Содержание к диссертации
Введение
1 Описание геометрии и упругих свойств кристаллов с ГПУ струк турой с использованием парного силового и моментного взаи модействий 23
1.1 Геометрия ГПУ и ГЦК структур 23
1.2 Упругие характеристики металлов с неидеальной ГПУ структурой 26
1.2.1 Однопараметрическая силовая модель 26
1.2.2 Двухпараметрическая силовая модель 29
1.2.3 Моментная модель 31
1.2.4 Результаты расчетов микроскопических упругих параметров 33
1.3 Описание геометрии кристаллов с неидеальной ГПУ структурой на основе парных потенциалов взаимодействия 35
1.3.1 Построение потенциала взаимодействия 35
1.3.2 Результаты расчетов параметров потенциала. Проверка устойчивости 41
1.3.3 Сравнение с ГЦК решеткой 44
2 Равновесие и устойчивость простых и сложных решеток при конечных деформациях на примере двумерной треугольной, ГЦК, ОЦКиГПУ решеток 46
2.1 Алгоритм исследования устойчивости сред с микроструктурой 46
2.2 Треугольная решетка 50
2.2.1 Геометрия 50
2.2.2 Условия устойчивости 51
2.2.3 О границах областей устойчивости 55
2.2.4 Произвольная аффинная деформация 59
2.3 ГЦК и ОЦК решетки 64
2.3.1 Растяжение и сжатие вдоль осей кубической симметрии . 64
2.3.2 Описание структурного перехода ГЦК – ОЦК 68
2.3.3 Произвольная аффинная деформация ГЦК решетки . 70
2.4 Геометрически идеальная ГПУ структура 71
2.4.1 Критерий устойчивости сложной решетки 71
2.4.2 Область устойчивости 73
Заключение 77
Приложения 81
A Некоторые сведения из прямого тензорного исчисления 81
B Вывод формулы для тензора 4Q0 для простой решетки 83
C Компоненты тензора 4Q для простой решетки 84
C.1 Треугольная решетка 84
C.2 ГЦК решетка 87
D Об определении модуля Юнга и модуля сдвига деформирован ной треугольной решетки 90
E Вывод формул для тензоров 4Q, 3Q, 2Q для сложной двухатом ной решетки 91
Список литературы 93
- Упругие характеристики металлов с неидеальной ГПУ структурой
- Результаты расчетов микроскопических упругих параметров
- Треугольная решетка
- Произвольная аффинная деформация ГЦК решетки
Введение к работе
Актуальность темы. Для обеспечения работоспособности материала и прогнозирования возникновения предельных состояний требуется построение моделей разрушения на разных масштабных уровнях с учетом внутренней структуры материала. При этом и с научной, и с практической точки зрения особое значение приобретает изучение поведения материалов с идеальной геометрической структурой. Это объясняется тем, что кристаллическая структура характерна для металлов, которые широко используются в технике, а их прочность существенно зависит от различного рода дефектов. Поэтому все большее применение находят монокристаллы, характеризующиеся достаточно малым числом дефектов, что позволяет повысить как прочность конструкции, так и существенно уменьшить метрологические погрешности, что особенно важно для упругих элементов приборов.
Одной из возможных причин разрушения материала является потеря устойчивости его внутренней структуры. Потеря устойчивости может также привести к структурному переходу, в том числе в другое устойчивое состояние. Поэтому актуальной является задача исследования устойчивости материала относительно произвольной вариации напряженно-деформированного состояния: при приближении к критическим деформациям материал может быть устойчив по отношению к приращению напряжений или деформаций вдоль пути нагруже-ния, но при этом неустойчив относительно других возмущений. Исследование устойчивости сред с микроструктурой при конечных деформациях само по себе актуально в связи с тем, что в классической механике деформируемого твердого тела не существует общепринятого определения устойчивости и ее потери.
Так как для построения модели материала на микроуровне методами механики дискретных сред используются потенциалы, характеризующие взаимодействие частиц в узлах кристаллической решетки, а большинство известных в литературе потенциалов изначально разрабатывалось для описания физико-химических, но не механических свойств твердых тел, актуальной является также задача построения моделей, обладающих предсказательной силой в отношении механических параметров, не участвующих в калибровке модели.
Методика исследований. В данной работе применяются методы механики деформируемого твердого тела и аппарат, необходимый для решения задач нелинейной теории упругости; строится связь между дискретным и континуальным описанием. Объектом исследования является идеальная бесконечная кристаллическая решетка, как двумерная треугольная, так и трехмерные ГЦК (одноатомная) и ГПУ (двухатомная), и энергетически эквивалентная им сплошная среда. При этом предполагается, что дефекты отсутствуют, объемные силы и тепловые эффекты не рассматриваются. Считается, что частицы, формирующие регулярную решетку и находящиеся в ее узлах, взаимодействуют посредством парных потенциалов: силовых, зависящих только от относительного смещения частиц, и моментных, зависящих также от относительного поворота частиц. Это означает, что связь между частицами имеет продольную (силовое взаимодействие) и поперечную (моментное взаимодействие) жесткости. При переходе к сплошной среде используется правило Коши-Борна и его модификация для сложных решеток, устанавливающие связь между макродеформацией материального объема и градиентом перемещения частиц. Таким образом устанавливается и связь между упругими характеристиками на микро-
и макроуровне. Предсказательная сила модели проверяется путем расчета не использовавшихся при калибровке упругих модулей и сравнения полученных значений с экспериментальными данными. При исследовании устойчивости используется метод наложения малой деформации на конечную.
Цель работы. Целью данной работы является построение моделей для описания механических характеристик деформируемых твердых тел с регулярной микроструктурой, определение упругих свойств кристаллов с использованием дискретных методов механики деформируемого твердого тела и исследование устойчивости внутренней структуры кристаллов при конечных деформациях.
Научная новизна. Новизну работы составляют следующие положения, выносимые на защиту:
-
Получена аналитическая связь между упругими характеристиками металлов с ГПУ структурой на микро- и макроуровне при силовом и момент-ном взаимодействии. Показана эффективность моделирования ковалентно-сти связи при помощи моментного взаимодействия для описания упругих свойств.
-
Предложен парный силовой потенциал, обеспечивающий устойчивое равновесие геометрически неидеальной ГПУ структуры, корректное соотношение между упругими модулями и энергетическую выгодность по сравнению с более плотноупакованной ГЦК структурой; подобраны параметры для ряда металлов.
-
Метод наложения малой деформации на конечную применен к исследованию устойчивости материалов с микроструктурой. Для простых решеток при силовом взаимодействии показана эквивалентность используемого критерия условию сильной эллиптичности уравнений равновесия и положительности второй вариации потенциальной энергии деформации в случае жесткого нагружения.
-
Аналитически построена область устойчивости треугольной решетки в пространстве конечных деформаций; выявлен структурный переход от вертикальной ориентации решетки к горизонтальной; дана трактовка границ области устойчивости в терминах упругих модулей деформированной среды.
-
Получены области устойчивости ГЦК решетки в шестимерном пространстве деформаций. Выявлен структурный переход, связанный со сменой ориентации ГЦК решетки, и переход ГЦК-ОЦК.
-
Получена область устойчивости идеальной ГПУ структуры в трехмерном пространстве деформаций; выявлен структурный переход ГПУ-ГЦК. В качестве критерия использовалась положительность второй вариации потенциальной энергии деформации.
Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой постановкой математических задач, использованием апробированных физических моделей и проверена путем
сравнения с экспериментальными данными (равновесие и устойчивость ГПУ структур при малых деформациях) и с результатами проведенного на кафедре вычислительного эксперимента (устойчивость треугольной и ГЦК решеток).
Практическая значимость работы. Полученные выражения, связывающие упругие модули на микро- и макроуровнях, позволяют вычислить упругие характеристики эквивалентной сплошной среды и могут применяться для верификации и сравнения результатов молекулярно-динамического моделирования с расчетами на основе механики сплошных сред, в том числе в пакетах прикладных программ. Также может быть получена трактовка уже имеющихся экспериментальных результатов, например, в области создания новых конструкционных материалов. Предложенный потенциал для описания взаимодействия частиц, составляющих решетку реальных геометрически неидеальных ГПУ металлов, может быть использован при проведении вычислительных экспериментов и аналитических исследований, причем использование радиуса обрезания, не превышающего удвоенного равновесного расстояния, в сочетании с простым видом формулы для силы взаимодействия позволяет значительно увеличить скорость выполнения численных расчетов. Разработанный подход к исследованию устойчивости материалов с микроструктурой может быть применен для прогнозирования работоспособности элементов конструкций, для повышения достоверности расчетов по определению надежности конструкции при больших деформациях и для определения предельных нагрузок, диктуемых структурными превращениями, в том числе связанными с переходом в другое устойчивое состояние. Это в дальнейшем даст возможность улучшить массогабаритные характеристики конструкции и получить оптимальное соотношение между прочностью и жесткостью элементов, что в свою очередь позволит повысить экономичность, так как значительная часть стоимости конструкции приходится на стоимость материала.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), кафедры Теоретическая механика СПбГПУ, Института Геохимии и Аналитической Химии им. В.И. Вернадского РАН (Москва), Физического факультета университета г. Севилья (Испания), а также на всероссийских и международных конференциях: Advanced Problems in Mechanics (Санкт-Петербург, 2008, 2009, 2011, 2012), Всероссийский форум студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и инновации в технических университетах» (2008), Международная научно-практическая конференция Неделя науки СПбГПУ (Санкт-Петербург, 2009, 2010), XIII Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (BEM-FEM 2009), Международная научная конференция по механике «Пятые Поляховские чтения» (2009), Международная научная конференция по механике «Шестые Поляховские чтения» (2012), 8th European Solid Mechanics Conference (ESMC 2012), Trilateral Scientific Seminar «Generalized Continua as Models for Materials with Multi-scale Effects or under Multi-field Actions» (2012), 84th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM 2013), European Congress and Exhibition on Advanced Materials and Processes (EUROMAT 2013).
Исследования автора на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ (08-01-00865-а, 09-01-12096-офи_м, 11-01-00809-а, 12-01-09221-моб_з, 12-05-90838-мол_рф_нр, 12-01-31297-мол_а) и премиями правительства Санкт-Петербурга победителям конкурса грантов для студентов, аспирантов вузов и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга (2008, 2011, 2012).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 работы, в том числе 6 статей в изданиях из перечня ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Работа содержит 104 страницы, 33 рисунка, 5 приложений, список литературы содержит 99 наименований.
Упругие характеристики металлов с неидеальной ГПУ структурой
Достоверность полученных результатов Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой постановкой математических задач, использованием апробированных физических моделей и проверена путем сравнения с экспериментальными данными (равновесие и устойчивость ГПУ структур при малых деформациях) и с результатами проведенного на кафедре вычислительного эксперимента (устойчивость треугольной и ГЦК решеток).
Практическая значимость работы
Полученные выражения, связывающие упругие модули на микро- и макроуровнях, позволяют вычислить упругие характеристики эквивалентной сплошной среды и могут применяться для верификации и сравнения результатов молекулярно-динамического моделирования с расчетами на основе механики сплошных сред, в том числе в пакетах прикладных программ. Также может быть получена трактовка уже имеющихся экспериментальных результатов, например, в области создания новых конструкционных материалов. Предложенный потенциал для описания взаимодействия частиц, составляющих решетку реальных геометрически неидеальных ГПУ металлов, может быть использован при проведении вычислительных экспериментов и аналитических исследований, причем использование радиуса обрезания, не превышающего удвоенного равновесного расстояния, в сочетании с простым видом формулы для силы взаимодействия позволяет значительно увеличить скорость выполнения численных расчетов. Разработанный подход к исследованию устойчивости материалов с микроструктурой может быть применен для прогнозирования работоспособности элементов конструкций, для повышения достоверности расчетов по определению надежности конструкции при больших деформациях и для определения предельных нагрузок, диктуемых структурными превращениями, в том числе связанными с переходом в другое устойчивое состояние. Это в дальнейшем даст возможность улучшить массогабаритные характеристики конструкции и получить оптимальное соотношение между прочностью и жесткостью элементов, что в свою очередь позволит повысить экономичность, так как значительная часть стоимости конструкции приходится на стоимость материала.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), кафедры Теоретическая механика СПбГПУ, Института Геохимии и Аналитической Химии им. В.И. Вернадского РАН (Москва), Физического факультета университета г. Севилья (Испания), а также на всероссийских и международных конференциях: Advanced Problems in Mechanics (Санкт-Петербург, 2008, 2009, 2011, 2012), Всероссийский форум студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и инновации в технических университетах» (2008), Международная научно-практическая конференция Неделя науки СПбГПУ (Санкт-Петербург, 2009, 2010), XIII Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (BEM-FEM 2009), Международная научная конференция по механике «Пятые Поляховские чтения» (2009), Международная научная конференция по механике «Шестые Поляховские чтения» (2012), 8th European Solid Mechanics Conference (ESMC 2012), Trilateral Scientific Seminar «Generalized Continua as Models for Materials with Multi-scale Effects or under Multi-field Actions» (2012), 84th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM 2013), European Congress and Exhibition on Advanced Materials and Processes (EUROMAT 2013).
Исследования автора на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ (08-01-00865-а, 09-01-12096-офи_м, 11-01-00809-а, 12-01-09221-моб_з, 12-05-90838-мол_рф_нр, 12-01-31297-мол_а) и премиями правительства Санкт-Петербурга победителям конкурса грантов для студентов, аспирантов вузов и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга (2008, 2011, 2012).
Результаты расчетов микроскопических упругих параметров
Рассмотрим равновесие решетки при взаимодействии отсчетного атома с 12 ближайшими соседями без учета влияния следующих атомов. Если ГПУ структура идеальна, то координационный тензор для 12 ближайших соседей отсчетного атома шаровой. Поэтому говорят, что они образуют первую координационную сферу. У реальных металлов асимметрия структуры вызывает асимметрию координационного тензора, делая его трансверсально-изотропным. Плоскость изотропии тензора совпадает с плоскостью слоев. Поэтому будем называть 12 ближайших соседей отсчетного атома первым координационным эллипсоидом.
Обратимся к рис. 7. Здесь обозначено: 0 — отсчетный атом, 1, 2, 3 — атомы, лежащие на первом, втором и третьем координационных эллипсоидах соответственно, 3a — атомы, при ( 1.33% (у всех металлов, отмеченных темно-серым на рис. 3 и у церия) лежащие между вторым и третьим координационными эллипсоидами; при ( 13% (у всех металлов, отмеченных светло-серым на рис. 3,
Рассматриваемые координационные эллипсоиды кроме церия) лежащие между третьим и четвертым координационными эллипсоидами. Металлов, у которых 1.33% ( 13%, не существует. Заметим, что в таблицах [2, 10] приводятся значения Ro и 77. Расстояния от отсчетного атома до атомов, лежащих на первом координационном эллипсоиде, равны Ro и Л, на втором — у Щ + R2, на третьем — RQV3 и Л/2RQ + Д2, до атомов 3a — T]RQ.
Векторы Єї — Єі2 определяют положение атомов, принадлежащих первому координационному эллипсоиду, віз — Єі8 — второму, eig — Єзв — третьему, Є37 и ез8 отвечают атомам 3a.
Согласно [24] тензор напряжений в простой решетке при парном силовом взаимодействии имеет вид а = —— у akF(ak)Gkek, (15) к 2VQ где F{r) = — П (г) — сила взаимодействия. В сложной решетке а = сг , где сг7 вычисляется по формуле (15). В случае двухатомной ГПУ решетки 7 = 2. Можно показать, что а і = (Т2. Поэтому условие равновесия ГПУ структуры при отсутствии внешних сил принимает вид [24] а = 0. (16)
Если бы речь шла об идеальной ГПУ структуре, то тензор напряжений был бы шаровым, а вместо одного тензорного уравнения, эквивалентного шести скалярным (так как а = сгт), получили бы одно скалярное уравнение. В силу особенностей ГПУ решетки тензор а содержит два слагаемых: перпендикулярной плоскости слоя, то есть орт оси симметрии координационного тензора. В положении равновесия а и (Jk должны обращаться в ноль.
Очевидно, что для идеальной решетки а = (Jk. Если принимать в рассмотрение только первый координационный эллипсоид, пренебрегая взаимодействием со следующими атомами, то а и (Jk определяются с использованием Єї — е\2 (14) из (15) по формулам: расстояния между отсчетным атомом и его ближайшими соседями, лежащими в том же слое, что и он, и лежащими в смежных слоях соответственно; г] = 2\/R2 /RQ — 1/3 — удвоенное расстояние между слоями. Будем считать, что взаимодействие осуществляется посредством парного потенциала, допускающего единственное положение равновесия F(a) = 0. Тогда из (182) следует, что
Таким образом, рассмотрение первого координационного эллипсоида не дает возможности описать геометрическую неидеальность ГПУ решетки с помощью «сферически-симметричной» силы взаимодействия.
Можно показать, что и в этом случае при взаимодействии посредством «сферически-симметричного» потенциала решение задачи приводит к тождественному равенству R = RQ. В этом можно убедиться, задав произвольные значения параметров парного потенциала и решив уравнения (16) при использовании (20) относительно неизвестных RQ и R. Полученный результат, по всей видимости, является следствием того, что координационный тензор, составленный из атомов второго координационного эллипсоида, является шаровым. Поэтому для описания геометрической неидеальности ГПУ структуры необходимо учесть большее количество координационных эллипсоидов.
Треугольная решетка
Таким образом, удается выявить физический смысл границ областей устойчивости, причем не только в терминах компонент тензора4Q (49,50), входящего в критерий, но и с помощью фундаментальных понятий из линейной теории упругости. При этом однозначно решается вопрос как с потерей устойчивости при гидростатическом сжатии, так и с промежуточной областью устойчивости.
Достоверность полученных результатов проверена путем сравнения с результатами проведенного на кафедре вычислительного эксперимента. Таким образом, описан структурный переход от одной ориентации решетки к другой (рис. 11). Этот результат, и в том числе вид потенциальной энергии деформации (рис. 18), согласуется с выводами [50], где для описания данного эффекта связи в треугольной решетке моделировались при помощи стержней, имеющих две равновесные длины. 2.2.4 Произвольная аффинная деформация
На рис. 19 изображена характерная часть треугольной решетки до и после деформации. Выделены оси, вдоль которых осуществляется жесткое нагруже-ние и отмечен угол сдвига. Отмечены основные размеры. До деформации углы OL\ = СЇ2 = 60. Из соображений симметрии и ввиду того, что изучается жесткое нагружение материала, будем рассматривать углы 0 ср 30.
Левая часть неравенства (55г) является формой четвертой степени, для которой не существует критерия положительной определенности в виде неравенств для коэффициентов. Прежде чем приступать к полному исследованию неравенства (55г) нужно учесть, что п\ и щ могут быть равны нулю. В этом случае получаем два условия: которые сразу позволяют сузить область начальных деформаций Єї, 2, tp. Предлагается два способа решения задачи.
1. Для каждой точки из трехмерного пространства начальных деформаций Єї, Є2-, ty? составить неравенство (55г), а потом проверить его смысл при разных тії и ri2. Кроме того, ввиду однородности и четной степени уравнения достаточно рассмотреть компоненты волновых нормалей из диапазона — 1 щ 1иО П2 1. Таким образом, потребуется меньшее число переборов параметров. Будем далее называть такой способ методом Монте-Карло.
2. Ввиду того, что рассматриваются только вещественные волновые нормали п, можно разделить неравенство (552) на п\. Получим задачу о том, при каких коэффициентах уравнение четвертой степени не имеет вещественных корней.
График функции, / (X) (60), представляет собой кривую, на бесконечности уходящую в положительную область, так как, согласно (59), А 0. Поэтому задача сводится к нахождению минимумов этой функции и требования, чтобы сама функция в точках минимума была положительной.
Рассмотрим производную функции / (X) (60) и приравняем ее к нулю: ААХ + 3DX + 2ВХ + Е = 0. (61) Имеем кубическое уравнение, которое может иметь либо один, либо три вещественных корня. Вещественные корни уравнения (61) отвечают стационарным точкам функции (60). Уравнение (61) будем решать по формуле Кардано для каждой точки из трехмерного пространства начальных деформаций Єї, 2, p.
К сожалению, при численном решении возникает проблема отделения комплексных корней от вещественных. Поэтому для построения области устойчивости предлагается и использовать метод Монте-Карло, и исследовать уравнения четвертой степени. Для уменьшения временных затрат методом Монте-Карло можно пользоваться для уточнения границ области.
На рис. 20 изображена область устойчивости. Частицы взаимодействуют посредством потенциала Морзе (47) с параметром $ = 6. Она симметрична относительно плоскости ср = 0 и повторяется с периодом ср = 60. Рассмотрим чистый сдвиг. Компоненты тензора напряжений Коши (51) с учетом двух координационных сфер имеют вид: Если подставить (47) и (54) в (62) при о"ц = о"22 = 0, то получится диаграмма нагружения, аналогичная рассмотренным в предыдущей части.
В представленной выше схеме деформирования (53) сдвиг накладывается на предварительно растянутую или сжатую вдоль осей 1 и 2 решетку. Рассмотрим теперь аффинное преобразование с деформационным градиентом:
Области устойчивости при произвольной аффинной деформации Видим, что в дополнение к двум основным и двум промежуточным областям, возникает еще одна область, не исчезающая при увеличении ширины потенциальной ямы. Исследование показало, что эта область соответствует структурному переходу от вертикальной ориентации решетки к вертикальной же при простом сдвиге на угол с тангенсом tg =
Произвольная аффинная деформация ГЦК решетки
В работе используется прямое тензорное исчисление [32, 17, 35, 7], позволяющее проводить преобразования с помощью тождеств, записанных в инвариантной форме и делающее выкладки более компактными.
Векторные величины обозначаются строчными буквами латинского алфавита а, шрифт прямой, жирный, тензорные величины — прописными буквами А. Ранг тензора обозначается верхним индексом, расположенным слева от тензора, 4Q и опускается в случае тензоров второго ранга. Тензором ранга п будем называть сумму объектов, состоящих из п упорядоченных векторов, связанных посредством операции тензорного умножения. Слово «упорядоченный» подчеркивает некоммутативность тензорного умножения. Тензоры ранга п образуют линейное пространство: сложение коммутативно, ассоциативно, выполняется дистрибутивность по числу и по тензору, умножение на число также ассоциативно; существует единичный элемент Е и нулевой элемент, состоящий из набора нулевых векторов. К скалярам можно относиться как к тензорам нулевого ранга, к векторам — как к тензорам первого ранга.
Существует три типа умножения векторов: скалярное а b (в результате получается число), векторное а х b (в результате получается вектор) и тензорное a (g) b (в результате получается диада, тензор есть сумма диад). Обычно знак тензорного умножения S опускают и пишут просто ab. Ввиду линейности пространства тензоров ранга п дальнейшие понятия будем вводить на примере диад, триад и т.д. Двойное скалярное произведение определяется как ab «cd = (b с) (а d). Аналогично тройное скалярное выглядит следующим образом abc def = (с d) (b є) (а f). Следом тензора второго ранга называется tr ab = а b. Определителем тензора второго ранга det А называется определитель соответствующей этому тензору матрицы.
По аналогии с векторами, в пространстве тензоров второго ранга существует базис из т2 диад, где т — размерность соответствующего векторного простран ства. Если, к примеру, векторный базис состоит из двух векторов Єї и Є2, то в тензорный базис войдут четыре диады ЄІЄІ, Є1Є2, Є2Є1 и Є2Є2. Например: аЬ = (ЙІЄІ + 22е2) (&lel + &2е2) = 2l&lelel + 2l&2ele2 + 22&le2el + 22&2е2е2 Из коэффициентов при базисных диадах можно составить матрицу. Определитель этой матрицы и есть определитель тензора второго ранга. Далее будет рассматриваться только ортогональный базис, то есть такой, что
Линейная операция, в результате которой векторы, образующие диаду, меняются местами, называется транспонированием и обозначается (ab)T = Ьа. Тензор второго ранга, который не меняется при транспонировании, называется симметричным. Если тензор второго ранга при транспонировании меняется на противоположный, то он называется антисимметричным. Любой тензор второго ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров единственным образом. Операция симметризации обозначается
Решим следующую задачу. Пусть материал находится в актуальной конфигурации. Наложим на него малый сдвиг. Очевидно, что как в тензоре напряжений Коши (51), так и в нелинейном тензоре деформаций (30), появятся диагональные компоненты. По определению из [32], в линейной теории отношение этих компонент и есть модуль сдвига G. Поскольку треугольная решетка анизотропна, то нужно рассмотреть два случая. Во-первых, на актуальную конфигурацию можно наложить сдвиг на малый угол #21, который описывает отклонение оси 2 от вертикали в сторону уменьшения угла между осями 1 и 2. Соответствующий модуль сдвига будем называть G\. Во-вторых, необходимо наложить сдвиг на малый угол #12, который описывает отклонение оси 1 от горизонтали в сторону уменьшения угла между осями 1 и 2 (получим модуль сдвига GQ). На самом деле задача симметрична. Можно в качестве отсчетной конфигурации выбрать вертикальную ориентацию треугольной решетки и рассмотреть сдвиг на угол #21. А можно выбрать горизонтальную ориентацию и рассмотреть уже сдвиг на угол #12, ведь в этом случае происходит поворот системы координат на 90.
В линейной теории упругости важную роль играет модуль Юнга, который также должен быть положительным. В актуальной конфигурации треугольная решетка анизотропна, поэтому будем иметь два модуля Юнга. Будем считать, что диагональные компоненты тензоров напряжений и деформаций связаны следующим соотношением: Наложим сначала дополнительную малую деформацию Ье\. Тогда по изменению компонент тензора напряжений найдем коэффициенты Сц и С21
Похожие диссертации на Равновесие и устойчивость кристаллических твердых тел при малых и конечных деформациях
