Структурное моделирование процессов деформирования и разрушения дисперсно наполненных эластомерных композитов Гаришин Олег Константинович

Содержание к диссертации

Введение

1. Моделирование геометрической структуры композитов со случайным дисперсным наполнением 19

1.1. Обзор основных методов исследования случайных структур 20

1.2. Метод "радиального гравитационного поля" 27

1.3. Статистические оценки случайных структур 34

1.3.1. Пористость и степень наполнения 34

1.3.2. Координационное число 38

1.3.3. Моментные функции распределения 43

1.3.4. Геометрическая энтропия как мера стохастичности композитной структуры 49

1.4. Бинарные случайные структуры с минимальным количеством концентраторов напряжений 56

Выводы по главе 60

2. Структурно-механическая модель дисперсно - наполненного композита 63

2.1. Обзор основных методов расчета эффективных свойств композиционных материалов 65

2.2. Физическая дискретизация и ее место в механике структурно-неоднородных сред 72

2.3. Физическая дискретизация в применении к дисперсно наполненным композитным системам типа "мягкая матрица — жесткие включения" 77

2.3.1. Выбор аппроксимирующего структурного элемента, переход к конечно-элементной стержневом системе как объекту модельных исследований 82

2.3.2. Задача о двух сферах в бесконечной линейно-упругойматрице. Механические свойства аппроксимирующего стержня 86

2.4. Схема расчета эффективных характеристик композитной системы по ее структуре и свойствам компонент 104

2.4.1. Осреднение и оценка представительности размеров модельного "образца" 114

2.4.2. Обобщение структурной модели композита на случай малых концентраций дисперсной фазы 118

Выводы по главе 121

3. Структурное моделирование деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных композитов со слабоэластичной матрицей 123

3.1. Эффективные упругие свойства дисперсно наполненных композитов со слабоэластичной полимерной матрицей 124

3.1.1. Зависимость эффективного модуля Юнга композита с моно- и бидисперсным наполнением от концентрации и фракционного состава 124

3.1.2. Распределение усилий по структурным элементам в условиях макрооднородного поля растягивающих деформаций 136

3.1.3. Моделирование механических свойств зернистых композитов с уютом несжимаемости структуры 140

3.2. Моделирование процессов разрушения в композитных системах со слабоэластичпой матрицей 149

3.2.1. Анализ наиболее характерных типов разрушения для композитов, не способных к большим деформациям 150

3.2.2. Критерии возникновения локальных повреждений в отдельных структурных элементах. Расчетная схема моделирования процессов накопления поврежденности в композите со слабоэластичпой матрицей 155

3.2.3. Моделирование процессов разрушения в композитах с сильной адгезионной связью на границе раздела фаз 162

3.2.4. Моделирование процессов разрушения в композитах со слабой адгезией между матрицей и наполнителем . 171

3.3. Моделирование перестройки структуры композита при его растяжении в рамках линейной теории упругости 187

Выводы по главе 194

4. Деформирование высокоэластичных стержневых систем с неоднородной структурой 198

4.1. Метод локальных итераций 199

4.2. Моделирование процессов разрушения в конечно деформируемых сетчатых системах, имитирующих молекулярную структуру ненаполнешюго эластомера 204

4.2.1. Разрушение в конечно деформируемых линейно-упругих сетках 205

4.2.2. Разрушение в высокоэластичных нелинейно-упругих сетках 213

Выводы по главе 228

5. Структурное моделирование деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных композитов с высокоэластичной матрицей 230

5.1. Структурная ячейка дисперсно наполненного композита с высокоэластичной матрицей 232

5.2. Структурно-статистическая модель дисперсно наполненного высокоэластичного композита 241

5.2.1. Основные положения структурно-статистического подхода к моделированию эффективных свойств композитов с высокоэластичной матрицей 242

5.2.2. Исследование деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных эластомеров с помощью структурно-статистической модели 247

5.3. Обобщение структурно-механической модели композита на случай конечных деформаций 252

5.3.1. Основные положения структурно-механического подхода к моделированию эффективных свойств композитов с высокоэластичной матрицей 254

5.3.2. Исследование деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных композитов при конечных деформациях 264

Выводы по главе 282

Заключение 286

Литература 291

Приложение 317

• Бинарные случайные структуры с минимальным количеством концентраторов напряжений
• Задача о двух сферах в бесконечной линейно-упругойматрице. Механические свойства аппроксимирующего стержня
• Моделирование механических свойств зернистых композитов с уютом несжимаемости структуры
• Основные положения структурно-статистического подхода к моделированию эффективных свойств композитов с высокоэластичной матрицей

Введение к работе

Одним из наиболее значительных достижений последней научно-технической революции можно по праву считать появление и широкое распространение в промышленности различных типов композиционных материалов. Особенно эффективным оказалось их использование в тех областях, где традиционные материалы уже практически исчерпали свои возможности, и не могут обеспечить должных темпов технического прогресса.

В настоящее время под термином "композиционный материал" (или "композит") обычно понимают структурно-неоднородные системы, полученные в результате смешения нескольких разнородных компонентов и обладающие свойствами, отсутствующими у исходных материалов. По этому определению к композитам можно отнести все гетерогенные системы, представляющие собой сочетания не менее чем двух химических веществ — фаз, когда между этими фазами наблюдаются достаточно четко обозначенные границы. Композитами являются наполненные полимеры, дисперсионно упрочненные сплавы, бетоны, дерево, кость, слоистые материалы, поликристаллические тела (если рассматривать кристаллы с различной ориентацией как разные фазы) и т. п.

Если в строении композита можно выделить дисперсную (наполнитель, включения, армирующие элементы) и непрерывную (матрица, связующее) фазы, то подобные материалы называют матричными. Их обычно классифицируют по типу включений. Самыми распространен ними являются зерна (гранулы), короткие волокна, длинные волокна (нити), а также слои. Композиты, армированные элементами, у которых все характерные размеры имеют величину примерно одного порядка, называют дисперсно наполненными (а также зернистыми или гранулированными). Материалы, содержащие включения в виде нитей, носят название волокнистых композитов. И, наконец, если у армирующего элемента одно измерение значительно меньше двух других, то это слоистые или плоско текстуир о ванные композиционные материалы. Системы, в которых вместо частиц имеются поры или пустоты (пенопла-сты, губки и т. п.), тоже можно отнести к матричным композитам.

Учитывая огромное многообразие существующих на сегодня композиционных материалов, совершенно очевидно, что создать одну всеобъемлющую теорию, описывающую их механическое поведение, в принципе невозможно, В предлагаемой диссертационной работе рассматривали лишь один тип структур но-неоднородных материалов — это дисперсно наполненные эластомсриые композиты, представляющие собой комбинацию относительно мягкой, повреждаемой при деформировании полимерной матрицы и значительно более жестких и прочных включений сфероидальной формы. При этом рассматривали системы, в которых объемная концентрация наполнителя достигала таких значений, что взаимное влияние между соседними частицами существенно сказывалось на макросвойствах материала.

Дисперсное наполнение — прием, часто используемый в современной технике с целью модификации свойств (повышенная прочность, износостойкость и т.п.) или удешевления (когда часть ценного полимерного продукта заменяется более дешевым наполнителем) конструкционного материала.

Высоконаполненные зернистые композиты широко применяются в производстве твердотопливных ракетных двигателей, износостойких резин и во многих других случаях. И хотя промышленное значение этих материалов не вызывает сомнения, для них еще не разработано достаточно надежных теоретических методов по прогнозированию эффективных деформационных и прочностных характеристик в зависимости от свойств компонентов и внутренней структуры композита. Это сдерживает разработки новых композиционных материалов с заранее заданными свойствами.

Хорошо известно, что в высоконаполненных системах можно добиться значительного изменения их свойств за счет варьирования фракционного состава наполнителя, размеров и формы включений. Следовательно, структура в таких материалах определяющим образом влияет на их эффективное, и не учитывать данное обстоятельство уже нельзя. Поэтому разработка средств и методов, позволяющих при прогнозировании деформационного и прочностного поведения композита в явном виде учесть его структуру, является на сегодняшний день одной из наиболее важных и актуальных проблем современной механики структурно-неоднородных сред. Один из возможных подходов к ее решению и полученные при этом результаты представлены в данной диссертации.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планами НИР Института механики сплошных сред УрО РАН по темам:

ГР№ 81003219 "Исследование взаимосвязи структуры высоконаполненных эластомерных композитов с их механическим поведением и прочностью" (1981-1985);

ГР№ 01860129574 "Разработка и исследование структурной модели композитов на эластомерной основе с целью оптимизации их свойств" (1986— 1990);

ГР № 01910049042 "Исследование специфических структурных механизмов, формирующих механическое поведение дисперсно наполненных эластомерных композитов, включая переход от микроповреждений к макро-разрушению" (1991-1993);

ГР № 01940003789 "Исследование механизмов структурных повреждений в высоконаполненных зернистых полимерных композитах и их влияния на макроскопическое сдвиговое и объемное сопротивление, включая стадию разрушения" (1994-1996);

ГР№ 01960011297 "Изучение структурных механизмов упрочнения каучуков твердыми частицами микронных размеров" (1997-1999);

ГР № 01960011299 "Разработка моделей и методов расчета высоконаполненных зернистых композитов с эластомерным связующим, учитывающих структурные механизмы формирования эффективных свойств" (1997— 1999); ГР№ 01960011299 "Исследование механики межфазных процессов в зернистых эластомерных композитах при их деформировании" (2000-2003).

Исследования проводились при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №94-01-00465, №95-01-00412, № 98-01-00265, № 01-01-96486, № 01-01-96492).

Цель работы

Основная цель проведенных исследований заключалась в создании численной структурно-механической модели дисперсно наполненного эла-стомерного композита, которая позволила бы связать его эффективное деформационное поведение и прочностные характеристики непосредственно с внутренней структурой материала и свойствами компонентов. При этом рассматривали композитные системы, с высоко- и со слабоэластичной упругой матрицей, способной повреждаться при деформировании.

Научная новизна

Предложен новый подход к структурному моделированию деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных эластомерных композитов. Его основное достоинство заключается в том, что он позволяет напрямую учесть структуру гетерогенного материала без привлечения дополнительных феноменологических гипотез о его внутреннем строении. При этом с ростом степени наполнения точность предлагаемой структурной модели возрастает (по сравнению с другими известными методиками), что немаловажно, так как основным объектом данных исследований были именно высо-конаполненные композитные системы.

На защиту выносятся следующие научные результаты, полученные с помощью данного подхода:

1. Предложен алгоритм компьютерного синтеза моно- и полифракци-онпых случайных систем из частиц круглой формы, адекватно отображающих реальную геометрию внутреннего строения дисперсно наполненных композитов. Исследована морфология моно- и бифракционных случайных структур с разными фракционными составами. 2. Введено понятие среднего относительного зазора как параметра оптимизации фракционного состава бидисперсных случайных систем по минимуму возможных концентраторов напряжений. Определены наиболее подходящие в этом смысле структуры.

З.Дано описание метода физической дискретизации в применении к моделированию механических свойств дисперсно наполненного композита со слабоэластичной несжимаемой матрицей. Разработана соответствующая структурно-механическая модель.

4. Получено численно-аналитическое решение краевой задачи об осе-симметричном нагружении двух жестких сфер в несжимаемой линейно-упругой матрице, что позволило определить механические характеристики элементов аппроксимирующей реальный композит модельной системы.

5. Для композитных материалов с бидисперсной структурой рассчитаны зависимости эффективного модуля от концентрации дисперсной фазы, фракционного состава и соотношения размеров частиц наполнителя. Определены оптимальные (с точки зрения соотношения жесткости и степени наполнения) фракционные составы.

6. Исследованы закономерности возникновения и развития повреж

денное™ в дисперсно наполненных композитах со слабоэластичным поли

мерным связующим для случаев сильной и слабой адгезионной связи между

матрицей и включениями.

7. Предложен специальный алгоритм, предназначенный для решения задач о нагружении нелинейно-упругих конечно деформируемых стержневых систем с неоднородной произвольно упорядоченной структурой, — метод локальных итераций.

8. Со структурных позиций проведены исследования по моделированию деформационного и прочностного поведения ненаполнешюго высокоэластичного полимера в зависимости от топологии молекулярной сетки и неоднородности свойств составляющих ее молекулярных цепочек.

9. Предложена структурно-статистическая модель дисперсно наполненного композита с высокоэластичной матрицей, предназначенная для про ведения быстрых оценочных расчетов. С ее помощью рассчитаны предельные разрушающие напряжения и деформации для высокоэластичных зернистых композитов в зависимости от концентрации наполнителя и размеров модельного "образца".

10. Разработана структурно-механическая модель дисперсно наполненного эластомерного композита, способного испытывать большие упругие деформации. Для композитных систем с различным наполнением и деформа тивной прочностью матрицы исследовано развитие внутренней по врожденности в процессе деформирования. Определены эффективные разрывные напряжения и деформации, установлены диапазоны их разброса.

Достоверность

Достоверность полученных научных результатов базируется на использовании хорошо известных численных и аналитических методов, применяемых в механике деформируемого твердого тела, и подтверждена сравнением проведенных расчетов с данными теоретических и экспериментальных работ других исследователей. Обоснованность сформулированных в диссертации выводов и рекомендаций обусловлена тем, что они полностью вытекают из результатов, полученных автором, без привлечения каких-то дополнительных непроверенных гипотез и утверждений. 

Практическая ценность

Разработанная и доведенная до уровня пакета прикладных программ структурно-механическая модель дисперсно наполненного эластомерного композита позволяет на основе данных о внутренней структуре материала и свойствах компонентов прогнозировать его эффективное деформационное и прочностное поведение. Это может оказаться полезным при разработке новых структурно-неоднородных материалов с заранее заданными свойствами, так как позволяет существенно снизить затраты на дорогостоящие экспериментальные исследования. Результаты диссертациошюй работы используются в практических исследованиях в ФГУП "Научно-исследовательский институт шинной промышленности" (Москва) и ФГУП "Научно-исследовательский институт полимерных материалов" (Пермь). Разработанные автором методики могут быть рекомендованы к применению в научно-исследовательских и проектно-конструкторских организациях, связанных с решением прикладных задач механики композитов, а также при разработке курсов лекций по механике структурно-неоднородных сред.

Апробация

Результаты, вошедшие в данную диссертационную работу, докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и научных семинарах:

-VIII Всесоюзная конференция по прочности и пластичности (Пермь, 1983);

-Межинститутский научный семинар Института синтетических полимерных материалов РАН им. Н.С. Ениколопова (Москва, 1985);

- IV Научно-техническая конференция но методам расчета изделий из высокоэластичных материалов (Рига, 1986);

- Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986);

- Уральская научно-техническая конференция "Геометрическое моделирование и начертательная геометрия" (Пермь, 1987);

- Научный семинар Отраслевой лаборатории прикладных методов расчета резинотехнических изделий Рижского политехнического института (Рига, 1988);

- Научный семинар Центрального научно-исследовательского института химии и механики (Москва, 1988, 1991);

- V Научно-техническая конференция по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов (Рига, 1989); - Научный семинар Института химии высокомолекулярных соединений ЛН Украины (Киев, 1990);

- Международная научно-техническая конференция "Elastomers-92" (Рига, 1992);

- Научный семинар Регионального научно-технического центра порошкового материаловедения (Пермь, 1992);

- Международный симпозиум "Advances in Structured and Heterogeneous Continua": (Москва, 1993);

- V Симпозиум "Проблемы шин и резипокордных композитов. Качество — конструирование и технология" (Москва, 1993);

- Международная конференция по композитам (Москва, 1994);

- Международная конференция по каучуку и резинам "IRC-94" (Москва, 1994);

-1 Международный симпозиум по механике эластомеров "МЭ-94" (Украина, Севастополь, 1994);

- Международная конференция "Математическое моделирование процессов обработки материалов" (Пермь, 1994);

- Международная конференция по внутрикамерным процессам и горению "ICOC-96" (Ижевск, 1997);

- XI International Winter School on Continuum Mechanics (Perm, 1997);

- IX International Conference on Fracture "Advances in fracture research" (Sydney, 1997);

- International Conference EURO-FILLERS-97 (Manchester, 1997);

- International Conference "PROBAMAT — 21st CENTURY: Probabilities and Materials" (Perm, 1997);

- International Conference "Mesomechanics-98" (Tel Aviv, 1998);

- IX Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов. Надежность, стабильность, качество" (Москва, 1998);

-XII Международная зимняя школа по механике сплошных сред. (Пермь, 1999); - II Всероссийский семинар памяти С.Д. Волкова "Механика микроне

однородных материалов и разрушение" (Пермь, 2000);

- XI Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Мо сква, 2000);

- VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- XII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 2001);

- Научный семинар Института механики сплошных сред УрО РАН (руководитель— член-корр. РАН В.П. Матвеенко, 1985, 1988, 1992, 2001, 2002, 2003).

-XXX Summer school "Advanced problems in mechanics" (Санкт Петербург, Репино, 2002);

- Euromech Colloquium 438 "Constitutive equations for polymer micro-composites: on the border of mechanics and chemistry" (Vienna, 2002);

- XIII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 2002).

- Научный семинар кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского государственного технического университета (руково дитель — профессор П.В. Трусов, 2002).

- Научный семинар кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского государственного технического университета (руководитель — профессор IO.B. Сокол кии, 2002, 2003).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 50 печатных работ и 14 отчетов о НИР ИМСС УрО РАН. Основные научные результаты отражены в моногра фии [Мошев, Свистков, Гаришин и др., 1997] и в 11 статьях в рецензируемых

отечественных и зарубежных журналах. В конце каждой главы диссертации (в разделе "Выводы по главе") приведен библиографический список ссылок на печатные работы, опубликованные автором по данной тематике.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Она содержит 320 страниц, включая 67 рисунков и 5 таблиц. Общий библиографический список насчитывает 275 наименований.

Первая глава посвящена проблемам математического синтеза и исследования случайных геометрических структур, адекватно отображающих внутреннее строение дисперсно наполненных композиционных материалов. Дан обзор основных методов теоретического и экспериментального изучения морфологии случайно упорядоченных структур из частиц круглой формы. Предложен алгоритм компьютерного моделирования моно- и полифракционных плотных случайных упаковок из жестких сфер (пространственные системы) или дисков (плоский вариант), а на их основе и разреженных структур с заранее заданной объемной концентрацией. Проведено исследование структурных характеристик численно синтезированных случайных геометрических систем и их сравнение с известными из литературы опытными данными. Для двухфракционных наполнений установлены оптимальные с точки зрения минимума возможных концентраторов напряжений гранулометрические составы.

Во второй главе диссертации рассмотрены вопросы, связанные с разработкой основных теоретических положений и обоснований, необходимых для построения структурно-механической модели дисперсно наполненного эластомерного композита. Приведен обзор и анализ (с позиций структурного моделирования) современных методов расчета структурно-неоднородных материалов. Дано описание основных постулатов, лежащих в основе метода физической дискретизации. Показано, как можно применить этот подход для построения структурно-механической модели композита типа "мягкая эла-стомерная матрица — жесткий дисперсный наполнитель". Введены понятия структурного континуального элемента (как пары близко расположенных включений и матричной прослойки между ними) и его дискретно-механического аналога в виде упругого стержня, соединяющего центры включений. Представлено решение краевой задачи об осесиммет-ричном нагружении двух жестких сфер в несжимаемой линейно-упругой матрице. На основе этого решения получены зависимости между механическими характеристиками аппроксимирующего стержневого и аппроксимируемого континуального элементов.

Предложена схема расчета эффективных механических характеристик дисперсно наполненного композита на основе отображающей его стержневой конечно-элементной конструкции (в случае применения теории малых ли-пешю-упругих деформаций). Произведена оценка представительности объема модельного "образца".

В третьей главе представлены численные результаты, полученные с помощью описанного во второй главе структурного подхода к моделированию деформационного и прочностного поведения дисперсно наполненного композита в зависимости от его внутреннего строения и свойств компонентов. Все расчеты проводили в рамках теории малых упругих деформаций (обобщение структурной модели на случай нелинейно-упругих конечных деформаций дано в четвертой и пятой главах диссертации).

Приведены результаты по определению эффективного модуля Юнга композита с моно- и бидисперсным наполнением в зависимости от концентрации и фракционного состава. Исследовано распределение усилий по структурным элементам в условиях макрооднородного поля малых растягивающих деформаций.

Описан алгоритм моделирования общей несжимаемости описывающей композит стержневой конструкции за счет задания соответствующих граничных условий и произведена оценка учета этого фактора при расчете эффективных характеристик структурно-неоднородного материала. Приведен обзор наиболее характерных типов разрушения для композитных систем со слабоэластичной полимерной матрицей. Описаны результаты по исследованию процессов развития внутренней поврежденности в дисперсно наполненных композитах с сильной и слабой адгезионной связью на границе раздела фаз.

Предложен алгоритм моделирования перестройки структуры зернистого композита, основанный на использовании соотношений линейной теории упругости (дельта-метод). Показана ограниченность возможности применения данного подхода для случая больших нелинейно-упругих деформаций.

В четвертой главе дано описание нового подхода к расчету нелинейно-упругих конечно деформируемых стержневых систем с неоднородной произвольно сформированной структурой. Специально разработанный для этих целей метод локальных итераций позволил эффективно и без больших затрат компьютерных ресурсов решать задачи данного класса. Его возможности продемонстрированы на конкретных примерах по математическому моделированию растяжения и разрушении нелинейно-упругих сетчатых систем с механически неоднородной разупорядоченной структурой, когда их макродеформация могла достигать сотен процентов.

Построены линейно- и нелинейно-упругие структурные модели, имитирующие деформационное и прочностное поведение высокоэластичного полимера в зависимости от топологии молекулярной сетки и неоднородности свойств составляющих се молекулярных цепочек. Численно исследованы процессы накопления и развития поврежденности в таких системах (вплоть до полного разрушения). 

В пятой главе сделано обобщение метода физической дискретизации (использованного ранее при разработке структурно-механической модели зернистого композита в линейной постановке) на случай больших нелинейно-упругих деформаций. Проведено исследование деформационных и прочностных свойств высокоэластичных дисперсно наполненных материалов. Описаны два взаимодополняющих подхода к структурному моделированию эффективного поведения таких композитных систем — структурно-статистический (для проведения быстрых оценочных расчетов) и структурно-механический (для углубленных полномасштабных исследований). С их помощью показано, как связаны макросвойства высокоэластичного дисперсно наполненного эластомера с перестройкой его структуры при деформации, а также возникновением и развитием в ней внутренней поврежденности (в виде межфазных отслоений матрицы от частиц и локальных микроразрывов).

Определены эффективные предельные напряжения и деформации для композитных систем с различной концентрацией наполнителя и деформатив-ной прочностью матрицы. По результатам большого количества независимых численных экспериментов установлены диапазоны их разброса.

В заключении сформулированы основные научные результаты выполненных исследований и сделаны обобщающие выводы, вытекающие из их анализа. (Более подробные выводы и результаты по каждому разделу диссертации приведены в концах соответствующих глав.) Определены перспективные пути, по которым предполагается вести дальнейшее развитие данного научного направления.

В приложении представлены справки о практическом использовании результатов диссертационной работы в ФГУП "Научно-исследовательский институт шинной промышленности" (Москва) и ФГУП "Научно-исследовательский институт полимерных материалов" (Пермь).

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю, Заслуженному деятелю науки и техники РСФСР, доктору технических наук, профессору Валерию Варфоломеевичу Мошеву за внимание, ценные советы и постоянную поддержку проводимых исследований.  

Бинарные случайные структуры с минимальным количеством концентраторов напряжений

Существуют два основных подхода для получения конкретной информации о морфологии микроструктуры композитных систем со случайным наполнением — экспериментальные методы и компьютерное моделирование.

В литературе также известны попытки описания подобных материалов аналитическими методами [Бахвалов, Панасенко, 1984; Волков, Ставров, 1977; Малмейстер, Тамуж, Тетере, 1980; Тамуж, Тетере, 1979; Хорошун, Маслов, 1980]. Хорошо зарекомендовав себя для малых и средних наполнений, они, однако, не получили широкого развития из-за серьезных вычислительных трудностей, связанных с такими особенностями образования плотных стохастических структур, как возникновение в них элементов ближнего порядка (что является следствием невозможности взаимного проникновения включений при контактах) наряду с сохранением высокой общей разупоря-доченности системы. В работах, развивающих данное направление, чаще всего рассматривали регулярные или квазирегулярные системы, когда частицы могли колебаться в определенных пределах вблизи узлов решетки периодичности, не нарушая дальнего порядка структуры. Стохастичность в таких моделях выражена слабо, и ее учет производили на основании каких-либо умозрительных гипотез, требующих проверки и доказательства па практике. Приемлемые для малых и средних наполнений, эти методы все же не могут быть положены в основу исследования структур с концентрациями частиц, близкими к предельным.

Экспериментальные исследования плотных случайных упаковок (когда каждое включение имеет как минимум три контакта с соседями) и близких к ним по концентрации структур проводят, как правило, на модельных системах из жестких частиц с заданными размерами и формой. Это делается для того, чтобы по возможности облегчить последующую обработку опытных данных и снизить до минимума многочисленные побочные эффекты. Случайную плотную модельную упаковку обычно получают, помещая представительное число частиц в некоторую емкость, а затем с помощью вибрации и перемешивания доводят систему до равновесного состояния. Туда же для фиксации заливают какое-нибудь легко удаляемое связующее типа парафина. Более разреженные структуры (в которых частицы не обязательно должны касаться друг друга) можно получить в результате отверждения вязких суспензий с заданной концентрацией частиц. Изготовленные таким способом модельные образцы подвергают детальному изучению на шлифах или используют какие-то другие методы исследования для построения общей картины взаимного расположения частиц и определения обобщенных структурных характеристик.

Оригинальная методика синтеза и исследования случайных систем, предложенная Морелем и Хильдсбрандом, описана в [Радушкевич, 1970]. Шарики одинаковых размеров (из затвердевшей желатины) в большом количестве вводились в желатиновый раствор той же удельной плотности. При этом некоторые из них были покрашены в черный цвет, что хорошо выделяло их на однородном фоне, так как из-за одинакового показателя преломления частиц и раствора остальные шары становились невидимыми. Взаимное расположение выделенных краской частиц фотографировали через прозрачные плоские стенки сосуда в двух перпендикулярных направлениях. Учитывая, что вес шары были "невесомыми", авторы получали системы с объемным наполнением ф от 26 до 51% (под р понимали отношение суммарного объема частиц дисперсной фазы к общему объему композитной системы). Они же изучали распределение меченых частиц в плотной упаковке, для чего стеклянные сферы одинакового размера помещали в раствор бр омоформ а и четыреххлористого углерода так, что благодаря одинаковому показателю преломления все они становились невидимыми, за исключением заранее покрашенных.

Экспериментальные исследования особенно активно велись в 60—70 гг. С их помощью был получен ряд фундаментальных результатов, однако широкое применение этих методов, несмотря на всю важность данного направления, сдерживается очень высокой трудоемкостью и наличием различных систематических погрешностей, связанных с особенностями постановки опытов и обработки полученных результатов.

Компьютерные методы математического моделирования случайных структур в значительной мере лишены недостатков, присущих экспериментальному подходу, но для их успешного применения требуются надежные и эффективные алгоритмы, позволяющие синтезировать случайные геометрические структуры, которые бы с достаточной точностью отображали реальную морфологию композита и не противоречили опытным данным.

Наиболее простым и распространенным является алгоритм, известный в литературе как метод Монте-Карло. Исторически он появился одним из первых, и, несмотря на свою примитивность и ограниченность до сих пор пользуется большой популярностью [Волков, Ставров, 1977; Gusev, 1997; Steele, 1976]. Суть его состоит в следующем.

В некоторую ограниченную область «-мерного пространства (п = 1,2,3) поочередно "вбрасывают" по л координат центров пакуемых частиц, которые получают с помощью датчика псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения. (Псевдослучайная последовательность чисел отличается от истинно случайной тем, что если задать датчику в качестве исходного параметра одно и тоже число, то он выдаст одинаковый результаты.) При этом, если вновь инициируемая частица пересекается хотя бы с одной из уже имеющихся в структуре (или с границей области), то се "уничтожают" и "вбрасывание" повторяется. Процесс продолжают до тех пор, пока не будет достигнута требуемая степень наполнения или число неудачных попыток, затраченных на размещение очередного включения, не превысит некоторого заданного предельного значения.

Задача о двух сферах в бесконечной линейно-упругойматрице. Механические свойства аппроксимирующего стержня

Структурный подход к исследованию механических свойств дисперсно наполненных композиционных материалов предполагает обращение с конечными ансамблями случайно расположенных частиц, отображающих реальную топологию рассматриваемых систем. При этом ограничения на их размеры накладываются как возможностями применяемых методов, так и мощностью вычислительных систем. В реальном композите, содержащем практически бесконечное число включений, встречаются самые различные сочетания в расположении частиц. Учесть все это многообразие в полном объеме, естественно, невозможно. Поэтому необходимо найти (оставаясь в рамках заданного ограниченного размера выборки) такой критерий, который позволил бы отбирать из множества численных реализаций самые типичные и часто встречающиеся комбинации и в дальнейшем работать только с ними.

Логично предположить, что ансамбли с наибольшим количеством информации о структуре (при прочих одинаковых характеристиках) должны обладать и максимальной степенью разупорядочснности, т. е. в них должны нрисутствовать по возможности все комбинации частиц, встречающиеся на практике. В качестве количественной меры стохастичности (и, соответственно, критерия отбора) использовали такую статистическую характеристику, как "энтропия распределения зазоров между включениями" или "геометрическая энтропия"— Н [Гаришин, 1994а; Мошев, Свистков, Гаришин и др., 1997].

Идея о том, что информация (неопределенность) как-то связана с энтропией, была высказана еще Сциллардом в 1929 г. [Szilard, 1929]. В 1948 г. Шеннон [Shannon, 1948] показал, что введенное им понятие информационной энтропии является единственно возможной мерой неопределенности какого-либо опыта с различными вариантами исхода и наиболее оптимальным образом удовлетворяет всем необходимым условиям. В 1957 г. Джейнс [Jaynes, 1957а, 1957b] доказал сходство этой характеристики и термодинамической энтропии. Он же сформулировал принцип максимума энтропии, согласно которому наиболее вероятному состоянию какой-либо системы соответствует максимальное значение Н. Использование данного подхода в статистической механике для описания свойств гранулированных материалов с неупорядоченной структурой изложено в работах многих авторов [Backman et al., 1983; Brown, 1978; Mogami, 1965; Morgenstern, 1963], т.е. он достаточно хорошо известен.

В нашем случае принцип максимума энтропии можно было бы сформулировать в следующем виде: "Чем больше значение величины Н, тем более типична данная случайная структура и тем ближе она к реальности".

Чтобы иметь возможность воспользоваться этой характеристикой на практике, необходимо четко и определить понятие "соседних включений". Каких-либо универсальных правил не существует, и выбор определяющих "соседство" ограничений зависит в значительной мере от конкретного физического объекта, который должна отображать данная численно синтезируемая случайная структура. Это может быть упаковка атомов в жидкости, расположение элементов в фильтре, насыпная среда типа песчаной или гравийной смеси, микроструктура композита или вязкой суспензии и т. п.

В нашем случае, для определения того, можно или нет считать данную пару частиц "соседями", использовали два параметра: максимально допустимый зазор между поверхностями включений — Ьа и минимально допустимое расстояние, на которое может приблизиться к соединяющей их центры линии любая другая "посторонняя" частица — &ь Исходя из общих физико-механических соображений, основанных на знании законов упругого взаимодействия между частицами в композитах с мягкой полимерной матрицей и жестким зернистым наполнителем, соседними считали только те включения, расстояние между которыми не превышало их радиуса (Ьа — г) и величина зоны "свободного от постороннего присутствия пространства" в зазоре (6 ) находилась в пределах от 0 до г. Для бинарных систем принимали, что г— ги.

Условие 8/,=0 означало, что отрезок, соединяющий центры соседних частиц, не должен пересекаться еще какой-либо частицей из ближайшего окружения. В самом деле, исходя из анализа решения задачи о двух близко расположенных жестких сферах, помещенных в упругую бесконечную матрицу, можно сделать следующие выводы: во-первых, основная энергия упругой деформации накапливается в области зазора, где ее плотность может во много раз превышать среднее значение; во-вторых, "возмущающее взаимодействие" между включениями быстро затухает при удалении нх друг от друга и на расстоянии порядка одного характерного размера становится практически незаметным [Гаршшш, 1988; Свистков, 1982; Chen, Acrivos, 1978].

На рис. 1.9 представлены обобщенные зависимости (не менее 10 независимых численных реализаций па каждую точку счета) дифференциальных плотностей распределения зазоров р{Ыг) в объемных монофракционных структурах с разной степенью наполнения. Показаны два крайних варианта выбора соседних частиц: мягкий (рис. 1.9а), когда Ьа = г, 5 = 0; и более жесткий (рис. 1.96) — &а - г, 8Ь- г. На графиках видно, что в случае менее жестких условий по выбору соседних частиц, даже при высоких степенях наполнения в структуре еще можно встретить какое-то количество достаточно больших зазоров (0.5 5 г). Вероятность их появления невысока и примерно одинакова для концентраций, превышающих 40% (можно провести некоторую аналогию с "информационным шумом"). Кривые плотности распределения для высоких концентраций характеризуются ярко выраженными пиками, которые при меньших наполнениях становятся все более пологими и сдвигаются вправо. При жестких ограничениях на выбор "соседей" больших зазоров при концентрациях выше 40% не наблюдалось, хотя в остальном кривые плотности распределения на рисунках 1.9а и 1.96 были качественно похожи.

Моделирование механических свойств зернистых композитов с уютом несжимаемости структуры

Во всем многообразии работ, посвященных описанию деформационного и прочностного поведения композиционных материалов, можно выделить следующие основные направления.

Во-первых, это феноменологические теории, которые рассматривают композитный материал как макрогомогенную сплошную среду, т. е. структура практически не рассматривается. Они дают лишь абстрактные математические связи, определяющие параметры которых вычисляются по результатам экспериментов [Кравчук и др., 1985; Разрушение, 1976]. Таким образом, можно получить хорошее согласование расчета и эксперимента, но в принципе нельзя выполнить анализ внутренних физических причин, приводящих к тому или иному результату. Данный подход позволяет с удовлетворительной точностью описывать (интерполировать) поведение композитной системы в области известных опытных данных, но практически ничего не говорит о возможности экстраполяции на еще не исследованное экспериментаторами пространство. Большой вклад в развитие феноменологических теорий внесли работы Новожилова, Работнова и многих других ученых [Новожилов, 1975; Работнов, 1959]. Необходимость и полезность данного подхода, особенно в случаях, когда для решения задачи не требуется прямых микроструктурных исследований, не вызывает сомнений.

Во-вторых, это статистические теории [Волченок, 1991], которые чаще всего применяют для исследования прочностного поведения структурно-неоднородных материалов. При этом также предполагается существование некоторой макрооднородной изотропной среды с отдельными дефектами микроструктуры, распределенными в соответствии с теми или иными статистическими законами (обычно постулируется распределение по нормальному закону или распределение В ей булла). Статистические теории не рассматривают реальную структуру материала и связанные с ней особенности напряженного состояния и не вкладывают реального физического смысла в понятие первичного элемента [Седракян, 1968]. Полученные с их помощью зависимости носят главным образом принципиальный характер. Для того чтобы перейти к каким-либо количественным результатам, требуется привлечение дополнительной эмпирической информации.

И, наконец, это различные методы механики микронеоднородных сред, которые в настоящее время являются одним из наиболее распространенных и разработанных способов математического моделирования гетерогенных систем. Данный подход практически универсален и дает возможность построения единой концепции разнородных по своей природе задач и процессов. Во многих случаях, особенно для линейных моделей, удается получить оценки погрешностей, т. е. очертить границы применимости получаемых результатов. Вместе с тем следует предостеречь от непродуманных обращений к средствам этого класса, так как их необоснованное использование может привести к неправильным результатам.

Все методы механики микронеоднородных сред основаны на двух базисных допущениях [Кристенсен, 1982; Нигматулин, 1978, 1987]: а) структурные неоднородности в системе во много раз больше моле кулярно- ки нети чес ких размеров (расстояний между молекулами, размеров кристаллов и т. д.), т. е. свойства каждого отдельного компонента можно описать, опираясь на гипотезу о сплошном континууме; б) размеры неоднородностей намного меньше расстояний, на которых макроскопические или осредненные параметры системы изменяются сущест венно (вне поверхностей раздела фаз). Последнее утверждение означает, что в теле всегда можно выделить определенную промежуточную область, содержащую статистический ансамбль структурных элементов, а макроскопический объект рассматривать как совокупность, составленную из счетного множества этих непересекающихся объемов. Первые исследования в области механики микронеоднородных сред связаны с работами Фойхта [Voight, 1928] и Рейсса [Reuss, 1929], предложивших формулы для вычисления упругих модулей композитов по правилу механического смешивания. Фойхт исходил из гипотезы однородности деформаций в структурно-неоднородном теле, а Рейсе предполагал, что однородны напряжения. Их решения (основанные на теоремах о минимуме потенциальной и дополнительной упругой энергии) образуют так называемую вилку Рейсса-Фойхта, ширина которой пропорциональна квадрату отношения модулей фаз. Как Рейсе, так и Фойхт отмечали, что соотношения такого типа присущи моделям сред, составленных из последовательных или параллельных элементов. К сожалению, эти оценки настолько далеки от свойств типичных композитов, что имеют скорее теоретический, чем практический интерес. В шестидесятые годы широкое развитие получили вариационные методы вычисления и уточнения границ эффективных модулей упругости зернистых и волокнистых композитов. В данном направлении работали Хашин и Штрикмап [Hashin, 1964, 1967; Hashin, Shtrikman, 1962, 1963], Хилл [Хилл, 1964, 1965]. Последний, к примеру, в своих исследованиях исходил из предположения о равенстве модулей сдвига изотропных фаз композита, а Хашин и Штрикмап — из принципа минимума дополнительной энергии. В дальнейшем эти методы получили развитие в работах Иеха [Yeh, 1970, 1971, 1973], исследовавшего композиты с регулярным расположением включений в матрице, и образующих двух или трехмерную решетку, причем предполагалось, что модуль упругости матрицы может быть как больше, так и меньше, чем у включений. Вариационные методы дают хорошие результаты для композитных систем, когда модули упругости компонентов различаются не более чем на порядок. В противном случае ширина вилок становится настолько велика, что их использование теряет практический смысл.

Основные положения структурно-статистического подхода к моделированию эффективных свойств композитов с высокоэластичной матрицей

Существует огромное количество различных гетерогенных материалов и систем, структуру которых можно представить в виде случайной (а в частном случае и регулярной) совокупности из достаточно близко расположенных частиц зернистой формы — это высоконаполненные вязкие суспензии, матричные полимерные композиты, бетоны, пески и некоторые другие виды грунтов и т. д. В настоящее время практически независимо существуют два подхода к исследованию структурных свойств подобных материалов. В первом из них — его можно, исходя из истории возникновения, назвать геомеханическим— основное внимание уделяется таким особенностям исследуемых объектов, как пространственное расположение структурных элементов, характер взаимодействия между ними в зонах контакта, распределение по объему сил реакции на внешнюю макроскопическую нагрузку и т. п.

В данном направлении работали многие исследователи (см., например, [Берлин и др., 1992; Kawai, 1977; Kishino, 1982])- Кендалл [Cundall, Strack, 1979] рассматривал ансамбли твердых трущихся частиц и изучал поведение насыпных систем типа песчаных смесей. Зубелевич и Мроз [Zubelewich, Mroz, 1983] обобщили подход Кендалла на случай моделирования разрушения ге о матер и ало в. Бажант [Bazant et al., 1990; Jirasek, Bazant, 1995] изучал развитие микроповрежденности в хрупких композитных материалах типа бетона с учетом влияния масштабного фактора.

В.А. Шишкин [Шишкин, 1983, 1984] со структурных позиций исследовал механизмы внутреннего трения, деформирования и течения сыпучих сред в зависимости от взаиморасположения частиц и распределения контактов между ними. Построенная им флуктуационная модель основана на формоизменении среды через ми кро флуктуации координационного числа и степени подвижности включений.

В работах Крута и Ротенбурга [Kruyt, Rothenburg, 1996, 2002] приведены результаты по структурному моделированию эффективных механических свойств гранулированных насыпных материалов, а также их изменения вблизи гладкой границы. Кун [Kuhn, 1997, 1999] численно исследовал особенности развития локальных деформаций (на уровне характерного размера частицы) в больших плоских случайных упаковках из одинаковых дисков (порядка тысячи) при двустороннем сжатии и сдвиге (рассматривался случай малых линейно-упругих деформаций). Эти авторы использовали схему Сата-ке [Satake, 1992, 1993], предложившего моделировать насыпную структуру в виде случайной плотной двухмерной упаковки из круглых дисков, заменяя ее (при дальнейших расчетах) дискретной системой из линейно-упругих стержней, соединяющих центры контактирующих частиц. Главная отличительная особенность геомеханического подхода заключается в том, что составляющие структуру дискретные частицы способны к взаимодействию между собой лишь при их прямом соприкосновении через соответствующие контактные силы.

Второе направление исторически больше связано с работами в области исследования волокнистых и зернистых композитов. В этом случае взаимодействие между частицами осуществляется уже не напрямую, а через матричные прослойки между ними. При расчетах подобные системы обычно считают непрерывными на микроскопическом и гомогенными на макроскопическом уровне, что позволяет в полной мере использовать известные методы механики микронеоднородных сред (см. раздел 2.1.).

Оба подхода с разных сторон освещают одну и ту же фундаментальную проблему— исследование свойств структурно-неоднородных сред,— и их объединение, несомненно, пошло бы на пользу делу. Попытка такого объединения для дисперсно наполненных композиционных материалов с сильно выраженной механической неоднородностью фаз (жесткие частицы наполнителя — мягкая эластомериая матрица) и легла в основу создания представленной ниже структурно-механической модели композита. Ее главная базовая идея заключалась в использовании так называемого метода физической дискретизации, согласно которому сложные реальные полевые взаимодействия между структурными неоднородностями заменяли эквивалентными (и более простыми для расчетов) реакциями в соответствующих дискретных механических элементах аналоговой системы, аппроксимирующей исследуемый объект. Иначе говоря, исходя из знания каких-то характерных для данной рассматриваемой среды физических закономерностей, производили переход от сплошного континуума с бесконечно большим числом степеней свободы к некоторой дискретной модели, оперирующей уже конечным набором параметров. Например, распределенную по объему массу тела можно свести к сосредоточенным массам и моментам инерции в узлах соответствующей стержневой конструкции; сложное движение жидкости может быть представлено течением через сеть элементарных трубок тока и т. д.

Большой вклад в развитие этого подхода внесли работы Аргириса [Ар-гирис, 1979] и Абси [Absi, 1972, 1977; Absi, Prager, 1975]. Абси предложил использовать стержневые системы для аппроксимации континуумов и использовал эту идею для расчета пластин и оболочек, а Аргирис применил физическую дискретизацию при анализе нелинейных явлений в строительных конструкциях. Им же было высказано предположение, что данный метод можно распространить и на более широкий круг задач, и приведены некоторые возможные схемы его реализации.

В последнее время (в связи с бурным развитием компьютерной техники) подобные способы расчета получили широкое распространение во многих отраслях механики. Я гота [Jagota, Bennison, 1995] и Боландер [Bolander, Saito, 1998; Bolander et al., 1999] исследовали механизмы прорастания трещины в сплошном материале типа бетона, который представляли в виде плоской стержневой системы из линейно-упругих элементов, разрушающихся хрупким образом. Ягота при этом использовал регулярные и квазирегулярные треугольные сетки, моделируя структурные неоднородности как вкрапления кластеров из стержневых элементов с иной жесткостью. Боландер применил другой прием дискретизации. В занимаемую телом область случайным образом вбрасывали заданное число точек — центров разбиения. Описывая вокруг них полиэдры Вороного (см. подраздел 1.З.1.), определяли ближайшие соседние узлы, которые затем соединялись упругими стержнями, — это так называемое разбиение Делани [Joe, 1986].