Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Отличительная особенность среды, находящейся в твердом (конденсированном) состоянии, наличие поверхностей, отделяющих данное тело от окружающих. В процессе внешних воздействий эти поверхности могут деформироваться без разрыва и образования новых поверхностей внутри тела.
Таким образом, внешние воздействия на тела, находящиеся в твердом состоянии, до некоторого момента приводят только к изменению их формы и не сопровождаются образованием новых материальных поверхностей.
Однако способность любого материала к увеличению расстояния между его частицами не беспредельна. Наступает критическое состояние, при котором взаимодействие между частицами прекращается, в результате чего образуются новые материальные поверхности.
Для краткости будем называть процессы образования новых материальных поверхностей разделением. Этот термин не означает, что тело обязательно должно разделиться на части, возможно, образование и внутренних полостей.
Процессы разделения, приводящие к образованию поверхностей заданной формы должны быть устойчивыми относительно внешних воздействий. В частности, малому перемещению инструмента должна отвечать малая длина разреза, а при остановке инструмента процесс разделения должен прекращаться.
Не меньшую актуальность представляет исследование процессов неустойчивого разделения, которое может сменять процесс деформирования. Ярким примером таких процессов является разрушение тел и конструкций, представляющее разделение на части, число и форма которых являются случайными. В частности, невозможно достоверно предсказать, на сколько частей разобьется фарфоровая чашка при ударе или распадется таблетка, если ее растолочь.
Описание стадии деформирования твердых тел позволяет ставить и решать задачи прогнозирования их поведения при различных внешних воздействиях. Однако данные модели недостаточны для установления момента перехода от деформирования к разделению и к исследованию развития процесса разделения. Причиной этого является то, что в основе моделей деформируемых твердых тел лежит гипотеза сплошности. Так как при разрушении сколь угодно малое расстояние между материальными точками может стать конечным, то для исследования таких процессов необходимо выйти за рамки данной гипотезы.
Основоположником теории, описывающей момент начала образования новых материальных поверхностей, является английский ученый А.А. Гриффитс. В двадцатых годах прошлого века им был сформулирован энергетический критерий распространения трещины в линейно упругом теле. Нарушение сплошности трактовалось как движение математического разреза – трещины. Естественно, что двух постоянных – упругих модулей, характеризующих линейно упругое изотропное тело, было недостаточно для формулирования условия разделения. В качестве дополнительной постоянной Гриффитс использовал удельную поверхностную энергию. В соответствии с критерием хрупкого разделения, освобождающаяся при продвижении разреза на единицу длины упругая энергия, полностью переходит в энергию двух вновь образуемых поверхностей. Для подсчета выделяемой в окрестности кончика трещины упругой энергии использовалось решение задачи линейной упругости о растягиваемой на бесконечности упругой плоскости, ослабленной математическим разрезом заданной длинны. Это решение было получено в работах Инглиса и Мусхелишвили. Парадокс заключается в том, что данное решение дает бесконечные значения напряжений в вершине разреза. Причем сингулярность имеет универсальный характер: напряжение обратно пропорционально корню квадратному расстояния, отсчитываемого от вершины разреза. Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом интенсивности напряжений.
Практическое применение теория Гриффитса получила начиная с середины ХХ века благодаря исследованиям Ирвина и сотрудников его лаборатории. Было предложено в качестве условия разделения использовать достижение коэффициентами интенсивности напряжений критических значений, названных вязкостью разрушения. Разработанная система экспериментов позволяла определить вязкость разрушения для различных материалов. Принципиальным шагом являлось распространение данного подхода на упругопластические материалы, когда пластическая область была мала по сравнению с длинной трещины. В этом случае изменение распределения напряжений в окрестности вершины разреза по сравнению с упругим решением полагалось незначительным. Таким образом, сформировалась механика квазихрупкого разрушения. Дальнейшее развитие она получила в работах Дж. Райса и Г.П. Черепанова, которые предложили новые критерии разрушения – инвариантные J–интегралы, позволяющие рассматривать распространение трещин в рамках моделей нелинейно-упругих материалов. В работах К.Ф. Черного, М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, Д.С. Дагдейла, П.М. Витвицкого, Г.И. Баренблатта, Р.В. Гольдштейна, Ю.Г. Матвиенко, В.В. Болотина, И.М. Лавита вводились дополнительные силы сцепления с берегами разреза, позволяющие «погасить» сингулярность и учесть перераспределение напряжений.
С целью снятия ограничений модели математического разреза было сделано предположение о существовании для каждого материала некоторого характерного размера, в рамках которого происходит локализация процесса разрушения. Отметим, что существование данного размера и соответствующего неделимого материального объема, имеющего химический состав, эквивалентный исходному материалу обсуждалось Г.П. Черепановым и Л.А. Галиным. Вот как описывается явление полного разрушения стекла Г.П. Черепанового: “Представьте себе, что кусок твердого стекла вдруг разлетается на мелкие частицы пыли подобно взрывчатке ТНТ. Разница лишь в том, что ТНТ разлетается на молекулы порядка 10-9 м, а стеклянные частицы пыли – порядка 10-6 м или 10-5 м, и их химический состав - тот же, что и сплошного стекла”. Введение данного параметра позволило рассмотреть процесс разрушения как термомеханический процесс в рамках единых определяющих соотношений. Подчеркнем, что характерный линейный размер определялся не как некоторая эффективная длина в сингулярной модели математического разреза как, например, в моделях Г. Нейбера, Ф. Макклинтока, Р.В. Гольдштейна и Н.М. Осипенко, а исходя из модели, в которой трещина рассматривается как разрез физический. В статьях А.А. Маркина и В.В. Глаголева была предложена модель дискретного деформирования и разделения упругопластических тел. Следует подчеркнуть, что данная модель не является приближенным описанием процесса образования новых поверхностей по сравнению с моделью математического разреза. Она позволяет исследовать более широкий спектр процессов разделения.
Отметим, что предлагаемый подход к описанию процессов разделения отличается от дискретных моделей теории упругости, развитых в работах Н.Ф. Морозова, М.В. Паукшто, Л.И. Слепяна, где твердое тело представляется системой точек единичной массы, связанных невесомыми стержнями.
Частным случаем дискретной модели является дискретно-континуальная, в которой допускается непрерывность и дифференцируемость термомеханических характеристик вдоль слоя разрушающихся элементов (слоя взаимодействия).
Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, подержаны грантами РФФИ № 06-01-00047 и 04-01-96700.
Цель диссертационной работы состоит в постановке и решении на основе дискретной и дискретно-континуальной моделей задач упругого деформирования и разделения в условиях плоского деформированного и напряжённого состояния.
Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах, полученных автором:
1. Сформулированы основные положения дискретной модели процессов деформирования и разделения. Получены универсальные выражения компонент матриц жесткости d-элемента для случаев плоского напряженного и плоского деформированного линейно упругих состояний.
2. Используя развитый в методе конечных элементов подход, получен алгоритм построения глобальной матрицы жесткости рассматриваемого тела.
3. Предложен метод последовательных догружений (разгрузок), описывающий процесс разделения при условии его равновесности. Выделены устойчивые и неустойчивые режимы разделения.
4. В рамках дискретной модели решены задачи разделения плоского образца с вырезом при внешнем растяжении и при внутреннем нагружении. Определены условия процессов устойчивого и неустойчивого разделения.
5. Разработан пакет прикладных программ для решения задач упругого деформирования и разделения в рамках дискретного похода.
6. Изложены основные положения полудискретного подхода к описанию процесса разделения.. Поставлена и решена задача о критическом состоянии упругой плоскости с вырезом при внутреннем нагружении. Показана связь между описанием процесса разделения в рамках моделей математического и физического разрезов.
Достоверность результатов обеспечена использованием известных математических моделей изучаемых процессов, математической строгостью постановок задач и их анализ, сравнением с известными результатами.
Практическая ценность. Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета процессов разделения локализующегося в тонких слоях, например, резания. Они могут найти эффективное применение в научно-исследовательских организациях и конструкторских бюро, специализирующихся на расчетах и предсказаниях разрушения рассматриваемого образца, а также могут быть включены в программы спецкурсов для студентов, обучающихся по направлению «механика деформируемого твёрдого тела».
Апробация работы. Основные результаты докладывались на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, г. Тула, 01 декабря - 2006), на семинарах кафедры математического моделирования Тульского государственного университета.
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 3 печатных работах в журналах из перечня ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка литературы. Работа содержит 98 страниц машинописного текста и иллюстраций. Библиографический список содержит 100 наименований.
