Содержание к диссертации
Введение
1 Равновесные центрально-симметричные двухфазные по ля деформаций 13
1.1. Равновесие двухфазных упругих тел в случае малых деформаций 14
1.2. Исследование неединственности равновесных центрально-симметричных двухфазных деформаций 17
1.3. Анализ диаграмм деформирования 20
1.3.1. Сплошной шар 21
1.3.2. Шар со сферической полостью 21
2 Исследование устойчивости равновесных двухфазных кон фигураций 31
2.1. Зарождение новой фазы 31
2.2. Линеаризованная краевая задача для двухфазного тела . 34
2.3. Устойчивость центрально симметричной деформации . 37
2.3.1. Устойчивость двухфазного сплошного шара 40
2.3.2. Устойчивость двухфазного шара с полостью или жестким включением в центре 44
2.3.3. Сравнение решений задачи о двухфазном композите и задачи с фазовыми превращениями 47
3 Построение зон фазовых переходов в случае малых деформаций 48
3.1. Исходные соотношения 49
3.2. Зоны ФП в случае изотропных фаз 54
3.2.1. Влияние параметров материала на вид зоны ФП . 54
3.2.2. Центрально-симметричные двухфазные поля деформаций и зона ФП 56
3.2.3. Возникновение слоя новой фазы при одноосном растяжении-сжатии 61
3.2.4. Эллипсоидальный зародыш и зона ФП 63
4 Фазовые превращения по механизму множественного возникновения слоев новой фазы 65
4.1. Исходные соотношения 66
4.2. Сопоставление траекторий деформирования по механизму возникновения слоев с зонами ФП в случае изотропных фаз 69
4.3. Зоны ФП и траектории деформирования при деформационных ФП 74
4.3.1. ЗоныФП 74
4.3.2. Траектории и диаграммы деформирования при деформационных фазовых переходах 81
Заключение 86
Приложение
- Исследование неединственности равновесных центрально-симметричных двухфазных деформаций
- Линеаризованная краевая задача для двухфазного тела
- Сравнение решений задачи о двухфазном композите и задачи с фазовыми превращениями
- Возникновение слоя новой фазы при одноосном растяжении-сжатии
Введение к работе
Актуальность. Исследования фазовых превращений в процессе деформирования твердых тел представляют актуальное научное направление, находящееся на стыке механики, физики твердого тела и материаловедения. Непрерывно возрастающий интерес к проблеме как в России, так и за рубежом, обусловлен следующими обстоятельствами. С фазовыми переходами (ФП), протекающими как при деформировании, так и при изменении температуры, связаны мартенситные превращения [17, 20, 24, 47, 48, 49, 103, 56, 4] и эффекты памяти формы в сплавах [27, 28, 30], а также ориентационные превращения в полимерах [3, 26, 65, 66, 70, 71, 72, 104]. Использование и проектирование функциональных (smart) материалов, которые в результате фазовых переходов могут нетривиально реагировать на внешние термомеханические воздействия, впрямую связано с пониманием и количественными оценками эффектов, вызванных фазовыми превращениями [30]. С различной локализацией деформаций вследствие структурных превращений связаны особенности реологического поведения материала и изменение характера разрушения в зависимости от вида напряженного состояния. Возникающие вследствие фазовых превращений внутренние напряжения [46] могут как инициировать, так и блокировать разрушение. Об интенсивности исследований свидетельствуют постоянно возрастающее количество публикаций и интерес, проявляемый к данной тематике на международных конференциях.
Вместе с тем, взаимосвязи ФП с процессами деформирования и разрушения в значительной степени остаются неясными или находятся на качественном уровне понимания. В настоящее время можно выделить два подхода к описанию ФП:
Разработка моделей, основанных на введении дополнительных параметров состояния, характеризующих те или иные особенности структуры материала "в среднем" (например, концентрация новой фазы), и формулировке соотношений для них (см., например, работы В.А. Лихачева, В.Г. Малинина, А.Е. Волкова, А.И. Разова и их соавторов, Г.А. Малыгина, К. Танаки, Д. Лагоудаса, Э. Патора (см. библиографию в [30]), А.А. Мовчана [31-36]). Экспериментальная проверка достоверности таких моделей и численные эксперименты позволяют выявить важные особенности деформационных процессов, связанных с фазовыми превращениями. Обладая определенной предсказательной силой, эти модели являются полезными для проведения инженерных расчетов. Вместе с тем, собственно двухфазная структура и детальное описание локальных полей напряжений при таком подходе остаются за рамками рассмотрения.
Явное введение в рассмотрение межфазных границ с учетом условий на границе фаз деформируемого материала и кинетики развития новой фазы. Такая постановка подразумевает описание двухфазных структур, возникающих при деформировании, и определение соответствующих локальных полей напряжений. Это новое направление механики, зародившееся в начале 80-х годов, позволяет непротиворечиво описывать ФП с точки зрения механики деформируемого твердого тела и, в то же время, использовать многие идеи классической теории фазовых переходов, восходящей к работам Дж. Гиббса [6]. Пионерами этого направления в России являются М.А. Гринфельд [7-11], В.И. Кондауров, Л.В. Никитин [21-23], Л.М. Трускиновский [50], В.Л. Бердичевский [1-2], Л.М. Зубов, В.А. Еремеев [12-16], [73, 74], А.А. Вакуленко [5], А.Б. Фрей-дин [25], [40-43], [52-55], [51-84], Н.Ф. Морозов, В.Г. Осмоловский [37-39], [44, 45]. Среди интенсивно возрастающего количества зарубежных публикаций можно выделить основополагающие работы Р. Джеймса [90, 91], Дж. Ноулса [93, 95], Дж. Болла [64], Р. Абейаратне [58-63], [101, 102], М. Гартина [67, 68], [85-89], Дж. Эриксена [75-78], Г. Пэрри [97], М. Пит-тери [98-100]. В русле этого современного и развивающегося направления механики деформируемого твердого тела и выполнена данная работа.
В развиваемом подходе при описании ФП используются следующие соображения.
1. Граница фаз упругого материала рассматривается как поверхность разрыва деформаций при непрерывном поле перемещений.
Для такого взгляда имеются как интуитивные, так и формальные основания. С одной стороны, изменение микроструктуры материала, сопровождающее ФП, порождает собственные деформации превращения и изменение модулей упругости, вследствие чего область новой фазы может рассматриваться как неоднородность с разрывным полем деформаций на границе.
С другой стороны, подобно тому как в классической теории ФП расслоение на фазы может быть связано с существованием в пространстве параметров состояния недостижимых областей неустойчивости материала, возникновение в упругом теле равновесного разрывного поля деформаций требует существования в пространстве деформаций областей неэллиптичности материала, в которых нарушается неравенство Адама-ра - необходимое условие устойчивости по отношению к бесконечно малым деформациям (Дж. Ноулс, Э. Стернберг [92, 94]). Это ограничение на определяющие соотношения материала приводит к диаграммам деформирования, аналогичным кривым Ван-дер-Ваальса при ФП "газ -жидкость".
2. На границе фаз в случае равновесия, помимо обычных кинематиче ского (сохранения сплошности) и силового (непрерывности усилия), ста вится дополнительное термодинамическое условие — аналог равенства химических потенциалов при равновесии фаз в теории Гиббса. Термо динамическое условие является дополнительным ограничением на воз можные разрывные решения. Оно было получено М.А. Гринфельдом из принципа Гиббса (условия стационарности энергии) [7, 11], Р. Джеймсом [90] и М. Гартином [86] как следствие локальной устойчивости двухфазного поля деформаций, а также получалось другими авторами (Л.Трус-киновский [50], Р. Фосдик [80], В.И. Кондауров, Л.В. Никитин [21], В.Г. Осмоловский [45]).
Как было уже сказано, равновесные границы фаз могут возникать не во всех материалах. В частности, требование неэллиптичности материала делает невозможным описание ФП в рамках традиционного приближения малых деформаций, когда плотность свободной энергии является непрерывно дифференцируемой квадратичной функцией линейного тензора деформаций. Вместе с тем ФП во многих материалах связаны именно с малыми деформациями. Поэтому в данной работе рассматриваются материалы с невыпуклыми зависимостями плотности свободной энергии от деформаций, моделируемыми набором квадратичных зависимостей (см. [54, 55]).
Система условий равновесия на границе фаз может быть удовлетворена не при всех деформациях и не всех ориентациях границы. Это обстоятельство приводит к понятию зоны фазовых переходов, введенному А.Б. Фрейдином и A.M. Чискисом [52, 53]:
Определение. Зона фазовых переходов (ФП) - область в пространстве деформаций, деформации из кот,орой могут сосуществовать на равновесной границе фаз.
Важность построения зоны ФП состоит в том, что:
Деформации вне зоны ФП не могут оказаться на границе фаз ни при каких условиях нагружения. Граница зоны ФП определяется исключительно свойствами материала и играет роль фазовой диаграммы или предельной поверхности пластичности в пространстве деформаций.
Различные точки границы зоны ФП соответствуют различным видам деформированного состояния. С другой стороны, различным точкам границы зоны соответствуют различные ориентации границы фаз по отношению к тензору деформаций и различные скачки деформаций.
Поэтому построение зоны ФП означает исследование влияния вида деформированного состояния на тип локализации деформаций вследствие фазовых превращений.
Зона ФП является своего рода "картой" в пространстве деформаций, на которой представлены все возможные для данного материала скачки деформаций на равновесных границах фаз и ориентации границы фаз. Построение таких карт, их исследование и сопоставление с траекториями деформирования и полями деформаций в различных двухфазных состояниях является одной из основных задач диссертационной работы.
5. Краевые задачи о двухфазных конфигурациях деформируемых тел являются задачами с неизвестной границей и могут иметь неединственное решение, когда одним и тем же граничным условиям соответствуют различные равновесные двухфазные структуры. Неединственность структур требует анализа устойчивости и оценок степени метастабиль-ности. При этом интерес представляют не только состояния, обеспечивающие глобальный минимум функционала энергии, но и локально устойчивые (метастабильные) состояния. Реализация того или иного состояния зависит от начальных условий и кинетики фазового превращения. Но априорные оценки различных равновесных решений могут делаться безотносительно кинетики превращения на основе анализа устойчивости двухфазных полей деформаций и энергетических изменений, вызванных фазовыми превращениями. Постановка и проведение соответствующего исследования также входит в основные задачи настоящей работы.
Целью работы является анализ неединственности и устойчивости равновесных двухфазных полей деформаций на примере центрально-симметричных полей и построение зон ФП для упругих материалов.
В задачи работы входит:
Исследование неединственности и устойчивости центрально-симметричных двухфазных полей деформаций в упругих телах.
Построение зон ФП в случае малых деформаций и анализ влияния параметров материала на вид зоны ФП.
Исследование типов фазовых границ в зависимости от параметров материала и деформированного состояния.
Соотнесение полей деформаций, возникающих в различных двухфазных конфигурациях упругих тел с зоной ФП.
Представление траекторий деформирования на зонах ФП. Построение соответствующих диаграмм деформирования упругих тел, претерпевающих фазовые превращения.
Научная новизна. В работе для конкретного класса упругих материалов проведено полное исследование всех возможных ориентации равновесных границ фаз и скачков деформаций на них. Развита сформулированная ранее концепция зон фазовых переходов и процедура их построения. Исследована зависимость формы зоны ФП от параметров материала, продемонстрировано, что зоны ФП могут быть как замкнутыми, так и разомкнутыми. На примере центрально-симметричных двухфазных полей, возникновения зародыша и слоев новой фазы показано, что соотнесение траекторий деформирования с зонами ФП позволяет предсказать возможность возникновения конкретных двухфазных состояний. Показано, что диаграммы деформирования упругих тел, претерпевающих фазовые превращения, аналогичны диаграммам упруго-пластического тела. Обнаружен эффект незавершенности фазового перехода по механизму возникновения слоев новой фазы. Развита процедура анализа устойчивости двухфазных деформаций. Неединственность и устойчивость двухфазных состояний исследованы на примере равновесных центрально-симметричных двухфазных деформаций. Доказана теорема о количестве центрально-симметричных решений и исследована их устойчивость. Исследовано соотнесение деформаций в устойчивых и неустойчивых состояниях с зоной фазовых переходов.
Научно-практическая значимость. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории фазовых превращений при деформировании твердых тел. Реализация развитой в работе процедуры построения зон фазовых переходов означает построение поверхности превращения в пространстве деформаций, играющей роль предельной поверхности пластичности. Процедура позволяет предсказывать смену типа локализации деформаций вследствие фазовых превращений в зависимости от траектории деформирования. Зона ФП определяется зависимостью свободной энергии от деформаций. Реконструкция зоны на основе экспериментальных исследований при частных видах деформирования может быть полезной для конструирования зависимости плотности свободной энергии и последующего прогнозирования ФП на произвольных траекториях нагружения. Возможность незамкнутых зон ФП означает отсутствие ФП на некоторых траекториях деформирования Показано, что фазовые превращения могут существенно влиять на устойчивость упругих тел.
В первой главе показывается, что нелинейность краевой задачи, обусловленная появлением новой степени свободы - неизвестной фазовой границы, приводит к неединственности решения на классе центрально-симметричных полей деформаций. Доказывается, что для изотропного материала на данном классе возможно существование одной границы раздела фаз для сплошного тела и не более двух для тела со сферической полостью независимо от краевых условий на полости. Двухфазные состояния термодинамически предпочтительнее, чем однофазные. Для всех возможных решений строятся диаграммы деформирования и зависимости радиусов равновесных границ от начальных условий.
Во второй главе анализируется как однофазное и полученные в первой главе двухфазные решения соотносятся с точки зрения локальной устойчивости и метастабильности. Устойчивость решений исследуется по отношению к осесимметричным возмущениям. Показывается, что новая степень свободы существенно влияет на устойчивость упругих двухфазных тел, а появление полости, то есть дополнительной внешней границы, оказывает дестабилизирующее действие независимо от типа заданных на ней граничных условий. Для сплошного шара решение, для которого фаза с большим модулем сдвига занимает внешний сферический слой неустойчиво. В случае расположения более жесткой фазы в центре шара потери устойчивости нет. Для шара со сферической полостью при небольших размерах полости, устойчиво решение с одной границей раздела фаз, соответствующее расположению фазы с большим модулем сдвига внутри шара, то есть, когда более жесткая фаза образует внутренний слой. Все другие решения, в том числе и с двумя фазовыми границами, неустойчивы. В случае радиуса полости, большего некоторого значения, все двухфазные решения неустойчивы.
Сравниваются решения задачи равновесия упругих двухфазных тел и решения, получаемые на основе проектирования двухфазных композиционных материалов оптимальной структуры (то есть в случае отсутствия фазовых превращений). Показывается, что наличие фазового перехода и учет собственной деформации превращения приводит к разным результатам.
В третьей главе проводится построение зон ФП. Исследуется влияние параметров материала на вид зоны ФП. Показывается, что границы могут быть как замкнутыми так и разомкнутыми. Последнее означает невозможность ФП на некоторых траекториях деформирования.
Рассматриваются границы фаз, возникающие на различных траекториях деформирования, и определяются соответствующие скачки деформаций на границе фаз. В частности, показывается, что при соответствующем выборе параметров материала при одноосном растяжении возникают границы фаз, перпендикулярные направлению растяжения, а при одноосном сжатии границы ориентированы под углом к направлению сжатия - аналогично полосам сдвига. В первом случае на границе претерпевает скачок максимальная деформация, во втором - основной вклад вносит параметр сдвига.
При одноосном растяжении под давлением, начиная с некоторого критического давления, зависящего от параметров материала, как при растяжении так и при сжатии возникают только полосы сдвига.
Таким образом, демонстрируется, что изменение вида деформированного состояния может приводить к смене типа локализации деформаций вследствие фазовых превращений.
Соответствующие траектории разгрузки из однофазного состояния либо пересекают зону ФП, либо проходят мимо зоны, причем точка пересечения с внешней границей подзоны, вообще говоря, не совпадает с точкой, куда при нагружении происходил скачок из исходной фазы. Эффект несовпадения объясняется влиянием внутренних напряжений, индуцируемых границей фаз.
Также проводится исследование соответствия полей деформаций в различных равновесных двухфазных конфигурациях и зоной фазовых переходов. Показывается, что предпочтительное решение может быть выбрано в результате соотнесения полей деформаций, соответствующих разным решениям, с зоной ФП.
В четвертой главе исследуются фазовые превращения по механизму множественного возникновения слоев новой фазы. Полученные ранее общие соотношения конкретизированы для случая изотропных фаз, а также деформационных фазовых переходов (когда пренебрегают изменением модулей упругости, но тензор собственной деформации превращения — не шаровой). Как и в случае изотропных фаз, для деформационного фазового перехода строятся зоны ФП, которые в зависимости от тензора собственной деформации могут быть замкнутыми (аналогичными поверхности пластичности Треска) и не замкнутыми.
В случае изотропных фаз анализируются траектории фазовых превращений при одноосном растяжении. В зависимости от задаваемых средних деформаций определяются концентрация новой фазы, средние напряжения и изменения энергии вследствие ФП. Средние и локальные поля сопоставляются с зоной ФП.
При деформационном ФП показывается, что в зависимости от главных значений тензора тензора собственной деформации деформирование может сопровождаться возникновением слоев, аналогичных полосе сдвига или слоев с нормалью, перпендикулярной направлению деформирования, либо совпадающей с ним.
Как и в случае изотропных фаз, в зависимости от внутренних напряжений, траектория деформирования проходит или не проходит через траекторию скачка деформаций при зарождении слоя новой фазы. В первом случае имеет место диаграмма деформирования, аналогичная диаграммам идеального упруго-пластического материала, во втором случае превращение сопровождается деформационным разупрочнением.
Показывается, что деформационная анизотропия, вызванная не шаровым тензором собственных деформаций приводит к влиянию истории фазового превращения на поведение материала при разгрузке.
Исследование неединственности равновесных центрально-симметричных двухфазных деформаций
Независимо от термодинамического условия на границах фаз где иг = и(г), щ = Uy = 0 - компоненты вектора перемещений в полярной системе координат. В случае сплошного тела При наличии полости на ее поверхности подразумевается граничное условие, заданное радиальными перемещениями или давлением. Радиальные перемещения в областях Ц, определяется формулами Ламе При заданных граничных условиях 2N + 2 зависимостей Д-,А от г\, тъ , N определяются условиями (1.2.1), (1.2.2) при любом количестве границ фаз. Анализ возможности удовлетворить на всех границах термодинамическому условию (1.1.11) позволяет сформулировать Утверждение 1.1. Если материал изотропен, то на классе центрально симметричных равновесных двухфазных решений возможно существование только одной сферической границы раздела фаз для сплошного тела и не более двух границ в случае тела со сферической полостью. Доказательство. Материал изотропен где Е и I — единичные тензоры второго и четвертого ранга соответственно, Ли// — коэффициенты Ламе, v — коэффициент Пуассона, К — модуль объемного сжатия. Без ограничения общности можно предположить, что область V\ занята фазой "+", то есть Vi = V , V2 = Vf, V3 = з+) и т.д. Тензоры q+ в областях Vi аксиально-симметричны при і 2, если полости нет, и при г 1, если полость есть: Предположим, что N 2 , если го = 0 и JV 3, если г о ф 0 и покажем, что это ведет к противоречию. Пусть выполняется первое, то есть существуют т\ и т2 и т.д. Запишем условия (1.2.1)1,2 на т\ и Г2, и получим систему уравнений для определения коэффициентов А{ и Д (из (1.2.2) Д = 0): Из полученной системы, следует, что Запишем термодинамическое условие для г і и г 2 со стороны фазы "+": Из (1.2.8) и (1.2.11) следует что, А\ зависит только от параметров материала [40]. Подстановка этой зависимости в (1.2.10) дает соотношения между A3, D% and т .
Тогда термодинамическое условие (1.2.12) может выполняться только при -D3A2 = 0- Тогда из (1.2.9) следует, что т\ — r i ИЛИ Г2 СО. Чтобы получить противоречие в случае наличия полости, достаточно написать условия (1.2.1)1)2 для Ai,Di (г = 1,2,3) на г і и г і. Тогда анализ условий (1.1.11) со стороны фазы "+" на г1; г2 и г% даст, что существование более двух границ невозможно. Замечания. Это утверждение не зависит от типа краевых условий на поверхности полости. Если исключить требование выполнения термодинамического условия, то центрально-симметричное поле деформаций будет равновесным при любом количестве границ, например, в связанной неограниченной среде при внешнем радиальном напряжении. Построим диаграммы деформирования и зависимости радиусов границ раздела фаз для всех возможных решений центрально-симметричных полей деформаций. Рассмотрим шар с полостью и без, на поверхности которого заданы перемещения. На поверхности полости задаются или нулевые напряжения, или нулевые перемещения. Вначале суммируем результаты, полученные в [40, 43] для сплошного шара. В этом случае условия равновесия допускают два двухфазных решения с одной границей фаз. Согласно Утверждению 1.1, других решений нет. Типичные зависимости давления р на поверхности шара и относительного радиуса границы фаз рг = Гг/R (гг - радиус границы, R - радиус шара) от її = 3UQ/R показаны на Рис. 1.3. В диапазоне 0 її її А шар деформируется как однородное (однофазное) линейно упругое тело. Не существует других центрально симметричных решений, отличных от представленного отрезком О А. Когда її достигает значения її А, появляется второе центрально симметричное решение краевой задачи (1.1.1)-(1.1.4), соответствующее двухфазным равновесным состояниям, для которых фаза с большим модулем сдвига находится в центре шара (отрезок АЕ). При достижении її в появляется еще одно центрально симметричное решение (отрезок BD), которое соответствует развитию новой фазы с поверхности шара.
Для этого решения внутренняя область шара занята фазой с меньшим модулем сдвига. Для обоих двухфазных решений с ростом її область новой фазы расширяется, а давление падает. Для полого шара радиуса R со сферической полостью радиуса го условия равновесия допускают существование решений с одной и двумя фазовыми границами и различным чередованием фаз. В случае двух фазовых границ радиальные перемещения в областях У\ {г Є [r0,ri]), V2 (г Є (n,r2]), и Уз (r Є (r2, R}) определяются формулами (1.2.3): Для каждого чередования фаз ("+,—,+" или "—,+,—") из граничных условий с учетом (1.2.6), (1.2.7) следуют 6 уравнений для определения зависимостей шести параметров Д- и D{ от п, Г2 и щ. Термодинамическое условие (1.1.11), записанное для границ Г\ и Г2, с учетом (1.2.7) дает еще два уравнения. Те щ, при которых полная система уравнений разрешима при допускают существование двухфазных состояний с двумя границами фаз. В случае одной границы фаз соответственно уменьшаются количество коэффициентов A, D и условий на границе. Типичные диаграммы деформирования шара со сферической полостью, претерпевающего фазовые превращения по механизму возникновения одной и двух фазовых границ, и зависимости радиусов границ рг в зависимости от "д показаны на Рис. 1.4 - 1.6 {рт = TY/R, где гр - радиус межфазной границы, R - радиус шара; ро = ro/R, Го - радиус полости). Приведен случай равных модулей объемного сжатия материала фаз. Материал в исходном (недеформированном) фазовом состоянии находится в фазе "—" и имеет меньший модуль сдвига. 1. Поверхность полости свободна от нагрузок - Рис. 1.4. Линии АЕ и BD соответствуют решениям с одной границей фаз. Решению АЕ соответствует расположение фазы с большим модулем сдвига во внутренней области шара, новая фаза при этом развивается с поверхности полости. Решению BD соответствует появлению более жесткой фазы с внешней поверхности шара. При dp G Для шара с полостью появляется отсутствовавшее для сплошного шара равновесное решение, имеющее две фазовые границы. Это решение ответвляется от двухфазного решения с одной границей
Линеаризованная краевая задача для двухфазного тела
В случае нескольких межфазных границ Г (j = 1,2...га) решение уравнений (2.2.2)-(2.2.6) (или (2.2.7)) приводит к системе интегро-дифференциальных уравнений для возмущений межфазных границ щ где kj - кинетические коэффициенты, соответствующие границам Tj, dj - интегро-дифференциальные операторы, порождаемые кинетическими уравнениями вида (2.2.6) (или (2.2.7)) и представлениями (2.2.10). Таким образом, в случае малых деформаций двухфазного тела потеря устойчивости решений краевой задачи (1.1.1)-(1.1.4) связана только с наличием дополнительной степени свободы (положения фазовой границы) и соответствующего ей термодинамического уравнения. Исследование устойчивости равновесных решений сводится к определению точек бифуркации системы (2.2.11) и поведения ее малых решений. Если оператор С = {Cij} оказывается положительно определенным, то система (2.2.11) допускает только убывающие со временем решения. В этом случае начальное двухфазное состояние устойчиво. В противном случае возмущения не являются убывающими, и решение неустойчиво. Точки бифуркации определяются из условия существования стационарных ненулевых решений (2.2.11) Отметим, что при конечных деформациях двухфазного тела потеря устойчивости возможна и в результате традиционного механизма, не связанного с фазовыми переходами. В этом случае возможна конкуренция причин, вызывающих потерю устойчивости нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения.
Таким образом, предлагаемый ниже анализ на примере задачи о двухфазном шаре позволяет выделить влияние именно фазового превращения на процесс потери устойчивости. Исследуем устойчивость найденных центрально симметричных решений относительно осесимметричных возмущений где u(r) = u(r)er равновесное решение (1.2.9), ег, ев - базисные орты, соответствующие сферическим координатам г, в. Линеаризованные уравнения равновесия (2.2.2) для осесимметричных возмущений могут быть записаны следующим образом Силовые краевые условия на полости в случае мертвого нагружения имеют вид а кинематические краевые условия состоят в обращении в нуль вектора малых добавочных перемещений: Кинематические и статические условия на границе раздела фаз с учетом ее возмущения даются формулами Естественно, что при 7 = 0 последние соотношения представляют собой условия совместности на границе раздела частей составного тела. Следуя [29], решение (2.3.2) будем разыскивать в виде разложения по полиномам Лежандра Рп Подстановка представления (2.3.6) в краевую задачу (2.3.2) позволяет разделить переменные г и 9. В частности, выполняются равенства Уравнения равновесия (2.3.2) принимают вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно Фп(г) и Пп(г) решение которой легко находится Решая теперь систему (2.3.8) относительно Un и Vn, получим общее решение вида (2.3.12) n+2 где а - произвольная точка интегрирования, Сп, Dn - произвольные постоянные (зависящие, вообще говоря, от выбора а). Таким образом, общее решение уравнений равновесия в каждой из фаз определяется набором четырех постоянных интегрирования Ап, Вп, Сп, Dn, которые подлежат определению из соответствующих краевых условий. Переменные г и в разделяются и в краевых условиях. Линеаризованные краевые условия на межфазной границе (2.3.5) принимают вид do? dr Уравнения (2.3.14) наряду с краевыми условиями на внешней границе шара и условиями на внутренней полости (или условием ограниченности перемещений при г — 0 в случае сплошного шара) позволяют аналитически найти постоянные интегрирования Ап, Вп, Сп, Dn, как функции амплитуды возмущений межфазной границы п и параметров начального состояния.
При этом это представление является однозначным в силу единственности решений краевых задач линейной теории упругости. В силу громоздкости этих выражений они здесь не приводятся. и, после подстановки (2.3.6)-(2.3.8) и отделения угловой координаты может быть переписано как где її и І2 - коэффициенты, зависящие от начального состояния и упругих модулей фаз. После подстановки коэффициентов Ап, Вп, Сп, Dn как функций амплитуды возмущений межфазной границы п и параметров начального состояния кинетическое уравнение преобразуется к виду Аналитическое выражение для Ьп(д) является весьма громоздким и здесь также не приводится. Корни $ уравнения Z/„(i?) = 0 являются точками бифуркации краевой задачи (2.2.2)-(2.2.6). Поведение малых возмущений в окрестности точки бифуркации зависит от знака коэффициента Ln в кинетическом уравнении (2.2.6). Отрицательные значения Ln соответствуют экспоненциальному затуханию с ростом времени амплитуды возмущений межфазной границы. Положительные значения Ln соответствуют росту возмущений. Номер п характеризует форму потери устойчивости. Назовем фазу с большим (меньшим) модулем сдвига "жесткой" ("мягкой"). Начальное однофазное состояние"—" соответствует "жесткой" (//_ /2+) или "мягкой" фазе д_ fi+. На Рис. 2.2 показаны графики Ln и /?г как функции $/$р для случая //+ її Рис. 2.2а соответствует двухфазному равновесному решению, в котором новая жесткая фаза развивается из центра шара. Это решение представлено на Рис. 1.3 отрезком АЕ. Рис. 2.26 соответствует второму решению (отрезок BD на Рис. 1.3), согласно которому жесткая фаза развивается с поверхности шара. В первом случае неустойчивости не обнаружено. Во втором случае устойчивость теряется, причем прежде всего по высокочастотной моде практически сразу при возникновении тонкой оболочки, образованной фазой "+". На Рис. 2.3 представлены результаты анализа устойчивости двухфазного шара при /J,+ Ц-, когда новая ("мягкая") фаза зарождается в центре шара. По мере развития области новой фазы происходит потеря устойчивости по низкочастотной форме.
В случае развития новой фазы с поверхности неустойчивость не обнаружена. В целом, результаты, представленные на Рис. 2.2, 2.3 позволяют сделать вывод о локальной неустойчивости двухфазной деформации в случае расположения "мягкой" фазы внутри шара. Таким образом, появление новой степени свободы, связанной с наличием заранее неизвестной границы раздела фаз, оказывает существенное влияние на устойчивость двухфазных тел. В отсутствие фазового перехода (когда г] = 0) краевая задача (2.2.2)-(2.2.6) представляет собой хорошо известную однородную краевую задачу для составного линейно упругого тела (композита), которая имеет только нулевые решения. Тем самым, центрально симметричное решение задачи без фазового перехода Как было показано выше, в случае полого шара, испытывающего фазовое превращение, возможно существование не более двух равновесных сферических границ раздела фаз. Исследование потери устойчивости центрально симметричных деформаций в этом случае принципиально не отличается от случая сплошного шара с одной фазовой границей, хотя и возникают дополнительные технические сложности, связанные с увеличением числа неизвестных и, соответственно, уравнений. Далее полагаем, что модули объемного сжатия материала фаз равны: где верхние из знаков "+" и "—" соответствуют выбору деформаций на границе со стороны фазы "+", а нижние — со стороны фазы "—". Переменные г ив здесь также разделяются, и кинетическое уравнение принимает вид Будем обозначать внешнюю фазу индексом out, промежуточную -индексом mid и внутреннюю - индексом int. Таким образом, решение уравнений равновесия для трехслойного шара дается формулами типа (2.3.11)-(2.3.13) и определяется набором 12 постоянных интегрирования Aput jDout rwut jjout Amid r mid rwnid r\mid /tint r int riint r\int TTrra II / ft і IL Hi it ft ft ТЬ TV ТЬ іЬ і 71 их определения служат краевые условия типа (2.3.14). Амплитуды возмущения межфазных границ обозначим через („ и Q . Как и в случае сплошного шара, анализ устойчивости сводится к исследованию поведения функций (п и (п с ростом времени, которые являются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемой из кинетических уравнений вида (2.3.17)
Сравнение решений задачи о двухфазном композите и задачи с фазовыми превращениями
Решения задачи о равновесных двухфазных конфигурациях упругих тел могут существенно отличаться от решений, получаемых при проектировании двухфазных композитных материалов оптимальной структуры. Центрально-симметричные решения, доставляющие глобальный минимум функционалу энергии двухфазного тела, при фиксированной доле одной из фаз рассматривались в [80]. Фазы различались только модулями упругости, что соответствует случаю єр = 0. Для сплошного шара было показано, что решению, доставляющему глобальный минимум, соответствует структура, для которой более жесткая фаза сосредоточена в центре шара и окружена более мягкой фазой, что совпадает с приведенными выше результатами исследования устойчивости. Но в случае шара с полостью при равных модулях объемного сжатия материала фаз оптимальным — энергетически выгодным на классе состояний, удовлетворяющих изопериметрическому условию постоянства состава — является решение, представляющее собой трехслойную оболочку, промежуточный слой которой образован жесткой фазой. Как показано выше, это решение оказывается неустойчивым в случае фазовых превращений, означающих появление дополнительной степени свободы, связанной с изменением относительного содержания фаз. Термодинамическое условие (1.1.10) или (1.1.11) может быть удовлетворено не при любых деформациях. Деформации, которые могут сосуществовать на равновесной границе фаз образуют в пространстве деформаций зону фазовых переходов. Как уже отмечалось, важность построения зоны ФП состоит в том, что: — Деформации вне зоны ФП не могут оказаться на границе фаз ни при каких условиях нагружения.
Граница зоны играет роль фазовой диаграммы в пространстве деформаций и является аналогом предельной поверхности пластичности [52, 55]. — Различным точкам границы зоны ФП соответствует различный вид деформированного состояния и различный тип ориентации границы фаз по отношению к тензору деформаций и разные скачки деформаций, то есть различные типы локализации деформаций. Поэтому построение зон ФП дает, в частности, возможность исследовать зависимость вида локализации деформаций от траектории деформирования. — Как было показано в первой главе, задачи о двухфазных конфигурациях являются задачами с неизвестной границей и имеют неединственное решение, выбор которого может осуществляться на основе анализа устойчивости. В данной главе мы продемонстрируем, что предпочтительное решение может быть выбрано в результате соотнесения полей деформаций, соответствующих разным решениям, с зоной ФП. Подчеркнем, что зона ФП определяется исключительно свойствами материала, а именно зависимостью плотности свободной энергии от деформаций. В рассматриваемом случае зависимость плотности свободной энергии от тензора малых деформаций задается набором квадратичных зависимостей (1.1.5). Общие соотношения для построения зон ФП в случае малых деформаций ранее были получены в работах [54, 41, 55]. Эти соотношения приводятся в следующем параграфе. Остальные параграфы посвящены процедуре построения зон ФП, анализу влияния параметров материала на вид зоны ФП, и исследованию типов фазовых границ в зависимости от вида деформированного состояния и параметров материала. Если тензор Сі невырожденный, то построение зоны ФП можно проводить, согласно (1.1.11), в пространстве тензора q, связанным с тензором є линейным преобразованием (1.1.9)2 [54, 41, 55]. Уравнение (1.1.11) можно переписать следующим образом Любое из уравнений (3.1.1) при учете нормировки определяет однопараметрическое семейство нормалей к равновесной границе фаз в зависимости от деформаций по одну из сторон границы. Формулы (1.1.9) определяют скачок на равновесной границе фаз.
Зона ФП состоит из двух подзон Q±, между которыми проходит поверхность разрыва производных /(є), где /+(є) = / (є): Из (3.1.1) следует, что тензоры q из подзон Q± удовлетворяют соответственно неравенствам Нормали nfx (q) и n j (q) доставляют максимум и минимум /CT(q±,n) и соответствуют внешним и внутренним границам подзон Q± соответственно, а уравнения внешних и внутренних границ подзон "±" имеют, соответственно, вид Если фазы изотропны, то тензоры С± и К±(п) определяются формулами (1.2.4), (1.2.5). Тогда — ориентационные инварианты, определяющие нормаль к границе фаз в базисе главных векторов е (г — 1, 2, 3) тензора q. Квадраты проекций нормали в этом базисе pi = п\ (і = 1,2,3) находятся из системы трех линейных уравнений: При заданном q+ уравнение (3.1.1) принимает вид зависимости между ориентационными инвариантами N±, N : Область допустимых значений (ОДЗ) Nf, iVg" определяется требованием разрешимости системы (3.1.10) относительно рг- и является на плоскости N ,N2 треугольником с вершинами, лежащими на параболе Координаты вершин треугольника задаются главными значениями тензора q+ = E ei4t: в вершинах Nf = qf, iV2+ = (qf)2, (і = 1,2,3); соответствующие нормали совпадают с главными направлениями тензора q+: n = ef (і = 1, 2 или 3) Сторона треугольника, соединяющая і- и А;-вершины, соответствует нормали, лежащей ві — к — главной плоскости тензора q+: щ = 0, (j ф г,к). Однопараметрическому семейству нормалей к равновесной границе фаз соответствует пересечение параболы (3.1.11) с треугольником ОДЗ ориентационных инвариантов. Относительное положение параболы и треугольника ОДЗ ориентационных инвариантов Nf, N зависят от соотношения между главными значениями тензора q+. Пусть gmm, (/max и #min, Mmax — наибольшие и наименьшие главные значения и модули главных значений q+, птах и nmid — проекции п на главные направления q+, соответствующие наибольшему и промежуточному
Возникновение слоя новой фазы при одноосном растяжении-сжатии
Известно [19, 51], что при возникновении плоского слоя новой фазы в неограниченной среде, находящейся в однородном поле деформаций SQ деформации вне слоя не меняются: Поэтому каждая точка А границы подзоны ФП "—" (Рис. 3.2 с) соответствует решению задачи о слое фазы "+", находящемся в однородном внешнем поле деформаций є А- Тогда поле внутри слоя представлено на границе подзоны "+" точкой В. Исследуем влияние траектории деформирования на тип возникающей границы фаз на примере одноосного растяжения/сжатия под давлением р ( 7і = о — р, о 2 = 0"з = —р). Траектория деформирования в пространстве є имеет вид Тогда траекториями деформирования в пространстве gi, q q$ являются прямые а (р = 0), CYI (р = pi), и »2 (р = Pi Pi) на плоскости q2 = qz (Рис. 3.2 6). При растяжении в момент достижения внешней границы подзоны "—" может возникнуть граница фаз, нормаль к которой совпадает с направлением растяжения (3.1.18) (траектории а и а{). Скачки деформаций определяются формулой (3.1.20) представлены на рисунках стрелками. Начиная с некоторого давления, происходит смена типа локализации деформаций - при растяжении возникает граница типа полосы сдвига (траектория аз)- Нормаль к этой границе фаз определяется формулами (3.1.16). Скачок деформаций при этом происходит из плоскости 42 = 9з, При одноосном сжатии возникают границы фаз, аналогичные полосе сдвига. Таким образом, в зависимости от деформированного состояния, в теле возможно появление слоя новой фазы с различными ориентациями границы и различными скачками деформаций. В работе [51] с этих позиций была дана интерпретация перехода хрупкость-пластичность в полимерах - когда при растяжении под давлением, в зависимости от величины давления, в материале возникали крейзы или полосы сдвига.
Соответствующие траектории разгрузки из однофазного состояния "+" либо пересекают зону ФП (линия QC на Рис. 3.2 с), либо проходят мимо зоны (линия С на Рис. 3.2 с), причем точка пересечения с внешней границей подзоны "+" , вообще говоря, не совпадает с точкой, куда при нагружении происходил скачок из фазы "—". Эффект несовпадения объясняется влиянием внутренних напряжений, индуцируемых границей фаз. Действительно, траекториям ZQA И QC ОДНООСНОГО НагружеНИЯ В ОДНОфаЗНЫХ СОСТОЯНИЯХ СООТВеТСТВуеТ 02 = о"з = 0. В то же время, в силу непрерывности перемещений на границе фаз, напряжения в слое, действующие в направлении параллельном границе фаз, за исключением специальных случаев, рассмотренных в четвертой главе, не равны нулю. Если граница фаз, например, ориентирована перпендикулярно направлению растяжения, то напряжения ач и 7з, соответствующие точке В, не равны нулю. Именно поэтому точки В и С не совпадают. Как было показано, в однородном внешнем поле в материале с фазой "—" может появиться слой новой фазы "+". Существуют также параметры материала, для которых при разгрузке фазы "+" возникает слой фазы "—"; при этом траектория разгрузки пересекает внешнюю границу подзоны "+". Однако, существуют такие параметры материала и траектории деформирования, при которых траектория разгрузки проходит мимо зоны ФП, что означает, как будет показано в четвертой главе, что материал не может перейти в новое фазовое состояние исключительно по механизму возникновения однородных (однофазных) слоев. В однородном внешнем поле деформаций єо может также появиться эллипсоидальный зародыш новой фазы, причем форма зародыша (соотношение полуосей эллипсоида) определяется исключительно внешним полем Єо и параметрами материала [2, 8, 9, 25,18]. Найдем и построим на рисунке с сеченим зоны ФП плоскостью #2 = ?з внешние поля єо, при которых в изотропной фазе "+" могут возникнуть осесимметричные эллипсоидальные зародыши фазы "—" (см. Приложение 2). На Рис. 3.2 с эти поля представлены отрезком vw. Если траектория разгрузки пересекает этот отрезок, то соответствующая деформация соответствует внешнему полю, в котором возможно возникновение эллипсоидального зародыша фазы "—". Так как внутри равновесного эллипсоидального зародыша новой фазы тензор q — шаровой [25], то поля внутри зародыша представлены теми же точками а или Ь, а скачки деформаций на границе зародыша — стрелками аа или bb , что и в случае задачи о шаре (Рис. 3.4). Данная глава посвящена рассмотрению одного из возможных путей фазового превращения деформируемого материала в результате множественного возникновения областей новой фазы. Предполагается, что новая фаза возникает в виде плоских параллельных слоев. Концентрация слоев, их ориентация, как и ориентация осей анизотропии внутри слоев новой фазы зависят от внешнего (среднего) поля деформаций.
Эти зависимости определяются требованием минимизации свободной энергии. Данная модель зарождения новой фазы и исходные уравнения были предложены в [54]. В диссертации полученные ранее общие соотношения конкретизированы для случая изотропных фаз, а также деформационной анизотропии, когда пренебрегают изменением модулей упругости, но тензор собственной деформации превращения — не шаровой (такие фазовые превращения далее называются деформационными). В случае изотропных фаз в g-пространстве анализируются и соотносятся с зоной ФП траектории фазовых превращений при одноосном растяжении. В зависимости от задаваемых средних деформаций определяются концентрация новой фазы, средние напряжения и изменения энергии вследствие ФП. В результате строятся диаграммы деформирования — зависимости между средними напряжениями и деформациями. Для деформационного фазового перехода, как и в случае изотропных фаз, строятся зоны ФП. Анализируются траектории плоского растяжения. Средние и локальные поля сопоставляются с зоной ФП. Строятся соответствующие диаграммы деформирования. В данном параграфе на основе результатов, полученных раннее в [54], приводятся необходимые для дальнейшего анализа исходные соотношения. Пусть граничными условиями в двухфазной слоистой среде задаются средние деформации є. Параметрами двухфазной структуры являются: р - объемная концентрация новой фазы "+" (р Є [0,1]), п - нормаль к слою, О — тензор поворота, связывающий триэдры направлений анизотропии новой фазы с главными направлениями тензора є (О Ог = Е).
Полагаем, что оси анизотропии фазы "+" совпадают с главными направлениями тензора єр, то есть тензоры С+ :Еиер соосны (коммутируют): Определение (4.1.1) позволяет рассматривать как анизотропию модулей упругости, так и чисто деформационную анизотропию, когда С+ и С_ — изотропные тензоры, но тензор єр — не шаровой. Средние по объему напряжения и деформации согласно (1.1.9) пред-ставимы как Из (4.1.2) и (4.1.3) следует, что средние деформации и напряжения в произвольной слоистой среде связаны соотношениями
Похожие диссертации на Равновесные двухфазные деформации упругих тел и зоны фазовых переходов
