Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теория тонких гладких оболочек как пространственного двумерного континуума в косоугольной системе координат 16
1.1. Вводные замечания 16
1.2. Три квадратичные формы поверхности. Деривационные формулы.. 17
1.3. Уравнения равновесия. Граничные условия 20
1.4. Геометрические соотношения 24
1.5. Уравнения совместности деформаций.
Полная статико-геометрическая аналогия 27
1.6. Физические соотношения 29
Глава 2. Методы решения 31
2.1. Вариационный метод приведения двумерных задач к одномерным.. 31
2.2. Вариационный подход к решению краевых задач по определению НДС оболочек, свободный от выбора депланационных координатных функций 35
2.3. Метод конечных разностей повышенной точности 37
2.4. Доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей 39
2.5. Метод векторных разностей как обобщение метода криволинейных сеток 45
Глава 3. Математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрии 50
3.1. Геометрия срединной поверхности оболочки 50
3.2. Геометрическая модель и гипотезы 53
3.3. Соотношения деформаций и упругости 58
3.4. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений 62
3.5. Кинематические и статические граничные условия 67
3.6. О выборе координатных функций 69
3.7. Смешанная система разрешающих дифференциальных уравнений
в обыкновенных и частных производных 72
3.8. Дифференциальные уравнения колебаний 76
ЧАСТЬ ВТОРАЯ Решения краевых задач статики и динамики конструктивно ортотропных оболочек сложной геометрии
Глава 4. Прямые цилиндрические оболочки произвольного очертания 81
4.1. Основные соотношения теории прямых оболочек 81
4.2. НДС цилиндрической оболочки, загруженной сосредоточенными и распределёнными нагрузками 85
4.3. Кручение жёстко защемлённой оболочки с симметричным контуром 94
4.4. Стеснённый изгиб оболочки 102
4.5. Свободные колебания прямых цилиндрических оболочек 105
4.6. Точное решение краевой задачи подходом, свободным от выбора депланационных координатных функций 116
Глава 5. Скошенные цилиндрические оболочки с произвольным контуром сечения 121
5.1. Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений 121
5.2. НДС призматической оболочки, нагруженной сосредоточенными силовыми факторами 124
5.3. Свободные колебания скошенных цилиндрических оболочек 132
5.4. Решение краевой задачи с помощью уточнённого вариационного подхода 139
3
Глава 6. Прямые и скошенные многозамкнутые цилиндрические оболочки некругового очертания переменной жёсткости 145
6.1. Разрешающие уравнения и граничные условия для прямой оболочки 145
6.2. Стеснённое кручение многосвязной цилиндрической оболочки некругового очертания 149
6.3. Стеснённый изгиб многозамкнутой оболочки переменной толщины 159
6.4. Призматическая оболочка с толщиной, меняющейся по степенному закону вдоль образующей 165
6.5. Оболочка, заделанная по скошенному краю 169
Глава 7. Скошенные слабоконические оболочки произвольного очертания 178
7.1. Разрешающая система дифференциальных уравнений 178
7.2. Приближённое аналитическое решение для оболочки
с симметричным контуром сечения 182
7.3. Численное решение краевой задачи в уточнённой постановке 193
7.4. Прямая слабоконическая оболочка 202
7.5. Свободные колебания слабоконических скошенных оболочек 208
7.6. Вынужденные колебания скошенных конических оболочек 215
Заключение 221
Литература
- Уравнения равновесия. Граничные условия
- Метод конечных разностей повышенной точности
- Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений
- Кручение жёстко защемлённой оболочки с симметричным контуром
Введение к работе
Оболочки, обладая высокой несущей способностью, минимальной материалоёмкостью, экономичностью, возможностью перекрытия больших пролетов и архитектурной выразительностью, нашли широкое применение в общем и химическом машиностроении, авиационной и ракетно-космической технике, промышленном и гражданском строительстве.
Современные тонкостенные конструкции, как правило, очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Поэтому построение их расчётных моделей тесно связано с исследованием оболочек сложной геометрии. Степень их разработки в отличие от достаточно исследованных оболочек простейших канонических форм значительно отстаёт от запросов инженерной практики. Этим, видимо, объясняется тот факт, что при создании новых типов геометрически сложных пространственных конструкций значительное место ещё занимают экспериментальные исследования и дорогостоящие натурные испытания. Ясно, что создание прикладных методов расчёта таких оболочек является одной из наиболее актуальных проблем, с решением которой связаны экономия материалов в промышленном производстве, повышение эксплуатационной надёжности и снижение себестоимости инженерных сооружений. Решению этой проблемы в рамках принятого объекта исследования и посвящена данная работа.
К настоящему времени общая теория оболочек разработана достаточно полно и представлена в известных монографиях [6, 60, 62, 63, 64, 69, 114, 122, 124, 130, 158, 162, 173] и др. Кроме того, в современной научной литературе имеются многочисленные статьи, материалы съездов, конференций, симпозиумов, посвященные их теоретическим и экспериментальным исследованиям; обширная библиография по вопросам прочности, устойчивости и колебаний содержится в опубликованных обзорах [71, 117, 118]. Из методов математической физики, эффективно используемых в решениях задач, следует отметить вариационные, асимптотические, комплексного преобразования, конформного отображения и др., из численных и экспериментальных - МКЭ, МКР, тензометрические, фотоупругости и голографической интерферометрии. Но в достаточно полной степени разработана проблема расчёта оболочек лишь простейших канонических форм: цилиндрических, конических, тороидальных и сферических. Однако современные оболочечные конструкции часто представляют собой комбинацию простых форм или очерчены сложными, в общем случае кусочно-гладкими поверхностями. Кроме того, наряду со сложным очертанием срединной поверхности, такие оболочки могут иметь переменную жёсткость, скошенность, подкрепления и другие особенности.
Применение геометрически сложных оболочек диктуется функциональным назначением изделия, конструктивными и аэродинамическими требованиями, необходимостью размещения оболочки в регламентированном объёме, приданием сооружению архитектурной выразительности, снижением металлоёмкости и т.д. Корпуса космических, надводных и подводных кораблей, фюзеляжи и крылья самолётов, покрытия спортивных и зрелищных сооружений представляют собой оболочки сложных форм самой различной геометрии. Исследование этих объектов связано со значительными математическими и техническими трудностями, обусловленными высоким порядком дифференциальных уравнений в двумерной области. Причём коэффициенты этих уравнений являются функциями координат сложного вида. Отмеченные трудности ограничивают возможности аналитического исследования некоторых типов оболочек и требуют привлечения численных методов, ориентированных на применение ЭВМ.
Остановимся на публикациях, имеющих непосредственное отношение к разрабатываемой теме. Начнём с работ, касающихся методов исследования. Наряду с известными [60, 69, 114, 124] работами, в которых рассматриваются методы асимптотического интегрирования уравнений в частных производных, отметим [183], в которой содержится обзор работ, связанных с применением этих методов к решению алгебраических уравнений и задач теории пластин и оболочек. Здесь же предложен подход к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Обсуждается решение одномерных сингулярных проблем применительно к задачам устойчивости и колебаниям тонких оболочек. Анализируется применение асимптотических методов к уравнениям в частных производных. Рассматриваются вопросы нелинейного деформирования тонких оболочек.
В монографии [129] рассмотрены асимптотические методы регулярных и сингулярных возмущений, осреднения, ВБК, возмущения формы границы и размера области. Обсуждаются методы возмущения вида граничных условий, составных уравнений, аппроксимаций Паде и синтеза напряжённого состояния. Рассматриваются вопросы, связанные с применением асимптотических методов к расчёту конструкций типа пластин и оболочек.
Наряду с асимптотическими методами широкое применение получил метод комплексного преобразования уравнений [124, 125], позволивший решить многие трудные задачи для классических оболочек, в том числе и конических оболочек переменной толщины [81].
Решения задач с помощью одинарных и двойных тригонометрических рядов представлены в [188, 194, 195], а в [10, 12, 187] - методом малого параметра и асимптотического интегрирования. В упрощённой постановке, когда подкреплённая оболочка интерпретируется как балка, тонкостенный стержень или анизотропная пластина, получены решения в [12, 13, 56, 57]. Причём в [12] безмоментная коническая оболочка предполагается скошенной типа кессона стреловидного крыла.
Многие статические и динамические задачи теории оболочек решены хорошо известным методом Канторовича-Власова [62], позволяющего привести систему дифференциальных уравнений в частных производных к системе уравнений в обыкновенных производных. Дальнейшее своё развитие этот метод получил в работах [127, 130] применительно к расчёту подкреплённых оболочек скошенного типа. В постановке [130] крыло, фюзеляж и оперение летательного аппарата трактуется как подкреплённая коническая оболочка произвольного очертания. Рассмотрены также подкреплённые конические оболочки кругового очертания.
Из экспериментальных методов отметим методы фотоупругости [4, 76, 116] и голографической интерферометрии [98, 193]. Причём последний, как наиболее точный, позволяет решать задачи для оболочек сложных форм и проверить корректность тех или иных применяемых гипотез, в том числе и общепринятых гипотез Кирхгофа-Лява.
Обратимся к работам, касающимся расчёта оболочек. В монографии [147] выполнен расчёт геликоидальных, торсовых и псевдосферических оболочек, а также оболочек в форме поверхностей Монжа, циклических поверхностей и оболочек в форме отсеков циклид Дюпена. В зависимости от типа оболочки основные соотношения построены как в линиях главных кривизн, так и в криволинейных косоугольных координатах. Монография [73] посвящена решению задач устойчивости составных оболочек вращения, НДС и колебаниям трубчатых оболочек, обсуждаются также оболочки минимальных поверхностей. Основные соотношения теории тонких оболочек представлены в тензорной форме.
В работах [67, 68] для расчёта оболочек применён метод конечных элементов, а в статьях [102 — 106] развит сплайновый вариант МКЭ. В [163] при помощи функций комплексного переменного решена задача о кручении полого стержня с поперечным сечением типа профиля Чаплыгина-Жуковского, а в [176] построено приближённое решение для цилиндрической оболочки, защемлённой по косому срезу. При расчёте краевого эффекта использованы известные [62] уравнения В.З. Власова. К [176] примыкает и статья [83], где решается задача о стеснённом кручении тонкостенного стержня с однозамкнутым профилем произвольного очертания. Причём стержень трактуется как цилиндрическая оболочка, жёстко заделанная в концевых сечениях.
Из динамических задач отметим работы по собственным колебаниям оболочек классических форм [9, 14, 16, 20, 55, 70, 120, 157, 166, 190, 192, 196, 197], где решения строятся на основе рассмотренных выше методов: МКЭ [165], асимптотического интегрирования [55, 120] и т.д. Голографические методы исследования приведены в [98, 174] и других работах этих же авторов.
В предлагаемой работе объектом исследования является коническая оболочка с прямолинейной образующей, то есть нулевой гауссовой кривизны. Имея скошенность, одно- или многосвязный опорный контур произвольного очертания, переменную толщину и площадь поперечного сечения продольного подкрепляющего набора, то есть, сложную геометрическую структуру, такая оболочка представляет собой универсальную расчётную модель различных типов тонкостенных конструкций, например, стреловидного крыла летательного аппарата.
В силу наличия переменной толщины собственно оболочки система разрешающих дифференциальных уравнений содержит переменные коэффициенты. Однако для прямых оболочек эту систему удалось проинтегрировать точно в рамках принятых гипотез, для скошенных -приближённо с применением аппарата специальных функций.
Из различных типов граничных условий в решениях задач отдано предпочтение жёсткому защемлению оболочки по косому срезу, не совпадающему с линиями главных кривизн, при свободном другом. Силовые воздействия предполагаются произвольными, в том числе и сосредоточенные в свободном концевом сечении.
Численные расчёты, выполненные на ЭВМ, представлены графически. Достоверность результатов исследования обеспечивается корректной в рамках принятых гипотез математической постановкой задач, сравнительным анализом аналитических и численных решений, предельным переходом к численным результатам для оболочек постоянной толщины, известным из литературы, а также сравнением с экспериментальными исследованиями других авторов [7].
Предлагаемая работа состоит из двух частей.
В первой части выполнено обобщение известной теории [146] тонких оболочек на случай неортогональной криволинейной системы координат, позволяющее учесть постановку граничных условий по линиям, не совпадающим с главными кривизнами оболочки. Дан анализ выбора метода исследования рассматриваемых оболочек. Доказана идентичность метода криволинейных сеток [73] и метода конечных разностей, дано обобщение метода криволинейных сеток. В развитие работы [130] в общем виде построена математическая модель подкреплённой конической оболочки сложной геометрической структуры.
Вторая часть работы посвящена решениям статических и динамических краевых задач на основе [130]. Предложен новый подход, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций и опирающийся на интегрирование депланационного дифференциального уравнения в частных производных. Рассмотрены призматические, цилиндрические, конические оболочки с произвольным контуром поперечного сечения, переменной жёсткости, защемлённые по линиям главных кривизн и скошенному краю. Предложенная математическая модель является достаточно универсальной и может быть использована в расчётах прямых и стреловидных крыльев летательных аппаратов при рассмотренных граничных условиях, а также и иных объектов сложной геометрии при постановке других граничных условий. Достоверность полученных решений проверена предельным переходом к решениям для оболочек постоянной толщины [130] и численным решением двухточечных краевых задач.
Обратимся к содержанию отдельных глав диссертации.
В первой главе в отличие от традиционного подхода сведения трёхмерной задачи к двумерной, статические и геометрические зависимости теории тонких гладких оболочек получены с позиции взаимодействия погонных сил и моментов в пространственно-искривленном двумерном континууме, что является определённым обобщением известной теории Э.Рейсснера [146] на случай неортогональной криволинейной системы координат. При этом учёт нормальных к срединной поверхности моментных составляющих позволяет получить полную статико-геометрическую аналогию в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин.
Во второй главе предложено уточнение известного вариационного подхода [130], позволяющего получить разрешающую систему в виде шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отвечающих смещениям контура поперечного сечения оболочки как твёрдого тела, и одного дифференциального уравнения в частных производных, отвечающего за депланационные смещения того же контура. Доказана идентичность методов криволинейных сеток и конечных разностей, а также дано обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей).
В третьей главе на основе [130] построена математическая модель подкреплённой конической оболочки произвольного очертания. На основе вариационного принципа Лагранжа получены естественные граничные условия и разрешающая система обыкновенных уравнений, а в уточнённой постановке смешанная система в обыкновенных и частных производных. Приведена общая система разрешающих дифференциальных уравнений, описывающих неустановившееся движение конической оболочки произвольного очертания при воздействии аэродинамических сил и заданной внешней нагрузки.
Четвёртая глава, относящаяся ко второй части работы, посвящена расчёту прямых цилиндрических оболочек некругового очертания, переменной жёсткости как в продольном, так и в поперечном направлениях, жёстко защемлённых по одному торцевому сечению при свободном другом. Рассмотрены стеснённое кручение и изгиб оболочек с симметричным контуром, а также их свободные колебания. Получены таблицы собственных частот колебаний прямых оболочек при различных геометрических параметрах конструкции.
Пятая глава содержит решения краевых задач для скошенных цилиндрических оболочек с произвольным контуром сечения. Особенностью их расчёта является то обстоятельство, что разрешающая система уравнений не распадается отдельно на две подсистемы, одна из которых описывала бы изгиб, вторая - кручение. Получены собственные частоты и формы свободных колебаний призматических оболочек скошенного типа. При этом численные решения задач выполнены методом конечных разностей повышенной точности и методом двойной QR-итерации над матрицей Хессенберга, приведённой к верхней почти треугольной форме методом Хаусхолдера.
В шестой главе рассматриваются краевые задачи по определению НДС прямых и скошенных многозамкнутых оболочек переменной жёсткости с произвольным контуром поперечного сечения. Решения получены в специальных функциях. Приведены графические зависимости распределения напряжений в тонкостенных конструкциях при стеснённом кручении распределённым и сосредоточенным на свободном торце моментами, а также при изгибе распределённой нагрузкой и сосредоточенной силой. Исследовано влияние на НДС оболочки различных законов изменения её толщины вдоль образующей.
Седьмая глава содержит решения краевых задач по определению НДС скошенных и прямых конических оболочек переменной жёсткости произвольного очертания. Приближённое аналитическое решение для оболочки с симметричным контуром выражается через гипергеометрические функции, численное решение в уточнённой постановке получено методом ортогональной прогонки краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Приводится сравнение результатов, полученных по приближённому аналитическому решению и численно. Показано, что в скошенных конических оболочках как постоянной, так и переменной толщины, краевой эффект имеет место по обоим концам; в плоскости заделки — вследствие стеснения депланации и в концевом сечении — вследствие коничности. Причём величина нормальных напряжений в поперечных сечениях оболочки в значительной мере зависит от её безразмерной толщины. Рассмотрены свободные колебания некруговой конической оболочки переменной толщины, заделанной по скошенному краю, определены собственные частоты и получены формы собственных колебаний. Решены задачи вынужденных колебаний рассматриваемых тонкостенных конструкций. Результаты численных расчётов, выполненных по универсальной единой программе, табулированы и представлены графически.
В заключении даётся анализ теоретических исследований и рекомендации по их использовании в НИИ, конструкторских бюро и проектных организациях.
На защиту выносятся следующие положения: S обобщённый вариант теории тонких упругих гладких оболочек [146] на случай пространственной неортогональной криволинейной системы координат; •S получение на основе предложенного варианта теории полной статико геометрической аналогии в смысле соответствия между собой статических и геометрических величин и уравнений с конкретным физическим истолкованием некоторых формально введённых в классической теории величин; S доказательство идентичности методов криволинейных сеток и конечных разностей; S обобщение метода криволинейных сеток (метод векторных разностей);
S новый подход к решению краевых задач статики и динамики геометрически сложных оболочек, свободный от произвола выбора депланационных координатных функций вариационного метода [130]; S аналитические решения с применением аппарата специальных функций задач по определению НДС прямых и скошенных, одно- и многосвязных, цилиндрических и конических оболочек переменной жёсткости при воздействии на них сосредоточенных и распределённых силовых факторов; S разработка и реализация на ЭВМ универсального алгоритма расчёта НДС, свободных и вынужденных колебаний оболочек сложной геометрии; S качественный и количественный анализ работы оболочек переменной и постоянной толщины, численная оценка приближённых аналитических решений; S рекомендации по использовании результатов исследований в проектных организациях и конструкторских бюро. Апробация работы. Основное содержание работы доложено на XIV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Тбилиси, 1987), международных конференциях по теории оболочек и пластин: XVI (Нижний Новгород, 1994), XVIII (Саратов, 1997), XX (Нижний Новгород, 2002); международных конференциях «Актуальные проблемы механики оболочек» (Казань, 1998 и 2000); международных научно-практических конференциях «Высокие технологии в экологии» (Воронеж, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002 и 2003); всероссийской XXXI научно-технической конференции «Актуальные проблемы современного строительства» (Пенза, 2001); второй всероссийской научно-технической конференции «Прикладные задачи механики и тепломассообмена в авиастроении» (Воронеж, 2001); школах-семинарах «Современные проблемы механики и математической физики» (Воронеж, 1994) и «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002).
Работа доложена на кафедре теоретической механики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета (Воронеж, 2002), на расширенном заседании кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета (Саратов, 2002), на городском семинаре по механике деформируемого твёрдого тела при кафедре механики Казанского государственного университета (Казань, 2003).
Публикации. Основное содержание диссертации представлено в 40 научных статьях [23 - 48, 84 - 97]. В совместно опубликованных статьях лично автору принадлежит выбор методов исследования, получение аналитических и численных решений, создание алгоритма и анализ полученных результатов.
Уравнения равновесия. Граничные условия
В силу произвольности векторов N и М из (1.23) следуют соотношения между возможными деформациями и возможными перемещениями Отсюда, переходя к действительным деформациям и перемещениям, получим Векторы деформаций и поворотов, поступательных и вращательных смещений представим в виде Здесь в отличие от классической теории оболочек в векторах ici учитываются направленные по нормали к поверхности составляющие Я,., отвечающие Р1 в разложениях (1.12).
Развернув с помощью формул Гаусса-Вейнгартена (1.7), (1.10) векторные уравнения (1.24), получим соотношения между деформациями и перемещениями в скалярной форме
Сравнивая равенства для Я,, с выражениями для формально введённых при получении геометрических соотношений 4". [173, с.84] или %s [69, с.84], приходим к выводу, что эти величины полностью идентичны между собой. Для указанных величин не оговаривается их конкретный геометрический смысл, хотя в работе [169, с. 103] сделано предположение, что «они представляют собой некоторые параметры деформации». Предлагаемый вариант теории оболочек позволяет дать вспомогательным геометрическим величинам или конкретное физическое истолкование, отвечающее Xt в разложениях (1.25). Итак, эти компоненты представляют собой нормальные к срединной поверхности оболочки составляющие векторов іс( изгибной деформации (деформация кручения в срединной поверхности).
Уравнения совместности деформаций. Полная статико-геометрическая аналогия Выражения (1.24) из очевидных соотношений Ф 2 Ф,г\ и i2 = ,2i позволяют получить два векторных уравнения совместности деформаций Легко заметить, что соотношения (1.29) и однородные уравнения, отвечающие уравнениям равновесия (1.13), (1.14), переходят друг в друга при следующей замене То есть однородные уравнения равновесия и (1.29) выражают собой векторную форму статико-геометрической аналогии теории тонких оболочек.
Впервые на статико-геометрическую аналогию в теории тонких оболочек обратили внимание А.И. Лурье и А.Л. Гольденвейзер. В дальнейших исследованиях пути её приложения оказались весьма разнообразными [69, 124, 173]. Но полной в общем случае статико-геометрическую аналогию, рассмотренную в указанных источниках, назвать нельзя, так как имеются «лишние» равенства и величины, на что и указывается в фундаментальной монографии [69]. В этом смысле предложенный автором настоящей работы вариант теории оболочек даёт полное соответствие между статическими и геометрическими соотношениями и величинами [87].
Однородные уравнения равновесия, отвечающие (1.15), (1.17) и уравнения совместности (1.30) тождественны друг другу по структуре, что позволяет установить соответствие между скалярными статическими и геометрическими величинами:
В известных теориях оболочек компонентам поперечной сдвиговой деформации у( не ставятся в соответствие компоненты статических величин (/ ), а поперечным сдвиговым силам Q1 соответствуют формально вводимые величины j [173, с.84] или [69, с.84] без истолкования их конкретного физического смысла (в предлагаемом варианте это нормальные к срединной поверхности компоненты Я, вектора к( изгибной деформации). Опираясь на статико-геометрическую аналогию, можно ввести функции напряжений U = UJPj + Wn, Ф = Ф]п х гj + Ш, двойственные к векторам и и ф: 0 ф, Ф«-»и. При этом М и N выражаются через U и Ф по формулам, аналогичным по структуре (1.27), (1.28): Nij=cik{u;k+nul-biw\ $=сік(їл+Ь1ки1) (1.33) 1.6. Физические соотношения
Чтобы предложенный вариант теории оболочек имел замкнутую структуру, необходимо добавить к статическим и геометрическим уравнениям соотношения упругости. Полученные традиционным способом, эти уравнения теории оболочек с учётом поперечного сдвига в скалярной форме имеют вид [158, с. 87].
Метод конечных разностей повышенной точности
Авторы [73] отмечают эффективность применения методов конечных элементов и конечных разностей при расчёте оболочек сложной формы, указывая, однако, на часто имеющую место неудовлетворительную сходимость решений. Одной из причин этого при применении МКР является существенное влияние жёстких смещений элементов оболочки на погрешность конечно-разностной аппроксимации ковариантных производных от компонент разрешающих вектор-функций. Как известно, вектор перемещения и можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых соответствует упругому смещению точек оболочки, а второе отвечает смещению как твёрдого тела: и = U + и . Значение ковариантной производной от компонент второго слагаемого равно нулю. Обозначения здесь общепринятые в теории оболочек: Г - символы Кристоффеля, а -криволинейные координаты срединной поверхности оболочки, и. компоненты вектора и: u=u.fJ =uJfj, ,- J векторы основного и вспомогательного локального базиса криволинейной системы координат а ,а . Выражение производной (2.18) можно заменить в точке к конечно-разностным аналогом, выбрав шаг Аа численного интегрирования
При такой дискретизации в случае незначительного деформирования оболочки в окрестности точки к и относительно больших смещениях её как твёрдого тела, компоненты, отвечающие смещениям оболочки как жёсткого целого, могут дать погрешность, соизмеримую со значением самой вычисляемой производной Vj.w-. Во многих задачах численного исследования оболочек именно это обстоятельство и вызывает неудовлетворительную сходимость решений. В работе [73] при конечно-разностной аппроксимации векторное выражение ковариантной производной в точке к заменяется разностным аналогом в виде То есть частная производная в направлении координаты а1 от вектора перемещения и заменяется конечным выражением
При этом утверждается, что значение конечно-разностной производной (2.22) от вектор-функции, отвечающей жёстким смещениям элементов оболочки равно нулю. Это позволяет говорить о «новой» схеме дискретизации (метод криволинейных сеток - МКС), обобщающей и улучшающей МКР в задачах теории оболочек. Но конечно-разностная аппроксимация (2.21) полностью идентична (2.19). Эти уравнения имеют некоторые отличия от традиционно применяемых в теории оболочек тензорных моментных уравнений равновесия, в которых ковариантные производные заменены соотношениями по МКР. Объясняется это применяемым в данной работе разложением векторов моментов в виде (2.30), в которых учитываются моментные составляющие Р ,тп, перпендикулярные к срединной поверхности оболочки. Эти величины являются второго порядка малости и, естественно, в подавляющих вариантах прочностного расчёта не учитываются. Но при теоретических исследованиях учёт этих компонентов делает теорию оболочек симметричной и позволяет получить полную статико-геометрическую аналогию [87].
Из векторного уравнения равновесия моментов (2.28) можно получить три скалярных. Раскрывая их с учётом разложений (2.29), (2.30) и заменив ковариантные производные конечно-разностными соотношениями обыкновенного МКР, получим полностью совпадающие с (2.36) уравнения. Следовательно, и в этом случае схемы аппроксимации по МКС и МКР дают один и тот же конечный результат.
Итак, схемы дискретизации векторных дифференциальных соотношений по методу криволинейных сеток и скалярных уравнений теории оболочек по методу конечных разностей идентичны между собой. Так же, как и МКР, МКС не исключает погрешность аппроксимации ковариантнои производной от функции жёстких смещений и не упрощает вычисление геометрических характеристик и переопределение их в процессе деформирования оболочки, на что указывают авторы [73] ввиду явного отсутствия символов Кристоффеля в формуле (2.21). При раскрытии разностной аппроксимации (2.21) они появляются в явном виде (формула (2.27) или (2.33),(2.34) при рассмотрении уравнений равновесия), а в излагаемом авторами [73] варианте эти переменные величины присутствуют в коэффициентах aaiJ [73, с.28] преобразования векторных компонент при переходе из локального базиса промежуточных точек между узлами в локальный базис самого узла.
Несмотря на идентичность конечных схем дискретизации по методам конечных разностей и криволинейных сеток, последний действительно является некоторым обобщением МКР, так как применяется к векторным дифференциальным соотношениям в системе криволинейных координат. В ряде случаев это позволяет в промежуточных выкладках работать с векторными уравнениями, и лишь окончательные выражения записать в скалярном виде. В теории оболочек, например, можно работать с двумя векторными уравнениями равновесия сил и моментов вместо аналогичных шести скалярных.
При дискретизации континуальной задачи по изложенной схеме авторы [73] используют промежуточные точки между узлами разностной сетки, а в целях улучшения сходимости выполняют усреднение геометрических характеристик и нагрузки конечно-разностных ячеек, примыкающих к узлу и линиям разностной сетки. Это влечёт за собой сложный характер принятых обозначений и многочисленные опечатки в конечных формулах, что затрудняет применение МКС на практике. Но можно отказаться от введения промежуточных точек с одновременным упрощением конечного вида уравнений и улучшением сходимости, применив, как и в МКР, МКС повышенной точности.
Разрешающая система обыкновенных дифференциальных уравнений
Общие решения разрешающих дифференциальных уравнений (3.43) содержат произвольные постоянные, которые следует определять, удовлетворяя естественным граничным условиям (3.40), вытекающим, как и сами уравнения, из вариационного принципа Лагранжа. При 6+п степенях свободы контура Z = const естественные граничные условия сводятся к 6+п уравнениям на каждом из торцов оболочки.
Если в одном из торцевых сечений Z = О или Z = ZX заданы смещения, то обобщённые перемещения Vt в этом сечении являются известными. Положив при соответствующем значении координаты мы удовлетворяем кинематическим граничным условиям задачи для этого сечения, так как в нём все вариации SVt=0 и (3.40) выполнено. Так, например, если в сечении Z = 0 оболочка жёстко заделана, то обобщённые перемещения V(\2=Q=0, і = 1,2,...,6 + п. (3.54) Пусть в одном из торцевых сечений заданы усилия. Тогда вариации обобщённых перемещений - произвольны и независимы.
В этом случае естественные граничные условия (3.40) будут удовлетворены, если при соответствующем значении координаты Z положить Pt=P , і = 1,2,...,6 + п. (3.55) Так как произведения Pt и Рі на обобщённое перемещение SVt, входящие в (3.40), имеют размерность работы, то Pt и Р можно назвать обобщёнными силами. Следовательно, статические граничные условия вариационной задачи формулируются в виде равенств неизвестных обобщённых сил заданным. При этом (3.55) выражают собой условие ортогональности на контуре рассматриваемого сечения Z разности между внешними и внутренними усилиями по отношению к системе координатных функций р(. Развернув (3.55) с помощью выражения для Pt{Z) при Z =ZX из (3.41), получим
Статические граничные условия (3.56) получены для неподкреплённой оболочки. Учёт подкрепляющего набора, как и в разрешающих дифференциальных уравнениях, скажется лишь на матрице коэффициентов atj . То есть в равенствах (3.56) вместо atj будут стоять atJ1, определяемые суммой (3.51).
При построении упрощенной геометрической модели депланационная вектор-функция U представлялась в виде суммы произведений двух систем функций одна из которых V V Z) — неизвестная скалярная система функций, вторая фі — векторная, задаваемая. Причем для основной статико-геомет рической модели направление U принято по образующей, для модели с недеформируемым в своей плоскости контуром — по нормали к нему. Поэтому речь идет о выборе системы скалярных функций {(рп}.
Исходя из физико-механической концепции упругого деформирования твердых тел, можно сформулировать общие требования, которые могут выделить подпространство допустимых функций { рп}: однозначность (так как вектор упругого смещения при обходе вдоль координатной линии приращений получать не должен) и непрерывность (рассматривается процесс упругой деформации твердых тел без внутренних дефектов, а потому вектор упругого смещения О разрывов терпеть не должен). Эти два математических требования к отбираемому классу функций имеют достаточно наглядное механическое представление.
Третье требование, предъявляемое к классу скалярных функций { рп}, можно сформулировать, проанализировав допущения, вносимые (3.13). Совокупность точек упругой среды в отношении перемещений имеет мощность континуума, то есть их число степеней свободы бесконечно.
Кручение жёстко защемлённой оболочки с симметричным контуром
Десять граничных условий (4.32) соответствуют количеству констант интегрирования, входящих в решения (4.21) и (4.24) или (4.26) (в зависимости от знака а(). Подчиняя решения граничным условиям, нетрудно получить значения постоянных интегрирования, а, следовательно, и обобщённые перемещения Vt / = 1,2,...,8. Зная последние, по формулам (4.8) - (4.10) можно определить деформации, усилия и напряжения в произвольной точке, то есть НДС оболочки.
Полученные решения записаны в специальных функциях. Следует отметить, что если в формуле для закона изменения толщины (4.16) «Ь равно целому чётному числу, то индекс р цилиндрических функций равен целому числу плюс одна вторая, а, как известно [155], такие функции допускают точное выражение через элементарные. Давая «Ь различные значения и вычисляя интегралы, входящие в (4.21), будем получать решения при различных законах изменения толщины; смещения точек контура вследствие его депланации определяются из решений (4.24) или (4.26) в зависимости от знака а{. Анализ расчётов, выполненных на ЭВМ, показывает, что ai 0, когда ах а2, то есть большая полуось эллипса лежит на оси Ох. Так как рассматриваются именно такие оболочки, то я( 0 всегда
Постоянные интегрирования С1,С2,...,С%,С% в (4.36) определяются из естественных граничных условий задачи (4.32). Относительные деформации и напряжения в произвольной точке конструкции определяются по формулам (4.8), (4.10) соответственно.
Приведем некоторые численные результаты, представляющие интерес для реального проектирования. Расчётная модель конструкции принята в виде жестко защемленной консольной оболочки, нагруженной в сечении z=/ крутящим моментом М2. Толщина изменяется вдоль образующей по линей-ному закону (4.33), геометрические параметры оболочки: /=5 м, /zi=10" м, значения а\, а2, принимавшиеся в расчетах, сведены в табл.4.1. Нормальные напряжения az в поперечных сечениях оболочки определялись по формуле (4.10). На рис.4.3 представлен характер изменения нормальных напряжений 7Z в зависимости от z, угол в = 0.75 л-. Кривые 1-3 построены при безразмерной толщине h = hx /h2- 5, кривая 4 - при h = 2. Максимальные напряжения, как и следовало ожидать, возникают в заделке z = 0 вследствие стеснения депланации контура. Для оболочки с большим числом изменения толщины, как, например, h = 5, при z = z//» 0.83 также наблюдается всплеск напряжений, после чего они убывают до нуля. При h =2 пик напряжений исчезает, и при h — 1, то есть для оболочки постоянной толщины, кривая JZ = f{z) асимптотически приближается к оси абсцисс и в точке z = / напряжения az - 0, что хорошо согласуется с
Таким образом, НДС оболочек переменной и постоянной толщины существенно различно, и это различие должно учитываться в расчетной практике, например, при расчете крыла летательного аппарата. Следует отметить, что полученное решение не позволяет выполнить расчет при /2=1, так как оно записывается в специальных функциях, в то время как для оболочки постоянной толщины решения сравнительно просты. Из рис.4.3 также видно, что на НДС оболочки существенно влияют и такие параметры, как яь а2. Теперь выясним характер изменения crz = f(z) для консольной оболочки эллиптического очертания, нагруженной в сечении z = / силой Q . Дано: Qy = 104 Н, ах = 1 м, а2 = 0.25 м, / = 10 м, hx = 10"2 м, h2 = 2-Ю"3 м, = 2-10пН/м2, v = 0.31.
Характер распределения нормальных напряжений, определявшихся по формуле (4.10), представлен на рис.4.4 [53]. Отсюда видно, что az от заделки к свободному краю плавно убывают до нуля и в значительной степени зависят от координатного угла в. Кривые 1—6 построены соответственно при значениях в = 35/г/18, 17/г/9, 11/г/6, 7л:/4, 5я73, Зя72. Кривая 7 характеризует изменение az по размаху в оболочке постоянной толщины при в = 35#718.
Выясним теперь влияние отдельных силовых факторов на НДС оболочки. В частности, для инженерной практики представляет интерес работа тонкостенной конструкции, находящейся в условиях стесненного кручения моментом Mz и изгиба поперечной силой Qy. Численное решение этих краевых задач, например, МКЭ, связано с вычислительными трудностями и, как правило, дает заниженные значения нормальных напряжений в заделке. В следующих двух параграфах даны аналитические решения этих задач.
Рассмотрим призматическую оболочку, загруженную в сечении z=l сосредоточенным крутящим моментом Mz (рис.4.5). Как и прежде, оболочка имеет поперечный набор, жесткий в своей плоскости и податливый из плоскости
Похожие диссертации на Теория и расчет конических оболочек сложной геометрической структуры
