Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейные эффекты в задачах о равновесии упругих тел канонической формы 42
1.1. Автоматизация полуобратного метода нелинейной теории упругости 42
1.2. Особенности нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении 46
1.3. Анализ эффектов второго порядка в задаче кручения нелинейно-упругого вала 57
1.4. Чистый изгиб нелинейно-упругой панели 69
1.5. Потеря устойчивости при кручении 94
Глава 2. Явление потери устойчивости при растягивающих на грузках в сжимаемых нелинейно-упругих телах 101
2.1. Типы диаграмм простого растяжения 101
2.2. Анализ бифуркаций. Плоская задача 109
2.3. Анализ бифуркаций в задаче о растяжении цилиндра 115
2.4. Неоднородная деформация 119
Глава 3. Задачи нелинейной теории упругости для тел с изолированными дефектами 134
3.1. Теорема Вейнгартена в плоской нелинейной теории упругости 134
3.2. Решение задачи о дисклинации в полулинейном материале при помощи уравнения совместности 149
3.3. Изолированная дисклинация в цилиндре из материала Блейт-ца и Ко 158
3.4. Влияние клиновой дисклинации на изменение длины сплошного цилиндра 164
3.5. Винтовая дислокация в полом цилиндре из сжимаемого нелинейно-упругого материала 170
Глава 4. Разрывные решения задач нелинейной теории упругих дислокаций 183
4.1. Винтовая дислокация в сплошном цилиндре из материала Блей-тца и Ко 183
4.2. Разрывное решение задачи о клиновой дисклинации для материала Блейтца и Ко 191
4.3. Разрывные решения задач о дислокациях для несжимаемых материалов 194
4.4. Учет поверхностной энергии в задачах о кавитации на оси изолированного дефекта 210
Глава 5. Изолированные дислокации в нелинейно-упругих телах с микроструктурой 217
5.1. Моделирование микроструктуры материала в рамках континуальной механики 218
5.2. О влиянии микроструктуры на эффект Пойнтинга 224
5.3. Теорема Вейнгартена для сред с микроструктурой 231
5.4. Частные решения задач об изолированных дефектах в нелинейно-упругом континууме Коссера 237
Глава 6. Равновесие и устойчивость пластинок и гофрированных мембран 252
6.1. Большие деформации осесимметричных гофрированных мембран 254
6.2. Устойчивость и закритическое поведение гофрированных мембран 259
6.3. Модельные задачи 266
6.4. Равновесие безмоментной пластинки, содержащей клиновую дисклинацию 282
6.5. Равновесие и устойчивость пластинки с дисклинацией при учете изгибной жесткости 289
Заключение 297
Литература
- Особенности нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении
- Анализ бифуркаций в задаче о растяжении цилиндра
- Решение задачи о дисклинации в полулинейном материале при помощи уравнения совместности
- Разрывное решение задачи о клиновой дисклинации для материала Блейтца и Ко
Введение к работе
Актуальность темы. Учет нелинейности является важным требованием к математическим моделям современной механики сплошной среды, применяемым для изучения новых конструкционных материалов, описания поведения мягких биологических тканей и их заменителей искусственного происхождения и т.д. На передний план при этом выходит проблема выбора самой модели, которая позволила бы корректно описывать поведение исследуемого материала в реальных условиях. Учет больших деформаций, для описания которых необходимо привлекать аппарат нелинейной теории упругости, приводит к тому что проверка адекватности каждой такой модели требует решения целого набора сложных нелинейных задач, даже корректный вывод математической постановки которых представляет самостоятельную непростую проблему. Поэтому актуальной задачей современной механики является разработка системы автоматизации анализа задач нелинейной теории упругости, пригодных для моделирования как стандартного набора экспериментов, так и новых экспериментальных методик по верификации математических моделей и определению их параметров.
Наряду с классическими моделями теории упругости все большую актуальность приобретают модели, позволяющие в рамках единого континуального подхода учитывать важные дополнительные эффекты, в частности, связанные с микроструктурой рассматриваемых тел и материалов.
Важным и распространенным элементом микроструктуры твердых тел являются дефекты типа дислокаций и дисклинаций. Концепции и представления, основанные на дислокационном подходе, используются в совершенно разных областях механики, физики, теории и технологии жидких кристаллов, химии и даже биологии. В последние годы возникли новые приложения дислокационных представлений, связанные с проблемами нанотехнологий: дислокации играют существенную роль в механическом поведении нанотрубок и наностержней. Важнейшей частью математического аппарата, используемого для описания механический полей дислокационного происхождения, является теория дислокаций Вольтерра. Учет в этой теории нелинейных эффектов позволяет избавиться от ряда недостатков линейной теории упругости и гарантировать математическую корректность постановок целого ряда задач.
Другим распространенным элементом микроструктуры реальных материалов является микронеоднородность. Потребность в учете микронеоднородности возникает, в частности, при описании зернистости поликристаллических материалов, полимеров и композитов, взвесей, жидких кристаллов, геофизических и некоторых биологических структур и образований. Для ее учета в рамках механики сплошной среды широко используется модель микрополярного тела, или континуума Коссера, то есть среды с моментными
напряжениями и вращательными степенями свободы. Новая волна интереса к моделям механики микрополярных сплошных сред связана, прежде всего, с потребностями наномеханики в моделях упругого поведения объектов, учитывающих структуру материала; востребованы они и во многих разделах биомеханики.
Наиболее существенное различие между результатами классической теории упругости и теории, учитывающей моментные напряжения, наблюдается в тех случаях, когда напряженное состояние в пределах тела меняется очень значительно, например, в угловых точках, вершинах трещин, на линиях дислокаций и дисклинаций и в окрестности других дефектов. Этим объясняется актуальность использования теорий, учитывающих моментные напряжения, при анализе задач теории упругих дислокаций и дисклинаций.
Для приложений в нанотехнологиях оказалось важным изучение дислокаций и дисклинаций не только в трехмерных телах, но и двумерных – пластинах, пленках и т.п. Возможность существования дисклинаций в двумерных кристаллах была изучена на самом раннем этапе развития теории дисклинаций в связи с изучением структуры вирусов и биологических мембран. В этой связи большой интерес представляют модели оболочек, учитывающие физическую и геометрическую нелинейность, а также разработка новых эффективных методов расчета тонких высокоэластичных конструкций, работающих в области больших деформаций, в том числе в околокритических и закритических областях, и их применение для решения модельных и прикладных задач. Исследование задач об устойчивости пластинок с дислокациями и дисклинациями при различных подходах к описанию поведения их материалов актуально, в частности, в связи с использованием упругих моделей для описания дисклинаций в графитовых нанопластинках.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании и развитии математических моделей, описывающих нелинейно-упругие свойства материалов и конструкционных элементов. Работа направлена на решение следующих четырех взаимосвязанных и взаимодополняющих задач.
-
Решение новых задач об изолированных дефектах – дислокациях и дисклинациях – в упругих телах, испытывающих конечные деформации. Изучение явлений неустойчивости в форме кавитации на оси изолированного дефекта, а также исследование задач об устойчивости пластинок с дефектами при различных подходах к описанию поведения материала этих пластинок.
-
Анализ расширения классических моделей нелинейной теории упругости путем включения в них слагаемых, описывающих эффекты микроструктуры; разработка методов численного и аналитического исследования задач для таких моделей.
-
Изучение диапазонов применимости как классических, так и усовершенствованных моделей упругих сред для описания поведения реальных кон-
струкций и их элементов при отказе от ограничений на величину деформации; получение новых теоретических данных для проведения анализа по разграничению конструкционной неустойчивости и неустойчивости материала.
4. Разработка и развитие методов идентификации параметров математических моделей, описывающих механические свойства материалов и конструкций, испытывающих большие деформации.
Научную новизну составляют следующие выносимые на защиту результаты, полученные автором.
-
Разработаны алгоритмы автоматизации полуобратного метода нелинейной теории упругости, позволившие создать программный продукт для численно-аналитического исследования краевых задач о равновесии и устойчивости нелинейно-упругих тел канонической формы.
-
Для ряда моделей сжимаемых нелинейно-упругих материалов исследованы эффекты второго порядка в задачах о кручении упругого вала и чистом изгибе панели. Предложена модификация полуобратного представления деформации изгиба, пригодная для применения метода разложения по параметру. Полученные аналитические выражения относительного изменения толщины стержня при изгибе позволили сформулировать и решить задачу по определению упругих постоянных второго порядка на основе трех статических экспериментов по растяжению, кручению и чистому изгибу образцов из сжимаемого нелинейно-упругого материала.
-
Изучено явление неустойчивости при растягивающей нагрузке в сжимаемых нелинейно-упругих телах.
-
Для различных моделей упругого континуума доказаны теоремы Вейн-гартена, и на этой основе показано существование дефектов типа дислокаций Вольтерра не только в классических, но и в микрополярных нелинейно-упругих средах. Решен ряд новых задач о равновесии упругих тел, содержащих изолированные дефекты.
-
Впервые обнаружены и проанализированы разрывные решения в задачах о равновесии цилиндра с винтовой дислокацией и клиновой дисклинацией для сжимаемого нелинейно-упругого материала. В случае несжимаемых материалов сформулировано общее интегральное соотношение, позволяющее по аналитическому выражению функции удельной потенциальной энергии определять возможность существования для данного материала разрывных решений задачи о равновесии цилиндра, содержащего изолированный дефект. Предложена и апробирована схема учета влияния поверхностного натяжения и микроструктуры материала на возможность существования разрывных решений и их характеристики.
-
Решен ряд новых задач о равновесии, устойчивости и закритическом поведении нелинейно-упругих гофрированных мембран и круговой пластинки, содержащей изолированную дисклинацию.
Достоверность результатов обеспечивается точной постановкой двумерных и трехмерных задач нелинейной теории упругости; математически корректным сведением этих задач к задачам меньшей размерности; строгостью использованного математического аппарата; совпадением для некоторых частных случаев найденных результатов с известными; переходом построенных решений в предположении малости деформационной характеристики или параметра дефекта в известные решения линейной теории упругости; совпадением асимптотических и численных результатов.
Научная и практическая значимость. В диссертационном исследовании решается важная фундаментальная проблема механики деформируемого твердого тела, связанная с разработкой общей теории и методов решения задач деформирования и устойчивости упругих тел, испытывающих большие деформации. Полученные результаты об эффектах второго порядка и устойчивости деформируемых тел при растягивающих напряжениях представляют интерес для разработки новых экспериментальных методов испытания материалов. Результаты исследований могут быть использованы для дальнейшего развития нелинейной теории сред с микронеоднородностями и дефектами различной природы, а также для разработки эффективных методов расчета процессов нелинейного деформирования современных материалов и конструкций с учетом микроструктуры. Кроме того, они могут найти применение в различных областях физики и механики прочности, для построения определяющих соотношений упруго-пластических тел, при исследовании структуры кристаллов с дислокациями и дисклинациями методами молекулярной динамики.
Востребованность прикладных результатов исследования в части разработки методик оптимизации формы мембран реальным сектором экономики подтверждена участием диссертанта в качестве руководителя в хоздоговорных работах с фирмой "Эндресс + Хаузер"(Германия), связанных с созданием и использованием математических моделей поведения мембран датчиков давления при больших деформациях.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 6-й международной научно-технической конференции“Elastomers” (Рига, 1992 г), 1-й, 2-й, 3-й, 5-й, 8-й, 9-й, 10-й, 13-й, 14-й, 15-й, 16-й международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1995, 1996, 1997, 1999, 2002, 2005, 2006, 2009, 2010, 2011, 2012), межрегиональном семинаре «Математические модели и их свойства» (Таганрог, 1996), международной научной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Украина, Донецк, 1996), 6-й всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Ростов-на-Дону, 1997), 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Canada, Victoria, 1999), междуна-
родной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Новосибирск, 1999), XXXI, XXXII, XXXIV, XXXV, XXXVIII International Summer School-Conference “Advanced Problems in Mechanics” (Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2006, 2007, 2010), 14-й зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2005), IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела», посвященной памяти академика А.С. Космодамианского (Украина, Донецк-Мелекино, 2006), 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, 6-й, 7-й всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете» (Дивноморск, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2011, 2012), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н.Новгород, 2006), XXII International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Австралия, Аделаида, 2008), International Conference on Computational Sciences and its Applications (ICCSA 2008) (Италия, Перуджа, 2008), «Cosserat+100» – International Conference on the legacy of Theorie des Corps Deformables in the centenary of its publication (Франция, Париж, 2009), X Всероссийской конференции по биомеханике (Саратов, 2010), международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2010), French-German-Russian Seminar “Mechanics of Generalized Continua” (Германия, Виттенберг, 2011), Sixth M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics (США, Кембридж, 2011), EURO-MECH 527 Colloquium “Shell-like structures: Non-classical Theories and Applications” (Германия, Виттенберг, 2011), XXIII International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Китай, Пекин, 2012), Trilateral seminar “Generalized continua as models for materials with multi-scale effects or under multi-field actions” (Германия, Виттенберг, 2012), International Scientific Conference “Shell and Membranes Theories in Mechanics and Biology: from Macro- to Nanoscale Structures” (Белоруссия, Минск, 2013), Second China-Russia Conference “Numerical algebra with applications” (Ростов-на-Дону, 2013), 2nd International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (Босния и Герцеговина, Сараево, 2013), семинаре по нелинейной механике (рук. проф. Л.М. Зубов), семинаре «Современные задачи математического моделирования» (рук. проф. М. А. Сумбатян), научном семинаре кафедры теории упругости Южного федерального университета (рук. проф. А.О. Ватульян).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 44 работы, в том числе 18 статей в журналах, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ [2, 7–13, 16, 17, 19, 23, 25, 28, 29, 31, 34, 39] и две зарегистрированные программы для ЭВМ [27, 37]. Часть из этих работ выполнена в соавторстве с коллегами.
В работах [3, 11, 37, 39, 40, 42], посвященных различным аспектам автоматизации полуобратного метода нелинейной теории упругости, разработке
и использованию связанного с этим программного обеспечения, диссертанту принадлежит общая постановка задачи автоматизации, выбор среды реализации, разработка базовых алгоритмов генерирования основных краевых задач, а также уравнений нейтрального равновесия для исследования устойчивости упругих тел на основе бифуркационного подхода. Т.В. Гавриляченко принадлежит проведение численных расчетов в задаче кручения вала из сжимаемого нелинейно-упругого материала, А.М. Жеребко принадлежит разработка системы взаимодействия среды компьютерной алгебры Maple с конечно-элементным пакетом FlexPDE, Л.П. Обрезкову принадлежит проведение численных расчетов для ряда двумерных задач нелинейной теории упругости, О.Г.Пустоваловой принадлежит разработка документации и справочной системы созданного программного комплекса, Д.Ю. Сухову принадлежит разработка интерфейса вычислительной системы с использованием технологии Maplets, Н.Ю.Шубчинской принадлежит реализация в среде Maple бифуркационного анализа и проведение численных расчетов по определению точек бифуркации на диаграмме нагружения для задачи изгиба панели.
В работах [4, 5, 7, 16, 41], посвященных исследованию нелинейных эффектов в задаче кручения, диссертанту принадлежат постановка задачи и выбор метода исследования, вывод аналитических зависимостей для основных деформационных характеристик в рамках теории эффектов второго порядка. Т.В.Гавриляченко принадлежит численное исследование нелинейных краевых задач для конкретных моделей материалов, В.В. Калашникову принадлежит численное исследование линеаризованной задачи кручения методом однородных решений и методом конечных элементов в среде пакета FlexPDE.
В работах [14, 15], посвященных изучению эффектов второго порядка в задаче о чистом изгибе нелинейно-упругой панели, диссертанту принадлежит постановка задачи, выбор метода исследования, модифицированное полуобратное представление и методика построения аналитических приближений на основе разложения решения в ряд. В.В. Калашникову принадлежит реализация аналитических разложений в среде компьютерной алгебры и проведение вычислительных экспериментов.
В работах [1, 2], посвященных исследованию устойчивости растяжения нелинейно-упругого цилиндра, диссертанту принадлежит постановка задачи, выбор метода исследования и получение ряда аналитических результатов о расположении точек бифуркации на диаграмме нагружения. М.В. Александ-рину принадлежит численное исследование линеаризованных краевых задач для конкретных моделей материала, а также конечно-элементный анализ общей нелинейной задачи растяжения цилиндра из материала Блейтца и Ко.
В работах [12, 13, 44], посвященных построению нелинейной теории дислокаций Вольтерра для классических и микрополярных сред, Л.М.Зубову принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования, идея доказа-
тельства обобщения теоремы Вейнгартена для трехмерной нелинейной среды с моментными напряжениями и рассмотрение случая непрерывно распределенных дислокаций. Диссертанту принадлежат доказательство теоремы Вейнгартена для обычной и микрополярной нелинейно-упругой среды в плоском случае, а также решение конкретных задач о равновесии тел с изолированными дефектами.
В работах [28, 36], посвященных исследованию напряженно-деформированного состояния нелинейно-упругого цилиндра с внутренними источниками напряжений, диссертанту принадлежит постановка задачи, выбор метода исследования, аналитические результаты об изменении длины цилиндра с клиновой дисклинацией. И.В.Позднякову и Н.Ю. Шубчинской принадлежат асимптотические результаты, полученные для задачи о дислокации, А.А. Резниченко и О.Г.Пустоваловой – результаты численных расчетов.
В работе [10], положившей начало исследованиям разрывных решений задач теории дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругих телах, Л.М.Зубову принадлежит общая постановка задачи, В.А. Еремееву – способ учета поверхностной энергии, Н.Я.Чернеге – численный анализ влияния осевого сжатия/растяжения цилиндра на радиус образующейся полости, диссертанту – использование краевых задач равновесия для вывода уравнений для радиуса образующейся полости при использовании моделей материала Бартенева-Хазановича для клиновой дисклинации и Черных–Шубиной для винтовой дислокации.
В работах [29-35], посвященных построению и развитию общей теории разрывных решений нелинейной теории упругих дислокаций, диссертанту принадлежит постановка задачи и выбор методов исследования, решение задач об изолированных дефектах для сжимаемых материалов, результаты, связанные с учетом поверхностного натяжения, общая методика получения интегральных соотношений для радиуса полости в случае несжимаемых материалов и ее обобщение на случай континуума Коссера. О.Г. Пустоваловой принадлежит реализация общей методики для частных моделей материалов, проведение численных расчетов для классического и микрополярного континуума.
В работах [8, 9, 27], посвященных анализу больших деформаций нелинейно-упругих гофрированных мембран, И.П. Гетману принадлежит постановка задачи, Ю.А. Устинову – выбор метода исследования и формулировка основной системы разрешающих уравнений, И.А.Панфилову – компьютерная реализация численных методов решения нелинейных краевых задач и разработка программного интерфейса, Г.О. Мостипану – проведение цикла расчетов по определению точек бифуркации для пологого артифицированно-го сферического купола. Диссертанту принадлежит реализация бифуркационного метода исследования устойчивости, а также численно-аналитические
схемы исследования закритического поведения гофрированных мембран.
В работах [38, 43], посвященных решению задач нахождения оптимальной формы гофрировки нелинейно-упругой мембраны, диссертанту принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования, Т.В. Сигаевой – компьютерная реализация нескольких вариантов генетического алгоритма минимизации целевой функции применительно к задаче оптимального проектирования.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 280 наименований. Общий объем диссертации 325 страниц.
Особенности нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении
Соответствующая задача для сжимаемых материалов получила существенно меньшее внимание, прогресс здесь достигнут лишь для частных случаев нелинейно-упругих потенциалов. Так, в монографии А. И. Лурье [112] описано построение точного решения нелинейной плоской задачи о чистом изгибе полосы из полулинейного материала в условиях конечных деформаций. Большой раздел, посвященный анализу изгиба для ряда частных моделей сжимаемых сред, содержится в монографии Р. Огдена [234]. Аналитическое выражение, описывающее распределение поля перемещений в изгибаемой полосе при использовании упрощенного варианта материала Блейтца и Ко, представлено в [170]. Обсуждение проблемы изгиба содержится также в работах [158, 167]. Анализ плоской задачи об изгибе предварительно сжатого или растянутого призматического бруса в рамках теории малых деформаций, наложенных на конечную, представлен в работе [49]. Что касается пространственного чистого изгиба, то соответствующая теория для больших деформаций призматического бруса была разработана Л. М. Зубовым и А. А. Зелениной. Предложенный в их работе [46] новый вариант полуобратного метода позволил свести трехмерную задачу изгиба к двумерной нелинейной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения бруса. Построенное сведение позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия во всем объеме тела, а также граничным условиям на его боковой поверхности; граничные условия на торцах бруса выполняются в интегральном смысле.
Исследование эффектов второго порядка при изгибе связано, как правило, с рассмотрением предварительно изогнутых тел (см., например, [163]). Это может быть следствием наличия некоторой особенности в стандартном полуобратном представлении, описывающем деформацию тела при изгибе, существенно затрудняющей предельный переход в недеформированное состояние прямого стержня, и, как следствие, препятствующей применению для исследования изгиба метода разложения по параметру.
В настоящей работе эта особенность задачи изгиба выявлена и подробно проанализирована. На основе анализа точного решения задачи об изгибе для полулинейного материала предложена модификация полуобратного представления деформации чистого изгиба стержня. Пригодность этой модификации подтверждена исследованием эффектов второго порядка в плоской задаче чистого изгиба полосы для трех моделей нелинейно-упругого поведения: полулинейного материала, материала Блейтца и Ко и материала Мурнагана. В работе получены аналитические выражения, описывающие нелинейный эффект изменения толщины стержня при изгибе, которые могут быть использованы в экспериментах по определению упругих постоянных второго порядка.
В разделе 1.5 представлена схема метода наложения малой деформации на конечную [113], использующаяся в настоящей работе для исследования устойчивости на основе бифуркационного подхода. Для вывода линеаризованной системы используется разработанное программное обеспечение. С его помощью производятся также операции разделения переменных, в результате которых анализ устойчивости сводится к поиску нетривиальных решений однородной краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Данный подход аналогичен применявшемуся в работах [45, 61, 66]. Общая схема проиллюстрирована анализом устойчивости скручиваемого вала. Сравнение критических значений параметра кручения проведено для двух вариантов постановки задачи: в первом случае цилиндр может менять свою длину без ограничений, во втором предполагается наличие осевой силы, препятствующей его удлинению. Установлено, что разница в критических значениях для этих задач возникает лишь в случае толстых цилиндров.
Описанная схема исследования устойчивости применяется в главе 2 для изучения явления потери устойчивости при растягивающих нагрузках в сжи-17 маемых нелинейно-упругих телах.
Задача математического описания процесса образования шейки в классическом эксперименте по одноосному растяжению стержня является, пожалуй, одной из наиболее подробно изучавшихся проблем механики деформируемого твердого тела. Для описания этого явления использовано большое количество различных математических моделей теории упругости, пластичности, вязкоупругости, модели многоуровневых и структурно неоднородных сред, теория фазовых превращений; накоплена обширная база экспериментальных данных. Тем не менее, до сих пор внимание исследователей привлекают вопросы, связанные, например, с местом локализации шейки и ее формой, приемлемостью той или иной модели для ее описания и т.п.
Использование нелинейной теории упругости в данных задачах весьма распространено и рассматривается многими авторами как подход, позволяющий проанализировать и определить некие «спусковые механизмы» процесса шейкообразования. Кроме того, чисто упругие модели часто признаются вполне адекватными для описания процессов так называемого активного на-гружения.
Анализ бифуркаций в задаче о растяжении цилиндра
Сказанным определяется интерес к изучению подобных моделей методами теории упругости. Линейная теория дислокаций в оболочках освещена в [145], нелинейные ее аспекты — в [35, 36, 53, 180]. В настоящей главе представлены результаты решения задачи о равновесии и устойчивости нелинейно-упругой пластинки с клиновой дисклинацией. Анализ основывается на нелинейных уравнениях теории пластин и оболочек типа Лява, сформулированных в [47].
В разделе 6.4 в рамках безмоментной теории установлено, что в случае положительной дисклинации возможны две осесимметричные формы равновесия. Напряженное состояние первой из них – плоской – совпадает (с точностью до стандартной замены постоянных, связанной с переходом от плоской деформации к плоскому напряженному состоянию) с напряженным состоянием нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией. Другая равновесная поверхность представляет собой конус, а напряжения в ней вообще отсутствуют. Найдена неосесимметричная форма равновесия безмоментной пластинки с отрицательной дисклинацией.
В разделе 6.5 показано, что уравнения равновесия нелинейной момент-ной теории при всех значениях параметра дисклинации допускают «плоское» решение (прогиб тождественно равен нулю), совпадающее с решением безмо-ментной теории. Проведено численное исследование его устойчивости.
В заключении дана сводка основных результатов и выводов, полученных в диссертации. Научную новизну составляют следующие выносимые на защиту результаты, полученные автором.
1. Разработаны алгоритмы автоматизации полуобратного метода нелинейной теории упругости, позволившие создать программный продукт для численно-аналитического исследования краевых задач о равновесии и устойчивости нелинейно-упругих тел канонической формы.
2. Для ряда моделей сжимаемых нелинейно-упругих материалов исследованы эффекты второго порядка в задачах о кручении упругого вала и чистом изгибе панели. Предложена модификация полуобратного представления деформации изгиба, пригодная для применения метода разложения по параметру. Полученные аналитические выражения относительного изменения толщины стержня при изгибе позволили сформулировать и решить задачу по определению упругих постоянных второго порядка на основе трех статических экспериментов по растяжению, кручению и чистому изгибу образцов из сжимаемого нелинейно-упругого материала.
3. Изучено явление неустойчивости при растягивающей нагрузке в сжимаемых нелинейно-упругих телах.
4. Для различных моделей упругого континуума доказаны теоремы Вейн-гартена, и на этой основе показано существование дефектов типа дислокаций Вольтерра не только в классических, но и в микрополярных нелинейно-упругих средах. Решен ряд новых задач о равновесии упругих тел, содержащих изолированные дефекты.
5. Впервые обнаружены и проанализированы разрывные решения в задачах о равновесии цилиндра с винтовой дислокацией и клиновой дисклинацией для сжимаемого нелинейно-упругого материала. В случае несжимаемых материалов сформулировано общее интегральное соотношение, позволяющее по аналитическому выражению функции удельной потенциальной энергии определять возможность существования для данного материала разрывных решений задачи о равновесии цилиндра, содержащего изолированный дефект. Предложена и апробирована схема учета влияния поверхностного натяжения и микроструктуры материала на возможность существования разрывных решений и их характеристики.
6. Решен ряд новых задач о равновесии, устойчивости и закритическом поведении нелинейно-упругих гофрированных мембран и круговой пластинки, содержащей изолированную дисклинацию.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 6-й международной научно-технической конференции“Elastomers” (Рига, 1992 г), 1-й, 2-й, 3-й, 5-й, 8-й, 9-й, 10-й, 13-й, 14-й, 15-й, 16-й международной научной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1995, 1996, 1997, 1999, 2002, 2005, 2006, 2009, 2010, 2011, 2012), межрегиональном семинаре «Математические модели и их свойства» (Таганрог, 1996), международной научной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела» (Украина, Донецк, 1996), 6-й всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Ростов-на-Дону, 1997), 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Canada, Victoria, 1999), международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Новосибирск, 1999 г), XXXI, XXXII, XXXIV, XXXV, XXXVIII International Summer School-Conference “Advanced Problems in Mechanics” (Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2006, 2007, 2010), 14-й зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2005), IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела», посвященной памяти
Решение задачи о дисклинации в полулинейном материале при помощи уравнения совместности
Предположим далее, что материальное тело занимает в отсчетной конфигурации двусвязную область Эту область можно превратить в односвяз-ную, проведя разрез вдоль некоторой кривой а. В полученной односвязной области интеграл (3.22) не зависит от пути интегрирования и является однозначной функцией точки УИ(СС). Обозначим эту функцию через х (С,0. Возвращаясь к двусвязной области, рассмотрим в ней путь интегрирования, состоящий из кривой, соединяющей точки М0 и М и не пересекающей разреза о", и замкнутого не стягиваемого в точку контура, состоящего из п полных оборотов в положительном направлении и пересекающего разрез и в точке Мі (Мї, МІ) (рис. 3.1). Решение уравнений (3.21) будет многозначным: это утверждение не верно, так как его подынтегральное выражение имеет разные (при К т 0) предельные значения на разных берегах разреза. Не завися от пути интегрирования, соединяющего точки М,\ и ]\Л\ и целиком лежащего в области с разрезами, интеграл (3.26), вообще говоря, зависит от положения точки М.\ на разрезе а. Тем не менее, ниже будет показано, что выражение (3.25) для z от положения точки М.\ не зависит. После превращения области в односвязную путем проведения разреза неоднозначность функций X и z устраняется, но предельные значения этих Представляя этот интеграл в виде интегралов по отдельным кривым, согласно определению L и учитывая, что на противоположных берегах разреза значения х связаны соотношениями (3.27), а компоненты U\l и U i непрерывны в двусвязной области, находим
Поскольку данное выражение совпадает с разностью M1 - M2, получаем, что не зависит от точки на разрезе. Отсюда следует и независимость величины от способа проведения разреза . Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что значение одинаково для любых двух разрезов 1 и 2, превращающих область в односвязную.
Рассмотрим сначала случай, когда разрезы пересекаются хотя бы в одной точке. Выбирая в обоих случаях именно эту точку в качестве точки M1 и учитывая независимость от положения точки на разрезе, находим, что значения , вычисленные с использованием этих разрезов, совпадают. Случай непересекающихся разрезов может быть легко сведен к рассмотренно-144 му путем проведения дополнительного разреза а , превращающего область в односвязную и пересекающего каждый из проведенных разрезов. Тогда /3(аі) = Р((т ) = (3(а2), что и требовалось доказать.
Выражение в квадратных скобках равно нулю, что означает независимость функции z от выбора на разрезе точки для проведения замкнутого контура. Таким образом, соотношение (3.28) означает, что положение одного берега разреза в деформированном состоянии отличается от положения другого конечным плоским перемещением абсолютно твердого тела, причем вещественная постоянная К представляет собой угол конечного поворота, а комплексная постоянная /3 определяет относительное поступательное смещение берегов разреза. Фактическая реализация такого деформированного состояния требует, вообще говоря, добавления или удаления материала. Соотношение (3.28) выражает обобщение на нелинейный случай теоремы Вейнгартена классической линейной теории упругости.
При непрерывном поле тензора деформации, удовлетворяющем уравнениям совместности, и при наличии на разрезе двусвязной области, превращающем область в односвязную, скачка вектора перемещений, соответствующего жесткому смещению, в линейной теории упругости говорят о дислокации Вольтерра [15, 118, 127]. Аналогично этому будем говорить, что в двусвязном нелинейно-упругом теле содержится дислокация Вольтерра, или изолированный дефект, если постоянные векторы b и ш не равны одновременно нулю. Характеристики изолированного дефекта b и ш, как и в линейной теории [15], назовем соответственно вектором Бюргерса и вектором Франка дислокации. Формулы (3.24), (3.31), (3.32) дают выражение характеристик изолированного дефекта в плоском случае через поле тензора конечных деформаций.
Случай, когда неодносвязной является область, занимаемая материальным телом в текущей конфигурации, а требуется определить положение частицы в недеформированном состоянии по известному, т.е. заданному как функция эйлеровых координат, полю тензора деформаций Альманзи [113] 2 Т рассматривается аналогично. Отсчетная и текущая конфигурация при этом меняются ролями, а скачок вектора перемещения на разрезе неодносвязной области в этом случае определяется соотношением
Сформулированные выше результаты для двусвязной области после очевидных уточнений сохраняют свою силу для многосвязных областей. Для превращения области в односвязную в таком случае требуется проведение двух или более разрезов; обозначим эти разрезы в случае TV-связной области через 0"i,... , o/v_i. Многозначное выражение для функции z в этом случае существенно усложняется; несмотря на это на каждом из разрезов справедливы соотношения вида где индекс (і) соответствует номеру разреза, а постоянные величины /3 и К{1) определяются по формулам, аналогичным (3.24) и (3.29) (или (3.31)), в которых замкнутый контур пересекает только разрез а , причем лишь в одной точке. Определенный интерес представляет и утверждение, обратное теореме Вейнгартена. Сформулируем его следующим образом. Пусть z((,() многозначная в двусвязной плоской области V функция, формула скачка которой есть где /3 - комплексная, а К - вещественная постоянная. Пусть, кроме того, функция z дважды непрерывно дифференцируема по обоим аргументам в каждой односвязной подобласти области V. Тогда тензорнозначная функция G((, С), компоненты которой в базисе (3.8) определены соотношениями (3.13), будет непрерывно дифференцируемой функцией во всей области V. Докажем сначала следующую лемму. Пусть /(С, С) - многозначная в двусвязной плоской области V функция, скачок которой определяется соотношением
Разрывное решение задачи о клиновой дисклинации для материала Блейтца и Ко
Классическая механика сплошной среды, в частности, традиционная теория упругости, базируется на модели простого материала [141], для которой плотность свободной энергии и напряжения в каждой точке полностью определяются значениями компонент градиента деформации и температуры в этой точке; тензор напряжений Коши при этом является симметричным. Модель простого материала прекрасно описывает поведение сплошных сред в большинстве случаев, однако существуют ситуации, когда необходим учет микроструктуры материала. Такая потребность возникает, в частности, при описании зернистости поликристаллических материалов, полимеров и композитов, взвесей, жидких кристаллов, геофизических и некоторых биологических структур и образований [121]. Для математического описания физических и механических свойств перечисленных выше сред часто используются континуальные теории, основывающиеся на понятии моментных напряжений и вращательного взаимодействия частиц.
Новая волна интереса к моделям механики сплошных сред, основанных на гипотезе о кинематической независимости полей перемещений и поворотов, введенным в употребление братьями Коссера более ста лет назад, связана, прежде всего, с потребностями наномеханики в моделях упругого поведения объектов, учитывающих структуру материала; востребованы они и во многих разделах биомеханики, см. например [202, 223, 255, 278].
Одна из актуальных задач, связанных с внедрением и использованием таких моделей, состоит в нахождении таких способов воздействия на упругое тело, которые приводят к напряженно-деформированным состояниям, суще-217 ственно различным в классической теории упругости и в теории сред Коссера. Такие ситуации могут служить, в частности, основой для создания экспериментальных методик идентификации параметров определяющих соотношений сред с микроструктурой и верификации используемых моделей.
В настоящей работе представлено несколько постановок задач о больших деформациях упругого цилиндра в рамках нелинейной микрополярной теории упругости. Задачи различаются вариантами полуобратного представления перемещений и функций удельной потенциальной энергии среды Кос-сера. Причины напряженно–деформированного состояния цилиндра могут быть обусловлены как внешними факторами (растяжение, кручение), так и внутренними дефектами – дислокациями и дисклинациями на оси цилиндра. Во всех случаях полуобратное представление содержит две функции, подлежащие определению (радиальное перемещение и угол микроповорота частицы тела), которые зависят только от одного скалярного параметра – радиуса точки в недеформированном состоянии.
Материал, представленный в данной главе, основывается на работах автора [58, 83, 88–90, 92, 218].
Моделирование микроструктуры материала в рамках континуальной механики В модели континуума Коссера [6, 100, 120] каждая частица сплошной среды имеет степени свободы абсолютно твердого тела. Положение частицы в деформированной конфигурации определяется радиус-вектором R и собственно ортогональным тензором H, называемым ниже тензором микроповорота. В соответствии с общими представлениями механики сплошной среды функцию удельной (на единицу объема отсчетной конфигурации) потенци 218 альной энергии деформации упругого континуума следует принять в виде W = W{R, grad Я, Н, gradH), (5.1) где grad=r s ; rk = \ r s-rk = 8s k) s,k = 1,2,3, xa - лагранжевы координаты, г - радиус-вектор частицы в отсчетной конфигурации, grad - оператор градиента этой конфигурации.
Согласно принципу материальной индифферентности [113] потенциальная энергия упругого тела не должна изменяться при жестких движениях среды. Инвариантность W относительно поступательных движений тела приводит к заключению, что W не может зависеть от аргумента Дв (5.1). Требование инвариантности относительно вращений системы отсчета наблюдателя приводит к условию W( grad R Q, H Q, grad H Q) = W{ grad Я, H, grad H) (5.2) для любых ортогональных (Q"1 = QT) тензоров Q. Положив в (5.2) Q = Нт, получим W = W(gmdR- HT, gradH Нт). (5.3) В (5.3) учтено, что Н Нт = I, где I единичный тензор. Следовательно, соотношение (5.3) необходимо для выполнения условия (5.2). Легко проверить, что оно также достаточно для инвариантности энергии относительно жестких движений. В силу ортогональности Н тензоры (дН/дхк) Н антисимметричны, и их можно представить через векторы Lk [47, 113] —т Нт = -I х Lk = -Lk х I. Введя в рассмотрение тензор (точнее, псевдотензор) второго ранга L = rkLk, будем иметь gradH-HT = -LxI. (5.4) 219 Согласно (5.3), (5.4) упругий потенциал W будет функцией двух тензоров второго ранга: тензора Y= gradRHT, (5.5)
называемого далее первой мерой деформации, и тензора L, называемого первым тензором изгибной деформации. Кроме того, удельная энергия W в общем случае может зависеть от некоторых постоянных (т.е. не меняющихся в процессе деформации) тензоров, характеризующих анизотропию свойств среды и определяемых выбором отсчетной конфигурации. Для гиротропной среды W будет гиротропной функцией от Y и L, т.е. удовлетворяет требованию W(QT YQ,QT LQ) =W(Y,L), (5.6) где Q –любой собственно ортогональный тензор. Воспользовавшись представлением собственно ортогонального тензора H через вектор конечного поворота [47] l 2 (l + I ІХ0-І+-ІХ0 H = l + -Ix 0 I- Ix 2 при помощи (5.4) получим і (5.7) L = (Rrad0)- 1 + (grad0)- (l + -lxO\\ Є2 = вв. (5.8) При линеаризации для случая малых деформаций тензоров Y и L относительно 0 и grad и, где и = R — r вектор перемещения, придем к тензору деформации е и тензору изгиба-кручения grad0, используемым [120] в линейной моментной теории упругости
