Содержание к диссертации
Введение
1 Основные положения термомеханики обратимого конечного деформирования анизотропных материалов 27
1.1 Описание кинематики процессов конечного деформирования 27
1.2 Описание напряжённого состояния. Уравнения движения и равновесия 35
1.3 Основные термомеханические соотношения 39
1.4 Построение образов термомеханических процессов в шестимерном пространстве ... 48
1.5 Изотропные и анизотропные материалы. Соотношения Дюгамеля– Неймана и закон Гука. Структура тензоров свойств материала 51
2 Термомеханические модели обратимого конечного деформирования 64
2.1 Прямая и обратная термомеханические задачи.. 64
2.2 Собственные упругие состояния. Инварианты тензоров деформаций и напряжений 67
2.3 Обобщение частного постулата изотропии А.А.Ильюшина 74
2.4 Конкретизация вида свободной энергии и решение прямой термомеханической задачи 81
2.5 Построение термомеханической модели обратимого деформирования с использованием потенциала Гиббса. Решение обратной термомеханической задачи 98
3 Программа идентификации типа начальной упругой анизотропии материалов 105
3.1 Подходы к идентификации упругих свойств материала 105
3.2 Описание программы экспериментов по идентификации типа упругой симметрии анизотропного материала 107
3.3 Программа экспериментов по определению главных и канонических осей анизотропии материала 110
3.4 Программа экспериментов по определению типа анизотропии материала 1 3.4.1 Программа экспериментальной идентификации изотропного и кубического материалов 118
3.4.2 Программа экспериментальной идентификации одноосных кристаллов 120
3.4.3 Программа экспериментальной идентификации триклинного, моноклинного и ромбического материалов 123
3.5 Анализ влияния погрешности измерений на точность выполнения критериев идентификации 124
3.6 Реализация программы экспериментов с помощью опытов на кручение цилиндрических образцов 126
3.7 Численное моделирование экспериментов по определению типа начальной анизотропии упругих материалов 138
4 Термомеханические свойства квазикристаллов . 144
4.1 Основные типы квазикристаллов 144
4.2 Общий подход к описанию симметрии свойств материалов 145
4.3 Линейные термоупругие свойства икосаэдрических квазикристаллов 149
4.4 Линейные термоупругие свойства аксиальных квазикристаллов 152
4.5 Нелинейные упругие свойства аксиальных квазикристаллов 157
5 Общая вариационная постановка связанных термомеханических задач в отсчётной конфигурации 173
5.1 Вариационные формы уравнения равновесия 173
5.2 Вариационная форма уравнения теплопроводности 181
5.3 Система уравнений связанной краевой задачи. Методы решения системы 185
5.4 Решение задачи о конечных деформациях полого изотропного цилиндра 193
5.5 Решение связанных задач термоупругости при конечных деформациях 195
5.6 Конечные деформации композитного баллона в температурном
поле 202
5.7 Конечные осесимметричные деформации резинового шара 208
Заключение 214
Список использованных источников 215
- Построение образов термомеханических процессов в шестимерном пространстве
- Обобщение частного постулата изотропии А.А.Ильюшина
- Описание программы экспериментов по идентификации типа упругой симметрии анизотропного материала
- Линейные термоупругие свойства икосаэдрических квазикристаллов
Построение образов термомеханических процессов в шестимерном пространстве
В механике деформируемого тела существует два основных подхода к описанию состояний и движения физических тел и отдельных частиц, составляющих эти тела: статистический и феноменологический.
В основе феноменологического подхода к изучению и описанию деформированных состояний и процессов деформирования различных реальных физических тел лежит гипотеза сплошности [46, 47, 88, 140]. Эта гипотеза позволяет представить материал в любом объёме, выделенном в реальном теле и содержащем достаточно большое число отдельных частиц (атомов или молекул), непрерывно распределенной средой, образующей материальное евклидово пространство. Другими словами, делается допущение о непрерывном распределении параметров, характеризующих свойства данного тела, по части пространства, занимаемой этим телом.
Рассмотрим неподвижное по отношению к отсчетному пространству материальное пространство. Положение точки М0 сплошной среды в начальный момент времени t0 определяется радиус-вектором х с координатами (xV;x3) в неподвижном декартовом базисе ех, е2, е3, а в момент времени t t0 - радиус-вектором x = x(x,t) (1.1) с координатами
Движение сплошной среды известно, если определён закон изменения пространственного радиус-вектора как функция материального радиус-вектора и времени (1.1) для каждой точки пространства. второго ранга. Обозначим тензор-градиент Ух=Ф. Этот тензор называется тензором-аффинором деформаций или аффинором деформаций [46, 47, 67, 68, 88, 140]. В общем случае аффинор деформаций является несимметричным тензором. В общем случае аффинор деформаций является функцией материальных координат и времени: Ф = Ф(х,0 Преобразование (1.4) является линейным, поэтому элементарные (бесконечно малые) волокна, прямые и параллельные в начальном состоянии при t = t0, остаются прямыми и параллельными в любой момент t 10.
Эх По теореме о полярном разложении [67, 211], любой неособенный (имеющий обратный) тензор можно представить произведением симметричного положительно определённого тензора справа или слева на ортогональный тензор. По предположению, якобиан системы (1.1 ) отличен от нуля. Он совпадает с определителем аффинора (1.5), поэтому аффинор является невырожденным тензором.
В соответствии с указанной теоремой представим аффинор деформаций двумя формами полярного разложения: D = U R и Ф = К V, (1.6) где U = UT- левая мера искажения, V = VT - правая мера искажения, R ортогональный тензор поворота: RT = R"1. Тензоры, входящие в полярные разложения (1.6), выражаются через аффинор деформаций следующим образом:
Для описания конечных деформаций в механике сплошной среды вводятся тензоры деформаций, определяемые на основании аффинора деформаций и тензоров из его полярных разложений (1.6) [67, 68, 131, 140]: мера деформаций Коши-Грина G = U2; мера деформаций Альманси g = V"2; тензор деформаций Коши-Грина е = - (G - Е); (1.8) тензор деформаций
При этом главные значения левой и правой мер искажения и, следовательно, тензора Генки и «повёрнутого» тензора Генки совпадают.
Тензоры, построенные на основе меры U, не изменяются при наложении на процесс деформирования Ф(t) жесткого вращения Q и относятся к классам «правых» [20] или инвариантных [67] мер деформаций. Тензоры, построенные на основе меры V, при наложении вращения изменяются и называются «левыми» [20] или индифферентными [67]. В этом случае аффинор деформаций принимает вид Ф =Ф Q, а «правые» и «левые» меры деформаций меняются соответственно по законам U =U и V = QT V Q (1.10) Процессы деформирования характеризуются не только законом распределения вектора перемещений в пространстве в каждый момент времени, но и распределением поля скоростей v сплошной среды. Характеристикой поля скоростей рассматриваемого объёма среды в любой момент времени t t0 является градиент скорости Vv, где V = э i - набла-оператор в о деформированном состоянии, который связан с оператором V соотношением третий инвариант I3(syv) = detsyv характеризует вид деформированного состояния [79]: cos3a= ъГъ, где а - угол вида деформированного состояния, e = УІЄА--ІА . В случае конечных деформаций первый инвариант тензора Коши Є -Е изменяется в изохорических процессах, то есть не может быть использован для характеристики объёмного деформирования так же, как девиатор этой меры є не отвечает только за формоизменение.
Используемая в работе неголономная мера деформаций М в случае, когда главные оси деформаций в течение всего процесса деформирования совпадают с одними и теми же материальными волокнами, совпадает с логарифмическим тензором деформаций Генки Г [15, 62, 70, 86]. Если процесс деформирования сопровождается вращением главных осей деформаций относительно материальных волокон, то использование приведённой меры деформаций позволяет удовлетворить требованиям объективности (независимости от выбора системы отсчёта) определяющих соотношений.
Значение неголономной меры деформаций М определяется всем предшествующим процессом деформирования посредством интегрирования уравнения (1.20) при известном поле скоростей сплошной среды.
Обобщение частного постулата изотропии А.А.Ильюшина
Рассмотрим неизотермический процесс однородного деформирования представительного объёма анизотропного материала.
Будем исследовать образ термомеханического процесса, построенный в шестимерном пространстве Е6 и состоящий из законов деформирования э(г) и нагружения cr{t) и закона изменения температуры T(t). Вектор деформаций э определяется соотношениями (1.60), (1.61) по компонентам меры деформаций, а соответствующий вектор нагружения а определяется соотношениями (1.64) по компонентам тензора напряжений.
Рассмотрим постановку прямой термомеханической задачи в случае конечных деформаций. Связь между векторами напряжений, деформаций и температурой в шестимерном пространстве в соответствии с постулатом макроскопической определимости (1.41) в случае обратимых процессов можно представить в виде a(t) = f[3(t),T(t)], (2.1) где э(0 - образ некоторой меры конечных деформаций, a(t) - образ энергетически сопряжённого с ней тензора напряжений, / - функция (но не функционал) вектора деформаций и температуры, моделирующая термомеханические свойства материала, t - монотонно изменяющийся параметр («время»).
Как показано в главе 1, существует много тензоров, которые могут использоваться в качестве мер конечных деформаций. Проанализируем два варианта возможного задания процесса деформирования: законом изменения тензора деформаций Коши-Грина e(t) (1.8) и законом изменения неголономной меры деформаций M(t) (1.20). В качестве мер напряжённого состояния используем определённые соотношениями (1.30) и (1.28) тензоры напряжений Т и ER, которые энергетически сопряжены с мерами деформаций и М через выражение для удельной мощности напряжений (1.50).
Используя указанные пары тензоров напряжений и деформаций, связь (2.1) между напряжениями, деформациями и температурой можно представить в виде Меры деформаций и М являются инвариантными относительно наложения на процесс деформирования жёсткого поворота, поэтому использование их в определяющих соотношениях позволяет тождественно удовлетворить требованию материальной объективности [48, 82, 131, 132, 178]:
Прямая термомеханическая задача состоит в установлении связи (2.1) (в частности, (2.2) или (2.3)), удовлетворяющей требованиям постулатов (2.4), а также определениям изотропного или анизотропного материала (1.71) или (1.72).
В случае бесконечно малых деформаций процесс задаётся линейным
тензором деформаций sA(t) (1.23) и законом изменения абсолютной температуры T(t). Напряжённое состояние характеризуется тензором истинных напряжений Коши S(t). Тогда прямая термомеханическая задача состоит в определении закона изменения напряжений по заданным законам єЛ(ґ), T(t). Эта задача решается на основании постулата макроскопической определимости (2.1), который для бесконечно малых деформаций записывается в виде
В линейной теории термоупругости [51, 103] соотношение (2.5) конкретизируется в виде закона Дюгамеля-Неймана (1.75). В случае изотермических процессов конкретизация соотношений (2.5) реализуется в виде обобщённого закона Гука (1.76).
Полагая, что существует взаимно-обратная связь между процессами нагружения и деформирования, рассмотрим однородный неизотермический процесс нагружения некоторого представительного макрообъёма анизотропного материала.
При задании процесса нагружения cr{t) и закона изменения температуры T(t) в случае, когда откликом материала являются конечные деформации, необходимо установить связи э(о=г1ио,до], (2.6) то есть s(t) = F;l[T(t\T(t)] (2.7) или М(0 = FMl [ER(0,7X0] . (2.8) Установление связи (2.6) при удовлетворении требованиям постулатов (2.4), определениям изотропного или анизотропного материала (1.71) или (1.72), составляет обратную термомеханическую задачу. В случае бесконечно малых деформаций такой процесс определяется законами изменений тензора истинных напряжений S(t) и абсолютной температуры T(t), а определению подлежит линейный тензор деформаций єА(ґ): eA(t) = F 1[S(t),T(t)]. (2.9) В линейной теории термоупругости [51, 103] соотношение (2.9) принимает вид (1.77), а в случае изотермических процессов - (1.78). Собственные упругие состояния. Инварианты тензоров деформаций и напряжений
Закон Гука в виде (1.76) или (1.78) адекватно описывает механическое поведение анизотропных материалов при малых деформациях и постоянной температуре. Структура и свойства тензора упругости N исследовались многими учёными: П.В.Бехтеревым, Я.Рыхлевским, Н.И.Остросаблиным, К.Ф.Черныхом и др. [2, 79, 111-115, 136, 137, 209, 243]. Я.Рыхлевский предложил для анализа упругих свойств анизотропных материалов понятие собственного упругого состояния [136, 137]. По определению Я.Рыхлевского [136, 137] собственным тензором оператора N (собственным упругим состоянием) называется тензор деформаций га, для которого
Описание программы экспериментов по идентификации типа упругой симметрии анизотропного материала
Для разработки экспериментальных программ по конкретизации материальных констант и функций, которые входят в определяющие соотношения, построенные во второй главе, требуется знать тип начальной упругой анизотропии материала, так как число материальных констант или функций различно для разных типов материала. При бесконечно малых деформациях и постоянной температуре предложенные определяющие соотношения асимптотически стремятся к закону Гука, который записывается в виде (1.76) или (1.78). Как показано в первой главе, для каждого типа анизотропного материала характерна своя структура тензоров упругости N и упругих податливостей C [37, 60, 82, 146, 210, 246]. Поэтому тип начальной упругой анизотропии материала можно определить из экспериментов при бесконечно малых деформациях.
В работе Я.Рыхлевского [243] доказано, что для нахождения 21 компоненты тензора упругости в общем случае требуется провести 15 экспериментов на одномерное нагружение и 6 экспериментов на двумерное нагружение. В статьях [207, 229, 230, 240] приведены способы определения 21 компоненты тензора упругости в лабораторной системе координат с применением акустических волн [240], методов голографической и спекл-интерферометрии [207], экспериментов по статическому однородному деформированию [229].
В работах [230, 240] сформулированы необходимые и достаточные условия существования плоскостей симметрии.
Если известны тип и ориентация главных осей анизотропии материала, то число экспериментов, необходимых для определения констант упругости, сокращается. Однако в известных исследованиях [111–115] идентификация типа анизотропии материала проводилась на основании выявления свойств симметрии матрицы упругих констант, найденных экспериментально.
В работе Я.Рыхлевского [136], изданной в 1984 году, отмечалось, что проблема идентификации типа анизотропного материала на тот момент времени не была решена. Проблема состоит в том, чтобы для анизотропного материала установить точечную группу симметрии его механических свойств, то есть отнести материал к одной из известных кристаллографических систем [60, 82, 146, 210], при этом сам материал не обязательно должен быть кристаллом.
В работе [111] задача об определении типа анизотропного материала решена в общем виде на основе разложения известного из экспериментов тензора модулей упругости на изотропную (постоянную) часть и части, содержащие два девиатора и нонор. Приведены формулы разложений матриц модулей упругости материалов всех кристаллографических сингоний. Эти разложения для разных типов анизотропных материалов имеют различный вид, поэтому на их основе можно полностью решить проблему идентификации анизотропного материала.
Ещё один подход к решению указанной проблемы основан на построении полной системы полиномиальных инвариантов относительно ортогональных преобразований системы координат [37, 38]. В статье [2] отмечается, что такая система инвариантов пока не построена.
Однако во всех указанных работах [38, 207, 229, 230, 240, 243] для установления типа анизотропного материала требуется знать 21 компоненту тензора упругости или тензора упругих податливостей в некоторой системе координат.
Альтернативный подход к решению проблемы идентификации типа анизотропии материала состоит в разработке программы экспериментов, с помощью которой можно перед определением упругих констант провести классификацию материалов по кристаллографическим системам [79, 82], если симметрия свойств некоторого анизотропного материала априори неизвестна. Такая система экспериментов позволяет идентифицировать тип симметрии свойств анизотропного материала. Разработка этой системы экспериментов представляется актуальной задачей. В статьях [188, 191–193, 196, 198, 201, 203] разработана методика проведения экспериментов и обработки полученных экспериментальных данных для определения типа упругой анизотропии материала.
Предварительное определение типа анизотропии и, следовательно, симметрии материала позволит сократить количество экспериментов, необходимых для нахождения всех упругих констант (компонент тензора N или C).
Описание программы экспериментов по идентификации типа упругой симметрии анизотропного материала
В работах [76, 79, 82] была предложена программа экспериментов для идентификации типа упругой симметрии анизотропного материала, структура которого в общем случае заранее не известна. В качестве объекта исследования рассматривается кубический образец представительных размеров, ребра которого направлены по осям лабораторной системы координат.
Базовым в программе является эксперимент по определению положения главных осей анизотропии в материале.
В соответствии с определением В.В.Новожилова [104] главными осями анизотропии называются главные оси тензора напряжений, возникающих в анизотропном материале в ответ на чисто объёмную деформацию. Чисто объёмное деформирование трудно реализовать в опытах. Поэтому, следуя работе [158], покажем, что главные оси анизотропии материала можно определить как главные оси тензора деформаций, возникающих в материале при гидростатическом сжатии.
Линейные термоупругие свойства икосаэдрических квазикристаллов
В этом случае выражения для тензоров при преобразовании (—) поворота Q3" аналогичны выражениям (4.11), (4.12) с тем отличием, что в знаменателе аргументов синусов и косинусов 5 заменяется на п . Тензоры I Iа) , (Г У при преобразовании отражения Q± имеют вид (4.13), (4.14). Инвариантными относительно преобразований (4.17), (4.9) являются те же базисные тензоры и их линейные комбинации, что и для аксиального квазикристалла с поворотной осью симметрии 5-го порядка: I, Iі и I00, I01, I11, I22+I33, I44+I55. Поэтому для аксиальных квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п 6 и перпендикулярную ей плоскость симметрии, канонические представления тензоров A и C также имеют вид (4.15) и (4.16).
Полученный теоретический результат полностью подтверждается экспериментальными данными по определению упругих свойств декагональных квазикристаллов, приведёнными в
Таким образом, для квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п 4, тензоры четвёртого ранга имеют одинаковый вид, совпадающий с представлением тензора четвёртого ранга для трансверсально-изотропного материала. Механические эксперименты по исследованию начальных упругих свойств и определению структуры тензора упругости не позволяют отличить квазикристаллы от кристаллов гексагональной сингонии и трансверсально-изотропного материала.
Однако различия между аксиальными квазикристаллами с поворотной осью симметрии 5-го порядка и квазикристаллами с осью симметрии порядка выше 6-го, а также гексагональным (или трансверсально-изотропным) материалом, могут обнаружиться в структуре тензора шестого ранга, определяющего нелинейную зависимость напряжений от деформаций.
Нелинейные упругие свойства аксиальных квазикристаллов Рассмотрим анизотропное упругое тело, для которого свободная энергия представляется разложением в ряд Тейлора
Входящие в это разложение тензор второго ранга B = — и тензор дедТ четвёртого ранга N = —у в линейной теории термоупругости называются тензором температурных напряжений и тензором упругости соответственно (см. (1.73), (1.75)). Если в разложении свободной энергии сохранить члены третьего порядка, то упругие свойства материала будут характеризоваться также и тензором шестого ранга D = —, симметричным по первой, второй, третьей парам индексов и их перестановкам: Diklmn = D lklmn = Dilkmn = Diklnm = Dimnkl = Dklimn.
В самом общем случае анизотропии свойств тензоры B, N и D имеют наиболее общий вид. В силу симметрии используемых в классической теории упругости тензоров напряжений и деформаций число независимых компонент тензора D равно 56. Если термоупругие свойства материала обладают некоторой симметрией, то количество независимых констант уменьшается, а тензоры B, N и D приобретают более простую структуру. Структура тензоров B и N совпадает со структурой тензоров A и C соответственно.
Применим метод построения инвариантных комбинаций базисных тензоров для определения структуры тензора D, описывающего нелинейные упругие свойства аксиальных квазикристаллов, гексагонального и трансверсально-изотропного материалов.
Аналогично тензорному базису полусимметричных тензоров четвёртого ранга (1.97) При ортогональном преобразовании Q = qiJPkJ базиса декартовой системы координат тензорный базис (4.19) изменяется по законам ) +(I У(I ) +(I У(I У. (4.24) З Любой симметричный по первой, второй, третьей парам индексов и их перестановкам (D ijklmn = DJiklmn = D ijlkmn = D ijklnm = D ijmnkl = D klijmn ) тензор шестого ранга однозначно представляется разложением по базису (4.22) в виде где D = Dljklmn el ekeleme\ DaPr=plpk Dl]klmnPln или Da/,r= DljklmX L Pa Рш – компоненты матрицы перехода (1.62). Если при некотором преобразовании Q системы координат для каких-либо базисных тензоров выполняются условия то они называются инвариантными относительно преобразования Q.
В п.4.4 на основе порождающих элементов групп ортогональных преобразований, которые характеризуют симметрию свойств аксиальных квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п = Ъ или получены наборы базисных тензоров Г, Iар, инвариантных относительно этих преобразований и входящих в канонические представления тензоров B и N (A и C) для квазикристаллов.
Найдём наборы инвариантных базисных тензоров шестого ранга для аксиальных квазикристаллов с различными порядками поворотной оси симметрии, гексагонального и трансверсально-изотропного материалов и выпишем для них канонические представления тензора D. При этом для отыскания тензоров {Iару\ используем формулы (4.23) или (4.24). При ортогональных преобразованиях (4.17), (4.9), которые служат порождающими элементами группы симметрии аксиального квазикристалла с поворотной осью симметрии п -го порядка, тензоры I ) имеют вид: для поворота (4.17)
