Содержание к диссертации
Введение
1 Основные положения теории процессов конечного деформирования 15
1.1 Меры деформаций и напряжений 17
1.2 Уравнения движения и законы сохранения 27
1.3 Основные положения термомеханики и теории определяющих соотношений ... 32
1 4 Построение образа процесса деформирования в начально анизотропной среде 42
2 Описание симметрии свойств материалов в пространстве А.А.Илъюшина 53
2.1 Анизотропные материалы, обладающие симметрией свойств 53
2.2 Трехпараметрические ортогональные преобразования шестимерного пространства А. А. Ильюшина 58
2.3 Инвариантные тензорные базисы 65
2.4 Канонические представления анизотропных тензоров 78
2.5 Определение типа исходной анизотропии материала 84
3 Обратимые процессы конечного деформирования анизотропных и изотропных тел 90
3.1 Основные соотношения обратимой термомеханики. Конечные деформации в анизотропных телах 95
3.1.1 Тензорно-линейная связь между напряжениями и деформациями , 95
3.1 .2 Квазилинейные соотношения анизотропной термоупругости 112
3.2 Обратимые процессы конечного деформирования изотропных сред 121
3.2.1.Квазилинейные соотношения для изотропных материалов 121
3.2.2 Нелинейные определяющие соотношения, учитывающие возможность отклонения свойств материала от частного постулата изотропии 126
3.3 Методика обработки экспериментов по конечному деформированию сплошных цилиндров 132
3.3.1 Описание напряженно-деформированного состояния цилиндров при нагружении их осевой силой и крутящим моментом 132
3.3.2 Асимптотическое решение задачи о кручении сплошного цилиндра 141
3.3.3 Программа экспериментов по определению констант модели 145
3.3.4 Исследование проявлений нелинейных эффектов при кручении цилиндра 147
4 Необратимые равновесные процессы конечного деформирования анизотропных материалов 154
4.1 Термомеханика необратимых процессов 159
4.2 Вариант теории течения 165
4.3 Вариант деформационной теории пластичности 173
4.4 Описание деформационной анизотропии 180
4.5 Изменение ориентации главных осей анизотропии при конечном однородном деформировании 185
4.5.1 Изменение ориентации осей анизотропии при двухосном деформировании 186
4.5.2 Изменение ориентации осей анизотропии при простом сдвиге 190
5 Задача о конечном деформировании анизотропных цилиндрических тел 203
5.1 Постановка краевой задачи 204
5.2 Построение конечноэлементной модели деформирования композитных осесимметричных конструкций 213
5.3 Конечные деформации композитного баллона в заданном температурном поле 220
Заключение 233
Список использованных источников 235
- Основные положения термомеханики и теории определяющих соотношений
- Трехпараметрические ортогональные преобразования шестимерного пространства А. А. Ильюшина
- Тензорно-линейная связь между напряжениями и деформациями
- Вариант деформационной теории пластичности
Введение к работе
Развитие новых материалов и технологий требует построения все более сложных моделей поведения деформируемых твердых тел под воздействием силовых факторов в неоднородных и нестационарных полях немеханической природы (температурных, электромагнитных и других). Такие модели могут быть построены на основе единого термомеханического подхода, введенного в механику сплошных сред Л.И. Седовым [167, 168], А.А. Ильюшиным [62, 64], И.И. Гольденблатом [47], К. Трусделлом [200] и интенсивно развивающегося в настоящее время в работах В.Н. Кукуджанова и К, Сантойя [80], И.Г Терегулова [189], В Л- Пальмова [142], А.С Кравчука [77], ВИ. Левитаса [87], А.А, Маркина [104], Н.Г\ Бураго, А.И. Глушко и АН. Ковшова [31], Е.З, Короля [73] и других авторов.
Целью работы является построение вариантов термомеханических соотношений, определяющих поведение анизотропных материалов при конечном деформировании и позволяющих прогнозировать изменение их свойств, с указанием программ их экспериментальной конкретизации.
Будем рассматривать материалы, которые в начальном состоянии обладают некоторой симметрией свойств, в том числе изотропные материалы могут рассматриваться как частный случай анизотропных, обладающих полной симметрией свойств. Описание симметрии свойств материалов в механике сплошных сред основывается на классических работах А,В, Шубникова [2113 212], Ю.И. Сиротина [169, 170], А. Грина и Дж. Адкинса [51], Э. Спенсера [186], В В Лохина [92, 93].
Изучению симметрии упругих свойств анизотропных материалов и структуры закона Гука посвящены труды П. Бехтерева, Н.Г. Ченцова, СП Лехницкого [90]5 Яна Рыхлевского [164]5 К.Ф, Черныха [207«, 208], Е.К. Ашкенази [15, 16], а также работы других авторов [96, 228, 230, 233, 235, 237, 256,258,259,260].
Интерес представляет серия работ Яна Рыхлевского с соавторами [225,
251, 252], в которых автор методом теории групп получил неприводимое
линейное ортогональное разложение полусимметричных тензоров четвертого
ранга на изотропную и две анизотропные составляющие, (В работе Н,И,
Остросаблина [141] используется подобное разложение тензора четвертого
ранга на постоянную, девиаторную и нонорную части) Анализ полученных
разложений и решение ряда простых задач позволили в статье [252] сделать
некоторые выводы о характере поведения анизотропных материалов, В
частности, получен вывод о том, что существуют анизотропные материалы,
ведущие себя в некоторых условиях как изотропные. Поэтому имеются
некоторые классы воздействий на материал, не способных выявить тип его
анизотропии. В связи с этими выводами Я. Рыхлевского актуальной является
проблема идентификации типа анизотропии материала, которая состоит в
разработке программ экспериментов, относящихся по терминологии А. Грина и
Дж. Адкинса [51] к предварительным экспериментам над материалом. Общая
система предварительных экспериментов включает в себя эксперименты не
только по определению изотропии или анизотропии свойств материала, но и
установление его однородности или неоднородности, упругости либо
неупругости. О необходимости проведения таких экспериментов, названных
установочными, говорилось ив книге Б.Е. Победри [151].
Хотя число работ, в которых рассматриваются определяющие соотношения и постановки краевых задач в упругих и пластических анизотропных средах при малых деформациях, велико, имеется достаточно небольшое число работ, посвященных исследованию конечных деформаций анизотропных материалов. Это монографии А. Грина и Дж. Адкинса [51], К.Ф. Черныха [66, 207], В,И. Левктаса [85], а также статьи АС. Кравчука [76], Y.F, Dafalias [231, 232], J. Mandel [242] и других авторов [233, 243],
В монографии [51] особое внимание уделяется общей форме связи между напряжениями и конечными деформациями в упругих материалах. Рассмотрено влияние симметрии свойств материала на определяющие соотношения, при
6 этом полагается, что группа симметрии материала не изменяется в процессе деформирования. Функция энергии деформации полагается инвариантной по отношению к группе симметрии, что накладывает ограничения на форму ее зависимости от тензора деформаций. Для различных кристаллических классов построены полиномиальные тензорные базисы для групп преобразований, описывающих симметрию свойств этих классов. В монографии [51] уделяется внимание и такому важному вопросу моделирования конечных деформаций, как исключение жестких поворотов, для чего предлагается использовать в определяющих соотношениях объективную производную Яуманна от тензора напряжений. Известно, что в изотропных материалах это приводит к явлению осцилляции напряжений при простом сдвиге [248], а ниже будет показано* что такое же явление возникает и в анизотропных материалах.
Монография К.Ф, Черныха [207] также посвящена проблемам нелинейной анизотропной упругости. На основании изучения групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств кристаллических классов и текстур, автор для изотропного, трансверсально-изотропного и ортотропного материалов выписывает системы инвариантов тензора деформаций, в качестве которого используется тензор конечных деформаций Коши-Грина или метрический тензор деформированного состояния. Закон упругости является следствием представления плотности энергии деформации (упругого потенциала) как функции выписанных инвариантов. Выдвинуто важное требование перехода закона упругости при малых деформациях в закон Гука. Приведены конкретные выражения для упругого потенциала в трансверсально-изотропных и ортотропных материалах. Предложенные соотношения положены в основу теории конечных деформаций тонких анизотропных оболочек (см. также [66, 163]), Поскольку соотношения формулируются в терминах инвариантных (по отношению к жесткому движению) мер напряжений и деформаций, вопрос о методе исключения конечных поворотов не ставится- В дальнейшем будет показано, что использование в определяющих соотношениях меры деформаций Коши-Грина
7 и сопряженного с ним энергетического тензора напряжений приводит к неадекватному описанию больших деформаций простого сдвига.
В книге В.И. Левитаса [85] с общих термомеханических позиций рассматриваются большие упругопластические деформации изотропных и анизотропных материалов. Учет анизотропии свойств производится путем включения в число аргументов функции свободной энергии тензоров четных рангов, характеризующих симметрию свойств. Важным является вывод об индифферентности этих тензоров На основании априорного разделения деформаций на естественную меру упругих деформаций и термодинамически допустимую меру пластических деформаций автор выписывает анизотропный закон термоупругости в терминах актуальной конфигурации и закон неизотермического пластического течения анизотропного материала в скоростном виде, В книге указываются пути конкретизации предложенных законов, однако, ни один из конкретных вариантов соотношений для определенного типа анизотропного материала, кроме изотропного, не приведен. В работах А.А. Маркина [116] было показано, что существенным недостатком мер, предложенных в [85], является невозможность определить тензор скорости упругой деформации только через введенную упругую меру и при этом соблюсти условие аддитивности полной, упругой и пластической составляющих тензора деформации скорости.
Y.F. Dafalias [231, 232] считает, что в определяющих соотношениях необходимо применять объективную производную тензора напряжений, в которой используется угловая скорость вращения некоторой структуры, так называемый пластический спин. Для пластического спина предлагаются собственные эволюционные соотношения, физический смысл и методы экспериментальной конкретизации которых остаются неясными. В статье J Mandel [242] для произвольной среды вводится направляющий трехгранник и полагается, что все^ производные нужно брать относительно этого трехгранника. Физический смысл трехгранника очевиден для монокристалла3 но в поликристаллических материалах смысл его непонятен.
В настоящей работе предлагается, следуя работам А.А. Маркина [116, 117], Г.Л. Бровко [26,28, ЗО], ВИ. Левитаса [85, 86, 87], А.А. Рогового [137] для исключения жесткого поворота в определяющих соотношениях скоростного типа использовать обобщенную яуманновскую производную тензоров напряжений и деформаций, а в качестве тензора деформаций использовать неголономную меру, обобщенная яуманновская производная которой совпадает с тензором деформации скорости. В случае анизотропных материалов это существенно облегчает запись уравнений состояния, так как тензоры, характеризующие начальную анизотропию свойств материала, индифферентны, а объеюнвные производные указанного типа от них обращаются в ноль при условии постоянства их компонент в главных осях анизотропии. На этот факт также указывалось в работах [85, 159, 207, 243].
Конечные деформации анизотропных тел сопровождаются рядом интересных эффектов. В первую очередь это касается изменения типа и основных характеристик начальной анизотропии упругих и пластических свойств [6, 75, 83, 150, 151, 207, 214, 215], то есть развития деформационной анизотропии. Это явление связано также с тем, что главные оси анизотропии в процессе конечного деформирования изменяют свою ориентацию и не только в процессах, сопровождающихся жестким вращением, но и при "чистой11 деформации [207, 232, 243]. Учет вращения главных осей анизотропии при наложении на процесс деформирования жесткого поворота производится в работах [85, 118, 207, 215, 243] путем использования соответствующих эволюционных соотношений для базисных векторов, направленных вдоль главных осей анизотропии. Модели теории течения анизотропных сред, в которых возможно описать изменение ориентации осей анизотропии при "чистой" деформации, предложены в работах Y.F. Dafalias [231, 232],
Развитие деформационной анизотропии при упругопластических деформациях присуще также и изотропным материалам, о чем говорилось в . работах А.А. Ильюшина [64, 65], Р,А. Васина и А.Б. Ибрагимова [35, 37, 38]3 ВА. Пелешко [144]. Кроме того, конечные деформации начально изотропных
9 материалов сопровождаются экспериментально наблюдаемыми эффектами второго порядка, к которым относят эффекты Кулона и Пойнтинга [20, 200]. Эти эффекты проявляются, в частности, при кручении цилиндрических тел и состоят в появлении дополнительной осевой силы или осевой деформации в зависимости от реализуемой схемы нагружения.
Поведение анизотропных тел под действием гидростатического давления существенно отличается от поведения изотропных тел. Экспериментально установлено, что при воздействии на анизотропный материал только гидростатического давления возможно появление остаточных пластических деформаций, а в начально изотропных материалах пластические деформации в области исследованных уровней гидростатических давлений не обнаружены [15, 55, 226, 227], Различно поведение изотропных и анизотропных материалов под воздействием температурного поля [41, 130, І7І], В однородном поле температур в нестесненном изотропном теле возникают только объемные деформации, а в анизотропном теле к объемным деформациям добавляются сдвиговые. В случае нагревания тел при отсутствии деформаций в них возникают температурные напряжения, которые в изотропных телах являются гидростатическими, а в анизотропных телах содержат шаровую и девиаторную составляющие. Механические свойства как изотропных, так и анизотропных тел зависят от температуры, причем эта зависимость может быть и нелинейной [47].
Проявление описанных нелинейных эффектов в анизотропных и изотропных телах усиливается с ростом деформаций, поэтому актуальной является разработка моделей конечного деформирования изотропных и анизотропных тел, позволяющих описать эти явления,
В современной литературе практически отсутствуют публикации, в которых были бы предложены модели конечного термоупругого или термопластического деформирования анизотропных тел. Исключение составляет лишь монография В.И. Левитаса [85], в которой сделаны первые шаги в этом направлении, В случае малых деформаций упругого анизотропного
10 тела напряжения, деформации и температура чаще всего связываются с помощью уравнений Дюгамеля - Неймана, вывод которых с точки зрения термомеханики приведен в книге В. Новацкого [133]. Вопросам термоупругости изотропных материалов посвящены классические работы ДА. Коваленко [67, 68], Б, Боли и П.П. Уэйнера [23]5 М. Био [22, 224], Э. Мелана и Г, Паркуса [125], Я.С Подстригача с соавторами [156], а в случае анизотропных материалов постановки задач термоупругости на основе уравнений Дюгамеля -Неймана приведены в книгах Б.Е. Победри [151], А.С. Кравчука, В.П, Майбороды и Ю,С, Уржумцсва [77], в трехтомнике по механике композитов под редакцией АН. Гузя [126],
Проблемы термодинамики в анизотропных материалах и формулировка вариационных принципов термоупругости рассматривались в книгах И.И. Гольденблата с соавторами [47, 48] и работах М. Био [22, 224]? в статье Б.Е. Победри [152]. Решение смешанной задачи термоупругости для трансверсально-изотропного слоя приведено в статье [143], Связь между напряжениями, деформациями и температурой в изотропных упругопластических телах обсуждается в работах ЮН. Шевченко [162, 209]. Как отмечалось Б.Е. Победрей ([151], стр, 117), «.., связанная задача термоупругости представляет чаще всего только академический интерес», поэтому в большинстве из перечисленных работ решалась несвязанная задача. При этом распределение температуры находилось из решения задачи теплопроводности, а затем решалась задача механики деформируемого твердого тела с измененными объемными и поверхностными силами.
Помимо разработки термомеханических моделей поведения материалов интерес представляет постановка краевых задач конечного деформирования анизотропных тел под действием силовых и температурных воздействий. Такие постановки задач в случае изотропных материалов рассматривались в работах АА. Поздеева, П.В. Трусова и Ю.И. Няшина [159, 203]s АА. Поздеева и А.А, Рогового [158], ВИ. Левитаса [85], А.А. Маркина и В.И. Адамова [2], АА, Маркина и М.Ю. Соколовой [110].
11
В предложенной работе на основе классического термомеханического
подхода и обобщения теории процессов А.А. Ильюшина на конечные
деформации начально анизотропных материалов предложены
термомеханические модели поведения изотропных и анизотропных тел при конечном деформировании под воздействием силовых факторов и температурных полей.
В первой главе с единой точки зрения рассматриваются проблемы описания кинематики конечных деформаций, основные теоремы механики сплошной среды. Определен класс процессов деформирования начально анизотропных материалов, в которых удельная механическая работа может быть представлена как свертка обобщенного тензора истинных напряжений и тензора деформаций Генки,
В рамках постулата макроскопической определимости дано определение анизотропных материалов, обладающих симметрией свойств.
Введено понятие образа процесса конечного деформирования начально анизотропных тел. Показано, что тензорам четвертого ранга, характеризующим симметрию свойств среды, в шестимерном пространстве А.А. Ильюшина Е6 соответствуют тензоры второго ранга. Получены соотношения, связывающие компоненты этих тензоров. Введены обобщенные канонические тензорные базисы второго и четвертого рангов. Главным свойством введенных базисов является возможность представления любого тензора разложением по этим базисам, коэффициенты которого совпадают с компонентами соответствующих им в пространстве Я6 векторов и тензоров. Получено разложение по введенным базисам для двух изотропных тензоров четвертого ранга.
Вторая глава посвящена проблемам описания симметрии свойств анизотропных материалов в пространстве А.А. Ильюшина. С этой целью выписаны матрицы трехпараметрических ортогональных преобразований пространства Е& связанные с ортогональными преобразованиями декартовых координат пространства, занимаемого средой. Определены порождающие элементы групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию
12 свойств материала в шестимерном пространстве. Для анизотропных материалов различных типов установлены инвариантные векторные и тензорные базисы шестимерного пространства и системы инвариантных тензоров обобщенного канонического базиса.
Получены рациональные инвариантные базисы для симметричных тензоров второго и четвертого рангов в анизотропных средах различных типов. Выписаны канонические представления тензоров, описывающих свойства анизотропных материалов различных типов, в шестимерном пространстве и в пространстве, занимаемом средой. Разработана программа экспериментов для установления типа исходной анизотропии материала и существующей симметрии его свойств.
В третьей главе диссертации рассматриваются терм о механические модели обратимого конечного деформирования изотропных и анизотропных материалов. На основе предложенных форм для функции свободной энергии анизотропного материала получены тензорно-линейные и квазилинейные соотношения между напряжениями, конечными деформациями и температурой и соответствующие им представления для энтропии, В рамках тензорно-линейной связи проведен анализ температурных напряжений и деформаций на гранях однородного параллелепипеда, рассмотрен процесс изотермического простого сдвига.
Предложена система экспериментов для конкретизации квазилинейных соотношений. Проведен анализ нелинейных температурных напряжений. Показано, что при одноосном изотермическом деформировании квазилинейные соотношения описывают явление разносол роти вляем ости анизотропных материалов
Рассмотрены обратимые процессы деформирования в изотропных средах. Вариант квазилинейных соотношений получен из соотношений для анизотропных материалов путем использования тензорных базисов для изотропных материалов. Этот вариант соотношений учитывает дилатационные
13 явления в упругих изотропных материалах в рамках выполнения частного постулата изотропии АЛ. Ильюшина.
Предложен вариант нелинейных определяющих соотношений термоупругости, учитывающий возможность отклонения свойств материала от частного постулата изотропии Разработана программа экспериментов по его конкретизации.
На основе решения краевой задачи о комбинированном нагружении сплошного цилиндра осевой силой и крутящим моментом разработана методика обработки экспериментов по конечному деформированию сплошных цилиндрических образцов.
Проведен анализ нелинейных явлений при кручении сплошных цилиндров, в том числе эффекта Пойнтинга.
В четвертой главе рассматривается необратимое деформирование
анизотропных материалов. На основе термомеханического подхода к
рассмотрению необратимых равновесных процессов конечного
деформирования для анизотропных материалов предложен способ выделения обратимой составляющей деформаций, являющейся аналогом объемных деформаций изотропного материала. Рассмотрены модели материалов, в которых работа напряжений на составляющей вектора деформаций, ортогональной к обратимой, полностью диссипирует.
Для жесткопластического анизотропного материала без упрочнения предложен вариант теории течения, использующий в качестве предельного условия квадратичную форму относительно составляющей вектора напряжений, ортогональной к выделенному направлению обратимых деформаций. Предложенный вариант соотношений описывает явление пластического течения анизотропных материалов под действием только гидростатического давления.
Для анизотропных жесткопластическнх материалов с упрочнением предложен вариант деформационной теории термопластичности. Предложенные квазилинейные соотношения отражают зависимость тензора
14 свойств материала от необратимой составляющей вектора деформаций. Они позволяют описать развитие и эволюцию анизотропии в процессе деформирования, втом числе и в начально изотропных материалах.
На основе квазилинейных соотношений проведен анализ вращения главных осей анизотропии при однородном конечном деформировании на примерах двухосного растяжения-сжатия и простого сдвига полосы из трансверсально-изотропного материала. Полученные результаты не противоречат результатам Y,F. Dafalias [232].
Пятая глава посвящена постановке краевой задачи конечного деформирования анизотропных тел под действием внешних силовых факторов в неоднородном температурном поле. Составлена система уравнений связанной краевой задачи термопластичности анизотропных тел с учетом конечности деформации, включающая в себя предложенный вариант определяющих соотношений, условия равновесного протекания процесса в вариационной форме, уравнение теплопроводности. Разработана методика численного решения поставленной краевой задачи с использованием методов конечных элементов и пошагового нагружения.
Построена модель поведения осесимметричных цилиндрически анизотропных тел под действием осесимметричной нагрузки в заданном осесимметричном температурном поле. Обсуждаются полученные результаты исследования поведения композитных баллонов под действием внутреннего давления в заданном температурном поле. Проведенные расчеты напряжений в стенках баллона показали возможность разрушения связующего от возникающих между слоями намотанного композита касательных напряжений
Разработанная методика и соответствующие программные средства могут быть использованы в НИИ, КБ и на промышленных предприятиях с целью проведения прочностных расчетов изделий из намотанных композитов.
Полученные результаты опубликованы в статьях (11, 12, 108-115, 172-1841.
\s
Основные положения термомеханики и теории определяющих соотношений
В основе термодинамики и теории определяющих соотношений лежит постулат макроскопической определимости, выдвинутый А.А, Ильюшиным в работах [61, 64], а также под другими названиями приведенный в книгах [168, 200]. Этот постулат утверждает, что напряженное состояние в точке х - const в момент времени t try определяется процессом деформирования s(t), tQ x ty изменением температуры Т(т) и других нетерм омеханических параметров в данной точке среды. Таким образом, утверждается, что процесс в точке х среды не зависит от процесса в какой-либо соседней точке х + d х , то есть локально определен. Кроме того, постулат утверждает, что принципиально возможно в некотором макрообъеме создать однородное напряженно-деформированное состояние, полностью адекватное состоянию в точке х, и реализовать это состояние в экспериментах с М-образцами. В связи с этим формальное выражение для постулата макроскопической определимости может быть записано именно для такого макрообъема.
В окрестности точки х в начальном состоянии выделим макрообъем Д V{) с плотностью р0 при температуре Г0. Вследствие перемещений стенок этого макрообъема, определяемых аффинором деформаций Ф(/)? и притока тепла drO внутри него возникают поля напряжений S(/) и температур T(t). Напряжения S(t) характеризуют контактные воздействия на частицы среды, находящиеся на поверхности А} оіраничивающей макрообъем. Неконтактные , воздействия на частицы макрообъема могут быть вызваны внешними по отношению к нему полями различной природы (гравитационными, электромагнитными и др.). Однако, в дальнейшем воздействием таких полей будем пренебрегать. Будем считать, что действующие внутри макрообъема поля деформаций, напряжений и температур являются однородными. В статье [1] отмечалось, что при конечных деформациях однородность полей напряжений и деформаций трудно достижима. Как показано в работе [104], однородность полей достигается в процессах простого конечного деформирования при отсутствии массовых сил.
Как указывалось в работе [104], между формами (1.54) и (1.56) постулата макроскопической определимости при рассмотрении одного и того же равновесного процесса должна быть установлена связь, которая определяется соотношениями, приведенными в разделе 1.1. Известно, что эта связь может быть неоднозначной. Кроме того, классу "правых11 тензорных мер принадлежит неограниченное их число. В связи с этим в работах [29, 85, 116, 159], посвященных обобщению теории у пру го пластических процессов А. А. Ильюшина на случай конечных деформаций, выдвигается система требований, которым должны удовлетворять используемые при построении определяющих соотношений меры деформаций и напряжений. Система этих требований включает следующие: (1) шаровая и девиаторная составляющие тензора конечных деформаций определяют независимо друг от друга процессы объемной и сдвиговой деформаций соответственно; шаровая и девиаторная составляющие тензора напряжений определяют независимо друг от друга гидростатическую и касательную составляющие напряжений соответственно; (2) производные по времени от девиаторов тензоров конечных деформаций и напряжений должны быть также девиаторами; (3) в любых движениях меры деформаций и напряжений должны быть энергетически сопряжены; (4) в случае малых деформаций меры деформаций и напряжений асимптотически совпадают с классическими тензорами малых деформаций и напряжений соответственно. Еще одним требованием, предъявляемым к определяющим соотношениям конечного деформирования, является требование материальной объективности [62, 94s 116, 159, 168? 200], В соответствии с этим требованием определяющие соотношения должны оставаться неизменными при изменении системы отсчета наблюдателя, даже если это изменение зависит от времени. Формальная запись этого требования применительно к соотношению (1.54) имеет вид
Поскольку тензоры Т,Е инвариантны относительно жесткого вращения, требование (1.57) удовлетворяется тождественно. Это же относится и к форме (1.56) постулата макроскопической определимости. В работах [159, 201, 202] авторы выдвигают дополнительное требование к определяющим соотношениям конечного деформирования: это требование коротационности мер напряжений и деформаций. Оно означает,1 что в определяющих соотношениях скоростного типа должны использоваться m одинаковые объективные скорости тензоров напряжений и деформаций, то есть наблюдение за процессами деформирования и нагружения должно проводиться из одного и того же базиса. В предложенных в этих работах соотношениях используется пара мер; тензор истинных напряжений - тензор логарифмических деформаций (Генки), которые в общем случае не являются энергетически сопряженными.
Трехпараметрические ортогональные преобразования шестимерного пространства А. А. Ильюшина
Как следует из соотношений (2.8), ортогональное преобразование пространства Е6ъ задаваемое матрицей таа, является трехлараметрическим и составляет подгруппу полной группы ортогональных преобразований этого пространства5 которая определяется пятнадцатью параметрами [62, 64]. Таким образом, ортогональному преобразованию (2.4) пространства j, занимаемого средой, соответствует ортогональное трехпараметрическое преобразование пространства Ильюшина с матрицей та$- В монографии [64] рассматривается вопрос об ортогональных преобразованиях пространства Е связанных с преобразованиями координат, и приводятся выражения для компонент матрицы тап которые можно получить из (2.8) при Р0 = 0 .
На основании соотношений (2Л0) и (2,13) решается задача установления инвариантных базисных тензоров для различных типов анизотропных материалов. Выпишем матрицы преобразований тап, соответствующие порождающим элементам групп ортогональных преобразований л, характеризующих симметрию свойств материалов, которые приведены в таблице 2.1, В результате получим порождающие элементы групп симметрии в пространстве Е$. Для различных кристаллографических систем тги преобразования имеют вид: Матрицы (2.15) - (2.21) представляют собой матрицы порождающих элементов групп симметрии (gA)6 для различных кристалл офафических систем, записанные в шестимерном пространстве А. А. Ильюшина и соответствующие группам ортогональных преобразований gA в пространстве, занимаемом средой. Эти же матрицы на основании соотношений (2.9), (2.13) описывают группы симметрии тензорных базисов Iа и I , совокупность базисных тензоров, каждый из которых инвариантен относительно всех преобразований этой фуппы, например, для тензоров второго ранга при этом выполняется равенство (2.1). Все тензоры, инвариантные относительно фуппы gA э получаются как линейные комбинации инвариантных базисных тензоров. Вопрос об определении инвариантных тензорных базисов, характеризующих симметрию свойств анизотропных материалов в пространстве Е решим на основе полученных в разделе 2.2 порождающих элементов групп симметрии (gA )6. Пусть Q6 - трехпараметрические ортогональные преобразования пространства Е входящие в фуппу симметрии материала ( д/б тогда инвариантность базисных векторов пространства А.А. Ильюшина означает, что %=L-Q6=7a VQ6e(gA)6. (2.22) Из (2.22) следует, что для инвариантности вектора / необходимо и достаточно, чтобы тензор Q6 представлял собой поворот вокруг вектора ia , Анализ матриц порождающих элементов преобразований шестимерного пространства показывает, что ортогональные преобразования пространства Ильюшина, входящие в группу для триклинной сингонии (2,! 5), сохраняют неизменными базисные векторы о i 2 3 4 5 этого пространства. Для моноклинного материала в соответствии с (2,16) неизменными остаются векторы /( /ь,2 з а 113 ромбического материала, исходя из (2.17), - векторы
Для тетрагонального, тригонального, гексагонального и кубического анизотропных материалов матрицы порождающих элементов преобразований (2.18) - (2.21) пространства Е& зависят от произвольного параметра р0. Установлено, что при выборе значений параметра р0 = 2я/3 + яи при ортогональных преобразованиях, характеризующих симметрию свойств тетрагонального, тригонального и гексагонального материалов, может быть установлена неизменность двух векторов /0,/f а для кубического материала -только вектора /0 (независимо от значения р0)г
Таким образом, для каждого типа анизотропного материала выделена система базисных векторов пространства Ильюшина, характеризующая симметрию свойств таких материалов, описываемых в пространстве Я? тензорами второго ранга. Для таких свойств, как теплопроводность или температурное расширение, в качестве базисных тензоров второго ранга в пространстве Ej мог\т быть выбраны тензоры (1.74), нумерация которых соответствует системам инвариантных векторов /а для различных типов материалов . С целью характеристики симметрии свойств материалов, задаваемых тензорами четвертого ранга, например, тензорам упругости, в пространстве Ильюшина можно использовать тензоры іап, определяемые соотношениями (2,11). В статьях [113, 180, 181] получен базис3 состоящий из тензоров іаі и их комбинаций, которые остаются неизменными при ортогональных преобразованиях Q6 є (gA )6, то есть удовлетворяют условию Ы =Ql -ісф "Q6 = iup VQ6 e(gA)6. (2.23) Такие тензоры можно построить на основе инвариантных базисных векторов материала /а, а также рассматривая другие комбинации диад всех базисных векторов пространства Ильюшина.
Тензорно-линейная связь между напряжениями и деформациями
Определяющие соотношения конечного деформирования в статьях А.А. Рогового и ВТ. Кузнецовой [78, 79] строятся в предположении, что упругий потенциал является функцией трех главных инвариантов меры деформаций Коши-Грина. Для предлагаемой пятиконстантной модели приведены программы определения входящих в соотношения постоянных материала и найдены их значения для резины. Этот вариант соотношений позволяет учесть изменение "объемного модуля 1 и "модуля сдвига" материала при изменении объема, хотя используемые в модели инварианты деформаций не имеют ясного физического смысла. В статье J. Timothy, Van Dyke, A. Hoger [255] приведены определяющие соотношения второго порядка для гиперупругих материалов. Пятиконстантные модели построены с использованием тензора истинных напряжений и тензоров деформаций Коши-Грина, Био и тензора-градиента деформаций. Проведено сравнение предложенных моделей по результатам численного решения ряда краевых задач. При построении соотношений, описывающих обратимые конечные деформации анизотропных тел, возникает проблема учета симметрии упругих свойств материала. Обычно она решается введением в выражение для упругого потенциала дополнительных переменных - скалярных инвариантов тензора деформаций либо векторных и тензорных (различного ранга) величин, описывающих структуру и свойства материала [51, 82, 85, 93, 132, 200, 207, 230,237, 250 и др.]. Наряду с классической работой А.Е. Грина и Дж. Адкинса [51], где даны общие соображения о построении упругого потенциала, наиболее развитой и последовательной теорией нелинейной анизотропной упругости является теория К.Ф. Черныха, изложенная в монографиях [207, 208]. В этих книгах систематически введены используемые в механике деформируемого тела Щ понятия о симметрии свойств материала. На этой основе проанализирована структура закона Гука для анизогропных материалов различных типов Приведены основные зависимости нелинейной теории упругости. С общих позиций изучена структура и даны конкретные представления упругих потенциалов, отвечающих ортотропным, трансверсапьно-изотропным и изотропным материалам. Рассмотрены несжимаемые материалы и плоское напряженное состояние. Приложение полученных результатов рассмотрено на примере расчета оболочек из анизотропных материалов.
Модели нелинейных упругих анизотропных материалов рассмотрены в работах [237, 243, 250]. В статье К. Hackl [237] в основе модели лежит разложение упругого потенциала в бесконечный ряд по полной системе сферических гармоник, содержащее полиномы тензора деформаций Коши Грина, построенные с использованием бесконечномерного ортонормированного тензорного базиса. В качестве базисных тензоров используются тензоры-девиаторы различных рангов. Базисные тензоры второго ранга совпадают с девиаторами тригонометрического базиса В.В Новожилова и канонического базиса, введенного в работе [178], В различных случаях симметрии свойств материала в выражении для упругого потенциала сохраняются только члены, инвариантные относительно преобразований, 4jt; входящих в группу симметрии материала. гПредложен метод идентификации параметров модели по измерениям одноосных деформаций, однако, число этих параметров возрастает пропорционально четвертой степени числа членов, сохраняемых в разложении, В статье R. Paroni, Chi-Sing Man [250] для формулировки определяющих соотношений на макроуровне рассматривается сплошное тело, каждой точке которого приписана материальная переменная, характеризующая симметрию свойств. Предлагаемые соотношения удовлетворяют требованиям материальной симметрии и материальной объективности относительно жестких перемещений начальной конфигурации. В качестве мер напряженного и # деформированного состояний использованы тензор напряжений Пиолы Кирхгоффа и тензор деформаций Коши-Грина, что автоматически обеспечивает объективность функции отклика. Статья В. Mauget, Р. Ретге [243] посвящена проблеме описания конечных деформаций в сильно анизотропном вязкоупругом материале (древесине). Предложены определяющие соотношения скоростного типа, в которых использована объективная производная тензора истинных напряжений. Авторы статьи указывают на проблему выбора типа объективной производной в анизотропных материалах связанную с тем, что главные оси анизотропии вращаются в процессе деформирования. Сделан вывод о том, что простейший вид имеют определяющие соотношения, записанные через обобщенную яуманновскую производную, так как в этом случае дифференцирование производится относительно системы координат, неизменно ориентированной относительно главных осей анизотропии. В отличие от перечисленных моделей в настоящей работе рассмотрена линейная и квазилинейная связь между напряжениями и различными тензорами конечных деформаций с учетом влияния температуры для анизотропных и изотропных материалов. Квазилинейные соотношения строятся в предположении, что тензор упругости зависит от деформаций линейным 4 образом. Для изотропных материалов предложена модель нелинейной термоупругости и приведена полная программа ее конкретизации, основанная на решении краевой задачи о комбинированном нагружении сплошного цилиндрического образца осевой силой и крутящим моментом,
Вариант деформационной теории пластичности
Теория течения анизотропных материалов предложена Р, Мизесом [244] для неулрочняющихся и несжимаемых материалов и получила дальнейшее развитие в работах Р. Хилла [205], ЕВ. Маховера [124], СП. Яковлева [198, 213], Н.М Матченко [122, 197], ДД Ивлева [4, 60], Б.И. Ковальчука [69], MA. Грекова [50] и других авторов. В основе этих теорий лежит условие пластичности, записанное в виде квадратичной формы, построенной по компонентам напряжений, а в работах Д.Д, Ивлева и М.А, Артемова [4, 5, 60] предложено условие пластичности анизотропного материала, обобщающее условие Треска. Малые деформации в этих теориях определяются из ассоциированного закона течения, являющегося следствием принципа градиентальности.
Для упрочняющихся материалов разработаны модели, являющиеся обобщением на случай анизотропных тел теории малых упруго пластических деформаций А.А. Ильюшина [64, 65]. Такие теории предложены И.И, Гольденблатом [46], БЕ. Победрей [145, 148], В.А. Ломакиным [91], А,С. Кравчуком [76] и другими. Теория И.И. Гольденблата [46] построена на основе предположения о существовании пластического потенциала, который является функцией двух смешанных инвариантов тензора деформаций и тензора четвертого ранга А, характеризующего анизотропию: lj = ! 5є 8Г5, І2 = Aikrsziiczn. Кроме того, выдвигается требование, в соответствии с которым при замене тензора А изотропным тензором четвертого ранга соотношения сводятся к теории малых упругопластйческих деформаций изотропного тела. От модели, предложенной в [46], существенным образом отличается деформационная теория пластичности Б.Е. Победри [145, 146, 148 и др.]. В этой теории соотношения строятся на основе введенного в [150] спектрального разложения линейного тензора деформаций. Число совместных инвариантов тензора деформаций и тензоров, характеризующих анизотропию, зависит от типа симметрии свойств материала. Все инварианты делятся на линейные (типа 1) и нелинейные (типа 12). Упрощенный вариант теории строится в предположении, что все линейные инварианты связаны между собой по закону Гука, а нелинейные - через функции пластичности соа от совокупности квадратичных инвариантов. Предложенные соотношения использованы при постановке краевых задач в напряжениях [146, 147, 151]. В статье [146] предложен вариант соотношений, учитывающих зависимость напряжений от температуры. Оставаясь на позициях Дюгамеля-Неймана, автор указывает, что даже в случае физической нелинейности модели температура в определяющие соотношения должна войти линейно.
В статье В.А, Ломакина [91] введено понятие обобщенного девиатора напряжений, нечувствительного к объемным изменениям элемента анизотропной среды. Полагается, что в течение всего процесса деформирования объем макроэлемента из анизотропного материала изменяется упруго. В модели приняты две гипотезы; о существовании пластического потенциала и о соосности обобщенных девиаторов тензора полных напряжений и тензора упругих напряжений, определяемых по закону Гука через тензор упругости.
В работе А.С Кравчука [76] предложены вариант теории течения и вариант деформационной теории с использованием понятия собственных напряженных состояний, введенного Яном Рыхлевским [164]. При построении теории введены два предположения. Первое - о совпадении подпространств собственных упругих и пластических напряженных состояний. В соответствии со вторым предположением пластические деформации не возникают под действием напряжений, являющихся проекциями на тензор Ш] ( см. анализ работ Рыхлевского в разделе 2,4). В случае изотропного материала это совпадает с требованием независимости пластического течения от гидростатического давления. А.С. Кравчук в статье [76] указывает на возможность обобщения своих соотношений на случай конечных деформаций путем использования производной Яуманна от тензора напряжений.
Вариант теории пластичности, предложенный А.И, Чанышевым [206], близок к работе [76]. Как отмечалось в статье Б.И. Ковальчука [69], в основе моделей [76, 91, 206] лежит гипотеза о связи анизотропии упругих и пластических свойств, которую нельзя распространить на любые материалы, так как из экспериментов известно [70, 128], что пластические и упругие свойства реальных материалов могут обладать симметрией различных типов.
Теория пластического течения для упрочняющихся анизотропных материалов представлена в работах ВВ. Косарчука, Б.И. Ковальчука и А,А. Лебедева [75, 835 84], Здесь приведены данные по экспериментальному построению кривых текучести анизотропных материалов, а также сформулированы соответствующие определяющие соотношения.
В статьях Б.И. Ковальчука [69], Н.М. Матченко [122, 197] и Н.Б. Алфутовой [3] модели пластического деформирования анизотропных тел строятся в модифицированном пространстве, полученном путем линейных преобразований перемещений, деформаций и напряжений.
