Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Постановка задачи равновесного движения деформируемого тела малой толщины по осесимметричной поверхности 13
1.1 Кинематические характеристики 13
1.2 Естественный способ задания движения материальной поверхности 19
1.3 Движение тела вращения малой толщины по неподвижной поверхности 21
1.4 Поле скоростей и скоростные характеристики тела в процессе деформирования 26
1.5 Вариационная и дифференциальная формы равновесия 33
Основные результаты по главе 1 39
ГЛАВА 2. Постановка и решение задач в рамках модели идеально пластического материала 40
2.1 Модель Прандтля – Рейса 40
2.2 Течение по конической поверхности 44
2.2.1 Течение по конической поверхности условии сохранения постоянства толщины оболочки 45
2.2.2 Течение по конической поверхности при постоянном угле вида напряженного состояния 46
2.3 Течение по поверхности тора 51
2.3.1. Течение по поверхности тора при условии сохранения постоянства толщины оболочки 52
2.3.2 Течение по поверхности тора при постоянном угле вида напряженного состояния 53
Основные результаты по главе 2 56
ГЛАВА 3. Установившиеся течения по осесимметричной поверхности 57
3.1 Определение зависимостей напряжений и толщины от радиальной координаты. 59
3.2 Примеры установившихся течений по поверхностям 62
3.2.1 Течение по внутренней поверхности тора 62
3.2.2 Течение по конической поверхности 64
3.2.3 Течение по внешней поверхности тора 66
3.2.4 Течение по комбинированным поверхностям 69
Основные результаты по главе 3 71
ГЛАВА 4. Нестационарное течение жесткопластического тела по конической поверхности 72
4.1 Нестационарное течение по конической поверхности (раздача) 72
4.1.1 Постановка задачи 72
4.1.2 Представление системы уравнений в безразмерном виде 74
4.1.3 Дискретизация системы по переменной – x 78
4.1.4 Дискретизация системы по «времени» 80
4.2 Нестарционарное течение по внутренней поверхности конуса (обжим) 88
Основные результаты главы 4 95
Список использованных источников:
- Естественный способ задания движения материальной поверхности
- Течение по конической поверхности условии сохранения постоянства толщины оболочки
- Течение по внутренней поверхности тора
- Представление системы уравнений в безразмерном виде
Естественный способ задания движения материальной поверхности
В статье [57] приведен численный метод решения задач пластичности по теории течения с использованием метода конечных элементов. Основной особенностью метода является непосредственное решение системы нелинейных определяющих уравнений программными средствами, реализующими алгоритм минимизации невязки функции.
В статье Maciejewski J., Mroz Z. [106] проведен анализ процесса осесимметричного прессования с циклическим скручиванием, производимым периодически вращающейся матрицей с заданной частотой и амплитудой. Представлен анализ методом верхних пределов для кинематически допустимого поля течения. Эволюция усилия прессования и крутящего момента также исследовались.
Работы, относящиеся к численному методу решения задач динамического упругопластического деформирования осесимметричных оболочек рассмотрены в работах Бахаревой Ю. Н. [12]; Григорьева Я.Ю. [34]; Радаева Ю. Н., Бахаревой Ю. Н. [77]; Баженова В. Г., Зефирова С. В., Павленковой Е. В. [11]; Сокольева Г.Х. [85].
Представляется актуальной разработка достаточно общей постановки и метода решения задач установившегося и неустановившегося осесимметричного пластического течения, позволяющих получать решения моделирующие движение тел из идеально пластического материала по различным осесимметричным поверхностям. В отличие от модели А.А.Ильюшина [38], где используется условие Треска, задача ставится как в эйлеровых, так и в лагранжевых координатах при условии пластичности Мизеса. Учитывая выше сказанное, сформулируем цель работы: разработка общей постановки и методов решения задач установившегося и неустановившегося идеально пластического течения тонких тел вращения при их движении по осесимметричным поверхностям. Результаты работы приведены в статьях [62,63,64,65].
В первой главе рассматривается кинематика конечного деформирования и условия равновесия. В эйлеровых и лагранжевых координатах с использованием гипотезы сохранения ортогональности и прямолинейности материальных волокон ортогональных к опорной поверхности в начальном состоянии получены кинематические характеристики тела малой толщины при его движении по осесимметричной поверхности.
Из принципа Журдена в эйлеровых и лагранжевых координатах получены условия равновесного протекания процесса деформирования тела малой толщины в вариационной и дифференциальной формах.
Во второй главе дана постановка задач в рамках модели идеально пластического материала с условием пластичности Мизеса. Исходя из ассоциированного закона пластического течения и условий равновесия в эйлеровых и лагранжевых координатах получены системы уравнений, моделирующие движение осесимметричного тела по поверхности. Данная система уравнений использована для описания движения тела по конической поверхности в двух вариантах: постоянства угла вида напряженного состояния и постоянства толщины. Те же варианты рассмотрены при движении тела по поверхности тора.
В третьей главе рассмотрено моделирование установившихся (не зависящих от времени) течений. В рамках предлагаемой модели показано, что при установившемся течении радиальная координата и толщина движущегося по осесимметричной поверхности тела зависят от угла вида напряженного состояния универсальным, независимым от формы опорной поверхности образом. Установлены аналитические зависимости радиальной координаты и толщины тела от угла вида напряженного состояния. Получены аналитические зависимости дуговой координаты от угла вида напряженного состояния и от толщины тела для течений по внутренней и внешней тороидальным поверхностям, по конической поверхности, а также по комбинированной поверхности. Путем обращения данных зависимостей построены графики изменения давления на тело со стороны опорной поверхности и зависимости толщины тела от дуговой координаты.
В четвертой главе проводится моделирование неустановившихся течений по конической поверхности. Такая модель даёт возможность определить изменения формы и напряженного состояния тела при нестационарных равновесных движениях, когда характеристики напряженного состояния в фиксированных точках материального пространства изменяются со «временем». Система уравнений, описывающая течение по конической поверхности, приведена к пяти безразмерным разрешающим дифференциальным уравнениям, которые включают следующие неизвестные функции «времени» и лагранжевой координаты: закон движения; распределение «скоростей»; удлинение меридионального волокна; угол вида напряженного состояния; толщина тела. Получена аналитическая зависимость лагранжевой координаты от угла вида напряженного состояния в начальный момент «времени». С помощью данной зависимости устанавливается распределение начальной «скорости» вдоль дуговой координаты. Использование явной и неявной схем дискретизации по дуговой и «временнй» координатам позволило свести исходную систему к системе квазилинейных уравнений относительно узловых значений искомых функций. Получены численные решения задач, моделирующие неустановившиеся стадии процессов раздачи и обжатия по конической матрице.
Течение по конической поверхности условии сохранения постоянства толщины оболочки
1. В рамках условия идеальной пластичности Мизеса и ассоциированного с ним закона пластического течения получены представления компонент тензора напряжений и тензора деформации скорости через угол вида напряжённого состояния.
2. Получена система эволюционных разрешающих уравнений, описывающая установившиеся и неустановившиеся движения идеально пластического тела по осесимметричной поверхности. В качестве неизвестных функций дуговой координаты и «времени» система содержит: скорость; толщину тела; угол вида напряженного состояния; давление со стороны опорной поверхности; закон движения.
3. Установлено, что полученные уравнения не могут быть удовлетворены при течении по конической и тороидальной поверхностям при условии сохранения толщины тела постоянной.
А.А. Ильюшиным в монографии [40] приведена система уравнений, описывающая установившиеся течения при условии пластичности Треска. Рассмотрим моделирование установившихся течений в рамках условия Мизеса. Так как течение считается установившимся, то неизвестные функции, входящие в систему уравнений (2.1.15) - (2.1.20) зависят только от текущей координаты и не зависят от времени. С учетом того, что частные производные по времени равны нулю представим систему разрешающих уравнений в следующем виде:
Таким образом из системы разрешающих уравнений (3.1.1), (3.1.3) и (3.1.4) получена универсальная, не зависящая от конкретной формы поверхности связь между углом у и радиальной координатой –г. 3.1 Определение зависимостей напряжений и толщины от радиальной координаты. Интегрируя левую часть уравнения (3.1.7) от у = ух до текущего значения, а правую от rх до текущего значения получим универсальную для осесимметричных поверхностей зависимость угла вида напряженного состояния от радиуса
Использование универсальных связей напряженного состояния и радиальной координаты в виде (3.1.8), (3.1.11) позволяет находить распределение напряжений при установившемся течении по различным осесимметричным поверхностям. При этом уравнение поверхности задается в форме зависимости r = r(S). Аналогичным образом из связей (3.1.8) и (3.1.12) можно найти зависимости угла вида напряженного состояния Y = y{S) и закон изменения толщины от дуговой координаты h = h{S ). Из условия равновесия (2.1.18) находим распределение давления на заготовку со стороны матрицы P3=P3(S).
Течение по внутренней поверхности тора Рассмотрим течение материала по поверхности тора как показана на рис. 3.4
1. В рамках предлагаемой модели показано, что при установившемся течении радиальная координата и толщина движущегося по осесимметричной поверхности тела зависят от угла вида напряженного состояния универсальным, независимым от формы опорной поверхности образом.
2. Установлены аналитические зависимости радиальной координаты и толщины тела от угла вида напряженного состояния.
3. Получены аналитические зависимости дуговой координаты от угла вида напряженного состояния и от толщины тела для течений по внутренней и внешней тороидальным поверхностям, по конической поверхности, а также по комбинированной поверхности. Путем обращения данных зависимостей построены графики изменения давления на тело со стороны опорной поверхности и зависимости толщины тела от дуговой координаты.
Предлагаемая модель даёт возможность определить изменения формы и напряженного состояния тела при нестационарных равновесных движениях, когда характеристики напряженного состояния в фиксированных точках пространства наблюдателя изменяются со «временем». Под «временем» понимается любой монотонно возрастающий параметр. В частности, в качестве «времени» используется относительная длина пути, проходимая нижним торцем заготовки. Разрешающая система содержит 5 нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно пяти характеристик напряженно - деформированного состояния - функций пространственной координаты и «времени». Рассмотрен численный пример, описывающий процесс раздачи.
Пусть заготовка в начальном состоянии имеет толщину h0. Положения верхнего и нижнего торцов заготовки в начальном состоянии задаются координатами {0)S1 и {0 S2, тогда /0 = {0 S2 - {0)S1 - начальная длина заготовки. Движение заготовки по конической поверхности считается известным, если известно положение произвольной точки с начальной координаты S0 в момент «времени» t, то есть S = S[S0,t), кроме этого известен закон изменения толщины - h = h(S0,t). Характеристики напряженно-деформированного состояния рассматриваются как функции начальных (лагранжевых) координат и «времени».
Течение по внутренней поверхности тора
Выражение (4.1.20) представляет точную аналитическую зависимость координаты заготовки -x от угла вида –у в начальный момент времени. Используя эту зависимость из уравнения (4.1.18) можно найти распределение начальной скорости по координате x.
Дискретизация системы по переменной -х Система нелинейных уравнений в частных производных (4.1.2) является сложной и в общем случае не может быть проинтегрирована аналитически. В дальнейшем используем приближенный метод пошагового интегрирования, когда интервал изменения «времени» задан.
Проведём дискретизацию системы (4.1.9), (4.1.12) - (4.1.15) по переменной - x. Для уточнения представления производных от скорости по координате используем неявную схему дискретизации, тогда
Использование неявной схемы для дискретизации — приводит к системе нелинейных уравнений относительно узловых перемещений уi , поэтому будем определять yi {x) из уравнения (4.1.9) по явной схеме ду дx
В результате сочетания явной и неявной схем система (4.1.9), (4.1.12) -(4.1.15) сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно узловых величин по «временной» переменной:
Начальные условия для системы (4.1.23) - (4.1.27) имеют вид: hi =h 0 - толщина детали в начальный момент постоянна. – текущие координаты в начальный момент совпадают с начальными. 4.1.4 Дискретизация системы по «времени»
Для дискретизации системы (4.1.23) - (4.1.27) по «времени» разобъем интервал по «времени» на т отрезков А г. Значение неизвестных узловых функций в момент тк=Ат.к обозначим yk.; Sk/, hk/, \.; Vky Здесь
Для интегрирования эволюционных уравнений (4.1.25) - (4.1.27) в первом приближении необходимо использовать явную схему Эйлера, так как правые части этих уравнений заданы дискретно. В результате получаем: \Skj=Sk u+ArVk u
Последовательность решения системы уравнений (4.1.28) - (4.1.32).
Решение строится на последовательности шагов по «времени». Для каждого значения к = 1,2,3,..,т находим соответствующие значения искомых функций в узловых пространственных точках xi. Для построения решения в начальный момент принимаем к = 1. В этот момент система (4.1.28) - (4.1.29) с учетом начальных условий принимает следующий вид:
Графики на Рис. 4.2 изображают сравнение распределения угла вида в начальный момент, получаемое дискретным методом с аналитическим решением по формуле (4.1.20). Из проведенных вычислений следует, что результаты, полученные приближенным методом практически совпадают с аналитическим решением и не зависят от значения а.
Из графиков, показанных на Рис. 4.7 следует, что толщина заготовки с ростом «времени» уменьшается, причем толщина верхнего торца уменьшается больше чем нижнего.
Из графиков, показанных на Рис. 4.8 и Рис. 4.9 следуют, что напряжения оп и (т22 растягивающие. При этом, с ростом «времени» они изменяются незначительно. Из графиков, показанных на Рис. 4.10 следует, что с ростом «времени» нормальное давление увеличивается, причём в окрестности нижнего торца больше чем в окрестности верхнего торца.
Нестационарное течение по внутренней поверхности конуса (обжим) Постановка данной задачи аналогична приведенной в разделе 4.1, только в этом случае материал течет в противоположном направлении по внутренней поверхности конуса. В начальный момент, нижний торец движется со скоростью Vu а верхний торец свободен. Переменная х изменяется в положительном направлении от 0 (координата точки В) до 1 (координата точки А).
Из графиков, показанных на Рис. 4.19 следует, что толщина заготовки с ростом «времени» увеличивается, причем толщина верхнего торца увеличивается больше чем нижнего. Из графиков, показанных на Рис.4.20 и Рис.4.21 следует, что напряжения а11 и а22 сжимающие. При этом, с ростом «времени» они изменяются незначительно. Из графиков, показанных на Рис.4.22 следует, что с ростом «времени» нормальное давление увеличивается, причём в окрестности нижнего торца меньше чем в окрестности верхнего торца.
Основные результаты главы 4
1. Система уравнений, описывающая течение по конической поверхности, приведена к пяти безразмерным разрешающим дифференциальным уравнениям, которые включают следующие неизвестные функции «времени» и лагранжевой координаты: закон движения; распределение «скоростей»; удлинение меридионального волокна; угол вида напряженного состояния; толщина тела.
2. Получена аналитическая зависимость лагранжевой координаты от угла вида напряженного состояния в начальный момент «времени». С помощью данной зависимости установливается распределение начальной «скорости» вдоль дуговой координаты.
3. Использование явной и неявной схем дискретизации по дуговой и «временнй» координатам позволило свести исходную систему к системе квазилинейных уравнений относительно узловых значений искомых функций.
4. Получены численные решения задач, моделирующие неустановившиеся стадии процессов раздачи и обжатия по конической матрице.
В рамках условия идеальной пластичности Мизеса и ассоциированного с ним закона пластического течения получена система эволюционных разрешающих уравнений, описывающих установившиеся и неустановившиеся движения тела малой толщины по осесимметричной поверхности. В качестве неизвестных функций дуговой координаты и «времени» система содержит: поле скоростей; изменение толщины тела; угол вида напряженного состояния; распределение давления со стороны опорной поверхности; закон движения.
Показано, что при установившемся течении радиальная координата и толщина движущегося по осесимметричной поверхности тела зависят от угла вида напряженного состояния универсальным, не зависящем от формы опорной поверхности образом. Установлены аналитические зависимости радиальной координаты и толщины тела от угла вида напряженного состояния.
Получены аналитические зависимости дуговой координаты от угла вида напряженного состояния и от толщины тела для течений по внутренней и внешней поверхностям тора, а также по конической и комбинированной поверхностям. Путем обращения данных зависимостей построены графики изменения давления на тело со стороны опорной поверхности и зависимости толщины тела от дуговой координаты.
Система уравнений течения по конической поверхности в лагранжевых координатах приведена к системе пяти безразмерных разрешающих дифференциальных уравнений, которые включают следующие неизвестные функции «времени» и координаты: закон движения; распределение «скоростей»; удлинение меридионального волокна; угол вида напряженного состояния; изменение толщины тела. Получена аналитическая зависимость лагранжевой координаты от угла вида напряженного состояния в начальный момент «времени». С помощью данной зависимости устанавливается распределение начальной «скорости» вдоль дуговой координаты. Путём использования явной и неявной схем дискретизации по дуговой и «временной» координатам задача сведена к системе квазилинейных уравнений относительно узловых значений искомых функций. Получены численные решения задач, моделирующих неустановившиеся стадии процессов раздачи и обжатия по конической матрице.
Представление системы уравнений в безразмерном виде
Диссертация посвящена исследованию стационарных и нестарционарных задач течения несжимаемого жесткопластического тела малой толщины по осесимметричным поверхностям. Постоянное возрастание требований к точности изготовления деталей, в особенности тонкостенных, приводит к разработке новых производственных технологий обработки материалов давлением, которые, в свою очередь, должны удовлетворять требование повышения точности изготовления заготовок на первых, более дешёвых операциях в процессах обработки давлением, чтобы последующая, более дорогая обработка была минимальной.
Технологические процессы обработки давлением, происходящие в форме течения слоя по осесимметричной поверхности – это сложные термомеханические процессы, связанные с большими деформациями первоначальной заготовки. Очевидно, математическая модель, строго описывающая такие процессы, будет системой нелинейных уравнений; исследовать её аналитическими методами практически невозможно. Разработка математических моделей, способных с одной стороны более просто описать отмеченные явления, а с другой стать хорошим инструментом для точного и достоверного расчета технологических процессов, представляет собой актуальную задачу.
Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Сен–Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформции, и Леви, составившего, следуя идеям Сен–Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.
В начале XX века были опубликованы работы Хаара и Кармана, Мизеса. В первой из них была сделана попытка получить уравнения теории пластичности, исходя из некоторого вариционного принципа. В работе Мизеса четко сформулировано условие текучести. Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается по двум главным напрвлениям: теория пластического течения и деформационная теория. В работках Прандтля, Мизеса, Рейса были поучены важные результаты, как по основным уравнениям теории пластического течения, так и по методам решения плоской задачи. В трудах Генки были сформулированы основные положения деформационной теории пластичности. Законченный вид деформационная теории пластичности (теория малых упругопластических деформаций) приобрела благодаря работам А.А. Ильюшина [40]. Вопросы экспериментального обоснования различных вариантов теории пластичности на основе общей теории процессов А.А. Ильюшина рассматривались в работах Р.А. Васина [21], В.Г. Зубчанинова [35], Э.С. Ленского [53].
Наиболее распространеной и обоснованной для описания процессов пластического течения металлов в широком диапозоне изменения температур и скорости деформации по праву считается теория пластичности для траекторий малой кривизны [13,36,56,79,80,93]. Исследованию задач установившегося течения пластических сред посвящены многочисленные публикации зарубежных и отечественных авторов. Следует отметить работы И.А. Кийко [43,44,45], В.В Соколовского [84], О.Д. Григорьева [33], М.Я. Бровмана [17,18,19]. В рамках модели идеального жесткопластического материала существует класс решений, известных как идеальные течения. Впервые возможность получения таких решений для установившихся плоских течений была показана в статье Richmond O. [111], в этой работе было получено решение, описывающее процесс выдавливания через матрицу специальной формы. Доказательство существования идеальных течений дано в статье [100].
В статье Chung Kwansoo, Alexandrov Sergei [98] указано, что теория идеального течения в пластичности включает установившиеся и неустановившиеся течения, которые делятся на три раздела, а именно: течения при плоской деформации, осесимметричные течения и трехмерные течения. Для мембранных течений ограничения на определяющие соотношения материалов значительно сглажены, поэтому рассматриваются более сложные анизотропные определяющие соотношения.
Исследования в области осесимметричного течения имеет большое практическое значение для производства изделий машиностроения. В статье Полякова Е.В.; Товстик П.Е.; Филиппов С.Б. [75] рассматривается нелинейная осесимметричная деформация тороидальной оболочки под действием внутреннего давления. Установлено, что существует предельное давление, при превышении которого равновесные положения отсутствуют. Если давление меньше критического, то имеются два положения равновесия — докритическое и закритическое. В закритическом положении равновесия оболочка полностью растянута. Для докритических положений равновесия найдены граница покрытой складками области и минимальное значение давления, при котором на оболочке не образуются складки.
В книгах под редакцией Кийко И.А. [28,29] и в книге Пономаревой Т.Т. [76] приведено решение некоторых задач плоского и осесимметричного деформирования идеальнопластических и вязкопластических изотропных и анизотропных тел.
В статье Боницкой О.В., Красавина Р.В., Маркина А.А. [16] на основании инвариантного условия совместности для девиаторной составляющей тензора напряжений дается постановка задач осесимметричного течения идеально пластической среды в рамках модели Мизеса и условия полной пластичности, рассматривается течение в сходящемся коническом канале, на границе которого задаются касательные напряжения. В статьях Биткова В.В. [14], Исаева А.Н., Яковлева С.С.[41] рассмотрена минимизация образования внутренних разрывов материала при прессовании осесимметричных изделий в конической матрице, а в статье Бровмана М.Я.[17] рассмотрено движение пластической массы в криволинейном канале. Следует отметить работы Александрова С.Е., Гольдштейна Р.В. [6], Александрова С.Е., Мишурис Г.С.[7], Красавин Р. В., Федосов И. М., Хилковой О. В. [50].
