Содержание к диссертации
Введение
1. Построение математической модели деформирования упругого материала, учитывающей микроструктуру.
1.1. Математическая модель деформирования упругого материала с учётом микроструктуры 28
1.2. Исследование существования волн сильного разрыва в упругой среде с микроструктурой 36
1.3. Исследование поведения больших градиентов деформации и вихря вблизи стационарных поверхностей 38
1.4. Построение граничных условий для деформирования упругой среды с учётом микроструктуры 40
2. Деформирование пространственных слоев упругой среды с учётом её микроструктуры.
2.1. Элементы теории поверхностей применительно к срединной поверхности слоя 44
2.2. Кинематика деформирования элемента слоя с учётом его микроструктуры 46
2.3. Уравнения в перемещениях для продольного сжатия криволинейных слоев 48
2.4. Приближённое решение системы уравнений для перемещений слоя 53
2.4.1. Нулевое приближение 53
2.4.2. Первое приближение 55
2.5. Решение системы уравнений для средних по слою перемещений 56
3. Примеры влияния микроструктуры на деформирование упругого материала.
3.1. Сдвиг криволинейной полосы с учётом микроструктуры материала, при условии полного прилипания представительного элемента к жёсткой границе 59
3.2. Сдвиг прямолинейной полосы с учётом микроструктуры материала, при условии полного прилипания представительного элемента к жёсткой границе 69
3.3. Сдвиг прямолинейной полосы с учётом микроструктуры материала при наличии поворота представительного элемента - на жёсткой границе 76
3.4. Сдвиг криволинейной полосы с учётом микроструктуры материала при наличии поворота представительного элемента на жёсткой границе 80
4. Численное решение задач статического деформирования плоских упругих тел с учётом микроструктуры материала.
4.1. Цилиндрический сдвиг кольца 85
4.1.1. Постановка задачи 85
4.1.2. Конечно-разностная схема расчета 87
4.1.3. Метод прогонки решения граничной задачи 90
4.1.4. Анализ задачи без учёта микроструктуры 92
4.1.5. Примеры численных расчётов 95
4.2. Сжатие (растяжение) цилиндрического упругого слоя 96
4.2.1. Постановка задачи 96
4.2.2. Конечно-разностная схема расчета 98
4.2.3. Анализ задачи без учета микроструктуры 99
4.2.4. Примеры численных расчетов 101
5. Влияние микроструктуры материала на устойчивость закреплённых стержней.
5.1. Математическая модель устойчивости упругих стержней с учётом микроструктуры материала 103
5.2. Исследование устойчивости стержня с шарнирно опёртыми концами 105
5.3. Исследование устойчивости стержня, один конец которого заделан, а второй шарнирно опёрт 107
5.4. Исследование устойчивости стержня, один конец которого заделан, второй свободен 109
5.5. Исследование устойчивости стержня, один конец которого жёстко закреплён, второй имеет подвижную заделку 113
5.6. Исследование устойчивости стержня, оба конца которого заделаны 114
5.7. Формулировка численной задачи по расчёту безразмерной критической силы при сжатии стержня с учётом микроструктуры материала 116
Заключение 118
- Исследование существования волн сильного разрыва в упругой среде с микроструктурой
- Решение системы уравнений для средних по слою перемещений
- Сдвиг прямолинейной полосы с учётом микроструктуры материала при наличии поворота представительного элемента - на жёсткой границе
- Сжатие (растяжение) цилиндрического упругого слоя
Введение к работе
В технологиях сегодняшних дней широкое применение находят твердые, жидкие и пластические материалы с внутренней микроструктурой (горные породы, бетон, наноструктуры, «суспензии», «микроморфные» жидкости и др.), что ведёт к необходимости их научного изучения. К таким материалам относят как материалы с достаточно мелкой микроструктурой h по сравнению- с характерным линейным размером L области изучаемой среды так и материалы- с малым И, но конечным отношением (h/L
Глобальные методы построения моделей механики сплошных сред, основанные на обобщённом вариационном принципе, развиты в известных работах Л. И. Седова- и его школы [78, 79]. Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию модели упругой среды с микроструктурой.
Исторически одной из первых моделей упругой среды, которая не может быть описана в рамках классической теории упругости, является континуум Коссера (1909г.) [37]. Однако долгое время мемуар Е. и Ф. Коссера оставался незамеченным, и лишь начиная примерно с 1958-60 гг. стали усиленно развиваться обобщённые модели континуума Коссера: теория ориентированных сред, несимметричная, моментная, мультиполярная, микроморфная и т. п. теории упругости (для краткости назовём их моментными теориями) [32, 33, 73, 74, 84, 118, 137, 161, 171]. Существенный вклад в развитие моментных теорий внесли Аэро Э. Л., Вожняк Ц., Германн-Г., Грин А. Е., Гриоли Г., Гюнтер В., Койтер В. Т., Кувшинский Е. В., Ломакин В. А., Миндлин Р. Д., Нахди П. М., Новацкий В., Пальмов В. А., Ривлин Р. С, Савин Г. Н., Стернберг Е., Трусделл К., Тупин Р. А., Эринген А. К. и многие другие авторы.
Характерной чертойі моделей' сред с микроструктурой является; их явная, или неявная* нелокальность. Последняя, в свою очередь, проявляется: в том, что теории- содержат параметры, имеющие размерность длины. Эти-: масштабные параметры могут иметь различный; физический смысл: расстояние между частицами в дискретных структурах, размер зерна или?; ячейки, характерный радиус корреляции или сил дальнодействия; шт. д: При этом всегда предполагается,, что масштабные параметры малы по сравнению с характерным размером тела!.
Єледует различать, случаи сильной1 или слабой нелокальности.. Если*
«разрешающая способность».модели имеетпорядок;масштабного параметра;,
то'; есть в рамках соответствующей' теории физически допустимо-
рассмотрение толщины слоя,, соизмеримой с масштабным; параметром; тог
теория называется нелокальной; или- сильно нелокальной; В1- таких моделях:.
можно-расссматривать элементы среды порядка' масштабного, параметра; но,
как правило;,расстояния; многошеньшиешасштабного параметра; не имеют
физического смысла;. -
Если масштабный параметр мал по сравнению с рассматриваемой; длиной тела, но полностью; пренебречь эффектами нелокальности нельзя, то возможен переход к приближённым моделям, для которых интегральные и разностные операторы заменяются дифференциальными операторами с малым параметром при старших производных. Такие модели называются слабо нелокальными.
При рассмотрении достаточно больших областей материала (нулевое приближение) должен осуществляться предельный переход к локальной? теории, уже не содержащей никаких масштабных параметров. Этим; свойством локальности, то есть возможностью рассматривать «бесконечно малые» элементы, среды; обладают все классические модели* механики сплошных сред.
Различают также среды простой и сложной структуры. В первом случае единственной кинематической переменной является вектор смещения, полностью определяющий состояние среды. Соответствующей силовой переменной являются объёмные и поверхностные силы. Для описания среды* сложной структуры дополнительно вводится набор * микровращений и микродеформаций разных порядков, характеризующих внутренние степени свободы, и соответствующие им силовые микромоменты. Интегральными характерстиками микровращений и микромоментов является поле вращений и поле моментов.
Потребность в написании предлагаемой работы возникла в связи с необходимостью изложения кинематического подхода для более точного расчёта кинематики деформирования и напряжённого состояния современных технологических материалов, обладающих однородной микроструктурой. Представляет интерес также оценка погрешности расчётов с использованием классических математических моделей механики сплошных сред, обусловленная приближённым характером описания кинематики однородных материалов с микроструктурой.
Основным пунктом несоответствия между классическими моделями сплошной среды — идеально упругий материал, пластический материал, идеальная жидкость, вязкая жидкость, идеальный газ и целый ряд других моделей - и реальными материалами с однородной микроструктурой, является отсутствие в классических математических моделях сплошной среды безразмерного характерного параметра микроструктуры (hiL) [49, 51].
Под представительным элементом А V будем понимать такой объём материала, содержащего достаточно большое количество микроструктурных элементов, что механические свойства этого объёма AV и механические свойства материала в целом - совпадают. Характерный линейный размер h микроструктуры может иметь размеры порядка от линейных размеров
кристаллов и мельче, до линейных размеров блоков горных пород в разных задачах.
Как уже отмечено ранее, одним из основных подходов для описания материалов с учётом их однородной микроструктуры является рассмотрение свойств микроструктуры путём введения микроповоротов (скоростей поворотов) в. точке пространства и связь этой классической кинематики — перемещение частицы и её поворот, деформация (скорость перемещения и собственная угловая скорость частицы, скорость деформаций) с силовыми характеристиками элемента - тензором напряжений и тензором моментных напряжений [46, 47, 48, 174]. Характерный размер микроструктуры в таком подходе связывают с моментом инерции характерного объёма микроструктуры, который входит в динамическое уравнение моментов. Этот подход великолепно развит в работах Эрингена А. К., Булыгина А. Н., Коссера Е., Аэро Э. Л, Николаевского В. Н. и др.
Другой подход в теории упругости связан с учётом^ влияния на деформацию в точке пространства не только близлежащих элементов, но и более отдалённых, что математически отражается введением в упругий потенциал W не только градиентов перемещений первого порядка, но и градиентов второго порядка. Это направление учёта микроструктуры материала в кинематике связывают с работами Кунина И. А.
В предлагаемой диссертационной работе для учёта микроструктуры материала вводится представительный объём AV = h3 и кинематическая характеристика деформирования - тензор деформаций — вводится с учётом величин 0[h2), которые автоматически ведут к учёту градиентов второго порядка от классического тензора деформаций и, следовательно, учёта градиентов третьего порядка от вектора перемещений. Введение1 в рассмотрение тензора деформации с учётом характерного размера (h/L) микроструктуры ведёт к учёту повышенного порядка градиентов перемещений в реологических уравнениях упругого материала. Построенная
таким образом: математическая модель материалов, с учётом в кинематике среды параметров микроструктурности материала будет представлять систему уравнений в1 частных производных с порядком градиентов в них на два. порядкаг выше, чем в классических математических моделях, при этом построенные уравнения будут содержать, малый параметр 2 =(h/Lf- при* старших градиентах, то есть полученные уравнения будут сингулярно возмущёнными и их возможно именовать "квазиупругими", "квазивязкими", -"квазигазодинамическими" уравнениями [87, 88].
"Квазиклассические" уравненияїупругого'материала-за!счет учёта вших? производных более: высокого1 порядка по* сравнению с классическими допускают гладкие решения в; пограничном слое наг границе, что седёт к построению; однородных- конечно-разностных вычислительных: алгоритмов* сквозного счёта без выдел енияпограничньїхслоевї
ВїРоссии;и зафубежом:проведеномножество»исследований^в*средах, имеющих микроструктуру [З; 7, 8^.9*27, 28; 29^30; ЗШ, 38; 39^ 45, 83; .86,-.149.. МО; 138І 167;. 170]: Так, в, [140]* исследуется: влияние* микроструктуры* наї прочность, образцов доломита. С этой целью проведены-петрографические и механические испытания1 18 образцов доломита. Изучено- влияние на прочность среднего-размера зерна,. объемной пористости, а также модуля упругости и бокового давления. В результате получено выражение для определения прочности хрупких неоднородных пород через измеряемые микроструктурные и механические параметры. Авторы [138]; также утверждают, что петрофизические свойства горных пород преобладающе определяются их микроструктурой. Важнейшей характеристикош.последнейі является^ критическая- (пороговая) пористость. Ее математическая* формулировка- дается в рамках теории эффективной среды, и і в рамках теории перколяции; Порог перколяции для случайной^ или .регулярнош решетки зависит от плотности и среднего размера пор и трещин. Вообще; пршрасчете
материалов и конструктивных элементов при воздействии внешних нагрузок может возникать слишком большое отклонение от реальных соотношений, если не учитывается влияние микроструктуры. В связи с этим, в.работе [149] исследуется применение моделей механики сплошных сред для сред с микроструктурой. При этом особое внимание обращается на вариационную формулировку механики разрушения, проблему гомогенизации для неоднородных сред и теорию перемещения. Представлены некоторые примеры, иллюстрирующие данную теорию.
В последние десятилетия вопрос осреднения параметров многокомпонентных материалов: грунтов, горных пород и т.д. с учетом собственного вращения частиц и наличия моментных напряжений глубоко исследован в работах Шемякина Е.И. [104, 105], Николаевского В.Н. [60], Ревуженко В:Ф. [70]; Вервейко Н.Д. [20, 19]. Отметим, что?в монографии-[70]' приведено более 300 ссылок на публикации. Широкое применение теория* структурно-неоднородных и микрополярньгх сред находит в* механике горных пород, зернистых и сыпучих материалов» В. [53, 54] предложена5 модель деформации микроструктуры грунта, связывающая условия* на границах пробы с изменением состояния контактов на поверхности наибольших касательных напряжений. Рассчитано изменение числа упругих и пластических контактов в процессе одноосного сжатия пробы и энергетическая кривая взаимодействия глинистых частиц. Выявлено циклическое изменение реакции пробы при постоянной скорости деформации. В работе [131] предлагается некоторое развитие теории предельного состояния грунтов с целью учета влияния их структуры, при этом пористость грунта характеризуется с помощью функционала; параметры.которого могут быть определены экспериментально. Авторы [123] анализируют связь между микроструктурой и изменением объема зернистых мягких глин. Грунт моделируется* как двумерная пористая матрица, содержащая круглые поры. Показано, что объем уменьшается за счет
коллапса порі Разрушение пор начинается, как только напряженное состояние, вычисляемое методом граничных элементов, приближается к критерию разрушения Треска.
Исследование горных пород и грунтов приводит к рассмотрению многокомпонентных пористых сред [146; 156, 116, 11]. В [116] представлена теория* композитных материалов, состоящих из двух изотропных составных частей, упругие характеристики которых определяются соотношениями Гассмана. Контакт между пористыми насыщенными материалами может быть "спаянным", т. е. сплошным, без каких-либо нарушений в виде трещин и пор, "неспаянным" или "частично спаянным". Эффективные напряжения-зависят не только от изменений характеристик всего выделенного объема, среды (объема пор, процентного содержания жидкости), но определяются и изменениями в каждой- отдельной компоненте: Получены выражения > для^ объемных модулей упругости композитного материала с перечисленными' типами контактов. В работе [146] изложены теоретические предпосылки» уточненного учета влияния кластерной природы микроструктуры и множества случайно распределенных микропор. Выявлена потребность учета* ячеистой мелкопористой структуры металлической пены и конструкционных материалов в задачах анализа показателей деформируемости и прочности. Проведен анализ соотношения- микро- и макропоказателей в программных испытаниях на растяжение.
В работах [59, 112, 147, 158, 169]- используются методы конечных элементов (МКЭ) для исследования течения и деформирования сред с учетом их микроструктуры и различного рода микроконтактных взаимодействий частиц. Для учета приобретенной анизотропии таких материалов-конструируются модели из микроплоскостных элементов [159]. Bf [78, 124, 134] решаются задачи с учетом различного рода упаковок из частиц разного диаметра, при этом различаются связи между напряжениями и деформациями в случаях растяжения или сжатия.
В» связи с ростом инженерных разработок в области авиа-космических технологий отмечается возрастание требований к моделям для описания технологических процессов обработки металлов, в связи с чем возникает необходимость формулировки определяющих соотношений, учитывающих эволюцию микроструктуры [168, 111, 178]. В-[168] описаны, особенности формирования дислокационной субструктуры при монотонном и сложном нагруженшг при* больших деформациях. Приведены кинетические уравнения, описывающие эволюцию внутренних переменных.
Во многих работах последнего времени- детально изучено поведение микроструктуры материалов при различных внешних условиях [25, 132, 125, 144, 176, 157, 151]. В [157] отмечено влияние термообработки- на микроструктуру суперпластических сплавов; О бсуждается эффект памяти формы, с учётом микроструктуры материалов. В' [151] -построена* самосогласованная модель для- перехода от зависимости, напряжение-деформация на уровне зерен к соответствующей^ зависимости на поликристаллическом-уровне. Отмечено хорошее^ согласование результатов численных расчетов-с имеющимися экспериментальными данными.
Особого внимания заслуживают исследования [120, 165] в которых в микрополярной теории Коссера разделяются уровни взаимодействия в гранулированной среде на макроуровень и микроуровень с учетом на микроуровне градиентов тензоров напряжений и деформаций макроуровня [64, 85, 106, 107, 108]. Авторы [120] развивают этот подход для описания поведения гранулированных материалов, рассматривая их как совокупность сферических частиц разных размеров. Локальный масштаб относится- к среднему диаметру частиц, макромашстаб - к размеру статистически* представительного объема, в котором рассматриваются- обычные переменные, характерные для- сплошной среды. Устанавливаются соотношения между локальными и обычными глобальными переменными, в частности - тензорами напряжений и деформаций. Приводятся примеры
численного моделирования; двухосных испытаний методом дискретных элементов.
С применением' подобного подхода, в [153] построена статистическая модель для определения напряжения текучести в . зависимости от распределения размеров: кристаллических зерен. Получена универсальная зависимость для напряжения текучести от. размера зерещ включающая участок упрочнения^ и разупрочнения; Даны, дополнительные соотношения, определяющие материальные константы через физические параметры-материала. Модель показывает, что фаза* упрочнения не обязательно ограничена размером- зерен, так как в некоторых материалах упрочнение существует И; в нанокристаллических процессах. Достоверность предлагаемой? модели: иллюстрируется- сравнением с экспериментальными данными. В' [148]. получены; выражения* связывающие макроскопические напряжения; и* деформации^ с контактными силами и смещениями; частиц:' Авторы- [112] провели теоретический? анализ поведения* массивов? сыпучих материалов? с учетом; их: микроструктуры; т., е.\ положения- и геометрии-каждого ! зерна; смещений: между зернами; контактных взаимодействий ' и минерального состава зерен..
Следует отметить особый класс задач, связанный с влиянием микроструктурных параметров на разрушение материалов [14, 113, 117,119, 121, 126, 128j 135, 136, 141, 150]. В [141] проведена серия экспериментов, в которой исследовано влияние микроструктуры осадочных горных пород на их прочность и изломостойкость. Показано, что прочность образцов в зависимости от их микроструктуры может различаться более чем вдвое. В [121]; отмечается зависимость макроскопического; поведения» поликристаллов от характеристик межзёренных связей. Авторы [113]{ Изложили обобщение и развитие ранее полученных результатов по серии вычисоительных. экспериментов с целью выявления^ характерных показателей, микроструктурного повреждения поликристаллических тел. Ввели
уточнённую расчётную модель зарождения и распространения межзёренного дефекта с учётом деформируемости межзёренных границ. В работе [135] предложена новая схема оценки взаимодействия микродефектов, где вводится тензор четвёртого ранга, который описывает действительное расположение микродефектов, в твёрдом теле. Показано, что этот тензор играет ключевую роль при учёте эффектов взаимодействия дефектов. Получены аналитические формы тензора для различных случаев. Также исследованы критерии устойчивости процесса нагружения упруго-пластического материала с внутренней структурой -и описаны в [34].
К классическим работам по теории нелокальных сред следует отнести работы И:А. Кунина, собранные в монографии [45]. В его* книге систематически излагается теория упругих сред с микроструктурой, учитывающая внутренние степени свободы, эффекты нелокальности, дискретности, пространственной и временной дисперсии: Исследуются существенные отличия нелокальной теории упругости от классической и связь между ними. Большое внимание уделено колебаниям и распространению/волн в линейных и нелинейных диспергирующих средах. Рассматриваются локальные дефекты и дислокации в средах с микроструктурой.
В монографии [30] дается систематическое изложение современной теории распространения и взаимодействия упругих волн в твердых телах с микроструктурой. Выводятся математические модели твердых тел, учитывающие микроструктуру, геометрическую и физическую нелинейности, поврежденность, взаимодействие деформационных и магнитных полей. Изучаются различные волновые эффекты, характерные для тел с микроструктурой.
В [83] экспериментально исследованы затухания ударного импульса в столбе частиц сыпучей среды в условиях плоской* деформации. Проанализировано влияние размеров частиц сыпучей среды и пористости на
затухание распространения высокочастотных (в частности взрывных) волн. В поликристаллических структурах, зернистых композиционных материалах и полимерах наблюдается эффекты, не описываемые уравнениями классической теории упругости, которые анализируются в [31].
Костюков Н.А. исследовал двухмерные течения, имеющие место на-границе раздела порошкового материала с деформируемой преградой в условиях плоского и асимметричного взрывного нагружения [38]. Изучены структурные особенности компактов, возникающие при различных соотношениях между скоростью распространения нагрузки по поверхности преграды и скоростью пластической ударной волны в преграде.
Экспериментально изучены явления распространения нагружения в зернистых средах [35, 145, 164]. Определена усредненная скорость распространения волн по месторасположению волнового фронта во времени. В'качестве результата получено, что скорость распространения зависит от упаковки и направления* распространения. В1 случае наличия обжимающего давления скорость возрастает.
Общая теория решения задач, связанных с существованием ударных волн, хорошо развита в [43, 75, 76]. При решении одномерных и многомерных задач широко используют численные методы [15, 57, 66], метод распада произвольного разрыва [17], конечно-разностные методы [15, 21, 66]. Одним из наиболее экономичных численным и в тоже время приближенным методом является лучевой метод [16, 68] - приближенный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора для построения систем гиперболических уравнений в частных производных в окрестности фронтов. В более общем случае решение представляется в виде ряда по множеству обобщенных функций с носителями на< подвижной поверхности, которая отделяет невозмущенную область пространства от возмущенной [26, 36, 109].
В,механике и волновой динамике часто исследуются экспериментально и теоретически задачи о проникании твердых тел в грунт: [1, 10, 24, 44, 62, 72, 127, 133, 139, 142, 143, 173, 180]. Предлагаются аналитические модели ударного вбивания свай в грунт [44, 117]. А также методика прогнозирования дальностей проникания ударников в грунт, которая предполагает .разделение силы на лобовую и боковую составляющие [62]. Рассматриваются результаты исследования динамических свойств грунтов [63]; коэффициентов затухания механических колебаний, динамических модулей упругости при сдвиге, влияние импульсного напряжения на деформируемость грунтов, реакции грунтов на кратковременную нагрузку [ПО].
Из всех жидких материалов с микроструктурой можно выделить важный класс широко распространенных материалов - "суспензий" — жидкостей с недеформируемым наполнителем, "микроморфных" жидкостей, входящих в- обширный* класс структурно-неоднородных материалов. В качестве реальных прототипов таких, материалов можно * привести1 вязкие жидкости- с наполнителем в виде твердых частиц различного характерного размера /« l .
Моделирование и исследование течения материалов с микроструктурой в рамках механики сплошных сред имеет давнюю историю. Расчет эффективных физических параметров (коэффициентов вязкости, сжимаемости и др.) жидкостей с наполнителями, суспензий имеет важное значение для расчета параметров течения. С механической точки зрения концентрация частиц в суспензии существенно влияет на поведение отдельных частиц и среды в целом. Так при малых концентрациях твердых частиц их поведение — скорость перемещения и угловая скорость вращения мало отличаются от течения жидкости и совпадают со скоростью' жидкости v и ее угловой скоростью вращения o)=(rotv)l2. При увеличении концентрации частиц следует учитывать отличие скорости перемещения
частиц и их угловые скорости вращения от соответствующих параметров течения жидкости.
Общая теория микроморфных жидкостей представляет собой сложную математическую модель и ее использование связано с большими математическими трудностями. Наиболее доступной в плане решения задач прикладного характера является теория микрополярных жидкостей развитая в работах [4, 5, 130]. Различные теории жидких материалов с микроструктурой, построенные независимо друг от друга разными способами имеют общее, а именно: введение, наряду с полем скоростей,
НОВОГО ПОЛЯ МИКрОВраЩеНИЙ ф Ф (rotv)/2.
В последние годы теория структурно-неоднородной и в частности микрополярной жидкости находит широкое применение для описания1 движения крови в сосудах различного сечения [155, 158] и движения биологической жидкости (смазки) в суставах человека.
Наряду с исследованием материалов с микроструктурой, имеющей характерный размер и ~ 0,1 -1 мм и выше, в последнее время возрос интерес к неоднородным материалам, у которых величина параметра h на порядки меньше [42, 56, 65, 71, 114, 115, 129, 154, 166, 179, 181]. В [13] указано, что усовершенствование структуры материалов на различных масштабных уровнях, которые осуществляются с помощью микро- и нанотехнологии, предоставляет широкие возможности для повышения показателей физико-механических и прочностных характеристик материалов и параметров конструкций. Поэтому актуальна задача о построении моделей и соотношений механики сред с учетом иерархии их структуры для исследования взаимодействия между разномасштабными составляющими компонентами материалов. В [181, 65] показано, что микроструктура влияет на макроповреждение материалов. В [179] рассматривается влияние формы зерен на поля мезоскопических напряжений. В работах [114, 115] авторы
исследуют задачу по определению показателей напряженно-деформированного состояния при поперечном изгибе микро-балок, составленных из поликристаллов, средние размеры которых имеют одинаковый порядок с размерами поперечного сечения балки. Показано, что при наличии симметрии ниже третьего порядка напряженно-деформированное состояние микро-балки оказывается зависящим от расположения кристаллов внутри балки. В [154] построена модель термопластичности поликристаллического материала при больших деформациях. Приведены классические и обобщенные (слабые) постановки* краевых задач на макро- и микроуровне. Постановка краевой1 задачи на макроуровне содержит уравнения баланса количества движения, кинематические соотношения, уравнения баланса энергии, начальные и. граничные условия. Полагается, что каждой частице . макроконтинуума, ставится в соответствие частица микроконтинуума (с присущей ей микроструктурой), состояние которой» описывается соответствующими непрерывными полями напряжений и перемещений; при этом поле перемещений полагается состоящим из однородной и неоднородной составляющих. Тензор напряжений на макроуровне определяется осреднением по объему микрочастицы тензора микронапряжений. Takahashi Kunihiro в своей статье [166] использует аналогичный подход: точкам континуума сопоставляются мезодомены - области пренебрежимо малого объема, в которых задаются физические величины. Эти области призваны связать микроскопический уровень описания физических величин с макроскопическим. Такие представления вносят в классические уравнения теплопроводности, диффузии, уравнения равновесия деформируемого тела дополнительные члены, повышающие порядок дифференциального уравнения по координатам и называемые автором нелокальными эффектами. Уточнения понятий сделаны и для физических величин высших порядков, в частности, для напряжений высших порядков. Непосредственным
смещением времени в физических законах повышен в уравнениях порядок дифференцирования по времени.
Во многих работах [6, 149, 152, 160, 162, 163, 172, 175, 177] последнего времени исследуются вопросы пространственной периодичности микроструктуры, что имеет непосредственное отношение к армированным материалам. Так, в [152] введены несколько новых вариационных формулировок в терминах перемещений или напряжений для решения задачи гомогенизации с целью определения общих механических характеристик неоднородных композиционных материалов с периодической микроструктурой. Периодичность структурных переменных учитывается или с помощью специальных представлений, например, разложений в ряды Фурье, периодической части полей перемещений и напряжений или путем введения, соответствующих граничных условий для* единичной ячейки композита. В частности; введены граничные условия, отражающие-периодичность определяющих переменных параметров, в составленные функционалы с использованием множителей Лагранжа. В' [160] рассматривается моделирование нелинейного гомогенизированного упругопластического поведения композита, составленного из периодической микроструктуры, в условиях малой деформации. Для решения соответствующего интегрального уравнения, которое описывает микроструктурное поведение композитного материала, применяется метод рядов Фурье. Проведён анализ бороалюминиевого волокнистого (однонаправленного) композита при различных траекториях нагружения.
В ряде работ последнего времени поднят вопрос о характере масштабного эффекта в средах с периодической и почти периодической микроструктурой [162]. Предлагается учитывать масштабный эффект, отражающий влияние соотношения между величиной рассматриваемого объема материала и размером единичной ячейки, в отличие от традиционных методов усреднения и гомогенизации, разработанных для прогнозирования
макроскопических характеристик неоднородной среды, обычно игнорирующих связь между микроструктурой и размерами образцов. Рассмотрено поведение нелинейно упругой плоской решетчатой модели при любых макроскопических деформациях. Проанализированы масштабные эффекты, возникающие благодаря неоднордностям в поле макроскопических деформаций на всем протяжении образца или при наличии микроструктурных несовершенств, которые могут быть геометрическими или физическими по- своей природе. Для> всех рассмотренных случаев предложены различные аналитические аппроксимации с целью прогнозирования влияния масштабного, фактора на макроскопические характеристики сред с почти периодической микроструктурой.
Известно,* что при. оценке погрешности решения какой-либо модельной задачи по отношению к измеряемым, наблюдаемым* явлениям всю погрешность г можно представить в виде суммы погрешности самой модели ru, погрешности метода.решения математической задачи rvp и его численной
реализации гч, г = гч +гир +гч. Как правило, при исследовании реальных задач
забывают о погрешности самой модели, а увеличение точности математического решения не увеличивает точности самого модельного представления. Поэтому важным остается момент идентификации математической модели с реальным объектом или явлением, а также вопрос измерения кинематических и силовых параметров явления. Особенно противоречивым остается вопрос об определении кинематических характеристик течения - деформации и скорости деформации для микроструктурных материалов. С точки зрения' механики сплошных сред вопрос решен давно - это малые деформации и скорости деформации, сколь угодно малого материального элемента AV, вычисляемые по формулам
ydiij ди, ^
Коши: е„ =-
ди, ди,
+ - J
, а для случая больших деформаций они представимы
в форме Альманси и др. При исследовании материалов с микроструктурой формальное применение механики сплошных сред сразу дает погрешность математической модели в виде величины 1-го или более высокого порядка по h, т.к. в уравнениях движения и в соотношениях Коши величины такого порядка малости отброшены, а использование мер конечных деформаций не устраняет противоречия двухкомпонентный материал — "сплошная среда". Поэтому представляет интерес учета в кинематике и уравнениях движения характерных размеров микроструктуры до более высоких порядков, чем Л1.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы обусловлена влиянием микроструктуры на характер деформирования и напряжённое состояние материалов (горные породы, мелкозернистые материалы, наноструктуры и т. д.) при упругом-деформировании тел. Микроструктура материалов. влияет на их упругое локальное поведение в области больших градиентов напряжений и деформаций, а также на поведение материала вблизи границ области приложения нагрузок, что ведёт к изменению кинематики деформирования среды и влияет на глобальное деформированное состояние упругих тел. В частности, учёт микроструктуры материала, его структурированности, ведёт к изменению параметров устойчивости тел различной геометрии.
Расчёты, проводимые на основе классической модели деформировния упругих тел, не содержат микроструктурных параметров, и поэтому, при применении проведённых расчётов к реальным задачам имеет место так называемая «неустранимая погрешность». При этом уточнение численных алгоритмов решения- сложных задач не ведёт к уменьшению погрешности математической модели упругого деформирования по отношению к реальным объектам.
Для построения математических моделей течения и деформирования материалов с учётом микроструктуры используют несколько подходов. Один
из них состоит в представлении физических законов' в дискретном виде, их разложении в ряды Тейлора с учётом величин до некоторого порядка h" по характерному размеру микроструктуры. Другой подход состоит в представлении математической модели, заданной в дифференциальной форме, в разностном виде на сетке с шагом И, и построении разностного аналога (непрерывной задачи) с учётом величин до некоторого порядка h". Построенные уравнения носят наименование «квазиупругих», «квазигазодинамических», и т.п.
В предлагаемой работе проводится в рамках механики сплошных сред использование уточнённых кинематических параметров деформирования материала для анализа статических задач деформирования упругих тел. При этом среда состоит из дискретных элементов с характерным размером- h, и представительный объём AV»h3 не может быть, неограниченно малым. Используемый подход позволяет привести- оценку погрешности моделирования деформирования таких материалов.
Влияние характерного размера микроструктуры детально изучалось.в* задачах гидродинамики микрополярных жидкостей и деформирования твёрдых тел (Е.И. Шемякин, А.Ф. Ревуженко, В.Н. Николаевский, И.А. Кунин, Э.Л. Аэро, А.К. Эринген, X. Бок, Г.Ф. Филатов, Н.Д. Вервейко и др.). В газовой динамике учёт микроструктуры и диссипации на микроуровне исследовался в связи с построением устойчивых конечно-разностных схем (Б.Н. Четверушкин, В. И. Попов, А.А. Самарский, А.В. Гулин и др.). Тем не менее, несмотря на проведённые исследования, необходимость в изучении задач, связанных с учётом микроструктуры материала при упругом деформировании тел, и разработке новых более эффективных аналитических и численных методов их решения остаётся актуальной.
Диссертационная работа выполнена в соответствии* с планом' научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной, механики Воронежского государственного университета, в рамках-темы: «Разработка
математических моделей и эффективных аналитических и численных методов' решения статических и динамических задач механики деформируемых сред сложной структуры» (код по ГАСНТИ 30.19.23, 30.19.29).
Цель и задачи работы. Целью проведённой работы является учёт характерных размеров h микроструктуры среды в кинематике деформирования упругих тел путём уточнения тензора деформаций, а также оценка влияния параметра h на напряжённо-деформированное состояние материала. Поставленная цель достигается посредством:
1) построения линейного и нелинейного тензоров малых и больших
деформаций с учётом характерного размера h микроструктуры;
2) построения системы уравнений деформирования упругого материала с
учётом параметра h, и построения дополнительных граничных
условий, обусловленных микроструктурой;
3) построения аналитического или численного'решения граничных задач:
сдвиг полосы»из упругого материала с учётом микроструктуры;
цилиндрический сдвиг кольца из упругого материала с учётом
его микроструктуры;
c) растяжение (сжатие) цилиндрического упругого кольца с
учётом микроструктуры материала.
4) исследования устойчивости упругих стержней с учётом
микроструктуры материала и расчёта критической силы.
Методами исследования, используемыми в диссертации, являются
классические подходы построения математических моделей деформируемых сред, аналитические и численные методы решения систем уравнений в частных производных, метод малого параметра (асимптотического разложения), а также методы аппроксимации? сеточных или дискретно задаваемых функций в пространстве непрерывного аргумента, методы
прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений, методы программирования численных алгоритмов в среде Borland Delphie 7.0. На защиту выносятся следующие положения:
тензор деформаций, определяющий вклад микроструктуры среды в' характер деформирования материала;
математическая модель деформирования упругих тел, учитывающая микроструктуру материала;
дополнительные граничные условия, учитывающие микроструктуру материала;
оценка влияния характерного размера микроструктуры на сдвиг полосы из упругого материала;
расчёт сдвига и> сжатия упругого кольца с учётом микроструктуры материала;
расчёт критической, силы при сжатии упругих стержней с учётом их микроструктуры, при различных условиях закрепления.
Научная новизна результатов, диссертационного исследования заключается в следующем:
Предложено дополнение к тензору деформаций, учитывающее влияние микроструктуры материала. Представленный подход к описанию материалов с микроструктурой связан с учётом в определении деформаций микроструктурного характерного параметра h, который носит смысл относительного линейного размера микроструктуры.
Сформулированы дифференциальные задачи деформирования упругого материала с учётом микроструктуры в терминах перемещений, которые отличаются от классических уравнений типа Ламе тем, что малый параметр h стоит перед старшей производной четвёртого порядка и носят сингулярный характер.
Сформулированы дополнительные граничные условия, учитывающие характерный размер микроструктуры материала;
4) Построены дифференциальные задачи и найдены их аналитические и
приближённые численные решения для упругого деформирования с
учётом микроструктуры материала в случае:
сдвига прямолинейной и криволинейной полос;
сдвига цилиндрического кольца;
сжатия цилиндрического кольца;
5) Проведён расчёт критической силы при сжатии упругих стержней с
учётом микроструктуры материала при различных условиях
закрепления и проанализировано влияние характерного размера
микроструктуры на величину критической силы.
Достоверность полученных результатов- в предлагаемой
диссертационной работе обеспечивается использованием фундаментальных представлений' теории упругости, физически корректной формулировкой математических моделей, правильностью ^ применениям математического аппарата теории уравнений в' частных производных, а также применением классических методов механики сплошных- сред, классических методов решения задач математической физики. Достоверность проведённой работы* подтверждается тем, что из решений исследуемых задач как частные случаи получаются решения классических задач теории упругости.
Практическая значимость результатов. Полученные результаты могут быть использованы при расчёте напряжений элементов конструкций из различных материалов с учётом их микроструктуры, а также при расчёте предельных критических усилий, приводящих к неустойчивости упругих сжатых стержней.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 2002-2009 гг.; на научных сессиях факультета прикладной математики и механики Воронежского государственного университета 2002-
./ / / 26"' '
2007 г.г.; на: Воронежских школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2002-2009- гг.; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVI» («Современные методы теории краевых задач») 2005 г., на научных сессиях математического факультета: Воронежского государственного университета 2005 г.; на международных научно-технических конференциях «Авиакосмические: технологии», Воронеж, 2004-2007 гг.; на; седьмой международной научно-методической; конференции? «Информатика:, проблемы, методология, технологии»,.Воронеж,.2007 г.; на.научной сессии. Чувашского государственного- педагогического университета; им. И:Я;Яковлева «Механика- предельного состояния»;. Чебоксары; 2008 г.; на научнош сессии; Самарского государственного университета-(естественнонаучная«серия;«Мёханика»), Самара, 2009т.
Публи кации; Но? материалам диссертации* опубликовано 116 печатных работ;
Структура:; т объеме работы; Диссертация: состоит из введения;. пяти; глав; заключения? и? списка; литературы, включающего; 181 наименование: Работа" изложена: на; 137 страницах машинописного текста, содержит 26? рисунков.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ,
Во введении дан обзор работ по теме диссертации, обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы и задачи исследования; научная новизна диссертационной работы, выносимые на защиту научные: положения и результаты, а также изложено краткое содержание диссертации.
В первой главе построен тензор деформаций, учитывающий; характерный* размер.; микроструктуры, материалам Приведена; система; уравнений; описывающая: деформирование среды с микроструктурой. Сформулированы дополнительные граничные условия, учитывающие вклад
микроструктуры материала. Построена математическая модель деформирования упругой среды с микроструктурой.
Во второй главе описывается деформирование пространственного слоя упругой среды с учётом её микроструктуры. Построена система уравнений для продольных и вертикальных перемещений слоя малой кривизны. Получено и проанализированно её решение в нулевом и первом приближении.
В третьей главе рассмотрено влияние микроструктуры на сдвиг прямолинейной и криволинейной полос из упругого материала с различными дополнительными граничными условиями.
В четвёртой главе проведено численное решение задач статического деформирования плоских упругих тел цилиндрической формы с учётом микроструктуры материала.
В пятой главе исследовано влияние микроструктуры материала на устойчивость стержней с различными видами закрепления. Найдено выражение для критической силы, учитывающее вклад микроструктуры.
Заключение содержит оценку вклада автора в проведенные в диссертации исследования и значимости полученных результатов.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору технических наук, профессору Вервейко Николаю Дмитриевичу за постоянное внимание и оказанную помощь в работе.
Исследование существования волн сильного разрыва в упругой среде с микроструктурой
В технологиях сегодняшних дней широкое применение находят твердые, жидкие и пластические материалы с внутренней микроструктурой (горные породы, бетон, наноструктуры, «суспензии», «микроморфные» жидкости и др.), что ведёт к необходимости их научного изучения. К таким материалам относят как материалы с достаточно мелкой микроструктурой h по сравнению- с характерным линейным размером L области изучаемой среды так и материалы- с малым И, но конечным отношением (h/L i) характерного размера h микроструктуры к характерному размеру L области материала. Глобальные методы построения моделей механики сплошных сред, основанные на обобщённом вариационном принципе, развиты в известных работах Л. И. Седова- и его школы [78, 79]. Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию модели упругой среды с микроструктурой. Исторически одной из первых моделей упругой среды, которая не может быть описана в рамках классической теории упругости, является континуум Коссера (1909г.) [37]. Однако долгое время мемуар Е. и Ф. Коссера оставался незамеченным, и лишь начиная примерно с 1958-60 гг. стали усиленно развиваться обобщённые модели континуума Коссера: теория ориентированных сред, несимметричная, моментная, мультиполярная, микроморфная и т. п. теории упругости (для краткости назовём их моментными теориями) [32, 33, 73, 74, 84, 118, 137, 161, 171]. Существенный вклад в развитие моментных теорий внесли Аэро Э. Л., Вожняк Ц., Германн-Г., Грин А. Е., Гриоли Г., Гюнтер В., Койтер В. Т., Кувшинский Е. В., Ломакин В. А., Миндлин Р. Д., Нахди П. М., Новацкий В., Пальмов В. А., Ривлин Р. С, Савин Г. Н., Стернберг Е., Трусделл К., Тупин Р. А., Эринген А. К. и многие другие авторы. Характерной чертойі моделей сред с микроструктурой является; их явная, или неявная нелокальность. Последняя, в свою очередь, проявляется: в том, что теории- содержат параметры, имеющие размерность длины.
Эти-: масштабные параметры могут иметь различный; физический смысл: расстояние между частицами в дискретных структурах, размер зерна или?; ячейки, характерный радиус корреляции или сил дальнодействия; шт. д: При этом всегда предполагается,, что масштабные параметры малы по сравнению с характерным размером тела!. Єледует различать, случаи сильной1 или слабой нелокальности.. Если «разрешающая способность».модели имеетпорядок;масштабного параметра;, то ; есть в рамках соответствующей теории физически допустимо- рассмотрение толщины слоя,, соизмеримой с масштабным; параметром; тог теория называется нелокальной; или- сильно нелокальной; В1- таких моделях:. можно-расссматривать элементы среды порядка масштабного, параметра; но, как правило;,расстояния; многошеньшиешасштабного параметра; не имеют физического смысла;. - Если масштабный параметр мал по сравнению с рассматриваемой; длиной тела, но полностью; пренебречь эффектами нелокальности нельзя, то возможен переход к приближённым моделям, для которых интегральные и разностные операторы заменяются дифференциальными операторами с малым параметром при старших производных. Такие модели называются слабо нелокальными. При рассмотрении достаточно больших областей материала (нулевое приближение) должен осуществляться предельный переход к локальной? теории, уже не содержащей никаких масштабных параметров. Этим; свойством локальности, то есть возможностью рассматривать «бесконечно малые» элементы, среды; обладают все классические модели механики сплошных сред. Различают также среды простой и сложной структуры. В первом случае единственной кинематической переменной является вектор смещения, полностью определяющий состояние среды. Соответствующей силовой переменной являются объёмные и поверхностные силы. Для описания среды сложной структуры дополнительно вводится набор микровращений и микродеформаций разных порядков, характеризующих внутренние степени свободы, и соответствующие им силовые микромоменты. Интегральными характерстиками микровращений и микромоментов является поле вращений и поле моментов. Потребность в написании предлагаемой работы возникла в связи с необходимостью изложения кинематического подхода для более точного расчёта кинематики деформирования и напряжённого состояния современных технологических материалов, обладающих однородной микроструктурой. Представляет интерес также оценка погрешности расчётов с использованием классических математических моделей механики сплошных сред, обусловленная приближённым характером описания кинематики однородных материалов с микроструктурой. Основным пунктом несоответствия между классическими моделями сплошной среды — идеально упругий материал, пластический материал, идеальная жидкость, вязкая жидкость, идеальный газ и целый ряд других моделей - и реальными материалами с однородной микроструктурой, является отсутствие в классических математических моделях сплошной среды безразмерного характерного параметра микроструктуры (hiL) [49, 51].
Под представительным элементом А V будем понимать такой объём материала, содержащего достаточно большое количество микроструктурных элементов, что механические свойства этого объёма AV и механические свойства материала в целом - совпадают. Характерный линейный размер h микроструктуры может иметь размеры порядка от линейных размеров кристаллов и мельче, до линейных размеров блоков горных пород в разных задачах. Как уже отмечено ранее, одним из основных подходов для описания материалов с учётом их однородной микроструктуры является рассмотрение свойств микроструктуры путём введения микроповоротов (скоростей поворотов) в. точке пространства и связь этой классической кинематики — перемещение частицы и её поворот, деформация (скорость перемещения и собственная угловая скорость частицы, скорость деформаций) с силовыми характеристиками элемента - тензором напряжений и тензором моментных напряжений [46, 47, 48, 174]. Характерный размер микроструктуры в таком подходе связывают с моментом инерции характерного объёма микроструктуры, который входит в динамическое уравнение моментов. Этот подход великолепно развит в работах Эрингена А. К., Булыгина А. Н., Коссера Е., Аэро Э. Л, Николаевского В. Н. и др. Другой подход в теории упругости связан с учётом влияния на деформацию в точке пространства не только близлежащих элементов, но и более отдалённых, что математически отражается введением в упругий потенциал W не только градиентов перемещений первого порядка, но и градиентов второго порядка. Это направление учёта микроструктуры материала в кинематике связывают с работами Кунина И. А. В предлагаемой диссертационной работе для учёта микроструктуры материала вводится представительный объём AV = h3 и кинематическая характеристика деформирования - тензор деформаций — вводится с учётом величин 0[h2), которые автоматически ведут к учёту градиентов второго порядка от классического тензора деформаций и, следовательно, учёта градиентов третьего порядка от вектора перемещений. Введение1 в рассмотрение тензора деформации с учётом характерного размера (h/L) микроструктуры ведёт к учёту повышенного порядка градиентов перемещений в реологических уравнениях упругого материала.
Решение системы уравнений для средних по слою перемещений
В последние десятилетия вопрос осреднения параметров многокомпонентных материалов: грунтов, горных пород и т.д. с учетом собственного вращения частиц и наличия моментных напряжений глубоко исследован в работах Шемякина Е.И. [104, 105], Николаевского В.Н. [60], Ревуженко В:Ф. [70]; Вервейко Н.Д. [20, 19]. Отметим, что?в монографии-[70] приведено более 300 ссылок на публикации. Широкое применение теория структурно-неоднородных и микрополярньгх сред находит в механике горных пород, зернистых и сыпучих материалов» В. [53, 54] предложена5 модель деформации микроструктуры грунта, связывающая условия на границах пробы с изменением состояния контактов на поверхности наибольших касательных напряжений. Рассчитано изменение числа упругих и пластических контактов в процессе одноосного сжатия пробы и энергетическая кривая взаимодействия глинистых частиц. Выявлено циклическое изменение реакции пробы при постоянной скорости деформации. В работе [131] предлагается некоторое развитие теории предельного состояния грунтов с целью учета влияния их структуры, при этом пористость грунта характеризуется с помощью функционала; параметры.которого могут быть определены экспериментально. Авторы [123] анализируют связь между микроструктурой и изменением объема зернистых мягких глин. Грунт моделируется как двумерная пористая матрица, содержащая круглые поры. Показано, что объем уменьшается за счет коллапса порі Разрушение пор начинается, как только напряженное состояние, вычисляемое методом граничных элементов, приближается к критерию разрушения Треска. Исследование горных пород и грунтов приводит к рассмотрению многокомпонентных пористых сред [146; 156, 116, 11]. В [116] представлена теория композитных материалов, состоящих из двух изотропных составных частей, упругие характеристики которых определяются соотношениями Гассмана.
Контакт между пористыми насыщенными материалами может быть "спаянным", т. е. сплошным, без каких-либо нарушений в виде трещин и пор, "неспаянным" или "частично спаянным". Эффективные напряжения-зависят не только от изменений характеристик всего выделенного объема, среды (объема пор, процентного содержания жидкости), но определяются и изменениями в каждой- отдельной компоненте: Получены выражения для объемных модулей упругости композитного материала с перечисленными типами контактов. В работе [146] изложены теоретические предпосылки» уточненного учета влияния кластерной природы микроструктуры и множества случайно распределенных микропор. Выявлена потребность учета ячеистой мелкопористой структуры металлической пены и конструкционных материалов в задачах анализа показателей деформируемости и прочности. Проведен анализ соотношения- микро- и макропоказателей в программных испытаниях на растяжение. В работах [59, 112, 147, 158, 169]- используются методы конечных элементов (МКЭ) для исследования течения и деформирования сред с учетом их микроструктуры и различного рода микроконтактных взаимодействий частиц. Для учета приобретенной анизотропии таких материалов-конструируются модели из микроплоскостных элементов [159]. Bf [78, 124, 134] решаются задачи с учетом различного рода упаковок из частиц разного диаметра, при этом различаются связи между напряжениями и деформациями в случаях растяжения или сжатия. В» связи с ростом инженерных разработок в области авиа-космических технологий отмечается возрастание требований к моделям для описания технологических процессов обработки металлов, в связи с чем возникает необходимость формулировки определяющих соотношений, учитывающих эволюцию микроструктуры [168, 111, 178]. В-[168] описаны, особенности формирования дислокационной субструктуры при монотонном и сложном нагруженшг при больших деформациях. Приведены кинетические уравнения, описывающие эволюцию внутренних переменных. Во многих работах последнего времени- детально изучено поведение микроструктуры материалов при различных внешних условиях [25, 132, 125, 144, 176, 157, 151]. В [157] отмечено влияние термообработки- на микроструктуру суперпластических сплавов; О бсуждается эффект памяти формы, с учётом микроструктуры материалов. В [151] -построена самосогласованная модель для- перехода от зависимости, напряжение-деформация на уровне зерен к соответствующей зависимости на поликристаллическом-уровне. Отмечено хорошее согласование результатов численных расчетов-с имеющимися экспериментальными данными. Особого внимания заслуживают исследования [120, 165] в которых в микрополярной теории Коссера разделяются уровни взаимодействия в гранулированной среде на макроуровень и микроуровень с учетом на микроуровне градиентов тензоров напряжений и деформаций макроуровня [64, 85, 106, 107, 108]. Авторы [120] развивают этот подход для описания поведения гранулированных материалов, рассматривая их как совокупность сферических частиц разных размеров. Локальный масштаб относится- к среднему диаметру частиц, макромашстаб - к размеру статистически представительного объема, в котором рассматриваются- обычные переменные, характерные для- сплошной среды. Устанавливаются соотношения между локальными и обычными глобальными переменными, в частности - тензорами напряжений и деформаций. Приводятся примеры численного моделирования; двухосных испытаний методом дискретных элементов.
С применением подобного подхода, в [153] построена статистическая модель для определения напряжения текучести в . зависимости от распределения размеров: кристаллических зерен. Получена универсальная зависимость для напряжения текучести от. размера зерещ включающая участок упрочнения и разупрочнения; Даны, дополнительные соотношения, определяющие материальные константы через физические параметры-материала. Модель показывает, что фаза упрочнения не обязательно ограничена размером- зерен, так как в некоторых материалах упрочнение существует И; в нанокристаллических процессах. Достоверность предлагаемой? модели: иллюстрируется- сравнением с экспериментальными данными. В [148]. получены; выражения связывающие макроскопические напряжения; и деформации с контактными силами и смещениями; частиц: Авторы- [112] провели теоретический? анализ поведения массивов? сыпучих материалов? с учетом; их: микроструктуры; т., е.\ положения- и геометрии-каждого ! зерна; смещений: между зернами; контактных взаимодействий и минерального состава зерен.. Следует отметить особый класс задач, связанный с влиянием микроструктурных параметров на разрушение материалов [14, 113, 117,119, 121, 126, 128j 135, 136, 141, 150]. В [141] проведена серия экспериментов, в которой исследовано влияние микроструктуры осадочных горных пород на их прочность и изломостойкость. Показано, что прочность образцов в зависимости от их микроструктуры может различаться более чем вдвое. В [121]; отмечается зависимость макроскопического; поведения» поликристаллов от характеристик межзёренных связей. Авторы [113]{ Изложили обобщение и развитие ранее полученных результатов по серии вычисоительных. экспериментов с целью выявления характерных показателей, микроструктурного повреждения поликристаллических тел. Ввели уточнённую расчётную модель зарождения и распространения межзёренного дефекта с учётом деформируемости межзёренных границ. В работе [135] предложена новая схема оценки взаимодействия микродефектов, где вводится тензор четвёртого ранга, который описывает действительное расположение микродефектов, в твёрдом теле.
Сдвиг прямолинейной полосы с учётом микроструктуры материала при наличии поворота представительного элемента - на жёсткой границе
Экспериментально изучены явления распространения нагружения в зернистых средах [35, 145, 164]. Определена усредненная скорость распространения волн по месторасположению волнового фронта во времени. В качестве результата получено, что скорость распространения зависит от упаковки и направления распространения. В1 случае наличия обжимающего давления скорость возрастает. Общая теория решения задач, связанных с существованием ударных волн, хорошо развита в [43, 75, 76]. При решении одномерных и многомерных задач широко используют численные методы [15, 57, 66], метод распада произвольного разрыва [17], конечно-разностные методы [15, 21, 66]. Одним из наиболее экономичных численным и в тоже время приближенным методом является лучевой метод [16, 68] - приближенный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора для построения систем гиперболических уравнений в частных производных в окрестности фронтов. В более общем случае решение представляется в виде ряда по множеству обобщенных функций с носителями на подвижной поверхности, которая отделяет невозмущенную область пространства от возмущенной [26, 36, 109]. В,механике и волновой динамике часто исследуются экспериментально и теоретически задачи о проникании твердых тел в грунт: [1, 10, 24, 44, 62, 72, 127, 133, 139, 142, 143, 173, 180]. Предлагаются аналитические модели ударного вбивания свай в грунт [44, 117]. А также методика прогнозирования дальностей проникания ударников в грунт, которая предполагает .разделение силы на лобовую и боковую составляющие [62]. Рассматриваются результаты исследования динамических свойств грунтов [63]; коэффициентов затухания механических колебаний, динамических модулей упругости при сдвиге, влияние импульсного напряжения на деформируемость грунтов, реакции грунтов на кратковременную нагрузку [ПО]. Из всех жидких материалов с микроструктурой можно выделить важный класс широко распространенных материалов - "суспензий" — жидкостей с недеформируемым наполнителем, "микроморфных" жидкостей, входящих в- обширный класс структурно-неоднородных материалов. В качестве реальных прототипов таких, материалов можно привести1 вязкие жидкости- с наполнителем в виде твердых частиц различного характерного размера /« L . Моделирование и исследование течения материалов с микроструктурой в рамках механики сплошных сред имеет давнюю историю.
Расчет эффективных физических параметров (коэффициентов вязкости, сжимаемости и др.) жидкостей с наполнителями, суспензий имеет важное значение для расчета параметров течения. С механической точки зрения концентрация частиц в суспензии существенно влияет на поведение отдельных частиц и среды в целом. Так при малых концентрациях твердых частиц их поведение — скорость перемещения и угловая скорость вращения мало отличаются от течения жидкости и совпадают со скоростью жидкости v и ее угловой скоростью вращения o)=(rotv)l2. При увеличении концентрации частиц следует учитывать отличие скорости перемещения частиц и их угловые скорости вращения от соответствующих параметров течения жидкости. Общая теория микроморфных жидкостей представляет собой сложную математическую модель и ее использование связано с большими математическими трудностями. Наиболее доступной в плане решения задач прикладного характера является теория микрополярных жидкостей развитая в работах [4, 5, 130]. Различные теории жидких материалов с микроструктурой, построенные независимо друг от друга разными способами имеют общее, а именно: введение, наряду с полем скоростей, НОВОГО ПОЛЯ МИКрОВраЩеНИЙ ф Ф (rotv)/2. В последние годы теория структурно-неоднородной и в частности микрополярной жидкости находит широкое применение для описания1 движения крови в сосудах различного сечения [155, 158] и движения биологической жидкости (смазки) в суставах человека. Наряду с исследованием материалов с микроструктурой, имеющей характерный размер и 0,1 -1 мм и выше, в последнее время возрос интерес к неоднородным материалам, у которых величина параметра h на порядки меньше [42, 56, 65, 71, 114, 115, 129, 154, 166, 179, 181]. В [13] указано, что усовершенствование структуры материалов на различных масштабных уровнях, которые осуществляются с помощью микро- и нанотехнологии, предоставляет широкие возможности для повышения показателей физико-механических и прочностных характеристик материалов и параметров конструкций.
Поэтому актуальна задача о построении моделей и соотношений механики сред с учетом иерархии их структуры для исследования взаимодействия между разномасштабными составляющими компонентами материалов. В [181, 65] показано, что микроструктура влияет на макроповреждение материалов. В [179] рассматривается влияние формы зерен на поля мезоскопических напряжений. В работах [114, 115] авторы исследуют задачу по определению показателей напряженно-деформированного состояния при поперечном изгибе микро-балок, составленных из поликристаллов, средние размеры которых имеют одинаковый порядок с размерами поперечного сечения балки. Показано, что при наличии симметрии ниже третьего порядка напряженно-деформированное состояние микро-балки оказывается зависящим от расположения кристаллов внутри балки. В [154] построена модель термопластичности поликристаллического материала при больших деформациях. Приведены классические и обобщенные (слабые) постановки краевых задач на макро- и микроуровне. Постановка краевой1 задачи на макроуровне содержит уравнения баланса количества движения, кинематические соотношения, уравнения баланса энергии, начальные и. граничные условия. Полагается, что каждой частице . макроконтинуума, ставится в соответствие частица микроконтинуума (с присущей ей микроструктурой), состояние которой» описывается соответствующими непрерывными полями напряжений и перемещений; при этом поле перемещений полагается состоящим из однородной и неоднородной составляющих. Тензор напряжений на макроуровне определяется осреднением по объему микрочастицы тензора микронапряжений. Takahashi Kunihiro в своей статье [166] использует аналогичный подход: точкам континуума сопоставляются мезодомены - области пренебрежимо малого объема, в которых задаются физические величины. Эти области призваны связать микроскопический уровень описания физических величин с макроскопическим. Такие представления вносят в классические уравнения теплопроводности, диффузии, уравнения равновесия деформируемого тела дополнительные члены, повышающие порядок дифференциального уравнения по координатам и называемые автором нелокальными эффектами. Уточнения понятий сделаны и для физических величин высших порядков, в частности, для напряжений высших порядков. Непосредственным смещением времени в физических законах повышен в уравнениях порядок дифференцирования по времени.
Сжатие (растяжение) цилиндрического упругого слоя
Известно, что при. оценке погрешности решения какой-либо модельной задачи по отношению к измеряемым, наблюдаемым явлениям всю погрешность г можно представить в виде суммы погрешности самой модели ru, погрешности метода.решения математической задачи rvp и его численной реализации гч, г = гч +гир +гч. Как правило, при исследовании реальных задач забывают о погрешности самой модели, а увеличение точности математического решения не увеличивает точности самого модельного представления. Поэтому важным остается момент идентификации математической модели с реальным объектом или явлением, а также вопрос измерения кинематических и силовых параметров явления. Особенно противоречивым остается вопрос об определении кинематических характеристик течения - деформации и скорости деформации для микроструктурных материалов. С точки зрения механики сплошных сред вопрос решен давно - это малые деформации и скорости деформации, сколь угодно малого материального элемента AV, вычисляемые по формулам в форме Альманси и др. При исследовании материалов с микроструктурой формальное применение механики сплошных сред сразу дает погрешность математической модели в виде величины 1-го или более высокого порядка по h, т.к. в уравнениях движения и в соотношениях Коши величины такого порядка малости отброшены, а использование мер конечных деформаций не устраняет противоречия двухкомпонентный материал — "сплошная среда". Поэтому представляет интерес учета в кинематике и уравнениях движения характерных размеров микроструктуры до более высоких порядков, чем Л1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы обусловлена влиянием микроструктуры на характер деформирования и напряжённое состояние материалов (горные породы, мелкозернистые материалы, наноструктуры и т. д.) при упругом-деформировании тел. Микроструктура материалов. влияет на их упругое локальное поведение в области больших градиентов напряжений и деформаций, а также на поведение материала вблизи границ области приложения нагрузок, что ведёт к изменению кинематики деформирования среды и влияет на глобальное деформированное состояние упругих тел. В частности, учёт микроструктуры материала, его структурированности, ведёт к изменению параметров устойчивости тел различной геометрии.
Расчёты, проводимые на основе классической модели деформировния упругих тел, не содержат микроструктурных параметров, и поэтому, при применении проведённых расчётов к реальным задачам имеет место так называемая «неустранимая погрешность». При этом уточнение численных алгоритмов решения- сложных задач не ведёт к уменьшению погрешности математической модели упругого деформирования по отношению к реальным объектам. Для построения математических моделей течения и деформирования материалов с учётом микроструктуры используют несколько подходов. Один из них состоит в представлении физических законов в дискретном виде, их разложении в ряды Тейлора с учётом величин до некоторого порядка h" по характерному размеру микроструктуры. Другой подход состоит в представлении математической модели, заданной в дифференциальной форме, в разностном виде на сетке с шагом И, и построении разностного аналога (непрерывной задачи) с учётом величин до некоторого порядка h". Построенные уравнения носят наименование «квазиупругих», «квазигазодинамических», и т.п. В предлагаемой работе проводится в рамках механики сплошных сред использование уточнённых кинематических параметров деформирования материала для анализа статических задач деформирования упругих тел. При этом среда состоит из дискретных элементов с характерным размером- h, и представительный объём AV»h3 не может быть, неограниченно малым. Используемый подход позволяет привести- оценку погрешности моделирования деформирования таких материалов. Влияние характерного размера микроструктуры детально изучалось.в задачах гидродинамики микрополярных жидкостей и деформирования твёрдых тел (Е.И. Шемякин, А.Ф. Ревуженко, В.Н. Николаевский, И.А. Кунин, Э.Л. Аэро, А.К. Эринген, X. Бок, Г.Ф. Филатов, Н.Д. Вервейко и др.). В газовой динамике учёт микроструктуры и диссипации на микроуровне исследовался в связи с построением устойчивых конечно-разностных схем (Б.Н. Четверушкин, В. И. Попов, А.А. Самарский, А.В. Гулин и др.). Тем не менее, несмотря на проведённые исследования, необходимость в изучении задач, связанных с учётом микроструктуры материала при упругом деформировании тел, и разработке новых более эффективных аналитических и численных методов их решения остаётся актуальной.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры теоретической и прикладной, механики Воронежского государственного университета, в рамках-темы: «Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов решения статических и динамических задач механики деформируемых сред сложной структуры» (код по ГАСНТИ 30.19.23, 30.19.29). Цель и задачи работы. Целью проведённой работы является учёт характерных размеров h микроструктуры среды в кинематике деформирования упругих тел путём уточнения тензора деформаций, а также оценка влияния параметра h на напряжённо-деформированное состояние материала. Поставленная цель достигается посредством: 1) построения линейного и нелинейного тензоров малых и больших деформаций с учётом характерного размера h микроструктуры; 2) построения системы уравнений деформирования упругого материала с учётом параметра h, и построения дополнительных граничных условий, обусловленных микроструктурой; 3) построения аналитического или численного решения граничных задач: a) сдвиг полосы»из упругого материала с учётом микроструктуры; b) цилиндрический сдвиг кольца из упругого материала с учётом его микроструктуры; c) растяжение (сжатие) цилиндрического упругого кольца с учётом микроструктуры материала. 4) исследования устойчивости упругих стержней с учётом микроструктуры материала и расчёта критической силы. Методами исследования, используемыми в диссертации, являются классические подходы построения математических моделей деформируемых сред, аналитические и численные методы решения систем уравнений в частных производных, метод малого параметра (асимптотического разложения), а также методы аппроксимации? сеточных или дискретно задаваемых функций в пространстве непрерывного аргумента, методы прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений, методы программирования численных алгоритмов в среде Borland Delphie 7.0.
