Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи симметрического упругопластического деформирования тел конечных размеров с трещиноподобным дефектом 15
1.1. Вариационное условие равновесия тела с терщиноподобным дефектом 15
1.2. Определяющие соотношения 24
1.3. Метод дискретного решения 27
2 Нахождение введенного масштабного параметра ряда конструкционных материалов 46
2.1. Сталь Ст. 3 46
2.2. Сталь 15Х2МФА 54
2.3. Сталь 15Х2МНФА 61
3 Решение упругопластической задачи для плоского напряженного состояния в случае линейного упрочнения и идеального упругопластического поведения материала в рамках плоской задачи 70
3.1. Плоское напряженное состояние в случае линейного упрочнения 70
3.2. Плоское напряженное состояние в случае идеально упругопластического поведения материала 76
3.3. Плоское деформированное состояние в случае идеально упругопластического поведения материала 82
Заключение 90
Список использованных источников 92
- Определяющие соотношения
- Метод дискретного решения
- Сталь 15Х2МНФА
- Плоское напряженное состояние в случае идеально упругопластического поведения материала
Определяющие соотношения
Здесь Лет - приращение девиатора тензора истинных напряжений; Лє -приращение девиатора тензора деформаций; Л т0, Ає0 - приращения гидростатической составляющей тензоров напряжений и деформаций соответственно, т0 =( т11+ т22+ т33)/3, є0=(є11+є22+є33)/3; G - сдвиговой
В этом случае кривая деформирования представлена на рисунке 1.4, где интенсивность деформаций. При решении упругопластической задачи будем использовать метод упругих решений [28]. В этом случае для областей, где из упругого решения получено Т Тк, определяющие соотношения представим в виде: где Gt=T 1у - секущий модуль сдвига. Для параметра Gt в связи (1.27) задается итерационная последовательность по схеме, показанной на рисунке 1.5. При этом коэффициент К в (1.27) считается неизменным. Как показано в [5] данный метод сходится со скоростью геометрической прогрессии. Итерационный процесс выполняется, пока для напряжений не будет выполнено равенство Tt = Т(у) с заданной степенью точности, где Т(у) - интенсивность напряжений по кривой деформирования (рисунок 1.4). Отметим, что расчет по методу упругих решений возможен и для идеально упругопластической модели.
Перепишем первое уравнение системы (1.27) применительно к компонентам тензоров напряжений и деформаций, учитывая, что дг = т-ст0, [27, 77, 78] в следующем виде: \ 711 - 70 = 2Gi(є11 -є0); o22 - т0 = 2Gt (є22 - є0); [ov = 2Glsy:i,j = 1,2,3; і j.
В уравнениях (1.31) и (1.32) A = (3K + 4Gt)/3, B = (3K-2Gt)/3, C = 2Gt -коэффициенты для случая плоской деформации, A = 4G(3K + Gl)/(3K + 4Gl), B = 2G(3K-2G)/(3K + 4Gl C = 2Gt - для плоского напряженного состояния. При этом для плоской деформации є33 = є33=0, а для плоского напряженного состояния J33 = т33 = 0.
Вариационное уравнение (1.25) с учетом (1.31) и (1.32) образует замкнутую систему уравнений, которая может быть решена при задании соответствующих граничных условий.
Решение задачи (1.25), (1.31), (1.32) строим на основе метода конечных элементов (МКЭ) [7, 14, 15, 18-20, 59, 76, 85] с линейной аппроксимацией поля перемещений, которое в пределах конечного элемента может быть записано в виде йп = tfjy/fe1 + w2 ,Vf е2 . (1.33) Рисунок 1.6 – Изолированный конечный элемент Здесь / - номер локального узла и п - номер элемента. Рассмотрим изолированный конечный элемент (КЭ) п (рисунок 1.6). Узлы КЭ пронумерованы цифрами 1, 2 и 3. Функции формы элемента имеют линейную зависимость от координат и запишутся как
Таким образом пределах элемента с линейной аппроксимацией поля перемещений (симплекс-элемент) деформации (1.37) и, соответственно, напряжения (1.38) принимают постоянные значения.
Рассмотрим условие равновесия n-го изолированного конечного элемента в виде вариационного принципа Лагранжа:
С помощью соотношений МКЭ уравнение равновесия (1.39) можно записать в виде уравнения относительно неизвестных узловых перемещений сетки КЭ.
Рассмотрим отдельно работу внутренних сил (левая часть (1.39)): Работа внешних сил (правая часть (1.39)) запишется в виде: \P-dud = \Piei s(u] my/nJj)d = jPiy/nmdSu m, (1.41) где по повторяющимся индексам i,j,m подразумевается суммирование. Введем обозначение:
Здесь F" m - i-я проекция узловой силы в т -ом узле конечного элемента. Это соотношение позволяет привести внешнюю нагрузку к узловым силам при заданных внешней нагрузке и геометрии КЭ. С учетом (1.42) запишем соотношение (1.41) следующим образом:
По сложившейся терминологии матрица Kn носит название матрицы жесткости элемента. Запишем уравнение равновесия для случая ансамбля конечных элементов. В этом случае условие равновесия конечного элемента (1.44) переносится на каждый элемент из ансамбля конечных элементов, образующих деформируемое тело:
Однако, напрямую применение (1.50) нецелесообразно, т.к. для каждого элемента имеем шесть уравнений, и необходимо систему (1.50) дополнить связями на локальные узловые перемещения и узловые силы. Поэтому применяют переход от локальной нумерации перемещений и узловых сил к глобальной. Рассмотрим соответствующее преобразование для правой части системы (1.50):
Наряду с формированием глобальной матрицы жесткости необходимо определить вектор узловых сил F. При этом нужно учесть, что для некоторых узловых точек, в силу граничных условий, компоненты узловых сил могут являться искомыми величинами.
Метод дискретного решения
Определив масштабный параметр структуры S0 конкретного материала, можно рассмотреть решение задачи упругопластического деформирования поврежденных сталей в случае плоского напряженного состояния. Для рассмотренного ранее образца (рисунок 1.1) с заданными геометрическими характеристиками найдем решение задачи (1.25), (1.26) в случае плоского напряженного состояния для рассматриваемых сталей.
На рисунке 3.1 представлено распределение напряжений по слою для стали Ст. 3 при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.1 определяет напряжение т22, график 2 - напряжение стп. Рисунок 3.1 - Распределение напряжений по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь Ст. 3) На рисунке 3.2 представлено распределение деформаций по слою для стали Ст. 3 при достижении предела прочности на первом элементе слоя. Распределение деформаций по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь Ст. 3) Соответствующая зона пластичности, а именно ее часть в концевой области трещины, показана на Рис 3.3, где элементы, перешедшие в пластичность, показаны серым цветом.
В отличие от плоской деформации (рисунок 2.7), плоское напряженное состояние характеризуется развитием области пластичности (рисунок 3.3) вдоль слоя взаимодействия. Кроме того, достижение максимальной главной деформацией критического значения происходит быстрее, чем достижение максимальным главным напряжением предела прочности.
На рисунке 3.4 представлено распределение напряжений по слою для стали 15Х2МФА при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.4 определяет напряжение т22, график 2 - напряжение стп. Рисунок 3.4 - Распределение напряжений по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь 15Х2МФА) На рисунке 3.5 представлено распределение деформаций по слою для стали 15Х2МФА при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.5 определяет деформацию є22, 2 - деформацию єп, 3 -деформацию є33. Как и в случае стали Ст. 3 (рисунок 3.2) достижение предела прочности по максимальной главной деформации происходит быстрее, чем по максимальному главному напряжению. Рисунок 3.5 - Распределение деформаций по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь 15Х2МФА)
На рисунке 3.6 представлено распределение напряжений по слою для стали 15Х2МНФА при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.6 определяет напряжение т22, график 2 напряжение тп.
Распределение напряжений по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь 15Х2МНФА) На рисунке 3.7 представлено распределение деформаций по слою для стали 15Х2МНФА при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.7 определяет деформацию є22, 2 - деформацию ёп, 3 - деформацию є33. Как и для сталей Ст. 3 (рисунок 3.2), 15Х2МФА (рисунок 3.5) достижение предела прочности по максимальной главной деформации происходит быстрее, чем по максимальному главному напряжению.
Из распределения НДС по длине слоя взаимодействия видно, что максимальная главная деформация на первом элементе достигает критического значения, в отличие от главного напряжения. Это говорит о неприменимости критерия Кулона для случая плоского напряженного состояния и необходимости оценки прочности по главным значениям деформаций в концевой области трещины. 3.2. Плоское напряженное состояние в случае идеально упругопластического поведения материала
Для вычисленных в главе 2 толщин слоя рассмотрим модельное поведение материалов соответствующих сталей в рамках идеально упругопластического деформирования [26, 80, 81].
Из распределения напряжений, показанной на Рис 3.9 видно, что напряжения в концевой области трещины постоянны и не могут достигнуть предела прочности.
На рисунке 3.10 представлено распределение деформаций по слою для стали Ст. 3 при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.10 определяет деформацию є22, 2 - деформацию ёп, 3 деформацию є33. Рисунок 3.10 – Распределение деформаций по длине слоя для критического состояния (сталь Ст. 3)
Деформации в концевой области трещины монотонно возрастают, и в рамках данного модельного представления деформационный критерий может являться естественным критерием разрушения.
Кривая деформирования для случая идеального упругопластического поведения (сталь 15Х2МФА) На рисунке 3.12 представлено распределение напряжений по слою для стали 15Х2МФА при достижении главной деформацией критического значения на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.12 определяет напряжение т22,
Сталь 15Х2МНФА
Решение системы (1.76) с учетом (1.79)-(1.94) дает распределение поля перемещений в узловых точках в том числе и по границе со слоем. Однако после нахождения соответствующего решения возникает задача определения НДС в слое взаимодействия.
Рассмотрим определение НДС в элементах слоя (рисунок 1.7). Нахождение средних напряжений связано с определяющими соотношениями и значением средних деформаций, определяемых по (1.16). В узлах /, j МКЭ
дает значение перемещений, однако выражение производных ди[ / дх1, ди+2/ дх1 в соответствующих узлах не определено и их нахождение связано с локальной аппроксимацией поля перемещений в пределах конечного элемента. Используя линейность поля перемещений в пределах конечного элемента, выражение производных через узловые точки представим в виде:
du+/ax1=fa1-u1)/(p1-x1), du;/dx1=(uJ2-ui2)/(xJ1 - 1). В данном случае значение производных будем относить к срединным точкам граней элементов, сопряженных со слоем: (х1 + х1)/2. В соответствующих точках значение перемещения по оси х2 может быть найдено: и2 = (и32 + іІ2)і2. Определенные по (1.16) значения средних по толщине слоя деформаций можно трактовать как средние по длине элемента слоя и соответственно по их значениям, используя определяющие соотношения (1.27), находить средние по длине элемента напряжения. Выводы по 1 главе:
Дана постановка задачи о нагружении тела конечных размеров, ослабленного трещиноподобным дефектом, симметричной распределенной нагрузкой для случая упругопластического деформирования.
Введение в модель трещины линейного размера позволило исключить сингулярность НДС в вершине трещины.
Использование средних характеристик НДС слоя взаимодействия позволили исключить влияние геометрии окончания физического разреза в предложенной модели трещины.
Получена система линейных алгебраических уравнений для нахождения поля перемещений тела, включая перемещения слоя взаимодействия.
Основной проблемой в использовании постановки задачи (1.25), (1.26), является значение введенного масштабного параметра S0 конкретного материала. Рассмотрим процедуру нахождения параметра S0 исходя из известных механических характеристик материала и решения соответствующей упругопластической задачи.
В таблице 2.1 приведены характеристики стали Ст. 3 [25, 46] Таблица 2.1 Характеристики материала Ст. Марка стали сгсг, МПа , МПа ЄСг Кю,МПал/м сг02, МПа Ст. 3 900 210000 0.33 81 235 Здесь асг - критическое напряжение, Е - модуль Юнга, гсг - критическая деформация, К1С - вязкость разрушения, т0 2 - предел текучести. На основе данных таблицы 2.1 и принимая коэффициент Пуассона для рассматриваемой стали у = 0.3, поместим в таблицу 2.2 расчетные касательные модули. Таблица 2.2 Касательные модули материала Ст. Марка стали Ge, МПа Ор, МПа , МПа Ст.3 80769 1007 175000 Кривая деформирования с учетом данных таблицы 2.1 и таблицы 2.2 представлена на рисунке 2.1. Рисунок 2.1 - Кривая деформирования (сталь Ст. 3) На рисунке 2.2 показан график вычислительной сходимости интенсивности напряжений, отнесенной к Тк - значению интенсивности, соответствующему началу пластического деформирования на первом элементе слоя в зависимости от размера конечного элемента по отношению к толщине слоя. Из полученных результатов при решении задач принимаем следующее ограничение на размер конечного элемента для последующих расчетов: S0/A = 3 для рассматриваемой стали.
Известно, что основной характеристикой трещиностойкости материалов является вязкость разрушения К1С. Данная величина определяется для нагружения трещины нормальным отрывом в состоянии плоской деформации. Отметим, что эта характеристика рассматривается для модельного представления трещины в виде математического разреза и используется для квазихрупких материалов. По данной величине можно рассчитать критическую нагрузку, соответствующую началу образования новых материальных поверхностей для определенной схемы нагружения. Следуя работе Bowie O.L. и Neal D.M.. [96] , где приведены численные результаты по определению коэффициента интенсивности напряжений в теле конечных размеров с центральной трещиной по рассматриваемой схеме (рисунок 1.1), для геометрических характеристик образца lDC/lCB=l; lDC/lEA=\; a = lEA = 0.\ м была определена критическая нагрузка рассматриваемых сталей:
При полученной критической нагрузке решалась упругопластическая задача в постановке (1.25), (1.26). Критическое состояние определялось по критерию Кулона для различных S0. На рисунке 2.3 приведена зависимость максимального главного напряжения в концевой зоне трещины от толщины слоя для рассчитанной критической нагрузки для стали Ст. 3. Достижение напряжением предела прочности соответствует величине масштабного параметра: S0 = 1.5-10"4
Для найденной толщины слоя приведем результаты расчета для случая, когда первый элемент слоя переходит в состояние пластичности. На рисунке 2.4 представлено распределение напряжений по слою для стали Ст. 3. График 1 на рисунке 2.4 определяет напряжение т22 график 3 -напряжение ст33. Рисунок 2.4 – Распределение напряжений по длине слоя при достижении предела текучести на первом элементе слоя (сталь Ст. 3)
Соответствующая зона пластичности при достижении предела текучести на первом элементе показана на Рис 2.5.
Как видно из рисунка 2.6 распределения напряжений в концевой зоне трещины реализуется высокая гидростатическая составляющая тензора напряжений. Данное обстоятельство определяет тенденцию к распределению пластической области в зоне предразрушения, как показано на рисунке 2.7, где элементы, перешедшие в пластичность показаны серым цветом. Для стали Ст. 3 толщина слоя 0=1.5 104м. Размер грани конечного элемента, смежного со слоем определена с учетом вычислительной сходимости решения определяется как SJA = 3. Следовательно размер пластической области в момент разрушения значительно превышает введенный масштабный параметр. Данное обстоятельство ставит под сомнение расчеты в рамках традиционной модели трещины в виде математического разреза, а именно, контролирование разрушения коэффициентом интенсивности напряжений. Подчеркнем, что начало пластического деформирования в этом случае остается открытым.
На рисунке 2.8 представлено распределение деформаций по слою при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 2.8 определяет деформацию є22, график 2 - деформацию еп.
Плоское напряженное состояние в случае идеально упругопластического поведения материала
На рисунке 3.17 представлено распределение напряжений по слою для стали Ст. 3 при достижении предела прочности по напряжениям на первом элементе слоя в случае плоского деформированного состояния и идеально упругопластического поведения материала. График 1 на рисунке 3.17 определяет напряжение т22, график 2 - напряжение тп, 3 - напряжение т33. Рисунок 3.17 - Распределение напряжений по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь Ст. 3)
На рисунке 3.18 представлено распределение деформаций по слою при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.18 определяет деформацию є22, график 2 - деформацию еп. Распределение деформаций по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь Ст. 3) На рисунке 3.19 представлена соответствующая зона пластичности.
Зона пластичности при этом отличается несколько большей протяженностью вдоль слоя взаимодействия, нежели в случае линейно упрочняющегося материала (рисунок 2.7). Аналогичные результаты получены для сталей 15Х2МФА, 15Х2МНФА, графики для которых приведены ниже.
На рисунке 3.20 представлено распределение напряжений по слою для стали 15Х2МФА при достижении предела прочности на первом элементе слоя в случае плоского деформированного состояния и идеально упругопластического поведения материала. График 1 на рисунке 3.20 определяет напряжение т22,
график 2 - напряжение тп, 3 - напряжение т33. Рисунок 3.20 - Распределение напряжений по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь 15Х2МФА)
На рисунке 3.21 представлено распределение деформаций по слою при достижении предела прочности на первом элементе слоя. График 1 на рисунке 3.21 определяет деформацию є22, график 2 - деформацию еп.
Распределение деформаций по длине слоя при достижении предела прочности на первом элементе слоя (сталь 15Х2МНФА) На рисунке 3.25 представлена соответствующая зона пластичности.
В состоянии плоской деформации рассматриваемых сталей для идеально упругопластического поведения материала в силу роста гидростатической составляющей критическое состояние может быть рассмотрено в рамках критерия Кулона, деформации при этом не достигают критических, как в случае плоского напряженного состояния. Выводы по 3 главе:
1. В рамках предложенной модели и с учетом найденных введенных линейных параметров структуры решена упругопластическая задача нагружения трещины нормального отрыва в случае плоского напряженного состояния для ряда конструкционных материалов. Из решения задачи определена форма пластической области.
2. Показано различие форм зон пластичности для случаев плоского напряженного и плоского деформированного состояний, что соответствует известным экспериментальным данным.
3. В плоском напряженном состоянии для материала с линейным упрочнением и идеально упругопластическим поведением достижение критических значений по максимальной главной деформации происходит быстрее, чем достижение критического значения по главным напряжениям. Следовательно, в плоском напряженном состоянии критерием образования новых материальных поверхностей для исследуемой модели трещины будет служить деформационный критерий по максимальной главной деформации.
4. В состоянии плоской деформации для идеально упругопластического поведения материала в силу роста гидростатической составляющей критическое состояние может быть рассмотрено в рамках критерия Кулона. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Предложена модель трещины нормального отрыва для упругопластического материала с упрочнением, основанная на представлении трещиноподобного дефекта физическим разрезом с характерной толщиной S0 и материальным слоем на его продолжении. Состояние слоя определяется средними по толщине и граничными напряжениями, что обеспечивает конечность напряжений и независимость напряженного состояния от геометрии концевой зоны. 2. Из решения упругопластической задачи по известным механическим характеристикам материала определен введенный линейный размер S0 ряда конструкционных материалов. Связь S0 с механическими характеристиками позволяет рассматривать линейный размер S0 в качестве константы материала. 3. В рамках предложенной модели решена упругопластическая задача нагружения трещины нормального отрыва для ряда сталей. Из решения задачи определена форма пластической области при плоской деформации и плоском напряженном состоянии. 4. В состоянии плоской деформации имеет место высокая гидростатическая составляющая тензора напряжений в концевой зоне трещины, являющаяся следствием решения упругопластической задачи. 5. В плоском напряженном состоянии для материала с линейным упрочнением и идеально упругопластическим поведением достижение критических значений по максимальной главной деформации происходит быстрее, чем достижение критического значения по главным напряжениям. Следовательно, в плоском напряженном состоянии критерием образования новых материальных поверхностей для исследуемой модели трещины будет служить деформационный критерий по максимальной главной деформации. 6. В состоянии плоской деформации для материала с линейным упрочнением и идеально упругопластическим поведением расчет на прочность может быть рассмотрен в рамках критерия Кулона.
