Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Условия оптимальности в задачах управления структурой и формой тел,изготовленных из композитных материалов 14
1.1. Оптимизация в задачах анизотропной теории упругости с неизвестными границами 14
1.2 . Условия оптимальности в задачах управления структурой композитного материала 20
1.3. Метод граничных интегральных уравнений в оптимизации форм скручиваемых стержней из изотропных и анизотропных материалов.29
ГЛАВА II. Рациональные схемы армирования слоистых при изгибе 34
2.1. Модель слоисто-волокнистой пластины в задачах изгиба 34
2.2. Формулировка задач оптимизации.Необходимые условия оптимальности 40
2.3 Аналитические приближенные решения в задачах оптимального распределения концентра ций армирующих волокон 46
2.4. Рациональные схемы ориентации волокон в монос лоях 51
2.5. Аналитические решения задач оптимизации стержней и оболочек вращения, выполненных из волокнистых композитов 54
ГЛАВА III. Модели комюзрщионного материала в задачах оптимизации пластин, находящихся'в условиях плоского напряженного состояния 65
3.1. Постановка задачи оптимизации пластин из хаотически армированных материалов 65
3.2. Модель слоистого материала. Постановка и условия оптимальности в задачах оптимизации 76
ГЛАВА ІV. Метод последовательной оптимизации в задачах проектирования пластин из композитов 83
4.1. Вариационно-разностный метод расчета
неоднородных анизотропных пластин 83
4.2. Метод проекций градиентов в задаче оптимизации пластин из хаотически армированного композитного материала 87
4.3. Метод проекций градиентов в задаче оптимизации слоистой композитной пластины 91
4.4. Выбор оптимальной анизотропии в
конструкции самолетного крыла 95
Заключение 99
Литература
- . Условия оптимальности в задачах управления структурой композитного материала
- Формулировка задач оптимизации.Необходимые условия оптимальности
- Модель слоистого материала. Постановка и условия оптимальности в задачах оптимизации
- Метод проекций градиентов в задаче оптимизации пластин из хаотически армированного композитного материала
. Условия оптимальности в задачах управления структурой композитного материала
Условия оптимальности в задачах управления структурой композитного материала. 1. Постановка задачи. Свойства композитного материала в зависимости от принимаемой модели с точки зрения масштабного уровня (макро или микроструктуры) исследуются следующими методами: I) методами макромеханики, использующей уравнения теории упругости анизотропного тела; 2)методами микромеханики, использующей информацию о структуре и характеристиках фаз композита. Постановка задач оптимизации на макро- и микроуровне различна.
Основными проблемами оптимизации на макроуровне являются задачи отыскания оптимальных форм анизотропных тел и ориентации армирующих волокон.
Рассмотрение микроскопического поведения композита на уровне структурных элементов позволяет решать вопросы оптішального проектирования материалов. Механические характеристики композита определяются свойствами матрицы и армирующего материала, коэффициентами армирования, формой поверхностей раздела фаз.Задачей оптимизации композита на микроуровне является проблема отыскания формы поверхности раздела фаз из условия экстремума определённого функционала качества (концентрация напряжений, энергия деформации, величины эффективных модулей композита). В параграфе 1.2,п5 выводятся условия оптшлальности для указанных задач оптимизации для материала, образованного композицией нелинейно-упругих фаз.Методика вывода условий оптимальности основана на формулах, выражающих вариации функционала через вариации границ областей, управляющих функций и переменных состояния.
Макроструктурная модель. Запишем уравнения большой упругой деформации анизотропного тела. Свяжем с деформированным состоя нием тела декартову прямоугольную систему координат Деформированное тело занимает область с границей Г; на части границы Г . и заданы перемещения U а на части Г нагрузки примут вид IX компоненты вектора перемещений в системе координат. Латинские индексы принимают значения 1,2,3; по дважды повторяющимся индексам производится суммирование.Компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия (1.3) [46,77]
Для.из.отропш-упругого материала компоненты тензора напряжений являются однозначными функциямикомпонент тензора деформаций [77]: компоненты тензора деформаций Альманси-Гамеля, нелинейные тензорные функции компонент тензора деформации.В слу чае анизотропного материала тензор напряжений зависит не толь ко от тензора деформации Альманси-Гамеля, но и от вектора вра щений среды.Напряжения в общем случае зависят от градиентов перемещений по пространственным пергаденным.Дяя тела с криво линейной анизотропией тлеем причем -нелинейные тензорные функции градиентов перемещений НІ ; эти функции записываются в определенной системе координат, согласованной с направлениями анизотропии.Матрица косинусов углов между осями этой системы координат OC JCJTJ, связанной с видом симметрии материала} и осями увязанной с деформированным состоянием тела, обозначена Му причем МуП(г: - о .Дяя ортотропного материала, в частности, оси совпадают с главными направлениями упругости.
В качестве механической характеристики тела принимается функционал где г - Санкция, связанная с видом симметрии тела и зависящая от компонент напряженно-деформированного состояния в системе координат -целое число. Как показано в, при конкретном задании функции в (1.22) можно ставить задачи оптимизации с локальными функционалами,Так, например, тензорный полиномиальный критерий прочности в системе координат У Уг-Чь связанной с линиями армирования, записывается в виде
Формулировка задач оптимизации.Необходимые условия оптимальности
В дальнейшем полагаем, что масса композита фиксирована (2.17) то есть при оптимизации условие (2.17) входит в совокупность изопериметрических условий.
В качестве оптимизируемого функционала выберем один из функционалов (2.13)-(2.15). Иными словами, будем увеличивать жёсткость или наименьшую собственную частоту поперечных колебаний пластины. Управляющими функциями для структуры I служат концентрации а для структуры 2 -углы поворота армирующих волокон в монослоях
Для структуры I на концентрацию волокон b (oc4j0C2) наложены ограничения (2.4), а также ограничения обусловленные известными технологическими требованиями.
Для структуры 2 ограничениями также являются (2.4). Задачи оптимизации структур I и 2 формулируются следующим образом: Структура І. Найти в оптимальное распределение концентраций которое при изопериметрических условиях (2.4) и (2.17) и ограничениях (2.18) минимизирует (2.15) (задача I) или максимизирует (2.14) (задача II);
Структура 2. Найти ъъс оптимальные углы поворота (осъа"2) которые при изопершлетрическом условии (2.17) минимизируют(2.13) (задача III) или максимизируют (2.14) (задача ІУ).
Необходимые условия оптимальности. Получим необходимые условия оптимальности в задачах опттшзации структуры I, где управляющей функцией служит концентрация армирующих волокон. В силу условий трансверсальности справеливо соотношение и интеграл по границе І исчезает.Заменим S"itT в Іг через вариацию Sh управляющей функции.Для этого проварьируем уравнение (2.16) и граничные условия для прогиба bS л по множив их на сопряжённую функцию \л(ро4 ссг) ,и полученные выражения проинтегрируем соответственно по области Ъс и контуру Г .Минимизация максимального прогиба многослойной пластины для класса сил, реализующих нормальную к срединной поверхности пластины нагрузку.Учитывая, что р= j ; 1 , решим задачу I для структуры 1 методом малого параметра [Зі] . Полученное решение , представляющее самостоятельный интерес, может быть также использовано как начальное приближение в задачах, где величина & уже не является малой.
Рассмотрим изгибаемую поперечными силами CL(oGf x2) прямоугольную слоисто-волокнистую пластину QjO oc Q о х2 &1 свободно опёртую на контуре П . В этом случае уравнение состояния имеет вид (2.16), а граничные условия для хГ(эс ос2) записываются следующим образом:
Считаем, что функция СЬ о эСг) принадлежит к классу функций Q , суммируемых в области и имеющих обобщённые производные по Х,; ОС2 до требуемого порядка. Кроме того, для простоты выкладок предположим, что разложение функции Сь Q в ряд Фурье в прямоугольнике содержит лишь произведения синусов
Вследствие ограничения (2.25) предлагаемая методика оптимизации применима лишь к свободно опёртым пластинам.
Пусть изменяется по условию (2.8). Ищем решение (2.16) в виде Разложив выражение ЗС по степеням , получим для определения невозмущённого состояния первой поправки с учётом граничных условий (2.24) совокупность краевых задач
Формулы анализа чувствительности можно получить как частный случай более общей процедуры минимизации линейного по вариации у (осъосг) функционала при дополнительных ограничениях
Рассмотрим задачу оптимизации угла укладки волокон в изгибаемой слоистой пластине. Выберем в качестве оптимизируемого функционала величину энергии деформации пластины и рассмотрим задачу минимизации этого функционала за счёт выбора оптимальной ориентации углов ортотропии. Учитывая, что уравнения равновесия в перемещениях являются уравнениями Эйлера функционала (2.13), можно исключить дифференциальные связи. Дроводя преобразования, получим:
Нетрудно показать, что третье условие соответствует стационарной точке, условие cos % - О - максимуму энергии деформации, а -S in - О - минимуму. Для получения приближённых аналитических решений применим метод последовательных приближений. Используя решения гсГ(эсьх2) для однородной пластины построим линии кривизны к 1} KZ в каждой точке. Необходимые условия оптимальности дают первое приближение для угла ориентации армирующих волокон.
Модель слоистого материала. Постановка и условия оптимальности в задачах оптимизации
Решение задачи оптимизации возможно лишь тогда,когда заданы зависимости эффективных коэффициентов Ламе ( эффективных модулей) от концентрации армирующих" включений. Понятие макроскопических модулей подробно обсуждается в ряде работ [ 28 - 30 , 67-69, 85, 108, 115, 117, I3l] .
В данной главе рассматриваются композиционные материалы, армированные отдельными макрочастицами (гранулами), короткими, разорванными или переплетёнными волокнами.Композиты,армированные элементами, у которых все размеры являются величинами одного порядка,называются гранулированными [б7,т.Іі] .Материалы, со-держащие короткие волокна, длина которых значительно больше двух других их размеров,называются коротковолокнистыми композитами.
.Идя определения эффективных модулей изотропного композита (волокнистого) с пространственной схемой армирования используется условие совместности деформаций волокон и матрицы и процедура пространственного осреднения. Процедура пространственного осреднения эффективно соответствует приданию системе с параллельными волокнами всех возможных направлений в пространстве по отношению к направлению заданной деформации. Так, если все волокна в матрице направлены вдоль оси { , то соотношения закона Гука полученной трансверсально-изотропной среды записываются в виде
Определив экспериментально или рассчитав эффективные характеристики среды, армированной выпрямленными параллельными волокнами, и подставив их в (3.22), можно далее оценить константы среды с хаотически ориентированными волокнами.
Использование гипотезы смеси для определения эффективных модулей однонаправленного композита и применение формул (3.21) даёт модуль упругости армирущих волокон, AM? jUM -коэффициенты Ламе матрицы.
Нетрудно также определить эффективные модули для пластины, армированной хаотически распределённой в плоскости системой волокон [5,69 J .
Эффективные характеристики гранулированного композита получены теоретически и проверены экспериментальным путём в работе Силовой материал конструкции представляет собой композитную среду, состоящую из упругой матрицы и одинаковых сферических включений. Упругие модули включений значительно превышают соответствующие модули для матрицы. Включения распределены в объёме материала однородно. Эффективный модуль Юнга Е и эффективный коэффициент Пуассона v композитной среды связаны с коэффициентом концентрации У) дифференциальными зависимостями [ 34 ]
Получим конечные соотношения, связывающие Е » V и h . Проинтегрируем уравнения (3.24). С этой целью обозначим Е0 и V0 величины эффективных модулей для некоторого фиксированного значения коэффициента концентрации h = И0 и будем рассматривать величины Е0?\)о,, 7о в качестве начальных значений при интегрировании системы уравнений (3.24). Предположим, что "Ч7 ( )о) ф О. Последнее условие, в частности, означает что \)0 ф О. 2 и о Ф 0.5 .Интегрирование уравнений основанное на разделении переменных и необращении в нуль функции Чг , выполняется непосредственно. %еем л
Если Vo =0,2 и "\)0 =0,5, то Ц5 обращается в нуль. Тогда с учётом второго уравнения (3.24) эффективный коэффициент Пуассона остаётся постоянным и при вариациях концентрации включений
И меняется только величина эффективного модуля Юнга.Поэтому, если для \п Ь0 эффективный коэффициент Пуассона принимает значения для всех значений из рассматриваемого интервала. Зависимость эффективного модуля Юнга среды от коэффициента армирования оказывается экспонентдиальной Е = Еоеэср( / Параметр ±= 2 для v = 0.2 и t =2.5 для )-0.5.
Задачи оптимизации с интегральными функционалами. Оптимизация жёоткости.В качестве меры, характеризущей деформированное состояние конструкции, примем интегральную жёсткость,которая пропорциональна работе внешних сил, приложенных к конструкции.
Равенство (3.28) означает, что для оптимальной конструкции в областях, где концентрация включений не достигла своих предельных значений, плотность потенциальной энергии упругих деформаций постоянна. Зшлетшл, что соотношение (3.28) совпадает с условием оптимальности распределения толщин несущих слоёа тонко -76-стенных трёхслойных конструтащй
Однако для трёхслойных конструкций с переменной толщиной внешних несущих слоев управляющая функция, описывающая распределение толщин, не входит в условия оптимальности,и это обстоятельство позволяет развить эффективные методы решения задач оптимизации. В данном же случае оптимизации распределения включений условие оптимальности явно зависит от управляющей переменной не позволяет рассматривать уравнение для функции состояния и использовать найденные ранее решения.
Метод проекций градиентов в задаче оптимизации пластин из хаотически армированного композитного материала
Алгоритм последовательной оптимизации применялся для численного решения ряда двуїлерннх задач отыскания оптимальных распределений армирую щих включений. При проведении расчётов принимались следующие зна чения параметров: модуль Юнга армирующих включений константы Ламе материала матрицы Ам = 2.73- плотности включений и матрицы значения коэффициента концентрации лежали в пределах Приведённые зна чения параметров сооветствуют бороэпоксидному композиту. Для дан ных значений параметров задачи эффективные коэффициенты Ламе изменялись в пределах при увеличении коэффициента концентрации от 0 до 0,5. В процессе численного решения минимизировалась масса квадратного образца со сторонами в условиях плос кой деформации. При расчётах все величины были приведены к безразмерному виду. На фиг. 4.2 показаны результаты расчётов для задачи определения оптимального распределения армирующего материала в растягиваемом образце.На гранях тела 0Ct = O и Х=0_ задавались перемещения считались свободными от напряжений.
Интегральная жёсткость в процессе расчётов поддерживалась постоянной и равной жёсткости однородного образца с модулями Ламе 0=3.93-10 =7.94-105 (и/м2). В силу симметрии оптимального решения относительно линии X, = и хг= Q на рис." 42 представлено распределение концентрации армирующих включений для четверти сечения образца плоскостью0 =о. Цифры на изолиниях указывают значения концентрации арматуры.Как видно из приведённого рисунка основная часть включений концентрируется в срединных областях тела, прилегающих к плоскости (х2 = ") Эффективность расположения армирующего материала в углах и в областях, прилегающих к срединам свободных краёв, низка и в этих областях концентрация включений минимальна.
На фиг. 4.3 представлено найденное аналогичным способом оптимальное распределение армирующего материала для образца, находящегося в условиях аналогичных плоскому изгибу.Имеется в виду напряжённо-деформированное состояние, отвечающее граничным условиям и качественно соответствующее состоянию, реализуемому в толстых пластинах при цилиндрическом изгибе.Константа LLa в граничных условиях положена Ю" . Отметим некоторые особенности рас пределения концентрация. Армирующий материал концентрируется вдоль свободных краёв тела и в его углах, где коэффициент армирования максимален. Расположение армирующего материала в центральных областях не эффективно и здесь концентрация включений минимальна.
Метод проекции градиентов в задаче оптимизации слоистой композитной пластины. проекции градиентов.Задача оптимизации пластины из слоистого композита решалась численно с использованием алгоритма последовательной оптимизации.Применительно к отысканию оптимальных распределений армирующего материала монослоёв алгоритм состоит в решении "прямых" задач для уравнений двумерной теории упругости ортотропного неоднородного тела при заданных функциях )? = (хо щем определении по методу проектирования градиентов новых реализаций Ь b приводящих к уменьшению функционала массы (3.31). Решение прямых задач проводилось по схеме, рассмотренной в 4.1.Основные отличия обусловлены использованием двух управляющих функций.Для непосредственного учёта ограничений (3.32$ введём новые управляющие функции ,, , по формулам [21, 22J
Введение функций "Г , Г позволяет исключить ограничения (3.32). Единственное ограничение, накладываемое на функции Ьр 1р2 п их вариации S"b(; О h обусловлено изопериметрическими условиями (3.36). Формулы для улучшающих вариаций вспомогательных функций i , 7 2 , вытекающие из условия сохранения величины интегральной жёсткости и убьюания функционала массы,имеют вид
Последовательное решение прямых задач вариационно-разностным методом продолжается до тех пор, пока норма вектора ( 52 ) не станет меньше заданной величины ,т.е. тоос о 2 _, imaocS .Алгоритм реализован в виде программы для ЭВМ, которая использована для выполнения расчётов оптимальных распре лений армирующих слоев.
.Расчёты выполнены для квадратных пластин со сторонами х- 0,\м при различных условиях нагружения.Дри вычислениях принимались следующие значения параметров: соотвествующих бороэпоксидным армирующим монослоям и слоям связующего из эпоксидной смолы. Более эффективно армирование монослоями, направление укладки которых сов падает с линией действия силы,Область, в которой концентрация принимает промежуточные значения, имеет характерную форму арки с верпшной в точке приложения силы.Во внутренних областях и на уча стках границы, отстоящих от точки приложения силы,концентрация минимальна
