Содержание к диссертации
Введение
1. Краткий обзор литературы 13
1.1 Долговечность ПТМ при эксплуатационных воздействиях 13
1.2 К вопросу выбора ядра ползучести и критерия разрушения 19
2. Построение наследственных моделей деформиования композитных материалов 24
2.1 Наследственная модель деформирования органопластика 24
2.1.1 Одноступенчатое и двухступенчатое типы нагружений 25
2.2 Наследственная модель деформирования углепластика с учетом накопления микроповреждений 31
2.2.1 Иерархический подход 32
2.2.2 Подход по гипотезе Качанова 40
2.3 Наследственная модель деформирования матрицы ПТМ 45
3. Определяющие соотношения для стареющего ПТМ 48
3.1 Общая постановка задач и 48
3.2 Упрощенные определяющие соотношения для стареющего ПТМ 51
4. Построение структурно-имитационной модели пленочно-тканевого композита 58
4.1 Геометрия представительного элемента ПТМ 58
4.1.1 Структура ПТМ 58
4.1.2 Геометрическая модель ПТМ 60
4.1.3 Геометрия плоской задачи 62
4.2 Применение МКЭ 65
4.2.1 Дискретизация области 65
4.2.2 Основные соотношения МКЭ 67
4.2.3 Матрица упругих постоянных для плоского деформированного состояния 69
4.3 Упругая задача 73
4.3.1 Тестовые задачи 73
4.3.2 Сходимость численного решения упругой задачи 74
4.3.3 Влияние шага плетения 76
4.3.4 Влияние амплитуды основы 78
4.3.5 Задача старения 79
4.4 Вязкоупругая задача 80
4.4.1 Алгоритм численного решения 80
4.4.2 Модельные вязкоупругие задачи 86
4.5 Нелинейная вязкоупругая задача с учетом накопления микроповреждений 91
4.5.1 Алгоритм численного решения 91
4.5.2 Тестовые задачи с учетом процесса накопления микроповреждений 97
4.6 Вязкоупругая задача с учетом накопления микроповреждений и влияния ультрафиолета 99
4.6.1 Упрощенные определяющие соотношения для стареющего ПТМ 99
4.6.2 Алгоритм численного решения 101
4.6.3 Сходимость задачи 103
4.7 Визуализация графиков распределения интенсивности напряжений сг, параметра поврежденности (О и уровня фотодеструкции Wu 105
5. Численные эксперименты 115
5.1 Постановка задач и 115
5.2 Исследование долговечности ПТМ при варьировании геометрических параметров структурных составляющих 116
5.3 Исследование долговечности ПТМ при варьировании механических характеристик структурных составляющих 123
Заключение 134
- К вопросу выбора ядра ползучести и критерия разрушения
- Подход по гипотезе Качанова
- Применение МКЭ
- Нелинейная вязкоупругая задача с учетом накопления микроповреждений
Введение к работе
*" "*
Актуальность темы. Конструкции из пленочно-тканевых материалов (ПТМ), с появлением новых полимерных материалов получили свое второе рождение. Невысокие капитальные затраты, малая материалоемкость, мобильность и быстрота монтажа сооружений из ПТМ (тентовые и пневматические конструкции) позволяют весьма эффективно использовать их в сельском хозяйстве, в освоении новых промышленных районов, в военной технике и гражданской обороне.
ПТМ представляет собой композит с тканой армирующей основой из высокопрочных синтетических нитей и пленочного покрытия, из эластомеров или термопластов, которые служат для защиты армирующей основы от воздействия атмосферных факторов и придания воздухопроницаемости материалу.
Определенные трудности в развитии мягких конструкций были связаны с недостаточно полным представлением об эксплуатационных свойствах ПТМ. Вследствие этого материалы в сооружениях часто использовались неэффективно или к ним предъявлялись явно завышенные требования, что давало повод для негативной оценки конструкций из ПТМ в целом.
Анализ опыта применения мягких конструкций показывает, что в отличие от традиционных сооружений, наибольшая эффективность их использования определяется не столько максимальным, сколько экономически обоснованным оптимальным сроком службы. В связи с этим возникает проблема создания ПТМ не только с максимально возможной, но также с заранее заданной долговечностью в конкретных условиях эксплуатации. На сегодняшний день, одной из важнейших является оценка долговечности тканевых композитов с учетом старения материала под действием атмосферных факторов, температуры и ультрафиолетового облучения.
Для оценки длительной прочности данного типа материалов необходимо знать напряженно-деформированное состояние (НДС) каждой компоненты композита в масштабе элементарной ячейки ткани. Очевидно, из-за малости размеров поперечного сечения материала ПТМ (0,8-3 мм) решить эту проблему только методами и средствами натурной тензометрии или другими эмпирическими методами не представляется возможным. Очевидно, что для создания оптимальных структур, а через это оптимальных эксплуатационных свойств, необходима разработка структурно-имитационных моделей ПТМ адекватно моделирующих реальный материал. Создание такого рода моделей возможно только при использовании численных методов, ориентированных на современные компьютеры с их развитой системой визуализации. Под термином структурно-имитационная модель подразумевается компьютерная конечно-элементная модель элементарной ячанки композита, в которой варьируются
«WgSffll
——№=г—
При наличии такой модели с помощью средств вычислительного эксперимента проектировщику предоставляется возможность активно вмешиваться в "жизнь" материала. Такая интеллектуальная игра с компьютерным двойником объекта позволяет формировать новые структуры ПТМ, планировать натурные эксперименты и находить новые пути оптимизации структуры и эксплуатационных свойств композита.
Цели работы:
-
На основе обработки серии экспериментов, проведенных на армированных полимерных композитных материалах (КМ), построить математическую модель поведения этих материалов с применением соотношений теории наследственной упругости с учетом накопления микроповреждений, старения и деструкции материала под действием ультрафиолетового облучения.
-
Разработка конечно-элементной модели элементарной ячейки ПТМ для оценки ее долговечности.
-
На разработанной компьютерной структурно-имитационной модели ПТМ провести численные эксперименты, и выявить закономерности поведения ПТМ, его долговечности на основе варьирования геометрических и механических параметров.
Научная новизна:
-
Разработана модель деформирования композитного материала, учитывающая вязкоупругие свойства материала и процессы накопления в нем микроповреждений и фотодеструкции.
-
Разработана методика расчета и программное обеспечение, позволяющие решать новый класс задач по исследованию НДС и оценке долговечности ПТМ с учетом старения, ползучести, накопления микроповреждений и фотодеструкции материала.
-
Закономерности поведения ПТМ в виде зависимостей его долговечности от геометрических и механических характеристик фаз ПТМ.
Практическая ценность. Методики и программы, предлагаемые в данной работе, могут быть использованы для расчета реальных ПТМ. Созданная компьютерная структурно-имитационная модель позволит инженерам и технологам проектировать ПТМ с оптимальными структурами, свойствами и долговечностью.
Обоснованность и достоверность обеспечивается корректностью постановки задач, применением строгих математических методов, сходимостью численных решений, согласованностью их в некоторых частных случаях с известными аналитическими решениями.
На защиту выносятся:
1. Построение математических моделей деформирования полимерных КМ с применением соотношений теории наследственной упругости с учетом
накопления микроповреждений, старения и деструкции материала под действием ультрафиолетового облучения.
-
Методика расчета НДС и оценки долговечности элементарной ячейки ПТМ с учетом старения, ползучести, накопления микроповреждений и фотодеструкции.
-
Результаты численных экспериментов, полученных при помощи разработанной методики.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях и семинарах. В том числе: на итоговых научных конференциях Казанской государственной архитектурно-строительной академии (2001-2005 г.); Межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара. 2003 г.); XX международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003г); Научно-практической конференции-выставки по результатам реализации в 2003 г. Межотраслевой программы сотрудничества Минобразования РФ и Спецстроя РФ «Наука, инновации, подготовка кадров в строительстве» (Москва 2003 г.).
Іїубликации. ТТо теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 148 страниц, включая 16 таблиц, 63 рисунка и список литературы из 131 наименования.
Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Каюмову Рашиту Абдулхаковичу за постоянное внимание, содействие и помощь, оказанные на всех этапах работы, научному консультанту, кандидату технических наук, доценту Сулейманову Альфреду Митхатовичу, а также коллективу кафедры «Сопротивления материалов и основ теории упругости» Казанского государственного архитектурно-строительного университета за предоставленные, и столь ценные в период выполнения диссертации материалы и консультации.
К вопросу выбора ядра ползучести и критерия разрушения
Класс материалов, которые по своим механическим свойствам могут рассматриваться как наследственные, чрезвычайно широк. К ним относятся композитные материалы, изготавливаемые на полимерной основе, полимеры, бетон, горные породы и др. Принцип наследственности является одним из фундаментальных принципов естествознания. Теоретические основы этого принципа в механике были сформулированы Больцманом и получили теоретическое развитие в работах Вольтерра. Развитие механики наследственных сред, как ветви механики деформируемого твердого тела, связано с именами Работнова Ю.Н., Ильюшина А.А. , Победри Б.Е., Арутюняна Н.Х., Бугакова И.И , Гольдмана А.Я., Даринского Б.М., Мешкова СИ., Думанского A.M., Каминского А.А., Колтунова М.А., Ржаницына А.Р., Розовского М.И. , Суворовой Ю.В., Уржумцева Ю.С., Ферри Дж., Кристенсена Р. и др. Преимущество определяющих уравнений наследственного типа, записываемых в интегральной форме, заключается в возможности учета влияния истории нагружения, температуры и ряда других факторов. В связи с этим обстоятельством они могут использоваться для описания механического поведения при различных режимах нагружения, в частности, ползучести, релаксации, скоростного, циклического и других режимов переменного во времени нагружения. Материал, описываемый такими уравнениями, может рассматриваться как динамическая система, определяемая рядом взаимосвязанных материальных функций, таких как длительные модули, длительные податливости, функции ползучести и релаксации, комплексные модули, спектры ползучести и релаксации. Взаимосвязь вышеупомянутых функций изучалась в трудах Работнова Ю.Н. [86-88], Ильюшина А.А. и Победри Б.Е. [50], Арутюняна Н.Х. [10], Бугакова И.И. [19], Гольберга И.И. [31], Колтунова М.А. [65], Ржаницына А.Ф. [92-93], Розовского М.И [96-97], Ферри Дж. [126], и др. Выбор ядер и методы определения параметров определяющих уравнений наследственной среды рассмотрены в работах Гольдмана А.Я [33], Екельчика B.C. [43], Колтунова М.А. [65], Маньковского В.А., Сапунова ВТ. [73], Пестренина В.М., Пестрениной И.В. [82], Работнова Ю.Н. [86-88], Работнов Ю.Н., Паперник Л.Х., Степанычев Е.И. [89], Розовского М.И. [96], Скудры A.M., Булавса Ф.Я., Роценса К.А. [103] и др. Выбор типа ядра производят из ограниченного набора известных ядер, В некоторых случаях отдают предпочтение простым экспоненциальным ядрам или их комбинации, или ядру Абеля как степенной функции (см. Пестренин В.М., Пестренина И.В. [82], Скудра A.M., Булаве Ф.Я., Роценс К.А. [103]).
Более сложные ядра сочетают в себе свойства простых и позволяют в некоторых случаях более точно описывать реологию материала. Их рассмотрение проводилось в работах (см. Гольдман А.Я. [33], Екельчик B.C. [43], Работнов Ю.Н. [86], Розовский М.И. [96], Скудра A.M., Булаве Ф.Я., Роценс К.А. [103]). Определение параметров определяющих уравнений, как правило, проводят путем аппроксимации результатов испытаний и соответствующего вида определяющего уравнения (Суворова Ю.В., Финогенов Г.Н., Машинская Г.П., Васильев А.В. [112]), либо с использованием алгоритма минимизации ошибки (Работнов Ю.Н. [86], УржумцевЮ.С[123]), Наследственные определяющие соотношения для описания реологии при одноосных, переменных во времени нагрузках, рассматривались в работах Бугакова И.И. [19], Работнова Ю.Н. [86]. В серии работ Суворовой Ю.В. с соавторами (Суворова Ю.В., Думанский A.M., Добрынин B.C., Машинская Г.П., Гладышев В.В. [107]; Суворова Ю.В., Сорина Т.Г., Викторова И.В., Михайлов В.В. [108]; Суворова Ю.В., Сорина Т.Г., Гуняев Г.М. [109]) с помощью ядра Абеля в определяющем уравнении проведено исследование влияния скорости нагружения на характер кривых деформирования углепластиков и органоп ласти ков. Использование достаточно простого ядра Абеля позволило получить явное выражение определяющего уравнения. Для более сложных режимов нагружения получаются сложные выражения, иногда выражаемые через специальные функции (Колтунов М.А. [65], Работнов Ю.Н. [86]). Для более сложных ядер, даже для описания процессов ползучести и релаксации уже нельзя обойтись без использования табуляции интегралов, входящих в определяющие уравнения. Табуляция и графические построения для описания ползучести и релаксации приводятся в работах Колтунова М.А. [65], Работнова Ю.Н, [86]. В настоящее время современные системы аналитических и численных вычислений, на ПК позволяют проводить вычисления невозможные в недалеком прошлом. С их помощью стало возможно получать числовые оценки сложных аналитических выражений и проводить соответствующие графические построения. Учет нелинейности в теории наследственной упругости с помощью нелинейного функционала в виде ряда кратных интегралов рассматривался в работах А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри [50], Работнова Ю.Н. [86]. В связи со сложностью их практического использования и неустойчивостью расчета их параметров в работах Работнова Ю.Н. [88], Розовского М.И. [98] были предложены нелинейные определяющие уравнения, включающие дополнительные функции, вид и параметры которых должны определяться из опытных данных. Наиболее удобным для практического использования оказалось уравнение Работнова, учитывающее нелинейность с помощью функции мгновенного деформирования. В работе Образцова И.Ф., Яновского Ю.Г. [76] было предложена нелинейная наследственная модель, в которой определяющие параметры ядра ползучести являются функциями. Теория накопления повреждений, разработанная Работновым Ю.Н. [88] и Качановым Л.М. [57] явилась основой для получения ряда критериальных соотношений длительного разрушения различных материалов. Для полимеров и композитов получили распространение критерии разрушения, в которых накопление напряжений описывается наследственными соотношениями. В работах Вульфсона С.З., Бобряшовой В.М. [26]; Ильюшина А.А., Победри Б.Е. [50] были предложены критерии разрушения такого типа.
Вышеназванные критерии объединены условием нормирования повреждений, означающим, что разрушение происходит в момент времени, когда уровень накопленных повреждений достигает предельного значения, равного единице. Суворова Ю.В. [105] предложила критерий, связанный с определяющим уравнением наследственного типа. В отличие от других подобных критериев, данный критерий характерен тем, что уровень повреждений в момент разрушения ограничен, но не нормирован. Разрушение материала происходит в момент времени, когда напряжения, рассчитанные на неповрежденное сечение, достигают некоторого критического значения, равного некоторой константе, которой придается смысл прочности бездефектного материала. В работах Суворовой Ю.В. [104,106], Суворовой Ю.В., Викторовой И.В. Машинской Г.П. [110-111] критерий разрушения (см. Суворова Ю.В. [105]), основанный на наследственном учете накопления повреждений, был использован для описания процессов накопления повреждений и оценки предельного состояния угле- и органопластиков при длительном статическом и скоростном нагружении. Рассматривая смешанное разрушение металлов, Качанов Л.М. [58] высказал предположение о том, что механизм процессов ползучести и разрушения различен, то есть образование трещин не влияет на процесс ползучести. В уравнении ползучести величина поврежденности материала не фигурирует и это уравнение интегрируется независимо от нее. В монографии Овчинского А.С. [77], посвященной структурно-имитационному моделированию микро- и макромеханизмов разрушения, приведены структурно-дискретные модели и алгоритмы имитации на ЭВМ процессов разрушения при длительных постоянных и циклических нагрузках. Выводы Обзор литературы выявил следующее: 1. Научные исследования в области сопротивления современных материалов длительным воздействиям, базируются на фундаментальных принципах механики и отвечают современным практическим требованиям. 2. Ядро Абеля достаточно хорошо описывает поведение полимерных композиционных материалов. 3. В интервале эксплуатационных нагрузок полимерные композиционные материалы ведут себя как нелинейные наследственно-упругие материалы. 4. Существуют несколько подходов к представлению нелинейных ядер ползучести.
Подход по гипотезе Качанова
Рассматривая смешанное разрушение для металлов, Качанов высказал предположение о том (см. Качанов Л.М. Щ), что образование трещин не влияет на процесс ползучести, следовательно, в уравнении (2.2.1) величина со не фигурирует и это уравнение интегрируется независимо от уравнения для поврежденности (2.2.7). В пользу такой гипотезы автор высказал следующие соображения. Механизм процессов ползучести и разрушения, в общем, различен. Данную гипотезу можно обобщить и для полимеров. Можно предположить, что в процессе ползучести макромолекулы начинают раскручиваться, но сами эти молекулы не накапливают микроповреждений, то есть вязкое течение развивается по телу макромолекулы, а хрупкое разрушение — по связям между этими молекулами. С другой стороны, если влияние трещин на ползучесть имеется, то кривые ползучести, по которым устанавливаются уравнения ползучести, отражают суммарный эффект. Можно записать данную гипотезу для нашего случая в следующем виде где є1- деформация, отвечающая за ползучесть, є " -деформация, отвечающая за накопление микроповреждений. Предполагается, что простейшее выражение зависимости є от б) имеет вид: Для f ,как и ранее, принимается выражение (2,1.1). Тогда получим следующее выражение: Следуя вышеприведенной методике, подстановкой ai и є, в (2.2.15)-(2.2.19) можно получить систему нелинейных алгебраических уравнений относительно C,abn,s,k, которая записывается в следующей форме: Так же как и для одноступенчатого нагружения, предварительна для обеспечения условий (2.1.2) сделана замена искомых величин: Учитывая (2.2.21) можно записать выражение для квадратичной невязки: Путем минимизации р2 получены искомые константы st,aitn,s,k. Далее построены графики зависимости є =sy{t). В данном случае так же точками изображены экспериментальные данные, а линиями - расчетные кривые (см.рис.2.2.6урис.2.2.7,рис.2.2.8). Исследовано влияние различных начальных приближений для параметра п на результаты расчетов (см. рис.2.2.6, рис.2.2.7, рис.2.2,8). Различие в результатах можно объяснить или недостатками метода минимизации, или тем, что при минимизации невязки р1 обнаружено множество локальных минимумов. Заключение Были обработаны экспериментальные данные для пяти участков нагружения оболочек из углепластика с углом намотки нити 25а. Экспериментальные данные таковы, что по всем участкам нагружения действовало одно и то же напряжение.
Построена математическая модель поведения углепластика с учетом накопления микроповреждений по двум подходам: иерархическому, где учтена возможность того, что степень накопления микротрещин влияет на процесс ползучести и по гипотезе Качанова, где используется предположение о том, что параметр поврежденности не входит в уравнение ползучести, то есть механизм процессов ползучести и разрушения, в общем, различен. Построены соответствующие предложенным подходам графики зависимости деформации от времени, аппроксимирующие экспериментальные данные. Попытка описать процесс деформирования с помощью линейных соотношений теории наследственности приводит к большим невязкам между экспериментальными и расчетными значениями деформаций. Использование теории накопления микроповреждений позволяет значительно лучше описать экспериментальные результаты. С помощью иерархического подхода хорошая аппроксимация экспериментальных значений удалась лишь на первых трех участках нагружения. По гипотезе Качанова теоретические кривые наиболее близки к экспериментальным точкам на всех пяти участках нагружения. В данном пункте приводятся результаты обработки экспериментальных данных на ползучесть пленочного покрытия из ПВХ (поливинилхлорида). Обработаны данные для 5 экспериментов с одним участком нагружения с различным напряжением. Напряжения представлены в таблице 2.3.1 Обработаны данные 5 экспериментов для одноступенчатого нагружения материала матрицы ПТМ. Каждому эксперименту соответствует свое напряжение. Для построения модели была применена нелинейная теория наследственности, В качестве нелинейного ядра использована модификация ядра Абеля, в которой принималось, что С, а зависят от напряжений. Выводы Поведение пленочного покрытия ПТМ достаточно хорошо описывается соотношениями нелинейной теории наследственности с помощью модифицированного ядра Абеля. В главе 3 построены структуры определяющих (физических) соотношений для компонент ПТМ, связывающих статические, кинематические и структурные параметры материала, уравнения кинематики и динамики конструкции. При выборе структуры определяющих соотношений применены известные экспериментальные факты относительно полимерных материалов используемых для матрицы ПТМ. Во-первых, наличие у них вязкоупругих свойств. Поведение полимеров достаточно хорошо описывается соотношениями теории наследственной упругости.
В данной работе эти соотношения считаются нелинейными, поскольку линейный закон можно использовать при не очень больших уровнях напряженного состояния. Рассмотрим сначала вопрос об определяющих соотношениях для полимерной матрицы ПТМ. С большой точностью ее можно считать изотропной. Определяющие соотношения для стареющего вязкоупругого материала обычно принимаются в следующем виде: здесь о, є - векторы, составленные из компонент тензоров напряжений и деформаций, S, И - матрицы, составленные из компонент тензоров податливости и ядра ползучести, / - время, Т — температура, а , Wu — некоторые параметры процесса деформирования, v,... - структурные параметры, например, типа удельного объема различных добавок-модификаторов, регулирующих механические и эксплуатационные характеристики матрицы ПТМ (пластификаторы, наполнители, стабилизаторы и т п.). Для определенности модели из всевозможных параметров процесса рассмотрим следующие. Во-первых, будем использовать параметр поврежденное & , который описывает накопление в материале дефектов типа микротрещин, микропор. В общем случае со, аналогичный параметру Работнова — Качанова [5t5, является тензорной величиной. Для него можно использовать определяющие соотношения, как в дифференциальной форме, так и наследственного типа. Хотя процесс образования микроповреждений сопровождается, как правило, частичным «залечиванием» дефектов, при активном нагружении можно ограничиться кинетическими уравнениями первого вида do Idt = П(ст,of tT,fVu,v,...),.- , (3.1.2) Если же после прекращения внешних воздействий доля залеченных микроповреждений будет достаточно велика в сравнении с накопленными (в исследуемый период времени), то целесообразно применять соотношения наследственного типа. Далее, под воздействием внешних несиловых агрессивных воздействий, в частности, ультрафиолетового облучения, происходят фазовые превращения и изменения механических свойств полимерной матрицы ПТМ, которые назовем деструкцией материала (от воздействия ультрафиолета - его фото деструкцией). Далее, в результате вторичных реакций происходит распространение этого процесса - диффузия деструкции в толщу материала в некотором слое высоты hw, который идет со стороны поверхности, подверженной агрессивным воздействиям. На поверхности появляются микротрещины, которые также со временем растут, что, в свою очередь, вновь ведет к увеличению высоты слоя hw. В связи с этим введем в рассмотрение (в дальнейшем для определенности будем рассматривать лишь процесс облучения) скалярный параметр Wu который назовем уровнем фотодеструкции, считая его пропорциональным интенсивности облучения у.
Применение МКЭ
Основная идея МКЭ состоит в том, что искомую функцию, такую как температура, давление, перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых элементами. Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг к решению задачи. Дискретизация области включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. В данной работе в качестве подобласти, взят шестиузловой треугольный элемент второго порядка (см. рис 4.2.1), При исследованиях были использованы конечные элементы с различным расположением точек интегрирования, как показано на рис.4.2. la) и рис. 4.2.16). Координаты этих точек интегрирования представлены в таблице 4.2.1. Вторым шагом процесса дискретизации области является нумерация элементов и узлов. В каждом конечном элементе непосредственно вводится локальная, а во всем теле — глобальная нумерация узлов. На рис.4.2.1а) и на рис.4.2.16) показана введенная в данной работе локальная нумерация узлов отдельного элемента. В каждом узле показаны перемещения по двум направлениям и - по горизонтали, v - по вертикали. Чтобы избежать наведенную анизотропию при решении задачи, а также для сравнения сходимости численного решения, исследуемая область была разбита на треугольные элементы двумя способами как показано на рис.4.2.2. Па конечно-элементной сетке область текстильной основы (согласно выражениям (4.1.1)-(4.1.4)) выделяется с помощью наделения точек интегрирования механическими свойствами, отличными от свойств матрицы. Такой подход фактически имитирует неровности, свойственные границе стыковки нити с матрицей.
Аппроксимировать поверхности нити гладкой линией не имеет смысла согласно следующим соображениям: 1) В реальности сами нити (основа и уток) представляют собой крученую пряжу. Это не гладкие нити, а ребристые. 2) Ввиду технологических дефектов имеют место непроклеи, а также неравномерная пропитка нитей на границе стыковки с матрицей на различную глубину. 4.2.2 Основные соотношения МКЭ После того, как реальная конструкция представлена расчетчиком в виде ансамбля (сетки) конечных элементов, необходимо рассчитать характеристики жесткости всех элементов и действующие в них усилия, объединяя полученные данные в систему уравнений равновесия в узлах (точках пересечения элементов). В результате решения этой системы на ЭВМ определяют перемещения узлов, по которым в соответствии с программой рассчитывают деформации и напряжения в каждом из конечных элементов. В основе МКЭ лежит уравнение равновесия в матричной форме: где [К]- глобальная матрица жесткости, {U}- вектор поля узловых перемещений, {Р} вектор внешних узловых сил. Поле перемещений позволяет найти в теле распределение поля деформаций, а затем поле Выражения для a.,ai,bJ,biicJ,ck получаются путем циклической перестановки индексов (/ — j - к - i). Здесь индексы /, j, т определяют соответственно нечетные узлы 1,3,5 в конечном элементе (см. рис.4.2.1). Координатные переменные Lt характеризуется следующими свойствами: а) L{ равна единице в одном определенном узле и обращается в нуль во всех других узлах т.е. б) имеет место соотношение: Воспользуемся матричными обозначениями для вектора перемещений каждого узла в элементе, который состоит из двух компонент перемещения — горизонтального - и и вертикального - v. С помощью матрицы функции формы [N] и вектора поля узловых перемещений {U} этот вектор представим в виде: Известно, что при эксплуатации, в результате длительного воздействия атмосферных факторов (время, влага, температура, ультрафиолет и др.) модуль упругости в пленочно-тканевом материале меняется (Отчет по НИР [&]). Согласно соотношению (3.2.5), полагая /?,Л,,/0 равными нулю, в данной модели модуль Юнга Е принимался в следующем виде: здесь Ет - некоторая постоянная величина, t- текущее время, gt,g2-функции времени и параметров процесса. Для каждой области ( матрица, основа, уток, прослойки, светозащитные слои) в исследуемой структурной ячейке вводится свой переменный модуль упругости со своими константами. В упругой задаче, а также во всех нижеследующих, численные эксперименты проводились при помощи двух программ для ЭВМ, написанных в пакете Fortran Power Station. Первая из них основана на МКЭ, где используются соотношения для плоской деформации. Вторая программа, также основанная на МКЭ, решающая задачу о плоском напряженном состоянии использовалась в основном для тестирования. Построение графиков, а также распределение интенсивности напряжений в структурной ячейке ПТМ производилось при помощи прикладного пакета Mathematica 4.0. Для численного расчета упругой задачи использовался плоский треугольный элемент (см. рис.4.2.1) как с тремя, так и с семью точками интегрирования. Разбиение области на конечноэлементную сетку производилось как показано на рис.4.2.2. Для проверки решения, протестированы простейшие задачи следующего типа: задача об осевом растяжении стержня (рис.4.3.1а)), а также задача об изгибе балки (рис.4.3.16)), В этих задачах материал предполагается изотропным с постоянным модулем упругости.
Численное решение этих задач по перемещениям и напряжениям отличались от решения сопротивления материалов на 1%-2%. При тестировании использовалось от 100 до 200 конечных элементов. Для исследования процесса сходимости численного решения область структурной ячейки композита была разбита на треугольные элементы двумя способами, как показано иарис,4.2.2а) и 4.2.26) На торце при у=Ь вычислялось среднее напряжение rj=hi которое определяется как: здесь ] F. - равнодействующая сил, образующихся в точках интегрирования на торце у=Ь и направленных по оси у; а - высота торца при у=Ъ. По сг Л определялась сходимость численного решения. Геометрические характеристики приведены в таблице 4.3.4. Механические характеристики представлены в таблице 4.3.5 Ниже приведены графики зависимостей безразмерного среднего напряжения на торце у=Ь тс и /""""р.от количества элементов в структурной ячейке тканевого композита. Для разбиения области по типу "ромбов", показанному на рис.4.2.2а), график сходимости представлен на рис.4.3.2а). Сходимость решения для конечно-элементной сетки по типу "лент" {рис.4.2.26) ) можно увидеть на рис.4.3.26). При изменении количества конечных элементов в структурной ячейке композита форма контуров нити незначительно меняется, поэтому и сходимость имеет небольшую осцилляцию. Отличие решений для разбиения области по типу "ромбов" и по типу "лент" составляло не более 1.4%. Проанализировав полученные зависимости на рис.4.3.2а) и на рис. 4.3.26) можно сделать вывод о том, что сетка по типу "лент" наиболее удачна. Так, при использовании структурной ячейки композита по типу "ромбов", решение сходилось начиная с количества 10000 конечных элементов, а при разбиении структурной ячейки по типу "лент", сходимость начиналась с 6000 конечных элементов. Поэтому дальнейшие расчеты производились с разбиением области на треугольные конечные элементы по типу "ленты". После тестирования были проведены некоторые исследования структурной модели ПТМ в упругой постановке. Сначала была рассмотрена задача с разделением области только на основу, уток и матрицу, т.е. при решении упругой задачи в геометрической модели ячейки пленочно-тканевого композита прослойки отсутствовали, поэтому контакт пленочного покрытия с нитями основы и утка предполагался жестким. Материал матрицы, а также нити считались линейно-упругими. Каждой области характерны свои механические характеристики: постоянный модуль упругости ( ", —5 ) и коэффициент Пуассона (/Г\// ,// ). Краевые условия при расчете плоского деформированного состояния структурной ячейки принимались следующими: на кромке АВ - отсутствие смещений вдоль оси у; на кромке CD-перемещение вдоль оси у на 1 %,; ВС и AD- кромки свободные от нагрузок; в точке А отсутствуют смещения вдоль оси х и оси у.
Нелинейная вязкоупругая задача с учетом накопления микроповреждений
Для параметра поврежденное изотропного материала со используется кинетическое уравнение, согласно (3.1.2) в следующем виде: здесь а. - интенсивность напряжений. Начальное условие для со имеет вид: Полная деформация для композита определяется по следующему выражению: где -полная деформация, ес- деформация ползучести, е- упругая часть деформации, еш - деформация, возникающая от наличия поврежденности. Будем следовать подходу Качанова JSfl, по которому, накопление микроповреждений не влияет на процесс ползучести, т.е. механизм процессов ползучести и разрушения, в общем, различен (см. выше Главу 2, раздел 2.2.2). Деформация ползучести єс имеет следующий вид: Согласно выражению (4.4.3) матрицы D и Я пропорциональны. Функция А.( см. формулу (4.4.3)) также принималась в виде обобщения ядра Абеля: Здесь а. - интенсивность напряжений, С,а определялись из экспериментов. Эти постоянные предполагаются различными для каждого компонента в структурной ячейке композита. Следует отметить, что в отличие от раздела 4.4, характеристики С,а представляют собой нелинейные функции по аргументу аЛ. Для обеспечения условий (4.5.5) делается следующая замена искомых величин: Применяя для левой части выражения (4.5.1) формулу численного дифференцирования методом конечных разностей, можно записать на «-ом шаге по времени: В данном случае для параметра / по аналогии с формулой (2.2.3) (см. Главу 2) принято: здесь B aim(o, sa определяют свойства материала и являются постоянными величинами, полученными из экспериментов. Следует отметить, что для каждой области (матрица, основа, уток, прослойки, светозащитное покрытие) в композите эти характеристики различны. Преобразуя (4.5.7), получено: Предположение о том, что поврежденность описывается одним параметром о), представляет собой гипотезу о том, что тело заполнено порами сферической формы. Увеличение о) означает увеличение плотности этих пор. Отсюда следует, что часть деформации, вызываемая поврежденностью тела должна отличаться от упругой части деформации лишь по амплитуде.
Это означает, что є" = se. Следовательно, зависимость є от о в векторной форме можно , например, принять в виде: здесь z, кт - некоторые постоянные величины, которые различны для каждой области (матрица, основа, уток, прослойки, светозащитное покрытие) в структурной ячейке ПТМ. В выражении (4.5.10) {а}- вектор напряжений, [О]" - матрица, обратная матрице упругих постоянных для плоского деформированного состояния, имеющая следующий вид: Опишем процедуру численного расчета. Дискретизация задачи по пространственным координатам осуществляется методом конечных элементов, в качестве которых приняты шестиузловые треугольные элементы с квадратичной аппроксимацией перемещений (см, рис.4.2.1 б)). Для численного интегрирования по времени применялся модифицированный метод Эйлера. Разбиение области на треугольные элементы производилась по схеме рис.4.2.2 б) Аналогично разделу 4.4, в начальный момент времени деформация ползучести в композите считалась отсутствующей, а напряжения определялись из решения упругой задачи. Параметр поврежденности (о и деформация, отвечающая за накопление микроповреждений {є1 } также принимались нулевыми: Определив б)2, определяем согласно (4.5.10) вектор деформаций, отвечающий за накопление микроповреждений {є }г: Выражение для {єш}2 подставляем в (4.5.16) и получаем фиктивную силу{Р а}2. Вектор деформаций ползучести {с}2 определяем согласно (4.4.10), и дальше по нему из соотношения (4.5.15) получаем вектор {Р }2. Затем фиктивные силы {Р }2 и{Р" }2 подставляем в уравнение равновесия (4.5.14). Решая эту систему уравнений, определяем вектор узловых перемещений {/}2, а затем вектор напряжений в точках интегрирования Далее, при tm!K — t2 определяем {/}3по соотношению (4.4.11). Соотношение для {m}_, примет вид: Следуя вышеизложенному алгоритму, определяем вектор напряжений { г} и с помощью него - вектора деформаций {єс}4 и {w}4, и так далее, по аналогии продвигаясь дальше по времени, пока tmcK. не станет равным Т. В другие моменты времени tn(n = \,N \) вектор деформаций {єш)ІИ,, отвечающий за накопление микроповреждений примет вид: Для вектора деформаций ползучести {єс}п+і справедлива формула (4.4.12). Таким образом, по значению векторов {є 1} и {с}я+, определяется вектор узловых перемещений {/},+], и затем вектор напряжений {ег}я+]. Для проверки алгоритма и программы была рассмотрена задача о простом растяжении однородной полосы размерами їх] с постоянным поверхностным усилием Р/Ро=1, Р(і=1И. Аналитическое решение кинетического уравнения (4.5.1) имеет вид: Модуль упругости материала полосы Е-1Мпа, коэффициент Пуассона // = 0. Константы, входящие в выражение (4.5.9) принимались следующими:
Вся область разбита на 18 конечных элементов. Ползучесть в данной тестовой задаче отсутствовала, т. е. в ядре ползучести (4.4.4) следующие константы нулевые: шаг по времени равен: Так как напряжение по всей области полосы о"/сг0=1, а0 -\МПа то исходя из (4.5.23) , соотношение для параметра поврежденности (4.5.22) примет следующий вид: Из условия разрушения u) lf можно определить критическое время разрушения: Свойства ПТМ таковы, что при наличии повреждений скорость разрушения значительно увеличивается. Таким образом, предполагается, что если хотя бы в одной точке области имеет место условие (4.5.12), то начинается разрушение материала. Численное решение данной задачи дало следующие результаты: На данном этапе при построении математической модели учитывается облучение ПТМ ультрафиолетом. В соответствии с вышеизложенным (см. выражение (3.2.12) главы 3), определяющее соотношение для уровня фото деструкции WuQ на поверхности х=0, подвергаемой облучению в численных экспериментах принималось в виде: здесь у- интенсивность ультрафиолетового облучения, №ш,пы,тиъуы-константы, определяемые из экспериментов, сг/0 - интенсивность напряжений на поверхности х=0. В выражении (3.2.12) принято тт = 1. Соотношение для скорости проникновения фотодеструкции вглубь материала, согласно выражению (3.2.17) в главе 3, принято в следующем виде: где yh,Wuh,h(Jip,qh,nh,mh постоянные, которые также определяются из экспериментов. В выражении (3.2.17) полагаем:v = % УН —\ Закон распределения степени фото деструкции по глубине в расчетах считался линейным (см. соотношение (3.2.11)): На каждом шаге по времени для Waa использовалась аппроксимация по продольной координате: В численных расчетах, результаты которых приведены ниже, ограничивались квадратичным полиномом. Ф Таким же образом аппроксимируется глубина проникновения фотодеструкции hw: и интенсивность напряжений ег0 на поверхности х=0: Что касается параметра поврежденности, то для него определяющие соотношения по аналогии с приведенными в работе Работнова Ю.Н. 1, согласно (3.2.10) примем в виде: здесь B6),mat,sBi ,qv- некоторые постоянные величины, получаемые из экспериментов (для каждой области в композите они различны). 4,6.2 Алгоритм численного решения Опишем процедуру численного расчета. Полная деформация определяется по формуле (4.5.3). Дискретизация задачи аналогична разделу 4.5. Деформация ползучести { } определяется выражением (4.5.4) и соотношениями (4.4.3),(4.5.5),(4.5.6). В начальный момент времени деформация ползучести {єс} и деформация, вызванная накоплением микроповреждений {є"}, считались отсутствующими, параметр поврежденности в принимался нулевым, а напряжения определялись из решения упругой задачи. Скорость проникновения фотодеструкции вглубь композита и уровень фотодеструкции Wuu на поверхности х=0 равны нулю, и, следовательно, распределение фотодеструкции по глубине материала Wu от ультрафиолетового облучения в начальный момент времени отсутствует.
