Исследование плоской задачи нелинейной упругости Бондарь Василий Денисович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Постановка статической задачи нелинейной упругости при плоской деформации

I. Общая характеристика нелинейной упругости 41

2. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в произвольных координатах деформированного состояния 43

1.Соотношения пространственной задачи.

2.Соотношения плоской задачи.

3.Представления деформаций через напряжения.

3. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в декартовых координатах деформированного состояния 61

1.Представления в декартовых координатах скалярных, векторных и тензорных величин. 2.Соотношения плоской задачи в декартовых координатах.

4. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в комплексных координатах деформированного состояния

1.Представления в комплексных координатах скалярных, векторных и тензорных величин, 2.Соотношения плоской задачи в комплексных координатах.

5. Условия эллиптичности уравнений равновесия нелиней ной упругости при плоской деформации 68

1.Достаточные условия эллиптичности.

2.Достаточные условия эллиптичности для изотропного материала.

6. Плоская задача нелинейной упругости в перемещениях и в напряжениях 78

1.Задача в перемещениях.

2.Задача в напряжениях.

3.Задача для функции напряжений.

Глава 2. Плоская деформация в нелинейной упругости при линей ных связях напряжений с деформациями

7. Плоская деформация при линейной зависжюсти деформаций от напряжений 95

1.Материалы с линейной зависимостью деформаций от напряжений.

2.Соотношения плоской деформации в различных координатах деформированного состояния.

3. Задача в напряжениях в декартовых координатах и её исследование .

4.Задача в напряжениях в комплексных координатах и сведение её к задаче для потенциалов.

5.Представление перемещений через потенциалы.

6.Исследование потенциалов.

7. Решение краевых задач

для потенциалов.

8.Всестороннее растяжение плоскостис отверстием.

8. Плоская деформация при линейной зависшлости напряжений от деформаций 140

1.Материалы с линейной зависимостью напряжений от деформаций.

2.Соотношения плоской деформации в различных координатах деформированного состояния.

3.Задача в перемещениях в декартовых координатах и её исследование.

4.Задача в перемещениях в комплексных координатах и сведение её к задаче для потенциалов.

5.Исследование потенциалов.

6.Решение краевых задач для потенциалов.

7.Деформация плоскости с отверстием при заданном смещении границы.

Глава 3. Плоская деформация в нелинейной упругости при малых поворотах, превышающих малые удлинения-сдвиги

9. Соотношения нелинейной упругости при ограничениях на характеристики плоской деформации

1.Исходные допущения.

2. Соотношения плоской задачі! в различных координатах деформированного состояния.

10. Задача о плоской деформации материала в перемещениях 165

1.Уравнения равновесия в перемещениях в декартовых координатах и их исследование. 2.Уравнения равновесия в перемещениях в комплексных координатах и их интегрирование.

II. Задача о плоской деформации материала в напряжениях и поворотах

1.Уравнения равновесия в напряжениях и поворотах в декартовых координатах и их исследование.

2.Уравнения в напряжениях и поворотах в комплексных координатах и их интегрирование.

3.Определение перемещений.

4.Формулировка задачи в терминах поворота и функции напряжений.

5. Динамическое условие совпадения данного варианта нелинейной упругости с линейной упругостью .

12. Краевые задачи для потенциалов J32

1.Исследование потенциалов.

2.Краевые задачи для односвязных областей.

3.Краевая задача для единичного круга.

4.Решение краевой задачи методом Ньютона-Канторовича.

13. Всестороннее растяжение плоскости с отверстием... 194

1.Постановка задачи.

2.Определение напряжений.

3.Исследование решений.

4.Исследование напряжений.

5.Определение и исследование перемещений. 6.Линейное решение.

Глава 4. Плоская деформация несжимаемого материала в нелинейной теории упругости

14. Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации несжимаемого материала 214

1.Исходные соотношения.

2.Соотношения плоской деформации несжимаемого материала в различных координатах деформированного состояния.

15. Задача о плоской деформации несжимаемого материала в перемещениях 217

I.Задача в перемещениях в декартовых координатах деформированного состояния.

2.Задача для начальных декартовых координат. 3.Исследование уравнений для начальных координат.

4.Задача в перемещениях в комплексных координатах деформированного состояния.

5.Задача для начальных комплексных координат.

16. Задача о плоской деформации несжимаемого материала в напряжениях 228

1.Задача в напряжениях в декартовых координатах деформированного состояния.

2.Задача в напряжениях в комплексных координатах деформированного состояния.

3.Задача для функции напряжений в декартовых и комплексных координатах деформированного состояния:.

17. Плоская деформация несжимаемого материала Муни в нелинейной теории упругости

1.Материал Муни.

2 Задача в перемещениях и в начальных координатах для материала Муни. 3.Деформация плоскости с отверстием.

4.Задача в напряжениях для материала Муни.

5. Равновесие кольца.

6.Задача для функции напряжений для материала Муни. 7.Равновесие криволинейного четырехугольника.

Литература

• Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в произвольных координатах деформированного состояния
• Задача в напряжениях в декартовых координатах и её исследование
• Соотношения плоской задачі! в различных координатах деформированного состояния.
• Динамическое условие совпадения данного варианта нелинейной упругости с линейной упругостью

Введение к работе

Нелинейная теория упругости является одним из актуальных интенсивно развивающихся направлений современной теории упругости. Глубокий интерем к нелинейным проблемам упругости обусловлен как внутренними закономерностями развития этой теории и смежных областей механики деформируемого твердого тела, так и требованиями современной техники, где широко используются традиционные упругие материалы в условиях высоких нагрузок и многочисленные новые конструкционные материалы с разнообразными механическими свойствами.

Многие актуальные проблемы упругости не могут быть описаны линейной упругостью. Для их исследования потребовалось углубление классических теорий, отказ от ряда упрощающих предположений и построение нелинейных моделей упругости, более полно учитывающих свойства материалов.

В нелинейной теории упругости перемещения и деформации могут быть конечными величинами. В связи с этим, а также в зависимости от рассматриваемых задач в ней практикуются разнообразные способы исследования, связанные с использованием различных характеристик напряжений и деформаций и различных координат начального и деформированного состояний.

Задачи нелинейной теории упругости сводятся в общем случае к начальным и краевым задачам для нелинейных уравнении и систем нелинейных уравнений в частных производных, решение которых связано с преодолением значительных трудностей. Ввиду сложности нелинейных проблем получили распространение исследования различных классов задач. При этом широко применяются приближенные методы, основанные на методе последовательных приближений, методе малого параметра, численном счете с использованием ЭВМ и прочие.

Важное значение имеют точные решения нелинейных задач, позволяющие, с одной стороны, выявить нелинейные эффекты, а с другой стороны - оценить надежность различных приближенных методов.

В диссертации в рамках нелинейной теории упругости исследуется плоская статическая деформация упругого материала. Рассмотрение производится в координатах деформированного состояния. Мерой напряжений служит тензор Коши, а мерой деформаций - тензор Альманси. Эти тензоры связаны между собою законом Мурнагана, который при плоской деформации допускает квазилинейное представление.

Задача о плоской деформации сжимаемого и несжимаемого материалов формулируется в виде плоской задачи как для перемещения, так и для напряжений, в том числе и в терминах функции напряжений. Устанавливаются условия эллиптичности соответствующих нелинейных уравнений. Краевые условия для них задаются на границе деформированного тела.

Методы теории функций комплексного переменного, широко применяемые в линейной упругости, приводят к плодотворным результатам и при исследовании нелинейных проблем. В работе дано теоретическое обобщение результатов плоской задачи линейной упругости на случай соответствующей задачи нелинейной упругости. Для двух классов материалов, характеризуемых определенными видами упругого потенциала, и для геометрически нелинейной модели упругости, предложенной В.В.Новожиловым Гб9] , напряжения и перемещения представлены через комплексные потенциалы по формулам, обобщающим формулы Колосова - ВДусхелшпвили, а задачи о плоской деформации материалов сведены к краевым задачам (вообще нелинейным) для потенциалов, обобщающим соответствующие задачи линейной упругости.

В работе изучается разрешимость этих краевых задач. Послед-

ниє сводятся к функциональным уравнениям, для которых обосновывается применимость метода Ньютона-Канторовича и дается оценка его сходимости. Рассмотрены также некоторые нетрадиционные краевые задачи для потенциалов. Показывается, что они могут быть сведены к последовательному решению задач Шварца и Гильберта . Обнаруживается характерная особенность ряда задач нелинейной упругости - в них появляются ограничения на краевые условия.

Линейная теория упругости обычно основывается на допущениях геометрического характера. В работе показывается, что при плоской деформации материалов результаты линейной упругости могут быть получены также из соответствующих результатов нелинейной упругости при выполнении некоторых динамических условий.

Наряду с проведением общих рассмотрений, в работе указываются некоторые способы отыскания частных решений. На их основе в нелинейной постановке получено точное решение ряда задач и дано исследование нелинейных эффектов. В частности, показана пригодность решения только при специальных ограничениях на приложенные нагрузки, ветвление решений, возможность реализации различных режимов напряженного состояния в зависимости от соотношения между определяющими параметрами и тому подобное.

Работа состоит из четырех глав и семнадцати параграфов,для которых принята сквозная нумерация.

В первой главе дается общая характеристика нелинейной упругости, выводятся основные соотношения плоской деформации, различные формы уравнений равновесия,устанавливаются условия эллиптичности этих уравнений и формулируются постановки краевых задач.

В I перечислены характерные особенности и основные варианты нелинейной теории упрутости, дано обоснование актуальности этой теории и указаны некоторые применения её результатов и

- 10 -.

методов.

В 2-4 выводятся соотношения нелинейной упругости для плоской деформации при выбранных характеристиках напряжений и деформаций в координатах деформированного состояния. В качестве исходных берутся общие соотношения нелинейной упругости, изложенные в монографии Л.И.Седова [79] , в том числе уравнения равновесия и неразрывности, выражения инвариантов деформации через её компоненты, закон Мурнагана и представления деформаций через перемещения::

a = tz, (tze)²~tz&², = c/et

^{1 2 3} (I)

_{-* dF __*__»}

P=V-(G-2s)--7- > 2e = vu+(vu) - vu-(vu), ir=p/f>,

к ним присоединяются условия на границе деформированного тела (которая считается заданной) - условия для перемещений на одной части поверхности и условия для напряжений - на другой её части:

й\ = h , Р-п = р . ₍₂)

Закон Мурнагана представляется в виде квадратичной зависимости напряжений от дефюрмаций с коэффициентами упругости -функциями инвариантов деформации

P-ty*K_t,*X₂e*, К^К^(е,,є_гі1п (^0,1,2)(3)

Эти коэффициенты выражаются через упругий потенциал и поэтому должны удовлетворять трем дифференциальным условиям

_{9Щг_ 8Г2К, - (1*2е,)К,)}

^г де, Щ, ⁼ ' ⁽⁴⁾

- II -

&K₀+2K,+K₂) . д(у>К₂) _п

—— - Z ^ = ^и >

(4) д(2УКі^(1⁺2е₁)УК₂) _{ д(Ж₀ + 2Кі + К₂) __Q

Показывается эквивалентность задания упругого потенциала заданию коэффициентов упругости, удовлетворяющих условиям (4). Условия вида (4) рассматривались И.И.Гольденблатом ( [29 J , с. 234), однако им были взяты иные базисные инварианты и эти условия имели более сложную структуру. Известны также аналогичные соотношения при использовании других мер напряжении (например, А.И.Лурье [59], с. 107-111).

При плоской деформации тела основной является плоская задача, соотношения которой аналогичны (I) и связывают между собою двумерные части рассматриваемых векторных и тензорных величин. В этом случае зависимости между двумерными тензорами Коши и Аль-манси придан вид, по форме аналогичный закону Гука, но в котором в отличие от последнего коэффициенты упругости являются функциями базисных инвариантов и должны удовлетворять одному дифференциальному условию. Граничные условия задаются на контуре плоской деформированной области. Соотношения плоской задачи имеют вид

div Р, + f> = o , _Гр_о ]/1-2а^4б₂ ,

дСбМНІ-е^М) дСгГМ)

1—_ ₊ =о ,

^дь_і ^dv

^{u*l, = К . ft-^j = P}9 ^{. (5)}

Связь между двумерными тензорами Копій и Альманси можно в общем случае обратить и представить второй из них в виде квазилинейной функции первого с коэффициентами упругости, также удовлетворяющими дифференциальному условию

„= Р, Л(%,&), + 2П(Р_пиг)Р<, Г- П+R , Ц= biP, ₉ р₂= detp _f го-'² = 1-2Р₁+4Р_{2 9}

(6)

2R²-Cf~2P_JT)jp_}i-W'l2[vr2(t-p_j)²-₁](T*R) -

при этом пары коэффициентов упругости оказываются связанными между собою следующими симметричными соотношениями

4MR = 1 , 4NT- 1 . (7)

Известны также другие формы соотношений плоской задачи,полученные в других переменных и при использовании иных глер напряжений и деформации. Так, например, А.В.Волковой и В.В.Новожиловым [20 ] они получены в криволинейных координатах, линии которых совпадают с траекториями главных напряжений, А.И.Лурье [59] - в координатах недеформированного состояния, Н.Ф.Морозовым и В.В.Новожиловым [63] - в координатах деформированного состояния для несжимаемого материала, Дж.Адкинсом, А.Грином и Р. Шилдом [100 ] - в координатах начального и деформированного состояний.

Соотношения (5)-(7) в работе представлены в криволинейных,

- ІЗ -

декартовых и комплексных координатах деформированного состояния. В последних: из них они имеют компактный вид: дР" дР¹¹

е_гЄ¹²_} 4e₂=C5^f2)²-6"e²², v-²-(t-e»)²-e^ue²², p»_s p** = 2M C6_ffV)6^f/, P⁷²=2NCs_f7Vj^/2,

"_ 72*_2 — (l- — )> h*=(l-—Vl- -)+ — — >⁽⁸⁾

U\ = h(s) , p¹¹n + P^f2n\_t = 2p(s).

Другая форма закона Мурнагана определяется выражениями Є " = ё²* = 2R (Р_и иг)Р ", 6 '*= 2T(P_V ur)P^f2,

(9)

p_rp»_t Щ = (Р¹²)²-Р"Р²², ur-²,(f-p")²-p"p²\

В (8) и (9) коэффициенты упругости удовлетворяют соответственно условию (5) и (6), а контравариантные компоненты двумерных векторов и тензоров в комплексных переменных выражаются через декартовы компоненты соответствующих величин простыми формулами. Например, для вектора перемещении и тензора напряжений они имеют вид

и'=и*=и=и+1и„; Pⁿ=T**=P-P+2iP_ulf*P+p (ю)

jc у > jcx уу ху > хх уу'

На связь рассматриваемых комплексных комбинаций декартовых компонентов векторов и тензоров с контравариантными компонентами этих величин в комплексных переменных впервые обратили внимание, по-видимому, А.Грин и В.Церна [Юб] . Комплексная запись различных форм соотношений плоской задачи нелинейной упругости ис-

пользовалась в работах [59] , [98] ,[Ю0] и других.

В 5 установлены условия эллиптичности уравнений плоской деформации сжимаемого материала. Из соотношений плоской задачи (5) в декартовых координатах получены уравнения второго порядка для перемещений. Затем, опираясь на взаимно-однозначное соответствие между градиентом перемещений \J и градиентом деформаций С# :

они представлены в виде уравнений первого порядка для компонентов градиента деформаций и вместе с уравнениями совместности для этих величин записаны в виде

' V/^Wf/V. ".е-/.ЗД«; 1-1.2)

V- Щ v₂ v₃ ill-K„ c_I2c_2f c₂₂\\ , СП)

A = \\A₁ A₂ A₃ A J = \\pj_{x P}j_y 0 0 \\ _}

где по повторяющемуся индексу предполагается суммирование. Достаточные условия эллиптичности - условия сильной эллиптичности получены в виде

^С<г*^пг?т-Г_п 77- ^C_auⁿ»h >

^д*Г _с . . _л (12)

дС дС_>и о/*

Условия (12) пригодны как для изотропного, так и для ани-

зотропного материалов, если полагать, что упругий потенциал,зависит от компонентов тензора - меры деформации. В работе получены также условия эллиптичности изотропного материала. В этом случае упругий потенциал является функцией инвариантов деформа-

ции и его можно представить в виде

F=F (В' В') В = С С В'=С С С С ,(13)

а условия эллиптичности принимают вид ограничений на производные от потенциала по инвариантам

^dF ^ п 9F _п . д²Г _п 3²F d²F f d²F \ _n

Тип уравнений нелинейной упругости исследовался рядом авторов. Например, С.К.Годуновым [28] были установлены условия гиперболичности динамических уравнений, записанных в координатах деформированного состояния. Для статических уравнений в координатах начального состояния, выведенных при использовании в качестве характеристик напряженно-деформированного состояния тензоров Пиола и градиента деформации, условия эллиптичности получены А»И.Лурье [59] , эти условия, записанные с помощью упругого потенциала, согласуются с условиями (12).

В 6 дается формулировка задачи о плоской деформации материала в перемещениях и в напряжениях (в последнем случае и в терминах функции напряжений) в декартовых и комплексных координатах деформированного состояния. Показано, что при задании на границе области одних перемещений задачу.удобно формулировать в перемещениях. В этом случае соотношения (5) после исключения напряжений, деформаций и их инвариантов сводятся к системе двух: квазилинейных уравнений второго порядка для перемещений и краевым условиям для них. В комплексных переменных задача имеет вид

, л ди д²и , г ди д²и , _rfl ди д²и

(15) u\_L= hCS) .

Козффіщиентн этого уравнения и свободный член известным образом выражаются через компоненты градиента перемещений и коэффициенты упругости, а последние полагаются заданными функциями инвариантов, удовлетворяющими условию (5).

При задании на границе области одних напряжений плоская задача формулируется в напряжеїшях. Для этого выводятся уравнения совместности деформаций и напряжений. Показано, что следуя методу, изложенному в работе автора [7 ] , первое из них устанавливается исключением перемещений из выражений для деформаций и для первых и вторых производных от них по координатам, а второе - путем подстановки в найденное уравнение выражений деформаций через напряжения согласно (6).

Уравнение совместности напряжений является квазилинейным уравнением второго порядка. Вместе с линейными уравнениями равновесия и краевыми условиями в напряжениях оно составляет задачу в напряжениях. В комплексных координатах эта задача имеет вид

/„ дТР" д/?Р"л „ 3RP" dRP²²^

_*(²_{~дГ-~дГ )~}²_{~дГ 1~ J J '}

дР" дР'^г _л Г²

Г ⁺ Р* = > о2 -^-2TP¹²)-4R²P¹¹P²²_}

(16)

p¹²Al. _ р»л!1

_L = 2ip(s)

Фигурирующие здесь коэффициенты упругости полагаются заданными функциями инвариантов, удовлетворяющими условию (6).

При потенциальных силах задача в напряжениях сведена к краевой задаче для функции напряжений: последняя должна удовлетворять квазилинейному уравнению четвертого порядка, а её первые производные по координатам - принимать на границе области заданные значения. Соотношения задачи в комплексных переменных соответственно будут

,dTCV₊2Uu) dRlfg \(8T(V*2U^)_i 2RV_i2) . 3RU_U ВИЩА

(17) ₊ 16Re[RU_l2-(M*i(!>T(V*2U»l 1Ш*)+(ЖиЛ^!Ш ,

- [l-4T(V+2U_n)]'- 64П^}Щ и_гі , 2U-J = 2U[* \Н_Р-у)&.

Jo ^iL о

Общие задачи (15) - (17) далее рассматриваются применительно к материалам, обладающим некоторыми характерными свойствами.

Уравнения равновесия сжимаемого материала в перемещениях известны в литературе. Например, в координатах деформированного состояния они рассматривались Х.Валиджановым [і9] , а в координатах недеформированного состояния - Л.А.Толоконниковым [82] , А.И.Лурье [59].

Во второй главе изучается плоская деформация упругих мате-

риалов с линейными связями между напряжениями и деформациями.

В 7 рассматриваются материалы, для которых двумерный тензор Альманси является линейной функцией двумерного тензора Копій. Показано, что они содержатся в классе материалов, определяемых упругим потенциалом

F'ce^v)**-^ [i+e_rv- vcr-e,) ЬтП + У [іч/- є,)] (18)

с произвольной гладкой функцией (р , и характеризуются следующими условиями, накладываемыми на эту функцию:

при -0-(1-6,) = 1+ 1 , у(1)-~Ч>(1)<<~> , (р'(1)-~ср'а)=<**.№)

Для таких материалов без учета массовых сил функция напряжений определяется из краевой задачи для квазилинейного уравнения четвертого порядка, главная часть кторого является бигармоническим оператором

U-2riAU)AAU + Sn(AU)(AV) =0 ,

_s (20)

2U-\ = 2U\+ і] p(S)ds

Показывается, что функция напряжений, а вслед за нею напряжения и плотность, представляются через два комплексных потенциала, а условие на границе сводится к краевому условию для потенциалов; эти выражения нелинейны и обобщают соответствующие формулы Колосова-Мусхелшнвили линейной теории:

211= г yci)+ zcpcz) + ^cz)dz + U>(2)ds-4n.,

p"₌ p²²=-2 [zy"cz) + q>'ci)] + 8П ycz) ц>" cz),

(21)

P¹²=2 &Ь) + уЬ)]-8ПуЬщ),_р= _po и-4Л<р'сиіи-4ЛЇЩ >

ут + ІЦ^І + Фсю-ІПуту'СїА^^І+с, ^Cs)=l^pcsjc/s . (21)

Демонстрируется также, что при условии ограниченности в рассматриваемой области самих потенциалов и их производных и при малом сравнительно с единицей характерном безразмерном напряжении (Г= ПР₀ задача (20) и формулы (21) нелинейной упругости переходят в соотношения линейной упругости.

Краевая задача для потенциалов (21) в односвязной области (для определенности бесконечной) с помощью конформного отображения 2 - W С ) сведена к краевой задаче для единичного круга с окружностью И- , а последняя - к нелинейному функциональному уравнению для потенциала (J? , содержащему параметр б- :

рщ g-js TC(f) +<3-R«?) ~0 ,

Т«р)= <рсг.)+— [fit (т т)<р'ст)с/т - А (т₀) _}

2 7tl J

(22)

2 Г yeci-ycTb) <Р'(т)

^R(*>-iiP ї

с/т

TiiP_n «1 г- T_n W'CV

О f 0

где Т(Ц) - оператор линейной упругости. Это уравнение решается методом Ньшітона-Канторовича ( [37] , с. 683-692). В предположениях

рст) е С^г(п, W(T)C^J(p, w'(T)fOTef) w'($)\ = (23)

показывается, что (22) имеет решение и к нему сходится по следоват ельно с ть

Упч * %~ 1Т'С%)]\Р(%)) (Л*0,1,...; %=%), (24)

если параметр б~ удовлетворяет неравенству

<Г * В⁴ (oi + flj^)'¹ , (25)

где в правой части стоят положительные величины, определяемые исходными данными. Приведены также условие единственности решения и оценка быстроты сходимости последовательности.

Показано, что для данных материалов перемещение выражается через один потенциал и является аналитической функцией

и = 4П (fCZ) . (26)

Рассмотрены некоторые нетрадиционные краевые задачи для потенциалов, одна из которых ставится следующим образом.

Пусть заданы на всей граничной окружности относительная плотность материала и нормальное напряжение и в двух граничных точках - соответственно перемещение и тангенциальное напряжение:

р/Ро = у^т)^єс2сг>> *W'Vv = <""<> ^то^єґ> ⁽²⁷⁾

_р^Р_ггСТ)єс¹(_Г) , P_ZQ(T)=_Po¹ , Т₁е_Г? (28)

а отображающая функция обладает свойствами (23), Тогда потенциал fC$) определяется из краевой задачи Шварца

Re [&i (1-4-Пф(т))]= | in с^ст) _г те г (29)

и последующей квадратуры в виде

4^=4П l^'c&Cf-e )d$tcpcr₀)_} f($)c³(K+f),

(ЗО)

' 4Xt& I T- $ t > ^r * _4n \w'(T_Q)\

Задача разрешима при ограничении на краевые значения плотности:

2я:

(ЗІ)

^(Єп _{ЇК = Ik I ^ %}^(в)_*⁹ ₌

Для потенциала ф' () имеем краевую задачу Гильберта с нулевым индексом

f>e{Q(T) Ф'(т))= дет), Tf_j per), Get)C¹(f)_t

.(32)

откуда он определяется в виде

Г * (зз)

Г()- -г— \ " G ^(т)— ~7=- > чг^ — ;—;— '

4ти J т-$ ^т т² W'CC)

где С - постоянная, определяемая по точечному условию (28).

Еместо (28) на граничной окружности можно задавать касательное напряжение и в одной граничной точке - нормальное напряжение, а вместо (27) - нормальное или тангенциальное перемещение.

В конце параграфа дано точное решение задачи о всесторон
нем растяжении упругой плоскости с отверстием, имеющим в дефор
мированном состоянии форму эллипса, при растяжении на бесконеч
ности р и при свободном от напряжений контуре отверстия.
Полагается, что плоскость изготовлена из материала рассматрива
емого класса. Решение обладает следующими свойствами. Решение
справедливо только для ограниченных растяжений, для которых
р ^ 1/4/1 На контуре отверстия напряжения и плотность
определяются формулами

Р^-РЇ-О, Р^Щ^іНІ , (34)

_w / с⁴ +m²- 2mc²cos29 2 , , „„ _л , (ъл\

7 с² /+/77^ - 2m cos2Q

Они существенно зависят от режима равновесия, определяемого соотношением между растяжением Р₀ и величиной Р^ -(1-т)/4П. При "слабом" растяжении (Р <* Р ) контур отверстия также растянут, а относительная плотность в его точках меньше единицы. При "нейтральном" растяжении СР —Р ) .контур отверстия находатся в нейтральном состоянии, а относительная плотность в его точках равна единице. Наконец, при "сильном" растяжении (Р > Р^) контур отверстия сжат и относительная плотность в его точках больше единицы.

На деформированной плоскости можно указать эллипс L ^ ,со-фокусный граничному эллипсу L , который подобно последнему испытывает только растяжение-сжатие, но противоположного ему знака. При Р * Р контур L содержит L _л , при Р = Р^ эти контуры совпадают друг с другом, а при Р > р - L со-

0 *

держится в Ь_щ

При малом безразмерном напряжении СГ = ПР « 1 нелинейное решение совпадает с линейным решением. Показывается,что этот случай соответствует "слабому" растяжению и что учет нелинейности уменьшает величину граничных растяжений.

Найдено поле перемещений. Перемещения на бесконечности неограниченно возрастают, а на контуре отверстия принимают значения

w^-ft-^ (c-m)cosG , и*= n — (c+m)sinQ . (35)

Установлено, что до деформации отверстие также имело форму эллипса ^ , софокусного граничному эллипсу ^ . Эллипс L

оказывается совпадающим с рассмотренным выше эллипсом L ,

а его расположение относительно граничного эллипса при различных режимах равновесия указано выше.

В 14 исследуется плоская деформация материалов с линейной зависимостью тензора напряжений Коши от тензора деформаций Аль-манси и показывается, что эти материалы характеризуются упругим потенциалом

' F'(6 V)= Mv(f-,)+ const , M= <^nst . (36)

Для них уравнение в перемещениях при отсутствии сил имеет вид
2М (І- й.) U- - 2MU- П_я. = 0 (37)

что позволяет представить перемещения, а вслед за ними напряжения и плотность, через два комплексных потенциала по формулам, линейным для первых из них и нелинейным для остальных

2Ми = jpf- <Р<г> >

Р«„Р* = -2*ЧГ>0-%), Р¹²=о

(38)

f = po

t' 4М² '" 4М² J 4М²

Соответственно этому краевое условие для потенциалов линейно при задании граничных перемещений и нелинейно при задании напряжений:

(39)

s cf(s) = і J p(S)ds , с = const .

Показывается, что соотношения (38), (39) также представляют собою некоторое обобщение формул линейной упругости: при ограниченных потенциалах и их производных и при весьма малом сравнительно с единицей характерном безразмерном напряжении 6*=Р₀/М они совпадают с формулами линейной упругости при равенстве нулю одного из потенциалов.

Для односвязных областей краевые задачи (39) с помощью конформного отображения Z= WC$) сведены к краевой задаче для единичного крута. В предположениях

zCs)eC²(L), h₀cs)eH(L); фсг₀) = о, z_o=wco)

первая из них принимает вид

j- уст) - TjTcr) = h₀Cr) , h_Q (т) є НС) ⁽⁴⁰⁾

и с учетом условия ф СО) = 0 определяет потенциалы че-

рез интегралы типа Кош

УФ it h,eack <л_№,.__!_[ Аш. с/т . _ш

2М 2ЯІ J г- 5 ' ^т 2жі г-5 т-

_t ^Г ₂

Вторая краевая задача при условия ?Cs)c с cL)₃ pes) є И (L)

формулируется для аналитической функции Р :

92 і PCS)

Р W\_L = P^pTS⁸⁸ P,CS)gH(L) ,

(42)

Р²²СТ)= р,ст) _? р^ст) еНсу) .

В этом случае определяется поле напряжений

р⁷⁷^ Р²²= ¹ [ ^Р*^СТ) с/Т Р¹²=0 _} (43)

21ЇІ J ^т~ $ «Г

при этом граничные напряжения р* Ст) , будучи предельными значениями аналитической функции, должны удовлетворять ограничительному условию

JL_ Г AIIL dr = P²²C0) = const . ⁽⁴⁴⁾

№ J г-

В последнем седьмом пункте параграфа дано точное решение

задачи о деформации плоскости с вырезом, имеющем в деформированном состоянии форму эллипса, при заданном смещении его границы:

h,(T)=2Mhcv)- ₊ i!L , те_Г

2М пт

где ы. , л - параметры. Установлены выражения комплексных потенциалов и соответствующие им поля перемещений, напряжений и плотности в комплексных и эллиптических координатах. Условие положительности плотности приводит к ограничению на параметры'

_{к+<п, к>>о; к= ти-— , f= -- . (45)}

¹ 4М² 2Мп

Показано, что до деформации отверстие также имело эллиптическую форму, но с иными размерами и ориентацией осей, чем у отверстия после деформации. При вырождении эллиптического отверстия в круговое, поля перемещений, напряжений и плотности определяются форілулами

L-_ht²*±!±²⁹ _{t г}4 n²ot²-4M²p²
?о 2М²п 16М⁴п* '

(46)

ывг* рг² иг²

р =-р = L_^ sin 20 _f Д = - -^ (n+ _n cos 26)

гг ^хвв 4ґІ²п^{3 ze} п^ъ * 4-М^{2 J} '

Когда б" = Р₀ / М -** 1 из нелинейного решения вытекает линейное решение, содержащее, в частности, решение задачи о деформации плоскости с круговым вырезом танценциальной нагрузкой постоянной интенсивности, если представить параметр в через

крутящий момент ІЛ. формулой /3 = М /20С

В третьей главе плоская деформация упругого материала рассматривается в рамках модели геометрически нелинейной упругости, предложенной В,В.Новожиловым ( [б9] , с. 50).

В 9 в соответствии с моделью В.В.Новожилова принимается, что повороты и удлинения-сдвиги элементов материала малы сравнительно с единицей, но первые из них могут значительно превосходить вторые

\С*^?\*<1, \<о^и?\« 1, |2'|² ,

(47)

На основе этих допущений связи деформаций с перемещениями представляются в специальной нелинейной форме

2є = 2 2 + СО- а) _} (48)

занимающей промежуточное положение между представлениями в линейной упругости и в общей нелинейной упругости. В этом случае деформации также малы сравнительно с единицей, что позволяет воспользоваться известной аппроксимацией закона Мурнагана законом іука ( [28] , с. 102; [112] ):

Р~Аб₁ Q + 2jj 6 _} Л = const _f уи = const . (49)

Для данной модели при потенциальных силах установлены соотношения плоской деформации в различных координатах деформированного состояния. В комплексных координатах они имеют вид

ЗР" д(Р -2_РоУ) _а

_ТГ ⁺ _{ЗІ ' Р~?о}^с1_{-*0> г}^е _'

it_ /»?.?_ уЯи ,₂_ ди ди г/ g_u ga

— 1

(50)

Р"= Р²²= 2уиє'\ p¹² = 2a+_/u)a^t2,

₆"_epL Є» , Є¹²=Є¹²+ +(c0²'f, (50)

U\ =hcs), P¹¹n^P¹²n\_l = 2p(s)

ft - . „ 12

_n>

В 10 принимается, что на границе деформированной области, занятой упругим телом, заданы одни перемещения и рассматривается задача в перемещениях. Выводятся уравнения для перемещений в декартовых и коглплексных коордішатах деформированного состояния. Уравнения в декартовых координатах используются для установления эллиптичности этой системы. С этой целью они представляются в виде, разрешенном относительно старших производных от перемещений по координате х :

9. * „ A b²U'_T (51)

и показывается, что соответствующее им характеристическое уравнение имеет только мнимые корни

(52)

Задача в перемещениях в коглплексных координатах имеет вид о/, п ^д2(Л д \ди ^ дй ^ 1 ,ди дй\² 1-20_лгл_п , _х

u\_L = h cs) .

Демонстрируется , что в (53) уравнение допускает полное интегрирование и дает для перемещений, а вслед за ними и для напряжений и поворота нелинейные представления через два коглплексных потенциала

2іл и^деусі)- Zcp'(Z)- феї)- oi [zcp'^z(ej -2

p"= p²²=-2 ^4^1) + ^)^4^^(1)^(1)-4(1)1 + 2cW_E ,

f-i> Po 1-2 J

21 r- r —7 /-1? Го I-* V , Ге

^{рой =2(1-1№&)-(рт],х*з-4*, <*= -—> Cstm sm}

_{-HWw- *-*"*}

а граничное условие сводится к нелинейному краевому условию для

потенциалов

x:(f(i)-2(f^,c^-^(-i)-oClz^^/2(i)-2^(i)f\i)-t-^(p'(z)dz^=h₎₍cs)_}

(55) Д, сs) = 2 и h (s)- с Wcs) .

Соотношения (54) и (55) обобщают формулы Колосова-Мусхелишвили линейной упругости. Показывается, что они совпадают с последними при малом по сравнению с единицей характерном безразмерном напряжении б"" = P_Q /и.

В II излагается альтернативный способ изучения плоской деформации - задача рассматривается в напряжениях и поворотах, а также в терминах функции напряжений и поворота. Здесь выведено уравнение совместности напряжений и поворотов и указана полная система уравнений для этих величин в декартовых и комплексных координатах дефармированного состояния. В частности, в комплексных координатах система имеет вид

ЭР" д(Р'^г-2_РоГ)

_Ж ⁺ _{п '} ⁽⁵⁶⁾

^.^_{u.₂^₊₂^₍i-^)]-o.

P ds ^P ds

= 2ip(s) . L

Показывается, что этот способ изучения приводит к результатам, аналогичным предыдущим: рассматриваемая здесь система уравнений также эллиптического типа, а напряжения и поворот, а вслед за ними и перемещения, представляются через комплесные потенциалы формулами (54). Получены выражения через аналитические функции главного вектора и главного момента сил, распределенных вдоль кривой, а также показано, что силовое краевое условие (56) можно представить в виде краевого условия для потенциалов такого же типа, что и условие (55).

Задача (56) в терминах функции напряжений и поворота представляется в комплексных координатах в виде

сіг ^{L гг} 2ы 4 '^л (₅₇)

L о

-2U; + [iip-r.V)ds

Отсюда устанавлявается, что для поворота справедлива формула (54), а фушщия напряжений и граничное условие для неё представляются через комплексные потенциалы выражениями, обобщающими соответствующие выражения линейной упругости (например, Н.И. Мусхелишвили [64 J , с. 108 )

(58)

* z I ?' ²cz) di - 2 epez) уЩ- 2сК ,

_{- зо -}

Формулы линейной упругости следуют из (58) при характерном напряжении <г = Р₀ /v. , весьма малом по сравнению с единицей.

В рассматриваемом варианте нелинейной упругости, как и в линейной упрутости, краевые задачи для потенциалов (55) и (58) однотипны, причем учет массовых сил не влияет на их вид. Для одно-связных областей задача (58), например, с помощью конформного отображения: приводится к краевой задаче для единичного круга. Последняя в случае односвязной бесконечной области сведена к нелинейному функциональному уравнению для одного из потенциалов, содержащему параметр перед нелинейными членами:

р C(f_tU)= Т«Р) + oL П «pj = О ,

ГОД= срст,)*^ \Нст₀₎т)у'ст) dr -A (T₀)_f

^Ll (59)

4>(г)-ір(т₀)

т- т_п

Ї *

⁰ V

х y'cc)dT + ^h(t)4>'²Ct)clt ,

/7сф)=^т \М(т_о)т) М (т)ср^/2(т) dr-jL \М(т)

в котором Тсср) является оператором линейной упругости. Уравнение решается упоминавшимся выше методом Ньютона-Канторовича.

В предположениях ics) є С (L) p(s)eC (L) доказыва-

ется, что (59) имеет решение ср^ и к нему сходится модифицированный процесс Ньютона

?„,- $п- [*"<%)]"' СР(9„)) (я-в,/,...;^._й),(60)

если параметр удовлетворяет неравенству

- ЗІ -

Фигурирующие в правой части неравенства величины определяются исходными данными. Указаны также условия единственности решения и оценка быстроты сходимости последовательности.

.В ІЗ в раджах рассматриваемой нелинейной модели дано точное решение задачи о всестороннем растяжении усилием Р плоскости с отверстием, имеющем в деформированном состоянии форму эллипса, при отсутствии усилии на контуре отверстия, поворота на бесконечности и массовых сил.

Показывается, что условиями задачи определяется два решения, поведение которых существенно зависит от соотношения между характерным напряжением (Г = р / ju и величиной СГ = 1 /2 (1-Я), определяемой упругими свойствами материала. Эти решения различны при "слабом" (<э * 6^ ) растяжении, совпадают друг с другом при "критическом" (6~ = 6^) растяжении и утрачивают физический смысл при "сильном" (6" > С) растяжении. Устанавливается,что исходным допущениям модели отвечает только одно из них и это решение при весьма малом харктерном напряжении переходит в линейное решение.

Показывается также, что для вытянутых эллиптических отверстий имеется примыкающая к границе область, в которой выполнены все исходные допущеній модели, что оправдывает её использование при решении данной задачи.

Распрделение напряжений на контуре отверстия в эллиптических координатах г , 9 дается формулами (отверстию отвечает Z - 1 ):

р¹=р'=о Р¹- ^2рр⁽¹-^т2) в-^^^^..(62)

гг гв > ев f-_2mcos2Q+ т* (1-2т co_S20fm²)²

Качественно распределение растяжения Р существенно зависит от формы отверстия: для слабо вытянутых эллипсов оно аналогично

линейному решению - контур растянут, а для сильно вытянутых эллипсов - сложнее линейного решения, в этом случае на растянутом контуре могут появляться области сжатия.

Установлены выражения для перемещений. Показано, что они конечны на контуре отверстия и неограниченно возрастают на бесконечности., Отверстие до деформации было также злліштическим и соосным деформированному, а их размеры мало отличаются между собою.

Приведение нелинейной плоской задачи к различным краевым задачам для аналитических функций возможно и для других классов материалов и моделей, отличных от рассмотренных в предыдущих двух глава:?:. Известна, например, серия работ, реализующих эту идею для гармонических (полулинейных) материалов в координатах недеформированного состояния: Л.И. Лурье [58] , А.С.Овсянников [74] , К.Ф.Черных [98 ] , Л.Г.Доборджгинидзе [33] - [Зб] и другие.

К содержанию второй и третьей глав примыкают также работы [59] с. 244-249 , Гі02І , [і04] , ГіІ4] , [Пб]и другие, рассматривающие эффекты второго порядка. В них компоненты градиента перемещений полагаются малыми величинами и в законе поведения материала сохраняются только слагаемые первой и второй степени по этим величинам. Полученные на этой основе уравнения позволяют установить отклонения от предсказаний линейной теории упругости.

Известны исследования по так называемой квадратичной теории упругости, использующей квадратичную зависимость компонентов напряжений от компонентов деформаций. В рамках этой теории, например, В.Ф.Леньков и В.М.Собин [55] дали анализ напряжений в клине в условиях плоского напряженного состояния, а С.Я.Барская и И.Н.Слезингер [5] - анализ деформаций пространства с по-

лостью в условиях плоской деформации.

Заключительная четвертая глава посвящена рассмотрению плоской деформации несжимаемых материалов.

В 14 общие уравнения движения несжимаемых материалов,приведенные в монографии Л.И.Седова |79 I , специализируются применительно к плоской деформации. Для несжимаемых материалов закон Мурнагана содержит наперед неизвестное гидростатическое давление, а к основным уравнениям добавляется условие несжимаемости. Показывается, что при плоской деформации упомянутые соотношения даются формулами

P=(F'-Q)G-2F'e, Г=^^}, е-2е=о (63)

и на их основе при потенциальных силах устанавливаются соотношения плоской задачи в различных координатах деформированного состояния. В комплексных координатах уравнения имеют вид:

f₊^-a, е,-2е₂.о , а= а¹², ^ = сє»)²-є» а²² ,

(64)

р"= p²²=-2F'a" , Р¹²= 2F'Cl-6^f2)-2c^ ,

а -в -2_д1 U _д1), 1 -U _di)U dzJ+dllT' Щ =hcs)_J P¹ⁱn + P^t2n\ =2pcs).

В 15,16 рассматриваются различные постановки задач о плоской деформации несжимаемых материалов. В 15 показывается, что при задании на всей границе перемещений, плоская задача может быть сформулирована для перемещений или для начальных коор-

динат. Эти величины должны определяться из нелинейной системы уравнений и принимать заданные значения на границе. Гидростатическое давление определяется через них квадратурой с точностью до аддитивной постоянной. Такую же постоянную будут содержать и напряжения. Последняя находится по силовому условию, задаваемому в одной точке.

Система уравнений для начальных декартовых координат |f ,

У (А -Jll—.я ^д'ї ) ; г а

(65)

д дЧ П дЧ _ _{/= 0}

дх. ду дн дос

используется для установления условий эллиптичности. Показывается, что системе (65) соответствует характеристический определитель

4= FUaC²^(T²)(Boi²-2Cdio-^6-²)-F^,/[CCo_i²-6-²^CB-CJoi6-]W)

и что положительно определена фигурирующая в нем квадратичная
форма Во<. - 2С<^^ + А<з² > о . Это позволяет форму-

лировать достаточные условия алліштичности системы (65) в терминах упругого потенциала:

(67)

_{г'> о . f"± о}

_{F* о . г\ О}

Задача для начальной комплексной координаты = + in в комплексных переменных деформированного состояния имеет вид

т \

= 1 У

>2

(68)

'_ dFC6_t)

Є = -2

| « 2 (S)- h(S) .

Постановка задачи в напряжениях дается в 16. Здесь для несжимаемого материала выводятся уравнения совместности деформаций и напряжений (они оказываются квазилинейными дифференциальными уравнениями второго порядка). Показывается, что последнее из них вместе с линейными уравнениями равновесия и краевыми условиями в напряжениях, задаваемыми на- границе деформированной области, и составляют задачу в напряжениях.

Задача в напряжениях для несжимаемого материала формулируется также в терминах функции напряжений: эта функция должна в рассматриваемой области удовлетворять квазилинейному уравнению четвертого порядка, а её первые производные по координатам - принимать на границе области заданные значения.

Общие соотношения, установленные в 14-16 для плоской де
формации несжимаемого материала, конкретизируются в 17 для ма
териала Муки. Этот материал в определенной мере отражает поведе
ние резиноподобных несжшлаемых материалов при конечных деформаци
ях ( А.Грин и Дж. Адкинс [l07 J с. 37 ) и характеризуется в слу
чае" плоской деформации упругим потенциалом с одной постоянной:
F' = — С Є₁ . йлу отвечает линейный закон поведения.

Показало, что для материала Муни выполнены условия (67), поэтому равновесие этого материала описывается эллиптической системой уравнений. Для материала Муни задача для начальных координат (68) не содержит упругой постоянной

ГТ)

_з,

ді2 Кді дї і] ^u>

д$

- ¹ > (69)

**\l = ^I(s)- ^hCS) '

поэтому поле начальных координат (а также перемещений) не зависит от его упругих свойств.

Указано два решения уравнения (69), содержащие свободный

2 / - V2

параметр: 5 = ± z(1+ а' / її ) , на основе которых

дано решение задачи о равновесии плоскости с вырезом, имеющем в деформированном состоянии форму круга радиуса R при различных условиях. Показано, что граничными перемещениями и точечным условием для напряжений

.оо СО

^{z*R , ы,—vo), и=о; г-«», цр*и~шо, Р„*Р^о}

поле перемещении и напряжении определяются полностью

(70)

,2.

_г-

г и² J/2 р _{г Л} (71)

что до деформации отверстие также, было круговым и имело больший радиус R > R и что при малом безразмерном смещении Т = M/R-^ї нелинейное решение (70) дает известное линейное решение (И.Н.Снеддон, Д.С.Берри [~8l] , с. 102).

Показано также, что по заданным граничным напряжениям перемещения однозначно не определяются: краевым условиям

г= R , р = р > О Р„ = 0 ; г=оо р^= р~= р~=о
* гъ о > гв ³ > гг гв ев

отвечает поле напряжений (70) и два поля перемещений: (71) и

и_г « г + г (1+ а²/г^г)^1/2 , и_в =о , (72)

в которых параметр определяется уравнением

I' _R2 J _R2 С

Физические соображения позволяют выбрать поле (71). Решение (70), (71) при малом характерном напряжении 6~=Р/с <*-< 1 также переходит в упоминавшееся выше линейное решение.

Для материала Муни плоская задача в напряжениях в комплексных координатах деформированного состояния тлеет вид

A(4c²+P"P")Re{V4c*+PⁿP'* ^+^p22jrff\ = no Uv²4^dp"^dP'\ a *^dpU3P²² _7fR 2 ₀v²)^'^²²⁽⁷³⁾

^=2Re_\^{LP j}_jrirr^4c _wir-^2f6c₊^{pp }}_{n Ж'}

_L= 2/pCS)

дР"₊ д(р'-2У)_₀ ^ _pt2dz_ __p»dz

Зі dl ds ds

При отсутствии массовых сил найдено следующее решение этих

уравнений, содержащее два свободных параметра:

і² a²i-zz ^ її а²+гг /

На его основе дано решение задачи о равновесии кольца, ограниченного в деформированном состоянии двумя концентрическигли окружностями, при заданных радиальных сжатиях

г=г, , />„—/> , Р_г=о; г=г_г, Р_гг — Р_г, Р_ге = о

в виде

г2, „Z

а² + г²

а> «***«]._ ^ _рыв0 ^ _(?4)

^d= _ir ⁺ _{і [}^Єп_^ ^т_^+^к _{V^ ^]}

ьи>Ц) + п*-₂!-о, *--

р_г-р,

— І) t = —

,2

Решение обладает следующими свойствами: оно существует при ог-

раничении на сжатия: р > р и переходит в известное линейное решение (И.Н.Снеддон, Д.С.Берри [81] с. 103) при малом характерном безразмерном напряжении & = (Рл~рі)/С <<1 .

Установлено, что для материала Муни задача в напряжениях (73) эквивалентна следующей краевой задаче для функции напряжений

² (^{,+ 4} —р- 1-е- щр ⁺ — аїт І¹'* ~Р~ Шї*Г

-loJ^fi^i^i.lll^- ₍₇₅₎

_{1 г. .} ^и_н ^и_{п \ з}³_{и д}^ъ_и

с \^і+6 с^г Ідідї* дг² Э?

Показывается, что при малом характерном напряжении 6~=J/c <^ і и при ограниченных производных от функции напряжений уравнение (75) допустимо заменить бигармоническим уравнением, совпадающим с соответствующим уравнением линейной упругости и сохраняющим эллиптический тип исходного уравнения. Упрощение же уравнения (75) при большом характерном напряжении 6* » 1 . в предположении ограниченности производных от функции напряжений, по-видимому, некорректно, ибо приводит к квазилинейному уравнению четвертого порядка, которое утрачивает эллиптический тіш исходного уравнения.

Предлагается определенный способ нахождения решений некоторых классов нелішейннх задач. Уравнение (75) с помошыо конформного преобразования tcz) = ы + і гь записывается в новых комплексных переменных Т , т . Затем, задав подходящим образом преобразование, отыскиваются решения преобразованного уравнения как функции, например, одной вещественной переменной ос или в или же их вещественной комбинации. Этим методом решена задача о равновесии криволинейного четырехугольника, ограниченного отрезками логарифмических спиралей при специальных гра-

ничных напряжениях, содержащих свободные параметры. Найденное решение содержит в качестве частного случая решение задачи о равновесии части кругового кольца, ограниченной двумя радиусами, под действием нормальных граничных нагрузок, постоянных на криволинейных участках границы и переменных на прямолинейных участках.

Плоская деформация несжимаемых материалов рассматривалась во многих исследованиях. Отметим характерные аспекты некоторых из них. Соотношения плоской деформации в комплексных координатах деформированного состояния в иной форме установили Дж.Ад-кинс, А.Грин и Р.Шидд [іоо] . Н.Ф.Морозов и В.В.Новожилов [бз] другим путем получили нелинейную плоскую задачу для функции напряжений в декартовых координатах деформированного состояния. В координатах недеформированного состояния плоскую деформацию рассматривали: Л.А.Толоконников [87] , А.И.Лурье [58] , с. 767-769, К.Ф.Черных [98] и другие.

Большое число работ посвящено решению плоской задачи методом последовательных приближений с использованием комплексных переменных, например, В.Г.Громов [зо] , В.Г.Громов и Л.А.Толоконников [Зі] , Ю.И.Койфман [43] , [44] и другие. Вопросы концентрации напряжений в различных нелинейных задачах рассматривали С.Н.Бабюк и И.А.Цурпал [4] , Л.М.Варданян [21 ] , СМ. Клойзнер [40] , А.Ш.Ланглейбен [53] , Л.М.Нечаев и Г.С.Тарасьев [67] , Г.И.Савин [77] , Г.Н.Теличко [85] , А.Г.Угодчиков [9l] , И.А. Цурпал [93] и другие.

Вслед за монографией Г.Каудерера [38 ] получили распространение работы, относящиеся к физически нелинейной теории упругости, в том числе Ю.А. Амензаде и М.А.Бабаев [2 J , Л.М.Варданян и И.А.Цурпал [22] , Н.Т.Глазунова и Н.Д.Скомаха [27] , Р.Ю. Керимов и Л. П. Хорошун [зэ] , В. В. Колокольчиков [45] , В. Б. Лог-

винов [563 , А.А.Туаев [90 J и другие. Критика исходных посылок этой теории содержится в монографии А.И.Лурье [59] .

Плоская задача упругости развивается во многих направлениях. Можно указать исследования по упруго-пластическим задачам (например, Б.Д.Аннин [з]), устойчивости упруго-пластических систем (например, В.Д.Клюшников [42 J ), применению вычислительных методов (например, А.Н.Коновалов [ 48] ) и другие. Оригинальный подход к исследованию некоторых классов нелинейных задач указан А.В.Бицадзе[ б] .

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [ 8] -18 J . Список литературы содержит 119 работ отечественных и зарубежных авторов.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах академика Ю.Н.Работнова (Московский государственный университет), академика Н.Н.Яненко (Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР), члена-корр. АН СССР А.В.Бицадзе (Институт прикладной математики АН ГрузССР), члена-корр. АН СССР А.А.Поз-деева (Институт механшш сплопшой среды УНЦ АН СССР), члена-корр. АН СССР Е.И.Шемякина (Институт горного дела СО АН СССР), профессора Э.Э.Лавендела (Рижский политехнический институт), профессора В.Н.Монахова (Новосибирский государственный университет),профессора 0.В.Соснина (Институт гидродинамики СО АН СССР).

В заключение автор выражает глубокую благодарность руководителям и членам упомянутых научных семинаров, а также сотрудникам кафедры теоретической механики НІУ, за полезное обсуждение данной работы.

Соотношения нелинейной упругости при плоской деформации в произвольных координатах деформированного состояния

Линейная теория упругости основывается на линейных зависимостях между напряжениями и деформациями с одной стороны и между деформациями и перемещениями - с другой. Первые из них имеют физический характер и выражают собой закон механического поведения упругого материала, а вторые - геометрический и отражают особенности деформирования.

Следствием линейности этих зависимостей является линейность уравнений, определяющих равновесие упругого материала.Вместе с линейными дополнительными условиями это приводит к линейным задачам, для решения которых применимы многие хорошо разработанные математические методы.

Однако линейная теория упругости при всей своей полезности не охватывает всего круга теоретически и практически интересных задач. Дальнейшее развитие теории упругости применительно к актуальным задачам связано с отказом от части или от всех упрощающих предположений линейной теории и замены их другими, менее стеснительными ограничениями, что в любом случае приводит к нелинейной упругости. Поскольку нелинейность может иметь двоякую природу: геометрическую или физическую, различают следующие варианты нелинейной упругости: геометрически нелинейная теория, физически нелинейная теория и теория, нелинейная как геометрически, так и физически.

В геометрически нелинейной упругости линейные связи деформаций с перемещениями заменяются общими -нелинейными зависимое

тями, либо нелинейными зависимостями специального вида, а связи напряжений с деформациями остаются линейными и выражаются законом Гука.

В физически нелинейной упругости вместо закона іука используется общая нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями или нелинейная зависимость специального вида, в то время как связи деформаций с перемещениями остаются линейными.

Наконец, в геометрически и физически нелинейной упругости берутся нелинейными как связи напряжений с деформациями, так и деформаций с перемещениями. Эта теория отвечает общему случаю деформирования упругих тел.

В отличие от линейной теории нелинейная теория упругости описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с нелинейными же, вообще говоря, дополнительными условиями. Решение её задач сопряжено с преодолением значительных математических трудностей.

В настоящее время нелинейная теория упругости представляет собою обширную быстро развивающуюся область упругости. Большое внимание к этой области в значительной мере связано с запросами современной техники, для которой характерны интенсификация технологических процессов и использование новых конструкционных материалов с разнообразными механическими свойствами.

Методы и результаты нелинейной теории упругости находят широкое применение. Они используются, например, при описании механического поведения, синтетических материалов, в том числе синтетических резин и полимеров, при исследовании устойчивости равновесия; в вопросах нелинейной акустики, их эффективно применяют и в ряде других областей механики сплошных сред, в том числе при исследовании фильтрации жидкости в зернистых и пористых средах, в физике кристаллов, а также в биомеханике, при рассмотрений, например, механических моделей кровеносных сосудов.

Вопросам нелинейной теории упругости посвящена обширная литература. Достижения отечественных ученых отражены, например, в обзорах Б.В.Новожилова, Л.А.Толоконникова, К.Ф.Черных [7І] , Г.Н.Савина, Ю.И.Койфмана [78] , И.А.Цурпала, Г.Г.Кулиева [95] , а результаты зарубежных авторов - в обзорах Гриоли [l08] и Трусделла [lI9]

Ввиду сложности задач нелинейной теории упругости наибольшие успехи достигнуты при решении одномерных, плоских и осесим-метрических задач. В плоских задачах нелинейной упругости многие достижения связаны с эффективным использованием развитого Г.В.Колосовым и Н.И.Мусхелишвили применительно к линейным задачам метода теории функций комплексного переменного. В этих задачах широко применяются приближенные способы решений, основанные, например, на методе последовательных приближений и методе малого параметра.

Задача в напряжениях в декартовых координатах и её исследование

Система уравнений (2.31), в которой все величины являются функциями координат 1 , 2 , определяет основные соотношения нелинейной теории упругости при плоской деформации в произвольных координатах деформированного состояния. Она состоит из II уравнений и вместе с краевыми условиями служит для определения II функций остальные величины: считаются заданными7при этом коэффициенты упругости удовлетворяют условиям (2.25), а компоненты метрического тензора определяются выбором системы коорди-нат ,

По виду уравнений плоской деформации (2.31) можно заключить, что они описывают деформацию некоторого сечения D цилиндрического тела плоскостью, параллельной основаниягл и достаточно от них удаленной (чтобы исключить эффекты торцевых нагрузок). Краевые же условия задаются на границе L этой области. В дальнейшем рассматриваются задачи, в которых занятая деформированным телом область и её граница считаются известными.

Решив плоскую задачу и определив остальные величины по формулам (2.32), получим решение пространственной задачи при плоском деформировании. Таким образом, в этом случае плоская задача является основной.

Уравнения плоской деформации в координатах деформированного состояния тела в иной форме рассматривались в ряде работ, в том числе в [9] , [ТО] , [63] , [ТОО] . Представления деформаций через напряжения

При плоском деформировании независимые инварианты тензора деформаций в соответствии с (2.31) определяются через его основные инварианты и через компоненты выражениями

Поскольку 8=6=6—0 ,эти инварианты являются также инвариантами двумерного тензора деформаций 6 относительно преобразований координат (2.27). Рассмотрим инварианты двумерного тензора напряжений Р# аналогичной структуры относительно тех же преобразований

Так как для напряжений р = р = О , Р ф О ,то инварианты (2.34) в общем случае не совпадают с инвариантами трехмерного тензора напряжений относительно произвольных преобразований. На основании (2.28) инварианты напряжений выражаются через инварианты деформаций по формулам В общем случае независимы между собою как инварианты напряжений, так и инварианты деформаций, поэтому должно быть

В силу (2.36) можно обратить зависимости как между инвариантами (2.35), так и между тензорами (2.28), при этом легко видеть, что обратная зависимость между тензорами будет также ква - 59 -зилинейной Если вместо пар коэффициентов А , М и Я , R рассмат ривать другие пары N=A + М , М и Т= П + R , # ,то связи между коэффициентами упрощаются и принимают симметричную форму, условие на коэффициенты (2.35) преобразуется к виду

Из (2.39) и (2.40) следует, что коэффициенты Т , R также должны удовлетворять дифференциальному условию. Для установления его вида рассмотрим предварительно некоторые соотношения. Пусть ф - некоторая функция инвариантов, тогда её производные по инвариантам напряжений и по инвариантам деформаций будут связаны между собою равенствами

Подобно (2.40) условие (2.45) является дифференциальным уравнением первого порядка, но в отличие от линейного первого уравнения второе уравнение нелинейно. Таким образом, при плоской деформации закон Мурнагана молено использовать либо в виде зависимости напряжений от деформаций (2.28), в которой коэффициенты упругости подчинены условию (2.40), либо в виде зависимости деформации от напряжении (2.37) с условием на коэффициенты (2.45); первой из них удобно пользоваться при решении задачи в перемещениях, а второй - при решении задачи в напряжениях. Отметим еще, что напряжение, днйствующее вдоль оси цилиндрического тела, выражением (2.32) определяется через инварианты деформации; с учетом (2.37) и (2.38) его можно также следующим образом представить в зависимости от инвариантов напряжений

Соотношения плоской задачі! в различных координатах деформированного состояния.

Наконец, использование связей деформаций с перемещениями (4.10) позволяет полностью исключить в (6.37) перемещения и тем самым получить уравнение совместности деформаций в комплексных пере менных (6.38) где плотность считается выраженной через комплексные компоненты деформаций формулой (6.10). Если теперь подставить в (6.38) выражения деформаций по формулам (6.31), то получим уравнение совместности напряжений в комплексных переменных где для плотности берется выражение (6.32). Уравнение (6.39)яв-ляется действительным квазилинейным дифференциальным уравнением второго порядка относительно комплексных компонентов напряжений.

Комплексное уравнение равновесия (4.10) вместе с действительными уравнениями неразрывности (6.32) и совместности напряжений (6.39), а также комплексным краевым условием (6.30) дают краевую задачу в напряжениях в комплексной форме где коэффициенты упругости выражаются через инварианты напряжений, а последние - через комплексные компоненты напряжений по формулам

В этих соотношениях начальная плотность, массовые силы и зависимости коэффициентов упругости от инвариантов напряжений считаются заданными, причем последние из них полагаются удовлетворяющими условию (6.29).

3. Задача для функции напряжений Систему уравнений в напряжениях плоской статической задачи нелинейной упругости при плоской деформации путём введения функции напряжений можно свести к одному уравнению для этой функции. Через функцию напряжений можно выразить также граничные условия в напряжениях. Таким образом, краевую задачу нелинейной упругости в напряжениях, как и в линейной упругости, можно формулировать в терминах функции напряжений.

Рассмотрим задачу в напряжениях в декартовых координатах деформированного состояния (6.27). Примем, что объемные силы потенциальны с потенциалом V :

В этом случае легко видеть, что если представить декартовы компоненты напряжений через действительную функцию напряжений и силовой потенциал по формулам то в системе (6.27) уравнения равновесия тождественно удовлетворятся, а уравнение совместности напряжений станет уравнением для функции напряжений; вместе с краевыми условиями, проинтегрированными вдоль контура, оно образует следующую краевую задачу для функции напряжений: значения производных в точке контура s = 0 , а плотность материала и инварианты напряжений считаются выраженными через функцию напряжений по формулам В (6.44), (6.45) начальная плотность, силовой потенциал, граничные напряжений, а также коэффициенты упругости, удовлетворяющие условию (6.29), считаются заданными.

Представим краевую задачу для функции напряжений в комплексных переменных. Для этого будем исходить из задачи в напряжениях в комплексных переменных (6.40). Условие потенциальности объемных сил и выражения напряжений через функцию напряжений в комплексных переменных соответственно будут

С учетом (6.46) в задаче (6.40) уравнения равновесия выполняются тождественно, а уравнение совместности напряжений вместе с краевым условием дают краевую задачу для фушщии напряжении в комплексных переменных

Динамическое условие совпадения данного варианта нелинейной упругости с линейной упругостью

Из (7.17) видно, что уравнением для функции напряжений служит квазилинейное дифференциальное уравнение четвертого порядка, главная часть которого является бигармоническим оператором. Следовательно, это уравнение эллиптического типа на любом решении и для него корректна краевая задача (7.17).

Задача в напряжениях в комплксных координатах и её сведение к задаче для потенциалов.

Основные соотношения плоской деформации в напряжениях в комплексных координатах деформированного состояния для материалов с линейной зависимостью деформаций от напряжений при отсутствии массовых сил и заданных граничных напряжениях можно получить из соответствующих соотношений (6.40) для произвольного упругого материала при наличии массовых сил при условиях (7.15) в следующем виде

В терминах функции напряжений эта задача в комплексных переменных вытекает из общей задачи (6.47) в тех же переменных при условиях (7.15) и имеет вид и лу ри этом напряжения и.относительная плотность в соответствии с (6.46), (6.48) и (7.15) выражаются через функцию напряжений в виде

Уравнение для функции напряжений (7.20) можно полностью проинтегрировать и представить её через две произвольные аналитические функции- комплексные потенциалы. С этой целью рассмотрим (7.20) как уравнение для относительной плотности (7.21) , тогда оно допускает предетавление и после интегрирования дает произвольные аналитические функции. Поскольку относительная плотность является вещественной функцией, следует принять , поэтому эта величина будет определяться следующим окончательным выражением Ч-= Jo = и) % и) (7.22) Из (7.21) и (7.22) теперь ясно, что для функции напряжений будут справедливо уравнение второго порядка

Интегрирование по Z этого уравнения приводит к выражению произвольная аналитическая функция, а интегрирование по 2 последнего соотношения, произведенное с учетом вещественности функций напряжений, позволяет получить для неё следующее представление через комплексные потенциалы

Представлению (7.24) функции напряжений на основании (7.21) соответствуют следующие представления напряжений через потенциалы а краевому условию для функции напряжений (7.20) в силу (7.23) соответствует следующее краевой условие для комплексных потенциалов

Таким образом, для материалов с линнйной зависимостью деформаций от напряжений плотность материала, напряжения и функция напряжений представляются через две произвольные аналитические фушщии-комплексные потенциалы по нелинейным формулам, при этом сами комплексные потенциалы должны определяться из нелинейного же краевого условия.

Введем вместо % (2) и 9 CZ) другие комплексные потенциалы чрсъ) и f(Z) по формулам %()= 2-4Лср(2), Фсг) = 4Пф&), (7.27) тогда фуніщия напряжений (7.24) , сами напряжения (7.23), плотность (7.22) и краевое условие (7.26) будут определяться выра - 104 которые отличаются от соответствующих выражении линейной теории упругости ( [64] , с. I09-III ): членами, содержащими множителем упругую постоянную материала. Тем самым нелинейные формулы (7.28) являются обобщением формул Колосова-Мусхелишвили (7.29) линейной упругости.

Пусть Р0 - некоторое характерное напряжение задачи, а б"= ПР0 - характерное безразмерное напряжение. Вводя последнее в соотношения (7.20), (7.28) , будем тлеть

Полагая, что плотность, напряжения, функция напряжений и потенциалы, а также их фигурирующие в (7.30) производные имеют в области D (а для потенциалов - в D ) конечные модули, а характерное безразмерное напряжение является малой сравнительно с единицей величиной, можем пренебречь в (7.30) малыми членами, содержащими параметр О" , по сравнению с остальными членами конечной величины и тогда (7.30) будут совпадать с формулами (7.29) линейной упругости. Таким образом, для материалов с линейной зависимостью деформаций от напряжений формулы линейной упругости вытекают из общих нелинейных формул при весьма малом сравнительно с единицей характерном безразмерном напряжении.

Краевая задача для потенциалов в односвязной области с помощью конформного отображения может быть сведена к краевой задаче для единичного круга, при этом напряжения и плотность получат параметрические представления. Действительно, пусть D - односвязная конечная (или бесконечная) область плоскости Z . Отобразил её конформно на внутренность (или внешность) единичного круга К с окружностью г вспомогательной плоскости с помощью функции

Похожие диссертации на Исследование плоской задачи нелинейной упругости

Методы оценки напряженного состояния в области контакта зубчатых зацеплений Новикова и стержней при кручении, основанные на решении краевых задач упругостиМолчанов, Александр Алексеевич

Многоточечные приближения высших порядков стохастической краевой задачи упругости композитов со случайной структуройТашкинов, Михаил Анатольевич

Нелинейная задача теории упругости о плоскости с клиновым вырезомГончарова Анастасия Борисовна

Квазипериодические контактные задачи теории упругости Рывкин Михаил Борисович

Решение некоторых динамических задач теории упругости для полупространства с туннельными трещинами-разрезами или вставками Назаренко Александр Максимович

Численные алгоритмы расчета краевых задач теории упругости для составных систем специального вида Зайков Геннадий Алексеевич

Двумерные задачи теории упругости для областей с угламиАрсенян, Владимир Артушович

Двумерные задачи теории упругости прямолинейно-анизотропной среды с вырезами и включениями Задворняк Михаил Иванович

Контактные задачи теории упругости для тел с криволинейными границами и их приложения Теплый Мирослав Иосифович

Смешанная задача теории упругости для клина Матвеев Геннадий Александрович