Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные соотношения трехмерной теэрии устойчивости в неклассической постановке 17
1.1.Общие уравнения устойчивости, граничные условия.Общая постановка задачи 17
1.2. Замыкание задачи устойчивости в на пряжениях по неклассическому варианту Сопоставление вариантов 26
1.3. Задача сжатия-растяжения полосы в различных вариантах. Решение плоской задачи по неклассическому варианту 36
Глава 2. Об образовании пространственной шейки и изгибной формы потери устойчивости в упруго-пластической пластинке при осевых нагрузках . 49
2.1. Общие соотношения устойчивости в на пряжениях 50
2.2. Устойчивость пластинки при осевых на грузках. Случай упругости 55
2.3. Устойчивость пластинки при двухосной нагрузки 64
2.4. Устойчивость пластинки при одноосной нагрузки.Слабое упрочнение 73
Глава 3. Устойчивость упруго-пластического слоя, стекающего по наклонной поверхности 81
3.1. Устойчивость полосы,лежащей на гори зонтальной плоскости 87
3.2. Задача устойчивости слоя,стекающего по наклонной поверхности 100
Заключение 110
Литература 118
- Замыкание задачи устойчивости в на пряжениях по неклассическому варианту Сопоставление вариантов
- Задача сжатия-растяжения полосы в различных вариантах. Решение плоской задачи по неклассическому варианту
- Устойчивость пластинки при осевых на грузках. Случай упругости
- Задача устойчивости слоя,стекающего по наклонной поверхности
Введение к работе
В механике деформируемых сред теория устойчивости представляется одной из важных частей, которая в настоящее время превратилась в весьма разветвленную отрасль со своими многочисленными приложениями, методами и подходами. Результаты этой теории практически применяются в любой отрасли промышленности и строительства. Вопросам устойчивости деформируемых тел посвящены многие работы. Однако большинство исследователей с целью упрощения решения задач, связывая явление потери устойчивости лишь с тонкостенными конструкциями, пользовались двумерными и одномерными прикладными теориями.
С другой стороны, бурный рост техники, связанный с задачами механики конструкционных материалов и задачами устойчивости толстостенных элементов конструкции, требует разработки трехмерной теории устойчивости и развития прогрессивных подходов.
Основы теории устойчивости трехмерных деформируемых тел изложены во многих отдельных монографиях и многочисленных статьях советских и зарубежных авторов.
Первые работы по устойчивости упруго-пластических систем (Ф.Энгессер, Т.Карман) основывались, как и в упругости, на критерии Эйлера, состоящем в том, что неустойчивость трактовалась как возможность равновесного перехода из основного состояния в побочное при неизменных внешних нагрузках. Однако в этих ранних исследованиях была рассмотрена устойчивость только в отдельных случаях, решение которых не основывалось на общей теории. Позже, из этих частных примеров Ж.Х.Брайон / 53 / в 1888 году попытался делать обобщение и показал, что равновесие данного положения бу-
.- 4 -
дет зависеть от того, достигает ли минимального значения потенциальная энергия в данном положении.
Построение линеаризированной теории устойчивости привлекало внимание многих ученых. Известно, что Коши в свое время пытался построить теорию устойчивости для тел с начальными напряжениями, что в определенном смысле по современной терминологии соответствует линеаризированной теории устойчивости. В дальнейшем, проблеме построения теории устойчивости, описывающей процесс деформирования тела от естественного (ненапряженного) до данного состояния, посвящена обширная литература. Обусловлено это тем, что уравнение устойчивости допускает множество форм представления в связи как с различным выбором систем отсчета, так и с различной трактовкой (определением) понятий дополнительных деформации и напряжений, что приводит к различным, внешне отличающимся формулировкам критерия устойчивости. Отражая происходящие явления, эти формы представления обладают неодинаковой ценностью в приложении к решению конкретной проблемы как в отношении компактности постановки краевой задачи, так и в плане максимальной естественности упрощающих предположений. Анализ вышесказанных представлений, их взаимосвязи и эквивалентности дается в статье з. П.Ба-занта / 2 /.
Можно показать, что основой для записи уравнений устойчивости является выражение для так называемого "обобщенного тензора напряжения" ^^и через компоненты тензора jC^-k/C^
где fytf/ - начальные напряжения, &' - тензор дополнительного напряжения, а тензор ^/ - тензор соответствующего варианта.
~ 5 -
На основе соотношения (I) будут рассмотрены некоторые более известные варианты записи уравнений устойчивости, причем анализ их постановок проводится в историко-хронологической последовательности.
Будем использовать прямоугольные декартовые координаты, х^ -координаты частицы в начальном напряженном состоянии, а после деформации 5^> -90^+41^ Будут рассматриваться только нагрузки типа "мертвой" во избежании сложности:
Уравнения трехмерной устойчивости и граничные условия при мертвой нагрузке можно представить в общем виде:
V; - (2)
Впервые уравнения трехмерной устойчивости для малых докри-тических деформаций получил Р.В.С&усвелл / 65 / в 1913 г. При однородном начальном состоянии, по Р.В.Саусвеллу, имеют место (2),(3), где JE^-^b выражении для "Суу в (I) имеет вид:
З^-сіШ = г&
со следующими обозначениями:
(4) выписывается в системе координат, оси которой в рассматриваемом состоянии совпадают с главными осями напряжений.
Не прибегая к линеаризации нелинейных соотношений, и также исходя из соображений физического характера, в 1928 году С.Б.Еи-Цено и Г.Генки / 53 / получили дифференциальные уравнения в об-
щем случае, когда присутствуют силы, т.е. (2), (3) , где:
ЗСуЬЬ =z 8ц ЛО^^ - ^ ^ (5)
В / 53 / были написаны уравнения устойчивости и граничные условия (2) и (3) в цилиндрических координатах»
Напомним, что б^/ в (4) и (5) разные и выражаются через линеаризированные тензоры деформации && с помощью разных упругих постоянных Eu-kC в следующей форме:
С*) г СО
Чу = ^у** ^М (6)
Далее, в 1933 году Е.Трефтц / 66 / получил основные линеаризированные соотношения устойчивости, исходя из принципа виртуальных перемещений, представимого в следующей форме:
Єум + %*, %) -"&,* м^+у <№= от
В этом случае, тензор ЗС-^ в (і) имеет вид:
3t*jM, = %j ЛС<„4, (8)
Идеи Е.Трефтца были развиты в работе Р.Каппуса / 62 /, где впервые получены строго линеаризированные уравнения движения деформируемого тела при конечных докритических деформациях.
Запись (8) является удобной, так как связана с тензором деформации Грина-Лагранжа:
% = *І "*"& ^* ^'/' (9) Путем линеаризации основных соотношений нелинейной теории упругости, М.А,Еио / 54 / и / 56 / в 1939 году вывел основные уравнения устойчивости (2) и (3), отбрасывая члены 2-го порядка малости, которые не влияют на форму линеаризированной теории.
В работе М.А.Еио / 54 / введены два представления напряжения: "дополнительного напряжения", относящегося к начальной пло-щади, обозначенного о^у * и "альтернативного напряжения Био" 6^/ - относящегося к элементарной площади после дефор-мации. В связи с этими представлениями, допускаются две записи уравнений устойчивости (2) и граничных условий (3).<%L^ имеют следующий вид:
Щи, - % «>* +2~ % Ъ*> ~І %> % (п)
В дальнейшем, Х.Нойбер / 64 / (1952) составил уравнения в криволинейной системе координат, используя тензорный анализ. Результаты / 64 / в случае прямоугольных координат, в определенном смысле, соответствуют результатам работ М.А.Био / 54 /, / 56 / Нетрудно проверить, что при Gjfoii = О эти уравнения могут быть представлены в виде (2) и (3) с 3(/+^0 вида: <г~ (б>
сУОум = %0 00j& + fy а;.^ . (із)
частным случаем полученных уравнений являются уравнения Р.В.Саус-велла (4).
В отличие от предыдущих работ, в работе А.Е.Грина, Р.С.Рив-лина и Р.Г.Шилда / 59 /, опубликованной в 1952 году, рассмотрена наиболее общая форма уравнений устойчивости, написанных в координатах деформируемого тела, при конечных деформациях. При однородных начальных деформациях, когда координаты деформируемого тела совпадают с декартовыми, уравнения устойчивости будут иметь вид (2) с ЗСоМ вида :
Щ-U = % ^, *> + *Ь %& (И)
Таблица I
Сопоставление различных вариантов трехмерных соотношений устойчивости. Основа записи для записи вариантов
о Работа
^І +ЄмЩм (І) ; Дополнит.дефор:
Уравнения устойчивости и граничные условия:
w= ffy'* %)"*/
Критерий устойчивости:
% 7' = (2) ; W ^ А
г \і І п А работа .внешних сил
У 7/5" (M-H,) (3) ; '
1) <3-СМ= Щ,4Л*1 ТрефтЦ» Каппус, ^)ЗС^М= - Ці "%* / Некл.вр./
' Новожилов, Гузь/
2) Щи = ^ Л^Ь *j ^-^ - < *j& 5) Щи - ^- Я* - ( ^
/ Еио / / Биценко - Генки/
3) Щи = % тл - Ги ty + & 5.. *mm 6)
/Еио,НойберУ
частный сяг- г-
^^ = <% OUy /Саусвелл/ 7)
случай ' (^/)
(в главных осях)
Продолжение таблицы I
/Грин, Ривлин ,Шилд/ (В координатах дефор.тела)
J^i^t - 0 /Приблж.подход/ I 3^/s,C - - 4;е ^;^(в гран, условиях)
- ю -
где &и - компоненты тензора напряжений измеряемого на единицу деформированного тела и являются истинными. Все составляющие в уравнениях и граничных условиях, а также в соответствующих геометрических соотношениях, приведенных в / 59 /, заданы в базисе деформируемого тела.
Нужно отметить, что по различным представлениям для /
г? &>
матрица ^ііМ не всегда является симметричной, например, для
р .}„' в случае (12) . В случае (12) это неудобство исчеза-ет только при -^v = О или начальное напряженное состояние имеет гидростатический характер 62' - ^
Таким образом, все вышеуказанные записи (2), (3) с соответствующими (4), (5), (8), (II) и (12) , в общем случае корректны и эквивалентны.
В теоретической литературе сейчас предпочтение отдается подходам, связанным с использованием тензора деформации Коши-Грина. Соотношения, выведенные у Е.Трефтца, Р.Каппуса, нашли свое развитие и совершенствование в работах В.В.Новожилова / 39 /, В.В.Болотина / 3 /, А.Н.Гузя / 6-II /, А.Н.Спорыхина / 12 / и др.
линеаризированные уравнения по этому традиционному подходу в лагранжевых координатах для недеформированного тела в случае, когда начальные деформации большие, имеют вид (I.I) в обзоре А.Н.Гузя и А.Н.Спорыхина. При переходе от произвольных начальных деформаций к теории малых деформаций, в силу некоторых допущений, получены три варианта теории малых деформаций. Указанная классификация этих постановок конкретно проведена в работе / 7 / и обзоре / 12 /. -
Заметим, что кроме вышеобоснованного традиционного подхода, существует другой подход, предложенный л".С.Лейбензоном / 34 / и А.Ю.ИшлинснйМ' / 21 /, называемый приближенным подходом. Он за-
- II -
ключается в том, что уравнения трехмерной теории устойчивости заменяются уравнениями Ламе из классической теории, а параметр на-гружения вводится лишь в граничные условия, исходя из определенных соображений физического характера. Условие "мертвой нагрузки" по этому подходу принимает следующие выражение;
В силу этого положения, исследования задач допускают значительные упрощения. Рассматриваемый подход является сугубо приближенным и не следует из строгой трехмерной линеаризированной теории устойчивости ни при какой системе обоснованных упрощений в случае применения лагранжевых координат.
Существуют некоторые работы / 13 / и / 15 /, выполненные при объединении традиционного и приближенного подходов.
В работах зарубежных авторов / 47-50; 51, 57,58,61 и 63 / рассмотрена устойчивость деформирования пластин и оболочек при конечных однородных пластических деформациях. После формального дифференцирования по времени задача о бидуркации сформирована не в приращениях, как обычно делается, а в скоростях. Скорости упругих деформаций и скорости компонент напряжений подчиняются обобщенному закону Гука, а связь между тензорами скоростей пластических деформаций и скоростей изменения напряжения принята как в работе Р.Хилла / 47-50 /.
Во многих задачах техники часто встречаются конструкции из жестких материалов (металл) и малыми деформациями. Нелинейность задачи, следовательно, приводится к чисто геометрическим. С другой стороны, как было отмечено в работе В.В.Новожилова / 39 /, для задач на потерю устойчивости обычно характерно превращение форм равновесия с малыми углами в формы равновесия с углами ново-
рота , существенно превосходящими компоненты деформации -^-Иначе говоря, при переходе тела из данного состояния в смежное, существенными являются лишь углы поворота элементов, а не их длины. В силу предложений
«у |« |"у | И *4* «fc,- « (18)
Клюшников В.Д. / 33 / вывел линеаризированные уравнения и граничные условия (2) и (3), где
5Ci}U = fy аи (19)
Ввиду малости деформации при потере устойчивости (2) и (3) с со-ответствующими w позволяют получить два варианта записи соотношений устойчивости, основанные на следующем выражении:
^, = <Ч" - - -%,* (20)
Первый вариант, где член ^с,^ со знаком +, соответствующий традиционному подходу, носит название "классического варианта". Второй вариант называется, таким образом, неклассическим и представляется в форме:
С7~ (8) г-
^ї** = '%' ^> (21)
Оказывается, в некоторых задачах использование второго варианта является более целесообразным и даже допускает решение, когда применение классического варианта невозможно, например, в задаче о "шейке", которая будет рассматриваться ниже.
В общей постановке задачи устойчивости при конечных деформациях удобно в качестве исходной брать не начальную (т.е. естественную) , а конечную (достигнутую к рассматриваемому моменту) конфигурацию. В этом случае, (22) сохраняется,так как невозму-
- ІЗ -
щенное состояние приближенно определяется по геометрически линейной теории. Вообще нужно заметить, что в реальной расчетной практике задачи о больших деформациях довольно редки.
В силу того, что уравнения устойчивости и граничные условия имеют геометрический смысл, не связанный со свойствами тела,(2) и (3) с представлением (22) являются общими для любой модели тела (любого уравнения состояния тела) и кошеретизируются рамками деформаций. Замыкание систем уравнений линеаризированной механики деформируемого тела проводится путем присоединения соответствующих им линеаризированных уравнений состояния рассматриваемой модели.
Сравним результаты задачи сжатия упругой полосы по некоторым подходам
1='? ' ^"Л?*/ (Р.В.Саусвелл)
Р = J% (i~f^) (М.А.БИО)
(22) Р = Р$ (d- j,42c(Zj (классический вариант)
Р— Рп (l-f- 0,2о(г ) (неклассический вариант
и приближенный подход) В результате, 1-й член асимптотического разложения для / совпадает с Р$ .подсчитанной с применением гипотехы Кирхгофа-Лява.
Целью диссертации является исследование различных подходов, в том числе и нововведенного,так называемого неклассического,к решению проблемы устойчивости пространственных тел и их применения к решению ряда задач.
В первой главе диссертации ставится задача обоснования нового варианта. Рассмотрены общие уравнения, граничные условия и определяющие соотношения, сформулирована общая постановка задачи.
Анализируется также эквивалентность между граничными условиями по различным вариантам в случае "следящей нагрузки"«Б диссертации подчеркивается, что в этом случае задачу устойчивости можно сформулировать в напряжениях,причем процесс решения существенно упрощается в неклассическом варианте,
В первой главе также рассматриваются общие вопросы устойчивости в рамках нового варианта; исследована самосопряженность краевой задачи, т.е. найдено достаточное условие применимости статического метода при исследовании устойчивости. На основе функционального представления изучаются приближенные методы решения. Показано, что из записи уравнений устойчивости непосредственно может быть выведена и доказана устойчивость несжимаемого тела,подвергающегося действию гидростатического давления.
В теоретической части диссертации показаны методы решения плоской задачи в напряжениях и перемещениях в неклассическом варианте. Эти методы иллюстрируются в задаче сжатия-растяжения полосы, на примере которой проведено сравнение неклассического варианта с классическим вариантом и приближенным подходом Лейбен-зона-Ишлинского. На конкретной модели этого классического объекта для сравнения различных вариантов показывается, что при сжатии полосы для изгибной формы потери устойчивости первые члены разложения критической нагрузки во всех сравниваемых вариантах совпадают. Отмечен особо важный факт, заключающийся в том, что только неклассический вариант и приближенный подход в случае растяжения не противоречат'физическим представлениям.
- 15 -Делается вывод о том, что по неклассическому варианту достигается наиболее простое решение в напряжениях и в перемещениях (оказывается, решение задачи в напряжениях возможно только по неклассическому варианту) в общем случае задания нагрузки на границах полосы.
Во второй главе исследовано образование пространственной шейки и выпучивания при осевых нагрузках в рамках неклассического варианта. Задача рассмотрены в трехмерной постановке. Выведены общие соотношения для формулировки задачи в напряжениях при действии осевых нагрузок общего вида. Объектом исследования здесь является упругопластическая пластинка. В задачах устойчивости при двухосной и одноосной нагрузках выведено достаточное условие устойчивости, отвечающее моменту бифуркации состояния в пластинке и определяющее значение критических усилий порядка секущего модуля. В первом случае, полученный результат качественно анализируется при использовании уравнения состояния частного вида* Во втором случае показано, что эту задачу можно свести к плоскому цилиндрическому изгибу балки при упругости.
Эта задача исследована многими советскими и зарубежными авторами /8,13, 15, 18,21, 57, 58, 61 и 63 /. Шейкообразование в материалах, описываемых уравнениями Прандтля-Рейса, рассмотрено в / 51 /, / 57 / и / 61 /. Случай пластинки, подвергающейся двухосной нагрузке, разобран в / 58/ и / 61 /.
В последней главе диссертации приводится решение задачи устойчивости упруго-пластического слоя, стекающего по наклонной плоскости. Эта задача решалась ранее для жидкости в работах / 52,67 /и для вязкой жидкости в / 16,35,36 /. В данной главе задача решается в постановке классического варианта.
Также рассматриваются задачи устойчивости упруго-пластического слоя, лежащего на горизонтальной плоскости под действием касательной нагрузки и при наличии массовых сил. С помощью вариационного метода Ритца, найдено критическое условие , заданное в виде зависимости между критическим параметром (параметром нагружения в двух первых задачах или углом наклонной плоскости в последней), плотностью слоя и длиной волны возмущения перемещений. Численная реализация полученных результатов трех вышеуказанных задач выполнена с помощью ЭВМ PDP ~44/70. Часть основных результатов диссертации содержится в статьях/ 68 /,/69/, сданннх в печать*
В диссертации используется система двойной нумерации, где первый индекс соответствует номеру параграфа, второй индекс -порядковому номеру формулы параграфа. В введении к каждой главе используется обычная нумерация.
Замыкание задачи устойчивости в на пряжениях по неклассическому варианту Сопоставление вариантов
Использование неклассического варианта во многих конкретных задачах существенно упрощает постановку задачи, дает наиболее простое решение по сравнению с решением по классическому варианту. В случае, когда на поверхности тела действует "следящая нагрузка" начальное напряженное состояние является однородным, неклассический вариант позволяет замкнуть задачу в напряжениях, тем самым достигается простой метод решения. В самом деле, ког- да отсутствуют массовые силы (г+ = 0) , т.е. в начальном состоянии: напряженное состояние является однородным: По неклассическому варианту, вместо уравнения (1 19) будем иметь В силу симметричности двух индексов і , & в (2.3) получим: Видно, что уравнение (2.4) вместе с граничным условием (1.25) и выражением для определяющего соотношения (I.3I) дает возможность решать задачу только в напряжениях.
Эта ситуация встречается в таких задачах, как в задаче сжатия-растяжения полосы, образовании пространственной шейки в образце при осевых нагрузках..., когда по классическому варианту и приближенному подходу удается решать задачу только в перемещениях. Интересно сравнить граничные условия при следящей нагрузке по неклассическому варианту и соответствующими выражениями, приведенными в / II / в рамках классического варианта. Можно показать, что в условиях несжимаемости и условия (I.I) по двум вариантам граничные условия эквивалентны. По первому способу определения возмущений следящей нагрузки, заключающемуся в последовательном упрощении общего выраже- ния в рамках теории конечных деформаций, граничное условие будет выглядеть следующим образом ( / II / ): По определению следящей нагрузки (1.9) правая часть (2.13) представляется по формуле (1.8): которое совпадает с (1.26) ввиду (I.I). Применение второго способа в линеаризации выражения, полученного в результате упрощений в рамках малых деформаций, также дает (1.25). Действительно, в этом случае граничное условие в / II / приобретает вид: Правую часть (2.8) в силу разложения по формуле (1.8) можно преобразовать к виду: С помощью (2.8) и (2.9) получаем такое же выражение, как (1.25). Выпишем граничные статические условия для приближенного подхода, в силу предположения (I.I) они будут представлены в виде: Для_ следи щей нагрузки_постоянной интенсивности, очевидно, что Т получается из / поворотом на углы й « Заметим, что во всех сравниваемых вариантах выражение (1.25) приобретает более простой вид. Нужно отметить одно обстоятельство - по любой записи уравнений устойчивости должен выполняться один запрет: тело, подвергающееся силе, подобной гидростатическому давлению, не должно потерять устойчивости. Это должно непосредственно вытекать из уравнения (2.3) и граничного условия (1.25), что невозможно по классическому варианту В самом деле, при равномерном действии нагрузки, начальное состояние определяется как следующее: В силу несжимаемости тела, из (2.3) получаем: Таким образом, пришли к однородной задаче (2,15) с (1,25), которая полностью совпадает с соответствующей линейной однородной задачей классической теории упругости несжимаемого тела. Рассматриваемая однородная задача имеет только тришальное решение. Следовательно, при действии на поверхности тела давления в виде следящей нагрузки, состояние равновесия является устойчивым при всесторонней равномерной нагрузке.
Задача сжатия-растяжения полосы в различных вариантах. Решение плоской задачи по неклассическому варианту
В настоящем параграфе рассмотрим задачу устойчивости упру- гой полосы длиной &Ъ и шириной Zru (-&4 я и, - Л-4 у: &-J при сжатии-растяжении. Эта задача является в определенном смысле эталонной и исследовалась многими авторами. На основании этой задачи будет введено сравнение решения по двум вариантам записи линеаризированных соотношений устойчивости и по приближенному подходу Лейбензона-Ишлинского. Исследование устойчивости будет выполнено в рамках плоской деформации в плоскости эоОч с учетом: Как было показано в I, эту задачу в силу однородности начального состояния, оказывается, можно решить в напряжении по неклассическому варианту, при этом используется уравнение вида (2.4). Введем тензор напряжения 6 - , который определяется согласно / 33 /: Таким образом, с помощью представления и у из уравнения устойчивости (2.4) получаем: Выпишем краевые условия в случае следящей нагрузки в выражении Свертывая условие совместности для дополнительных деформаций, получаем:
Введем функцию напряжения F в следующей форме: где тензор Б силу (3.6) , из уравнения (3.3) имеем: 4 4 Г - (9 (3 Компоненты вектора нормали о и кривой s[ jU) = 0 из формулы (3.4) приобретут вид: или в общем виде: - = - - ( /& определены из ( 3.6а). Подстановка (3.6) и (3 8) в краевое условие (3.4), в результате преобразований, дает: так как имеет место следующее равенство: На основе уравнения (3,7) и (3.9) будем решать задачу растяжения полосы. Это решение соответствует потере устойчивости и образованию шейки и представлено в виде четной функции Билла: На всех сторонах это решение должно быть удовлетворено граничным условиям с помощью только двух констант А и и , следовательно, на торцах, в силу / & d. граничные условия удов- Теперь удовлетворим граничные условия на сторонах у - на которые действует следящая нагрузка.
Поэтому, по (3.9) имеем: - 40 -После подстановки Г в (3,10) в (3.14) , получаем следующую систему: Отсюда находим критический определитель (3.15) в виде: и получаем точное выражение для определения критического зна-чения / В случае сжатия, в решении соответствующем изгибной форме, потери устойчивости (3.10) следует заменить СИ/ct на л и & и наоборот. Аналогичным путем получим значение для критической нагрузки
Устойчивость пластинки при осевых на грузках. Случай упругости
Из вышеизложенных соотношений (2.22), (2.25) - (2.27) можно составить характеристическое условие в следующей форме: = 0 В результате вычислений, из (2.28) получим достаточное условие неустойчивости, отвечающее моменту появления шейки в пластинке в общем виде: Для проверки положим, что По общей формуле (2.29) находим; При двухстороннем равномерном растяжении, когда 6,у = - Р&іоо$]сс ( =І )І можно определить следующее значение для критических растягивающих напряжений: Рассмотрим случай одноосного растяжения 6/- - г Дг % совпадает с результатом решения плоской задачи в 3 гл.1. В общем случае, когда пластинка загружена в двух направлениях Ь% k i - »Л , легко видеть, что Р меняется - 63 -что зависит от того I/ или сЛ равно 0. Для получения достаточного условия неустойчивости для из-гибной формы потери устойчивости, необходимо в выражении (2.28) поменять местами и ліш/ , Таким образом, при сжатии пластинки можно убедиться, что вместо общей формулы (2.29) и результатов (2.31), (2.32), будут получены следующие соотношения: f "= Ж(1- ) (2.34) Можно показать, что в случае одноосного сжатия длинной пластинки при « «d. и со ? 4- , т.е. задача сводится к цилиндрическому изгибу балки длины 2а при сжатии силой интенсивности ю .
Проверим инженерным методом. Примем: где Л W - прогиб балки. Из уравнения устойчивости балки: где W - цилиндрическая жесткость балки Нужно заметить, что в задачах устойчивости упругих тел, для реально достигаемых значений напряжений такие тела оказываются устойчивыми, так как критическое усилие должно превосходить модуль Юнга. Следовательно, разумные результаты для критических нагрузок можно, по видимому, ожидать в случае пластичности.
Задача устойчивости слоя,стекающего по наклонной поверхности
В предыдущих главах были рассмотрены задачи устойчивости тел при однородном докритическом состоянии на примерах сжатия-растяжения полосы и растягиваемой трехмерной пластинки. Настоящая глава посвящена исследованию устойчивости упруго-пластического слоя, лежащего на наклонной плоскости и подверженного собственному весу. Поверхность слоя считается свободной,а на нижней наклонной поверхности задано условие прилипания. Напряженное состояние является неоднородным по толщине слоя. Эта задача решалась ранее для жидкости в работах / 52 / и / 67 / и для вязкой жидкости в / 16,35,36 /. В первой работе ограничиваются рассмотрением только возмущений с длинными волнами. В / 52 /и / 67 / для расчета применялся приближенный метод решения, позволяющий получить критическое условие для определения связи между волновым числом, частотой возмущений, углом и числом Рейнольдса. В работах / 16,35,36 / исследована устойчивость течения вязкоупругой жидкости. В / 35 / рассмотрена модель Максвелла, в / 36/- модель Трэда, в которых содержится производная по времени девиатора тензора напряжений в смысле Яумана. В этих работах, в силу вязкости предполагается, что волновое число является малым ( ), поскольку в вязких средах колебания с малой длиной волны ( ot/ большие) быстро затухают.
В этих работах, в качестве критерия устойчивости принимается ограниченность (затухание) возмущения скорости перемещения со временем л/ . Возмущение рассматривается в небольшом ин-тервале времени около точки линварйзации.Таким образом, в линеаризированных соотношениях, коэффициенты основного процесса считаются постоянными. Подобный этому критерий для теории ползучести конкретно дан Ю.Н.Работновым в / 41 /, для вязко-пластической среды - А. А.Илюшиным в / 18 /. Методом последовательных приближений, из условия с/ W& - 0 ( а) - частота возмущений) было установлено достаточное условие неустойчивости слоя в виде зависимости между углом, волновым числом, толщиной слоя и коэффициентом вязкости среды. Нужно заметить, что непосредственный и точный анализ собственных значений этой задачи нелегко удается провести до конца. В силу неоднородности докритического состояния необходимо проводить построение собственных функций для системы уравнений с переменными коэффициентами. С другой стороны, в этой задаче главную роль в потере устойчивости играет наличие сдвига, в связи с этим метод разделения переменных почти невозможен. Естественно, возникает вопрос о решении приближенными методами, среди которых вышеизложенный в 1.2 вариационный метод со своей простотой оказывается наиболее эффективным. Для определения критического параметра, вместо того, чтобы решать систему уравнений в рамках классического варианта: можно воспользоваться приближенным методом, основанным на отыскании экстремума следующего функционала: При условии непрерывности "4; и их производных легко показать, что система (2) является условиями Эйлера-Остроградского данного функционала. Б (3) варьируются только функции , которые являются необходимое число раз непрерывно дифференцируемыми функциями, линеаризированные уравнения состояния тела можно представить в виде: Из выражения (7), условия (26) и условия стационарности функционала d получаем соотношения (2) и (2а). Статические задачи, используя вариационный метод можно свести к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, согласно / 3 / и / 10 /. Представим функции # в виде рядов: функций і %ъ, j будем считать полной и удовлетворяющей условию (26) на поверхности Su , т.е. кинематическому условию. В этом случае, уравнение вариационного метода записывается в виде: где имеет вид (6) или (7). Подставим выражение (8) в (7) и приравниваем нулю множитель при После ряда преобразований получаем бесконечную систему обыкновенных уравнений
