Содержание к диссертации
Введение
1. Описание процесса упругого деформирования многослойных пластин с малыми начальными неправильностями в слоях 21
1.1. Общие методы определения податливости неоднородных сред 21
1.2. Коэффициенты Пуассона многослойных тел с малыми начальными неправильностями в слоях 25
1.3. Определение приращения деформаций многослойного металлического пакета в одномерном случае 31
1.4. Определение поперечного эффективного модуля упругости многослойного пакета с произвольной пространственной погибью слоев 34
1.5. О соображениях подобия в контактных задачах теории упругости 43
1.5.1. Контакт абсолютно жесткого бесконечного штампа с упругим полупространством 45
1.5.2. Контакт без трения двух искаженных полупространств 48
1.5.3. Вдавливание абсолютно жесткого штампа в упругое полупространство 49
1.5.4. Контакт двух упругих тел, первоначально соприкасающихся в точке 52
1.5.5. Задача о соударении двух тел 55
1.6. Поправка к модели изгибного деформирования слоев многослойного тела 58
2. Экспериментальные исследования податливости много слойных металлических пакетов при сжатии 63
2.1. Выбор экспериментальной модели 63
2.2. Предварительные экспериментальные исследования 66
2.3. Схема испытаний и методика экспериментальных исследований
2.4. Результаты исследований и их анализ
3. Определение напряженно-деформированного состояния многослойных толстостенных металлических оболочек 99
3.1. Потенциал деформаций многослойного тела 99
3.2. Основные уравнения при расчете многослойных осе-симметричных толстостенных металлических оболочек 103
3.3. Расчет нелинейных трансверсально-изотропных оболочек 107
3.4. Расчет оболочек с неоднородным распределением упругих характеристик по толщине стенки 109
3.5. Численные результаты и их анализ
Заключение
Литература
Приложения
- Коэффициенты Пуассона многослойных тел с малыми начальными неправильностями в слоях
- Контакт абсолютно жесткого бесконечного штампа с упругим полупространством
- Схема испытаний и методика экспериментальных исследований
- Основные уравнения при расчете многослойных осе-симметричных толстостенных металлических оболочек
Введение к работе
Развитие современной нефтяной и химической промышленности, ядерной энергетики ставит задачей создание металлических сосудов с многослойной стенкой, число слоев в которой может доходить до нескольких десятков /~1_/. Постановление Совета Министров СССР № 122 от 8 февраля 1980 года предусматривает создание таких сосудов. Для этого необходимо разработать методы их расчета.
Расчет многослойных металлических сосудов, нагруженных внутренним давлением, значительно осложняется по двум причинам: во-первых, необходимо учитывать взаимодействием слоев и, во-вторых, эти оболочки не являются тонкостенными.
При рассмотрении многослойных конструкций чаще всего предполагают, что все слои являются идеально правильными ,/""_/. В то же время при работе многослойных металлических сосудов наблюдается явление большей податливости стенок в поперечном направлении вследствие существования между слоями зазоров (полостей) , что обусловлено наличием малых начальных неправильностей в слоях./*"1_/.
В существующих методах расчета многослойных металлических сосудов это явление учитывается эмпирическими формулами, не описывающими механизма взаимодействия слоев, который носит изгибный характер.
Вместе с тем в настоящее время практически отсутствуют экспериментальные исследования этого механизма, что не позволяет правильно учесть возникающие нелинейные эффекты.
Расчет многослойных конструкций целесообразно вести по
сплошной схеме, т.е. заменяя реальную конструкцию сплошной, для
материала которой каким-либо образом найдены эффективные дефор-
мативные характеристики ^~1_/.
Таким образом, являются актуальными теоретические и экспе-
риментальные исследования эффективных упругих характеристик многослойного материала, из которого изготавливаются реальные конструкции.
После пластической опрессовки сосудов их слои будут работать снова упруго, поэтому исследование модели, описывающей упругое поведение многослойного материала, будет актуальным и в этом случае.
Так как свойства материала можно исследовать в отрыве от конкретного вида конструкции, то в работе в основном будут исследоваться многослойные металлические пластины.
Целью работы является разработка модели упругого деформирования многослойных пластин с малыми начальными неправильностями в слоях.
В данной работе будут рассматриваться задачи теории упругости, возникающие при разработке указанной модели. При этом будут определяться только те упругие характеристики, которые впоследствии понадобятся для расчета многослойных сфер и цилиндров.
В работе Н.П.Мельникова и Н.М.Потапова /~1_7 приводятся предполагаемые размеры многослойных сосудов: диаметр до 60 м, толщина стенки до 1,5 м. При этом сосуды должны выдерживать внутреннее давление до 50 МПа.
Существующие технологические возможности /"1_/, а также опасность хрупкого разрушения /"3-6^7* не позволяют изготовлять монолитные штампосварные сосуды с указанными выше габаритами.
Этих технологических трудностей и опасности хрупкого разрушения можно избежать, изготавливая сосуды с многослойной стенкой. В этом случае их изготовление производилось бы на монтажной
площадке послойно сваркой отдельных листов стального проката ^~1_/, при этом границы раздела слоев служили бы тормозящим фактором при распространении трещин Ґ^І.
Сравнение предполагаемой толщины стенки сосуда и.толщины существующих листов проката показывает, что количество слоев в стенке может доходить до нескольких десятков.
Многоелоиные конструкции широко применяются в современной технике /~ZJ, Чаще всего слои этих конструкций состоят из материалов с существенно различными физико-механическими свойствами. Первая группа слоев - несущие слои, изготовленные из высокопрочных и жестких материалов, -предназначена для восприятия основной части внешней нагрузки. Другая группа слоев, обычно чередующаяся с первой, служит для обеспечения монолитности конструкции и перераспределения усилий между несущими слоями, а также для герметизации конструкции.
Слои первой группы называются жесткими (для них считаются выполненными гипотезы обычной теории пластин и оболочек), слои второй группы - мягкие (для них эти гипотезы могут не выполняться).
Подробно изучены два класса систем, составленных из чередующихся жестких и мягких слоев. Во-первых, это конструкции, для которых обеспечивается выполнение гипотез Киргхофа-Лява или Тимошенко для пакета в целом. Во-вторых, это трехслойные пластины и оболочки, в которых два тонких несущих слоя разделены слоем мягкого заполнителя ~Z, 7-14/. В этих же работах отражены результаты более ранних исследований.
К задачам расчета многослойных конструкций примыкают исследования по механике слоистых композитов. В монографии В.В.Болотина и Ю.Н.Новичкова C^J изложены основные методы расчета слоистых композиционных материалов. Однако эти методы не могут быть прямо перенесены на многослойную конструкцию, состоящую только из жестких слоев, к которым относятся многослойные металлические сосуды, так как при отсутствии мягких
прокладок становится существенным взаимодействие жестких слоев при непосредственном контакте друг с другом.
Исторически задача определения напряженно-деформированного состояния в многослойных металлических цилиндрах впервые, по-видимому, возникла в связи с проектированием составных орудийных стволов и была решена А.В.Гадолиным C^>J.
В работе ^~16_/, основываясь на более ранних работах Бриджмена П.В. /"17, 18/, рассматриваются многослойные сосуды высокого давления, межслойные зазоры которых заполнены жидкостью.
В настоящее время существует много работ, посвященных определению напряженно-деформированного состояния в многослойных цилиндрических оболочках, однако чаще всего в них рассматриваются рулонированные сосуды ^19-24^/.
Вопросам же, связанным с исследованием многослойных сосудов, которые будут изготавливаться послойно путем сварки отдельных листов стального проката, посвящено мало работ ,/"1, 25_/, так как направление только начинает разрабатываться.
При расчете сосудов со слоями, изготавливаемыми из листов проката, необходимо учитывать, что между слоями будут существовать зазоры (полости)-из-за невозможности строго выдержать кривизну поверхности, из-за неровностей и шероховатостей поверхностей листов проката, а также из-за непостоянства их толщины ^~1, 24, 26_/.
В монографии /J2.J на основе работ ^"27, 28/ рассмотрена теория слоистых композитов со случайными начальными неправильностями в жестких слоях. При описании малых начальных неправильностей были введены следующие положения C"ZJ\ I) толщины армирующих слоев и слоев заполнителя малы по сравнению с расстояниями порядка Л , на которых функции, описывающие на-
чальные искривления слоев, изменяются заметно; Z) характерные тангенциальные перемещения точек на срединных поверхностях жестких слоев малы по сравнению с характерными нормальными перемещениями, которые в свою очередь малы по сравнению с л Последнее требование представляется в виде уг«{ , где
У - характерное (например, среднее квадратическое) значение угла отклонения жестких слоев от идеальной формы (плоскости). Если принять за эти углы, отклонения от плоскости Х^Х2 ортогональной системы координат 0С±, OCg , 0С3, то это требование можно переписать в виде: П ^ ^П 2<<: і * fU~l , где ( А і » ^2 > ^3 ) " вектор единичной нормали к поверхности жестких слоев.
Этими положениями можно пользоваться и при описании малых начальных неправильностей в слоях многослойных конструкций, составленных только из жестких слоев.
Известно,что вывод основных уравнений теории многослойных конструкций осуществляется либо на дискретной, либо на сплошной модели /~9_/. В дискретной схеме основные уравнения составляются для каждого слоя, при этом надо удовлетворить условиям неразрывности на поверхности контакта слоев и граничным условиям на контуре каждого слоя ^"7,137. Тогда порядок системы уравнений определяется числом слоев. Во второй схеме многослойную конструкцию рассматривают как сплошную /2,10_7, в этом случае порядок системы уравнений не зависит от числа слоев.
С увеличением числа слоев вторая схема становится более предпочтительной. По второй (сплошной) схеме предлагается рассчитывать рассматриваемые сосуды и в работе Н.П.Мельникова и Н.М.Потапова /f"I_7, гДе многослойная среда рассматривается как трансверсально-изотропная.
В данной работе расчет напряженно-деформированного состояния в многослойных телах с малыми начальными неправильностями в слоях будет производиться по сплошной схеме.
для расчета многослойной конструкции по этой схеме необходимо построить модель сплошного однородного тела со свойствами, эквивалентными свойствам многослойного тела. Это задача механики ~30_/, и поэтому будем пользоваться методами механики композиционных материалов. При этом будем учитывать особенности многослойных металлических сосудов.
Наиболее сильно развитая область механики неоднородных сред посвящена определению эффективных свойств различных типов таких сред /J~Z9 31-35/.
При рассмотрении неоднородных (композитных) тел используют различные уровни, которые отличаются масштабом длины: уровень структурной неоднородности (масштаб равен характерному размеру частицы наполнителя или толщине армирующего слоя); уровень, на котором неоднородный материал можно заменить однородным с эффективными свойствами; уровень, на котором сглаженные напряжения и деформации меняются заметно /"", 31-35_/.
В работе /~ZJ приведена последовательность решения задач для неоднородного тела. На первом этапе решается задача для существенно неоднородного тела (первый уровень рассмотрения) . Затем вычисляются эффективные упругие характеристики тела (второй уровень рассмотрения) и решается краевая задача для тела с найденными эффективными характеристиками (третий уровень рассмотрения),
В этой же последовательности будем решать задачу о напряженно-деформированном состоянии многослойных сосудов с малыми начальными неправильностями в слоях, то есть сначала
рассмотрим неправильности, существующие в слоях, затем посредством подходящей операции осреднения определим эффективные характеристики многослойного материала и решим краевую задачу расчета конструкции, изготовленной из этого материала.
Эффективные деформативные характеристики многослойного материала будем определять на плоских пластинах.
Далее при рассмотрении экспериментальных работ помимо термина многослойные пластины будем употреблять также принятый в литературе термин - пакет.
Первой работой, в которой эффективные характеристики неоднородного тела определялись путем осреднения соответствующих характеристик компонентов по объему и по ориентации, по-видимому, является работа іойгхта /~36_7, где определялось осреднен-ное значение тензора модулей упругости.
Позднее Ройссом /~Ъ1 J был предложен метод, основанный на осреднении тензора податливости.
В работах
При вычислении эффективных характеристик неоднородных тел пользуются различными методами, среди которых наиболее употребительными являются: расчет по полидисперсной модели ,/"41,42/, расчет по трехфазной модели ^"43, 44_7, метод еамо-согласования Z~45__7, принцип энергетической континуализации C46J.
Методы теории случайных функций широко применяются для решения различных задач механики деформируемых твердых тел /~3, 35, 47-49_/. Подробный обзор методов этой теории, применяемых в задачах для неоднородных тел, осуществлен в моногра-
фии іермергора Т.Д. /~35_/.
Для корректного изучения неоднородных материалов со статистической точки зрения вводится понятие ансамбля /"35, 47_7-набор образцов,.макроскопически идентичных, но различных на микроскопическом уровне. Обычно рассматриваются материалы, в которых выполнено условие эргодичности, то есть средние значения функции по ансамблю совпадает со средним значением по объему ~ЗЬ„7*
Таким образом, чтобы решить задачу об эффективных характеристиках неоднородных сред, необходимо осреднить поля напряжений и деформаций и найти тензор эффективных жесткостей, связывающий эти средние /~, 31-35/. Аналогичная процедура применяется и в нелинейном случае ,/""50, 51/.
В работах /"52-56_/ исследуется механическое поведение тел, содержащих множество трещиновидных неоднородностей. При достаточно редком расположении неоднородностей, когда можно считать, что они не оказывают влияния друг на друга, эффективные характеристики находятся на основе решения задачи об изолированной трещине в упругом пространстве. Такое приближение называется приближением малой концентрации.
В работе Р.Л.Салганика /~52_/ предложен метод нахождения эффективных характеристик тела, содержащего несколько групп трещин, резко отличающихся по размерам при переходе от одной группы к другой. Метод заключается в том, что последовательно вычисляются эффективные упругие характеристики в приближении малой концентрации для каждой группы трещин, вносимых в среду, эффективные характеристики которой определены при внесении групп трещин меньших размеров. Этот метод распространяется также на случай непрерывных функций распределения трещин по размерам, если только эти функции достаточно пологи.
В дальнейшем в работах /""53, 55_7 получены выражения для эффективных упругих характеристик тел с системой параллельных трещин. В работах /~54-56_/ на примере эллипсоидальных неоднородностей, используя решения работы ~blj, исследуются трещиновидные неоднородности с заполнением, а также случай жестких неоднородностей.
Задача определения эффективных упругих характеристик многослойных тел с малыми начальными неправильностями в слоях должна решаться с использованием вышеуказанных методов и учетом экспериментальных данных.
В литературе описано весьма незначительное количество экспериментальных исследований процесса сжатия многослойных пакетов. Первой работой, содержащей результаты таких исследований, по-видимому, является работа /""58_/, в которой исследовались пакеты динамнои стали в целях учета их упругости при расчете прочности нажимных плит статоров и роторов электрических машин.
Приведены данные об экспериментальном определении упругой реакции пакета динамнои стали, состоящего из отрихтован-ных и лакированных листов толщиной 0,5 мм. Толщина такого пакета, состоящего из круглых слоев, была равна 50 см; диаметр пакета - 84 см.
Показания осадки пакета снимались тремя индикаторами, расположенными на одной окружности и отстоящими друг от друга на равном расстоянии. Максимальное сжимающее напряжение в эксперименте не превышало Z МПа.
Из приведенных результатов исследований видно, что в пакете динамнои стали процессы осадки.и отпора имеют существенно нелинейный характер. Упругая работа пакета наблюдается только после его опрессовки, причем различие диаграмм напря-
жение-деформация при нагружении и разгружении опрессованного пакета незначительное.
Однако, кроме такой качественной оценки процесса взаимодействия слоев в многослойном пакете, из данной работы трудно сделать какие-либо общие заключения о характере этого процесса при сжатии. Отметим также, что на результаты экспериментов могла влиять указанная выше предварительная обработка слоев пакета и поэтому применять полученные результаты к многослойным пакетам, изготовленным из листов проката в состоянии поставки, нужно с известной осторожностью.
В работах ^"1, 25/ приведены данные об экспериментальных исследованиях многослойных сферических сосудов с многослойными патрубками, изготовленными из стали ВСтЗсгй.
В работе /~1.J приведены также данные экспериментальных исследований круглой четырехелоиной свободно опертой по контуру пластины, нагруженной равномерным давлением.
Однако определение эффективных упругих характеристик многослойных тел из экспериментов, в которых эти тела нахо-, дятся в неоднородном поле напряжений, весьма затруднительно. Поэтому далее будут рассматриваться только работы, посвященные экспериментальным исследованиям податливости многослойных пакетов, нагруженных по обеим лицевым поверхностям равномерным давлением.
В работе /~23_7 упоминается об экспериментальных исследованиях зависимости величины сближения шероховатых поверхностей стального проката от контактного давления на плоских многослойных пакетах, поверхности слоев которых имеют одинаковую шероховатость. Экспериментальную нелинейную зависимость между контактным сближением поверхностей о и контактным давлением Г интерполировали с помощью формулы закона Баха
о=А г , где коэффициенты А и її] определяли методом наименьших квадратов по результатам измерений.
В этой же работе приведен пример такого интерполирования. Для листов проката толщиной б мм были получены следующие значения П1 =0,222, А = 0,0505 кг"0'222 мм1'444.
В работе Ґ%&7 приводятся результаты экспериментальных исследований зависимости сближения между слоями пакетов и давлением на пакет. Результаты испытаний получали с помощью четырех индикаторов с точностью 0,002 мм. Давление на пакеты площадью 16 см^ менялось от 0,031 кг/шг до 8,0 кг/Wr. Результаты испытаний обрабатывались с помощью формулы Баха S — АР - При этом для квадрат-' ных пакетов со слоями толщиной 4 мм с площадью 16 и ЮОсм^ соответственно было получено.
Слои изготовлены из стали І0Г2СІ:
а) ГП » 0,213, А = 0,042 кг"0»213 мм1»426 ;
б) Ш = 0,05825, А = 0,196 кг"0'05825 мм1'1165 .
Слои изготовлены из стали І2ХГНМ:
а) Ю« 0,1897, А =0,0337 кг^>1897 мм1'3794;
б) Ш=0,05235, А-0,1701 кг-0'1701 мм1'4047.
Влияние размеров контактных поверхностей на величину контактного сближения в этой работе объяснялось наличием макронеровностей. Результаты измерений показали, что каждый слой представляет собой сложную поверхность с кривизной 2-4 раза меняющей знак на длине 10 см.
Существует краткое описание исследований контактного взаимодействия слоев, проведенных на десятислойных пакетах площадью 100 сиг ^""19_/. При сжатии давлением до 30 МПа наблюдалось, что порядка 90% общей деформации пакета связана с выравниванием слоев.
Контурная площадь контакта слоев определялась методом угольных пленок.
Следует отметить, что все перечисленные выше исследования стальных многослойных пластин проводились либо при больших давлениях на маленьких образцах, которые не моделируют изгибную работу слоев, либо на больших образцах, но при давлениях, существенно меньших рабочего , равного 50 МПа (см.работы "lj)*
Необходимо отметить также приведенные в работе
На полученных зависимостях выделены три участка с разной крутизной графика: О^С-э^б; В S G 25 ; 25 ^Со (размерность у всех величин кПа), причем на втором и третьем участках зависимости близки к линейным.
Из испытаний на сжатие многослойного пакета, составленного из сплошных дисков, делается вывод, что в ненагруженном образце имеются зоны, в которых отсутствует сцепление между дисками и которые исчезают при достаточном сжатии (то есть исчезают на третьем участке). Считается, что на втором участке контуры таких зон остаются неподвижными.
Результаты описанных экспериментальных исследований /~55_7
хотя и относятся к многослойным пакетам, составленным из листов
вакуумной резины, дают качественное описание процесса сжатия
многослойных пакетов, составленных из стальных листов.
Таким образом, в настоящее время не опубликовано данных о достаточно полных экспериментах по сжатию многослойных пакетов,
условия проведения которых позволяют говорить об изгибном характере работы слоев и в которых давление достигало бы значений порядка 50 МПа. Кроме того, практически отсутствуют сведения о первичных результатах измерений.
Однако, из рассмотренных исследований видно, что многослойные конструкции с малыми начальными неправильностями в слоях необходимо рассчитывать как нелинейные, причем уже при небольших нагрузках порядка 0,1 МПа деформации можно считать малыми по сравнению с единицей.
По классификации В.В.Новожилова ^""59,60_/ задачи теории упругости для многослойных тел с малыми начальными неправильностями в слоях по признаку допустимых в них упрощений являются нелинейными физически, но линейными геометрически. В этом случае деформации малы по сравнению с единицей, однако отсутствует линейная зависимость между напряжениями и деформациями.
Авторы первых работ, посвященных исследованию нелинейных задач теории упругости, стремились по результатам опытов подобрать эмпирические зависимости между силами г и удлинениями или сжатием C&iJ.
Методы расчета физически нелинейно-упругих процессов развивались в основном как методы расчета процессов упруго-пластических (при активном нагружении это одно и то же).
Физическая нелинейность зависимостей между напряжениями и малыми деформациями различается на мягкую (с возрастанием нагрузки податливость тела увеличивается) и жесткую (с возрастанием нагрузки податливость тела уменьшается) ,/""62_/. Из работ /~1, 58/ следует, что процесс сжатия многослойного тела в поперечном направлении является жестко физически нелинейным.
В нелинейной механике сплошных сред (в основном в теории малых упруго-пластических деформаций) разработано много способов решений задачи об определении напряженно-деформирован-
17 ного состояния тел: метод разложения по параметру нагружения /"63^7, метод возмущения упругих свойств /~64_/ и другие.
Обычно решение нелинейной задачи ищется в виде суммы двух: линейного решения, построенного каким-либо образом, и нелинейной добавки CoJ* Считая решение линейной задачи известным, принимают его за нулевое приближение и далее строят последовательные приближения. В основе этих методов лежит метод упругих решений, предложенный А.А.Ильюшиным /~66__7, и метод переменных параметров упругости, предложенный И.А.Бир-гером ^"67_/. Из разработанных в дальнейшем на их основе методов наибольшее распространение получил метод приведенного модуля сдвига ,/"~68_7.
В обзоре, приведенном в работе Д.Л.Быкова /~69_/, проводится сравнение различных методов решения задач теории пластичности. При сопоставлении метода переменных параметров упругости с методом приведенного модуля первому отдается предпочтение в тех случаях, когда деформированное состояние в теле существенно неоднородно, то есть когда "средний" модуль значительно отличается от соответствующего максимального и минимального значений.
Сходимость указанных методов изучалась в работах /Ъ8-72_/,
Так как распределение радиальных напряжений в стенках многослойных сосудов, нагруженных некоторым внутренним давлением, меняется от значения этого давления до нуля, то деформируемое состояние в теле будет существенно неоднородным. Поэтому, с учетом вышесказанного, при расчете многослойных конструкций с малыми начальными неправильностями в слоях следует опираться на метод переменных параметров упругости ,/"67/.
Так как многослойное тело является эффективно анизотропным, то к его расчету нельзя прямо применять описанный процесс
расчета и расчетную схему придется изменить так, чтобы она отражала особенности работы многослойных конструкций.
В первой главе диссертации разрабатывается теоретическая модель упругого нелинейного деформирования многослойных пластин с малыми начальными неправильностями в слоях. Рассматривается задача определения эффективных упругих характеристик таких тел. Для переменного поперечного касательного модуля упругости многослойных металлических пластин получено простое аналитическое выражение. При этом делается предположение о том, что указанная характеристика зависит только от локальных малых'начальных неправильностей слоев и от значения сжимающего давления, а технология монтажа сказывается только при малых сжимающих давлениях.
Здесь же приводятся результаты, получающиеся из соображений подобия в задачах контакта упругих тел.
Вторая глава работы посвящена разработке методики, описанию' проведения и анализу результатов экспериментальных исследований по сжатию многослойных металлических пластин (пакетов). В частности, для проверки указанного выше предположения проделан эксперимент по сжатию пакетов, состоящих из одних и тех же листов, сложенных в разном порядке. Из этого эксперимента видно, что характер взаимодействия слоев различается только при небольших давлениях и можно считать, что процесс сжатия многослойных тел, начиная с некоторого малого давления, является установившимся. Здесь же отмечено, что изучение рассматриваемого процесса сжатия многослойных пластин при небольших сжимающих давлениях нецелесообразно из-за его сильной зависимости от технологии и последовательности сборки. Вследствие этой особенности процесса сжатия слоев неправомерно перенесение данных об этой начальной стадии процесса сплоских пластин на сосуды, т.к. в этих двух случаях технология монтажа существенно различная.
Третья глава диссертации демонстрирует некоторые возможные приложения результатов, полученных в первых двух главах. Определяется напряженно-деформированное состояние упругих предварительно ненапряженных сферических и цилиндрических многослойных оболочек, нагруженных внутренним давлением. Применяется сплошная схема расчета. Показано, что вследствие указанной выше особенности процесса сжатия слоев описание этого процесса с помощью одной формулы закона Баха не отражает закономерности механизма взаимодействия слоев. Поэтому существующие расчеты /__21,23_/, выполненные с помощью этой формулы, параметры в которой определены на плоских пакетах, носят только иллюстративный характер.
Новым в данной работе является следующее:
Определение эффективных упругих характеристик многослойного материала, необходимых для расчета напряженно-деформированного состояния сфер и цилиндров, нагруженных внутренним давлением. Показано, что для описания деформативных свойств многослойного материала применимы методы, употребляемые для такого описания в телах с трещиновидными неоднородностями. Отсюда следует, что большая часть из искомых характеристик определяется непосредственно выбором материала слоев.
Решение задачи об определении поперечного касательного эффективного модуля упругости многослойной пластины с малыми начальными неправильностями в слоях. Для решения этой задачи делается предположение об изгибном характере деформирования слоев и об однородности функции распределения характерных размеров полостей.
Выделение в контактных задачах теории упругости класса штампов, при которых решения этих задач являются автомодельными. Сделаны качественные выводы о характере сближения контак-
тирующих тел и изменения размеров области контакта, обобщающие результаты, вытекающие из теорий Герца и И.Я.Штаермана.
4. Проведение экспериментальных исследований по изучению поперечной податливости многослойных металлических пакетов, параметры которых моделируют изгибный характер работы слоев.
Экспериментально получено, что поперечный эффективный касательный модуль упругости металлических пакетов, собранных из листов проката, остается существенно меньше модуля упругости материала слоев, вплоть до наступления пластичности слоев.
Коэффициенты Пуассона многослойных тел с малыми начальными неправильностями в слоях
Однако, из рассмотренных исследований видно, что многослойные конструкции с малыми начальными неправильностями в слоях необходимо рассчитывать как нелинейные, причем уже при небольших нагрузках порядка 0,1 МПа деформации можно считать малыми по сравнению с единицей.
По классификации В.В.Новожилова ""59,60_/ задачи теории упругости для многослойных тел с малыми начальными неправильностями в слоях по признаку допустимых в них упрощений являются нелинейными физически, но линейными геометрически. В этом случае деформации малы по сравнению с единицей, однако отсутствует линейная зависимость между напряжениями и деформациями.
Авторы первых работ, посвященных исследованию нелинейных задач теории упругости, стремились по результатам опытов подобрать эмпирические зависимости между силами г и удлинениями или сжатием C&iJ. Методы расчета физически нелинейно-упругих процессов развивались в основном как методы расчета процессов упруго-пластических (при активном нагружении это одно и то же). Физическая нелинейность зависимостей между напряжениями и малыми деформациями различается на мягкую (с возрастанием нагрузки податливость тела увеличивается) и жесткую (с возрастанием нагрузки податливость тела уменьшается) ,/""62_/. Из работ / 1, 58/ следует, что процесс сжатия многослойного тела в поперечном направлении является жестко физически нелинейным. В нелинейной механике сплошных сред (в основном в теории малых упруго-пластических деформаций) разработано много способов решений задачи об определении напряженно-деформирован 17 ного состояния тел: метод разложения по параметру нагружения /"63 7, метод возмущения упругих свойств / 64_/ и другие. Обычно решение нелинейной задачи ищется в виде суммы двух: линейного решения, построенного каким-либо образом, и нелинейной добавки CoJ Считая решение линейной задачи известным, принимают его за нулевое приближение и далее строят последовательные приближения. В основе этих методов лежит метод упругих решений, предложенный А.А.Ильюшиным / 66__7, и метод переменных параметров упругости, предложенный И.А.Бир-гером "67_/. Из разработанных в дальнейшем на их основе методов наибольшее распространение получил метод приведенного модуля сдвига ,/" 68_7. В обзоре, приведенном в работе Д.Л.Быкова / 69_/, проводится сравнение различных методов решения задач теории пластичности. При сопоставлении метода переменных параметров упругости с методом приведенного модуля первому отдается предпочтение в тех случаях, когда деформированное состояние в теле существенно неоднородно, то есть когда "средний" модуль значительно отличается от соответствующего максимального и минимального значений. Сходимость указанных методов изучалась в работах /Ъ8-72_/, Так как распределение радиальных напряжений в стенках многослойных сосудов, нагруженных некоторым внутренним давлением, меняется от значения этого давления до нуля, то деформируемое состояние в теле будет существенно неоднородным. Поэтому, с учетом вышесказанного, при расчете многослойных конструкций с малыми начальными неправильностями в слоях следует опираться на метод переменных параметров упругости ,/"67/. Так как многослойное тело является эффективно анизотропным, то к его расчету нельзя прямо применять описанный процесс расчета и расчетную схему придется изменить так, чтобы она отражала особенности работы многослойных конструкций. В первой главе диссертации разрабатывается теоретическая модель упругого нелинейного деформирования многослойных пластин с малыми начальными неправильностями в слоях. Рассматривается задача определения эффективных упругих характеристик таких тел. Для переменного поперечного касательного модуля упругости многослойных металлических пластин получено простое аналитическое выражение. При этом делается предположение о том, что указанная характеристика зависит только от локальных малых начальных неправильностей слоев и от значения сжимающего давления, а технология монтажа сказывается только при малых сжимающих давлениях. Здесь же приводятся результаты, получающиеся из соображений подобия в задачах контакта упругих тел.
Вторая глава работы посвящена разработке методики, описанию проведения и анализу результатов экспериментальных исследований по сжатию многослойных металлических пластин (пакетов). В частности, для проверки указанного выше предположения проделан эксперимент по сжатию пакетов, состоящих из одних и тех же листов, сложенных в разном порядке. Из этого эксперимента видно, что характер взаимодействия слоев различается только при небольших давлениях и можно считать, что процесс сжатия многослойных тел, начиная с некоторого малого давления, является установившимся. Здесь же отмечено, что изучение рассматриваемого процесса сжатия многослойных пластин при небольших сжимающих давлениях нецелесообразно из-за его сильной зависимости от технологии и последовательности сборки. Вследствие этой особенности процесса сжатия слоев неправомерно перенесение данных об этой начальной стадии процесса сплоских пластин на сосуды, т.к. в этих двух случаях технология монтажа существенно различная. Третья глава диссертации демонстрирует некоторые возможные приложения результатов, полученных в первых двух главах. Определяется напряженно-деформированное состояние упругих предварительно ненапряженных сферических и цилиндрических многослойных оболочек, нагруженных внутренним давлением. Применяется сплошная схема расчета. Показано, что вследствие указанной выше особенности процесса сжатия слоев описание этого процесса с помощью одной формулы закона Баха не отражает закономерности механизма взаимодействия слоев. Поэтому существующие расчеты /__21,23_/, выполненные с помощью этой формулы, параметры в которой определены на плоских пакетах, носят только иллюстративный характер.
Контакт абсолютно жесткого бесконечного штампа с упругим полупространством
При приросте внешнего давления перемещения лицевых поверхностей в межслойных полостях, размер которых сравним с толщиной слоя, будут плохо описываться перемещениями лицевых поверхностей тонких пластинок. Поэтому для таких полостей нужно ввести дополнительные предположения.
Эффективные характеристики тел, содержащих достаточно редко расположенные неоднородности (так что они не оказывают влияния друг на друга) находятся на основе решения задачи об изолированной неоднородности в упругом пространстве ,/"52, 53JC Поэтому для оценки изменения параметров межслойных полостей, можно рассмотреть задачу об изменениях параметров полости, которую образуют между собой два предварительно искаженных упругих полупространства.
Полное решение задачи о контакте двух полупространств, искаженных предварительно действием сосредоточенных сил, направленных в разные стороны, известно и применяется в теории трещин. В плоском случае такая задача описана в 77_/. Пространственный вариант задачи решается аналогично.
Представляет интерес рассмотрение задачи о контакте двух полупространств, имеющих значительно более общие искажения.
Будем допускать, чтобы расстояние между искаженными полупространствами на бесконечности было положительно - однородной функцией (отрицательной степени однородности). Хотя эта задача и не допускает точного решения, в ней можно получить ряд качественных выводов, аналогичных выводам, полученным в теории трещин. Эти выводы получаются из соображений подобия "74, 78/.
Аналогичные выводы имеют место и для случая классической задачи о контакте выпуклого штампа с упругим полупространством. Итак рассмотрим следующие задачи: 1. О контакте жесткого бесконечного штампа с упругим полупространством. 2. О контакте без трения двух искаженных упругих полупространств. 3. О вдавливании жесткого выпуклого штампа в упругое полупространство. 4. О контакте двух упругих тел, первоначально касающихся в точке. 5. О соударении двух тел. I.5.I. Контакт абсолютно жесткого бесконечного штампа с упругим полупространством Рассмотрим бесконечные штампы, поверхность которых является графиком функции 9Сз т 1) 2/ Предполагаем, что 2 2 2 при достаточно больших 0СА и ОС , ОС + Х2 "2 » где j? некий радиус, функция Р (ott ,1) определяется положительной, гладкой, положительно-однородной функцией отрицательной степени d C -J то есть Известно 30_/, что в упругом полупространстве 9С50 , на граничной плоскости которого равны нулю касательные напря-жения (З - ( 1-1,2), все напряжения и перемещения опреде-ляются одной гармонической функцией т , значения которой при 0С3=0 связаны с U3 и C35z зависимостями где \) , Q - коэффициент Пуассона и модуль сдвига полупространства. Пусть абсолютно жесткий штамп вдавливается поступательно без трения в упругое полупространство. Контактная задача формулируется следующим образом. Пусть заданы форма штампа i-CXijXp) и сдавливающее напряжение . Необходимо найти: I) область u на границе полупространства, в точках которой происходит контакт между штампом и полупространством; Z) константу П , представляющую собой упругое сближение тел; 3) гармоническую функцию Ф , входящую в (1.5.2). Искомая тройка Q , П , ф должна удовлетворять следующим усло виям: где Ki 2(1-Vv » К-2(л , U - граница открытой области Q .
Теорема I. Пусть функция Д-(ЗСі,0С2) , определяющая поверхность штампа, является произведением функции І! ( 1)) и параметра X , 1 (9 , f f fi » гДе " положительная, гладкая, положительно-однородная функция степени d 0.
Пусть гармоническая функция Фи , область Q4 и константа Од дают решение контактной задачи (1.5.3) при параметре 1-4 и напряжении г=1 , тогда для произвольного параметра \ и напряжения г решение контактной задачи дается тройкой т , Q , 10 , определенной следующими со отношениями:
Схема испытаний и методика экспериментальных исследований
Как уже говорилось во введении, методы определения эффективных упругих характеристик для тел с изолированными неодно-родностями, сильно отличающимися по свойствам от окружающего материала, в том числе для тел с трещиновидными неоднородно-стями, развиты в работах /""52-56_/. Эти неоднородности, занимающие ничтожную часть объема тела, могут существенно влиять на его эффективные характеристики. В работе А.С.Вавакина и Р.Л.Салганика /JbbJ получены выражения для эффективных упругих характеристик тел с системой параллельных трещин в приближении малой концентрации и распространены полученные результаты на случай конечной концентрации. Так как внесение очередной по размерам группы параллельных плоскости изотропии трещин в трансверсально-изот-ропнуга среду оставляет ее эффективно трансверсально-изотроп-ной, причем изменяются лишь модули тела Ei и Сц , то там же получены дифференциальные уравнения на Е и Gi с аргументом if - о \\а J v , где в рассматриваемом случае 1 - радиус дискообразной трещины.
Там же при описании экспериментов, о которых уже говорилось во введении, указывается, что при значениях внешнего давления і на многослойный пакет от 0 до 24.10 процесс сжатия происходит нелинейно, а при давлении 24 10 Р 0,01 сжатие пакета происходит с постоянным модулем, значение которого существенно ниже модуля упругости материала слоев.
Будем считать, что характер деформирования многослойных стального (изготовленного из листов проката в состоянии поставки) и резинового (изготовленного из листов вакуумной резины) пакетов совпадает. Тогда значение внешнего давления г , при котором процесс сжатия пакета становится линейным, равное 24«10 в размерном виде для стали равно 504 МПа. Эта величина существенно выше предполагаемого максимального рабочего давления в многослойных сосудах, равного 50 Ша.
Таким образом, все сжимающие напряжения, которые могут возникнуть в стальных многослойных сосудах, лежат в пределах первого (нелинейного) участка.
Можно принять, что существует размер -Cg такой, что изменение объема полостей с характерным размером -К , мень 60 шим значения /g , описывается изменением объема дискообразной трещины. Тогда в правой части формулы (1.4.3) должны стоять три слагаемых, отражающих вклад в общую деформацию пакета: а) собственно материала слоев; б) от изменения объема трещиновидных полостей; в) от изменения объема полостей, описываемого изгибным деформированием слоев. Так как в результате деформирования многослойного пакета значение его упругого модуля должно выходить на асимптоту, определяемую моделью Вавакина-Салганика, то приближенно будем учитывать вклад первых двух описанных слагаемых постоянным, а вклад третьего слагаемого будем определять как и в пункте 1.4. Тогда формула (1.4.7) примет вид Здесь X - значение модуля упругости многослойного тела с изолированными трещиновидными неоднородноетями, которое, вообще говоря, должно определяться из модели Вавакина-Салганика. Чтобы воспользоваться этой моделью, необходимо задать ее определяющие параметры, а это не удается без введения дополнительных предположений. Поэтому будем задавать значение так, чтобы наилучшим образом описать экспериментальные данные. Очевидно, что выбор X начинает сказываться только при достаточно высоких давлениях на пакет. Таким образом, из формулы (І.6.І) следует, что упругое поведение многослойного тела с малыми начальными неправильностями в слоях определяется выбором X и Ко » а также заданием объемной доли полостей в теле при давлении PQ на него. Если проинтегрировать формулу (І.6.І), то можно получить выражение для поперечной деформации многослойного пакета : где 0- J Ej(r)ur - начальная деформация, зависящая от технологии сборки многослойного тела, JLQ Vр(»оJ/ V. Из формулы (1.6.2) следует физически ясная картина процесса деформирования многослойного тела, в которой отражена существующая иерархия неоднородностей. Слагаемые в формуле (1.6.2) учитывают соответственно: а) макронеоднородности, обсуловленные технологией монтажа; б) неоднородности, обусловленные малыми начальными непра вильностями геометрической формы слоев; в) трещиновидные неоднородности (малые полости, образован ные слившимися точками контакта, отвалившимися кусками окалины и т.п.). В формуле (1.6.2) четко выделены две стадии процесса деформирования многослрйных металлических пакетов: первая - при возрастании давления от 0 до К ; вторая - при давлениях свыше Р0 . В силу предположения параграфа 1.2, характеры сближения слоев в плоских многослойных пластинах и в многослойных сосудах различаются только на начальной стадии процесса сжатия. Поэтому при описании процесса упругого деформирования слоев по формуле (1.6.2) информацию о второй стадии процесса (т.е. при давлениях свыше К ), полученную на плоском пакете, можно переносить на сосуды.
Основные уравнения при расчете многослойных осе-симметричных толстостенных металлических оболочек
Отметим, что вид зависимости Е4(Р) » даваемый законом Баха / 61_/, который применялся для описания нелинейного процесса деформирования слоев ""20,23/, находится в качественном противоречии с экспериментальными зависимостями. Действительно, из формулы закона Баха следует, что при малых давлениях Е1(Р) Р » где 0 (л { , т.е. в координатах Ed P , кривая будет касаться оси ординат. Эксперименты же, в которых пакеты нагружались с помощью грузов, показывают, что кривая зависимости ЕДР/ на начальной стадии процесса нагружения выпукла вниз (см.также рис.2.10-2.13).
В первой главе было сделано предположение о том, что поперечный эффективный модуль упругости многослойных пакетов зависит только от локальных малых начальных неправильностей слоев и от значения сжимающего давления, а технология сборки сказывается только при малых сжимающих давлениях. Для проверки этого предположения был проделан следующий эксперимент. Пакет с листами толщиной П =11,88 мм после проведения трех нагружений разбирался и собирался вновь в другом порядке. Результаты нагружений таких пакетов приведены в таблицах П.32-П.37 и П.4І-П.46. После вычисления значений видно, что при Р 2 Ша кривые этих зависимостей практически совпадают. Значения А о также незначительно отличались друг от друга, в то время как значения 0 для этих пакетов были существенно различными.
Таким образом, этот эксперимент показал, что описание процесса деформирования многослойных пластин с помощью формулы (1.6.) отражает основные закономерности этого процесса.
Отметим, что при описании зависимостей (Р) , получаемых из этих экспериментов с помощью формулы Баха / 61_7, изменялись бы оба параметра в этой формуле. Итак, из анализа результатов экспериментальных исследований можно сделать следующие выводы: I. Выражение (1.6.2) для зависимости от давления поперечной деформации многослойного пакета и соответствующая ей формула для поперечного эффективного модуля упругости (2.4.4) отражает общие закономерности процесса сжатия многослойных пакетов. Для хорошего количественного совпадения теоретических и экспериментальных значений поперечного эффективного модуля упругости многослойных пакетов: а) величину KQ можно взять постоянной и равной 4/7, что соответствует равномерному закону распределения размеров полостей; б) для пакетов, составленных из листов проката в состоянии поставки, величину X можно взять постоянной и равной 2,5. При этом выбор величины X начинает заметно сказываться при давлениях, больших 20 МПа. Хорошее совпадение теоретических и экспериментальных значений поперечного эффективного модуля упругости многослойного пакета наблюдается на всем интервале, где проводилось сравнение (от 2 до 50 МПа). 2. При давлениях, больших 2 МПа, процесс сжатия является установившимся и не зависит от технологии сборки пакета. При этом величина д.0 , измеренная при давлении 2 МПа, является постоянной для пакетов, собранных из одинх и тех же слоев, независимо от последовательности их сборки. 3. Из первых двух выводов следует, что для полного описания процесса поперечного деформирования многослойного пакета с помощью формулы (1.6.2), необходимо задать только два определяющих параметра Q и HQ , измеренных при начальном давлении Р0 . Давление г0 можно принять равным 2 МПа. 4. При возрастании нагрузки примерно до 150 МПа, поперечный эффективный модуль упругости многослойного тела имеет практически постоянное значение, которое существенно меньше значения модуля упругости материала слоев. Причем при дальнейшем повышении нагрузки материал слоев входит в пластическое состояние прежде, чем значение эффективного модуля превысит это постоянное значение, то есть поперечный эффективный модуль упругости многослойного металлического пакета при любых нагрузках на него будет существенно меньше модуля упругости материала слоев. Таким образом, во второй главе описаны подробные экспериментальные исследования по сжатию многослойных металлических пакетов, параметры которых позволяют говорить об изгибном характере работы слоев. При этом давление на пакеты достигало значений порядка 50 МПа. Подробные сведения о первичных результатах измерений приведены в таблицах П.І-Д.47.
При расчете напряженно-деформированного состояния многослойных толстостенных металлических оболочек по сплошной схеме, то есть с заменой многослойной конструкции однослойной моделью с эффективными упругими характеристиками, необходимо учитывать нелинейность связи между напряжениями и деформациями. В этой главе приводится методика расчета многослойных сферы и цилиндра в упругой стадии их работы, в которой распределение упругих характеристик в стенках оболочек определяется последовательными приближениями. Определение напряженно-деформированного состояния оболочки в каждом приближении осуществляется с помощью метода начальных параметров. Приводятся результаты численных расчетов для оболочек с различными толщинами стенок.
