Содержание к диссертации
Введение
1. Разработка экспериментальной методики. Использование натурального сдвига в обобщённой методике Бэкофена-Филдса 12
1.1 Формулы Людвига, Бэкофена-Филдса. Температурная коррекция 14
1.2 Две экспериментальные методики 20
1.3 Переход к натуральным деформациям и к скоростям натуральных деформаций в методике обработки экспериментальных данных 24
2. Моделирование простого сдвига 40
2.1 Тензоры Генки, коротационные производные и тензор деформации 44
2.2 Определяющие соотношения 51
2.3 Две экспериментальные методики при конечных деформациях 53
2.4 Коррекция определяющих соотношений 61
Заключение 62
Приложение 1 63
- Две экспериментальные методики
- Переход к натуральным деформациям и к скоростям натуральных деформаций в методике обработки экспериментальных данных
- Определяющие соотношения
- Коррекция определяющих соотношений
Введение к работе
Для того, чтобы создать любую механическую конструкцию и быть уверенным в её надёжности, надо уметь прогнозировать её поведение при различных внешних воздействиях, в том числе при различных нагрузках и тепловых режимах. Выяснить экспериментально, как конструкция будет себя вести при всех возможных воздействиях, не представляется возможным, поэтому приходится строить математические модели конструкций и их составляющих материалов. Такие модели дают возможность спрогнозировать реакцию конструкции на воздействия. При этом делаются допущения, предположения и упрощения относительно объектов исследования и их поведения. Математические модели естественным образом зависят от конкретных конструкций и материалов. Эта зависимость выражается в виде констант, функций и функционалов, которые меняются в зависимости от модели и конструкции и могут отличаться для разных материалов. Для материала единственный способ получить все эти необходимые составляющие модели - это провести необходимые эксперименты.
В наше время большое значение имеет моделирование технологических процессов (например, процессы обработки металлов давлением), в ходе которых в материале возникает сложное напряжённо-деформированное состояние, влияющее на его конечные свойства.
Материалы принято делить на классы и определяющие соотношения строить для отдельных классов и подклассов. На классы делят по наличию таких свойств как однородность, изотропность, разного вида анизотропия, несжимаемость, идеальность структуры и т.п.
Нас будут интересовать определяющие соотношения теории пластичности. Теория пластичности возникла в XIX веке благодаря таким учёным, как Коши, Сен-Венан, А.Треска, Пуассон, М.Леви. В 1871 году Сен-Венан опубликовал основные уравнения теории пластичности, упрочив тем самым позиции данной науки. В начале XX века уже строятся чёткая теория пластичности, её определяющие соотношения. В частности, условия перехода в пластическую область, так называемые условия пластичности, были предложены в нескольких вариантах. Два наиболее известных это условие Треска-Сен-Венана и Мизеса-Генки. Первое заключается в том, что тело деформируется пластически с того момента, когда на любой какой-нибудь площадке достигнуто максимально допустимое значение касательного напряжения. Второе условие отличается от первого тем, что рассматривается касательное напряжение на октаэдрической площадке и, в случае достижения им предельного значения, наступает пластическая область. Эти условия пластичности порождают классические поверхности текучести, но были предложены и другие условия пластичности. Как правило, определяющие соотношения не учитывают (или лишь незначительно) "структурный портрет" материала, являясь, по сути,
статистическими. Но есть и определяющие соотношения, которые учитывают поведение кристаллической решётки.
Большой вклад в теорию пластичности внёс А.А. Ильюшин [13-16]. Он провёл чёткую систематизацию определяющих соотношений разных видов теорий пластичности. В том числе, это разработанная им теория малых упруго-пластических процессов, теория циклических знакопеременных нагружений, теория процессов малой кривизны, теория процессов средней кривизны, теория процессов в виде двухзвенных ломаных. Эти теории базируются на важных гипотезах, предложенных А.А. Ильюшиным. Первая гипотеза, известная как постулат изотропии, утверждает, что в любой фиксированной точке траектории деформаций модуль вектора напряжений и его ориентация относительно естественного сопровождающего репера не изменяются при ортогональном преобразовании, то есть преобразовании вращения и отражения. Вторая, называемая принципом запаздывания, формулируется так: ориентация вектора напряжений в естественном репере зависит от внутренней геометрии только ограниченного отрезка траектории деформации, предшествующего рассматриваемой точке траектории, длина этого отрезка называется следом запаздывания.
Введённая А.А. Ильюшиным гипотеза макрофизической определимости позволила существенно конкретизировать и упростить определяющие соотношения. Гипотеза макрофизической определимости заключается в том, что механический процесс в любой точке тела может быть физически воспроизведён как однородный механический процесс в некотором однородном образце. На базе этой гипотезы А.А. Ильюшин ввёл гипотезу макроскопичности, из которой следуют принцип детерминизма и причинности и принцип локальности. Эта гипотеза позволяет упростить общий вид функционального определяющего соотношения:
Л Л
Ф[;К*і»'і)><г(*2>'і)»*з.'] = 0» хі.адєП.,», /,,г2>/єЛ(время, *(*„/,) - функция места) к виду:
Л Л Л
<т(х,0 = 0([z(x,s),Vxz(x,s)]sit,x,t) = 0, хєПтело, s,teR.
Здесь не указываются зависимость от деформаций (так как e(x,t) зависит от
У*х(х>0) и Другие параметры, такие как температура, магнитные и другой природы поля.
Конечно, на заре теории эксперимента никаких функционалов в определяющих соотношениях не было [9]. Учёные-экспериментаторы искали простые функциональные зависимости, константы, соответствующие конкретным материалам. Цели экспериментов менялись от чисто качественных наблюдений к количественным результатам. Если сначала интересовало лишь приблизительное поведение материала при данных внешних воздействиях, характер его реакции, то вскоре сутью экспериментов стало выяснение конкретных характеристик материала.
К одним из первых экспериментов, посвященным пластическим деформациям тел, следует отнести исследования А.Э.Треска. Он проводил
эксперименты с различными материалами: медь, свинец, керамика, лёд, парафин и др. Много экспериментов было проведено именно с изделиями из свинца. Характер экспериментов был различен. Треска выбивал из свинцовых листов фрагменты с помощью стального стержня, выдавливал цилиндрические образцы через отверстия различной формы и в различные полости, сжимал цилиндрические образцы.
Чтобы наблюдать пластические деформации Треска создавал сборки из нескольких пластин, прикладывал постоянную нагрузку, дожидался фиксации формы, снимал нагрузку, затем делал продольный разрез всего пакета и по форме пластин делал выводы о пластических деформациях. К основным достижениям, к которым привели эти эксперименты, следует отнести следующие утверждения. При больших нагрузках твёрдые тела текут подобно жидкостям. За пределом упругости существует область пластического упрочнения, предшествующая области постоянного течения. Независимо от типа опыта для конкретного типа материала существует коэффициент, представляющий собой максимальное касательное напряжение, по достижении которого тело начинает течь. Пластические деформации происходят при неизменном объёме. Получена также формула, выражающая длину выбиваемого круглым цилиндрическим пуансоном фрагмента из круглого цилиндрического образца как функцию от радиусов пуансона и образца: L = RnyaHCOHa\l + \g(Ro6pania/RlvaHCOHa)). Существование
указанного выше коэффициента предела текучести, породило почву для целенаправленных экспериментов по его выяснению.
Огромную роль в теории эксперимента сыграли работы П.Людвига [72]. Его эксперименты строились на современном языке напряжений и деформаций (скоростей деформаций). Людвиг первым подметил зависимость предела текучести от скорости деформирования. Он даже вывел формулу, выражающую зависимость напряжения от скорости деформации при постоянной пластической деформации: c7(v) = cr, +cr0ln(v/v0), где буквы с
индексом обозначают константы. Отсюда следует, что при одной и той же пластической деформации можно достичь разных пределов текучести, меняя скорость деформаций.
П. Людвиг работал со сплошными образцами, проводил эксперименты по кручению, сжатию и растяжению.
В своих расчётах П. Людвиг использовал выведенную им формулу,
связывающую касательные напряжения на поверхности образца как
функцию от удвоенных деформаций сдвига и соответствующий момент (от
того же аргумента):
, ч ЗМ(у) 1 dM(y) , R ч
r(y) = —^- + —ту——, где у = (о-г (г - радиус образца), а со - погонный
2яг 2їїг dy
угол закручивания на единицу длины образца. В дальнейшем эту формулу будем называть формулой Людвига. Эта формула является следствием равенства:
Л/(лг) = 2л \x{(op)p1dp.
П. Людвиг продемонстрировал вклад второго слагаемого формулы Людвига. Это слагаемое несколько "упрочнило" материал. На формуле Людвига основана соответствующая методика определения материальной функции т(у) (зависимости касательных напряжений от удвоенной деформации на поверхности образца) из экспериментальной зависимости М(в) момента от угла закручивания образца, получаемой из экспериментов на кручение сплошных образцов (Von P. Ludwik, 1925).
Вторым важным замечанием П.Людвига было недовольство традиционной мерой деформации, которую для случая растяжения можно выразить таким интегралом:
e.f\dr.
l0l0
Людвиг же предлагал использовать другой интеграл и считать приращения деформации не по отношению к начальной длине образца /0, а по отношению к текущей длине /. То есть получается такой интеграл:
=jtf = lnf = ln(l + *).
_ №
є =
/о ' '"
Если рассмотреть деформацию бруса без искажения прямых углов, то условие несжимаемости выразится равенством:
ёх+ё, + ёх = 0.
В случае малых деформаций это равенство превращается в хорошо известное тождество для малых деформаций:
єх+єу + є,=0.
Эту новую меру деформаций П. Людвиг называл эффективной деформацией, её ещё называют натуральной деформацией [46]. Он так же использовал при обработке эксперимента понятие эффективных напряжений, то есть считал напряжения как отношение силы к текущей поперечной площади образца. Демонстрировал преимущества такого подхода.
Работы П. Людвига имеют огромное значение, не только потому, что он оставил богатый методологический и экспериментальный материал, но и потому, что сформулировал недостатки современных методов и наметил способы по их устранению.
Позже, в работах Бэкофена В. и Филдса Д. (Fields D.S., Backofen W.A., 1957), была предложена формула, уточняющая формулу Людвига. В ней касательное напряжение и момент зависят не только от сдвига, но и от скорости сдвига. Эта формула называется формулой Бэкофена-Филдса [6, 70] и имеет вид:
Ш{у;г)+Г^ы1+Г^(ы1
dy dy
где у = (о-г (г - радиус образца), а со - погонный угол закручивания. На этой формуле основана соответствующая экспериментальная методика, в рамках которой проводится серия экспериментов на кручение сплошных образцов при постоянных скоростях крутки (а значит, и скоростях сдвигов на поверхности) и из получаемых экспериментальных зависимостей момента от крутки и скорости крутки по формуле Бэкофена-Филдса вычисляется материальная функция.
Вместо формулы Бэкофена-Филдса, иногда предпочитают пользоваться её упрощёнными следствиями. Например, оставляют только первое слагаемое, что соответствует предположению о постоянстве касательных напряжений вдоль радиуса образца. Либо пользуются линейным следствием формулы для момента, базирующимся на степенной зависимости
напряжений от деформаций и скоростей деформаций: a = Ає" єт .
В работах Муравлёва А.В. и Сретенского Н.В. [44, 45, 53, 54] методика Бэкофена-Филдса была доработана таким образом, чтобы учитывался разогрев образца во время проведения эксперимента, кроме того, стало возможным использовать не только сплошные, но и толстостенные образцы. Эту доработанную методику будем называть обобщённой методикой Бэкофена-Филдса. В рамках этой методики используется усовершенствованная формула Бэкофена-Филдса. Исходная формула Бэкофена-Филдса для толстостенного образца имеет вид:
,и
т(у,г) =
dM dM
Зм +й) + со
2лЪъ
dco ( dM
к-й
Л\
( '\
L L b'b
L L
(
\
b'b I
L L ь'ь
+
+
+
2жЬь
\
b dco
+
(
\
ay ay
+
\
ay ay
Y'Y
( -\\
ay ay
+ .
где а и b - внутренний и внешний радиус образца, <у= - —, <у= - —.
\Ь) Ь \Ъ) b
Видно, что первый член совпадает с формулой Бэкофена-Филдса для
сплошного образца радиуса Ь, а остальные слагаемые учитывают
толстостенность.
Обобщение же на случай термовязкопластичности сделано на основе
двух предположений. Первое: температуру, являющуюся функционалом всей
предыстории деформирования, можно выразить функцией от сдвига,
скорости сдвига и начальной температуры: Т = Т(у,у,Т0). Второе: сдвиговое напряжение является функцией сдвига, скорости сдвига и текущей
температуры: т = т(у,у,Т(у,у,Т0)). Итак, для случая термовязкопластичности формула Бэкофена-Филдса имеет вид:
2т-
dVr dyr
Чтобы найти т = т(уг,у„Тг), необходимо провести серию экспериментов на сплошном образце для различных начальных температур и скоростей круток,
получить две зависимости Тг =Тг(у,у,Т0) и М = М(у,у,Т0), и, используя выражение для т(уг,уг,Тг(у„уг,Т0)), получить т = т(уг,уг,Тг).
Зависимость Тг = Тг(у,у,Т0) необязательно получать из эксперимента.
Показано, что для быстрых процессов можно воспользоваться предположением о локальной адиабатичности, то есть из окрестности каждой точки тела нет оттока тепла, выделившегося за счёт работы внутренних напряжений. В этом случае для текущей температуры получается простая формула, по которой температуру легко вычислить.
Для медленных процессов температуру можно считать постоянной и пользоваться изотермической формулой Бэкофена-Филдса.
Для средних по времени процессов можно пользоваться так называемой средней температурой, которая получается из предположения о постоянстве температуры в поперечном сечении образца. Изменение температуры во время эксперимента обусловлено количеством тепла, выделяющимся в образце за счёт работы внутренних напряжений.
Существует так же класс экспериментов на тонкостенных трубках. В таких экспериментах можно прикладывать осевую силу, момент, внутреннее и внешнее давление. В силу малой толщины образца напряжённо-деформированное состояние можно считать однородным, что упрощает связь искомых и задаваемых параметров. Эксперименты на тонкостенных образцах можно найти в работах А.А. Ильюшина, B.C. Ленского, В.Г. Зубчанинова, И.М.Коровина, Ohashi Y., Tanaka Е. Методики определения функционалов пластичности из таких экспериментов описаны в работах А.А. Ильюшина, Р.А. Васина, В.П. Дягтерёва, B.C. Ленского и др.
Но тонкостенные трубки обладают недостатком, они быстро теряют устойчивость (при сдвиговых деформациях 5-7%), а значит, на тонкостенных образцах невозможно исследовать большие деформации. Поэтому приходится использовать толстостенные и сплошные образцы и разрабатывать специальные методики определения свойств материала. Сложность таких экспериментов в том, что в образце возникает неоднородное напряжённо-деформированное состояние, которое полностью
экспериментально выяснить невозможно, что усложняет методики обработки экспериментальных данных. В методиках Людвига, Бэкофена-Филдса и обобщённой методике Бэкофена-Филдса используются как раз сплошные (в последней - и толстостенные) образцы.
В работах В.И. Максака, Г.А. Дощинского, А.А. Ильюшина, Р.А. Васина, П.А. Моссаковского разработана методика фиктивной тонкой трубки [7, 29, 30]. Согласно этой методике проводится пара экспериментов на паре толстостенных образцов, "близких" по радиусу, затем, условная разность напряжённо-деформированных состояний в этих трубках берётся как напряжённо-деформированное состояние в воображаемой тонкой трубке. Недостатки этой методики вытекают из необходимости согласовывать размеры соответствующей пары трубок и проводить два согласованных эксперимента вместо одного, для случая тонкостенного образца. Хотя для класса однопараметрических траекторий для реализации N траекторий требуется N+1 эксперимент. Но проблема согласования размеров образцов остаётся.
Существует другая, технически легче реализуемая методика, базирующаяся на экспериментах с толстостенными образцами. По этой методике проводятся эксперименты, соответствующие двузвенным траекториям деформаций с ортогональным изломом. Эта методика предложена в работе А.В. Муравлёва [38].
Стоит упомянуть и про ещё один экзотический класс экспериментов. Это эксперименты, в которых искомые свойства материала находятся в результате изгиба балок. В таких экспериментах возникает неоднородное напряжённо-деформированное состояние, которое вызывает непростое изменение температурного поля, а значит, и объёма, что естественно усложняет задачу моделирования такого эксперимента.
Следует отметить, что параллельно с разработкой новых экспериментальных методик развивалась и теория определяющих соотношений. Качественный скачок в её развитии произошёл в 40-50гг. XX столетия, благодаря работам А.А. Ильюшина и У. Нолла [16, 86]. Ими был разработан систематический, аксиоматический, не зависящий от конкретной сплошной среды подход к построению определяющих соотношений. Одним из базовых принципов современной теории определяющих соотношений является тензорное представление основных характеристик (напряжений и деформаций). Выбор тензорной меры не однозначен [ 2, 5, 9, 25, 26, 27, 33, 35, 46, 48, 49, 57, 60, 64, 86, 72 ]. Множество тензорных мер имеет мощность континуум. Тензорные меры принято разделять на голономные и неголономные. Первые характерны тем, что напряжённо-деформируемое состояние в любой точке определяется только значениями этих тензоров в этой точке. В случае неголономных мер напряжённо-деформируемое состояние определяется всей предысторией изменения этих мер. В частности, меры Генки, которые нас будут интересовать в дальнейшем, являются голономными, а меры, соответствующие объективным коротационным производным являются неголономными. Первые работы, посвященные
объективным производным, принадлежат Зарембе и Яуману. Во второй половине XX века в этом направлении работали Олдройд, Коттер, Ривлин, Трусделл, Седов, Ильюшин, Дине, Трусов, Маркин, Левитас, Бровко и другие. С применением коротационных мер деформаций связаны некоторые сложности, например при использовании меры деформаций, соответствующей производной Яумана, возникают осцилляции для процессов простого сдвига. Особый интерес представляют сопряжённые меры напряжений и деформаций, то есть меры, свёртка которых даёт работу. Классы таких сопряжённых мер подробно рассмотрены в работах Г.Л. Бровко [2-5].
В данной работе используется обобщённая методика Бэкофена-Филдса и проводится её развитие. Дальнейшие усовершенствования этой методики связаны с тем, что первоначально экспериментальные методики строились в рамках предположений о малости деформаций. И если уж и проводились эксперименты, в которых достигались большие деформации, то мера деформаций, как правило, оставалась прежней, унаследованной от малых деформаций. Хотя попытки интерпретации узких классов экспериментов на языке новых, более адекватных мер проводились давно, чёткой методики для конечных деформаций не было предложено до сих пор. Одним из первых, кто обратил внимание на необходимость считать деформации иначе, был П. Людвиг [72]. Он предложил использовать натуральную деформацию. В работах А. Надай [46] эти исследования продолжены, рассмотрены процессы растяжения и сдвига (простого и чистого) с позиций натуральных деформаций. Для процессов растяжения показана согласованность натуральной меры деформаций и истинных напряжений по работе:
W = \ойє = \а{\ + є) =jauande. С использованием натуральной меры
о о ^+ о
деформаций Людвиг получал единые диаграммы для экспериментов на кручение, растяжение и сжатие.
В этой работе предлагается в обобщённой методике Бэкофена-Филдса перейти от сдвига и скорости сдвига к натуральному сдвигу и скорости натурального сдвига. Этот вид новой скоростной чувствительности предлагается впервые. По этой модифицированной методике были обработаны экспериментальные данные Маккуина (McQueen H.J.), полученные из экспериментов на горячее кручение сплошных образцов. Результаты такой обработки показали целесообразность перехода к натуральному сдвигу и скорости натурального сдвига. Далее, для класса процессов предлагается новый вариант определяющих соотношений для термовязкопластических тел. Обобщены две экспериментальные методики на случай конечных деформаций, позволяющие находить диаграммы сдвига из экспериментов с толстостенными образцами при больших деформациях и при неоднородном напряжённо-деформируемом состоянии по радиусу.
Работа состоит из двух глав.
Первая глава посвящена нахождению термовязкопластических свойств материала из экспериментов на кручение сплошных образцов. Сначала даётся общая постановка задачи для толстостенного цилиндрического образца. Затем, в первой части, описывается обобщённая методика Бэкофена-Филдса. В третьей части первой главы вводятся натуральный сдвиг и скорость натурального сдвига, и производится переход к этим аргументам в обобщённой методике Бэкофена-Филдса. Далее, по модифицированной методике обрабатываются экспериментальные данные Маккуина (McQueen), полученные из экспериментов на горячее кручение сплошных образцов. Полученные результаты анализируются. Во второй части описываются две другие экспериментальные методики, полученные из предположений о малости деформаций.
Во второй главе простой сдвиг подробно рассматривается с позиций теории деформаций и теории процессов. В изображающем пространстве Ильюшина строятся траектории этого процесса, соответствующие тензорам Генки и нейтральной коротационной мере Динса. Эти траектории анализируются, и на базе этого анализа во второй части главы предлагается конкретный вид определяющих соотношений. В третьей части проводится обобщение методик, описанных во второй части первой главы, на случай конечных деформаций, при этом используются предложенные определяющие соотношения в упрощённом виде. В четвёртой части главы указываются некоторые недостатки определяющих соотношений, и предлагается модифицированный вид определяющих соотношений. В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, двух приложений и списка литературы.
Две экспериментальные методики
В этом параграфе будут описаны две экспериментальные методики, которые основаны на экспериментах с использованием полых цилиндрических образцов. Образец представляет собой полую трубу с внутренним и внешним радиусами а и Ъ соответственно, из изотропного, однородного, несжимаемого материала. Внешняя поверхность образца закреплена, а внутренняя поверхность: в первой методике, вращается относительно оси трубы, при этом известны приложенный момент и угол поворота внутренней поверхности трубы относительно внешней, а во второй методике внутренняя поверхность движется вдоль оси трубы, при этом известны приложенная осевая сила и величина сдвига вдоль оси трубы (см. рис. 1.2.1, 1.2.2). Гипотеза несжимаемости в этих экспериментах обосновывается тем, что образец зажат между концентрическими цилиндрами, а значит, изменение объёма контролируется. Труба является бесконечной в обоих направлениях, сила и момент -погонными, то есть на единицу длины образца. Деформации считаются малыми. В обоих случаях удобно ввести естественную цилиндрическую систему координат. Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат имеют вид: Массовые силы считаем равными нулю. Компоненты тензора малых деформаций в цилиндрической системе имеют вид: Сначала рассмотрим случай, когда в эксперименте внутренняя поверхность трубы вращается относительно внешней. Перемещения примем в виде: Граничные условия: иф{Ь) = 0. Тогда ненулевые компоненты тензора деформаций имеют вид: Из определяющих соотношений (теория малых упруго-пластических процессов) следует, что ненулевыми компонентами тензора напряжений являются компоненты тГр(г) = о- (г). Подставляя их в уравнения равновесия, получаем: Будем считать, что для исследуемого материала функция Ф имеет обратную, которую мы и будем искать, зная экспериментальную зависимость ф(М) (ф - угол закручивания, находится из эксперимента). Заметим, что —— = а(г) - изменение угла между радиальным и концентрическим волокном в точке. Теперь: Это уравнение имеет вид: F(x) - F(ax) = G(x), то есть является уравнением с отклоняющимися аргументами.
Решение этого уравнения имеет вид быстро со сходящегося ряда: F(x) = G(a x) [1, 69]. В нашем случае Мл/3 Теперь рассмотрим эксперимент, когда внутренняя поверхность трубы смещается относительно внешней вдоль оси трубы. Перемещения в этом случае имеют вид: Тогда ненулевые компоненты тензора деформаций имеют вид: Из определяющих соотношений (теория малых упруго-пластических процессов) получаем, что ненулевыми компонентами тензора напряжений являются компоненты o-„(r) = azr{r). Подставляя их в уравнения равновесия, получаем: Перепишем её таким образом: аи = = Ф Х= =Ф -г=— Как и ранее, будем считать, что для исследуемого материала функция Ф имеет обратную, которую мы и будем искать, зная экспериментальную зависимость 1(М) (величина перемещения внутренней поверхности). Тогда: FS 2тш \ -Ь-Ф -і 2rib то есть, как и в предыдущем случае, получаем уравнение с отклоняющимися аргументами, решение которого имеет вид быстро сходящегося ряда. Обе методики можно применять для материалов, которые при исследуемых нагрузках не обладают площадками текучести и материальная функция которых - суть возрастающая функция. Это могут быть упрочняющиеся материалы, например резина или некоторые сплавы стали. Далее будут рассматриваться эксперименты по горячему кручению сплошных цилиндрических образцов. Сплошные образцы хороши тем, что не теряют устойчивость при достаточно больших деформациях, в отличие, например, от тонкостенных образцов. Это положительное свойство позволяет достигать больших сдвиговых деформаций без нарушения формы и потери устойчивости. Так же возникает возможность работать в широком диапазоне скоростей деформаций и температур.
Правда есть и отрицательная черта сплошных (и толстостенных) образцов: приходится учитывать неоднородное распределение по радиусу образца сдвиговых напряжений г, деформаций у, скоростей деформаций у и, иногда, температуры Т. Это усложняет методику проведения эксперимента и обработки экспериментальных данных. Обобщённая методика Бэкофена-Филдса, позволяет находить /щ VY \ "V ( у dl Х J Рис. 1.3.1 сдвиговые свойства материала в виде материальной функции т{со,а ,Т). Учёт изменения температуры в образце в ходе эксперимента для толстостенных и сплошных образцов оказался существенным в этой методике. Для алюминия, например, графики сдвиговых диаграмм поднялись на 10%. Итак, рассмотрим эксперименты на кручение сплошного образца. Считаем, что выполняется гипотеза плоских сечений, и что сечения не деформируются. Таким образом, у тензора напряжений все компоненты равны нулю кроме агв{єгв,єгв). Зафиксируем два поперечных сечения, расположенных на расстоянии dl. Пусть, под действием момента М одно сечение повернулось относительно другого на угол 9. Введём относительный угол закручивания со: 9 = со1. При кручении элемент QP, первоначально параллельный оси образца, перейдёт в QP (см. рис. 1.3.1). Очевидно, что: РР = rd& = rcodl = ydl, где г - радиус образца, а у - сдвиг. Отсюда следует, что: у = гсо.
Переход к натуральным деформациям и к скоростям натуральных деформаций в методике обработки экспериментальных данных
В рамках сделанных предположений деформации в цилиндрическом образце представляют собой простой сдвиг, пропорциональный расстоянию от оси образца. Нас интересует напряжённо-деформируемое состояние на поверхности образца. Так как в данном случае процесс деформации представляет собой простой сдвиг, то поверхность образца удобно изучать на плоскости, условно "развернув" её таким образом, чтобы ось ординат была направлена параллельно образующей образца, а ось абсцисс вдоль сдвига (см. рис. 1.3.2). Такое упрощение возникло для относительно малых значений погонного угла закручивания. При малых углах закручивания можно пренебречь и температурными эффектами, и связанными с ними радиальными деформациями образца. Так же можно не учитывать такие эффекты как продольное удлинение стержня. Но в данной работе мы собираемся рассматривать не только малые деформации, но и конечные, при которых материал образца выходит в область пластичности и даже сверхпластичности. Это упрощение, на которое мы идём в данной работе, надо, безусловно, осознавать. Дальнейшие исследования в других работах должны быть направлены на то, чтобы уйти от этих допущений при рассмотрении конечных деформаций. Рассмотрим простой сдвиг подробнее. При простом сдвиге точки тела перемещаются параллельно оси абсцисс на расстояние, пропорциональное расстоянию до оси абсцисс. Формулы для перемещений имеют вид: Отрезки, лежащие на прямых вида у = const и у = + const, не меняют длину при таком преобразовании. Мерой такой деформации является относительный сдвиг плоскостей, расположенных на расстоянии 1 друг от друга. На рисунке 1.3.3 изображён простой сдвиг с параметром у. Рассмотрим точки Е и Е , расположенные на расстояниях -—и — от оси ординат и на расстоянии 1 от оси абсцисс. Точка Е перейдёт в точку Е . На отрезках ОЕ и ОЕ построим ромбы OEDA и OE D A, как показано на рисунке. При простом сдвиге первый ромб перейдёт во второй, причём, очевидно, стороны ромбов одинаковой длины. На прямой ЕЕ построим точки F и F , а на отрицательной полуоси абсцисс построим точку
В. Причём: Очевидно, что отрезок OF при простом сдвиге перейдёт в отрезок ОЕ, а отрезок ОЕ - в отрезок OD . Так как диагонали ромба перпендикулярны, а диагонали смежных ромбов параллельны, то: OF10D и OF ±OD\ Пары векторов OF - OD и OF - OD образуют пары главных направлений до, и после деформации. то есть тангенс угла поворота главных осей равен половине сдвига. Из вышесказанного следует, что простой сдвиг представляет собой комбинацию чистого сдвига и поворота. Вычислим удлинение составляющей чистого сдвига. Так как можно получить выражения для компонент тензора малых деформаций. Экспериментально установлено, что определяющие соотношения или материальные функции, включающие тензоры малых деформаций, при больших деформациях начинают давать расхождение теории и эксперимента. В частности, при развитых деформациях не получается единая диаграмма, то есть диаграммы интенсивностей деформаций-напряжений, полученные из экспериментов на кручение, сжатие и растяжение, перестают совпадать (с разумной точностью). Это несоответствие наводит на мысль, что необходима другая, более правильная мера деформаций. Основным недостатком традиционных мер деформаций, в том числе и коротационных, является тот факт, что они неправильно учитывают накопленные деформации. Приведём такой пример. Рассмотрим круговой цилиндр единичной длины и единичного радиуса и волокно на его поверхности, проходящее от одного основания до другого параллельно образующей цилиндра. При кручении одного основания относительно другого на п оборотов это волокно примет форму спирали, формула которой имеет вид: При стремлении п к бесконечности это выражение стремиться к нулю, то есть с ростом числа оборотов деформации становятся всё меньше и меньше. Это говорит о том, что одинаковые повороты при различных начальных условиях (начальных поворотах) вносят разный вклад в деформацию образца. Рассмотрим теперь такой пример. Возьмём квадрат со стороной единица и этот же квадрат, но подвергнутый простому сдвигу с величиной сдвига равной 10 (см рис. 1.3.4). Теперь подвергнем эти две фигуры простому сдвигу величины 1. Как можно видеть, эффект от одного и того же простого сдвига для двух рассматриваемых фигур различен. Вертикальные волокна в первом случае претерпевают заметно больший поворот, чем во втором. Во втором случае сдвиг больше напоминает растяжение.
Очевидно, что сдвиги из начального состояния и уже деформированного не равноценны. Так, если представить плавную деформацию простого сдвига для квадрата от начального состояния до достаточно больших значений у, то можно заметить, что при больших деформациях сдвиг практически переходит в растяжение. При больших простых сдвигах составляющая чистого сдвига начинает сильно преобладать над составляющей жёсткого поворота. Дальнейшая работа состоит в том, чтобы в обобщённой методике Бэкофена-Филдса заменить традиционную меру деформации, введённую при предположении о малости деформаций, на более подходящую для конечных деформаций меру, которая бы учитывала описанные выше замечания. А
Определяющие соотношения
В параграфе 1.3 для методики обработки экспериментальных данных было предложено в искомой материальной функции перейти от сдвига и скорости сдвига к эффективному (натуральному) сдвигу и к скорости эффективного (натурального) сдвига. С позиций нового подхода были обработаны результаты экспериментов на кручение, проведённые Маккуином (McQueen H.J.) на цилиндрических образцах из сплавов алюминия и стали. Его эксперименты характерны широким разбросом скоростей деформаций, которые доходят до больших величин. Например, для сплавов стали скорости деформаций доходят до 23с"1. Полученные результаты дают основание считать выбор новых параметров материальной функции удачным. Переход к натуральному сдвигу обоснован и тем, что когда Людвиг и Надай использовали этот параметр, им удавалось получать единую диаграмму из экспериментов на кручение, растяжение и сжатие. Правда, мера скорости сдвига оставалась прежней. Как показано в этой работе, переход к скорости эффективной деформации тоже продуктивен, так как позволяет в ряде случаев упростить определяющие соотношения (например, оставить только скоростную чувствительность).
Следующим шагом должно быть обобщение предложенных мер деформаций и скоростей деформаций на случай произвольных процессов. Требуется предложить определяющие соотношения, которые свяжут девиаторную часть тензора напряжений (Коши) и деформации. Было бы естественно в определяющих соотношениях теории течения заменить тензор деформаций одним из тензоров Генки, Но у тензоров Генки есть особенность. Как мы видели на примере простого сдвига, тензор скоростей деформаций не касается траектории деформации, построенной с использованием этих тензоров. С этой точки зрения нейтральная коротационная мера выглядит более привлекательно, но она не правильно учитывает накопленные деформации. Как показано в предыдущем параграфе, Л натуральный сдвиг равен интенсивности девиатора тензора Генки (Н или Н), помноженному на -Уз. Поэтому, логично в определяющие соотношения включить не сам тензор (девиатор) Генки, а его интенсивность и производную от интенсивности, и при этом сохранить сонаправленность девиаторов скоростей деформаций и напряжений. Принимается условие несжимаемости. В итоге получаем определяющие соотношения в таком виде: где Hu - интенсивность девиатора левого тензора Генки, S J - девиатор тензора истинных напряжений, Vі - девиатор тензора скоростей деформаций, Областью применения этих определяющих соотношений будем считать процессы деформаций малой кривизны (по коротационной траектории, построенной в базисе, полученном из начального поворотом из полярного разложения аффинора, т.е. в базисе -U,e2[). Работа напряжений будет вычисляться по коротационной траектории деформаций. Суть и результаты проделанной работы отражены в следующих публикациях: [10, 12,41]. В этом параграфе снова будут рассмотрены методики (и соответствующие задачи), описанные в параграфе 1.2, с той разницей, что сейчас мы будем опираться на новые определяющие соотношения, а деформации не будем считать малыми. Рассмотрим толстостенную, бесконечную в обоих направлениях трубу с внутренним радиусом а и внешним радиусом Ь. Материал трубы однородный, изотропный и несжимаемый, для которого выполняются описанные выше определяющие соотношения, но в более простой форме, без температурной и скоростной чувствительности.
Внешняя поверхность трубы закреплена, а внутренняя движется либо вдоль оси трубы в случае задания внешней силы, либо внутренняя поверхность вращается относительно оси трубы, когда задаётся момент (см. рис. 1.2.1, 1.2.2 на стр. 20). Сила и момент действуют равномерно на всю внутреннюю поверхность трубы. Сила направлена вдоль оси трубы. В обоих случаях построим зависимость между кинематическими характеристиками и интегральными (сила, момент). Рассмотрим сначала случай, когда внутренняя поверхность трубы вращается относительно внешней под действием момента. Введём цилиндрические координаты (r,p,z), расположенные естественным образом (ось z вдоль оси трубы). В силу того, что труба бесконечна и симметрична относительно оси, кинематические характеристики (движение вдоль радиуса и изменение угла) не должны зависеть от р и z. Итак, напишем уравнения. Уравнения равновесия: пределяющие соотношения возьмём в упрощённом виде (без температурной и скоростной чувствительности):
Коррекция определяющих соотношений
Определяющие соотношения в том виде, каком они представлены выше, имеют недостаток. А именно, рассмотрим процессы малой кривизны, которые начинаются в точке ноль, проходят по окружности и возвращаются в точку ноль. Так как в определяющие соотношения входит интенсивность тензора Генки, то в начале и в конце этого процесса интенсивность напряжений одинакова, что плохо. Поэтому, предлагается модифицировать предложенные определяющие соотношения, а именно, перейти от интенсивности девиатора тензора Генки к длине траектории деформации s, построенной с помощью левого тензора Генки. о построенной с помощью левого тензора Генки. В таком виде определяющие соотношения будут учитывать накопленные деформации и при возвращении в начало координат.
Для случая простого сдвига инвариант тензора Генки и длина дуги отличаются не значительно, для случая одноосного растяжения они совпадают. Поэтому все построенные графики мало изменятся при переходе от интенсивности тензора Генки к s. В диссертационной работе получены следующие основные результаты: 1) Предложена модификация обобщённой методики Бэкофена-Филдса, на случай построения диаграммы сдвига в виде зависимости т(у,у,Т) сдвигового напряжения от натурального сдвига и скорости изменения натурального сдвига. По модифицированной методике построены диаграммы сдвига по результатам экспериментов на горячее кручение сплошных цилиндрических образцов для некоторых металлов и сплавов. 2) Дано обоснование построения единой диаграммы деформирования термовязкопластического материала в виде единой зависимости интенсивности девиатора напряжений от интенсивности девиатора тензора конечных деформаций Генки, скорости его изменения и температуры на основе результатов экспериментов по одноосному растяжению, одноосному сжатию и простому сдвигу. 3) Предложен вариант определяющих соотношений теории процессов малой кривизны для термовязкопластического материала на основе определения скалярных свойств по голономной мере деформаций, а векторных свойств по неголономной мере деформаций. 4) Дано обобщение двух экспериментальных методик на случай построения диаграммы сдвига в виде зависимости Y = Y(J) натурального сдвига от сдвигового напряжения в экспериментах по осевому или окружному сдвигу толстого цилиндрического слоя, с неоднородным по радиусу напряженно деформируемым состоянием. В настоящем приложении приведены исходные экспериментальные данные, полученные Маккуином (McQueen H.J.) из экспериментов на кручение сплошных образцов. Они представлены в виде зависимостей момента от сдвиговой деформации на поверхности образца и разбиты на серии, которые в основном соответствуют разным сплавам, хотя для некоторых сплавов приведены две серии.
Диаграммы, приведённые на одном графике, отличаются начальными температурами и скоростями крутки (скоростями деформации). После исходных данных каждой серии приводятся диаграммы, являющиеся результатом обработки этих экспериментальных данных, в виде зависимостей касательных напряжений от сдвига на поверхности образца и от эффективного (натурального) сдвига на поверхности образца. Температурная коррекция производилась по одной из описанных в первой главе методик, соответствующей предположению о глобальной адиабатичности. Диаграммы, соответствующие разным температурам изображены на разных графиках. На каждом таком графике для каждой скорости деформации у представлены по три зависимости касательного напряжения гот сдвига на поверхности образца у. Первая зависимость получена по инженерной формуле: т = —г, вторая - по формуле Бэкофена-Филдса и с использованием температурной коррекции, а третья отличается от второй тем, что соответствует не постоянной скорости сдвига, а постоянной скорости натурального (эффективного) сдвига, то есть это диаграмма вида т(у(у),у = const,Т0). Причём численно скорости сдвига для первых двух диаграмм равны натуральной скорости для третьей диаграммы.
После таких графиков с описанными диаграммами следуют такие же, но по оси абсцисс у них отложены не простые сдвиги, а натуральные. Перед каждой серией исходных графиков и полученных в результате обработки находится заголовок, представляющий собой маркировку сплава, из которого изготовлены образцы, использовавшиеся в экспериментах данной серии. Это марки стали (301, 304, 317с и 317w) и сплавы алюминия АА2024. Рядом с каждым графиком расположена легенда, из которой можно узнать: для исходных данных - температуру (в скобках) и скорость сдвиговой деформации на поверхности образца; для графиков с обработанными данными - тип зависимости т(у) ("инженерная", "по Бэкофену-Филдсу" т(у,у = const) и самая главная - т(у,у = const)) и, в скобках, скорость сдвиговой деформации на поверхности образца (для зависимости т(у,у = const) указана натуральная (эффективная) скорость сдвиговой деформации на поверхности образца). Скорость измеряется в с-1, а температура - в градусах Цельсия.
Похожие диссертации на Элементы теории эксперимента для термовязкопластических тел при конечных деформациях
