Введение к работе
Актуальность темы. Сейчас трудно представить создание новых производственных технологий без разработки адекватных математических моделей и их всестороннего исследования в численных экспериментах. Для технологий, связанных с формоизменением твёрдых тел, конечным этапом этих теоретических исследований является решение соответствующей краевой задачи, которая, как правило, оказывается контактной. Вместе с тем такие задачи во многих отношениях – одни из самых сложных краевых задач математической физики. Ввиду своей важности и сложности контактные задачи привлекали большое число исследователей как в нашей стране (А.С. Кравчук, В.С. Давыдов, Е.Н. Чумаченко, Э.Р. Гольник, Н.И. Гундорова, А.А. Успехов и др.), так и за рубежом (G. Pietrzak, A. Curnier, F. Armero, E. Petoch, P. Alart, M. Barboteu, F. Lebon, D. Barlam, E. Zahavi и др.). При этом контактная задача при конечных деформациях по части постановки обычно рассматривалась либо как задача на условный экстремум некого функционала (для упругих материалов), либо как квазивариационное неравенство скоростного типа (в общем случае). Существуют также невариационные постановки, но к ним прибегают сравнительно редко.
В результате было разработано множество алгоритмов и пакетов программ, которые охватывают широкий диапазон технологических задач, однако на практике получение достоверных результатов для сложных процессов деформирования может оказаться серьёзной проблемой, связанной с подбором нескольких параметров, отсутствующих в постановке задачи и влияющих только на вычислительный процесс. Эти параметры могут меняться от задачи к задаче, поэтому их приходится каждый раз подбирать заново. При этом обычным делом является расходимость пошагового расчёта после довольно большого числа шагов, никак не связанная с потерей устойчивости реальной механической системы контактирующих тел. Кроме этого, предлагаемые алгоритмы чрезвычайно сложны, и для своей программной реализации требуют участия как квалифицированных математиков, так и квалифицированных программистов, что может оказаться неприемлемым для исследователей, располагающих небольшим бюджетом.
Важно учитывать ещё два обстоятельства. Во-первых, при работе с фирменными программными продуктами предлагаемые пользователю способы описания движения абсолютно жёстких тел могут оказаться непригодными в каком-то частном случае. Например, пакеты ANSYS и NASTRAN использует декартовы координаты выделенной точки тела ("pilot node") и углы поворота вокруг неё, что не позволяет решать некоторые задачи со сложным нагружением. Поэтому желательно, чтобы пользователь мог самостоятельно задавать системы обобщённых координат для абсолютно жёстких тел. Во-вторых, в последнее время начал проявляться интерес к микроструктуре деформируемых тел (в частности, Г. Л. Бровко исследует модели среды Коссера). Это предъявляет дополнительное требование к контактным алгоритмам, а именно: высокую точность расчёта в тонком приконтактном слое при конечных деформациях, поскольку в технологических процессах зачастую именно там формируется микроструктура материала.
Таким образом, разработка более экономичных и простых в программировании способов решения остаётся актуальной проблемой.
Работа выполнялась в соответствии с научно-технической программой "Высокие технологии высшей школы" (утверждена приказом № 486 от 20.03.96 "Об утверждении перечня минвузовских научно-технических программ на 1996 г."); проектами "Исследование пластического течения металла при локальном и комплексном нагружении" и "Исследование характера пластического течения металла при получении тонкостенных осесимметричных деталей методом валковой штамповки", выигравшими конкурсы грантов в 1996 и 2000 г.г. соответственно; проектом "Исследование пластического течения металла при изготовлении деталей методом валковой штамповки", вошедшим в разовый заказ-наряд в 1999 г; проектом "Исследование напряженно-деформированного состояния и характера пластического течения металла в разделительных и формообразующих операциях при локальном деформировании", вошедшим в единый заказ-наряд в 2000 г.; проектом “Исследование пластического формоизменения при комплексном локальном нагружении объекта деформирования”, выполненном по заданию Министерства образования на проведение научных исследований в 2005-2007 гг.
Цели диссертационной работы. Основной целью является вариационная постановка и разработка методов решения задач взаимодействия абсолютно жёстких тел с конечно деформируемым упругопластическим телом. Для её достижения оказалось необходимо:
1. Получить скоростной вариационный принцип квазистатического равновесия системы контактирующих тел, явно включающий в себя не только тензорные поля, определяющие напряжённо-деформированное состояние (НДС), но также и обобщённые координаты и силы для абсолютно жёстких тел.
2. Построить модель описания процесса контактного взаимодействия на основе предложенной формы вариационного принципа и системы эволюционных уравнений.
3. Выполнить пространственную дискретизацию полученной модели на основе конечноэлементной аппроксимации Разработать методику решения полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе метода Рунге-Кутта.
4. Создать и отладить программу для численного решения контактных задач.
5. На серии численных тестов продемонстрировать достоверность предлагаемого метода и его преимущества перед существующими.
Научная новизна:
1. Предложена модификация вариационного принципа скоростного типа, позволяющая описать процесс взаимодействия жёстких тел с телами, испытывающими произвольные деформации.
2. Разработана методика решения системы уравнений, получаемой в результате дискретизации предложенной модели контактного взаимодействия, эффективная как при малых, так и при больших деформациях.
3. Получено уравнение эволюции границы поверхности контакта.
Методы исследования:
В работе использованы понятия и методы нескольких разделов механики деформируемого твёрдого тела и математики: кинематика и условия равновесия сплошной среды и абсолютно жёстких тел; вариационный анализ; тензорный анализ; дифференциальная геометрия; метод конечных элементов; система разрешающих уравнений интегрировалась с помощью метода Рунге-Кутта 4-го порядка.
Кроме этого, для сравнения использовался расчёт методом множителей Лагранжа с добавками (augmented Lagrangian method), выполненный коммерческим пакетом ANSYS, показавший результаты, сходные с полученными излагаемым методом.
Достоверность результатов обеспечивается сравнением с точными решениями двух тестовых задач Герца, а также с решением третьей тестовой задачи, полученным одним из классических методов, поддерживаемым коммерческим пакетом ANSYS.
Практическая значимость и реализация работы
Разработан и реализован как пакет программ на языке FORTRAN 95 метод численного решения контактных задач с трением, ориентированный на задачи обработки металлов давлением, в которых одно упругопластическое тело взаимодействует с несколькими абсолютно жёсткими телами. Метод может оказаться полезным и в других областях, например, в механике соударения твёрдых тел.
На защиту выносится
постановка и метод решения задачи стационарного взаимодействия абсолютно жёстких тел с конечно-деформируемым упругопластическим телом.
Апробация. По содержанию диссертационной работы были сделаны доклады: на международном научно-техническом симпозиуме "Механика и технология в процессах формоизменения с локальным очагом пластической деформации", октябрь 1997, ОрелГТУ; на международной научно-технической конференции "Ресурсосберегающие технологии, оборудование и автоматизация штамповочного производства", ноябрь 1999, ТулГУ; на международной научно-технической конференции “Информационные технологии в обработке давлением”, апрель 2008, Украина, Краматорск Донецкой обл.; на ежегодных научно-технических конференциях в ОрёлГТУ.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 6 печатных работ, среди которых 2 статьи в центральных научных рецензируемых изданиях; 3 статьи в различных межвузовских сборниках научно-технических трудов; 1 тезисы доклада на научно-технической конференции.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 97 страницах машинописного текста и содержит 15 рисунков. Состоит из введения, трёх глав, заключения и общих выводов по работе, списка используемых источников, включающего 59 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
