Введение к работе
Актуальность работы. Поскольку единой, математически развитой и завершенной теории роста трещин в сплошной среде к настоящему моменту не существует, особенно интересны и актуальны исследования, затрагивающие и объединяющие несколько областей механики: актуальными представляются связанные задачи континуальной механики поврежденности и теории ползучести. Континуальная механика поврежденности является новым и активно развивающимся разделом механики деформируемого твердого тела.
Под поврежденностью обычно понимают сокращение упругого отклика тела вследствие уменьшения эффективной, несущей нагрузку площади, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой, обусловленного образованием и развитием рассеянного поля микродефектов (микротрещин, дислокаций, микро-пор, поверхностных микротрещин).
Поскольку повреждения тела существенно влияют на характер его разрушения, то становится очевидным, что и механика разрушения и механика поврежденности призваны решить главную прикладную задачу об оценке запаса прочности твердого тела. В простейшем варианте поврежденность можно описать некоторым скаляром, структурным параметром - параметром сплошности, введенным Л.М. Качановым. Ю.Н. Работнов ввел функцию, равную нулю в начальном состоянии и единице в момент разрушения, которую можно принять за меру охрупчивания. Эту функцию естественно назвать поврежденностью. Работы Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова стали основополагающими для континуальной механики поврежденности.
Влияние поврежденности на развитие трещин и модели предразрушения и задержки разрушения исследовались А.А. Вакуленко и Н.Ф. Морозовым. Весомый вклад в конкретизацию уравнений состояния теории установившейся ползучести и длительной прочности на основе введения скалярной меры поврежденности принадлежит С.А. Шестерикову. Вопросам докритического роста трещин в условиях ползучести с учетом процессов накопления повреждений и коррозионного растрескивания металлов в водородсодержащей среде с позиций континуальной механики поврежденности посвящены исследования В.И. Астафьева. Математические модели накопления повреждений на закритической стадии деформирования и структурного разрушения композиционных материалов представлены в работах В.Э. Вильдемана, Ю.В. Соколкина и А.А. Ташкинова. Математическая модель накопления анизотропной поврежденности в твердых телах, позволяющая описывать распределение поврежденности по ориентациям, предложена Ю.Н. Радае-вым. Численному моделированию процессов деформирования, поврежденности и континуального разрушения нелинейных материалов и конструкций посвящены работы В.Н. Кукуджанова и Н.Г. Бураго. Математическая теория деформирования и разрушения сложных сред, к которым относятся неоднородные среды, содержащие микропоры, трещины, включения и другие особенности структуры,
предложена Е.В. Ломакиным. В рамках этой теории на основе решения задач о пластическом течении тел при различных условиях нагружения показано, что связанная с наличием повреждений зависимость пластических свойств материала от вида напряженного состояния существенным образом изменяет значения предельных нагрузок.
Результаты экспериментальных исследований масштабно-структурных уровней интенсивной пластической деформации и усталостного разрушения на ме-зоуровне представлены в работах Т.Ф. Елсуковой и В.Е. Панина, где выявлены механизмы «разрыхления» материала в вершине трещины, необходимого для ее продвижения.
Среди зарубежных авторов следует упомянуть Z.P. Bazant, J. Betten, H.D. Bui, J.L. Chaboche, H. Gao, D. Gross, P.I. Kattan, D. Krajcinovic, J.B. Leblond, J. Le-maitre, G.A. Maugin, Z. Mroz, S. Murakami, Q.S. Nguyen, H. Riedel, G.Z. Voyiadjis.
Исследования по тематике диссертационной работы поддерживались РФФИ (проекты 96-01-01064-а, 99-01-01246-а, 00-01-81067-Бел2000-а, 02-01-00311-а, 06-08-01059-а, 08-01-99023-р-офи, 08-08-00971-а), грантом Президента РФ (МК - 6717. 2006.1), а также частично финансировались французским правительством (Bourse du Gouvernement Francais, Ministere des Affaires Etrangeres; No. 445025F).
Цель исследования заключается в разработке математических моделей описания деформирования и разрушения элементов конструкций с дефектами в условиях ползучести с учетом процессов накопления рассеянных микроповреждений, оценке влияния рассеянной поврежденности на механические поля в окрестности вершины трещины на основе анализа связанных задач теории ползучести и поврежденности; анализе напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести.
Положения, выносимые на защиту:
-
Математическое описание процесса накопления микроповреждений вблизи вершины макротрещины на основе введения области полностью поврежденного материала, внутри которой параметр сплошности достиг своего критического значения. Геометрия этой области для разных значений материальных параметров, входящих в определяющие соотношения степенного закона теории установившейся ползучести и кинетическое уравнение, постулирующее степенной закон накопления рассеянных повреждений. Зависимость, в соответствии с которой изменяется граница области полностью поврежденного материала с течением времени.
-
Асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности у вершин трещин нормального отрыва, антиплоского и поперечного сдвига в условиях ползучести в связанной формулировке задачи (в связке ползучесть - поврежденность) с использованием автомодельной переменной и автомодельного представления решения. Высшие приближения в асимптотических разложениях механических полей на больших расстояниях от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области
полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины, с характерным линейным размером образца).
3. Промежуточная асимптотика полей напряжений, скоростей деформаций
ползучести и сплошности у вершины трещины в среде с поврежденностью в свя
занных задачах теории ползучести и континуальной механики поврежденности.
-
Численный анализ уравнений задачи об антиплоской деформации образца с трещиной, сформулированных в терминах автомодельной переменной, проведенный методом конечных разностей.
-
Исследование собственных значений нелинейных задач на собственные значения, к которым сводятся проблемы определения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины в материале со степенными определяющими уравнениями, методом возмущений в задаче антиплоского сдвига. Точная аналитическая формула, выражающая зависимость собственного значения, соответствующего нелинейной задаче, от показателя нелинейности материала и от собственного значения, отвечающего линейной задаче.
-
Приближенная оценка собственных значений в нелинейных задачах на собственные значения, к которым приводит анализ напряженно-деформированного состояния у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига в материале со степенными определяющими уравнениями.
-
Исследование влияния скоростей упругих деформаций у вершины растущей трещины в упругом нелинейно-вязком материале с учетом процессов накопления повреждений. Зависимость скорости роста трещины от параметров материала в поврежденной среде.
-
Приближенные аналитические решения задач о трещине, находящейся под действием поперечного сдвига, а также под действием смешанного нагружения (нормальный отрыв и поперечный сдвиг), в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону теории установившейся ползучести в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния. Поля напряжений и скоростей деформаций ползучести у вершины трещины в образце, подвергнутому смешанному нагружению (отрыв и поперечный сдвиг) при различных значениях коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Характер особенностей скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем.
Установлено промежуточно-асимптотическое поведение напряжений у вершины трещины в среде с поврежденностью в связанной постановке задачи (ползучесть - поврежденность).
С использованием автомодельной переменной проведено асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и поврежденности у вершины трещины в условиях ползучести в связанной (ползучесть - поврежденность) плоской постановке задачи. Показано, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала. В рамках концепции
маломасштабной поврежденности определена геометрия этой области для разных значений материальных параметров, входящих в определяющие соотношения степенного закона теории установившейся ползучести и кинетическое уравнение, постулирующее степенной закон накопления повреждений. На основании проведенного асимптотического анализа и полученного численного решения нелинейной задачи на собственные значения установлена новая асимптотика дальнего поля напряжений, определяющая геометрию этой области и приводящая к близким конфигурациям области полностью поврежденного материала, построенным с помощью двух-, трех- и четырехчленного асимптотических разложений параметра сплошности.
Предложен способ определения всего спектра собственных значений нелинейных задач на собственные значения, следующих из проблем определения напряженно-деформированного состояния вблизи края трещины или острого выреза в материале со степенным определяющим уравнением, основанный на методе возмущений. Показано, что метод возмущений для задачи антиплоского сдвига позволяет найти аналитическую зависимость собственного значения от показателя нелинейности материала и собственного числа, соответствующего линейной задаче. В нелинейных задачах на собственные значения, получаемых при применении метода разложения по собственным функциям компонент тензора напряжений у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига, получены приближенные оценки собственных значений. Найден весь спектр собственных чисел, но не только собственное число, соответствующее задаче Хатчинсона - Раиса -Розенгрена.
Включены скорости упругих деформаций в анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины растущей трещины в поврежденной среде в связанной постановке (в комбинации "упругость - ползучесть - повре-жденность").
Рассмотрен класс задач о трещинах в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести. Получены приближенные аналитические решения задач о трещине, находящейся под одновременным действием нормальной растягивающей нагрузки и поперечного сдвига, в материале, подчиняющемся дробно-линейному закону ползучести в предположении реализации плоского деформированного и плоского напряженного состояний для различных значений коэффициента смешанности нагружения, определяющего вид нагружения. Показано, что поле напряжений представляется различными функциональными зависимостями в ансамбле клинообразных областей (секторов), вводимых в рассмотрение в окрестности вершины трещины. Выявлен характер особенностей скоростей деформаций ползучести в окрестности вершины трещины в материале с дробно-линейным законом теории установившейся ползучести.
Достоверность результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач и проводимых преобразований; основывается на последовательном использовании современных математических методов и классических подходов
нелинейной механики сплошных сред; подтверждается сравнением результатов с известными решениями других авторов и имеющимися экспериментальными данными, согласованностью результатов, полученных различными способами.
Научная и практическая значимость результатов. Теория связанных (ползучесть - поврежденность) задач имеет важные приложения во многих областях техники: оценка прочности и долговечности инженерных конструкций, проектирование и эксплуатация энергосилового оборудования. Проведенное в диссертационной работе исследование полей напряжений, скоростей деформаций ползучести и сплошности у вершины трещины в связанной постановке задачи позволит усовершенствовать существующие критерии распространения трещины и получить новые формулы для вычисления скорости ее роста и, следовательно, прийти к более точным оценкам прочности и долговечности элемента конструкции.
Разработанные модели и методы расширяют возможности исследования процессов деформации, накопления рассеянных повреждений и разрушения. С их использованием могут рассматриваться как конкретные задачи прикладного характера, так и научного плана, обеспечивающие расширение представлений о деформационных процессах в металлах в условиях ползучести.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах:
Семинар кафедры математического моделирования систем и процессов под руководством д.ф.-м.н., проф. П.В. Трусова, Пермский государственный технический университет (5 февраля 2010 г., Пермь);
Научный семинар лаборатории вычислительной механики деформирования и разрушения под руководством д.т.н., проф. В.Н. Шлянникова, Исследовательский центр проблем энергетики Казанского научного центра РАН (23 октября 2009 г., Казань);
Семинар под руководством академика РАН Н.Ф. Морозова, Институт проблем машиноведения (28 сентября 2009 г., Санкт-Петербург);
Семинар Института механики сплошных сред Уральского отделения РАН под руководством академика РАН В.П. Матвеенко (24 июня 2009 г., Пермь);
Расширенный научный семинар кафедры математического моделирования в механике Самарского государственного университета (19 мая 2009 г., Самара);
Семинар Отдела математической физики под руководством член-корр. РАН И.В. Воловича, МИАН им. В.А. Стеклова (26 марта 2009 г., Москва);
Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством академика РАН И.Г. Горячевой, НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова (6 октября 2008 г., Москва);
Научный семинар научно-исследовательского отдела EDF (April 28, 2005; Research and Development Division, Electricite de France, Clamart, France);
Научный семинар кафедры механики твердого тела Политехнической школы (April 7, 2005; Ecole Polytechnique, Laboratoire de Mecanique des Solides, Palaiseau, France);
- Семинар "Актуальные проблемы математики и механики" кафедры механи
ки сплошных сред под руководством д.ф.-м.н., проф. В.И. Астафьева, Самарский
государственный университет (2000, 2001, 2004 гг., Самара).
Различные части работы докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:
III Всероссийская конференция "Ползучесть в конструкциях" (29 мая - 2 июня 1995 г., Новосибирск);
Зимняя школа по механике сплошных сред (23 февраля - 1 марта 1997 г., Пермь; 24 февраля - 1 марта 2003 г., 28 февраля - 3 марта 2005 г., 27 февраля -2 марта 2007 г., 24 - 27 февраля 2009 г.);
XIV Международная школа по моделям механики сплошной среды (17 - 24 августа 1997 г., Жуковский);
Международная школа-семинар Воронежского государственного университета "Современные проблемы механики и прикладной математики" (25 сентября - 30 сентября 2000 г., 4 июня - 8 июня 2002 г., 25 мая - 28 мая 2004 г., Воронеж);
VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (23 - 29 августа 2001 г., Пермь);
15th International conference on computer methods in mechanics, CMM - 2003 (June 3-6, 2003, Gliwice/Wisla, Poland);
International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations" (September 15-21, 2003, Alushta, Ukraine);
Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics"(June 24 - July 1, 2004, St. Petersburg; June 28 - July 5, 2005; June 25 - June 30, 2006; June 28 -July 5, 2007);
21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (15 - 21 August 2004, Warsaw, Poland) ;
Третья Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (29 - 31 мая 2006 г., Самара);
16th European Conference on Fracture (July 3-7, 2006, Alexandroupolis, Greece);
IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (22 - 28 августа 2006 г., Нижний Новгород);
Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" (29 января - 2 февраля 2007 г., Самара);
Международная конференция по математической физике и ее приложениям (8 - 13 сентября 2008 г., Самара);
Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (30 марта - 2 апреля 2009 г., Москва);
Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному моделированию и разработке новых материалов (7-11 сентября 2009 г., Томск);
Вторая международная конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела" (8-11 декабря 2009 г., Казань).
Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 40 статей, из них 18 - в российских журналах из перечня ВАК, 2 - в зарубежных рецензируемых журналах, 20 - в материалах международных и всероссийских конференций. Тематика диссертации отражена в двух монографиях, одна из которых - коллективная.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 460 наименований. Работа изложена на 385 страницах машинописного текста, включая 18 таблиц и 112 рисунков.
