Содержание к диссертации
Введение
1. Аналитический обзор и постановка задач 9
2. Решение одномерных задач неупругого деформирова ния для разупрочняющихся материалов на основании струк турной модели 35
2.1. Постановка задачи 35
2.2. Основные соотношения для структурной модели разупрочняющеися неупругой среды 37
2.3. Математическое моделирование и анализ процессов рассеянного накопления поврежденности на стадии пластического разупрочнения 57
2.4. Анализ эффектов влияния скорости нагружения на диаграмму деформирования в условиях ползучести 65
2.5. Эффект Баушингера на стадии пластического разупрочнения материала 80
2.6. Упругопластическое деформирование стержневых систем на стадии разупрочнения для режима "жесткого" нагружения 86
2.7. Упругопластическое деформирование балок на стадии разупрочнения для режима "жесткого" нагружения 106
2.8. Выводы по разделу 2 111
3. Структурная модель разупрочняющеися среды при сложном напряженном состоянии 113
3.1. Постановка задачи 113
3.2. Предельная поверхность устойчивого упругопластического деформирования 113
3.3. Исследования ползучести и длительной прочности тонкостенных цилиндрических оболочек 127
3.4. Выводы по разделу 3 138
4. Структурная модель нелинейно-упругой4среды в условиях ползучести при сложном напряженном состоянии 139
4.1. Постановка задачи 139
4.2. Структурная модель ползучести нелинейно-упругого материала в условиях сложного напряженного состояния 144
4.3. Идентификация параметров структурной реологической модели нелинейно-упругих материалов 145
4.4. Методика расчета реологического деформирования нелинейно-упругого деформирования по структурной модели 147
4.5. Алгоритм и программное обеспечение численной реализации методики расчета ползучести нелинейно-упругих материалов 151
4.6. Результаты расчетов и анализ результатов 155
4.7. Выводы по разделу 4 170
Заключение 172
- Решение одномерных задач неупругого деформирова ния для разупрочняющихся материалов на основании струк турной модели
- Математическое моделирование и анализ процессов рассеянного накопления поврежденности на стадии пластического разупрочнения
- Упругопластическое деформирование стержневых систем на стадии разупрочнения для режима "жесткого" нагружения
- Предельная поверхность устойчивого упругопластического деформирования
Введение к работе
Актуальность темы. Многие промышленные и природные поликристаллические материалы даже малого объема с точки зрения механики микронеоднородных сред представляют сложную статически неопределимую систему случайно ориентированных кристаллических зерен и тех частиц, из которых они состоят. Отразить основные особенности деформационного поведения и континуального разрушения могут только феноменологические модели, базирующиеся на известных физико-механических представлениях о строении твердых тел и процессах, протекающих в них при деформациях. Однако эти процессы настолько сложны и многообразны, что описать их одновременно с позиции дискретной математики пока не представляется возможным. С другой стороны, феноменологические макромодели неупругого реологического деформирования механики сплошной среды принципиально не могут описать целый класс экспериметально наблюдаемых эффектов, которые связывают с возникновением и изменением полей микронапряжений. Поэтому существует несколько уровней рассмотрения, по-разному детализирующих материал, позволяющих перейти от микро- к макросвойствам.
По этим причинам для более адекватного отражения процессов неупругого деформирования наряду с феноменологическими макротеориями параллельно развиваются теории, базирующиеся на учете микронеоднородности развития необратимых деформаций и основанные на структурных математических моделях, в основе которых лежит моделирование иеоднородностей материала конструкционной неоднородностью. Это, с одной стороны, дает представление о том, каким образом формируются макроскопические характеристики материала и позволяет более обоснованно выбрать подходящий вариант феноменологической теории в виде интегрального или дифференциального оператора, связывающего тензоры деформаций и напряжений, виут-
ренние структурные параметры и время, а также, оптимальным образом спланировать определяющий эксперимент для идентификации параметров оператора. С другой стороны, структурные модели с минимально возможным числом параметров можно использовать вместо физических уравнений состояния при решении краевых задач для сред со сложными реологическими свойствами, для которых затруднительно построить феноменологическую модель.
Вышеизложенное определяет актуальность диссертационного исследования и позволяет сформулировать цель настоящей работы.
Целью работы является разработка структурно-феноменологической модели разупрочняющихся и нелинейно-упругих материалов, исследование на ее основе процессов неупругого реологического деформирования и разрушения в условиях одноосного и сложного напряженных состояний и применение модели к решению одномерных краевых задач.
Задачи исследования. Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:
разработка структурно-феноменологической модели неупругого реологического деформирования и разрушения разупрочняющихся металлических материалов и исследования на ее основе особенностей деформирования на закритической стадии в условиях одноосного и сложного напряженных состояний;
исследование эффекта Баушингера на стадии разупрочнения и зависимости диаграмм деформирования от скорости иагружения в условиях ползучести;
разработка метода решения одномерных краевых задач для разупроч-няющегося материала на основании структурной модели;
разработка структурно-феноменологической модели ползучести нелинейно-упругого материала при сложном напряженном состоянии и исследо-
вание на ее основе эффекта влияния ползучести на упругую деформацию;
— всесторонняя проверка адекватности разработанных структурных моделей экспериментальным данным.
Научная новизна. К новым результатам проведенных исследований относятся:
структурно-феноменологическая модель неупругого реологического деформирования разупрочняющихся металлических материалов и исследование на ее основе эффекта Баушингера на стадии разупрочнения и зависимости диаграмм деформирования от скорости нагружения в условиях ползучести;
метод решения одномерных краевых задач для разупрочняющегося материала на основании структурной модели;
методы расчета макро- и микронапряженных предельных состояний по структурной модели для разупрочняющихся и разрушающихся сред вслед-ствии деформаций пластичности и ползучести в условиях сложного напряженного состояния;
структурно-феноменологическая модель ползучести нелинейно-упругого материала при сложном напряженном состоянии;
эффект влияния ползучести на упругую деформацию, заключающейся в том, что происходит не только изменение модуля вектора нелинейно-упругих деформаций в пространстве деформаций вследствие ползучести при постоянном тензоре напряжений, но и его поворот, при этом компоненты нелинейно-упругой деформации проявляют одновременно свойства механической памяти и вязкоупругости.
Практическая значимость работы заключается в разработке структурно-феномелогических моделей для разпрочняющихся вследствие пластичности и ползучести металлических материалов и нелинейно-упругих материалов, позволяющих описать ряд новых эффектов (немонотонный характер зави-
симостей пределов текучести на сжатие после предварительного растяжения на стадии пластического разупрочнения, неклассические эффекты влияния скорости нагружения на диаграмму деформирования в условиях ползучести, влияние деформации ползучести на нелинейно-упругую деформацию, свойство механической памяти и вязкоупругости для нелинейно-упругой деформации в условиях ползучести, неаддитивность нелинейно-упругой деформации и деформации ползучести и другие) и решать краевые задачи на основе структурных моделей, не прибегая к физическим уравнениям состояния. Это позволяет, с одной стороны, качественно и количественно понять причины процесса разрушения материала на микроуровне в условиях закрити-ческого деформирования, а с другой стороны, позволяет научно-обоснованно строить феноменологические теории неупругого реологического деформирования и разрушения и оптимально планировать определяющий эксперимент для идентификации параметров.
Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследования подтверждается: адекватностью имеющихся модельных математических представлений реальному физико-механическому поведению исследуемых материалов; корректностью использования математического аппарата и законов механики деформируемого твердого тела; сопоставлением расчетных данных по предложенным моделям экспериментальными данными и данным феноменологических теорий других авторов.
На защиту выносятся:
структурно-феноменологическая модель неупругого реологического деформирования разупрочняющихся металлических материалов;
новые решения прикладных одномерных краевых задач для разупроч-няющегося материала на основании структурной модели;
структурно-феноменологическая модель ползучести иелинейно-упруго-
го материала при сложном напряженном состоянии и доказательство на ее основе влияния деформации ползучести на упругую деформацию;
4) методики и алгоритмы для описания новых эффектов, таких как немонотонный характер зависимости пределов текучести на сжатие после предварительного растяжения на стадии пластического разупрочнения, неклассические эффекты влияния скорости нагружения на диаграмму деформирования в условиях ползучести, влияние деформации ползучести на нелинейно-упругую деформацию, свойство механической памяти и вязкоупругости для нелинейно-упругой деформации в условиях ползучести, неаддитивность нелинейно-упругой деформации и деформации ползучести; "гистерезисные" явления для нелинейно-упругой деформации вследствие деформации ползучести и других.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка источников из 241 наименования. Работа содержит 174 страницы основного текста, 20 страниц приложений, 64 рисунка и 6 таблиц.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2005), на Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2006), на Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика» (г. Челябинск, 2006), на XVI Международной конференции «Физика прочности и пластичности материалов» (г. Самара, 2006), на IV Всероссийском научном семинаре, посвященному памяти С.Д. Волкова (УрОРАН, г. Екатеринбург, 2006), в Зимней школе по механике сплошных сред (пятнадцатая) (г. Пермь, 2007), на Международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" (г. Саратов, 2007), на Пятой Всероссийской научной конференции с международным уча-
стием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008), на V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2008), на 4-м Международном форуме (9-ой международной конференции молодых ученых) «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2008), на XVII Международной конференции: «Физика прочности и пластичности материалов» (г. Самара, 2009), на IV Российской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2009), на VII Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2009), на Шестой Всероссийской научной конференции конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009), на научном семинаре «Механика и прикладная математика» Самарского государственного технического университета (рук. профессор В.П. Радченко, 2007, 2008, 2009 г.г.), на научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. академик РАН Матвеенко В.П., 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ.
Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 07-01-00478-а) и Федерального агентства по образованию (проект РНП. 2.1.1/3397)
Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук В.П. Радченко за постановки задач и постоянное внимание к работе.
Решение одномерных задач неупругого деформирова ния для разупрочняющихся материалов на основании струк турной модели
Одним из элементов в постановке краевых задач неупругого реологического деформирования являются уравнения состояния (физические соотношения), связывающие тензоры напряжений, деформаций, время и температуру. Несмотря на большие успехи в теории пластичности и ползучести, построение такого рода феноменологический уравнений для разупрочняющихся сред еще далеко не закончено, и для некоторых условий нагружения этот вопрос находится в начальной стадии разработки. Процессы пластичности, ползучести, накопления поврежденности и разрушения при высоких температурах сопровождаются рядом достаточно тонких эффектов, которые теоретически в рамках феноменологического подхода на уровне механики сплошных сред удовлетворительно описать до сих пор не удается. Например, на такого рода эффекты (немонотонное поведение кривых связи напряжений и деформаций при простом (монотонном) деформировании и на-гружении [225, 229, 234], эффекты осцилляции напряжений [232], эффекты Малышева [102] и другие) указывалось в ряде работ Кадашевича Ю. И. с соавторами [62, 71, 72] и некоторые из них в рамках этих работ описаны. В работе Георгиевского Д. В. [40] эти эффекты названы эффектами второго порядка. Несколько неожиданную трансформацию претерпевает математическая формулировка эффекта Баушингера на стадии разупрочнения, на что указано В. В. Стружановым [181]. Достаточно тонкие эффекты возникают при построении экспериментальных диаграмм в координатах "напряжение-деформация" при различных скоростях деформирования в условиях высоких температур, когда существенной становится деформация ползучести [44]. Учитывая сложную поликристаллическую структуру материала и наличие микронапряжешюго состояния в нем, описать эти эффекты (и многие другие) возможно лишь с позиций механики микронеоднородных сред, одним из направлений в которой являются структурные математические модели. С одной стороны, структурные модели позволяют на качественном и количественном уровне глубоко исследовать общие закономерности в поведении материала, тем самым обоснованно выбирать подходящий вариант феноменологической теории на уровне механики сплошных сред и оптимально спланировать определяющий эксперимент для идентификации соответствующих функций и параметров теории.
С другой стороны, даже всесторонние исследования процесса с позиций структурной модели в ряде случаев не позволяет построить соответствующую феноменологическую теорию в силу технической сложности соответствующих экспериментальных исследований и финансовых ограничений (в полной мере это относится к реологически разупроч-няющимся материалам, где важную роль играет фактор времени). В этом случае можно вообще отказаться от построения физических определяющих соотношений на макроуровне и использовать вместо них структурные модели, переложив всю сложность не на планирование дорогостоящих и технически трудноосуществимых экспериментов, а на компьютерное моделирование (хотя и достаточно нетривиальное и объемное в программном обеспечении). И если ранее использование структурных моделей вместо физических уравнений состояния при решении краевых задач сдерживалось возможностями вычислительной техники, то в настоящее время эти возможности существенно расширились. К тому же число параметров в структурной модели, как правило, значительно меньше, чем у феноменологических теорий механики сплошных сред. В связи с вышеизложенным, целью настоящего раздела являются: 1) разработка структурной модели разупрочняющихся сред вследствие деформаций позучести и пластичности; 2) исследование эффектов влияния скорости нагружения на диаграмму деформирования в условиях ползучести и Баушингера на стадии пластического разупрочнения материала с позиций структурной модели; 3) разработка методов решения одномерных краевых задач пластичности и ползучести для разупрочняющихся сред на основе структурной модели. 2.2. Основные соотношения для структурной модели разупрочняющейся неупругой среды Поликристаллический металлический материал представляет собой довольно сложную конструкцию, закономерности пластичности и ползучести которой носят статический характер и формируются как результат взаимодействия случайно ориентированных кристаллических зерен. В связи с этим развивается направление, основанное на представлении о металле как о некотором агрегате, состоящем из совокупности элементов, обладающих набором простейших свойств. Несмотря на большое число существующих на сегодняшний день моделей, вопросу применения структурных моделей к конкретным конструкционным материалам со сложной реологией, а также описанию разупрочнения в процессе неупругого деформирования и разрушения материалов уделялось недостаточное внимание. В настоящей работе согласно [134] поликристаллический материал моделируется системой хаотически ориентированных однороднородных стержней (локальных элементов структурной модели) одинаковой длины, работающих на растяжение - сжатие. Каждый локальный элемент этой системы (стержень) наделяется простейшими деформационными свойствами: линейной упругостью, идеальной пластичностью и нелинейной вязкостью, которые, по-видимому, являются наиболее реальными свойствами монокристаллов.
В таком случае деформацию г- того локального элемента можно представить в виде: где ЄІ = Ji/Eu — упругая микродеформация, Еы — микромодуль Юнга, микропластическая деформация ер удовлетворяет закону идеальной пластичности с микромодулем текучести сгтм, pi — микродеформация ползучести, причем Рис. 2.1. Схематическое изображение структурной модели в точке Рассмотрим материал, на который действует тензор напряжений, приведенный к главным осям OXYZ (рис. 2.1). Ориентация элементарных стержней (локальных элементов) задается двумя сферическими углами в и р (О # 7г/2, 0 (р 27г); є(0,у?) — микродеформация локального элемента; а(9, р) — микронапряжения в локальных элементах (стержнях), (стх), ((Ту), (crz) — макронапряжения (главные напряжения); (єх), (єу), (є2) — макродефор- мации (главные деформации). Уравнения равновесия для структурной модели имеют вид [134]: Для установления связи между микро- и макродеформациями используется гипотеза однородности деформации по объему: Используя закон Гука и условия (2.5), из соотношения (2.4) в упругой области для распределения микронапряжений получаем Вводя обозначение ах = сг(0,уз), оу = а(,0), oz = т(,), подставляя (2.6) в (2.3) и решая полученную систему относительно тх, ту, JZ, получаем связь между микронапряжениями ах, cry, az и главными значениями макронапряжений ( тх), ((Ту), Для идентификации параметров структурной модели Ем, атм, а также величин а и п в соотношении (2.2) рассмотрим одноосное напряженное состояние (((7а;) ф- 0, (az) = (сту) = О, (ez) = (єу)). Тогда из соотношения (2.6) с учетом (2.7) имеем т. е. в силу симметрии задачи поле микронапряжений не зависит от угла (р. Из (2.8) следует, что при одноосном растяжении микронапряжения в упругой области находятся в пределах 3{ах) а{9) — {сгх}: т. е. при одноосном растяжении в образце возникают значительные сжимающие микронапряжения. Используя гипотезу однородности деформации по объему (2.5), закон Гука и соотношение (2.8), получаем выражение,связывающее макромодуль Юнга (Е) с микромодулем Юнга Ем: а также значение коэффициента Пуассона структурной модели: v = —т\ = Рассмотрим упругопластическое состояние образца.
Математическое моделирование и анализ процессов рассеянного накопления поврежденности на стадии пластического разупрочнения
Потеря несущей способности одноосного образца с феноменологических позиций является результатом накопления поврежденности в результате необратимого пластического деформирования, сопровождающегося необратимым изменением и разрушением внутренней структуры материала. В случае "жесткого нагружения" (когда задается перемещение точек на границе) возможно равновесное протекание процесса накопления поврежденностей, что находит свое отражение на ниспадающей ветви диаграммы деформирования. Иссле- дования кинетики разрушения образцов при растяжении показали, что сначала происходит разрыхление материала, образуются микропоры и микротрещины, т.е. происходит рассеянное накопление поврежденности в материале на уровне структуры [207]. Этот процесс можно рассматривать как деформационное разуплотнение материала. Таким образом, падение сопротивления в ходе равновесного необратимого пластического деформирования является следствием уменьшения эффективной площади поперечного сечения элементарного объема материала образца. Теоретически истоки описания этого экспериментального факта заложены еще в работах Ю. Н. Работнова [126], В. В. Новожилова [116], Л. М. Качанова [74]. Указанные выше эффекты достаточно полно описываются предложенной структурной моделью. Действительно, идеализированные схемы б, в, г на рис. 2.3 описывают процесс накопления рассеянной поврежденности без существенного изменения эффективной площади конкретного сечения образца, так как здесь локальные элементы структурной модели не разрушаются. Однако в них накапливаются необратимые изменения, что ведет к концентрации энергии в наиболее нагруженных локальных элементах системы. С феноменологических позиций эти схемы описывают концентрацию микронапряжений в областях, содержащих дефекты внутренней структуры материала (дефекты в геометрии атомной (кристаллической) решетки и межатомных связей, дислокации и т.п). При этом нарушение сплошности материала на этих стадиях упрочнения не наблюдается. Схемы д и е на рис. 2.3 моделируют ниспадающую ветвь диаграммы за счет разрушения локальных элементов модели и, как следствие этого, снижения ее несущей способности. С феноменологических позиций эти схемы отражают процессы появления в материале микропор, микротрещин, пустот между кристаллами и т.п.
Здесь происходит нарушение сплошности матери- ала на микроуровне, что ведет к уменьшению эффективной площади поперечного сечения образца и снижению растягиваемой нагрузки при заданной скорости деформирования ((є) = const). Таким образом, из анализа схем деформирования пластического материала на стадии разупрочнения (рис. 2.3 ди е) следует, что этот участок связан с разрушением локальных элементов и потерей несущей способности, поэтому при заданной скорости деформирования по вере возрастания величины пластической деформации требуется все меньшее усилие, прикладываемое к образцу, и как следствие этого — уменьшение номинального напряжения. Поэтому естественным было бы связать повреждениость на микроуровне при одноосном растяжении с относительной величиной разрушившихся локальных элементов в процессе пластического деформирования на закритической стадии. Тогда для схемы на рис. 2.3, д в качестве параметра поврежденно-сти w можно использовать величину u; = , а для схемы на рис. 2.3, е — С точки зрения феноменологического подхода механики сплошной среды этот параметр поврежденности соответствует концепции Работнова-Качанова [67, 113, 126], когда истинное ( т) и номинальное (ао) напряжения связаны соотношением где со\ — интегральный параметр поврежденности, характеризующий отношение поврежденной части площади поперечного сечения образца к первоначальной (неповрежденной). Поэтому было бы целесообразно: 1) сопоставить величины (о; ) и (tui) для реальных материалов; 2) сравнить данные расчета диаграмм упругопластического деформирования по структурной и существующим феноменологическим макромоде- лям пластически разупрочняющегося материала с параметром повре-жденности.
Здесь (и в дальнейшем) для сопоставимости результатов в качестве основной феноменологической модели для описания неупругого реологического деформирования и разрушения материала на уровне механики сплошных сред используется макромодель, предложенная Радченко В.П. [132]. Основной вариант определяющих соотношений (с учетом деформации ползучести) этой модели имеет вид Здесь є — полная деформация, е и ер —упругая и пластическая деформация (соответственно); р —деформация ползучести; и, v, w — вязкоупругая, вязко-пластическая и вязкая составляющая деформации ползучести (соответственно); его и а — соответственно номинальное и истинное напряжения (ад 0); і? —модуль Юнга; А/-, а , 6&, с, П2, т, J — константы модели, при помощи которых описывается первая и вторая стадии ползучести материала и ее обратимая после разгрузки часть; ш — параметр поврежденности; 7 и а — параметр модели, контролирующие процессы разупрочнения материала на пластической деформации и деформации ползучести (соответственно); а, щ, А — константы, описывающие диаграмму мгновенного упругопластического деформирования; сгпр — предел пропорциональности. ст А Согласно соотношения для ер пластическая деформация описывается такими же по структуре уравнениями, как и вязкопластическая компонента v деформации ползучести, т. е. также развивается во времени. Такой подход к описанию пластической деформации соответствует так называемым эндохронным теориям пластичности [66, НО, 238, 240], т. е. теориям пла- Рис. 2.13. Схематическое раз- стичности с внутреннем временем. В предло- витие пластической деформации женных уравнениях в качестве внутреннего вре- п0 эндохронной теории пластич- мени используется обычное физическое время. НОСТИ Если выбрать А А/с, то при фиксированном его всегда можно указать такой интервал времени [0,], что ep(t) будет сколь угодно мало отличаться от своего асимптотического значения, полу- ченного из решения третьего уравнения (2.27) при t —У +оо, в то время как p(t) РЗ 0. Схема развития упругопластического деформирования в координатах сто є в режиме мягкого нагружения (мгновенного приложения нагрузки) представляем ломаную ОАВ (см. рис. 2.13). Детальный анализ данных,выполненный в [132], показал, что в общем случае 7 — т(еР) и а — 07) и Для них можно использовать степенные аппроксимации вида Для ряда материалов в частных случаях выполняется j const, a = const.
Упругопластическое деформирование стержневых систем на стадии разупрочнения для режима "жесткого" нагружения
Как отмечалось в аналитическом обзоре и пункте 2.1, структурные модели позволяют не только описать многие тонкие эффекты для реологических сред со сложными реологическими свойствами, но и могут служить эквивалентной заменой уравнений состояния, связывающих напряжения, деформацию и время. Поэтому целью настоящего пункта является, во-первых, иллю- страция применения структурных моделей к решению одномерных краевых задач упругопластического деформирования стержневых систем (для режима "жесткого" нагружепия), во-вторых, детально исследовать поведение конструкций на закритичсской стадии деформирования. При этом были выбраны простейшие стержневые конструкции, поскольку принципиальные выводы, полученные для них, будут справедливы и для стержневых конструкций любой степени сложности. метрична относительно первого стержня (т. е. второй и третий стержни имеют одинаковую длину, одинаковые площади сечений и все стержни выполнены из одного и того же материала). Обозначая через Si, S2, S3 ( = S3) площади сечений стержней и вводя условное напряжение a(t) = N/(Si + 2S2) (обобщенная сила), уравнения равновесия и совместности деформаций будут иметь вид 1. Исследование особенностей напряженно-деформированного состояния стержневых элементов конструкций из пластически-разу-прочняющегося материала в настоящей работе было выполнено на примере двух конкретных задач. В первой — рассмотрена и решена краевая задача для трехэлементной стержневой системы, представленной на рис. 2.22. Предполагается, что стержневая система сим- где a = 5i/(5i+252), ті, СГ2 — макронапряжения, а є\ и Є2 —макродеформации в I и II стержнях соответственно. Тогда из уравнений (2.65) и (2.66) для определения начальных напряжений под действием постоянного условного напряжения a {t) = 0 при t = +0 получаем При решении краевой задачи для стержневой системы в качестве базовой одномерной модели пластического деформирования используется рассмотренная в пункте 2.2 структурная модель среды.
Для удобства еще раз рассмотрим основные математические модели для каждого из рассмотренных случаев а-е (рис. 2.3) при описании кинетики микронапряженного состояния при упругопластическом растяжении стержня. Для варианта (рис. 2.3, а) имеем упругое состояние, поэтому микронапряжения удовлетворяют неравенству сг(0) 7ТМ (0 в тг/2). Схема расчета для данного случая и формулы приведены в пункте 2.2 этой главы. В представленном на рис. 2.3, б" случае часть локальных элементов находится в состоянии упруго-пластического растяжения, т. е. а(9) = ттм при 0 в «і, но разрушение ни одного локального элемента не наблюдается. Область же а\ 9 7г/2 соответствует чисто упругому состоянию элементов (рис. 2.3, б). Исходя из уравнений равновесия и совместности деформаций математическая модель имеет вид (см. [137] и приложение А): Для состояния материала, представленного на рис. 2.3, г, при 0 9 а\ имеем а(9) = атм, при а2 /9 7г/2 — сг(#) = — ттм, а в области а # а2 — упругое распределение микронапряжений. Математическая модель представлена системой уравнений (см. [137] и приложение А): Перейдем к описанию следующего этапа деформирования материала, представленного на рис. 2.3, д, сопровождающегося разрушением локальных элементов модели. В соответствии с критерием для оценки меры поврежден-ности (2.19) , предполагаем, что разрушение наступает тогда, когда работа микронапряжения на микродеформации пластичности достигает критического значения (второй член в (2.19) равен нулю). В качестве критического будем использовать состояние материала, соответствующее локальному экстремуму на диаграмме упруго-пластического макродеформированного образца, характеризующегося точкой ( т3, eps) (рис. 2.2) и отделяющего участки устойчивого и неустойчивого (закритического) деформирования. Тогда локальный элемент находится в неразрушенном состоянии, если о и разрушается, если выполняется условие где А — критическая величина работы микронапряжения а на микродеформации пластичности ер (константа материала). В силу того, что в пластическом состоянии в зоне растяжения а (в) = ттм и ер(9) 0, а в зоне сжатия а(в) — — атм и ер(9) 0 неравенство (2.71) принимает вид Величину А можно определить следующим образом. Первым разрушится наиболее нагруженный локальный элемент при в = 0. В силу гипотезы однородности деформации по объему в момент разрушения имеем, что ер(0) = (єх) = ер. Тогда из (2.71) получим С учетом (2.73) критерий разрушения (2.71) принимает деформационный характер и имеет вид В качестве математической модели для случая, представленного на рис. 2.3, г, имеем следующую систему уравнений (см. [137] и приложение А): Перейдем теперь к решению краевой задачи для стержневой системы по схеме "жесткого" нагружения, при этом упругопластические свойства материала в стержнях I и II системы (рис. 2.22) будем описывать на основании структурной модели. В силу того, что задан режим "жесткого" нагружения стержневой системы в дальнейшем будем задавать перемещение I стержня. Тогда для определения макронапряжений в стержневой системе, соответствующих переходу системы из упругого состояния в упругопластическое, из закона Гука и уравнений (2.65), (2.66) имеем На первом этапе кинетики микронапряженного состояния материала в I стержне реализуется случай, когда часть локальных элементов структурной модели для I стержня находятся в пластической области, а локальные элементы стержня II находятся в упругой области.
Тогда соответсвенно для материала I стержня реализуется случай б на рис. 2.3, и математическая модель представляется в виде системы уравнений (2.68). В дальнейшем неизвестные величины систем уравнений (2.68),(2.69), (2.75) (&х), ()) (Єу), & (і), &ъ «2, «з структурной модели для каждого из стержней I и II системы будем обозначать (сгх) = сгг-, (єгх) = єг-, (єгу), аг (), а\, аг2, 4(і=1,2). В системе (2.68) для I стержня неизвестными являются (стх), (єх), (Єу), а1 (), а \, т. е. уравнений четыре, а неизвестных пять. Однако в процессе упругопластического нагружения при феноменологическом подходе известен некоторый параметр нагружения. Так как в работе рассматривается случай "жесткого" режима нагружения, то величину (єх) будем считать известной. В свою очередь, (єх) однозначно связана с величиной а\ (третье уравнение системы (2.68)). Поэтому в рассматриваемом случае одну из этих величин можно задавать. Будем считать в качестве известной величины угол о;}, который и является параметром нагружения. Задавая значение а\, из второго уравнения системы находим а1 (), из первого уравнения — (с ), затем находим (єі), (є ). Распределение микровеличин выглядят следующим образом: при 0 9 а\, — а(9) = сгтм, а ер(9) = (єх) cos2 9 + (єу) sin2 9 - % ; при а\ 9 в упругой области распределение поля микронапряжений имеет вид (т(9) Таким образом, микронапряженное состояние в I стержне позволяет найти макрохарактеристики (аі), (є ), (ej) = (єх) — - . Поскольку II стержень находится в упругом состоянии, то его макрохарактеристики находятся из уравнений (2.65) и (2.66) подстановкой в них Поскольку величины (crl) и (є\) известны, то из полученной системы с использованием закона Гука (є2) = - находим а далее из первого уравнения системы (2.77) определим величину условного напряжения сг, соответствующего (al) и ( т2), при этом необходимо проверить выполнение условия Дальнейшая схема расчета следующая. По мере увеличения деформации (єі) расчет кинетики микронапряженного состояния в I стержне осуществляется по схемам, представленным на рис. 2.3 (случай 6-е), причем при реализации соответствующих математических моделей (формулы 2.68),(2.69), (2.75)) на выходе всегда будем иметь величину (с ).
Предельная поверхность устойчивого упругопластического деформирования
Как уже было отмечено выше, влияние полей микронапряжений и микродеформаций на процессы макродеформирования и разрушения микронеоднородных материалов не вызывает сомнений. Поэтому в ряде работ разрабатываются структурные модели, позволяющие проследить кинетику накоп- ления поврежденности в условиях неупругого реологического деформирования, включая стадии закритического упругопластического деформирования и разрушения при ползучести [137, 147, 177]. Сформулированные в пункте 3.1 задачи можно рассматривать как задачи моделирования предельного состояния материала на основе структурной модели. Рассмотрим сначала процессы упругопластического деформирования. Здесь для определения параметров структурной модели Еш ттм, и А\ необходимо иметь лишь полную диаграмму упругопластического деформирования вплоть до временного предела сопротивления (ниспадающий участок прогнозируется на основании структурной модели). Используя законы Гука для локального элемента е(9:ср) = сг(в,(р)/Ем, из (2.1), (2.3), (2.4) и (2.5) можно получить связь между микронапряжениями и макронапряжениями: Из (3.1) нетрудно установить поверхность текучести, т. е. найти геометрическое место точек, когда хотя бы один локальный элемент достигает микропредела текучести сгтм (локальный элемент удовлетворяет теории идеальной пластичности). Для этого в (3.1) необходимо положить сг(0, 0) = т(,0) = а (, ) = ± ттм и тогда геометрическое место точек, ограниченных шестью плоскостями дают поверхность текучести. В дальнейшем подробно исследуем плоское напряженное состояние, когда ( тх) ф О, (ау) ф 0, (az) = 0. Тогда с учетом равенства ттм = 3 тпр из (3.2) получаем след пересечения поверхности текучести с плоскостью 0(сгх)((7у), который определяет кривую текучести для данного вида напряженного состояния: В качестве примера построим поверхность текучести для модельного материала — сплава ЭИ 698 (Т=750 С), характеристики которого следующие: =147000 МПа; о-пр=480,7 МПа; е=0,12 [137], и для сплава ЭИ 415 при Т=20 С, =207000 МПа; 7пр=450 МПа; ef=0,07 [56-58]. На рис. 3.1 приведены рассчитанные по структурной модели диаграммы деформирования и экспериментальные диаграмма для этих сплавов.
На рис. 3.3 и 3.4 линиями (1) представлены рассчитанные по (3.3) кривые текучести для этих материалов. Для решения упругопластической задачи для плоского напряженного состояния используются уравнения совместимости деформаций (2.4) и уравнения равновесия (2.3). Здесь интегрирование по углам вир проводится по трем областям: первая соответствует упругопластически растянутым элементам (здесь а(9,(р) = сгтм); вторая — локальным элементам модели, находящимися в упругом состоянии (здесь є(9,(р) = а(9,(р)/Ем); третья — упругопластически сжатым элементам (здесь a(9,ip) = — 7ТМ). Кроме этого, по мере возрастания макронапряжений часть локальных элементов в соответствии с критерием (2.19) начинают последовательно разрушаться (выходить из строя), поэтому возникают еще две области: первая соответствует разрушенным локальным элементам в области растяжения, а вторая — в области Если осуществляется режим "жесткого" нагружения, то появление зон разрушения локальных элементов и приводит к появлению ниспадающей ветви диаграммы упругопластического деформирования. Если принять за предельное состояние материала появление первого разрушенного элемента (дальнейшее деформирование возможно только в режиме "жесткого" нагружения), то пользуясь (2.1), (2.3), (2.4), (2.5) и критерием (2.19) можно построить так называемую предельную поверхность устойчивого деформирования. Рассмотрим подробно математическую модель для построения предельной поверхности устойчивого деформирования при плоском напряженном состоянии. В данном случае, в отличие от одноосного случая, решение строится численно. Сначала выполняется дискретизация области интегрирования по переменным в и р соответственно с шагом Ад І и Аїру. 0 = щ ц \ Р2 Рис. 3.3. Расчетные поверхность текучести Рис. 3.4. Расчетные поверхность текучести (1) и предельная поверхность (2) для спла- (1) и предельная поверхность (2) для спла ва ЭИ 698 при Т=750 С ва ЭИ 415 при Т=20 С (pN = 7г (поле микронапряжений в областях 0 (р ігитг (р 2тг будет симметричным относительно линии (р — 7Г), 0 = #0 #1 #2 м = f, Д#г- = Qi+l — 9І, Арі = tpj+i — ерj. Заменяя теперь кратные интегралы в уравнениях равновесия (2.3) по одной из квадратурных формул интегральными суммами и учитывая симметрию поля микронапряжений относительно линии р = тг, запишем систему (2.3) для самого общего случая деформирования, когда имеется область упругого состояния локальных элементов, область пластически растянутых элементов, для которых а(9, /?) = атм и область пластически сжатых стержней, для которых а(9, ф) = — 7ТМ. Считаем, что разрушенных локальных элементов пока не имеется. Тогда, учитывая закон Гука для локальных элементов є(9, р) = а(9,ір)/Ем и (2.4), уравнения равновесия (2.3) запишутся в следующем виде: В (3.4) суммы 2 Y2 соответствуют членам, в которых фигурируют лишь упругие локальные элементы; в ХГ присутствуют члены, для которых і з случае, когда мы имеем чисто упругое состояние, вторые и третьи слагаемые в каждом уравнении равновесия (3.4) обращаются в ноль; если имеем упругую область и область пластически растянутых локальных элементов, то третье слагаемое в каждом слагаемом (3.4) обращается в ноль; если имеем упругую область и область пластически сжатых локальных элементов, то второе слагаемое в (3.4) обращается в ноль.
Для удобства дальнейшего изложения переобозначим коэффициенты при (єх), {єу) и (sz) через Sij, а свободные члены через Surriij, т. е. индекс г = 1, 2,3 указывает на номер уравнения, a j = 1, 2, 3 в S указывает член, стоящий при (єх), (єу) и (ez) соответственно; для Surriij индекс j = 1, 2, причем j = 1 соответствует коэффициенту при ттм, a j = 2 — при (— ттм). Тогда (3.4) перепишется следующим образом: Изложим теперь алгоритм численного решения. Для построения границы области устойчивого деформирования на каждом луче в плоскости 0{ах){ау) (рис. 3.5), составляющего угол а (О а 27г) с осью 0(ах), необходимо найти такую точку А, в которой хотя бы один локальный элемент структурной модели разрушится, поскольку дальнейшее деформирование (в ре-Рис. 3.5. Схема к построению жиме "жесткого" нагружения) приводит к по- области устойчивого упругопла- явлению ниспадающих участков для компонент стического деформирования тензора деформаций. Очевидно, что значения (ах) и {(Ту) связаны соотношением: причем при а = {; -} реализуется одноосное растяжение или сжатие по оси OY, а при а = {0; 7г} — одноосное растяжение или сжатие по оси ОХ, и здесь расчет ведется по одноосной модели. За начальное значение макронапряжений ( ))( ) на любом луче принимаются точки пересечения этого луча с поверхностью текучести (с линией (1) на рис. 3.3), при этом, естественно, макронапряжения связаны соотношением (3.7). Пусть это будет точка В на рис. 3.5. Здесь реализуется упругое состояние, но один из структурных элементов модели достиг либо значения сгтм, либо — 7ТМ. Поэтому из (3.6) при Surriij = 0 (г = 1,2,3; j = 1) находим значения макродеформаций (єх): {у), {z}- Далее с малым шагом начинается движение от точки В по заданному лучу. Выбирается малое приращение величины (стх), по (3.7) находится приращение (ау) и, в конечном итоге, получаем значения макронапряжений (сгх) и (ау) в точке Ві, близко отстоящей от В. Далее алгоритм на каждом шаге становится двухступенчатым. На первой итерации из решения (3.6) при Surriij = 0 вновь находятся (єх), (єу}: (sz), фактически соответствующие упругой догрузке, и из закона Гука и условия совместности деформаций определяются микропапряжения.
