Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Об известных закономерностях и математическом моделировании динамических процессов в сплошных средах 10
1.1. Об условиях возникновения и распространения простых волн в сплошных средах 10
1.2. Об условиях возникновения ударных волн 26
1.3. Волны напряжений в твердых сплошных средах 30
1.4. Задачи исследований ..41
Глава II. Математическое моделирование и численное исследование волновых процессов в твердых средах .44
2.1. Построение обобщенной модели грунтового массива при динамических воздействиях 44
2.2. Модель идеальной несжимаемой жидкости 50
2.3. Гидроимпульсная модель задачи о действии вертикального цилиндрического заряда выброса . 55
2.4. Об одном подходе к решению задачи распространения
ударной волны в твердой среде , "...67
2.5. Выводы 76
Глава III. Плоская пластическая волна разгрузки в неоднородной среде 78
3.1. Волны напряжений в пластичных средах 78
3.2; Модели исследования волновых процессов 79
3.3. Общие замечания и модель среды 84
3.4. Распространение плоской волны разгрузки, вызванной ударом жесткого слоя по поверхности полупространства 89
3.5. Выводы 96
Заключение .97
Литература.
- Об условиях возникновения ударных волн
- Волны напряжений в твердых сплошных средах
- Гидроимпульсная модель задачи о действии вертикального цилиндрического заряда выброса
- Модели исследования волновых процессов
Введение к работе
Невозможно представить себе современную науку без широкого применения методов моделирования вообще, и математического в частности. Моделирование находит применение в самых различных отраслях при решении конкретных научных и технических задач. Особенно актуальна роль метода моделирования в эпоху, когда происходит процесс синтеза знаний и автоматизации элементов умственной деятельности.
Бесспорно, что в глубоком синтезе наук важное место занимает математика, и роль математических методов в общей системе научных исследований и открытий возрастает. Хотя, и это следует подчеркнуть, важность значений экспериментальных исследований при этом не уменьшается.
Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер. Интенсивное вторжение математики во многие отрасли науки продолжается и по сей день. Основная причина этого заключается, по-видимому, не только и не столько в конкретных успехах математики за последние десятилетия, сколько в .осознании необъятных возможностей применения математики и в появлении возросших потребностей реализации этих возможностей.
Динамическое воздействие на твердые тела (удар, взрыв) представляет собой весьма сложное явление, включающее разнообразные физические процессы, такие как распространение ударных волн, разрушение материалов, неустановившееся движение среды. Изученность всех этих процессов к настоящему времени далека от завершения. Вместе с тем сфера прикладного применения энергии взрыва непрерывно расширяется, что в свою очередь сопровождается открытием новых физических или механических эффектов, возникновением новых научных проблем. Теоретическое изучение проблем механики взрывных процессов основывается на использовании достижений и методов математиіш, механики сплошных сред и других фундаментальных наук. Такой подход позволяет не только осуществить качественный анализ рассматриваемого явления, но и получить в ряде случаев соотношения, позволяющие провести инженерные расчеты максимальной простоты.
Метод математического моделирования взрывных проблем уже достаточно апробирован. Например, модель несжимаемой невязкой жидкости применительно к явлению кумуляции дает очень хорошее совпадение с экспериментами. С другой стороны, на основе той же модели были предложены принципиально новые схемы взрывания, такие как абсолютно направленный взрыв в грунте.
Целью настоящей работы является построение и исследование простейших математических моделей динамического деформирования сжимаемой пластической среды в плоских волнах напряжений. Данные исследования позволили решить ряд интересных задач, связанных с характером возникновения ударных волн нагрузки и разгрузки в однородных и неоднородных средах.
Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:
Построена обобщенная математическая модель грунтового массива при динамическом воздействии.
Получены соотношения с помощью жидкостной модели, для определения параметров вертикального цилиндрического заряда выброса в грунтах.
С использованием модели упрочняющегося жестко-пластического тела решена задача о взрыве плоского заряда в двухслойной среде. Для случая физически линейной среды был оценен вклад волны нагрузки по сравнению с распространяющейся затем волной разгрузки в величину окончательного смещения контакта полупространств. В случае нели- нейной модели среды определена координата Лагранжа места возникновения ударной волны из римановской волны нагрузки. Исследованы закономерности распространения плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде.
Актуальность темы диссертации состоит в том, что при все возрастающем требовании достижения максимальной эффективности использования энергии взрыва, зависящей от корректности принятой схемы процесса и точности, вытекающей из этой схемы, результатов расчета, необходимо усовершенствование существующих и разработка новых технологических схем.
Практическое значение работы заключается в возможности прикладного применения результатов исследований при расчете параметров зарядов в горнодобывающей промышленности.
Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием адекватных моделей и строгих математических методов решения, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление решения, и с результатами других авторов.
Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 108 страниц, в том числе 9 страниц использованной литературы, включающий 102 наименования.
В главе I изложено современное состояние теории ударных волн (волн сжатия) в различных средах. Несмотря на значительные трудности математического и технического характера, связанные с решением проблем, возникающих при динамическом воздействии на твердые среды, интерес исследователей к ним не ослабевает. Общие основы теории ударных волн и динамического деформирования различных сред заложены в работах А.Г. Багдоева, С.С. Григоряна, А.Н. Дремина, В.Н. Родионова, В.Н. Кондратьева,
В.В. Адушкина, Б.Д. Христофорова, Л.П. Орленко, К.П. Станюковича, Г.М. Ляхова, А.Д. Чернышева, D.R. Bland, R. Blum., G.E. Duvall, и целого ряда других исследователей. Этой теме посвящены научные статьи и монографии [2, 3,.10, 11,13, 44, 56, 57, 58, 75, 90, 95, 96, 97, 98, 99].
В данной главе рассмотрены условия возникновения и распространения простых волн в газах и математические модели, используемые для исследования этих процессов. Подробно проанализирован метод характеристик для волн сжатия и разрежения, а так же достаточно полно обсуждены условия возникновения ударных волн.
Значительное внимание уделено теории распространения волн напряжений в твердых сплошных средах и используемому при этом математическому аппарату.
Вопросам построения математических моделей твердых сред при динамическом воздействии на них посвящены работы С.С. Григоряна, В.Н. Николаевского, В.Н. Родионова, Н.В. Зволинского, А.С. Компанейца, Х.А. Рахматулина, Н.А. Алексеева, А.Я. Сагомоняна, Е.И. Шемякина, Э.И. Андрианкина, В.П. Корявова, В.М. Кузнецова, Д. Черри, Г. Броуда, Г. Купера, М.Л. Уилкинса и многих других. Результаты значительного числа исследований по построению математических моделей представлены в работах [14, 17, 20, 22, 23, 24, 26, 33, 63, 64, 65, 60, 66, 70, 79, 82, 91, 98].
Х.А. Рахматуллин [79], Б.А. Олисов [64] и в наиболее общем виде С.С. Григорян [23, 24, 36] к неводонасыщенным грунтам предложили модели упругопластических сред. С помощью последних решен ряд волновых задач, связанных с ударом и взрывом. Однако, не всегда расчеты, выполненные с использованием указанных моделей, соответствуют результатам экспериментов. Опыты показывают, что поведение грунта определяется не только нагрузкой, но и многими другими факторами [14, 17, 20, 82], которые в достаточно полном объеме не учитываются ни в одной модели, в том числе и в более, так называемых, совершенных моделях [64, 65].
В результате в главе II была построена обобщенная модель грунтового массива. Среда аппроксимировалась упруговязкопластической моделью, называемой телом Бингама-Шведова. При этом в случае решения плоских задач в качестве замыкающего уравнения состояния среды принимается условие, выражающее или закон трения Кулона на площадках скольжения, или условие прочности Мора. Для трехмерных задач используется условие пластичности Мизеса-Шлейхера, как более простое и аппроксимирующее условие Кулона-Мора. В представленных уравнениях обобщенной модели были сделаны два, довольно существенных, упрощения, а именно: приняты постоянными коэффициент вязкости и значение нижнего предела текучести. На самом деле коэффициент вязкости не является величиной постоянной, а меняется с изменением нагрузки и температуры. Непостоянство нижнего предела текучести связано с так называемым эффектом упрочнения. Однако и приведенных соотношений достаточно, чтобы показать полезность построения обобщенной модели, позволяющей провести достаточно полный качественный анализ процессов деформирования среды. Заметим, что этим практически и исчерпывается ее значение, поскольку сложная система уравнений обобщенной модели мало пригодна для получения количественных оценок. Отсюда и наличие многочисленных упрощенных моделей грунта, среди которых наибольшее распространение получила так называемая модель идеальной несжимаемой жидкости.
Впервые модель идеальной несжимаемой жидкости была применена М.А Лаврентьевым при решении задачи о кумулятивном заряде [50]. В последствии эту модель и ее разновидности применяли В.М. Кузнецов, О.Е. Власов, Е.Н. Шер, Э.Б. Поляк, Н.Б. Ильинский, А.А. Вовк, И.А. Лучко, А.В. Поташев, В.М. Булавацкий, В.И. Лаврик, Р.Б. Салимов и другие. Здесь следует отметить работы [16, 18, 30, 31, 32, 47, 48, 49, 51, 54, 55, 76].
Модель идеальной несжимаемой жидкости была использована нами для решения задачи о действии вертикального цилиндрического заряда вы- броса. Причем выбор этой модели был связан не только с ее относительной простотой, но и тем, что она достаточно адекватна тем процессам, которые имеют место в так называемой ближней зоне взрыва. В результате получено соотношение, связывающее между собой основные параметры одиночного вертикального цилиндрического заряда выброса.
Заметим, что жидкостная модель часто используется для решения задач механики взрывных процессов. Однако исследование волновых процессов с помощью модели идеальной несжимаемой жидкости не представляется возможным. Для решения задач такого рода применяются модели, рассматривающие среду как твердое деформируемое.тело. К ним относятся модели упругого, упруго-пластического, упруго-вязкопластического тела и т.д. В этой же главе была рассмотрена задача о соударении двух тел, причем одно из них находится в состоянии покоя, а другое, приобретя некоторую скорость, наносит по телу удар. Такая ситуация реализуется, например, при подземной разработке полезных ископаемых, когда отбойка массива, наносящего удар по зажимающей среде, осуществляется взрывным способом. Рассматривался только интервал времени, когда в среде существует римановская волна нагрузки. С помощью метода характеристик получено точное решение квазилинейного волнового уравнения при нулевых начальных и неоднородном краевом условиях. Решение позволило определить координату Лагранжа места образования ударной волны из простой волны нагрузки, а также оценить вклад волн нагрузки и разгрузки в величину остаточного смещения контакта полупространств. Заметим, что метод характеристик достаточно часто используется при решении динамических задач [27, 81].
Одним из интересных и наиболее трудных для моделирования и последующего решения являются задачи, связанные с волновыми процессами в неоднородных средах.
Вопросам динамики неоднородных сред посвящены работы В.А. Бабешко, О.Д. Пряхиной, Е.В. Глушкова, А.В. Павловой,
Ж.В. Зинченко, P.M. Ляхова, Р.А. Осадченко, Н.И. Поляковой. Результаты этих исследований можно найти в [6 - 9, 60, 61].
В главе ІЇЇ исследовано распространение плоской пластической волны разгрузки в неоднородной среде. Неоднородность среды заключалась в зависимости начального упрочнения и плотности от координаты Лагранжа. Рассмотрены случай возникновения из волны разгрузки волны нагрузки и случай, когда волна разгрузки омывает непрерывную неоднородность не вызывая при этом волны нагрузки.
Заключение настоящей диссертационной работы содержит основные результаты, полученные в ходе ее написания.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 7 публикациях [36 - 42], 5 из которых опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК. Отдельные положения работы докладывались и обсуждались на нескольких конференциях и семинарах, в том числе на 1-ой объединенной научной студенческой конференции факультета приіоіадной математики Кубанского государственного университета (Краснодар, 2001 г.), на втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Самара, 2001 г.), на научных семинарах кафедры математики и прикладной информатики КФ РГТЭУ (г. Краснодар, 2004 г.) и отдела механики природных процессов НИИ Механики МГУ (г. Москва, 2005 г.), на шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 2005 г.), на объединенном семинаре кафедр общей и прикладной математики Кубанского государственного технологического университета (г, Краснодар, 2005 г.).
Автор искренне признателен научному руководителю академику РАН В.А. Бабешко за постоянные консультации, профессорам А.Г. Гарушеву, Р.З. Камаляну и И.В. Яковлеву за полезные обсуждения работы.
Об условиях возникновения ударных волн
Итак, при распространении простой волны сжатия в конечном итоге возникает ударная волна, характеризующаяся бесконечно крутым фронтом.
Рассмотрим более подробно условия возникновения ударных волн. Пусть дано некоторое возмущение произвольной амплитуды, бегущее, для конкретности, в положительном направлении оси Ох. Найдём скорость распространения какого-либо заданного состояния среды. Напомним, что для простых волн все параметры состояния (р р,с) связаны со скоростью и однозначной функциональной зависимостью. Пусть в некоторый момент времени t, в точке хх имеет место и = и , с-с, которые должны удовлетворять полученным решениям
Найдём теперь точку х2, в которой будут наблюдаться те же значения її и с соответствующие моменту времени t2 tl. Очевидно, что точка х2 должна удовлетворять уравнению
Из (1.31) следует, что скорость перемещения заданного состояния среды есть її + с . Два каких-либо состояния, характеризуемые различными значениями и и с, будут распространяться с постоянными, но различными между собой скоростями. Вследствие этого возмущение не может распространяться, не изменяясь; точки, характеризующие параметры состояния среды, для которых и + с больше (например, гребни волны, т.е. места, где плотность максимальна), будут перемещаться быстрее, чем другие точки, для которых значения и + с соответственно меньше. Физически это объясняется тем, что в более сжатом газе скорость звука больше. Более сжатый газ имеет также большую массовую скорость, направленную в сторону распространения звука. В результате волна будет деформироваться: области сжатия (гребни волны) будут выдвигаться вперед, области разрежения будут, напротив, отставать от общего среднего движения газа - гребни волны будут становиться все круче, пока, наконец, фронт ее не станет вертикальным, что будет, соответствовать образованию ударной волны. Это явление и отражает пересечение характеристик (рис. 1.2).
Если, однако, рассчитать давление для более поздних моментов времени, то получаются многозначные функции, согласно которым одна и та же точка х может одновременно иметь три различных значения давления и плотности, что с физической точки зрения является абсурдным. Причина получения результатов, лишенных физического смысла, заключается в том, что исходные дифференциальные уравнения газодинамики, которые были использованы, справедливы лишь до момента возникновения разрывов. В самом деле, образование скачков, поверхностей разрывов (давления, плотности, температуры), означает изменение энтропии системы, а при выводе решений предполагалось ее постоянство. Возникновение разрывов приводит, таким образом, к повышению энтропии, т.е. к диссипации энергии и, следовательно, обуславливает сильное затухание волны. Ударная волна образуется там, где х =cHt, причем при данном х в момент образования ударной волны в волне сжатия и = 0. Поэтому минимальное время и место- образования ударной волны определяются уравнениями
Если поршень начал двигаться мгновенно (а - то) со скоростью и, то ударная волна образуется практически сразу при / = 0, х = О.
Твердые тела типа мягких и скальных грунтов (грунтов и горных пород) существенно отличаются по своим свойствам от газообразных и жидких тел. Отличаются они и от твердых тел типа металлы. Связано это прежде всего с многокомпонентностью грунтов. Изучение процесса движения грунтов и горных пород является более сложным, чем в таких средах, как воздух и вода. При динамическом воздействии возникают как пластическое деформирование, так и разрушение среды. В этой связи при ударном и взрывном нагру 31 жении грунтов и горных пород необходимо учитывать как прочность, так и их сжимаемость.
В каждой точке прочной среды напряженное состояние характеризуется симметричным тензором напряжения [19, 80] где ах, ау, СУ, - нормальные, %ху =тух, т12 =хгх туг =%2у - касательные напряжения на площадках, перпендикулярных к координатным осям x,y,z.
В каждой точке можно выделить такие три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют главные оси тензора напряжения, не зависящие от исходной системы координат x,y,z.
Нормальные напряжения сг,, о2, а3, которые действуют на этих площадках, называются главными нормальными напряжениями.
В общем случае при воздействий сил на твердое тело происходит как изменение формы тела, так и изменение объема (плотности) тела. При деформировании можно выделить те компоненты напряжений и деформаций, которые связаны с изменением объема (плотности), и те, которые ответственны за изменение формы тела
Волны напряжений в твердых сплошных средах
Практическая реализация энергии взрыва или удара сопряжена, как правило, с динамическим деформированием сред, обладающих различными свойствами: упругими, пластическими, вязкими. Отметим, что перечисленные свойства присущи в большинстве случаев всем телам. Однако степень выраженности этих свойств в различных средах различна. Именно поэтому при исследовании волновых процессов используются самые различные модели, значительная часть которых была рассмотрена в первой главе.
Можно показать, что все эти модели являются частными моделями обобщенной модели грунтового массива.
В общем случае реологическое уравнение состояния грунта, процесс деформирования которого протекает неоднородно во времени, представляется в виде двух уравнений [19] ,6,, ,8 )=0, (2.1) ф(стИї8а, ти,єм,0 = 0, (2.2) где ay, s,-, - девиаторы тензора напряжений и деформаций, соответственно; сг,7, s,j — девиаторы тензора скоростей напряжений и деформаций, соответственно; акк, Екк - шаровые тензоры напряжений и деформаций, ои, єи -шаровые тензоры скоростей напряжений и деформаций, соответственно, / -время.
Если процесс деформирования протекает однородно (влияние временных эффектов отсутствует), то из уравнений (2.1) и (2.2) исключается параметр t.
В классической теории упругости и пластичности принимается, что уравнения (2.1) и (2.2) независимы друг от друга, однако, для грунтов это положение не является справедливым и оба уравнения оказываются взаимосвязанными [19]. Исследованиями установлено, что механические свойства грунтов достаточно полно аппроксимируются упруговязкопластической моделью, называемой телом Бингама-Шведова [19, 92]. В обобщенном виде уравнения состояния тела Бингама-Шведова записывают в следующей форме где ay - предел текучести или предельное напряжение сдвига, ц - коэффициент пластической вязкости, G - модуль сдвига (модуль поперечной упругости), єл, - средняя скорость деформации, к - модуль объемной деформации.
Из (2.3) следует, что при напряжениях, меньших предельного значения ат, тело деформируется упруго по закону Гука, а по достижении этого предела оно начинает течь с постоянной скоростью, пропорциональной избытку напряжения (, 3у-ат). Объемные же деформации упругие, причем частным
случаем является условие несжимаемости к = со.
Предел текучести не является постоянной величиной. Для.грунтов зт изменяется с изменением всестороннего гидростатического давления р и скорости нагружения или, что то же, длительности действия нагрузки бх .
Согласно [19] при ст-»0 (6т- оо) или с-» со (5-е-» 0) предел текучести зависит только от величины всестороннего гидростатического давления. При решении плоских задач в качестве замыкающего уравнения состояния среды принимается условие, выражающее или закон трения Кулона на площадках скольжения, или условие прочности Мора
Экспериментально установлено, что в общем случае эта огибающая хорошо аппроксимируется параболой, однако, во многих случаях может быть аппроксимирована и прямой линией [19, 69, 92]. Последнее приводит к совпадению теорий Кулона и Мора.
Для трехмерных задач используется условие пластичности типа Мизе-са-Шлейхера [23, 24], как более простое и аппроксимирующее условие Куло 47 на-Мора. ,В соответствии с этим условием при пластическом состоянии твердой среды (грунтов) интенсивность касательных напряжений Т, определяемая вторым инвариантом девиатора тензора напряжения I2, является некоторой функцией давления, т.е.
Условие Кулона-Мора (2.6) изображается в виде шестигранной пирамиды, вершина которой имеет координаты ст( = а2 = а3 = с I tg ср, а проекция на девиаторную плоскость имеет вид шестиугольника, расстояние от центра которой до ближней и отдаленной вершин равно
Пределам текучести а0 (бг- -со) и а, (5т— 0) соответствуют точки на поверхностях текучести. Упругая область находится внутри конуса или пирамиды. Если и = и0, то тело за пределами конуса или пирамиды может существовать длительное время.
Как уже было отмечено, при отсутствии влияния временных факторов на процесс деформирования грунтов, в реологическом уравнении состояния среды отсутствует параметр /, что соответствует модели упругопластическо-го тела. В рассмотренном случае такая ситуация возникает при ст -0 и сг- -да. При промежуточных значениях 0 а » и ст0 а о,, процесс деформирования грунтов зависит от временных факторов и течение является вязким. Наличие вязкости говорит о том, что при течении жидкости компоненты касательных напряжений отличны от нуля и тензор напряжений должен включать в себя и тензор вязких напряжений [68].
Основополагающие положения физической теории вязкопластичности [77], позволяют ввести условие текучести вида
Наличие вязких напряжений связано с диссипацией энергии, которая с увеличением скорости деформации возрастает. В этой связи считается, что тензор вязких напряжений ту является функцией тензора скоростей деформаций s. Считая предел текучести постоянным, а функциональную связь между Ху и є линейной, и использовав компоненты девиаторов, зависимость между касательными напряжениями и скоростью деформации представим в виде [68] Т(,=2цу, (2.8) где д - коэффициент вязкости, у - девиатор тензора скоростей деформации. По аналогии с [77] выражение (2.8) с учетом (2.7) можно представить следующим образом ГО, если /(с,) 0, 2иуЧ (2.9) ]/(ffff)dr, если Да,) 0,
Выражение (2.9) устанавливает критерий перехода из одной области в другую. Действительно, при Д 7/у) 0 — деформация среды отсутствует, при /(ву) 0 - имеет место процесс деформирования среды с конечными скоростями, а при /( Уу) = 0 - процесс деформирования прекращается.
В представленных выше уравнениях феноменологической модели были сделаны два, довольно существенных упрощения, а именно - приняты постоянными коэффициент вязкости и значение нижнего предела текучести. На самом деле коэффициент вязкости не является величиной постоянной, а меняется с изменением нагрузки и температуры. Непостоянство нижнего предела текучести связанно с так называемым эффектом упрочнения [19, 89].
Последнее следует из того, что величина —- - 0, где т,. - напряжение сдвига, у, - деформация, и для приращения деформации необходимо увеличить напряжение. Тем не менее, и приведенных соотношений достаточно, чтобы показать полезность построения обобщенной модели грунта, которая позволяет, в пер 50 вую очередь, провести качественный анализ процессов деформировании среды.
К сожалению, этим практически исчерпывается ее значение, поскольку сложная система уравнений обобщенной модели мало пригодна для непосредственного использования при решении практических задач. Отсюда и наличие многочисленных упрощенных моделей грунта, среди которых наибольшее распространение получила, так называемая модель идеальной несжимаемой жидкости. Эта модель может быть получена из обобщенной при значительных упрощающих предположениях, а именно: р. - 0, т.е. касательные напряжения являются второстепенными, и состояние среды описывается шаровым тензором давления, среда несжимаема т.е. р = const или, как следует из уравнения неразрывности (1.1), div v = 0.
Гидроимпульсная модель задачи о действии вертикального цилиндрического заряда выброса
С помощью модели идеальной несжимаемой жидкости можно решить достаточно много проблем механики взрывных процессов. Например, эта модель применительно к явлению кумуляции дает очень хорошее совпадение с экспериментами, с ее помощью были предложены принципиально новые схемы взрывания, такие как абсолютно направленный взрыв в грунте и т.д. Однако исследование волновых процессов, возникающих в среде при динамическом воздействии, с помощью модели идеальной несжимаемой жидкости не представляется возможным. Для решения задач такого рода применяются схемы и модели, рассматривающие среду как твердое деформируемое тело. К ним относятся модели упругого, упруго-пластического, упруговязко-пластического тела, и т.д.
Ранее (в первой главе) нами были рассмотрены условия возникновения и распространения ударных волн в различных средах, в том числе и твердой. Здесь мы также рассмотрим аналогичную задачу, но несколько конкретизируем ее. Будем считать, что происходит соударение двух тел, причем одно из них находится в состоянии покоя, а другое, приобретая некоторую скорость, наносит по нему удар. Такая ситуация реализуется, например, при подземной разработке полезных ископаемых, когда отбойка массива, наносящего удар по зажимающей среде, осуществляется взрывным, способом [35]. При этом будем рассматривать такой частный случай, когда и для отбиваемого массива можно допустить плоское одномерное движение [35, 45]. Этот случай пред 68 ставляется, если в массиве — v, где v - величина несколько большая еди W ницы, а — расстояние между скважинами в ряду, W — толщина взорванного слоя. Процесс метания массива такими зарядами можно определить следующей простейшей моделью: 1. Массив представляет собой жестко-пластическое упрочняющееся тело; 2. Его пластические свойства проявляются только во время развития цилиндрических зарядных полостей. С началом метания массив ведет себя как абсолютно твердое тело; 3. Между скважинами развивается одиночная плоская трещина; 4. Разница между моментами времени окончания развития трещины и полостей мала в сравнении со временем, прошедшим с момента полной детонации зарядов до начала удара; 5. Процесс расширения продуктов взрыва безволновой адиабатический. Отметим, что фактически эта модель метания массива была использована, например, в [1].
Согласно принятой модели, на разгоняемый массив с одной стороны действует давление [45] p = Pa[l + f) {2Л2) где р0, S - давление продуктов взрыва и площадь поперечного сечения цилиндрической полости в начале метания, у - показатель адиабаты продуктов взрыва, у - перемещение метаемого слоя, а уравнение движения слоя имеет вид где р - плотность массива. С другой стороны на этот же слой действует некоторое давление среды, зависящее от времени
Будем рассматривать только интервал времени [0,t0] в которой среда находится в состоянии нагрузки. Пусть при этом среда ведет себя так, что закон её одноосного сжатия имеет вид а = Ен (є+є), - О, о_=Е\/(е), (2.45) где G_ - начальное упрочнение среды, s - ее одноосная деформация, Е - коэффициент с размерностью давления (константа среды).
Из (2.44) и (2.45) следует, что в некоторый момент времени t. в среде возникает ударная волна нагрузки, а до тех пор в ней будет распространяться только римановская волна нагрузки.
На интервале времени [0,/ ] для полупространства (2.45) рассмотрим следующую задачу с неоднородными краевыми и нулевыми начальными условиями для квазилинейного волнового уравнения где начало координаты Лагранжа х находится на контакте полупространств, a 9(a) - скорость распространения слабых разрывов в функции напряжения. Уравнение движения слоя (2.43) с учетом (2.44) имеет вид d2u_(0,0 Pw—-Ті— = Ръ ; аи (0;р S -Pit). (2.47) Из (2.47) следует, что решение (2.46) надо искать в перемещениях.
Известно точное решение квазилинейного волнового уравнения в области римановских волн при нулевых условиях Коши [73]. В это решение входит некоторая функция, которая определяется по заданным краевым условиям. Однако, пользуясь методом характеристик [87], задачу (2.46) можно решить более простым путем.
При неоднородном краевом условии в задаче (2.46) семейство положительных характеристик представляется прямыми линиями [78] (рис. 2.6) х = (t) Q[p(t)] = (t) Q(t), (2.48) где каждое значение параметра / определяет свою характеристику, вдоль которой остаются постоянными напряжение, деформация и массовая скорость, причем напряжение связано с деформацией уравнением (2.45), а с массовой скоростью - соотношением на характеристике
Модели исследования волновых процессов
Зажимающая среда, как, впрочем, и все реальные среды, представляет собой некоторую пространственную упаковку относительно твердых зерен различных размеров и форм. Поэтому деформирование зажимающей среды носит статистический характер. К попытке учесть это свойство реальных сред относится работа [43]. Однако, в случае одноосной деформации решения [43] теряют свою специфику. Если встать на традиционный путь замены дискретной среды сплошной, то мы столкнемся с таким же традиционным вопросом обоснования этой замены: она возможна при достаточно большом отношении характерного размера рассматриваемой области к размеру зерна. Допустим, что это. условие удовлетворяется, т.е. будем рассматривать зажимающую среду как сплошную. Затем необходимо учесть, что пластические деформации в зажимающей среде развиваются только в том случае, если приложенная нагрузка превысит некоторый предел и что по мере сжатия среды предел этот возрастает, т.е. для зажимающей среды характерно упрочнение. Явление прострела скважин при взрывании в зажимающей среде свидетельствует о том, что зернистая структура среды может прийти к состоянию предельной упаковки. Таким образом, третье положение, которое необходимо учесть, это наличие предельного (асимптотического) значения деформации.
С практической точки зрения интерес представляет распределение остаточных деформаций в зажимающей среде после взрыва и величина смещения контакта массива с зажимающей средой. В этом плане наиболее приемлемыми для, использования оказываются решения [83, 102]. Однако, [102] не учитывает наличие асимптоты деформации, а [83] предполагает громоздкие вычисления. Оба же решения не учитывают в данном случае того, что заряды ВВ воздействуют на зажимающую среду через массив - значительно более жесткий монолитный слой горной породы.
Обратимся к процессам, происходящим в зажимающей среде. При подходе к границе раздела сред волна преломляется в зажимающей среде. Механика преломленной волны зависит от механических свойств зажимающей среды и напряженного состояния, в котором среда находится. Пластические деформации зажимающей среды, сопровождающиеся, в общем случае, дила-тационными явлениями, начинаются с отделением взрываемого слоя от массива.
Определение деформаций зажимающей среды связано, вообще говоря, с решением системы нелинейных уравнений математической физики гиперболического типа, или системы из большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений. В последнем случае появляется возможность учесть дискретность среды, но значительно возрастают математические трудности. Поэтому в подавляющем большинстве работ рассматриваются уравнения в частных производных, т.е. дискретная среда заменяется сплошной.
Как уже было отмечено, условия взрывной отбойки позволяют рассмотреть одномерную задачу, когда по зажимающей среде проходит плоский фронт возмущений, и она находится в состоянии одноосной деформации. На рис.3.2 приведена диаграмма одноосного сжатия песка, заимВообще говоря, при a0 а_ в среде распространяются упругие волны. Однако эти волны, а при ст0 а_ - пластические волны, связаны с принципиально разными движениями зернистой среды. В первом случае имеем упругое движение в материале зерен, во втором — относительные перемещения самих зерен. Допущение об абсолютной жесткости среды при сг0 ст_ имеет тот недостаток, что, например, при ударе некоторого тела по такой срвде в ней всегда будут развиваться пластические деформации. Понятно, что чем выше модуль упругости среды при с0 сг_ и больше разность и0шах -сг_ (а0тах - начальное максимальное напряжение на волне разгрузки), тем меньше количественно отличаются решения для упруго- и жестко-пластической моделей. С другой стороны, модель (3.2) позволяет отразить такую характерную сторону процесса упрочнения среды как увеличение —- Е =0 с ростом с_. tk0 "
Отметим, что модель (3.2) была использована в [45] при решении задачи об ударе по полупространству.
После взрыва в первой же секции зажимающая среда становится неоднородной по плотности и величине упрочнения. Поэтому интересен вопрос о том, как распространяется волна деформации в таким образом созданной неоднородной среде.
Известно, что грунты и горные породы обладают неоднородностью, которая может характеризоваться непрерывным распределением параметров, либо проявляться в виде более или менее резких границ раздела [29]. Кроме того, неоднородность может быть естественной или искусственной, связанной с проведением, например, взрывов, вызвавших то или иное изменение свойств среды [63]. Естественная неоднородность обладает статистическим характером и, очевидно, первична.
Напомним, что распространение плоских волн разгрузки в среде с неоднородностью в виде границ раздела и в непрерывно неоднородной среде исследовано в работах [29, 63]. В первом случае моделью среды служит пластический газ, а во втором - тело Прандтля с жесткой разгрузкой в пластической области. Задача, аналогичная последней, решена в [25], где рассмотрение повторных ударов свелось, фактически, к рассмотрению распространения упруго-пластической волны в среде с искусственной неоднородностью, вызванной изначально первым ударом.
Можно говорить о неоднородности двух видов. О неоднородности первого вида, когда от точки к точке среды меняется вид связи между компонентами напряжения и деформации, т.е. когда хотя бы один из параметров, входящих в физическое уравнение, зависит хотя бы от одной координат Лагран-жа. Неоднородность второго вида имеет место, когда меняется величина упрочнения или предела упругости среды. Так, в [63] рассматривалась неоднородность первого (от координаты Лагранжа зависел наклон прямой пластического нагружения), а в [25, 78] - второго видов. Возможна также комбинация этих двух видов неоднородности. ствованная у [48].
