются две основные задачи о передаче осевой нагрузки от бесконечного стрингера к полубесконечной или бесконечной пластине постоянной толщины. В обеих задачах предполагается, что нагрузка приложена к некоторому поперечному сечению стрингера и равномерно распределена по этому сечению, а сам стрингер рассматривается как одномерная упругая среда.
В первой задаче бесконечный стрингер прикреплен к границе полубесконечной пластины, а во второй - вложен в бесконечную - ІЗ - пластину. При этом предполагается, что в первой задаче стрингер лишен изгибной жесткости, вследствие чего пренебрегаются нормальные контактные напряжения. Во второй задаче нормальные контактные напряжения отличны от нуля, но ввиду симметрии принимаются равными нулю вертикальные смещения граничных точек полуплоскостей, на которые полнаяплоскость разделяется стрингером. Кроме того полагается, что контактные напряжения в поперечном сечении стрингера распределены равномерно, что приводит к модели контакта по линии.
При указанных предположениях компоненты напряжений в пластинах определены в виде интегралов Фурье.
Буфлер [90] , а также Муки и Стернберг [52] пересмотрели задачи Мелана, предполагая, что к стрингеру применена двумерная теория упругости или же рассматривая стрингер как одномерную среду, изгибная жесткость которой учитывается в рамках обычной теории балок.
Обзор основных результатов и работ зарубежных авторов в этом направлении содержится в [53] .
Некоторые контактные задачи для полуплоскости с упругими стрингерами конечных длин рассматривались в работах Н.Х.Арутюня-на [5 J , Н.Х.Арутюняна и С.М.Мхитаряна [13,88] .
Задача о равновесии однородной упругой бесконечной плоскости с бесконечным упругим (гибким) прямолинейным включением рассмотрена в работе К.С.Чобаняна и А.С.Хачикяна [82] .
Контактная задача для кусочно однородной плоскости с тонкостенным упругим включением конечной длины исследовалась в работе Д.В.Грилицкого и Г.Т.Сулима [27J .
Некоторые задачи о взаимодействии стрингеров с упругими бесконечными телами рассмотрены также в монографии В.С.Саркисяна [71] .
Отметим также, что достаточно полная библиография работ, посвященных вышеуказанным вопросам, приведена в коллективной монографии [бб].
Следует отметить, что задачи о сжатии двух вязкоупругих тел, в частности, контактные задачи о вдавливании штампов в вязкоуп-ругие основания, достаточно хорошо исследованы. Однако, краевые задачи теории ползучести и особенно контактные задачи в постановке теории ползучести неоднородно-стареющих сред и задачи о контактном взаимодействии тонкостенных элементов с массивными деформируемыми телами с учетом фактора неоднородного старения почти не были рассмотрены. Это объясняется тем, что в определяющих интегральных уравнениях этих задач операторы по пространственным координатам не разделяются от операторов по временной координате. Последнее обстоятельство вносит существенные осложнения в исследование указанных задач и разработка эффективных методов построения решений определяющих уравнений связана с большими математическими трудностями.
Между тем упомянутый класс контактных задач представляет значительный теоретический и практический интерес. Решения этих задач можно использовать в расчетах прочностных характеристик усиленных тонкостенными элементами или армированных ими разнообразных конструкций.
Настоящая диссертационная работа и посвящена исследованию некоторых краевых задач теории ползучести неоднородно-стареющих сред и вопросов контактного взаимодействия стрингеров с телами в виде полос, полуплоскостей и плоскостей с учетом фактора неоднородного старения и в определенной мере заполняет указанный пробел в теории контактных и смешанных задач.
Вкратце изложим содержание диссертационной работы.
Работа состоит из двух глав и кратких выводов.
Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию задач теории ползучести для полого шара, полуплоскости и полосы в постановке теории ползучести неоднородно наследственно-стареющих тел.
Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем приведены основные реологические уравнения теории ползучести неоднородно наследственно-стареющего тела, предложенной Н.Х.Арутюня-ном.
Во втором параграфе этой главы исследована задача Ламе для разновозрастного двухслойного вязкоупругого полого шара. Задача определения неизвестного радиального давления, возникающего между слоями, сводится к решению линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Затем последнее уравнение при ядрах Н.Х. Арутюняна сведено к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами при определенных начальных условиях. Построено замкнутое решение этого уравнения. Для некоторых видов нагружения и в довольно широком диапазоне изменения возрастов слоев и времени получены числовые результаты. Выявлены закономерности изменения давления в зависимости от раз-новозрастности и времени. Полученные результаты показывают, что учет разновозрастности оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние полого шара во времени.
В третьем параграфе исследуется напряженно-деформированное состояние вязкоупругой, разновозрастной полуплоскости, состоящей из полосы конечной толщины и полосы в виде полуплоскости. Предполагается, что физико-механические и вязкоупругие характеристики этих полос различные. При указанных предположениях решение задачи относительно образов Фурье сведено к решению системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. При условии, что материалы полос одинаковые, но возрасты и функ- оди старения разные, система сведена к линейному интегральному уравнению Вольтерра, которое затем решается в замкнутом виде. После этого при помощи обратного преобразования Фурье определяется напряженно-деформированное состояние целой составной полуплоскости.
В четвертом параграфе рассматривается контактная задача о передаче нагрузки от стрингера бесконечной длины к полосе с учетом фактора неоднородного старения. Принимается, что вязкоупру-гие характеристики стрингера и полосы разные, они изготовлены из разных материалов, возраст стрингера зивисит от координаты, а возраст полосы постоянен. Предполагается также, что стрингер лишен изгибной жесткости и находится в одноосном напряженном состоянии, а полоса - в плоском деформированном состоянии. Решение задачи относительно контактного тангенциального напряжения сведено к интегро-дифференциальному уравнению, содержащему операторы Вольтерра по времени. В случае когда возраст стрингера не зависит от координаты, но отличен от возраста полосы, получено замкнутое решение задачи.
В частном случае загружения стрингера, для полуплоскости получены числовые результаты и построены графики контактного напряжения в довольно широком диапазоне изменения возрастов контактирующих пар и времени.
В пятом параграфе рассматривается контактная задача о передаче нагрузки от стрингера бесконечной длины к двум одинаковым полосам в постановке теории ползучести неоднородно-стареющих тел. Относительно стрингера предполагается, что стрингер в горизонтальном направлении растягивается или сжимается как стержень, находясь в одноосном напряженном состоянии. Кроме того, в силу малости толщины стрингера принято, что вдоль горизонтальной оси его вертикальные перемещения постоянны. Принимается также, что контактирующие элементы изготовлены из разных материалов, имеют разные вязкоупругие характеристики, возраст стрингера зависит от координаты, а возраст полосы постоянен. При этих предположениях решение задачи сводится к системе интегро-диффе-ренциальных уравнений, содержащих операторы Вольтерра по времени. При постоянном возрасте стрингера система интегральных уравнений сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, которое затем решается в замкнутом виде. Предельным переходом получены значения нормальных и тангенциальных контактных напряжений в случае двух полуплоскостей. Рассмотрены частные случаи.
Вторая глава посвящена исследованию контактных задач о взаимодействии стрингеров и тонкостенных включений с полосами и плоскостью в постановке теории ползучести неоднородно наследственно-стареющих тел.
В первом параграфе этой главы рассматривается контактная задача о передаче нагрузки от стрингера конечной длины к полосе с учетом фактора неоднородного старения. При тех же предположениях о стрингере и полосе, как в 3 гл.1, решение поставленной задачи сформулировано в виде сингулярного интегро-дифференциаль-ного уравнения по координатам, содержащего операторы Вольтерра по времени, при определенных граничных условиях. Решение полученного уравнения ищется в виде бесконечного ряда по ортогональным полиномам Чебышева первого рода, коэффициенты разложения которого зависят от времени. Затем известным способом относительно неизвестных коэффициентов разложения получена бесконечная система линейных интегральных уравнений Вольтерра. На основе принципа сжимающих отображений исследован вопрос регулярности этой системы. Доказана полная регулярность системы. Рассмотрен случай, когда полоса превращается в полуплоскость. В этом случае проведен численный анализ задачи и выявлены законо- мерности изменения тангенциального контактного напряжения и коэффициентов интенсивности на концах стрингера в зависимости от возраотов контактирующих пар и времени.
Во втором параграфе исследуется контактная задача о передаче нагрузки от двух одинаковых стрингеров конечной длины к полосе с учетом фактора неоднородного старения. Рассмотрены симметрический и кососимметрический случаи загружения накладок. Задача сведена к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению по координате, содержащему операторы Вольтерра по времени.При помощи ортогональных полиномов Чебышева первого рода последнее сведено к вполне регулярной бесконечной системе линейных интегральных уравнений Вольтерра.
В третьем параграфе рассматривается контактная задача о передаче нагрузки от стрингера конечной длины к двум одинаковым полосам с учетом фактора неоднородного старения. При предположениях 5 гл.1 относительно стрингера и полос, задача в конечном итоге сводится к решению системы сингулярных интегро-диффе-ренциальных уравнений, содержащих операторы Вольтерра, которая в свою очередь сведена к одному уравнению.
При помощи аппарата ортогональных полиномов Якоби последнее уравнение относительно комплексных коэффициентов разложения сведено к квазивполне регулярной бесконечной системе линейных интегральных уравнений Вольтерра. Рассмотрены частные случаи.
В четвертом параграфе рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии однородной плоскости с прямолинейным включением конечной длины в постановке теории ползучести неоднородно-стареющих тел.
Принимается, что материалы включения и плоскости имеют разные вязкоупругие характеристики и возрасты. Включение трактуется в рамках теории тонких пластин, согласно которой для нее прини- мается модель одноосного напряженного состояния стержня в горизонтальном направлении в сочетании с моделью изгиба в вертикальном направлении. При этом в силу малости толщины включения ее жесткость на изгиб пренебрегается, а жесткость на растяжение величина конечная. Тогда нормальные контактные напряжения на берегах включения скачка не имеют, а тангенциальные контактные напряжения на берегах включения всегда имеют скачок.
При указанных предположениях задача сформулируется в виде сингулярных интегро-дифференциальных уравнений относительно скачков тангенциальных контактных напряжений и горизонтальных перемещений на берегах включения, содержащих операторы Вольтерра по времени. С помощью аппарата ортогональных полиномов Чебышева первого рода уравнения сводятся к бесконечным системамлинейных интегральных уравнений Вольтерра и алгебраических уравнений соответственно. Доказана полная регулярность этих бесконечных систем.
Для определения неизвестных осевых усилий на концах включения получена система интегральных уравнений Вольтерра, которая решается совместно с бесконечной системой интегральных уравнений Вольтерра.
Основное содержание диссертационной работы опубликовано в статьях [98-105] .
Результаты работы регулярно докладывались на семинарах отдела теории вязкоупругости и на семинарах и конференциях молодых ученых Института механики АН Арм.ССР.
Основные результаты диссертации докладывались также на второй Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 15-18 сентября 1981г.), на Всесоюзном симпозиуме "Ползучесть в конструкциях"( Днепропетровск, 21-24 сентября 1982г.), на школе-семинаре "Теория упругости и вязкоупругости" (Цахкадзор, 22-25 ноября 1982г.).
В окончательном виде диссертационная работа была.доложена .. на семинаре ВНИИ Гидротехники им. Б.Е.Веденеева и на общем семинаре Института механики АН Арм.ССР.
Работа выполнена в отделе теории вязкоупругости Института механики АН Арм.ССР под научным руководством Н.Х.Арутюняна.
Пользуясь случаем, выражаю глубокую признательность своему научному руководителю,академику АН Арм.ССР Н.Х.Арутюняну и научному консультанту С.М.Мхитаряну.за постановку задач, ценные указания и большую помощь в работе.
Задача Ламе для разновозрастного двухслойного вязкоупругого полого шара
Наряду с этой неоднородностью в реальных телах и конструкциях встречается и другой вид неоднородности, которая характеризуется тем, что элементы таких тел и конструкций изготовлены из разных материалов с различными упругими и реологическими свойствами.
Уравнение (I.I.9) характерно тем, что одновременно отражает оба типа неоднородностей упруго-ползучего тела. Отметим, что первая из них - "возрастная неоднородность" - присуща только стареющим материалам, а неоднородность вторго типа может иметь место и в нестареющих телах.
Компоненты тензора напряжений бу (J-) должны удовлетворять уравнению равновесия или уравнению движения сплошной среды при малых деформациях; где f (Д) -массовые силы, U l) - вектор перемещений, - плотность среды. Отметим, что уравнение (I.I.I0) применяется к квазистатическим задачам, а уравнение (I.I.II) - к динамическим .задачам. Компоненты тензора деформаций /{vC"t) должны удовлетворять шести уравнениям совместности Сен-Венана Уравнения (І.І.7) или (І.І.9) и (I.I.I0-I.I.I3) образуют полную систему уравнений теории ползучести неоднородно наследственно-стареющих сред при изотермических процессах. Анализ записанных уравнений (І.І.7) или (І.І.9) показывает, что из-за некоммутативности операторов наследственности, описывающих свойства в различных точках неоднородно наследственно-стареющих сред, к ним принцип Вольтерра нерименим (кроме некоторых частных случаев ). При решении конкретных задач для меры ползучести можно воспользоваться известным представлением [4,7] Отметим также, что структурные свойства функции старения J\U) и функции наследственности f (Л" ) описаны в обзорной статье [7 J. В случае обобщенного плоского напряженного состояния основные реологические соотношения теории ползучести для неоднородно наследственно-стареющего тела имеют вид при постоянном коэффициенте Пуассона, т.е. принято, что коэффициент поперечного сжатия при деформациях ползучести у іі X } равен коэффициенту поперечного сжатия при упруго-мгновенных деформациях Ул{ ) и постоянен во времени: Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что принятое допущение (I.I.I8) может привести, например, в бетонных конструкциях, к погрешностям, не превышающим Ь%, то есть к погрешностям, допустимым в технических расчетах [62] . Для обычного бетона S)i - і/Б ; 0 (_t,X) 1/ В . - 28 Если предположить, что функция неоднородного старения Э(Ъ) -ЭС=сопА , то из (І.І.Г7) после интегрирования по X и Ч получим Рассмотрим вязкоупругую замкнутую сферическую оболочку,состоящую из двух отдельных замкнутых сферических оболочек(слоев) с различными материалами, спаянных по поверхности их соприкосновения. Пусть эта замкнутая сферическая оболочка (двухслойный вяз-коупругий полый шар) в момент времени "t ТГо изнутри и извне загружен равномерно распределенными давлениями интенсивностей R (\.) и PoCt) соответственно. Обозначим радиусы двухслойного полого шара через U.yh и С , причем tt & С (рис.1). В условиях совместной работы двух слоев между ними возник - 29 нут радиальные силы взаимодействия с интенсивностью 0-(4.) .При этом, в силу симметрии, касательные напряжения будут равны нулю. Принимается, что слои имеют неодинаковые вязкоупругие характеристики и постоянные возрасты TT-j и Т соответственно и для них имеет место условие (I.I.I8). Требуется определить неизвестное контактное радиальное давление Q/ (t) » возникающее между слоями.
Контактная задача о передаче нагрузки от стрингера бесконечной длины к полосе с учетом неоднородного старения
В постановке теории ползучести неоднородно-стареющих тел рассматриваются две задачи контактного взаимодействия между бесконечными стрингерами и деформируемыми полосами.
Пусть бесконечная полоса толщины Ц по одной своей грани усилена бесконечным стрингером малой толщины h , а по другой грани либо жестко защемлена (задача 1,рис.7), либо свободна от внешних напряжений (задача 2,рис.8). Примем, что материалы стрингера и полосы обладают свойством ползучести, которая характеризуется неоднородностью процесса старения. Здесь и в дальнейшем обозначим меру ползучести стрингера через C-j (t/C ) , модуль упруго-мгновенной деформации через Еі() » возраст через f (3:}» а соответствующие характеристики для полосы - через C t/t E -b T . Кроме того, примем, что всегда выполняется условие (I.I.I8).
Требуется определить закон распределения контактных напряжений на линии соединения стрингера с полосой в любой момент времени t » если в момент времени -Ь - Ъ о к стрингеру приложена горизонтальная сила интенсивности ф0(асА)«
При этом, как обычно [5,8,96 ] , предполагается, что стрингер лишен изгибной жесткости и находится в одноосном напряженном состоянии, поэтому на линии соединения стрингера с полосой будут действовать только тангенциальные контактные напряжения, Сведение интегро-дифференциального уравнения (1.4.6) к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра и его решение. Решение интегро-дифференциального уравнения при произвольной функции неоднородного старения nfx) затруднительно. В частном случае, когда возраст стрингера не зависит от координаты ОС , но отличен от возраста полосы, т.е. Я (ос) zT. ф С о, решение уравнения (1.4.6) можно получить в замкнутом виде. С этой целью применим к обеим частям уравнения (1.4.6) преобразование Фурье по координате ОС, . После некоторых несложных преобразований придем к интегральному уравнению Вольтерра второго рода Здесь введены обозначения трансформаты Фурье соответственно функции Для решения полученного уравнения (1.4.7) меры ползучести стрингера СЛ- Л: и полосы C t ") примем в форме \_4,8І где (fC) и 4 () - функции старения материалов стрингера и полосы, которые описывают процесс неоднородного старения. Тогда ядра ползучести К1 (t,t) и КгС Ь/) примут вид Поступая аналогичным образом, как в случае уравнения предыдущего параграфа, можно показать, что решение интегрального уравнения (1.4.7) при (1.4.8) эквивалентно решению дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами следующего вида: Отметим, что все производные берутся по времени. Решение дифференциального уравнения (1.4.9) при начальных условиях (1.4.10) будет даваться формулой Рассмотрим частный случай внешней нагрузки, когда в момент времени.Т о к стрингеру прилагается сосредоточенная в начале координат Х- О сила постоянной величины Q» о » которая затем остается постоянной во времени, т.е. СГ (pc \zQ йф)\\(Ь-ТЛ где О Эс - функция Дирака, { С) - единичная функция Хеви-сайда. При указанной нагрузке из (1.4.II) с учетом начальных условий (1.4.10) после некоторых элементарных преобразований находим
О передаче нагрузки от двух одинаковых стрингеров конечной длины к полосе с учетом фактора неоднородного старения
Следуя [3] рассмотрим напряженное состояние бесконечной однородной плоскости с прямолинейным включением конечной длины 2 а и малой толщины К в рамках теории ползучести неоднородно наследственно-стареющих тел.
Пусть однородная плоскость на конечном отрезке оси Ox [-of,а] усилена включением и в точках загружена сосредоточенными силами РК(Д0 Хк(А)+І KW » а на бесконечности по направлениям осей Оос и Оч сжимается силами интенсивности р и соответственно (рис.19).
Принимается, что материалы включения и плоскости обладают свойством ползучести, причем возраст включения не зависит от координаты.
Требуется определить напряженное состояние плоскости и включения в условиях плоской деформации, точнее, определить контактные напряжения, действующие на участке соединения включения с плоскостью, и осевые усилия на концах включения, если включение и плоскость имеют разные вязкоупругие характеристики.
Включение будем трактовать как стержень или тонкую пласти-ну, причем, согласно [44j , примем 1+U/a 1 . Следовательно для него примем модель одноосного напряженного состояния стержня в горизонтальном направлении в сочетании с изгибом балки в вертикальном направлении. Тогда поведение стержня описывается уравнениямиа) (2.4.1) Здесь соответственно нормальные и тангенциальные неизвестные контактные напряжения на верхнем и нижнем берегах включения, a 1). () и Е - жесткости соответственно на изгиб и растяжение, причем Es.l30= \(3:)W(l-V?) у ЬГЛІУ)- осевое усилие на конце X:-Q включения. Принимается также, что жесткость включения 1) ( ) на из_ гиб пренебрежимо мала, но жесткость на растяжение Ез (Л) - величина конечная. Тогда из (2.4.1) получим т.е.нормальные контактные напряжения на берегах включения скачка не имеют, а тангенциальные напряжения вследствие Еь А) 4 О на берегах включения всегда имеют скачок. Условие равновесия стержня имеет вид где N (4) - осевое усилие на конце х (X включения, Обратимся теперь к однородной вязкоупругой плоскости.Предположим, что включение выкинуто и в плоскости образована трещина (разрез, щель) по отрезку C-(Xj а] оси 0 ос .На берегах этой трещины В результате получим две вязкоупругие однородные полуплоскости, нагруженные вертикальными CL+ ( } и горизонтальными Ь + ЇХч-ІЛ силами, а также сосредоточенными силами 1 ( ) и силами на бесконечности р и % Упруго-мгновенные перемещения граничных точек верхней и нижней полуплоскостей имеют вид [54"] Таким образом, после того, как определен скачок тангенциальных контактных напряжений t ( Д " на берегах включения (щели), нормальные контактные напряжения на берегах включения (щели) и на продолжениях линии включения определятся по формуле (2.4.8).
К задаче контактного взаимодействия между тонкостенным включением конечной длины и плоскостью, находящимися в условиях ползучести
Теперь докажем, что при любых значениях \ Q бесконечная система линейных интегральных уравнений Вольтерра (2.1.19) квазивполне регулярна. Для этого заметим, что ядра этой системы являются коэффициентами Фурье квадратично суммируемых в квадрате $ определенных функций по полной ортогональной системе \Uri..(4N5) І1 у\-і(Л)\ ТогДа» на основании неравенства Бесселя и известных теорем из теории двойных рядов [76] , можно показать, что
Это означает, что бесконечная система (2.1.19) квазивполне регулярна, т.е. условие сжимаемости соответствующего оператора имеет место начиная с некоторого номера 38"] . Далее отметим, что свободные члены системы (2.1.19) стремятся к нулю при Vw- oo со скоростью не менее, чем т 1 . Следовательно, неизвестные коэффициенты будут иметь по крайней мере, тот же порядок убывания. п.4. Частный случай и численный пример. Рассмотрим контактную задачу о передаче нагрузки от стрингера конечной длины к полуплоскости с учетом фактора неоднородного старения. В этом случае (2.1.9) и (2.1.10) примут вид а соответствующая бесконечная система (2.1.19), в которой следует положить 1 f п - 0 - вид где через /V"wf С" ) обозначено значение NTw% (, при В .ггО В этом случае и получены численные результаты. Принято также, что Вычисления проводились на ЭВМ "EC-I022". Решалась бесконечная система линейных интегральных уравнений Вольтерра (2.1.28) методом редукции. Результаты вычисления, полученные с точностью до 10 , приведены в виде таблиц и иллюстрированы на графиках. Тангенциальные контактные напряжения и коэффициенты их интенсивности вычислены по формулам (2.1.12) и (2.1.21) в довльно широком диапазоне изменения возрастов контактирующих элементов и времени. Выявлены закономерности изменения тангенциальных контактных напряжений и коэффициентов интенсивности на концах стрингера в зависимости от возрастов и времени. Из полученных результатов вытекает, что 1) при условии X. гС і и по мере возрастания возраста полуплоскости Т , тангенциальные контактные напряжения вблизи загруженного конца стрингера увеличиваются, а вблизи другого конца -уменьшаются; 2) при том же условии t-i z тангенциальные контактные напряжения вблизи загруженного конца стрингера в течение времени возрастают, а в достаточно удаленных от нее точках убывают (рис.15); 3) при условии же t ta. - имеем обратную картину (рис.16); 4) коэффициенты интенсивности тангенциальных контактных напряжений на концах стрингера ведут себя подобно тангенциальным контактным напряжениям при изменении возрастов контактирующих элементов и времени (табл.3,4). 2. О передаче нагрузки от двух одинаковых стрингеров конечной длины к полосе с учетом фактора неоднородного старения п.1. Постановка задач и вывод основных уравнений. Пусть бесконечная полоса толщины VI на двух конечных отрезках [_OL;--(5"J и \Jb QS\ } ( (х\ одной из своих граней усилена двумя одинаковыми стрингерами конечной длины 2. (К и малой толщины К. , а по другой грани либо жестко защемлена (задача I, рис.17), либо свободна от внешних напряжений (задача 2,рис.18). Требуется определить закон распределения контактных напряжений вдоль линии соединения накладок с полосой, если в момент времени -_ТГ0 к концам стрингеров приложены сосредоточенные силы h (Л) ) "Р? (S) » а по веРхним их граням тангенциальные силы интенсивности оДэсД) 1110 симметрическим, либо кососимметричес-ким образом.
Как в I, будем предполагать, что стрингеры лишены изгиб-ной жесткости и поэтому на линиях соединения стрингеров с полосой будут действовать только тангенциальные контактные напряжения yb,\). Выведем теперь определяющие уравнения поставленных задач при плоском деформированном состоянии.
