Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Необходимые сведения из теории упругости и теории сингулярных интегральных уравнений 14
I Статическая плоская задача теории.упругости 14
2 Численный метод решения сингулярного интегрального уравнения первого рода 25
ГЛАВА II. Влияние ребер жесткости на рост трещины с учетом пластических деформаций 30
3 Постановка задачи 30
4 Решение краевой задачи 33
5 Определение величины силы .Р. 39
6 Критическая диаграмма разрушения 44
7 Докритический рост трещины 55
ГЛАВА III. Влияние ребер жесткости на рост трещин, исходящих из контура кругового отверстия . 62
8 Упругая пластина 62
9 Исследование развития начальных пласти ческих деформаций (зародышевых трещин) 83
10 Упругопластическая'пластина 90
Выводы 101
Литература
- Численный метод решения сингулярного интегрального уравнения первого рода
- 4 Решение краевой задачи
- Критическая диаграмма разрушения
- Исследование развития начальных пласти ческих деформаций (зародышевых трещин)
Введение к работе
Одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела является разработка и внедрение новейших методов оценки сопротивления материалов разрушению. В связи с широким использованием высокопрочных материалов и крупногабаритных конструкций, сооружений в различных областях современной техники, теория распространения трещин в твердых телах приобрела особую актуальность.
Механика разрушения берет свое начало от работ Гриффитса [83], продолженных Ирвином[87J, 0ровэном[92] и других. С основными результатами в этой области можно ознакомиться в монографиях В.В.Панасюка [48], Ф.Макклинтока и А.Аргона[32], В.М.Финке-ля [б9,70], Снеддона и Ловенгрубэ[97], Г.П.Черепанова[71], В.З. Партона и Е.М.Морозова [52], В.В.Панасюка, М.П.Саврука и А.П.Дэ-цышинэ[493, Л.И.Слепянэ и Л.В.Троянкиной[бб], В.В.Панасюка, А.Е.Андрейкива и С.Е.Ковчика[50], А.А.Каминского[27,28], Д.Бро-ека[п], А.Е.Андрейкива[5], Л.Т.Бережницкого, М.В.Делявского и В.В.Панасюка[9], М.П.Саврука [63], Е.М.Морозова и Г.П.Никишкова [41], Н.Ф.Морозова[43], А.Н.Гузя и др.[і8], В.М.Мирсалимова[35] , в отдельных главах монографий Н.И.Мусхелишвили[45], Л.И.Седова [64], Г.Н.Савина[60], а также в ряде обзорных статей Блумэ[76], Г.И.Баренблэта[8], Ирвина, Уэллса [88], П.Париса, Дж.Си[5б], Д.Д.Ивлева[22], Г.Н.Савина, В.В.Панасюка [бі], Г.П.Черепанова [79], Е.М.Морозова, Я.Б.Фридмана[42], Си, Либовица [б5], Раиса [58], В.З.Партона, Г.П.Черепанова[53J, П.М.Витвицкий, В.В.Панасюка, С.Я.Ярема [12].
Решениями ХХУІ съезда КПСС предусмотрено улучшение качества всех видов выпускаемой продукции, в том числе материалов, определяющих надежность и ресурс конструкций, машин и сооружений. Важнейшей задачей при этом является предупреждение преждевременного выхода из строя этих изделий, а следовательно увеличение срока их службы.
Анализ разрушений многих сооружений, машин, конструкций показывает, что разрушение, как правило, начинается с поверхности различных выточек, отверстий, щелей и других концентраторов. Наличие устойчивых трещин в конструкциях и сооружениях, работающих в определенных режимах изменения внешних нагрузок, гораздо менее опасно, а искусственное усиление таких конструкций (за счет постановки заклепок, стрингеров, высверловки отверстий на пути развития трещин и т.д.) может значительно продлить их срок службы.
Проблема торможения трещин имеет научное и важное практическое значение, так как ее решение дает возможность продлить срок эксплуатации разнообразных конструкций и изделий практически во всех областях промышленности, а главное избежать катастроф, связанных с внезапным разрушением.
Существует ряд технологических приемов, позволяющих предотвратить катастрофическое развитие трещины и разрушение конструк-ции[70]. Одним из таких методов является подкрепление конструкций (пластинки) ребрами жесткости. Кроме того, многие применяемые конструкции изготавливаются из пластин, подкрепленных ребрами жесткости или сдвоенных пластин. Накладываемые пластины часто конструируют как ограничители на пути развития трещины.
Поэтому решение задач теории упругости и пластичности для пластинок с трещинами, усиленных подкрепляющими ребрами жесткости, представляет большой теоретический и практический интерес.
В диссертации рассматриваются некоторые задачи конструкционного торможения трещины в тонких пластинах с помощью создания барьеров на пути трещины. Таким барьером служит усиление пластины прикрепленными ребрами жесткости (стрингерами).
Остановимся кратко на некоторых основных результатах исследований по этой проблеме. Для обеспечения достаточной прочности листовых конструкций их обычно изготавливают из тонких пластин, усиленных приклепанными ребрами жесткости. Примерами подобных конструкций являются обшивки крыльев и фюзеляжа летательных аппаратов. Исследованием влияния подкрепляющих ребер жесткости на распространение трещины занимались Ромуальди и Сандерс[95], Е.А.Морозова и В.З.Пэртон [39], Сандерс[96], Грейф и Сандерс[І7І, Блум и Сандерс[75]. Наиболее интересными являются рэботы[95,39], в которых рассматривается бесконечная упругая плоскость с одной прямолинейной трещиной. Действие приклепанных подкрепляющих ребер заменяется четырьмя сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения заклепок. Установлено, что заклепки уменьшают деформацию растягиваемой пластины в направлении, ортогональном трещине, и в связи с этим уменьшается коэффициент интенсивности напряжений в конце трещины. Степень влияния тормозного барьера (ребра жесткости) зависит от соотношения размеров трещины и расстояния между заклепками. При достаточно частом расположении заклепок действие подкрепляющих ребер сказывается в - б - появлении нового качественного эффекта - стабилизации роста трещины, Вопрос о влиянии на разрушение, оказываемом приклепанными ребрами жесткости, получил дальнейшее развитие в работах Г.П. Черепанова и В.М.Мирсэлимовэ[72], Влигерэ[98,99], Поу[93,94].
Мосборг, Холл и Мунс[91] провели эксперименты по торможению трещин приклепанными стрингерами. Крегером и Лью [82] были проведены теоретические и экспериментальные работы по торможению трещины на больших алюминиевых панелях. На алюминиевую пластину наносили стопоры в виде тонких приклепанных полосок из алюминия, стали, нержавеющей стали и титана, при этом на каждую пластину наносили по семи рядов таких усилителей, удаленных друг от друга на 14-15 см. Начальная трещина создавалась усталостным испытанием и подводилась к стрингеру. После создания начальной трещины нэгружение производилось статическим растяжением до разрушения. Поле упругих напряжений фиксировали тензометрически в области взаимодействия трещина-ребро жесткости, а также фотографировали расположение и размер трещины в различные моменты времени.
В работе [8б]изучено динамическое влияние мгновенного разрыва пластины со стрингером на коэффициент концентрации напряжений в кончике трещины. Оказалось, что максимум динамического коэффициента концентрации напряжений на 27$ превосходит его статическое значение.
В работе[19] найдено поле напряжений в бесконечной пластине с трещиной конечной длины при наличии двух симметрично расположенных стрингеров, одним концом выходящих на контур трещины. При этом предполагалось, что линия трещины перпендикулярна к осевой линии стрингеров и пластина на бесконечности подвергает- ся равномерному растяжению. Как показано в рэботе[1], автор работы [19J при вычислении соответствующего комплексного потенциала допустил неточность, которая затем повлияла на структуру разрешающего интегрального уравнения. К.Л.Агаян в рэботе[1] исследовал контактную задачу о передаче нагрузки к бесконечной пластине с трещиной конечной длины, подкрепленной четырьмя симметрично расположенными упругими стрингерами конечной одинаковой длины. Изучены закономерности изменения контактных напряжений в зависимости от физических и геометрических параметров задачи. В работах[20,25] рассматривались задачи о взаимодействии стрингера и кругового отверстия, двух симметричных стрингеров, усиливающих в зоне кругового отверстия. Задачи сводились к сингулярному интегральному уравнению первого рода, допускающему приближенное решение. И.Д.Суздэльницкий[б7] решил задачу теории упругости для пластины с периодической системой трещин, расположенных вдоль прямой, и усиленных периодической системой ребер жесткости, направленных перпендикулярно этой прямой. Пластина подвергается растяжению, направленному перпендикулярно к линии трещин. Задача сведена к системе сингулярных интегро-дифферен-циальных уравнений. В работе[із] исследовано взаимное влияние периодической системы круговых отверстий, расположенных вдоль прямой, и периодической системы стрингеров, перпендикулярных к этой прямой.
В.Н.Максименко[33] построил общую систему сингулярных интегральных уравнений для упругой анизотропной пластины, ослабленной конечным числом,криволинейных разрезов, берега которых нагружены самоуравновешанными внешними усилиями, и подкреплен- ной конечным числом ребер. В этой же работе приводится прямой алгоритм численного решения.
Отметим также работу[74-], посвященную задаче о влиянии ребер жесткости на распределение напряжений в изотропной пластине с прямолинейной трещиной.
В работах[54,84,85] проведено исследование относительно нового способа локализации разрушения системой внешних напряжений сжатия, приложенных к плоским телам в поперечном (по толщине) направлении на пути развития трещины. В работе[54] из совместного решения задачи теории упругости о растяжении пластины с центральной прямолинейной трещиной и задачи о локальном сжатии поперечной силой бесконечной пластины с трещиной получены соотношения, позволяющие провести расчет минимальной величины сжимающих напряжений, обеспечивающих остановку трещины при идеально мягком и идеально жестком нагружениях пластины растягивающей нагрузкой.
Следует отметить, что исследованию усилий, передаваемых пластинке (без трещины) через накладки (стрингеры) было уделено должное внимание советских и зарузбежных специалистов в области теории контактных и смешанных задач механики деформируемого твердого тела. Среди этих работ отметим исследования: Мелан[90], Бюель[78], Броун[77], Койтер[89], М.П.Шереметьев[73], Г.Н.Савин, Н.П.Флейшман[62], Н.Х.Арутюнян[б], Морарь Г.А., Попов Г.Я.[37], Муки, Стернберг[44], В.М.Толкэчев[б8], А.И.Кэландия[24,25], Л.С.Рыбаков, Г.П.Черепанов[59], Р.Д.Бзнцури[7] и другие , а также недавно опубликованные монографии Г.Я.Попова[55], В.М. Александрова, С.М.Мхитаряна[2] и Т.Л.Мартынович, В.Э.Юринец[34].
Приведенный обзор исследований о взаимодействии ребер жесткости на развитие трещины показывает, что большинство авторов не учитывали влияния пластических деформаций. Как известно, в малой концевой окрестности трещины образуется область пред-разрушения. В реальных твердых телах эта зона, обычно, окружена областью пластически деформированного материала. Особенности и детали распределения пластических деформаций у конца трещины определяют условия ее дальнейшего развития. Поэтому исследование пластической деформации в окрестности трещины имеет важное значение для описания процесса разрушения.
В связи с этим необходимы дальнейшие исследования о торможении роста трещины ребрами жесткости с учетом влияния пластических деформаций.
Данная диссертационная работа посвящена вопросам конструкционного торможения трещины ребрами жесткости.
Цель работы состоит в исследовании напряженно-деформированного состояния, передачи нагрузок от ребер жесткости к деформируемому телу, влияния ребер жесткости на развитие трещины с учетом пластических деформаций влияния ребер жесткости на рост трещин, исходящих с поверхности кругового отверстия.
Достоверность полученных результатов обеспечивается математической корректностью поставленных задач, получением решений задач строгими аналитическими методами, результатами числовых примеров, вычисления которых проводились на ЭВМ БЭСМ-б программами на алгоритмическом языке "Фортран-^".
Научная новизна: - впервые исследовано влияние пластических деформаций на торможение развития трещины ребрами жесткости; для пластины, подкрепленной ребрами жесткости, найдена зависимость длины трещины от приложенной растягивающей нагрузки, а также от физических и геометрических характеристик, позволяющая проводить исследование развития трещины в докритической стадии нагружения; впервые решен класс задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей для тонкой пластины, подкрепленной ребрами жесткости и ослабленной круговым отверстием и двумя трещинами, исходящими из контура кругового отверстия; получены зависимости длины полосы пластичности от приложенной нагрузки, геометрии области и предела текучести материала; исследовано влияние взаимного расположения ребер жесткости, заклепок и трещин на критерий роста трещин.
Практическая ценность работы определяется широким кругом отмеченных выше практических приложений рассматриваемых задач, а также тем, что большинство результатов настоящего исследования в работе представлено в виде аналитических выражений, формул, таблиц, алгебраических систем, что позволяет их непосредственно использовать в инженерных расчетах прочности и долговечности элементов конструкций, для оптимального выбора конструктивных форм.
Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы.
Во введении излагается актуальность рассматриваемой проблемы, дается обзор работ по теме исследуемых задач, кратко из- - II - лагается содержание диссертации.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые сведения из теории упругости и теории сингулярных интегральных уравнений, используемые в дальнейшем.
Во второй главе исследовано влияние ребер жесткости на рост трещины в пластине с учетом пластических деформаций.
Рассмотрена упруго-пластическая задача для бесконечной пластинки с одной прямолинейной трещиной длиной 2& , усиленной ребрами жесткости. Берега трещины свободны от внешних усилий. Материал пластины удовлетворяет условию пластичности Треска-Сен-Ве-нэна. Действие прикрепленных подкрепляющих ребер схематизируется сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения заклепок. Величина сосредоточенных сил найдена в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. Найдены размеры пластических зон в зависимости от физических и геометрических параметров задачи и приложенной внешней нагрузки. Получены основные соотношения, описывающие докритическую и критическую диаграмму разрушения.
Третья глава посвящена исследованию задач о взаимодействии двух факторов - усиления пластины ребрами жесткости и ее ослабления круговым отверстием и трещинами, выходящими на его контур. Эта глава состоит из трех параграфов.
В 8 рассматривается бесконечная изотропная упругая пластина, ослабленная круговым отверстием и двумя трещинами вдоль отрезков оси абцисс. Контур отверстия и берега трещин свободных от внешних усилий. К пластине приклепаны поперечные ребра жесткости. Действие приклепанных подкрепляющих ребер на расчетной схеме за- менено четырьмя сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения заклепок. Величина сосредоточенных сил найдена в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. Вычислены коэффициенты интенсивности напряжений и предельные нагрузки в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. Показано, что при некоторых вполне определенных условиях существует устойчивый этап развития трещины.
В 9 исследуется развитие начальных пластических деформаций (зародышевых трещин), исходящих из контура кругового отверстия в пластине, усиленной ребрами жесткости. Материал пластины является идеально упругопластическим, удовлетворяющим условию Треска-Сен-Венана. Принято, что пластические деформации сосредоточены вдоль некоторых линий скольжения, исходящих из контура отверстия. Удовлетворяя граничным условиям, решение задачи сводится к одному сингулярному интегральному уравнению. Затем сингулярное уравнение задачи сводится к системе алгебраических уравнений без промежуточного этапа приведения его к уравнению Фредгольма. Полученная система решалась методом Гаусса с выбором главного элемента для разных значений п ( ТЬ число чебышев-ских узлов разбиения интервала). Величина сосредоточенных сил найдена в зависимости от геометрических и физических параметров задачи. Найдены зависимости длины полос пластичности от приложенной нагрузки, геометрических параметров задачи и предела текучести материала.
Используя условие локального разрушения (KPT-критерий), получено соотношение для определения разрушающей внешней нагрузки.
В 10 рассматривается бесконечная изотропная пластина, ос- - ІЗ - лзбленная круговым отверстием и двумя трещинами вдоль отрезков оси абцисс. Контур отверстия и берега трещин свободны от внешних нагрузок. К пластине приклепаны поперечные ребра жесткости, действие которых в расчетной схеме заменено четырьмя сосредоточенными силами. Материал пластины принят идеально упруго-пластическим, удовлетворяющим условию Треска-Сен-Венана. Удовлетворяя граничным условиям, решение задачи сводится к одному сингулярному интегральному уравнению, которое затем сводится к системе алгебраических уравнений без промежуточного этапа приведения его к уравнению Фредгольмэ.
Найдены зависимости длины полос пластичности от приложенной внешней нагрузки, предела текучести материала, длины трещины, а также других геометрических параметров задачи. Испрльзуя критерий критического раскрытия трещины, получено условие, определяющее предельные нагрузки, а также уравнение докритическои диаграммы разрушения (зависимость внешней нагрузки ^ от длины устойчивой трещины С ).
В диссертации используются методы, разработанные в классических монографиях Н.И.Мусхелишвили [45]и Ф.Д.Гахова [іб] .
Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук В.М.Мирсалимову за внимание и ценные советы при выполнении работы.
Численный метод решения сингулярного интегрального уравнения первого рода
Остается определить коэффициенты полинома Р СЯ) Будем считать, что под Х&) подразумевается ветвь, имеющая при больших (Z\ следующий вид Xte) =4% n-i пч + - - Коэффициент С0 сразу определяется по формуле (I.2I) и по условию $? (о) = Г Остальные коэффициенты находятся из условия однозначности смещений. Это условие означает, что выражение 9еч (%)-со(Е) должно возвращаться к своему значению, когда точка Si описывает замкнутые контуры Лк , охватывающие отрезки СС . 6 .
Численный метод решения сингулярного интегрального уравнения первого рода
Классический метод решения сингулярного интегрального урав - 26 нения состоит в регуляризации по Карлеману-Векуа и последующем численном решении полученного интегрального уравнения Фредголь-ма второго рода. Такой подход, как показывают приложения, очень трудоемок. В последнее время при решении задач, представляющих интерес для приложений, наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди этих методов можно отметить метод Мультоппа-Каландия [24], основанный на определенных формулах для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярного интеграла.
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение следующего вида S +SK xi)M =2Жр(хк w (1,23) где ядро уравнения К(%,) и свободный член рСх,)- заданные на отрезке/"-/, 1] непрерывные функции своих аргументов. Вопросы приближенного решения сингулярного интегрального уравнения (1.23) были предметом исследования многих ученых (см.В.В.Иванов [21J , а также обзор Б.Г.Габдулхзев, П.Н.Душков [14] ).
Следуя А.И.Каландия[2б7 , изложим способ приближенного решения уравнения (1.23).
Решение, разрывное на концах. В задачах механики хрупкого разрушения наиболее часто решение уравнения (1.23) имеет корневую особенность, т.е. - 27 =Г 7 xz где Q0(x) - ограниченная функция на отрезке [-{, /].
Подставим X=COSO(=:COSZ) и формулу (1.24) в уравнение (1.23). Аргумент Q меняется в пределах О- в ТС . Тогда уравнение (1.23) примет вид (для функций 00(Х) D(X) ) оставлены прежние обозначения) \Ш=Ш [ (COSQ, cost)fyCt)ck=2 pto) (I 25) о о Заменяем функцию 0оЮ интерполяционным полиномом Лэгрэнжз, построенного по чебышевским узлам C0S6-COS вк (1.26) (X=C0SS); (&-( ) Дробь в правой части выражения (1.25) при любом есть четный тригонометрический полином порядка П-1 , коэффициенты которого определяются с помощью равенств ж ± С comtcfa в 1ШШ (0 8 ії; к=0 ! ) (1.27) Я) cost-cose sine
После определения коэффициентов полинома формулу (1.26) запишем в виде V тя гкв r.nsme-zr T й__ (1.28) С помощью (1.27) и (1.28) находим квадратурную формулу для сингулярного интеграла 1 ЩШ _1_у п у со те, sin те -29) ж) i-x nsw9;d% Формула (1.29) точна всегда, когда Q0&) - многочлен от ос порядка n-i . Применяя ко второму интегралу в левой части уравнения (1.23) квадратурную формулу типа Гаусса (1.30) -1 справедливую всегда, когда г(Х) - многочлен порядка 2?Ъ {, будем иметь К(х, ЩШІ-ШІ; K(cose, cose Jув (coseK) Х- Использование квадратурных формул (1.29) и (I.3I) приводит к замене сингулярного интегрального уравнения (1.23) системой ал - 29 гебраических уравнений относительно приближенных значений 0 функции О (X) в узловых точках
4 Решение краевой задачи
Опыт показывает, что перед наступлением критического состояния равновесия трещины в тонких пластинах из упруго-пластического материала, почти всегда наблюдается стадия медленного устойчивого докритического развития. Стадии докритического развития трещины придается большое значение.
Для рассматриваемой задачи описание докритического развития трещины проведем с помощью обобщенной и теории [40 ] и обобщенной энергетической концепции [71] .
а) Согласно обобщенной и - теории уравнение докритичес-кой диаграммы разрушения (зависимость приложенной внешней нагрузки ff от длины устойчивой трещины с ) находится из условия ШНПШ], (2.39) А = ї 8 К Ъ0 - начальна длина трещины. Используя формулу (2.28), окончательно получаем следующее соотношение
Для численного решения уравнения (2.40) приводим его к виду аналогичному (2.30). Решая (2.40) совместно с уравнением (2.25) численно на ЭВМ БЭСМ-б методом итерации получим диаграмму докри-тического разрушения.
При расчетах было принято М- 0 ; -)=0,3 Диаграммы разрушения, построенные для разных значений начальной длины трещины $0 , показаны на рис.б кривыми 1,2,... (=0,/5; 0,5). Максимумы этих диаграмм располагаются на линии предельных нагрузок. Расчет для кривых проводился в устойчивой области, так как переход в неустойчивую область соответствует разрушению. б) Для установления уравнения докритической диаграммы разрушения применим закон сохранения энергии, который в совокупности с модифицированными физическими представлениями об энергии разрушения Оровэна-Ирвина приводится [71J к следующему соотношению
При продвижении конца трещины на единицу длины напряжение произведет работу на соответствующем смещении. Работа эта равна полной диссипации энергии . Для вычисления (2ЛЗ) использовался прием, аналогичный приему Ирвина. Соотношение (2ЛЗ) может быть получено также используя метод Гриффитса. Будем применять метод Гриффитса.
Рассмотрим упругую область /«/ Д , где радиус Д велик по сравнению с длиной трещины. Состояние этой области определяется двумя параметрами С и ffQ Согласно закону сохранения энергии, мощность внешних сил, приложенных на внешнем контуре 1%\ = R » равна скорости изменения упругой энергии тела W плюс скорость диссипации энергии. Ва параметр заменяющего время, принимаем длину трещины с
Найдя напряжения и смещения по формулам (1.3), (2.45), затем вычисляя интегралы (2.46)-(2.47) с помощью (2.27), получаем дифференциальное уравнение первого порядка (2.43), Заметим, что можно было бы использовать решение задачи в виде (2.31)-(2.37). В этом случае после соответствующих выкладок мы получили бы соотношение (2Л2).
Основные уравнения (2.4-0) или (2.42) могут быть использованы также при исследовании развития трещины вплоть до разрушения при любом заранее заданном пути нагружения, в том числе при циклической нагрузке.
Развитие трещины при этом происходит на каждом цикле нагружения, а при разгрузке считается, что длина трещины сохраняется постоянной.
Представляет интерес задача о взаимодействии двух факторов-усиления пластины ребрами жесткости и ее ослабления круговым отверстием и трещинами, выходящими на его контур.
I. Постановка задачи. Рассматривается бесконечная изотропная упругая пластина, ослабленная круговым отверстием радиуса Ті и двумя трещинами вдоль отрезков оси абцисс. Контур отверстия и берега трещин свободны от внешних усилий.
К пластине приклепаны поперечные ребра жесткости в точках = ±L ±LU . Выбор системы координат и обозначения поясняются на рис.7. На бесконечности действует однородное растягивающее напряжение Si =ff . Действие приклепанных подкрепляющих ребер на схеме заменено четырьмя сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения заклепок (рис.7). Величина сосредоточенных сил Р неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи.
Критическая диаграмма разрушения
Формулы (3.24) позволяют заменить интегральное уравнение (3.20) системой линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений Рп искомой функции в узловых точках.
После некоторых преобразований сингулярное интегральное уравнение заменяется следующей алгебраической системой уравнений /2 = / (3.25) , \т- УС\
В рассматриваемой задаче трещина одним концом выходит на поверхность свободного отверстия. Напряжения на этом конце трещины ограничены. Поэтому к полученной системе уравнений (3.25)-(3.26) необходимо добавить следующее алгебраическое уравнение обеспечивающее конечность напряжений в точках 0С=±Я . Для того, чтобы число уравнений в системе было согласовано с количеством неизвестных Р , следует в системе (3.25) пропустить какое-либо одно значение т . Напомним, что сингулярное уравнение (3.20) кроме особенности в ядре Коши имеет неподвижную особенность в точке ==-/ . В описанном приближенном способе решения интегральных уравнений типа (3.20), эффективность которого проверена на конкретных примерах (см. также монографию [49 J ) не выделена истинная особенность функций Р(%) на конце ft = -l . Характер этой особенности, вообще говоря, может быть установлен из анализа интегрального уравнения f81] и представляет самостоятельную математическую проблему. В нашем случае в виду громоздкости выражений для функций Ъ(ч/С) и f(%) установление характера особенности затруднительно. С другой стороны выделение истинной особенности на концах отражается на сходимости метода [38J, однако не оказывает существенного влияния на коэффициент интенсивности напряжений.
В механике хрупкого разрушения особый интерес представляет коэффициент интенсивности напряжений в окрестности конца трещины. Для коэффициента интенсивности напряжений у вершины трещины будем иметь формулу Kz = -&nt \{ 21l\X-l\ Cj(X)l (3.28) - 79 После нахождения функции Q(30) можно определить коэффициент интенсивности напряжений Хг следующей формулой K №fiW4t(- )X-dl К=1 Or (3.29)
Соотношение (3.29) получено с учетом использованных формул замены переменных, формулы (3.28) и интерполяционного многочлена Лагранжэ для функции Р0М
Используя критерий хрупкого разрушения Гриффитса-Ирвина К -К ( Кп- постоянная, характеризующая сопротивление мате-риала распространению в нем трещин), получим зависимость длины трещины от приложенной нагрузки, а также от упругих и геометрических параметров системы.
Анализ решения. Для числовых расчетов полагалось ТЬ = 30, tb = 40 и П = 60, что отвечает разбиению интервала на 30,40 и 60 чебышевских узлов соответственно. Расчеты были выполнены на ЭВМ БЭСМ-6 методом Гаусса с выбором главного элемента. Оказалось, что решения совпадают с точностью до четвертого знака. В таблице приводятся результаты расчетов коэффициента интенсивности напряжений К-г/ уЯ при изменении длины трещины для следующих значений свободных параметров
Исследование развития начальных пласти ческих деформаций (зародышевых трещин)
Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную изотропную пластину, ослабленную круговым отверстием радиуса R и двумя трещинами вдоль отрезков оси абцисс. Контур отверстия и берега трещины свободны от внешних сил нагрузок. К пластине приклепаны поперечные ребра жесткости в точках % = ±l ±Lu. Выбор системы координат и обозначения поясняются на рис.10. На бесконечности действует однородное растягивающее напряжение =#1 . Действие приклепанных подкрепляющих ребер на схеме заменено четырьмя сосредоточенными силами, приложенными в местах расположения заклепок (рис.10). Величина сосредоточенных сил Р неизвестна и подлежит определению в процессе решения задачи.
Материал пластины принимается идеально-упругопластическим, удовлетворяющим условию Треска-Сен-Венана. Из упругого решения задачи об одноосном растяжении пластины с постоянными усилиями (см. 9) известно, что какой малой ни была величина 01 , по концам трещины условия упругости не соблюдаются, и здесь могут появиться пластические деформации. Эксперименты показывают, что пластические деформации на первых этапах их развития локализуются в тонких слоях материала - полосах пластичности, занимающих незначительный о бьем тела по сравнению с его упругой зоной (см. 9).
Рассмотрим задачу о начальном развитии пластических деформаций в тонкой пластине. Первые полосы пластичности согласно схеме Леонова-Панасюка-Дагдейла будут развиваться по линиям на продолжении трещин. При пластических сдвигах по площадкам скольжения на этих зонах возникает локальное утоньшение пластинки, что является следствием разрыва нормальной к оси ОХ составляющей V(X,0) вектора смещений.
Следует отметить, что решение задач для тел с трещинами, полученное методами классических теорий пластичности, не всегда согласуется с опытными данными. Эти решения недостаточно отражают дискретный механизм пластических деформаций, локализирующихся в слоях скольжения, в частности, они не отражают наблюдаемых в тонких пластинах локальных утоньшений, которые существенно влияют на дальнейшее развитие пластического течения хелишвили и граничных условий на контуре кругового отверстия, берегах трещин и на пластических линиях задача сводится к определению двух аналитических функций CP(Z) и ty(z) из краевых условий Ф(І)+ Щг) -[їФ ( б) + К)]еШ=0; (3.38) где "t Tie , Ь- аффикс точек берегов трещин и полос пластичности, СС=0 на берегах трещин и &=&$ на полосах пластичности. Решение краевой задачи (3.38)-(3.39) ищем в виде (3.4), (3.5) и (З.б). ФункцииЯ Й; и S?2(&) НЭХДЯТСЯ аналогично 8 и будут иметь вид (ЗЛО). В рассматриваемом случае интегралы в (З.б) берутся по линии
Требуя, чтобы функции (ЗЛ) удовлетворяли краевому условию (3.39), получим сингулярное интегральное уравнение относительно й(Х) . Это уравнение будет иметь вид (3.II), с той разницей, что в правой части этого уравнения на участке ь \ос\ о добавится слагаемое 6 . Величина сосредоточенной силы Р в рассматриваемой задаче определяется соотношением (3.19). интегральное уравнение приведем к виду (3.20) с очевидными изменениями для этого случая. В частности, правая часть уравнения на участке R Величина Q , характеризующая длину полос пластичности, войдет в решение уравнения (3.20) как неизвестный параметр, подлежащий определению. Так как напряжения в идеальном упругоплас-тическом материале ограничены, то решение сингулярного интегрального уравнения (3.20) следует искать в классе всюду ограниченных функций (напряжений). Условие ограниченности напряжений в концах %= о служит для определения параметра о , зная который можно найти длину пластических зон. Решение уравнения (3.20) будем искать в классе функций (напряжений), ограниченных на концах отрезка [-/, i] . Решение представим в виде (3.21). Использование квадратурных формул позволяет заменить уравнение (3.20) системой алгебраических уравнений относительно приближенных значений PS~PJ9 ) искомой функции в узловых точках. К полученным уравнениям необходимо добавить следующие алгебраические уравнения (З.Зб), обеспечивающие конечность напряжений в точках % = ±R ; Х=±$ . Полученная алгебраическая система (3.25) и (З.Зб) является нелинейной относительно неизвестного параметра О . Решение этой системы при заданной нагрузке ^ по этой причине затруднительно. Поэтому проще считать заданным о , а определять соответствующую нагрузку ff , действующую на пластину.Похожие диссертации на Исследование некоторых задач конструкционного торможения трещины
