Содержание к диссертации
Введение
1 Иерархия структур в механике деформируемого тела и свой ства континуума 15
1.1. Иерархия неоднородностей в континууме и ее описание 15
1.1.1. Иерархия процессов деформирования и разрушения: общий формализм 16
1.1.2. Иерархия процессов деформирования и разрушения: структурные уровни деформации 19
1.2. Иерархия моделей континуума; используемых механикой деформируемого твердого тела 21
1.2.1. Обобщение макроскопической механики однородных сплошных сред на среды с микроструктурой 22
1.2.2. Модели микрополярных материалов 30
1.2.3. Случай нелокального представительного элемента: учет градиента деформации 34
1.2.4. Учет микроскопической структуры: введение дефектов в идеальный континуум 35
1.3. Математическое представление дефектов в кристаллах 41
1.3.1. Математическая структура континуума идеального деформированного тела 42
1.3.2. Связь структуры континуума и характеристик поля дефектов 45
1 Л. Метрические свойства геометрии Финслера как функция по ля дефектов , 48
1.4.1. Общие микроскопические принципы построения тензора деформаций 48
1.4.2. Финслеровы геометрические объекты на многообразии 50
1.4.3. h- и v-связности 51
1.4.4. Метрика пространства Финслера и условие ортогональности 52
1.5, Регуляризация, стохастизация и самоподобие при деформи ровании и разрушении 57
1.5.1. Корреляционная функция деформированного тела с микроструктурой 57
1.5.2. Неустойчивость и стохастизация траектории макроскопической трещины 69
Выводы по главе 72
2 Энергетика деформирования, накопления повреждений и разрушения 73
2.1. Применимость методов геометрической оптики к описанию деформирования и разрушения 73
2.2. Распространение энергии при деформировании 76
2.2.1. Закон сохранения энергии и вектор Умова 76
2.2.2. Лучи и поток энергии при распространении волны . 78
2.2.3. Направление распространения энергии для среды первого порядка 79
2.2.4. Направление распространения энергии для среды второго порядка 81
2.3. Поток энергии при распространении трещины . 82
2.3.1. Закон сохранения тензора энергии-импульса 83
2.3.2. Тензор энергии-импульса трещины 84
2.3.3. Принцип Ферма и траектория трещины . &Q
2.4. Потоки энергии в сплошной среде 91
2.4.1. Структура линий тока в среде с неоднородностью . 92
2.4.2. Структура линий тока в слоистой среде 93
2.4.3. Энергия, генерируемая трещиной в среде 96
2.5. Применение макроскопического вариационного метода к опре делению траектории трещины 106
2.5.1. Общая постановка задачи о вариации энергии деформированного тела . 106
2.5.2. Вариационная задача роста трещины . 111
Выводы по главе 112
3 Взаимовлияние континуума, дефектной структуры и трещины 114
3.1. Геометрическая интерпретация взаимодействия дефектов и трещины 114
3.1.1. Траектория трещины и характеристики пространства разрушения 116
3.2. Уравнение фронта трещины как функция метрики и тюля дефектов 123
3.2.1. Условия совместности 124
3.2.2. Обобщенные разрывы и движение трещины 126
3.2.3. Распространение разрыва в среде 127
3.3. Групповая структура процессов деформирования 130
3.3.1. Микроскопические групповые свойства деформации . 131
3.3.2. Группа операторов макроскопического деформирования 133
3.4. Уравнение динамики крекона 138
3.4.1. Лагранжиан поля дислокаций , 139
3.4.2. Сила, действующая на трещину со стороны дефектной |к структуры 142
Выводы по главе 147
4 Прогнозирование роста трещины 150
4.1. Формирование траектории трещины 150
4.1.1. Неустойчивость траектории трещины в линейной постановке 151
4.1.2. Фрактальные характеристики трещины 154
4.2. Применения общего формализма в теории разрушения .156
4.2.1. Общие условия роста трещины 156
4.2.2. Криволинейное распространение трещины 157
4.3. Траектория трещины как пример вариационной задачи . 161
4.3.1. Сингулярности и особенности процесса распространения трещины 161
4.3.2. Траектория трещины 102
4.4. Устойчивость распространения и влияние неоднородности композиционного материала на траекторию трещины 165
4.4.1. Анализ устойчивости распространения в вариационной постановке 166
4.4.2. Распространение трещины в реальной среде 170
4.4.3. Траектория в линейном приближении 172
4.4.4. Траектория трещины в средах с детерминированной структурой . 172
4.4.5. Влияние зоны ослабленных связей на траекторию трещины 179
4.4.6. Распространение трещины через сингулярную границу 181
4.5. Траектория трещины в средах со случайной структурой. Сто-
хастизация траектории. 186
4.5.1. Условиия возникновения стохастических режимов 187
4.5.2. Детерминированные уравнения траектории и переход к вероятностному описанию 189
4.6. Хаотическое поведение отображения угол—угол 199
Выводы по главе 204
5 Расслоение композита по границе слоев 206
5.1. Волновые процессы на фронте трещины 206
5.1.1. Распространение в неоднородном материале 206
5.1.2. Распространение трещины вдоль слоя 208
5.2. Анализ решения. Нарастание нестабильности 215
Выводы по главе 219
Заключение 220
Список использованных источников
- Иерархия моделей континуума; используемых механикой деформируемого твердого тела
- Направление распространения энергии для среды первого порядка
- Распространение разрыва в среде
- Траектория трещины как пример вариационной задачи
Введение к работе
Современная теория разрушения началась в двадцатые годы двадцатого столетия, после появления критерия роста трещины, предложенного английским инженером Гриффитсом. Тема разрушения не только не утратила своей актуальности, но привлекает все большее число исследователей. Это связано с интенсивной разработкой новых материалов, работающих во всё более тяжёлых условиях эксплуатации, вблизи пределов конструкционной прочности материалов. Неожиданные механические свойства новых композиционных материалов, материалов с микроструктурой, наномате-риалов также требует углубленного изучения процессов накопления повреждений, разрушения, процессов распространения трещины.
Достигнутый уровень развития теории позволяет в большинстве случаев с достаточно удовлетворительной для инженерных расчетов точностью предсказать поведение конструкции и изделий, определить ресурс долговечности. Однако существенное повышение ресурса машин невозможно без более глубокого понимания процессов микроскопического деформирования, образования различного рода упорядоченных структур в объеме деформируемого материала, взаимодействия дефектной структуры материала с распространяющейся трещиной.разрушения, влияния микроструктуры материала на траекторию роста трещины, фрактальные характеристики поверхности разрушения.
Влияние микроструктуры материала на траекторию распространения трещины требует рассмотрения процесса разрушения и деформирования в нескольких «масштабных планах», на различных иерархических уровнях. Это вызвано тем, что локальные процессы образования свободной поверхности в объеме материала (то есть образования зародышевой, начальной, микротрещины) имеют статистическую, флуктуационную природу, связаны с элементарными актами разрывов межатомных связей и носят обратимый характер. Дальнейшее необратимое развитие или зале- . ' 8 чивание зародыша связано не только с квантово-флуктуционными, то есть локальными, процессами, но и коллективным влиянием объема материала, его структуры, на эволюцию зародыша.
Такая многоуровневость и сложность процессов разрушения определяет план и структуру диссертационной работы. В работе рассматриваются закономерности процесса разрушения и образования упорядоченных структур как на микроскопическом уровне — уровне взаимодействия зародышевой трещины с полем непрерывно распределенных микроскопических дефектов (дислокаций, дисклинаций, точечных дефектов), так и на макроскопическом уровне — уровне взаимодействия трещины с неоднородностя-ми структуры материала (зеренная структура; наличие резких структурных границ).
Рассмотрение процесса разрушения на различных уровнях требует специфического аппарата для каждого уровня и подходов, адекватных рас-шатринаемой задаче. Общая методология, положенная в основу рассмотрения. еотт> идеология коллективных процессов и еттнорготичоского взаимодействия континуума-дефекта-нарушения континуума. На каждом структурном уровне «континуум» есть определенное обобщение и усреднение свойств реальной среды. На микроскопическом уровне такая методология требует использования аппарата геометрии расслоенных многообразий и теории калибровочных полей. На макроскопическом уровне коллективное поведение позволяет использовать вариационный принцип теории трещин.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. В связи с развитием техники и технологий, появлением новых материалов (например, наноматериалов) исследования процесса разрушения в настоящее время интенсивно продолжаются во всех промышленно развитых странах. Интенсивное использование в промышленности композиционных и микроструктурных материалов, материалов с заданными эксплуатационными свойствами, требует более полно- го и всестороннего рассмотрения поведения материалов при деформации, определения траектории разрушения, возможности её прогнозирования и регулирования.
Детальное изучение разрушения твердых тел требует исследования процесса на различных структурных уровнях. Фрактальный характер разрушения обуславливает подобие законов и структур на различных пространственных масштабах, но конкретные закономерности процесса разрушения существенно отличаются. Микроскопический рост трещины как правило исследуется на основании континуальной теории дефектов и представления о калибровочной инвариантности процесса деформирования. Макроскопический процесс разрушения может быть рассмотрен на основании вариационного формализма теории трещин.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Работа частично проводилась в рамках тем: «Определение геометрии пространства, ассоциированной с процессами разрушения и деформирования», финансировавшейся министерством обороняння Республики Беларусь, договор номер 01-38, 2001г.; «Самоорганизация дислокационных полей в процессе пластического деформирования и разрушения», финансировавшегося министерством образования Республики Беларусь в 2000г.. номер госрегистрации ГР20001245; совместного белорусско-российского проекта «Эффект связанности напряженно-деформирован ного состояния и поля повреждений в условиях пластического течения и ползучести» финансировавшегося Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь и фондом фундаментальных исследований РФ, 1999-2001гг., договор Ф99Р-186: «Термодинамические и информационные основы применения рекуперации энергии в биомеханических и технических системах», финансируемого Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь 2002-2005, договор Т-01-196, Исследовательский проект «Dynamics of dislocation structures under the effect of stationary and dynamic loads», финансировавшийся DAAD в 2000г.
Цель исследования. Цель работы - исследовать процессы деформирования и разрушения неоднородных сред на базе прикладной теории фракталов, синергетических моделей и вариационных методов.
В ходе исследования решались следующие задачи: На основании представления о разрушении как движении в пространстве состояний со специальной метрикой было получено выражение для фрактальной размерности разрушения; с использованием представления о расслоении пространства состояний было получено выражение силы взаимодействия трещины и точечного дефекта с учетом поля дефектов; найдено уравнение формы фронта трещины как функция распределения дефектов; найдено уравнение формы поверхности трещины как функция распределения дефектов; рассмотрена групповая структура операторов деформирования; получено нелинейное вариационное уравнение траектории макроскопической трещины; исследованы режимы распространения трещины в средах с гладким изменением свойств и в средах с резкими границами.
Объект м предмет исследования. Объектом исследования являются деформируемое твердое тело с микроструктурой и трещиной. Предмет исследования — методы описания разрушения тел с микроструктурой.
Гипотеза. Предполагается, что внутренняя структура континуума дефектного тела неевклидова, трещина распространяется вдоль поверхностей, линий тока плотности энергии разрушения, которые при определенных условиях являются геодезическими выделения энергии.
Методология и методы проведенного исследования К проблеме определения траектории трещины во всех масштабных диапазонах применяется вариационный формализм. Для микроскопических уравнений он приводит к использованию теоремы Нетер для поля дефектов и получению выражения для силы взаимодействия дефекта и трещины; для макроскопических дефектов формализм приводит к получению уравнения траектории трещины как функции механических параметров среды.
Для учёта дефектной структуры среды используется аппарат рас- слоенных многообразий, характерный для современной теории поля. Дефектная структура континуума учитывается введением независимых геометрических характеристик — тензоров кривизны, кручения, сегментарной кривизны. Использование финслерова пространства позволяет вводить несколько различных независимых тензоров кривизны и кручения. Эти тензора могут быть введены без введения метрики в пространстве, что принципиально позволяет независимым образом рассматривать процессы деформирования и развития дефектной структуры. Эти независимые тензоры позволяют описывать различные типы дефектов например линейные и клиновые дисклинации, дислокации скольжения и переползания а также учесть эффекты диссипации.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Впервые получено аналитическое выражение для локального микроскопического метрического тензора дефектного континуума в зоне вершины трещины, что позволяет из первых принципов определить уравнение траектории трещины: впервые рассмотрена теория разрывов в пространстве Фин-слера применительно к теории трещин, что позволило получить уравнение поверхности трещины как функцию связности континуума и тензора напряжений: впервые получены условия, налагаемые на группу операторов макроскопического деформирования; получены аналитические выражения для уравнения траектории трещины для некоторых типов неоднородных сред; получены условия на угол отклонения распространяющейся через резкую структурную границу трещины; условия стохастизации лучей обобщены на задачу стохастизации траектории трещины, что позволяет прогнозировать материалы с заданным характером разрушения; получено физическое обоснование фрактального характера траектории трещины, что дает возможность влиять на фрактальные параметры траектории.
Практическая значимость полученных результатов. Как теоретическая работа, диссертация окажет влияние на исследования в области трещи ностойкости композитов и неоднородных сред, проектирование
12 и производство композитов и конструкционных материалов.
Полученные в работе результаты могут быть непосредственно .использованы:
При проектировании композиционных материалов с заданными механическими свойствами.
При прогнозировании трещиностойкости материалов и конструкций.
При разработке новых методов производства тонких и сверхтонких покрытий и пленок.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. аналитическое выражение для локального микроскопического метрического тензора дефектного континуума в зоне вершины трещины; выражение для уравнения поверхности трещины как функции связности континуума и тензора напряжений: условия, налагаемые на группу операторов макроскопического деформирования: теоретическое обоснование фрактального характера траектории трещины; выражение для энтропии динамических иерархических систем ; рассмотрение потока энергии в зоне вершины трещины; выражения для угла отклонения трещиньї) распространяющейся через резкую структурную границу; обоснование возможности стохастизации траектории трещины при распространении в средах с периодической неоднородностью; обоснование бифуркации траектории трещины;
13 определение частот колебаний и длины волны распространяющейся по межслойной границе при распространении трещины разрыва:
Личный вклад соискателя.
Большинство основных положений диссертации получены лично соискателем. Вопросы стохастизации траектории исследовались совместно с А.В. Чигаревым в равной степени.
Апробация результатов диссертации.
По результатам диссертационных исследований были сделаны доклады на конференциях:
Научно-методический семинар преподавателей кафедр теоретической механики, теории машин и механизмов, сопротивления материалов ВУЗов Беларуси (7-8 февраля 2002г.)/ Минск, 2002;
Int. Conf. on Multifield Problems, April 8-10. 2002. / Stuttgart, Germany. XI Annual Seminar NPCS'2002 "Nonlinear phenomena in complex systems: Fractals, Chaos. Phase Transitions; Self-Organization"/ Minsk, 2002.
International conference "Mechamca 2002"/ April 4-5. Kaunas. 2002,
Международная конференция "Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике", / Минск, 4-5 декабря 2001г.
Международная научно-техническая конференция "Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологиии в машиностроении", / Минск, 10-14 сентября 2001г.
Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, / Пермь. 23-29 августа 2001г. Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materialow і Konstrukcji, / Awgustow, 23-26 Maja. 2001. Poland. " Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов". XXXVI международный семинар "Актуальные проблемы прочности"/ Витебск, 26-29 сентября 2000г. VI Международного симпозиум "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"/ Ярополец, 14-18 февраля 2000 г.
IX Annual Seminar NPCS'2000 "Nonlinear phenomena in complex systems: Fractals, Chaos, Phase Transitions. Self-Organization"/ Minsk, 2000. VI Международная конференция "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте"/ г. С. Петербург, 29-30 июня 1999г.
Международной 53-й научно технической конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов БГПА / Минск. 1999.
Международный конгресс "Теоретическая и прикладная механика — 99 "/ Минск, 1999.
8 International conference of fracture, Ukraine 93. / Киев, 1993.
Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры теоретической механики Белорусского национального технического университета (г. Минск), на семинарах кафедры теоретической физики Белорусского государственного университета (г. Минск), б Institut fur Nukloare Fcstkorpcrphysik Technischc Uniwersitat Braunschweig, Германия, на кафедре механики и сопромата Politechnika Krakowska. в Institute of Nuclear Physics, Krakow.
Опубликованность результатов
По теме диссертации опубликовано 33 печатные работы, среди них 1 монография (без соавторов). 24 статьи в журналах и сборниках (из них 15 без соавторов), 8 статей в материалах конференций. Теме диссертации также посвящены 9 тезисов конференций (из них 5 без соавторов), 1 авторское свидетельство. Общий объем опубликованных материалов превышает 400 машинописных страниц.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, шести глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем работы - 250 страниц машинописного текста, в том числе 10 страниц иллюстраций. Список использованных источников включает 269 наименований.
Иерархия моделей континуума; используемых механикой деформируемого твердого тела
Самоорганизация структуры при пластическом деформировании тесно связана с понятием структурных уровней деформирования. Это связь возникает по причине реализации на различных уровнях структуры различных механизмов самоорганизации. B.C. Иванова [85, 86] выделяет четыре характерные области: 1) микроскопическую; 2) мезоскопическуЮ) с линейными размерами субструктур ls = О, 1-И), Змкм; 3) структуры, отвечающие за процессы размеров зерна d — 20 -г 200мкм. 4) макроскопическую, с характерными размерами 1т » 10d, где d - характерный размер зерна.
Ключевой задачей для этой иерархической структуры до сих пор остается установление взаимосвязей между параметрами, которые контролируют границы реализации этих уровней. При этом наиболее сложным представляется связь между критическими параметрами пластической деформации на микро и макроуровнях.
Показано [85], что переход между типами диссипативных структур, характерных для разных иерархических уровней, отвечает оттоку энтропии. При этом критическим параметрам, что контролируют перестройку дислокационных структур, следует придать смысл параметров, контролирующих точки бифуркации. Эти точки характеризуют локальный отток энтропии в результате перестройки дислокационной структуры для ухода от кризисного состояния.
Теория пластического деформирования и разрушения в последнее время достигла значительных успехов в объяснении реальных процессов [5]. Вместе с тем. ряд эффектов, наблюдаемых при деформировании в рамках классических представлений либо не получают исчерпывающего объяснения, либо объясняется недостаточно хорошо [6. 7, 8]. Среди таких проблем, например, корректное описание пластического деформирования сред с дефектами структуры, с внутренними остаточными напряжениями, проблемы динамического деформирования.
Для среды с макроскопическими и микроскопическими дефектами структуры описание пластического течения ослсжняется тем, что задача имеет связанный характер [9]. Это значит, что пластическое течение искажается полем повреждений и одновременно повреждения возрастают в процессе накопления пластических деформаций. При этом имеют место различная динамика для макроскопических и микроскопических дефектов. Под микроскопическими дефектами будем понимать дислокации, дискли-нации. точечные дефекты кристаллической структуры, которые реализуются на микроскопическом структурном уровне. Макроскопические дефекты — зародышевые трещины, трещины поврежденности, магистральные трещины — реализуются на мезоуровне и уровне прибора.
В соответствии с определениями теории систем [10, 11] такое самосогласованное поведение свидетельствует о том. что математическим представлением деформируемого тела должна быть не полностью стратифицированная система, на которой реализована структура слоев. Поскольку деформируемое тело в соответствии с заданными внешними условиями достигает поставленной задачи (например, заданной деформации) в условиях неопределенности (стохастический разброс свойств компонентов, случайная микроструктура); то оно является иерархией слоев принятия решений, и требует как минимум трех уровней для описания функционирования.
Тогда проблема построения связанных уравнений пластичности с учетом макроскопической поврежденности есть проблема сопоставления набора универсальных иерархических переменных с параметрами разрушения. Набор этих переменных определяется выбранной моделью среды и определяющими соотношениями процесса разрушения,
Механическое поведение материалов очень чувствительно к изменению микроструктуры, поэтому, воздействуя на нее введением легирующих элементов, механической и термической обработкой, проведением рекристаллизации и т.п.; можно существенно улучшить их механические характеристики, повышая надежность. Для описания механического поведения нам необходимо иметь по возможности полное и точное описание внутренней структуры материала.
Анализ внутренней структуры материалов проводится путем мысленного их разбиения на области, заполненные по возможности однородным материалом. Тогда полная задача описания свойств вещества в методологии иерархических многоуровневых систем может быть представлена как декартово произведение подзадач: определение механических свойств идеального континуума в границах выделенных областей и взаимодействие выделенных областей [12]. Мысленное разбиение ограничено пределом, связанным с тем, что на некотором уровне разбиения происходит качественное изменение физических свойств континуума. Причем, это изменение не обязательно происходит отчетливо; существуют материалы, у которых изменения происходят постепенно, размыто вдоль траектории перехода. Поэтому обобщение методов механики сплошной среды, действительных для макроуровня, на микроуровень, требует некоторой модернизации
Направление распространения энергии для среды первого порядка
Среди прочих факторов, связанных с возможностью корректного описания пластического деформирования сред с микроструктурой, выбор пространства Финслера обусловлен тем, что для пространства Финслера функция Гамильтона системы Н(х,у) и метрическая функция F(x,x) связаны обычными каноническими уравнениями [75]. дхг дхг v где і = zl. В (1.81) величины х1\ х1, УІ рассматриваются как независимые переменные правой и левой сторон уравнения соответственно. Также принимаем соглашение об аргументах функций координаты, как правило, обозначаются латинскими буквами ж, у. Регуляризация, стохастизация и самоподобие при деформировании и разрушении
Корреляционная функция деформированного тела с микроструктурой
Для тела с субструктурой, как уже отмечалось, существенное значение имеет взаимодействие структурных элементов, взаимовлияние различных масштабных уровней. Так, как выяснилось при прямом атомном моделировании [87], при формировании дислокационных скоплений ключевую роль играют дальне-действующие упругие взаимодействия. Вообще, с абстрактных позиций [67, 68] показано, что для реального нелинейного тела существует явная положительная функция влияния ff(ja), которая достигает нуля при \а\ —f со. Смысл этой функции влияния — описать взаимное воздействие дефектов различного структурного уровня в твердом
Вообще говоря, функция влияния должна определять норму полей смещения z x поскольку на основании поля смещения может быть построена функция Грина дефектного тела [95, 96].
В зависимости от принятых соглашений эта функция влияния может совпадать с корреляционной функцией неупорядоченной системы.
Переход к корреляционной функции. В соответствии с представлением о разнице внутренней и внешней геометрии деформируемого тела, в качестве функции влияния величину можно выбрать величину где gini(a) - внутренняя метрика тела. gcxt(a) - внешняя метрика тела.
В соответствии с определением, функция слияния будет тензорной функцией второго ранга. В зависимости от характера рассматриваемых метрических тензоров (ко-, контра-, смешанные тензоры) функция влияния описывает взаимодействия в прямом или дуальном пространстве или взаимовлияние величин, реализующихся в этих пространствах.
Поскольку внутренняя метрика есть непрерывная функция локального состояния системы, представляет интерес возможность описания локальных свойств и функции влияния как случайных полей. Непрерывность функции влияния связана с тем, что для любого представительного элемент, как отмечалось в 1.2.1., выполняется гипотеза сплошности. Можно сказать, что неупорядоченная среда является случайной сплошной средой, в которой механические свойства статистически варьируются в зависимости от положения точки в пространстве. При этом, как правило, рассматривают статистически однородные распределения механических характеристик. 1.5.1.2. Основные свойства корреляционной функции. Рассмотрим скалярное поле, зависящее от координат Л(г). Локальные свойства функции А(г) определяются ее дифференциальными свойствами, величиной вариации, масштабом существенных изменений функции.
Известно, что среднее по реализации А(г) вычисляется по формуле: где V - объем области корреляции. Объем корреляции ограничивает нижнюю границу представительного элемента — объем элемента не может быть менее объема области корреляции.
Система может иметь различные наборы значений (реализаций). Математическое ожидание (грелнее по множеству реализаций) функции А(г) вычисляется согласно правилу: где /(А(г)) - плотность распределения. Корреляционная функция вычисляется по формуле й(гьг2) = {АЙ)АЙ) =
С помощью аппарата корреляционных функций описывается весь диапазон структур, начиная от периодических (дальний порядок), полуупорядоченных (ближний порядок) и кончая хаотическими структурами (полностью разупорядоченными). Корреляционные функции сред с периодиче 60 ской структурой являются периодическими функциями. Полностью разу-порядоченная структура описывается апериодическими функциями. Промежуточные типы структур описываются суперпозицией корреляционных функций периодических и апериодических.
Описание случайных полей и сред посредством кор реляционной функции, Рассмотрим случайное поле \{х). Поле называ ют изотропным если МХ(х). где М — математическое ожидание, зависит только от расстояния от точки х до начала координат. Анизотропное поле зависит не только от расстояния, но также от направления.
Случайное поле Afar) называется однородным если первые два момента \{х) инвариантны относительно сдвига [34].
Если с таким случайным полем можно связать среду, среда будет квазиизотропной. Рассмотрим возможность описания двухкомпонентной случайной среды (например; двухкомпонентного композиционного материала).
Двухкомпонентная среда: эффективные характери стики. При механическом описании однородной изотропной среды доста точно задать только величины двух упругих модулей, например объемно го и сдвигового. Описание неоднородной изотропной среды требует опре делять тензор упругих модулей в каждой точке. В теории эффективных модулей предполагают, что неоднородную среду [88, 89] можно описать при помощи величины флуктуации А относительно некоей эффективной среды в каждой точке. Эффективную среду обычно выбирают такой, что 61 бы можно было сделать первые оценки параметров среды. Поэтому в качестве среды сравнения чаще всего берут однородную изотропную среду. Знание величины флуктуации параметров в каждой точке относительно однородной среды дает описание неоднородной среды. Как утверждается в [34], флуктуации наиболее адекватно и удобно описываются посредством введения упругой поляризуемости среды, которая возникает естественным образом при перенормировке ряда рассеяния. Аналогичные рассуждения лежат также в основе многочисленных методов определения эффективных характеристик в квантовой механике.
Обычно упругие характеристики макроскопической эффективной среды находят тем или иным способом осредняя упругие постоянные компонент [34. 88]. Так, для композита, состоящего из двух изотропных компонент, общая схема расчета может быть представлена следующим образом.
Распространение разрыва в среде
Известно, что в общем случае условия совместности выражают дополнительную связь между вектором перемещения и тензором деформации [24]. Поскольку возможно рассмотреть "начальное" состояние, для которого невозможно ввести переход в реальное состояние, то условия совместности в классическом смысле (типа условий совместности Сен-Венана) для сред с микроструктурой могут не существовать. Эти условия могут быть реализованы только в ограниченном случае пространства Евклида.
Однако с учетом свойств финслерова пространства и условий каждой конкретной задачи также могут быть получены дополнительные ограничения, имеющие смысл уравнений совместности. Рассмотрим для этого векторное поле Хг (), определенное вдоль кривой С. Будем считать, что векторное поле Хг (і) описывает поверхность разрыва.
При рассмотрении изменения ПОЛІЇ вдоль кривой учитываем принципиальный факт, связанный с геометрией многообразия. При нахождении разности значений тензорных и векторных полей в различных точках многообразия учитываем, что векторы Хг и Xі + dX% являются элементами различных касательных пространств Тп (Р) и Тп (Q) соответственно. Поэтому, при построении разрывов рассматриваем два фактора: а) изменение dX1 (dXi/di) dt вектора Xі (t), которое зависит только от поля Xі и не зависит от метрики пространства; б) разность метрик касательных пространств Тп(Р) и T„{Q). Применительно к реальному движению трещины фактор (а) будет отвечать изменению характеристик движущейся трещины, фактор (б) — изменению характеристик среды, по которой движется трещина. Характеристики среды могут изменяться, например, из-за наличия дефектов в материале. Поэтому тензорный дифференциал векторного поля будет состоять из суммы двух членов, каждый из которых отвечает фактору (а) или (б). В результате, с учетом трансформационных свойств производных и необходимости получения величины тензорного характера, имеем [75] для производных поля по параметру (времени): символы Кристоффеля первого, второго рода соответственно, величина Cijk есть картановское кручение (1.74),
Из физического смысла выражения (3.12), член dXl/dt.— V\ где Уг скорость изменения вектора Х\ Так как вектор Хг описывает по-всрхность разрыва, Vі есть скорость движения разрыва. Она может быть представлена [44] как: где— единичный вектор в направлении распространения разрыва; скорость vt(x, х, t) = дХ(х, xt t)/dt, и представлено сужение касательного пространства векторов Xі (і) такое, что существует отображение R - C{pj). pf — финслерово тело. Финслерово тело есть пара — многообразие и пространство измерений плюс диффеоморфное отображение многообразия на евклидово пространство. % : і н Xt (я я) " X (х, x,t). В результате выражение (3.12) с учетом представления (3.14) принимает вид: Тогда операция разрыва первого порядка (3.11) для производных по 126 ля приобретает вид:
Верхний индекс в скобках означает разность значений на двух сторонах поверхности разрыва. В этом выражении учтены как вариации поля Хг, так и вариации скорости движения разрыва Vі и вариации метрики при движении разрыва. В этом случае выражение (3.16) есть определение производной Ли вдоль гиперповерхности поля разрыва Xі [75, 45]: D(P) = D(P). .(3.17) Выражение (3.16) есть кинематическое условие совместности на разрывы в обобщенном виде.
Ранее (см. 3.2.) трещина рассматривалась как разрыв среды. Рассмотрим более подробно применение теории разрывов к распространению трещины. При движении трещины разрывными являются перемещения, плотности материала, скорости частиц и давления (внутренние напряжения) по обе стороны поверхности трещины. Исходя из такого поведения трещины, ее можно понимать как сильный разрыв в пространстве состояний. Рассмотрим, например, условия для перемещения частиц (вектор Xі представляет поле перемещений).
Очевидно, что разрыв локально реализуется нормально действующим силам, инициирующим разрыв, е$ = щ. Направление нормали задается индикатрисой (см. с. 55). Известно также, что производная Ли от тензора образует тензор той же валентности [45]. Тогда, с учетом условия ортогональности (1.80) и определения (3.16), имеем уравнение фронта трещины в материале:
Траектория трещины как пример вариационной задачи
Разложение на вертикальную и горизонтальную составляющие нельзя рассматривать как разложение на простую сумму пластического и упругого деформирования из-за сложной внутренней структуры составляющих. Отметим, что разделение переменных в законе трансформации на два набора — набор х = (ж1), определяющий свойства пространства, и набор у, определяющий свойства движущегося объекта (поле скоростей) (касательное пространство к многообразию) — идеологически близко к описанию движения пробной частицы в поле гравитации.
Расслоение финслерова пространства позволяет корректным образом вводить в дальнейшем калибровочные поля и соответствующую группу Ли [169. 72]. Калибровочная инвариантность другими путями вводится в теорию разрушения из-за необходимости объяснения эффектов несовместности при пластическом деформировании материалов, когда общая деформация не может быть описана как прямая сумма пластического и упругого деформирования [171, 172, 44].
Группа операторов макроскопического деформирования
Так как с точки зрения иерархических многоуровневых систем структура МДТ есть многоэшелонная иерархия то групповая структура МДТ есть совокупность групповой структуры элементов эшелона [32]. В большинстве случаев при применении группового анализа к МДТ рассматривают групповые свойства тех или иных уравнений МДТ [168]. Это позволяет сделать важные выводы относительно возможной структуры решений уравнений, найти некоторые инвариантные решения. Такой уровень рассмотрения соответствует исследованию структуры слоя обучения. Вместе с тем существует совокупность решений; связанных с самой возможной структурой континуума; в котором реализуются процессы МДТ. то есть структуры слоя выбора. Это направление, заложенное Ноллом в 1958 году, впоследствии было названо Трусделлом рациональной механикой. Принято считать, что все возможные в рамках сделанных предположений типы чисто механического континуума известны [168].
Введение макроскопической группы симметрии. Рассмотрение групповой структуры МДТ на слое самоорганизации практически не проводилось. Такое изучение соответствует исследованию симмет-рийных свойств процессов (динамических структур) МДТ и их связи со свойствами среды. Рассмотрим, например; процесс макроскопического деформирования. Для описания процессов деформирования в качестве элементов точечной группы симметрии можно ввести операторы, действующие на физико-механические характеристики материала и описывающие движение в пространстве состояний в рамках диаграммы напряжение-деформация (рис. 3.2 ), Из физического смысла участков классической диаграммы напряжение—деформация для идеально-пластических тел можно положить в качестве элементов полной группы, описывающей деформированное состоя ние континуума, операторы G\ — упругое деформирование. Gi пластическое деформирование, G% — упругую релаксацию, G$ — пластическую релаксацию. О — исходное состояние (состояние неизменной нагрузки). В простейшем случае точечного отображения операторы описывают переход по угловым точкам диаграммы — из исходного недефор-мированного в состояние максимальной упругой деформации, из упруго деформированного состояния в пластически деформированное. Если полагать, что идеализированные процессы деформирования и релаксации происходят без разрушения материала, то на основании физического смысла
Выполнение условий (3.38а. 3.38Ь) следует из физического смысла операторов таблицы умножения. В случаях (3.38с, 3.38d) мы принимаем необходимость существования левого обратного элемента. Однако для операторов, заданных законом умножения (3.37) условие транзитивности не выполняется. Это объясняется нарушением симметрии, возникающим в процессе деформирования. Нарушение симметрии объясняет необходимость определения стандартной процедуры удлинения производных и введения калибровочных полей [171, 172].
Нарушение условия транзитивности для таблицы умножения (3.37) позволяет уточнить структуру оператора пластического деформирования [173, 170]. Так, последовательно применяя таблицу умножения для комбинации G1G2G3, имеем:
