Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Современное состояние проблемы редукции позиционных ошибок телескопа Шмидта и основные задачи, рассматриваемые в работе 21
1.1. Краткое описание конструкции телескопа 21
1.2. Погрешности телескопа, вызванные упругой деформацией фотопластинки и оптическими эффектами 35
1.3. Существующие методы редукции позиционных ошибок телескопа Шмидта 40
1.4. Обзор известных исследований погрешностей телескопа Шмидта и методов расчета фотопластинок при больших перемещениях 48
1.5. Цель работы 67
1.6. Основные задачи, рассмотренные в работе 68
1.7. Выводы 69
Глава 2. Механическая модель формирования наблюдаемых погрешностей, основанная на нелинейных уравнениях теории оболочек повышенной точности 71
2.1. Тензорное описание больших поворотов 73
2.2. Вариационный вывод уравнений больших перемещений фотопластинки с точным учетом конечных поворотов 88
2.3. Преобразование нелинейных уравнений к виду пригодному для численного решения 97
2.4. Сравнение точности традиционных моделей пластин с нелинейной моделью, основанной на теории оснащенных поверхностей 118
2.5. Компьютерный вывод уравнений больших перемещений фотопластинки в осесимметричном случае 126
2.6. Особенности конечно-элементного комплекса ENERGY, обеспечивающие получение высокой точности при расчете перемещений фотопластинки 133
2.7. Выводы 138
Глава 3. Позиционные ошибки телескопа Шмидта с круглыми фотопластинками 139
3.1. Двусторонний контакт фотопластинки и опорной сферы. Сопоставление с поправкой Шеферда 139
3.2. Решение осесимметричной контактной задачи по квадратичной теории пластин 147
3.3. Уточнение решения методом установления для осесимметричного варианта теории оснащенных упругих поверхностей. Поиск альтернативных зон контакта 158
3.4. Оценка влияния поперечных сдвигов 169
3.5. Оценка влияния трения между фотопластинкой и сферической опорой 173
3.6. Выводы 174
Глава 4. Механизм формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта при наличии двустороннего контакта квадратной фотопластинки с опорной сферой 176
4.1. Вариационный вывод уравнений смещений фотоэмульсии при двустороннем контакте фотопластинки и сферы 178
4.2. Приближенное аналитическое решение на основе метода Ритца (базовое решение) 181
4.3. Численное решение МКЭ 186
4.4. Сравнение численного и аналитического решений. Оценка погрешности 190
4.5. Уточнение базового решения с использованием теории оснащенных упругих поверхностей 192
4.6. Деформации и напряжения в фотопластинке. Контактные усилия между фотопластинкой и сферой. Недостаточность базового решения 198
4.7. Выводы 204
Глава 5. Исследование процесса формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта при наличии одностороннего контакта квадратной фотопластинки с опорной сферой 206
5.1. Оценка влияния податливости сферического основания, прижимающей рамки, упругого покрытия сферы на формирование позиционных ошибок 206
5.2. Конечноэлементное решение на основе квадратичной теории изгиба пластин 211
5.3. Контроль МКЭ решения методом установления 218
5.4. Точный учет конечных поворотов при решении контактной задачи 225
5.5. Сопоставление результатов с наблюдаемыми позиционными ошибками, зафиксированными в Паломарских обзорах 226
5.6. Прямое экспериментальное наблюдение контактной зоны на модели 231
5.7. Выводы 234
Заключение. Общие выводы по работе 236
Список литературы 240
Приложения 249
- Погрешности телескопа, вызванные упругой деформацией фотопластинки и оптическими эффектами
- Вариационный вывод уравнений больших перемещений фотопластинки с точным учетом конечных поворотов
- Решение осесимметричной контактной задачи по квадратичной теории пластин
- Приближенное аналитическое решение на основе метода Ритца (базовое решение)
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Важнейшими характеристиками небесных тел являются их положения и векторы скорости. Без этих данных нельзя судить о большинстве других характеристик небесных тел, например, об их массах, светимостях, принадлежности к определённым системам звёзд или галактик, определённым популяциям и т.д.
Векторы положения и скорости непосредственно не измеряются. Измерению доступны следующие шесть параметров: две сферические координаты на небесной сфере, скорости изменения этих координат (собственные движения в астрономической терминологии), параллакс (обратное расстояние) и лучевая скорость (скорость изменения расстояния). Первые пять параметров называются астрометрическими. Методы их измерения схожи. Шестой параметр, лучевая скорость, определяется по спектрам небесных тел и, по традиции, в настоящее время к астрометрическим параметрам не относится.
Следует заметить, что основными из пяти астрометрических параметров являются две сферические координаты. Именно они измеряются непосредственно. Остальные три вычисляются по этим двум и по их изменениям со временем. В настоящее время используются прямое восхождение (координата типа долготы) и склонение (координата типа широты). Таким образом, любое наблюдение, имеющее целью определение астрометрических параметров, сводится к измерению прямого восхождения и склонения небесного тела.
Сетка координат на небе задаётся списком координат небесных тел, положения которых определены с наивысшей возможной на данной ступени развития астрометрии точностью. Говорят, что эти небесные тела задают «фундаментальную систему». В настоящее время фундаментальная система определена координатами приблизительно 600 квазаров, положения которых измерены методом длиннобазовой радиоинтерферометрии [59, 92]. Квазары - очень далёкие внегалактические источники радиоизлучения очень малых угловых размеров. В оптическом диапазоне фундаментальную систему представляют приблизительно 100 000 звёзд, астрометрические параметры которых измерены в ходе космического эксперимента "HIPPARCOS" (High Precision Parallaxes Collecting Satellite) в 1989-1992 гг. и с наивысшей возможной точностью "привязаны" к квазарам [102].
Все остальные астрометрические наблюдения имеют целью определение координат других небесных тел в этой стандартной системе координат. Такие наблюдения носят относительный характер. Другими словами, подходящими методами следует измерить положение "определяемых" объектов относительно фундаментальных в какой-либо произвольной системе координат и затем вычислением привести их к фудаментальной системе.
На протяжении последнего столетия таким методом был фотографический метод. Метод включает следующие этапы: фотографирование участка неба, содержащего "определяемые" объекты и некоторое число (не меньше трёх) объектов с уже известными координатами, "опорных звёзд", измерение положение изображений объектов на измерительном приборе в прямоугольной, "аппаратной", системе координат, вычисление сферических координат по результатам измерений. При использовании фотографического метода возникает проблема достаточного количества опорных звёзд. Непосредственное использование звёзд каталога "fflPPARCOS", как правило, невозможно. Он содержит всего около 118000 звёзд, т.е. около трёх звёзд на квадратный градус неба. Этого совершенно недостаточно для работы с большими телескопами, имеющими значительно меньшее поле зрения.
После завершения эксперимента "HIPPARCOS" были предприняты попытки сформировать на основе его результатов и наземных наблюдений более объёмные каталоги (например, Опорный каталог Тихо [88], около миллиона звёзд). Этим проблема «доступности» опорной системы была решена лишь частично.
В ближайшие 10-20 лет проблема доступности опорной систем может быть решена только фотографическим методом. Рассмотрим кратко особенности метода.
Фотографирование в астрономии производится почти исключительно на стеклянные фотопластинки. Точность современных измерительных приборов достигает 1 мкм. При этом размер изображений точечных объектов, звёзд, в лучшем случае составляет 30-40 мкм (при хорошем качестве оптики и хороших атмосферных условиях). Размеры астрономических негативов колеблются в пределах от нескольких сантиметров до нескольких десятков сантиметров. При вычислении сферических координат по результатам измерений необходимо принять "редукционную модель" - правило, по которому измеренные прямоугольные координаты переводятся в сферические. Редукционная модель должна учитывать все факторы, изменяющие взаимное расположение изображений звёзд. Это и аберрации оптической системы, и ошибки измерительного прибора, и преломление света в атмосфере Земли (астрономическую рефракцию), и деформацию фотопластинки.
Методы учёта всех этих факторов, кроме деформации фотопластинки, хорошо известны. Учёт деформации фотопластинки -новая задача, возникшая в связи с перемещением интереса астрономов в сторону всё более и более слабых объектов.
В настоящее время большинство наиболее интересных объектов являются слабыми, часто слабее 20w (двадцатой звёздной величины). Для регистрации слабых объектов проводились фотографические обзоры всего неба. Все современные обзоры сделаны с помощью телескопа Шмидта. Телескоп Шмидта - оптическая система, обеспечивающая большое поле зрения при высокой светосиле и высоком качестве изображения. Эта система изобретена эстонским оптиком Бернхардом Шмидтом, работавшим в Бергедорфской обсерватории (Германия), в 1932 г. Высокая светосила даёт возможность использовать сравнительно короткие выдержки при фотографировании, а большое поле зрения позволяет закончить обзор неба в разумные сроки (десять лет).
Вместе с тем телескоп Шмидта обладает существенными недостатками: его фокальная поверхность сферическая. Существует способ преодоления этого недостатка оптическим способом (линза Пиацци-Смита), но качество изображения при этом ухудшается. Другим способом, который, как правило, и применяется на практике, является деформация фотопластинки при фотографировании с целью придать ее поверхности сферическую форму. После фотографирования деформация снимается, и пластинка измеряется в приборе, предназначенном для плоских пластинок.
Фотографические обзоры - богатейший наблюдательный материал для самых разнообразных работ. Систематическое исследование обзоров позволило открыть новые виды галактик: например галактики, у которых спиральная ветвь переходит в кольцо, окружающее галактику, взаимодействующие галактики и т.п. [80]. В работах такого рода знание точных координат не требуется. Но существуют задачи, для решения которых точные координаты необходимы. Приведём три примера.
Часто необходимо решить, приходит ли излучение, регистрируемое в различных спектральных диапазонах, от одного и того же или от разных объектов. Например, является ли звезда "оптическим двойником" радиоисточника или объекта, зарегистрированного в ультрафиолетовых или инфракрасных лучах? Ответ на этот вопрос даёт только сравнение их координат в одной и той же системе.
Актуальной задачей является изучение особенностей орбит слабых объектов, например, далёких спутников больших планет, слабых астероидов, комет и т.п. В большинстве случаев наблюдения этих объектов проводятся на больших телескопах-рефлекторах с малым полем зрения. В этом поле в большинстве случаев не найдется нужного числа опорных звезд из числа определяющих фундаментальную систему. Приходится ограничится слабыми звёздами, координаты которых должны быть известны. Таким образом, точность результата определяется точностью координат звёзд, определенных по материалам фотографического обзора, а не точностью наблюдений данного объекта. Другими словами, точность координат звёзд, зарегистрированных в фотографическом обзоре, определяет точность определения астрометрических параметров всех остальных слабых объектов [41]. Эта ситуация сохранится в астрономии в течение ближайших 10-20 лет.
Но самым главным является то, что обзоры являются практически единственным источником информации о положениях слабых объектов. Наличие двух обзоров, разделенных значительным промежутком времени, позволит определить собственные движения большого числа звёзд. Сведения о собственных движениях звёзд важны сами по себе, например, для изучения кинематики Галактики.
Определение точных координат требует учёта ошибок, связанных с деформацией фотопластинки во время фотографирования. До последнего времени точно учесть эти ошибки не удавалось. Поэтому телескоп Шмидта считался непригодным для точного определения астрометрических параметров небесных тел. С другой стороны, координаты слабых объектов приобретали всё большее значение.
Из сказанного выше ясно, что повышение точности определения координат звёзд, по материалам фотографических обзоров, является актуальным для многих областей астрономии. Таким образом, решение казалось бы частной задачи учёта деформации фотопластинки в телескопе Шмидта, которой посвящена настоящая работа на самом деле представляет собой решение проблемы превращения телескопа Шмидта в полноценный астрометрический инструмент.
Здесь необходимо примечание. Проектируемые космические астрометрические эксперименты в принципе могут решить задачу определения астрометрических параметров большого числа слабых объектов. Результаты этих экспериментов ожидаются не раньше, чем через 10 - 15 лет. С другой стороны, в настоящее время наиболее точные значения астрометрических параметров большого числа объектов (2,5 миллиона) получены из сочетания старых наземных фотографических наблюдений и результатов космического эксперимента. Ожидается, что ситуация сохранится и при увеличении числа объектов на один-два порядка, т.е. значимость современных обзоров не только сохранится, но и увеличится.
Настоящая работа опирается на наблюдательный материал, полученный в рамках двух фотографических обзоров. Первый из них - это обзор Паломарской обсерватории (Паломарский атлас, Palomar Observatory Sky Survey, POSS I), выполненный в 1949-1957 гг. [17]. Национальное географическое общество США оказало финансовую поддержку этому проекту. Область неба от северного полюса до склонения 5 = - 27 разделена на 879 полей. Каждая фотопластинка размером 355мм х 355мм охватывает площадь неба размером 6.5 х 6.5. Каждый участок сфотографирован в синих и красных лучах, экспозиции составляли 10-15 и 40-60 минут соответственно. Выбор экспозиций объяснялся желанием иметь насколько возможно однородные данные в отношении предельной звездной величины, которая достигает 21. Iй в голубых и 20.0т в красных лучах. С негативов Паломарского атласа получены фотографические копии и около 100 комплектов распределено по главным обсерваториям мира. Можно оценить, что Паломарский атлас включает изображения 500 миллионов звезд и 50 миллионов галактик. Оригинальные негативы тщательно закрыты стеклами и находятся в хранилищах подвального этажа Калифорнийского технологического института в Пасадене.
В 70-е гг. построены телескопы Шмидта в Чили и в Австралии. Англо - австралийский телескоп аналогичен Паломарскому. Чилийский несколько меньше. С помошью этих телескопов астрономы завершили обзор южного неба.
В 90-х гг. создавался новый Паломарский обзор (POSSII), причем использовался тот же телескоп, но с некоторыми улучшениями конструкции. Новый Паломарский обзор северного неба, поддержанный, как и первый, Национальным Географическим Обществом США, был начат в 1986 г. и к настоящему времени полностью завершен. Во втором обзоре применяются новейшие достижения в технике фотографирования, увеличена чувствительность фотоэмульсии и несколько изменена конструкция коррекционной пластины и кассеты телескопа, с целью снижения погрешностей.
Цели работы состоят: - в выявлении и описании методами механики деформируемого твердого тела механизмов возникновения сложной картины погрешностей фотографических обзоров, выполненных на базе телескопа Шмидта; - в разработке высокоточных методов расчета позиционных ошибок телескопа Шмидта, позволяющих учитывать влияние механических и оптических явлений на формирование погрешности; - в разработке методов корректировки систематических ошибок Паломарских (и других) обзоров звездного неба на базе полученных теоретических результатов с учетом конкретных особенностей конструкции телескопов в различные эпохи наблюдений.
Научная новизна заключается в том, что впервые на основе разработанных методов расчета перемещений фотопластинки, использующих нелинейную теорию оболочек повышенной точности (теорию оснащенных упругих поверхностей), построена математическая модель формирования погрешностей, отражающая все основные источники указанного явления, имеющие механическую природу. О механических причинах позиционных ошибок телескопа Шмидта было известно еще с 50-х годов прошлого века, однако построить механическую модель деформации фотопластинки требуемой точности до сих пор не удавалось. С использованием разработанной модели впервые выявлены и количественно описаны закономерности формирования сложной картины погрешностей фотографических обзоров, выполненных на базе телескопа Шмидта [42-45,89,90].
Нелинейные уравнения оснащенных упругих поверхностей, точно учитывающие конечные повороты, во всех известных работах рассматривались исключительно с теоретических позиций и никогда не применялись для решения практических задач. Это объясняется сложным тензорным характером уравнений и отсутствием готового программно-алгоритмического обеспечения для работы с этими уравнениями. В настоящей работе впервые уравнения оснащенных упругих поверхностей приведены к виду пригодному для применения численного метода (метода установления) и осуществлено их численное решение.
Для работы с тензорными уравнениями теории оснащенных упругих поверхностей разработано новое программное обеспечение, позволяющее обрабатывать векторы и тензоры, принадлежащие поверхности, как замкнутые единицы информации без перехода к проекциям и компонентам. Следует отметить, что ни одна из общедоступных компьютерных систем математических вычислений, в частности MathCad, Maple, Mathematica такими возможностями не обладает.
Заметное влияние особенностей оптики телескопа (виньетирование, экранирование светового потока кассетой) на формирование позиционных ошибок до настоящей работы в литературе не обсуждалось, так как та часть позиционных ошибок, которая обусловлена влиянием оптики, была скрыта более значительной частью, вызванной упругими деформациями фотопластинки. До настоящей работы оценка влияния оптики на позиционные ошибки была затруднена также из-за отсутствия точных координат деформированной поверхности фотопластинки, на которой строится дифракционное изображение звезды. Таким образом, новые данные о координатах такой поверхности, впервые полученные в диссертации, весьма важны для оптики и создают надежную базу полного описания позиционных ошибок телескопа Шмидта.
Основные научные результаты работы состоят в том, что в ней впервые: - проанализирована структура поля погрешностей обзоров звездного неба, выполненных на базе телескопа Шмидта, и выявлены как механические, так и оптические причины отмеченного явления; разработаны новые высокоточные методы и алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния фотопластинки, основанные на нелинейных уравнениях теории оснащенных упругих поверхностей; с использованием разработанных расчетных методов проведен теоретический анализ и выявлены основные закономерности процессов формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта в зависимости от конкретных особенностей его оптико - механической системы; - разработаны высокоточные методы редукции наблюдений, полученных на базе телескопа Шмидта, использующие построенный математический аппарат и результаты теоретического анализа процессов формирования позиционных ошибок.
Достоверность полученных результатов подтверждается применением фундаментальных положений (законов) механики деформируемого твердого тела; проверкой уравнений тензорной теории конечных поворотов на известных примерах из динамики твердого тела и механики стержней; проверкой уравнений теории оснащенных упругих поверхностей на примере осесимметричного изгиба оболочек вращения при больших перемещениях; сопоставлением решений одних и тех же задач (контактных и других) различными численными методами, использующими различные математические подходы, - методом конечных элементов в вариационной формулировке и методом установления (фиктивной вязкости) для системы нелинейных дифференциальных тензорных уравнений; - практически полным совпадением наблюдаемого распределения позиционных ошибок, зафиксированного в Паломарских обзорах с аналогичным распределением, найденным теоретически с использованием численных методов при решении контактной задачи для фотопластинки, прижатой рамкой к сфере (расхождение не превышает 3-4%); - тщательным тестированием используемого программного обеспечения, а именно конечноэлементного комплекса ENERGY, специально разработанного для решения нестандартных задач, и систем преобразования математических структур с тензорными данными численного характера Tensalg и аналитического характера Tensors; - положительным опытом использования разработанных методов, численных и аналитических результатов в практике редукции наблюдений, полученных на базе телескопа Шмидта.
Практическая ценность работы заключается в том, что предлагаемые модели и методы позволяют впервые практически решить проблему превращения телескопа Шмидта в точный астрометрический инструмент. Шмидтовские обзоры все еще остаются единственным источником высокоточных (в смысле фотографической астрометрии) положений и собственных движений сотен миллионов слабых объектов, и это положение сохранится, - во всяком случае, в отношении объектов в интервале 17-20х звездных величин еще 10-20 лет. Очень сложная картина погрешностей Паломарских обзоров, совершенно непривычная для классической фотографической астрометрии, не позволяла это сделать до настоящего времени.
Существующие методы астрометрической редукции Шмидтовских обзоров основываются на использовании полиномиальных моделей высоких порядков или на аппроксимации осредненных остаточных уклонений для опорных звезд (т.н. маски и фильтры). Оба подхода не отвечают на вопрос о причине сложных систематических ошибок, присущих Шмидтовским наблюдениям, и, кроме того, сами порождают дополнительные систематические ошибки, вызванные низким качеством изображений (как правило, довольно ярких) опорных звезд на Шмидтовских пластинках. Так, например, методы, основывающиеся на осреднении остаточных уклонений для опорных звезд, приводят к появлению так называемого уравнения блеска (зависимость координаты звезды от ее яркости).
Указанные попытки учета систематических ошибок нельзя признать удачными: они не прояснили природы ошибок и не смогли существенно повысить качество астрометрической редукции Шмидтовских наблюдений. В отличие от других методов редукции Шмидтовских обзоров, предлагаемый в работе метод учета систематических ошибок не опирается ни на полиномиальную редукцию высокого порядка, ни на остаточные уклонения для опорных звезд и, как следствие не приводит к появлению уравнения блеска. Более того, при точном приведении на видимое место в предлагаемом подходе можно ограничится простейшей редукционной моделью, что позволяет использовать для редукции только слабые опорные звезды, отличающиеся высоким качеством изображения.
Структура диссертации и аннотация глав. Диссертация состоит из введения, пяти глав и трех приложений.
В первой главе приводится краткое описание конструкции телескопа Шмидта. Обсуждаются причины возникновения позиционных ошибок телескопа. Представлен обзор методов редукции Шмидтовских наблюдений, обзор моделей и методов, применяемых для расчета пластин и оболочек при больших перемещениях, а также методов решения контактных задач. На основании сделанных выводов формулируются цели и задачи работы.
Вторая глава посвящена детальному математическому описанию модели фотопластинки телескопа, как оснащенной упругой поверхности. Обосновывается применение сложных тензорных уравнений необходимостью получить результат с недостижимой ранее точностью. Удобство векторной теории конечного поворота иллюстрируется примерами из вариационного исчисления. Известная система уравнений теории оснащенных упругих поверхностей дополняется модифицированной поправкой Балабуха - Новожилова и приводится к виду пригодному для применения численного метода установления (фиктивной вязкости). Обсуждаются преимущества и недостатки предлагаемого подхода к решению контактных задач по сравнению с методом конечного элемента.
В третьей главе вопросы, поставленные в диссертации, рассматриваются в приложении к телескопу Шмидта с круглыми фотопластинками. Оценивается точность классического решения Шеферда и обсуждаются его недостатки. Контактная задача в случае одностороннего контакта со сферой решается различными методами. Это делается с целью контроля, а также для обнаружения возможных альтернативных контактных зон. Продемонстрировано удобство метода установления (фиктивной вязкости) для решения задач этого типа. Методом установления исследуется влияние поперечных сдвигов и трения между фотопластинкой и сферой на позиционные ошибки.
Четвертая глава посвящена изучению механизма формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта в случае двустороннего контакта квадратной фотопластинки и опорной сферы. Основное содержание главы состоит в построении базового решения и оценке его точности. Базовым решением названо приближенное аналитическое решение высокой точности, полученное методом Ритца для случая двустороннего контакта квадратной фотопластинки и сферы. Решение строится по квадратичной теории пластин в тех же предположениях, что и у Шеферда. Аналитический характер решения делает его весьма удобным для приложений в астрометрии. Вопрос о точности базового решения выясняется сравнением с МКЭ и уточненным решением, полученным методом установления по теории оснащенных упругих поверхностей. Учет конечных поворотов и влияния горизонтальных перемещений на вертикальные приводит к выводу о высоком качестве базового решения для фотопластинок Паломарских обзоров в случае одностороннего контакта фотопластинки со сферой.
В пятой главе исследуются процессы формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта при одностороннем контакте квадратной фотопластинки и опорной сферы. Решается контактная задача для Паломарских фотопластинок первого обзора в реальных условиях их эксплуатации, то есть при прижиме фотопластинки к сфере только по контуру. Предварительно оценивается влияние податливости деталей кассеты и упругого покрытия кассеты. Контактная задача решается различными методами. Более грубое решение получается МКЭ (комплекс ENERGY) с использованием разделения всех неизвестных на основные и дополнительные части, причем основные части соответствуют базовому решению. Полученное решение уточняется методом установления сначала по уравнениям квадратичной теории пластин, а затем по тензорным уравнениям теории оснащенных упругих поверхностей. Найденная конфигурация контактной зоны сопоставляется с прямыми наблюдениями на экспериментальной модели. Оценивается точность построенной модели формирования позиционных ошибок. Обсуждаются возможные причины малых отклонений (3-4%) наблюдаемых ошибок от ошибок, предсказываемых разработанной моделью.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозимумах и семинарах: - на Ломоносовских чтениях (МГУ им. М.В. Ломоносова, 1999); на 7-й Всероссийская научно-техническая конференция «Состояние проблемы измерений» (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000); на научно - технической конференции, посвященной 170- летию МГТУ (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000); на астрономической конференции (Казань, 2001); на научном семинаре кафедры «Оптика и лазерная техника» (МГТУ им. Н.Э. Баумана, РЛ-2, 2001); на конференции «Околоземная астрономия XXI века» (Звенигород, 2001); на научном семинаре астрометрического отделения Государственного Астрономического Института им. П.К.Штернберга (ГАИШ, 2002); на научном семинаре кафедры «Прикладная механика» МГТУ под руководством профессора В.А. Светлицкого (МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002).
Завершая общую характеристику работы, отметим, что развиваемое в ней научное направление поддержано российским фондом фундаментальных исследований (проекты 99-02-16663 и 98-02-16986).
Благодарности. Автор благодарен сотрудникам Государсвенного Астрономического Института им. П.К.Штернберга К.В.Куимову и
А.В.Кузьмину за предоставленный наблюдательный материал и плодотворные научные контакты, которые и инициировали появление данной работы. Автор выражает признательность коллективу кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э.Баумана за неизменную поддержку.
Погрешности телескопа, вызванные упругой деформацией фотопластинки и оптическими эффектами
Фотографические обзоры, выполненные с телескопом Шмидта, уникальны тем, что в настоящее время являются практически единственным источником данных о положении слабых объектов. Однако Шмидтовские обзоры никогда не рассматривались как высокоточный астрометрический материал, в первую очередь в связи с отсутствием адекватных методов астрометрической редукции Шмидтовских наблюдений. Известно, что отклонения координат звезд, найденных по Паломарским пластинкам отличаются от реальных угловых координат тех же звезд на величину достигающую 14 угловых секунд. Причем наибольшие величины отклонений наблюдаются в углах пластинки. Так как масштаб измерений по фотопластинке равен 67.19 угловых секунд на миллиметр, это означает, что смещения точек фотоэмульсии в плане достигают примерно 0.2 мм (при размерах пластинки 355x355мм). Это наблюдение позволяет оценить деформацию материала пластинки. Разделив 0.2мм на половину диагонали пластинки 251мм (используется половина диагонали, так как в центре пластинки смещений нет) получаем оценку деформации 0.0008 . Это довольно большая деформация для материала фотопластинки - стекла. Большой величиной деформации можно объяснить тот факт, что далеко не все пластинки проходят испытания на тестовом прессе - по информации инженеров Паломарской обсерватории примерно 20%-30% фотопластинок разрушается. Механизм возникновения искажений довольно несложен. Как известно из геометрии уложить плоскую поверхность на сферу без разрывов и складок невозможно, так как их гауссовы кривизны не совпадают. Поэтому помимо неизбежной деформации изгиба за счет увеличения кривизны при этой операции должны возникать и деформации растяжения - сжатия в срединной поверхности пластинки. Перемещения точек удаленных от срединной поверхности фотопластинки должны подчиняться кинематической гипотезе Кирхгофа [9], согласно которой материальный элемент нормальный к исходной срединной поверхности пластинки остается нормальным к деформированной срединной поверхности, причем длина материального элемента не изменяется. Формирование позиционных ошибок при изгибе фотопластинки Разумеется, формулы (1.3) тоже содержат некоторую погрешность и должны заменяться более точными, если повороты рассматриваются как большие. Этот вопрос подробно рассматривается во второй главе диссертации.
Не вызывает сомнения то, что указанная выше величина ошибки -14 угловых секунд в основном объясняется механическими причинами деформациями материала фотопластинки. Механическая природа позиционных ошибок телескопа Шмидта обсуждалась еще в классической работе Шеферда [99], который рассматривал деформации круглой фотопластинки, прижатой к сферическому основанию. Как показано ниже, механическими причинами можно объяснить позиционные ошибки на 96-98%. Однако, несмотря на использование уравнений максимально возможной точности и тщательный учет всевозможных механических факторов на смещения точек фотоэмульсии, остаточные 2-4% погрешности (4-8мкм для разных телескопов в разные эпохи) объяснить не удалось. Причиной этого, как показывают дополнительные исследования, является влияние оптических эффектов. Но, даже если зеркало, кассета и коррекционная пластинка изготовлены идеально точно, то аберрации оказываются скорректированными только для осевого направления потока света.
Учет эффектов волновой оптики приводит к тому, что свет собирается не в одну точку, а в некоторое пятно с размерами порядка длины волны, даже для осевого потока. Наклонный к оси поток параллельных лучей света дает на фокальной поверхности сложную фигуру - аберрационное пятно (внеосевые аберрации). Распределение освещенности в аберрационном пятне, которое должно определяться с позиций волновой оптики, весьма сложно. При расчете освещенности должны учитываться оптические неоднородности на пути света - экранирование света кассетой и ограниченные размеры главного зеркала, приводящие к потере части светового потока при больших углах зрения (виньетирование). Кроме того, дополнительные сложности вносит нелинейная характеристика приемника изображения - фотоэмульсии [73], что делает анализ еще более сложным. Как показывает расчет даже с позиций геометрической оптики, аберрационные пятна асимметричны, а их центры тяжести смещены. Координаты звезд определяются по центрам тяжести их фотографических изображений. Таким образом, оптические явления приводят к смещениям центров тяжести изображений звезд и, следовательно, к позиционным ошибкам. Различия координат звезд, найденных по фотопластинкам, экспонированным в синих и красных лучах, подтверждает вывод о наличии такого влияния.
Вызывает некоторое недоумение отсутствие в специальной литературе количественного анализа вклада оптики в позиционные ошибки телескопа Шмидта, несмотря на исключительную важность обзоров, получаемых телескопами этой системы. Разумным объяснением можно считать то, что до настоящей работы и предшествующих ей статей, оптическая часть позиционных ошибок была скрыта под гораздо более значительной механической частью. В действительности, разделить погрешность на чисто механическую и чисто оптическую, скорее всего, не удастся. Механика предсказывает отклонения фотопластинки от фокальной сферы (см. ниже) и как следствие невозможность идеальной фокусировки. Поверхность фотоэмульсии наклонена по отношению к поверхности фокальной сферы, смещена в нормальном направлении и растянута. Таким образом, дифракционное изображение звезды должно строиться на поверхности сложной геометрии, отличной от сферы, что неизбежно приводит к дополнительным погрешностям. Фотоэмульсия при деформациях фотопластинки подвергается механическим воздействиям, последствия которых должны учитываться с позиции фотохимии. Все сказанное приводит к выводу о том, что задача определения позиционных ошибок телескопа Шмидта является связанной и может быть решена в полной мере только созданием оптико-механической модели позиционных ошибок телескопа.
Успешное объяснение 97% позиционных ошибок механическими причинами позволяет надеяться на полное решение проблемы, так как остаточные погрешности становятся наблюдаемыми, что до появления данной работы было невозможным.
Вариационный вывод уравнений больших перемещений фотопластинки с точным учетом конечных поворотов
Необходимость максимального повышения точности при расчете Шмидтовских пластинок требует использования столь же точной теории. В механике тонкостенных конструкций известны уравнения, которые в отличие от квадратичной теории пластин и весьма популярных уравнений Л.А.Шаповалова [77], точно учитывают большие повороты. Эти уравнения относятся к так называемой теории оснащенных упругих поверхностей [34, 37, 100] (при больших перемещениях поведение пластин и оболочек описывается практически одинаковыми формулами). С точки зрения указанной теории оболочка рассматривается как объединение упругой поверхности и ориентированного материального элемента, который связан с поверхностью упругим образом. Внешняя нагрузка действует на оболочку через посредство материального элемента. Накладывая на взаимодействие поверхности и элемента различные связи можно придти к известным вариантам уравнений оболочек. Если материальный элемент ведет себя как жесткая нормаль, то получаются уравнения Кирхгофа 8-го порядка. Если он может поворачиваться вокруг касательных к поверхности, но не вокруг нормали, то получаются уравнения типа Тимошенко 10-го порядка. Если же разрешить элементу поворачиваться вокруг всех трех осей, то получатся редко используемые уравнения 12-го порядка. Возможны и более сложные модели взаимодействия материального элемента с поверхностью, например, учет не только поворотов, но и относительных линейных перемещений.
Для изучения деформаций Шмидтовских пластинок, как это следует из анализа решения модифицированной задачи Шеферда (см. ниже), вполне достаточно уравнений 8-го порядка, построенных на гипотезе Кирхгофа о жесткой нормали. Взять эти уравнения непосредственно из имеющихся источников затруднительно, так как необходим конкретный вариант этих уравнений, отражающий специфику Шмидтовских пластинок, а именно, большие перемещения, большие повороты, но малые деформации. Известные варианты теории оснащенных упругих поверхностей обычно носят столь общий характер, что воспользоваться ими для решения конкретной задачи напрямую невозможно. Гораздо проще вывести заново требуемый вариант уравнений, чем преобразовывать излишне общие теоретические соотношения. Так как символика теории оснащенных упругих поверхностей довольно специфична и отличается в разных источниках, то ниже приведен полный вывод этих уравнений в прямой тензорной символике, которая уже демонстрировалась выше при описании больших поворотов. Эта символика заимствована из книг А.И.Лурье [48,49].
При выводе соотношений упругости используется показанный выше прием восстановления смешанного функционала по известным уравнениям равновесия с последующим варьированием его по внутренним силовым факторам. Первым этапом получения полной системы уравнений теории оснащенных упругих поверхностей является вывод уравнений равновесия материальной поверхности. На рис. 2.4 срединная поверхность участка оболочки показана в исходном состоянии (радиус - вектор г0, площадь S0, длина дуги границы Г0), и в деформированном состоянии (радиус - вектор г, площадь S, длина дуги границы Г). В деформированном состоянии поверхность нагружена распределенными силами q и распределенными моментами т, которые отнесены к площади исходной поверхности S0. Край участка деформированной поверхности нагружен внутренними распределенными по контуру усилиями Pv и моментами Mv, где индексом v помечена нормаль к границе Г, лежащая в касательной плоскости поверхности (касательная нормаль). Сумма проекций внешних и внутренних сил, действующих на оболочку, и сумма моментов дают два векторных уравнения равновесия c[PvdT+JJqdS0=O c[(Mv+rxPv)dr+(m + rxq)dS0=O (2.28) Векторы внутренних усилий Pv и Mv линейно зависят от касательной нормали v - этот факт несложно установить обычным способом, рассматривая равновесие бесконечно малого треугольного элемента деформированной поверхности, вырезанного тремя поверхностями, одна из которых перпендикулярна v. В свою очередь, касательная нормаль v деформированного состояния линейно связана с касательной нормалью v0 исходного состояния - это вытекает из геометрических соотношений dr = dr0 Vr, drxn = vdr, dr0 xn0 = v0dr0 (2.29) где dr0,dr - бесконечно малые элементы границы исходной и деформированной поверхностей, п0,п - нормали к поверхностям, V- двумерный оператор Гамильтона исходной поверхности (его еще можно определить как градиент на исходной поверхности [33] или как частную производную V = -—). Следовательно, Pv и Mv должны линейно зависеть и от касательной нормали v0 исходного состояния Pvdr = v0.Pdr0 (2.30) Mvdr = v0»Mdr0 Как видно из (2.30) Р и М представляют собой тензоры внутренних усилий и моментов деформированного состояния, отнесенных к длинам линий и направлениям ортов исходного состояния. n0xt10 д Vr,t20xn0 д sinx0 A0ax sinx0 в0ар E0 =E-n0n0
Упругая поверхность в исходном и деформированном состояниях Такие тензоры в [76] названы двойными, где сказано, что тензоры этого вида были рекомендованы В.В. Новожиловым (тензор напряжений Пиола-Кирхгофа относится к этому типу). Удобство использования таких тензоров заключается в том, что оперировать с ними можно на исходной поверхности, которая, как правило, известна. Смешанный функционал энергии оболочки восстанавливается аналогично случаю гибкого стержня, описанного выше. Составляется выражение виртуальной работы левых частей уравнений статики (2.33), которая заведомо равна нулю.
Решение осесимметричной контактной задачи по квадратичной теории пластин
Решение Шеферда предсказывает наличие кольцевой зоны отрицательного давления в периферийной области пластины. Так как при отсутствии вакуума это невозможно, то естественно предположить, что периферийная часть пластины не прилегает к сфере (рис. 3.4). Контакт сохраняется в центральной зоне, причем граница этой зоны неизвестна. Предположение о том, что зона отрыва всего одна является произволом и подлежит последующей проверке. Наружный край фотопластинки считается жестко прижатым к сфере, что означает фиксацию не только нормального перемещения, но и поворота. Решение строится двумя методами. Основной метод - интегрирование нелинейной системы дифференциальных уравнений. МКЭ используется для контроля. Рассмотрим решение контактной задачи с помощью интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений квадратичной теории изгиба пластин.
Осесимметричный изгиб круглой пластинки при больших перемещениях описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка. Вид системы уравнений зависит от выбранной теории.
Если в (3.11)-(3.12) отбросить нелинейные слагаемые, то система распадется на две независимые системы, одна для осесимметричного изгиба круглой пластины, вторая для осесимметричного растяжения круглого диска. Наличие нелинейных слагаемых делает все 6 уравнений зависимыми и приводит к необходимости итераций. Дополнительные осложнения возникают из-за различного порядка системы на участке контакта (2 неизвестных) и на участке отрыва (6 неизвестных). Таким образом, контактное давление оказывается выраженным через мембранные усилия по формуле Лапласа. В (3.13) как и у Шеферда вместо уравнения сферы записано уравнение параболоида и не учтено изменение вертикальных координат при горизонтальных перемещениях - это связано с приближенным характером используемых уравнений. Уточнение решения будет сделано позже.
Размер разгонного участка выбран равным шагу интегрирования, как это принято в теории пластин. Второй участок г гс является продолжением первого, поэтому 5 компонентов вектора состояния из 6 в начале второго участка определяются условиями непрерывности решения. Поперечная сила Q в контактных задачах может терпеть разрыв (при использовании гипотезы Кирхгофа), поэтому в начале второго участка ее следует считать неизвестной. Неизвестным, также является радиус границы контактной зоны.
Система уравнений и граничные условия для нее полностью определяют нелинейную краевую задачу. Нелинейность системы требует использования итерационных методов ее решения. Здесь применяется итерационная схема, рекомендуемая [12] для расчета пологих оболочек.
Граница контактной зоны Гс фиксируется. В качестве начального приближения используется решение Шеферда, в котором внесена поправка на отсчет перемещений от недеформированного состояния (3.7). Остальные величины находятся из (3.13), так как начальное приближение предполагает полный контакт пластинки и сферы. Нелинейности в правых частях (3.11)-(3.12) вычисляются по найденным значениям компонент вектора состояния и фиксируются (запоминаются в массивах).
На следующей итерации все нелинейные слагаемые считаются известными - они извлекаются из памяти компьютера. В результате, вместо нелинейной системы решается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений стандартным методом начальных параметров [9]. При этом из трех граничных условий (3.16) используются только первое и последнее, так как из Зх неизвестных краевых параметров один гс зафиксирован. После каждой итерации нелинейности вычисляются и запоминаются в массивах. Потом снова применяется метод начальных параметров. И так далее до тех пор, пока не установится 5 значащих цифр в каждой из величин. Это происходит на 12Й-15Й итерации.
После завершения итерационного процесса проверяется выполнение выполнено, то выбирается другое значение гс и итерационный процесс повторяется. Поиск границы контактной зоны ведется методом половинного деления и продолжается до тех пор, пока все граничные условия не будут выполнены с требуемой точностью.
Точность решения контактной задачи контролировалась проверкой равновесия конечных частей пластины. Одновременно с интегрированием дифференциальных уравнений для каждого кольцевого сечения вычислялась равнодействующая Р сил давления в проекции на вертикальную ось. Это осуществляется интегрированием дополнительного дифференциального уравнения dP — = 2rcrq (3.17) dr Равнодействующая внутренних сил вычислялась по формуле P. =27ir(Tia-Q) + 2 rcQ(rc + 0)H(r-re) (3.18) где Н - функция Хевисайда. Последнее слагаемое учитывает сосредоточенную кольцевую реакцию на границе контактной зоны. Если равновесие выполняется, то Р и Р совпадают. По разности этих величин можно судить о точности решения. Как выясняется, рассматриваемая невязка сильно зависит от шага интегрирования. При 2000 шагах интегрирования погрешность осевой силы составляет около 0.02Н, в то время как полная сила взаимодействия сферы и пластинки равна 253Н, то есть погрешность решения не превышает 0.01%. Приведем результат решения контактной задачи, найденного по описанной выше схеме для круглой пластинки с параметрами, близкими к реальной Шмидтовской пластинке: Е = 64 ГПа, и=0.2, а = 200мм, R = 3070мм, h = 1мм. Радиус а выбран так, чтобы площадь круглой пластины примерно совпадала с площадью реальной квадратной фотопластинки размером 355 х 355 мм. Описанная выше процедура приводит к значению гс = 99.2 мм. Отметим, что при увеличении найденного контактного радиуса гс энергия деформаций возрастает, а при уменьшении гс пластинка пытается проникнуть под сферу, т.е. нарушается неравенство w(r) -г2 /(2R). Это, как и следовало ожидать, означает, что найденное положение пластинки доставляет минимум энергии деформаций.
Приближенное аналитическое решение на основе метода Ритца (базовое решение)
Приближенное решение поставленной задачи было найдено прямым вариационным методом - методом Ритца. Перемещения и и v разыскивались в виде полиномов 7-го порядка u = Цх+qxy2 +C3x3 +C4x/ +C5x3y2 +C6x5 +C7xf +C8x3y4+C9x5y2 +C,/, (4 9) v = Цу H- yx2 +C3y3 +C4yx4 +С5 х2 +C6f +0 +C x4 +C9yV +C1Qy7. При построении полиномов учитывалось симметрия решения относительно координатных осей и диагоналей квадрата (рис. 4.2): u(-x,y) = -u(x,y), u(x-y) = u(x,y), v(-x,y) = v(x,y), v((x-y) = -v(x,y), u(x,y) = v(y,x) Слагаемые, не удовлетворяющие условиям симметрии, из полиномов исключены. Таким образом, симметрия существенно упрощает решение. Вместо 56 независимых коэффициентов, которые содержались бы в двух полных полиномах 7-го порядка при отсутствии симметрии необходимо найти всего 10. Неизвестные коэффициенты находятся из условия минимума энергии деформаций. Подстановка (4.9) в (4.7) и затем в (4.5) превращает энергию U в функцию многих переменных и = и(С„С2,...,С10), а условие минимума принимает вид Щ- = 0, (1 = 1,2,...,10) (4.10) Выкладки, необходимые для составления и решения системы (4.10) весьма громоздки, но совершенно элементарны. Аналитическое решение системы (4.10) было проведено с помощью системы компьютерной алгебры Maple.
Таким образом, найденное решение является весьма существенным улучшением приближения Шеферда, однако, не может рассматриваться как окончательное. Основной причиной несоответствия является предположение об идеальном двустороннем контакте между фотопластинкой и сферой. Однако, построенное решение содержит и другие погрешности, одной из которых является приближенный характер квадратичной теории пластин.
В последнее время предпринимаются попытки так видоизменить конструкцию кассеты телескопа, чтобы прилегание фотопластинки к сфере было бы максимально точным. В связи с этим важность базового решения возрастает. С целью выяснения точности построенного решения оно сравнивается с решениями той же задачи, но другими численными методами и по другим уравнениям. Окончательный вопрос о точности дает теория оснащенных упругих поверхностей. При этом найденное (базовое) решение используется как начальное приближение.
Конечно-элементное решение гораздо точнее решения в полиномах, так как порядок полинома не может быть взят очень большим из-за численных проблем, а сеть конечных элементов можно брать весьма густой. Недостатком метода является то, что МКЭ дает ответ не в аналитическом виде, поэтому при изменении любого из параметров (например коэффициента Пуассона д.) расчет по МКЭ приходится производить заново, в то время как коэффициенты полиномов (4.11) в этом не нуждаются. Основная часть соответствует базовому решению и исключается, так как она не меняется и исчезает при варьировании коэффициентов Ajj5 Ву. Дополнительная часть энергии используется в расчетах. Такое разделение энергии на большую и малую части позволяет очень сильно повысить точность конечно-элементного решения. Необходимое количество элементов сокращается с нескольких тысяч до нескольких десятков, то есть в сотни раз. Найденное выражение для дополнительной части энергии в виде громоздкой аналитической формулы, найденной с помощью компьютерной алгебры (Reduce) оформляется в соответствии с правилами конечно-элементной системы ENERGY в виде процедуры на языке Паскаль. Формирование конечного элемента на этом фактически завершается, так как для системы ENERGY выражение энергии является главной существенной информацией об элементе (см. п. 2.6).
Численное решение рассматриваемой задачи строилось на сети из 16, 100 и 1600 конечных элементов. Количество элементов варьировалось с целью контроля и для иллюстрации высокой точности метода. Разность численного и аналитического решения, являющаяся, по сути, ошибкой аналитического решения (численное решение точнее) представлена в виде полей на рис. 4.5, 4.6, 4.7. Как видно из рисунков точность аналитического решения очень высока. Максимальная разность численного и аналитического решения составляет всего О.бмкм, что соответствует точности лучшего оборудования для обмера фотопластинок.
Таким образом, можно заключить, что построенное в п. 3.2 аналитическое решение давало бы окончательное решение задачи редукции Шмидтовских наблюдений, если бы в кассете телескопа соблюдались исходные предположения, на основе которых оно было получено. Очевидно, что не все из них соблюдаются в реальности. Некоторые из недочетов, которые вносят эти предположения довольно легко устранить. Один из них - это замена сферы параболоидом. Такая замена применялась в работе Шеферда и сохранилась здесь по историческим причинам. Отличие одной поверхности от другой весьма незначительно, максимум его составляет всего 17мкм (рис. 4.8), но сказать заранее, что эта величина несущественна здесь нельзя -требуется исключительно высокая точность.
