Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ напряженного состояния в зоне вершины трещины в многослойном материале 6
1.1. Особенности распределения напряжений в зоне вершины трещины 6
1.1.1. Двухслойная пластина неограниченных размеров с V-образным вырезом 6
1.1.2. Трещина, перпендикулярная границе двух сред 10
1.1.3. Трещина на границе раздела двух упругих сред 11
1.2. Определение коэффициентов интенсивности напряжений в краевой трещине в многослойном материале 16
1.3. Определение коэффициентов интенсивности напряжений во внутренней трещине в многослойном материале 22
1.4. Трещина скольжения на границе раздела материалов 27
Глава 2. Некоторые динамические задачи механики хрупкого разрушения 31
2.1. Волновое уравнение плоской теории упругости и некоторые математические вопросы 31
2.2. Некоторые математические вопросы, часто встречающиеся в динамических задачах механики хрупкого разрушения 34
2.3. Аналог задачи Лэмба 42
2.3.1. Некоторые частные случаи общего решения 49
2.3.2. Нестационарная задача (ударные нагрузки) 51
Глава 3. Стационарное движение трещины в упругой полосе 54
3.1. Постановка задачи 54
3.2. Краевая задача Ришана и ее решение '.. 55
3.3 Асимптотические напряжения вблизи вершины трещины 64
3.4. Анализ решения 67
Глава 4. О разрушении п (п > 1) - слойных композиционных материалов с трещиноіі (антиплоская деформация) 76
4.1. Краевая трещина продольного сдвига с вершиной в первом материале 76
4.2. Краевая трещина продольного сдвига с вершиной на границе раздела (l=hi) 84
4.3. Краевая трещина продольного сдвига с вершиной во второй упругой среде 90
Заключение 108
Литература 112
Приложение 118
- Двухслойная пластина неограниченных размеров с V-образным вырезом
- Некоторые математические вопросы, часто встречающиеся в динамических задачах механики хрупкого разрушения
- Асимптотические напряжения вблизи вершины трещины
- Краевая трещина продольного сдвига с вершиной во второй упругой среде
Введение к работе
Некоторые проблемы механики разрушения п(п>1)-слойных композиционных материалов и методологический подход к оценке прочности и усталостной долговечности элементов конструкций из этих материалов, в рамках механики разрушений, разработан авторами в [1-20]. При этом процесс разрушения п-слойных материалов с поверхностной или центральной трещиной последовательно исследуется в три этапа: трещина полностью находится на одном из боковых слоев; трещин;* образована разрывом в этом слое и ее вершина находится на границе раздела разорванного и соседнего целого слоев; на третьем этапе направление роста трещины и ее тип, согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям зависит: от Gj, Vj, где Gj - модуль сдвига j-ro слоя, Vj - коэффициент Пуассона того же слоя; от прочности адгезии на границах раздела (прочность адгезии, согласно теории адгезии при сдвиге аналогичной теории Гриффитса-Првина, определяется одной новой постоянной -вязкостью скольжения контактного слоя К„ , а также размером дефекта или слабого
места на контакте двух материалов); от микроструктуры пограничного слоя, примыкающего с одной или двух сторон к границе раздела.
Заметим, что при создании и эксплуатации биметаллов в пограничном слое возможны сложные релаксационные процессы, такие как рекристаллизация, образование новых фаз и другие, изменяющие его физико-механические свойства. Для того, чтобы в феноменологическом приближении оценить влияние пограничного слоя на прочность материала, необходимо определить толщину этого слоя - например, определить границы зоны диффузии при диффузионной сварке, т.е. смещение поверхности Крикенделла, а также изменение его механических характеристик при удалении от первоначальной границы раздела.
В соответствии с изложенным имеется ряд задач, имеющих важное теоретическое и прикладное значение, которые в настоящее время не нашли достаточно полного освещения в отечественной и зарубежной литературе.
К этим задачам относятся:
Изучение асимптотического распределения напряжений, деформаций и перемещений вблизи свободного от нагрузки берега трещины (v-образный вырез в двухслойной упругой среде).
Исследование перераспределения напряжений и смещений в малой окрестности вершины трещины в случае неподвижного и подвижного фронта трещины.
3. Анализ и определение условий локальной стационарности упругого тела и
связанной с этой задачей исследование и изучение некоторых типов интегралов,
встречающихся в динамических задачах.
Решение уравнений для стационарного и нестационарного волнового процесса.
Решение уравнений, описывающих процесс разрушения многослойных материалов с краевой трещиной продольного сдвига.
Решение перечисленных задач ,и исследование полученных результатов рассматриваются в представленной диссертационной работе, соответственно в главах 1-ІV и приложения.
Двухслойная пластина неограниченных размеров с V-образным вырезом
Некоторые проблемы механики разрушения п(п 1)-слойных композиционных материалов и методологический подход к оценке прочности и усталостной долговечности элементов конструкций из этих материалов, в рамках механики разрушений, разработан авторами в [1-20]. При этом процесс разрушения п-слойных материалов с поверхностной или центральной трещиной последовательно исследуется в три этапа: трещина полностью находится на одном из боковых слоев; трещин; образована разрывом в этом слое и ее вершина находится на границе раздела разорванного и соседнего целого слоев; на третьем этапе направление роста трещины и ее тип, согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям зависит: от Gj, Vj, где Gj - модуль сдвига j-ro слоя, Vj - коэффициент Пуассона того же слоя; от прочности адгезии на границах раздела (прочность адгезии, согласно теории адгезии при сдвиге аналогичной теории Гриффитса-Првина, определяется одной новой постоянной -вязкостью скольжения контактного слоя К„ , а также размером дефекта или слабого места на контакте двух материалов); от микроструктуры пограничного слоя, примыкающего с одной или двух сторон к границе раздела.
Заметим, что при создании и эксплуатации биметаллов в пограничном слое возможны сложные релаксационные процессы, такие как рекристаллизация, образование новых фаз и другие, изменяющие его физико-механические свойства. Для того, чтобы в феноменологическом приближении оценить влияние пограничного слоя на прочность материала, необходимо определить толщину этого слоя - например, определить границы зоны диффузии при диффузионной сварке, т.е. смещение поверхности Крикенделла, а также изменение его механических характеристик при удалении от первоначальной границы раздела.
В соответствии с изложенным имеется ряд задач, имеющих важное теоретическое и прикладное значение, которые в настоящее время не нашли достаточно полного освещения в отечественной и зарубежной литературе. К этим задачам относятся: 1. Изучение асимптотического распределения напряжений, деформаций и перемещений вблизи свободного от нагрузки берега трещины (v-образный вырез в двухслойной упругой среде). 2. Исследование перераспределения напряжений и смещений в малой окрестности вершины трещины в случае неподвижного и подвижного фронта трещины. 3. Анализ и определение условий локальной стационарности упругого тела и связанной с этой задачей исследование и изучение некоторых типов интегралов, встречающихся в динамических задачах. 4. Решение уравнений для стационарного и нестационарного волнового процесса. 5. Решение уравнений, описывающих процесс разрушения многослойных материалов с краевой трещиной продольного сдвига. Решение перечисленных задач ,и исследование полученных результатов рассматриваются в представленной диссертационной работе, соответственно в главах 1-ІV и приложения. Первой из важнейших проблем механики разрушения многослойных материалов с трещинами (в общем случае - с V-образными вырезами) является изучение асимптотического распределения напряжений, деформаций и перемещений вблизи свободного от нагрузки берега трещины ( или V-образного выреза) в двухслойной упругой среде.
Эти задачи относятся к классу N [1] - каноническим однородным сингулярным задачам теории упругости. Решения этих задач определяются с точностью до некоторых произвольных постоянных, которые характеризуют интенсивность внешнего поля и должны быть найдены на основе решения соответствующей "внешней" задачи.
Ниже рассмотрен ряд решений задач класса N для двухслойных сред, полученных асимптотическим методом, изложенным в [1].
Двухслойная пластина неограниченных размеров с Y-образным вырезом В работе [2] рассмотрена следующая задача: пусть два однородных изотропных упругих тела жестко сцеплены вдоль плоскости 0 = ± тс / 2, 0 г оо, где г, Q -полярные координаты, а само двухслойное тело занимает области -а в а, 0 г со (2а /г) (рис. 1.1.). Границы тела 9 = ±а, 0 г оо свободны от внешних нагрузок. Задача считается симметричной относительно биссекторной плоскости 6 = 0.
Некоторые математические вопросы, часто встречающиеся в динамических задачах механики хрупкого разрушения
В данной главе рассматриваются решения задач, описывающих процесс разрушения многослойных материалов с краевой трещиной продольного сдвига. При этом рассматриваются три этапа: трещина полностью находится в одном из боковых слоев; краевая трещина продольного сдвига образована разрывом первого слоя и ее вершина находится на границе раздела разорванного слоя и соседнего целого слоев; вершина краевой трещины продольного сдвига находится в соседнем слое, либо трещины мгновенно образуются на границе раздела сред. С использованием результатов глав 1 и 2 построены решения соответствующих задач, определены коэффициенты интенсивности напряжений, подробно исследованы также некоторые математические вопросы, возникающие в процессе решения этих задач.
Пусть полоса 0 х Н, \у\ оо, составленная из N различных однородных изотропных упругих материалов nk(k = \,N), где и - модуль сдвига, жестко сцепленных вдоль плоскостей х = hr(j = \,N -1, 0 hx h, ... hN_x hN = H) содержит краевую трещину продольного сдвига (у=0, 0 x l hi), перпендикулярную свободным от внешних нагрузок границам х=0 и х=Н (Рис. 4.1.). / К берегам трещины приложено некоторое заданное напряжение. На бесконечности напряжения отсутствуют, а смещение исчезает. Граничные условия имеют вид х=0 (0, = 0: х = Н (0- ), = 0 (4.1.1.) ;;=0 0 х / А, (аД = -а,(х) (4.1.2.) - ? (w){(x,y) = J— A hAx sin AydA + І—\ be ,iycos7jxdTj (4.1.8.) ht x h)+l ((; +1) - ая среда, j = 1,7V -1: juJ+l) (w)j+1(x, y) = A- A chAx + BJ+lshAx) sinAydA (4.1.9.) Напряжения ( JXZ)J и (o ,), через гармоническую функцию (w)j определяются так: d(w)j(x,y) d(w)j{x,y) „ , ,пч Условия (4.1.1а) и (4.1.4.) удовлетворяются тождественно. При помощи (4.1.16), (4.1.5.),(4.1.8.),(4.1.9.) и (4.1.10а) находим: AxchAr\ - A2chAJ\ -B2shAt\ = ух{А) \ kh2AxshAt\ - A2shAhl - B2chAhx = kl2y2(A) Ai+lchAfij+1 + Bj+lshAhj+, - Aj+2chAhi+1 - Bj+2shAhj+1 = 0 (4.1.11) +1.7+2[4+і ЛЛ;+1 +/+ІсЛА/;,+1]- Aj+2shMJ+l - Bj+2chAhJ+i = 0 / /V shAhN + ,v c// i/?v = 0 (J=IN- 2). Здесь Ч,2 = Ml І Мг 7+1,7+2 = /0+1 7+2 у,(Я) = — [siaXy\b(Tj)e-"ycosijhldridy (4.1.12) 0 - » x /2(A) = - - f sinlyj r/t{7])e y sinr/fydridy. І о I Система уравнений (4.1.11) с матрицей (2N-1) х (2N-1) является алгебраической относительно 2N-1 неизвестных функций Aj(X) (J = IN) и Bj(A) (J = 2,/V). Следова тельно, все искомые функции Aj(A) (у = IN) и Bj(A) (J = 2,/V) выражаются через интегралы у (A) (j = 1.2) от одной неизвестной функции Ь(Т). Удовлетворив остающимся граничным условиям (4.1.2) и (4.1.3.), получаем дуальные интегральные уравнения относительно неизвестной функции Ь(ц). Таким образом, решение задачи сводится к решению интегрального уравнения. Функцию Ь(т) представим в виде ад-Д/ о (4....3) или ад = V7 j HO-W) - (4.1.14) Здесь функции f(t) и v)/(t) - новые неизвестные функции. Следует доказать: - справедливость представления функции Ь(г) в виде (4.1.13) или виде. (4.1.14); - принадлежность функций f(t) и vj/(t), te[0,1] к определенным классам. Кроме того, докажем, что если функция Ь(т) дается формулой (4.1.13), то решение краевой задачи (4.1.1.) - (4.1.7.) сводится к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода типа Кошм, а если функция дается формулой (4.1.14), то - к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Покажем, что теорема 1 (см. в [82]) дает возможность равносильного перехода от одного интегрального уравнения к другому. Пусть функция b(r) дается формулой (4.1.13). Докажем, что если 0 х 1, то cl(w\(x,0)/dx=-f(x). Действительно, пусть 0 х 1. Тогда из (4.1.13) и (4.1.8.), находим J /(О J cos t]xdr]dt+ j f(t)\ -cosrjxdrjdt 0 0 7 x+s, 0 71 (w\(x,0) = - Km (4.1.15) Отсюда, при 0 х 1 , используя разрывной интеграл Дирихле, получаем го (wMx,0) = j f(t)dt, (4.1.16) т.е. d(w),(x,0) m = — - (4....7) Из (4.1.8) и (4.1.1 Oa) (при j= 1) с учетом (4.1.17) и (4.1.13), находим (сглг),(х,0) = Mi-\ , smijtsmrjxdTjdt =ц, v yv j (4.1.18) л- я/ J0 ax Л (w),(x,0) = - JV Jcos 77XCOS 7 77 / = (W)!(JC,0) (4.1.19) n о 0 Эти формулы оправдывают справедливость представления функции в виде (4.1.13). Из (4.1.17) следует /(х) є Kg[0,/[,5 = 1/2, т.е. Дх) = /0(х) /УІГ -Х2; Ux) є На[-Щ 0 а /; /0(х) = -/0(-х). Таким образом, из (4.1.17) - (4.1.19) следует правомерность представления функции Ь(г) в виде ад-Д/« /(0- (4.1.20) V J0 ц dt \ Подставляя (4.1.20) в (4.1.8), непосредственно убеждаемся, что условия (4.1.3.), используя разрывной интеграл Дирихле, удовлетворяются автоматически.
Асимптотические напряжения вблизи вершины трещины
Исследования, проведенные в диссертационной работе посвящены следующему: 1. Определение асимптотических распределений напряжений и перемещений вблизи свободного от нагрузки берега трещины в двухслойной среде для V-образного выреза, а также для случаев расположения трещины на границе двух сред и перпендикулярно к границе раздела. 2. Анализ этапов процесса разрушения многослойных материалов с краевой трещиной продольного сдвига при различных расположениях трещины относительно слоев. \ 3. Рассмотрение волновых уравнений теории упругости и связанных с их решением некоторых типов интегралов. Нахождение решений задач типа Лэмба, а так же нестационарной задачи в случае ударных нагрузок. 4. Решение стационарной задачи движения трещины в упругой полосе и сведение ее к краевой задачи Римана. 5. О разрушении n-слойных композиционных материалов с трещинами с вершинами: в первом слое; на границе раздела; во втором слое. На основе выполненной работы можно сформулировать выводы: 1. Найдено общее решение и определена асимптотика напряжений вблизи свободного от нагрузок берега трещины в двухслойной среде. Приведены решения для частных случаев расположения трещины. 2. Определены для рассмотренных случаев коэффициенты интенсивности напряжений и разработаны алгоритм и программа их вычисления для оценки процессов разрушения при решении прикладных задач. 3. Проанализированы три этапа разрушения многослойных структур и решены задачи для каждого из этапов разрушения. 4. Рассмотрено решение динамической задачи механики хрупкого разрушения и исследованы: Эта формула есть интегральное представление функции [Г\г)]-], и по существу, эквивалентна формуле Ханкеля, содержащей интеграл по контуру. 2пе,(, ""п б) y\t rj) = t T(\ - ф 0, , есАи / 0 т] є ] - l,l[. есАи t 0. Пусть параметр г\ ] U[ и равен гі=к+1, к - нуль или целое положительное число, то r (t,k +1) = 2яе 2 а)(0; = 0,1,2... Slk) = (-\)кк\Щ (0! = 1), где S(t)- дельта - функция Дирака. в) Найдено аналитическое выражение для коэффициента интенсивности для задачи типа Лэмба, которое имеет вид к{ - 4 //Re[(l - /)Мехр(-/«УГ)], 1 Г а , где М = —-—, dz, волновое число к, = —; / = 1,2, 4nv2mJ+lJ- Jk rz J с a JP ) - аналитические функции соответственно в полуплоскостях 1т А О и /ml 0. г) Рассмотрены некоторые частные случаи общего решения и доказано, что частное решение совпадает с решениями, рассмотренными авторами Эрдоганом Ф. и- Черепановым Г.П. е) Получено аналитическое выражение для коэффициента интенсивности в случае ударных нагрузок 4яст0с, K{(t) = SA/c Re(V - V O С[ЛІЩ Для бесконечно длинного импульса г, — оо: ClJ7TCi что соответствует мгновенному (при t to) образованию полубесконечного разреза в бесконечной упругой плоскости, подвергнутой однородному растяжению напряжением а0.; Для мгновенного импульса, если о) (t) = pS(t -10). В формулах сі - скорость продольных волн, Сг скорость поперечных волн. 5. Найдено решение задачи стационарного движения трещины в упругой полосе, путем ее сведения к краевой задаче Римана и определены коэффициенты интенсивности напряжений. 6. Определены общие решения для многослойных структур для различного расположения краевой трещины продольного сдвига относительно слоев. При этом краевые задачи сведены к решениям сингулярного интегрального уравнения первого, рода типа Коши и интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Таким образом, следует надеяться, что полученные в диссертационной работе результаты имеют как теоретический, так и большой практический интерес, и позволяют более глубже понять процессы разрушения хрупких материалов для многослойных структур.
Краевая трещина продольного сдвига с вершиной во второй упругой среде
Очевидно, для реальных материалов 8 должно быть значительно меньше предельного значения.
Аналогичные явления, колебательного характера в линейной теории упругости с малыми деформациями наблюдались и ранее (см.библиографию [22]).
В работах [24, 25] были сделаны попытки устранить "осциллирующую" особенность напряжений вблизи вершины трещины, находящейся на границе раздела двух однородных изотропных упругих сред путем введения зоны контакта. Рассмотренная в этих работах модель приводит к тому, что в задаче о растяжении плоскости с трещиной коэффициент интенсивности напряжений для трещин нормального разрыва Ki равен нулю, в то время как коэффициент интенсивности напряжений для трещины поперечного сдвига Кн отличен от нуля. Для этого были заданы в зоне контакта сжимающие и несингулярное нормальное напряжения. Для вышеуказанной цели в работе [26] предполагается новый подход, который не требует накладывать дополнительные граничные условия. Основное его отличие состоит в том, что зона контакта предполагается неизвестной и определяется из условия "осциллирующей" особенности напряжений при г = 0. При этом в точке а, где а - конец зоны контакта, перемещение стремится к нулю как 4г-а. Уравнение задачи с неизвестной зоной контакта после применения преобразования Меллина сводится к функциональному уравнению, которое затем решается в квадратурах. Для того, чтобы устранить "осциллирующую" особенность напряжений вблизи вершины трещины, находящейся на границе раздела двух различных сред, в работе [10] была предложена модель, согласно которой в конце трещины допускается существование "тонкой" зоны скольжения. Определенно условие, при выполнении которого задача становится корректной. Кроме того, процесс разрушения при этом определяется новой приведенной выше константой КЦ(2) .
В работе [2] для устранения "осциллирующего" характера трещину рассматривают как трещину скольжения, т.е. на берегах трещины принимается еще одно дополнительное условие: при в = ±к [ив] - 0. Приведем решение В.Д.Кулиева, Ю.Н.Работнова и Г.П.Черепанова [2], в котором "осциллирующий"1 характер напряжений и смещений устранен (у 0: первая среда Ei, vi; у 0 вторая среда Ез, v2)
Из (1.14) следует, что трещина скольжения существенно отлична от похожего и хорошо изученного случая трещины поперечного сдвига со свободными от нагрузок берегами, в частности, у трещин скольжения сохраняется особенность, присущая однородному телу, в отличие от трещин поперечного сдвига.
В работе [6] с помощью (1.14) и инвариантного Г-интеграла Черепанова-Райса, найден поток энергии Г в конце трещины скольжения Согласно [6], если в (1.15) Г=2угт , то Кц=К т). Здесь под yfm понимается необратимая работа, расходуемая на развитие трещины скольжения. В [6] предложена эксперименатальная методика для нахождения значения yrm и тем самым KiFA , многослойном материале Пусть упругая полоса 0 х Н, у со , составленная из п различных мате-риалов, жестко сцепленных вдоль плоскости х = Пк (К ZI 1, п). содержит краевую трещину (у = 0, 0 х 1), перпендикулярную свободной от напряжений границам х=0, х=Н и границам разделов x=hK . К берегам трещины приложено заданное нормальное напряжение бу = -Р(х) 0, (у-0, 0 х 1). Задача считается симметричной относительно плоскости у=0. На бесконечности напряжения отсутствуют, а смещения исчезают. -/9 Первая задача (задача А). I. Пусть 1 hi , где hi - толщина первого слоя (см.рис. 1.2). В этом случае решение задачи сводится к интегральному уравнению типа Фредгольма 2-го рода [ 4 ] Здесь K(x,t) - известная функция ([5]). Коэффициент интенсивности напряжений То (...) = То(1, 1/h,, h,/h2, ..., К,,2, К2,з, . . ., v„), Kj.i = Ej/E; 1 hi. Решение уравнения (1.16) в работе [5] сведено к решению системы неоднородных алгебраических уравнений mxm. Функцию То (...) можно вычислить для любого числа п слоев и комбинаций свойств слоев-материалов, тем самым решая задачу оптимального проектирования многослойной конструкции.
