Содержание к диссертации
Введение
1. Автомодельное решение задачи о трещине типа III в связанной постановке (связка ползучесть - поврежденность) 27
1.1. Автомодельная переменная в задаче о росте трещины в среде с поврежденностью 27
1.2. Автомодельное решение связанной задачи антиплоского сдвига пространства с полубесконечной трещиной 31
1.3. Метод разложения по собственным функциям (при больших значениях R) 33
2. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины антиплоского сдвига в условиях ползучести в среде с поврежденностью 57
2.1. Постановка задачи 57
2.2. Асимптотическое решение задачи 60
3. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины нормального отрыва в условиях ползучести в среде с поврежденностью 67
3.1. Постановка задачи 67
3.2. Асимптотическое решение задачи 73
4. Автомодельное решение задачи о трещине типа І в связанной постановке (связка ползучесть - поврежденность) 89
4.1. Постановка задачи 89
4.2. Автомодельная переменная в задаче о росте трещины в среде с поврежденностью . 92
4.3. Автомодельное решение 95
4.4. Асимптотическое решение задачи 97
4.5. Оценка скорости роста области полностью поврежденного материала 124
Заключение 126
Литература 128
Приложение 1 139
Приложение 2 144
- Автомодельное решение связанной задачи антиплоского сдвига пространства с полубесконечной трещиной
- Асимптотическое решение задачи
- Автомодельная переменная в задаче о росте трещины в среде с поврежденностью
Введение к работе
Актуальность темы. Поскольку единой, математически развитой и завершенной теории роста трещин в сплошной среде к настоящему моменту не существует, особенно интересны и актуальны исследования, затрагивающие и объединяющие несколько областей механики: актуальными представляются связанные задачи континуальной механики поврежденности и теории ползучести. Континуальная механика поврежденности является новым и активно развивающимся разделом механики деформируемого твердого тела. В настоящее время большое внимание привлекают исследования взаимного влияния процесса накопления повреждений и напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в рамках континуальной механики поврежденности в различных связках: поврежденность - упругость, повре-жденность - пластичность, поврежденность - ползучесть. В рамках диссертационной работы рассматривается класс задач о стационарной и медленно растущей трещинах в условиях ползучести с учетом процесса накопления повреждений, что позволит усовершенствовать существующие критерии распространения трещины, получить новые формулы для вычисления скорости ее роста и, следовательно, прийти к более точным оценкам прочности и долговечности элемента конструкции.
Цель исследования заключается в изучении напряженно-деформированного состояния и поля повреждений в окрестности вершины трещины в рамках связанной постановки задачи теории ползучести с механикой поврежденности.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Предложен новый подход к изучению напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в связанной постановке задачи, основанный на построении асимптотических разложений на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но еще малых по сравнению с длиной трещины, характерным размером тела).
Найдена новая асимптотика дальнего поля, которая "управляет" конфигурацией области полностью поврежденного материала, в отличие от классической асимптотики Хатчинсона - Раиса - Розенгрена (HRR).
Исследована конфигурация области полностью поврежденного материала, оценены ее форма и размеры для различных значений материальных констант.
Практическая ценность. Проведенное в диссертационной работе исследование полей напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины в связанной постановке задачи (связка ползучесть - поврежденность) позволит оценить скорость роста трещины и, следовательно, прийти
к более точным оценкам пДорноруц >\v. 'дрпг.01э№МЬ :ти элемента конструкции.
&
""V;^! ПОТЕКА c.:i.Ji*)pf 0:> 2Ь)Іі акт
Достоверность результатов обеспечена строгостью математической постановки и проводимых преобразований, подтверждается сравнением результатов с известными решениями других авторов.
Апробация работы. Основные положения и результаты исследований докладывались и получили положительную оценку:
на девятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 25 - 27 мая 1999;
на десятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 29-31 мая 2000;
на научных семинарах "Актуальные проблемы математики и механики" кафедры механики сплошных сред Самарского государственного университета, Самара, 2000, 2001;
на межвузовском школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж, 25 - 30 сентября 2000;
на второй межвузовской конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки", Самара, 11 - 13 сентября 2001;
на всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 2004;
на научном семинаре кафедры безопасности информационных систем Самарского государственного университета, Самара, 2004;
XXXII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" , St. Petersburg, June 24 - July 1, 2004;
XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, 15-21 August, 2004.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертационной работы изложены в тринадцати научных публикациях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 107 наименований и двух приложений. Работа изложена на 163 страницах машинописного текста, включая 8 таблиц и 55 рисунков.
Основная часть результатов выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 02-01-00311-а, 00-01-81067-Бел2000-а).
Автомодельное решение связанной задачи антиплоского сдвига пространства с полубесконечной трещиной
Формулировка граничного условия в бесконечно удаленной точке в стиле "теории пограничного слоя" используется и при решении задач механики трещин в связанной постановке. Так в [71], [106], [107] исследуется напряженно-деформированное состояние у вершины трещины антиплоского сдвига [71] и нормального отрыва [106], [107] в связанной постановке в связках "упругость - поврежденность" и "пластичность - поврежденность", где предполагается, что поле напряжений непосредственно у вершины трещины искажается вследствие процесса накопления повреждений, тогда как при удалении от вершины трещины, где материал является неповрежденным, можно считать, что поле напряжений полностью определяется сингулярным упругим решением. Таким образом, принимается гипотеза, согласно которой область накопления рассеянных повреждений полностью определяется особым упругим решением. Подобный подход используется и при постановке граничного условия в бесконечно удаленной точке в упругом нелинейно-вязком материале [67], [68].
В настоящей работе рассматривается класс задач о стационарной и растущей трещинах в нелинейно-вязком материале, определяющие соотношения которого построены на основе степенного закона Нортона установившейся ползучести, в связанной постановке в связке ползучесть - поврежден-ность с использованием автомодельной переменной, предложенной Риделем [100] для данного типа определяющих.соотношений, рассматриваемого кинетического уравнения и граничных условий. Однако решения каких-либо краевых задач с использованием установленного на основе анализа размерностей свойства автомодельности решения не было получено.
Поэтому целью настоящего исследования является: 1) изучение напряженно-деформированного состояния и поля повреждений у вершины трещины в связанной постановке (ползучесть - поврежденность) с введением автомодельной переменной; 2) моделирование области полностью поврежденного материала, охватывающей вершину трещины и примыкающей к ее берегам; определение конфигурации данной области.
Проведенные исследования (отраженные в первой и четвертой главах настоящей работы) инициировали новый класс задач о растущей трещине в связанной постановке, решения которых были получены с помощью асимптотических разложений искомых величин на больших расстояниях от вершины трепщны (исследовалась так называемая асимптотика дальнего поля повреждений - асимптотика на расстояниях, много больших характерного линейного размера области полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером тела) (вторая и третья главы настоящей работы).
В целом, работа состоит из четырех глав и двух приложений. В первой главе приведены постановка и решение задачи о стационарной трещине антиплоского сдвига в связке ползучесть - поврежденность. Показано, что распределение HRR не может быть использовано в качестве граничного условия задачи на бесконечности, так как это граничное условие в бесконечно удаленной точке не приводит к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала, построенных на основе двучленного, трехчленного и четырехчленного разложений скалярного параметра сплошности. Невозможность формулировки граничного условия в бесконечно удаленной точке как требования асимптотического сближения искомого решения с решением НШ1 можно объяснить тем обстоятельством, что размеры области полностью поврежденного материала превосходят размеры зоны доминирования решения HRR, так что зона, где справедливо решение HRR частично или полностью охвачена областью полностью поврежденного материала и, следовательно, геометрия последней не может управляться асимптотикой HRR.
Асимптотическое решение задачи
Асимптотическое решение краевой задачи (2.9) - (2.13) при R — со (для больших расстояний от вершины трещины) можно найти, положив ф = 1-К д( р,Т) + о{К!) = R fa&,T)+o(Rs), (2.14) где неизвестные показатели s и 7 связаны соотношением 7 = 1 + sm, полученным из кинетического уравнения (2.11). Следует отметить, что для выполнения граничного условия (2.12) в бесконечно удаленной точке, необходимо потребовать, чтобы s = — 1/(п + 1). Откуда вытекает, что -у — 1 — тп/(п + 1) 0, что противоречит граничному условию для скалярного параметра сплошности в бесконечно удаленной точке ф 1 (показатель степени 7 в асимптотическом разложении (2.14) должен быть отрицательным). Следовательно, в силу кинетического уравнения (2.11) граничное условие в бесконечно удаленной точке должно быть сформулировано в более общей форме, чем (2.12) « = R Ta(tp, п) (R со) , (2.15) где показатель s подлежит определению. Граничное условие (2.12) представляет собой требование асимптотического сближения искомого решения с решением Хатчинсона - Раиса - Розенгрена, однако как показывает анализ показателей степеней асимптотических разложений (2.14), невозможно формулировать граничное условия в бесконечно удаленной точке в форме (2.12).
Система уравнений (2.16), (2.17) с граничными условиями (2.19) приводит к задаче на собственные значения: найти такое собственное число s, чтобы данная система уравнений с однородными граничными условиями имела ненулевое решение. Из однородности системы (2.16) — (2.18) следует, что наряду с функциями /я(у?), {ф) и д( р) функции к(Т)/к(у ), K(T)fv((p) и tim(T)g((p), где к(Т) - масштабирующий множитель, также являются решением. Поэтому может быть сформулировано условие нормировки М р = 0) = 1. (2.21)
Система уравнений (2.16), (2.17) с граничными условиями (2.21) и вторым из условий (2.19) представляет собой задачу Коши и может быть проинтегрирована численно при любом значении s. Численное решение задачи Коши осуществлялось с помощью стандартной процедуры метода Рунге — Кутта. В ходе численного эксперимента необходимо было найти значение s, удовлетворяющее условию 7 = 1+sm 0 (отличное от — 1/(тг+1)) и ведущее к выполнению граничного условия на верхнем берегу трещины.
Кривые, построенные в соответствии с последним уравнением, показаны на рис. (27) - (33). На рис. (29) - (31) изображена геометрия области полностью поврежденного материала для п = 5, m — 0,7тг (в неподвижной системе координат Х- ОХъ), наблюдаемая с различных расстояний от вершины трещины, начиная с наибольшего (где —120 Х\ 40), и заканчивая непосредственной окрестностью вершины (где —15 Х\ 5). Показано, что распределение HRH не может быть использовано в качестве асимптотического граничного условия задачи на бесконечности. Установлено, магистральная трещина (главная трещина) в процессе ее распространения окружена областью полностью поврежденного материала и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области (рис. (27) - (33)) полностью поврежденного материала. 3. Асимптотика дальнего поля напряжений в задаче о росте трещины нормального отрыва в условиях ползучести в среде с поврежденностью
С практической точки зрения важно определить напряженно-деформированное состояние и поле повреждений в случае трещины нормального отрыва (типа I). Поэтому в данной главе рассматривается задача о росте трещины нормального отрыва в случае плоского напряженного и плоского деформированного состояний в связанной постановке задачи теории ползучести с механикой поврежденности по аналогии с задачей о растущей трещине антиплоского сдвига. Приближенное решение уравнений равновесия, условия совместности деформаций, сформулированного для скоростей деформаций ползучести, кинетического уравнения, постулирующего степенной закон накопления повреждений, разыскивается в виде асимптотических разложений компонент тензора напряжений, представленных через функцию напряжений Эри, и скалярного параметра сплошности. Таким образом, осуществляется движение от бесконечно удаленной точки к окрестности вершины трещины.
Изучим поля напряжений, скоростей деформаций ползучести и скалярный параметр сплошности на значительном удалении от вершины распространяющейся трещины типа І в условиях плоского деформированного и: плоского напряженного состояний. Напряженно-деформированное состояние в непосредственной окрестности вершины движущейся трещины в материале с определяющими соотношениями вида (3.1) в среде с поврежденно-стью было предметом многочисленных исследований [5], [6], [88], [89]. В [5], [6] показано, что вблизи берегов трещины и ее вершины существует область полностью поврежденного материала или (и) зона активного накопления повреждений (микропор, микротрещин, микродефектов), иногда называемая зоной процесса. В силу этого традиционные для механики сплошных сред уравнения не могут быть сформулированы в непосредственной окрестности вершины продвигающейся трещины. Поэтому примем, что вблизи вершины дефекта существует зона полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности равны нулю. Пусть разрешающая система уравнений (уравнения равновесия, условие совместности деформаций, кинетическое уравнение накопления повреждений) исследуется на значительном удалении от вершины дефекта, что позволяет найти асимптотику дальнего поля напряжений и определить конфигурацию области полностью поврежденного материала.
Автомодельная переменная в задаче о росте трещины в среде с поврежденностью
Рассмотрим стационарную или растущую полубесконечную трещину в бесконечном теле в материале с определяющими соотношениями связанной задачи теории ползучести и механики поврежденности, построенных на основе степенной связи между скоростями деформаций ползучести и напряжениями -Н Т (412) где ф - параметр сплошности; ё - компоненты тензора скоростей деформаций ползучести; sij - компоненты девиатора напряжений; ае = \fZsijS{jj2 -интенсивность напряжений; В, п - константы материала. Начальные условия имеют вид Ъ) {r, p,t = Q)= L-gj— J Щ ІЧ n) (4-13) где С - инвариантный интеграл теории установившейся ползучести, 1п -функция, зависящая от п и определяемая как безразмерный С -интеграл, Щ ( р, п) - функции, известные из решения Хатчинсона -Раиса - Розенгрена (HRR) [70], [97]; г, (р - полярные координаты. Асимптотическое условие при г — оо определяется решением аналогичной задачи без учета процесса накопления повреждений (ф = 1): - -J ёц{ р,п). (4.14) Заметим, что начальное условие при t = О (4.13) и граничное условие в бесконечно удаленной точке (4.14) совпадают, поскольку они задаются решением задачи для ф = I.
Следует подчеркнуть, что асимптотическое условие (4.14) есть гипотеза о том, что вдали от вершины трещины поле напряжений совпадает с полем напряясений у вершины стационарной трещины в материале со степенными определяющими соотношениями (с решением Хатчинсона-Райса-Розенгрена). Поэтому отметим, что (4.14) - гипотеза, справедливость или несправедливость которой должна быть установлена полученным решением.
Следует отметить, что введение автомодельной переменной для граничного условия в бесконечно удаленной точке (4.9) осуществляется способом, аналогичным ранее изложенному, и основан на анализе размерностей величин, входящих в задачу. Введение автомодельной переменной (4.25) не вызывает изменения системы уравнений, состоящей из уравнений равновесия, условия совместности и кинетического уравнения. Изменение претерпевает граничное условие в бесконечно удаленной точке, что приводит к необходимости определения нового собственного числа 5, отличного от — 1/(гг+1). Впоследствии надстрочечный знак Л опускается.
На основе результатов ранее проведенных исследований [5], [6], [59], [71], [84], [86], [88], [89],[106], [107], принимается, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность обращаются в нуль.
Решение системы уравнений (4.27) - (4.31), подчиняющееся граничным условиям (4.32) - (4.34), разыскивается во всей плоскости за исключением полностью поврежденной зоны, примыкающей к вершине трещины и внутри которой материал не удовлетворяет сформулированной системе уравнений.
Из последнего равенства вытекает, что главный член асимптотического разложения имеет порядок і?, а следующие за ним имеют порядки ftsn+sm и Rsn+Si-s Необходимо отметить, что, рассматривая коэффициенты при главных членах асимптотических разложений в условии совместности и законе накопления повреждений, можно прийти к обыкновенному дифференциальному уравнению для определения функции f(\ а затем, к алгебраическому уравнению, позволяющему найти функцию д К Исследуя слагаемые более высоких порядков малости, необходимо получать дифференциальные уравнения для нахождения функций / (в рассматриваемом случае удерживается лишь функция f \ но нужно построить такие асимптотические разложения для скоростей деформаций ползучести, которые давали бы возможность получения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения для определения функции /Ф, считая, что ранее определены функции /t), /W, ... /( -1 и д(\ д 1\ ...д % 1 ). .Таким образом, необходимо гарантировать продолжения процесса построения асимптотических разложений и получения цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения коэффициентов этих разложений, что приводит к условию si = s + sm, которое позволяет учесть все слагаемые в последнем асимпто тическом разложении скорости деформации ползучести.
Следует отметить, что исследование нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (4.50) с начальными условиями (4.52) - (4.54) позволяет найти угловое распределение главного члена асимптотического разложения функции напряжений Эри (функцию / (У7))» ai следовательно, и угловые распределения главных членов асимптотических разложений компонент тензора напряжений без помощи кинетического уравнения, поскольку главный член асимптотического разложения скалярного параметра сплошности тождественно равен единице (согласно (4.36)). После определения главного члена асимптотического разложения функции напряжений Эри кинетическое уравнение позволяет найти двучленное разложение для скалярного параметра сплошности. Этот подход дает возможность в связанной задаче рассматривать на каждом шаге одно уравнение (либо для определения функции f { p), либо для нахождения функции д ( р)). Граница области полностью поврежденного материала, найденная с помощью двучленного и трехчленного разложений параметра сплошности для различных значений констант материала, входящих в определяющие соотношения и кинетическое уравнение, представлена на рис. 41 - 44. Из представленных рисунков видно, что конфигурации области полностью поврежденного материала, определяемые двучленным (кривая 1) и трехчленным (кривая 2) асимптотическими разложениями параметра сплошности, являются близкими по своей форме и их характерные линейные размеры (например, их протяженность вдоль прямой, продолжающей трещину) практически совпадают. Потому можно заключить, что установленная асимптотика дальнего поля напряжений действительно "управляет" конфигурацией области полностью поврежденного материала, моделируемой в окрестности вершины трещины.
