Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Устойчивость плоской границы при поверхностной диффузии
1. Задача о полосе, жестко закрепленной на неподвижном основании 12
2. Задача о полосе. Общий случай 25
3 Роль поверхностного напряжения 30
Глава II. Диффузионное воздействие на цилиндрическое тело
1. Устойчивость границы кругового цилиндра при поверхностной диффузии 3 9
2. Влияние объемной диффузий", На напряженно-деформированное состояние упругого кольцевого цилиндра 4 3
3 О связи с теорией фильтрации 57
Глава III. Влияние напряженно-деформированного состояния на диффузионный процесс
1. Сосредоточенный момент и парадокс Карозерса 64
2. Парадокс Карозерса в случае неклассического момента
3. Влияние напряженно-деформированного состояния на диффузионный процесс 7 8
3.1. Влияние непрерывной нагрузки 79
3.2. Влияние сосредоточенной силы 82
3.3. Влияние сосредоточенного момента 84
Приложение А 86
Приложение В 90
Заключение 92
Список литературы
- Задача о полосе. Общий случай
- Влияние объемной диффузий", На напряженно-деформированное состояние упругого кольцевого цилиндра
- О связи с теорией фильтрации
- Влияние напряженно-деформированного состояния на диффузионный процесс
Задача о полосе. Общий случай
Исследования по данной тематике велись и в нашей стране. Особо следует отметить работы Я.Е. Гегузина [9], [10], [11]. Он изучил ряд причин, приводящих к сглаживанию синусоидального гофра на поверхности ( объемная и поверхностная диффузия, испарение и конденсация, вязкое течение) и пришел к выводу о том, что вклад поверхностной диффузии в большинстве случаев является решающим. Отметим, что при такой постановке задачи, поверхностная диффузия вызывается лишь поверхностным натяжением и, следовательно, не может привести к увеличению амплитуды гофра. Эта задача также рассматривалась во многих работах зарубежных ученых( [44], [62], [68], [69]). Более общую задачу о потере устойчивости поверхности напряженного тела, когда гофр может как уменьшаться, так и увеличиваться, рассмотрели недавно Н.Ф. Морозов, М.В. Паукшто, П.Е. Тов-стик [17], [18], [19]. Из факторов, влияющих на устойчивость поверхности, были рассмотрены температурные напря К сожалению, в явном виде критерий устойчивости дан лишь в предельном случае, когда толщина пленки стремится к нулю. жения, объемная и поверхностная диффузия. Последний, и в этом случае, оказался определяющим.
Следует отметить статьи ([70], [75]), посвященные выводу более точного выражения для химического потенциала (0.2). Это существенно усложняет процесс решения, однако результаты практически совпадают с полученными ранее, поэтому такой подход представляется автору неоправданным. Более интересной кажется попытка найти плотность упругой энергии из уравнений теории упругости, не пренебрегая при этом величинами углов поворотов [20].
Задача об устойчивости поверхности упругой полосы, на сегодняшний день остается наименее изученным вопросом, поэтому в данной работе ей уделяется повышенное внимание. Этой проблеме посвящена первая глава.
Заметим, что результаты, проведенные в первой главе для поверхностной диффузии, могут быть легко использованы для изучения других поверхностных явлений, например, травления [42], [63].
Во второй главе рассматривается проблема диффузионного воздействия на цилиндрическое тело. Помимо задачи устойчивости, исследуется напряженно-деформируемое состояние в теле с учетом объемной диффузии. Исследование построено на применении нелинейной теории диффузии [23] . Рассмотрение осесимметричной задачи позволяет решать независимо уравнение диффузии и уравнения Ламе. Интересно отметить, что нелинейное уравнение диффузии совпадает с уравнением фильтрации ньютоновской жидкости в пористой среде([3],[4]).Оно также было рассмотрено в работе [41].
Одним из самых интересных и пока малоисследоанных вопросов является зависимость протекания диффузионного прцесса от напряженно-деформированного состояния в теле [56]. Так в [13], впервые, были получены экспериментальные данные о величине напряжений, возникающих при окислении металлов. Позднее было показано, что эти напряжения достигают величины 1 ГПа ([16], [47]). Таким образом, даже при отсутствии внешних механических напряжений диффузионный процесс всегда протекает в некотором поле напряжений. В связи с этим, в третьей главе рассматривается влияние действия непрерывных и сосредоточенных нагрузок на распределение концентрации.
Влияние объемной диффузий", На напряженно-деформированное состояние упругого кольцевого цилиндра
Рассмотрим теперь более подробно постановку задачи об устойчивости упругой полуплоскости, описанной в начале ъчавы. ііосле того, как на своооднои поверхности задано В Рисунок 8, (а)2Ь (а0)2 А, Зона устойчивости при —— = 1 (В= , L= — Е, уЕ, уЕ, Графики построены для следующих случаев: І — v. = v2 = 0.3, 2 — v, = 0.3, v2 = 0.4, 3 — v O.3, v2 = 0.5. Зоной устойчивости является область, лежащая ниже графика. возмущение вида (1), на этой поверхности возникают силы F, направленные по касательной к поверхности и совершающие работу А по ее деформированию. В рассматриваемом здесь двумерном случае имеем:
Графики построены для следующих случаев: 1 — v, = v, = 0.5, 2 -v, = 0,5. Vj = 0.4 , 3 — v, = 0..5 v2 = 0.3 . Зоной устойчивости является область, лежащая ниже графика. где es —единичный вектор, а ич — перемещение в касательном направлении к поверхности, as — поверхностное напря жение Пусть U — плотность упругой энергии, у — плотность поверхностной энергии ( поверхностное натяжение ) , W W = JJUdxdy + Jydl. (1.24) 2 L Здесь первый интеграл берется по объему тела, а второй -по площади поверхности ( в двумерном случае получаем, соответственно, двойной и криволинейный интегралы). Согласно принципу виртуальной работы [38] AW = A . Используя предыдущие соотношения, это равенство можно записать в следующем виде: JJSUdxdy + JSydl = osSus. (1.25) S L Известно, что dU І с дєц. &і о = аг, S /-\ где зі и st- — упругие напряжения и деформации, соответственно, a as и ES — поверхностные напряжение и деформация, соответственно. Упругие деформации удовлетворяют формулам РСоши: 1 у = —(и.. +и..), а для поверхностной деформации, используя формулы Френе, можно получить следующее представление [39]: = us,s кип
Здесь U; — перемещения в направлении координатных осей( в дальнейшем, мы будем обозначать эти перемещения через и и v ), un — перемещение в направлении нормали к поверхности, а к — кривизна поверхности. Если профиль поверхности задается функцией h(x), то нетрудно получить следующие соотношения: 1 IV U = . - и + —= V , VT+h л/l + h 2 h 1 u = - , u + -7= v . Подставим выписанные выражения в (1.25). Применяя теорему Остроградского-Гаусса, имеем: Я[(к, + хку,у)8u + (х.у,: + сту,у)8v]dxdy + [(охПі + ххуіі2 л/Г+h r(as,s-Kash ))8u + (x Пі+а„пг- (1.26) (assh +Kas))8v]dl=0, л/1 + h 2 где iij и n2 — направляющие, косинусы нормали к границе. Первый интеграл (1.26) дает обычные уравнения равновесия в объеме — CTj,=Q, а второй — граничные условия на свободной границе: Vl + h" t iv +a n„ = — -(h g Ч-ка). (1.27) Vl + h 2 " s" Поверхностное напряжение x и поверхностное натяжение -у связаны между собой известной формулой Херринга [10] Л62] : a =j+s- , (1.28) ds где s — площадь поверхности тела.
Так как мы, по-прежнему, предполагаем поверхностное натяжение постоянным, то в этом случае из (1.28) следует, что о &у. Таким образом, если мы при исследовании задачи учитываем величину поверхностного натяжения, то необходимо учесть также имеющую тот же порядок величину поверхностного напряжения. .
Пусть . возмущение границы . описывается выражением (0.1). По-прежнему предполагается, что jh (x,t)«1, тогда граничные условия (1.27) при у = 0 .принимают, следующий вид: х1 =-CTAksinkx, (1.29) 7у = -asAk2coskx. Решив. уравнения равновесия с граничными условиями (1.2 9) мы определим напряжения, возникшие в результате 36 возмущения границы. Для получения истинных напряжений к ним нужно будет добавить напряжения (1.2). Воспользуемся опять представлением Папковича-Нейбера (1.6), а гармонические функции Ф0 и Ф2 определим следующим образом: Ф2 = JBQQll]y Q-itxdl е "е Из (1.6) и (1.29)определим коэффициенты А0 и В0: A0 = i[as(l-2v)G-2isign( )(l-v)a0F], B0=i[asign( )G-iaF], где F — преобразование Фурье первого граничного условия, определяемое (1.7), а G — преобразование Фурье второго граничного условия: стАк2 + G = = JcoskxeiXxdx. (1.30) л\1% -со Теперь, как и в параграфе 1 можно получить выражение для продольной деформации на границе у = 0: Akcoskx. s1 :[c(l-v) + 0.5ask(l-2v)]. у=0 Q Плотность упругой энергии на границе у = 0 согласно (1.5) имеет вид: , =(l-v)(0) _Akacosbc ІУ=0 Q G Из (0.1), (0.5) и (1.31) получаем выражение для амплитуды искривленной границы: А А rDc V2k3Xl-v)(CT)2+0.5aak(l-2v) 1Ч1 А = А0ехр[ s s ( - rk)t]. кьТ G Таким образом, критерий устойчивости для этого случая имеет вид: (1 - v)(o0)2 +0.5aask(l -2v)-yGk 0 . (1.32) Отсюда можно получить неравенство для допустимых длин волн искривленной поверхности1: .- 2Ж\ г-"(1о"2л,К- (ЬЗЗ) (l-v)(0)! o(l-v) Первое слагаемое здесь представляет собой известное значение критической длины волны (0.6), если пренебречь поверхностным напряжением, а второе слагаемое описывает вклад поверхностного напряжения. Из неравенства (1.33) видно, что за счет второго слагаемого критическаяак уже говорилось в начале главы, эта задача впервые была рассмотрена Ж. Грилхе [57]. Решая ее энергетическим методом, им был получен критерий устойчивости, отличающийся от (1.33) лишь множителем 1/2 во втором слагаемом. Кроме того, при сравнении случаев сжатия и растяжения, по-видимому, были допущены досадные арифметические ошибки, которые диаметральным образом исказили ситуацию.
О связи с теорией фильтрации
Итак, напряженно-деформированное состояние в цилиндре нами определено. Осталось лишь выяснить целесообразность применения нелинейной теории для данной задачи. Ее главный минус — необходимость численного решения нелиней 56 ного уравнения диффузии в случае нестационарной задачи.
Это может быть оправдано лишь при достаточно большой величине параметра нелинейности q. Однако анализ доступной автору информации, позволяет сделать вывод, что в обычных условиях параметр q является достаточно малой величиной.
Так для глины (Al2-2Si02-2Н20) при температуре Т = 300К параметр q = 5.1 10 5 [64]. Для более твердых материалов, особенно при низких температурах, параметр нелинейности может увеличится на несколько порядков, однако не приходится ожидать, что он достигнет значения, при котором его влияние будет сколь либо существенным. Таким образом, применение такой нелинейной теории для большинства материалов в стандартных тепловых режимах не является оправданным. Тем не менее, следует отметить, что нами был рассмотрен лишь простейший класс осесимметричных задач, для которых уравнение диффузии не зависит от вектора перемещений. Это не позволяет оценить возможность данной теории путем изменения напряженного состояния влиять на распределение концентрации в теле. Этот вопрос будет рассмотрен в третьей главе.
Интересно отметить, что нелинейное уравнение диффузии (2.17) совпадает с уравнением фильтрации ньютоновской жидкости в пористой среде: — = div(RgradR), (2.22) dt где R — величина, пропорциональная возвышению h свободной поверхности над водоупором.
Действительно, полагая в (2.17) R = D(l + qC) мы получаем уравнение (2.22). Г.И. Баренблатт [3],[4] рассмотрел задачу о растекании бугра жидкости на непроницаемом водо-упоре. В пласте, лежащем на горизонтальном водоупоре, создается бугор жидкости. Со временем, под действием силы тяжести, он растекается. Декартова система координат выбирается так, что плоскость Оху лежит в плоскости водоупора, а ось z направлена вверх. Подробно, Г.И. Баренблатт рассмотрел случай, когда в начальный момент времени бугор вытянут вдоль оси у и случай симметрии относительно оси z. Тогда фронт распространения жидкости бугра в плоскости водоупора представляет собой, соответственно, пару параллельных прямых и окружность.
Построим решение для общего случая, когда фронт распространения в плоскости водоупора является произвольной кривой второго порядка. Будем искать R в следующем виде: R = anx2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33, (2.23) где ап, а,2, а22, а13, а23, а33 — функции, зависящие только от t. В этом случае уравнение фронта распространения жидкости имеет вид: anx2 +2а12ху + а22у2 +2а13х + 2а23у + а33 =0, (2.24) т.е. вид произвольной кривой второго порядка. Подставляя выражение (2.23) в уравнение (2.22) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, мы получим следующую систему дифференциальных уравнений: а33 = 2а33(а„ + а22) + 4а23 + 4 а23, а13 = 2а13 (Зап + а22) + 4а12 а23, а23 = 2а23(аи+а22) + 4а12а13, (2.25) а1]=6а21+2апа22 + 4а22 , агг = ба22 + 2апа22+4а22 , а12 =6а,г(а,1 + аг2), где точка означает дифференцирование по t.
Влияние напряженно-деформированного состояния на диффузионный процесс
Если A 0, т.е. сторона y=b подвергается растяжению, а сторона y=-b — сжатию, C(-b) C(b). Таким образом, диффундирующее вещество частично перемещается из сжатой области в область, подвергающуюся растяжению. Однако малая величина коэффициента перед у показывает, что отклонение концентрации от изначальной равномерной незначительно. Рассмотрим теперь задачи, где из-за приложения сосредоточенных нагрузок возникают очень большие градиенты напряжений, которые могут оказать более существенное влияние на диффузионные процессы.
Влияние сосредоточенной силы. Рассмотрим неограниченную плоскость, в которой равномерно распределено некоторое вещество с концентрацией С0. Приложим в начале сосредоточенную силу Р, направление которой совпадает с отрицательным направлением оси абсцисс (при условии Р 0) и зададимся вопросом как эта сила повлияет на распределение концентрации.
Первый инвариант тензора упругих напряжений в этом случае определяется следующей формулой [1]: _P(l + v)cos9 kk" 2 (l-v)r " Считая, по-прежнему, диффузионный процесс установившимся и пренебрегая диффузионными напряжениями имеем: а- г! + О С = 0, (3.18) 59 г pQP(l + v) где Q 27ckbT(l-v) Решая уравнения (3.18), имеем: С = aexp(Qcos0 / г). Произвольную постоянную а мы находим из условия, что на бесконечности концентрация остается неизменной, т.е. a = С0. Таким образом, действие сосредоточенной силы приводит к следующему распределению концентрации: C = Coexp(Qcos0/r). (3.19) Разумеется формулой (3.19) нельзя пользоваться в непосредственной близости от точки приложения сосредоточенной силы, тем не менее ряд выводов мы все же можем сделать. Во-первых, при малых значениях г распределение концентрации существенно отличается от исходного. Так в полуплоскости тс/2 9 Зя/2 концентрация уменьшается, а в полуплоскости Зтс/2 9 2я — увеличивается. Таким образом, сосредоточенная нагрузка в отличии от непрерывной более существенно сказывается на распределении концентрации, но механизм перераспределения аналогичен — часть вещества из области сжатия переходит в область.растяжения. 3.3. Влияние сосредоточенного момента. Рассмотрим задачу, аналогичную рассмотренной в предыдущем пункте, заменив лишь сосредоточенную силу сосредоточенным моментом М . В первых двух параграфах данной главы говорилось о различных способах моделирования сосредоточенного момента и на примере парадокса Карозерса было показано как некорректная модель может привести к неверному результату. Это будет также продемонстрировано и в данном пункте.
Рассмотрим сначала классический момент. В этом случае из (3.4) следует, что 0 = 0. Это означает, что в классической постановке сосредоточенный момент не влияет на распределение концентрации.
Рассмотрим теперь момент, моделируемый двумя силами. Для простоты выкладок мы ограничимся рассмотрением случая, когда силы приложены параллельно оси абсцисс,( т.е., при ф=я/2). Тогда из (3.5) следует, что __M(l + v)sin26 kk" 2я(1 - v)r2 /
Похожие диссертации на Влияние диффузионных процессов на напряженно-деформированное состояние и устойчивость поверхности упругих тел
