Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Нестационарные граничные задачи магнитоупругости 16
1. Основные уравнения магнитоупругости. Механические и электрические граничные условия 16
2. Пондеромоторные силы электромагнитного поля. Тензор натяжений Максвелла 19
3. Математические методы решения нестационарных задач теории упругости и магнитоупругости 24
4. Метод собственных векторных функций 31
ГЛАВА II. Обоснование и уточнение упрощающих гипотез в задачах деформирования упругих проводящих тел импульсными эжктромагнитными полями 38
5. Оценка эффекта связанности упругих и электромагнитных полей 38
6. Влияние тока смещения на электромагнитное поле и пондеромоторные силы в задачах импульсной магнитоупругости 40
7. Влияние скорости погружения тела в магнитное поле на пондеромоторные силы 44
8. Дифракция электромагнитной волны на проводящей сфере 46
ГЛАВА III. Взаимодействие упругих проводящих тел с импульсными магнитными полями 57
9. Погружение проводящего бруса в магнитное поле 57
10. Вычисление пондеромоторных сил, действующих на брус 64
11. Определение электромагнитного поля в проводящей сфере, которая погружается в магнитное поле 66
12. Механические силы, действующие на сферу, которая погружается в магнитное поле. Закон изменения скорости сферы 78
ГЛАВА ІV. Деформирование упругой проводящей сферы импульсным магнитным полем 89
13. Постановка задачи теории упругости 89
14. Решение задачи динамической теории упругости 94
15. Квазистатическая задача теории упругости для сферы 101
16. Волны упругих напряжений в проводящей сфере, возбуждаемые импульсным магнитным полем 108
Заключение 121
Список основной использованной литературы 124
- Математические методы решения нестационарных задач теории упругости и магнитоупругости
- Влияние тока смещения на электромагнитное поле и пондеромоторные силы в задачах импульсной магнитоупругости
- Определение электромагнитного поля в проводящей сфере, которая погружается в магнитное поле
- Волны упругих напряжений в проводящей сфере, возбуждаемые импульсным магнитным полем
Введение к работе
В последние годы значительное внимание в литературе уделяется исследованиям по механике сплошной среды, в которых поля механических напряжений и деформаций рассматриваются в неразрывной взаимосвязи с физическими полями другой природы (тепловыми, электромагнитными, диффузионными и другими). В отличие от электроупругости [84], в которой изучаются процессы в твердых диэлектриках (материалах, обладающих пьезоэффектом), вызванные взаимодействием полей механических напряжений и деформаций с электромагнитным полем, магнитоупругость изучает упругие процессы в твердых проводниках под действием потоков электромагнитной энергии.
Интенсивное развитие магнитоупругости обусловлено возможностью непосредственного применения ее результатов в различных областях науки и техники, в частности, при разработке магнито-импульсных генераторов, используемых для магнитоимпульсной штамповки металлов; для расчета демпфирующих сил пространственных тел, которые погружаются в магнитное поле; для разгона макрочастиц до больших (порядка 10 м/с) скоростей с помощью импульсных электромагнитных полей (электромагнитной пушки) и т.п. Отметим, что задачи деформирования проводящих тел электромагнитными полями лишь недавно привлекли внимание исследователей. Это связано, отчасти, с тем, что только в последнее время удалось получить сильные и сверхсильные магнитные поля [44]. Поэтому многие вопросы еще недостаточно изучены.
Воздействие электромагнитного поля на проводящее тело приводит к возникновению в теле электрического поля, а, следовательно, и вихревых токов. Взаимодействие токов с магнитным полем приводит к появлению объемных электромагнитных (пондеро-моторных) сил и источников джоулева тепла. Электромагнитные силы и тепловые источники вызывают волны напряжений и деформаций и изменяют термодинамическое состояние тела, а следовательно, изменяют электромагнитное поле в нем. Таким образом, механические, электромагнитные и температурные поля оказываются взаимосвязанными и должны определяться из совместного решения уравнений термомеханики и уравнений Максвелла.
Остановимся на вопросе связности температурных и магнито-упругих полей. В работах [30, 67] показано, что повышение напряжений в упругом полупространстве вследствие скачкообразного изменения температуры на его поверхности не имеет практическо-го значения (по крайней мере дляїИО с ). 3>. Мун и С. Чато-падхайя [63] доказали, что поправка от влияния температурных полей на волны напряжений при импульсных магнитных воздействиях также оказывается малой величиной (например, для меди менее Ъ% в сравнении с величиной напряжений, вызываемых вихревыми токами). Отметим, что такие напряжения содержат высокочастотные составляющие и затухают при распространении на несколько сантиметров от поверхности тела, в то время как напряжения, вызываемые пондеромоторными силами будут распространяться в твердом теле с малым затуханием [63]. Поэтому будем пренебрегать влиянием температурных полей на напряженное состояние тела при импульсных магнитных воздействиях.
Картина взаимодействия электромагнитных полей с проводящими упругими телами значительно усложняется, если материал тела обладает свойством магнитной поляризуемости (ферромагнетики). В этом направлении отметим работу Y_H. Poo,C.S. Yeh [105], которые предложили квазистатическую линейную теорию магнитоуп-ругости в мягких ферромагнетиках.
3.G. Агранович и Н.И. Деревянко [2] решили задачу для призматического стержня, находящегося под действием пондеромо- торных сил и поверхностных нагрузок. Отметим, что в этой работе пренебрегалось взаимовлиянием упругих и электромагнитных полей (т.е., решалась несвязанная задача). Построению общих моделей сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем, посвящены работы Л.И. Седова [74] и его последователей. В.В.Лохин [55] получил основные уравнения магнитоупругости, выражения для пондеромоторных сил и тензора напряжений с учетом эффекта поляризации. Закономерностям распространения магнитоупру-гих волн в намагничиваемых средах посвящены работы [24, 91].
Мсшді-П G. представил обзор исследований по распространению магнитоупругих волн в намагничивающихся деформируемых твердых телах [102]. Более ранние работы по магнитоупругости намагничивающихся сред содержит другой обзор того же автора [Юі].
При решении задач магнитоупругости применяются допущения, которые позволяют упростить исходную систему нелинейных уравнений. К таким допущениям относится линеаризация уравнений магнитоупругости путем представления электромагнитного поля в виде суммы первоначального , стационарного поля и малого (по сравнению с исходным) возмущенного поля. Далее, пренебрегая в исходной системе нелинейных уравнений квадратами и произведениями малых возмущений, получаем систему линейных уравнений магнитоупругости.
Первые работы по теории распространения волн в проводящих упругих телах при наличии магнитного поля принадлежат KnoppoJ-f [99], ChadwLCk [93]. Затем задачи по распространению маг-нитоупругих волн в проводящих, идеально-проводящих, слоистых средах рассматривались в работах [7, 18, 22, 33, 75, 76, 78, 86, 94, 98]. Обширная библиография по этому вопросу представлена в монографии [77].
Исследование магнитоупругих волн в вышеприведенных работах проводилось с использованием линеаризованных уравнений. В связи с возможностью эффективного применения магнитоакустичес-кого нагрева для обработки проводящих элементов конструкций [43] большое значение приобретает изучение магнитотермоупругих процессов на основе нелинейных уравнений. Поэтому возникает необходимость разработки приближенного решения системы уравнений магнитоупругости с учетом нелинейности взаимосвязи магнитного, температурного и упругих полей при периодических силовых и электромагнитных воздействиях. В монографии [71] предлагается приближенная схема решения нелинейных уравнений магнитоупругости, позволяющая изучать механические, тепловые и электромагнитные процессы в проводящих телах при периодических во времени нагрузках и полях. Приближенное решение системы уравнений магнитотермоупругости строится с использованием операции усреднения по периоду внешнего воздействия и метода асимптотического разложения по малому параметру, равному отношению амплитуды индукции медленно меняющегося магнитного поля к величине индукции постоянного магнитного поля.
Работы [59, 60] посвящены распространению магнитоупругих волн в проводящих телах с начальными напряжениями. Используя процедуру линеаризации, автор получил систему уравнений магнитоупругости в случае произвольной начальной деформации. Рассмотрена также задача о распространении плоских волн в проводящем изотропном теле, находящемся в однородном магнитном поле, подвергнутом однородным начальным деформациям, и изучено влияние этих деформаций на скорости распространения и затухания электромагнитных волн.
В последнее время появился ряд работ, которые посвящены взаимодействию электромагнитного поля с проводящими упругими телами с трещинами. В работе [68] исследуется влияние электрического тока на напряженное состояние в вершине мгновенно по- являющейся полу бесконечной трещины. 5 bin do У [Ю7], используя теорию, изложенную в работе [105], получил решение статической плоской задачи о равновесии прямолинейной трещины конечной длины в ферромагнитном материале для однородного магнитного поля, которое направлено перпендикулярно к поверхности трещины. Работа [108] посвящена задаче дифракции нормально падающей продольной волны на трещине, находящейся в бесконечном упругом пространстве из мягкого ферромагнетика. Используя преобразование фурье, автор свел задачу к решению парных интегральных уравнений. Получены динамические напряжения вблизи кончика трещины и найдено влияние магнитного поля на концентрацию динамических напряжений. Исследовано влияние магнитного поля на динамические напряжения в окрестности кончика трещины.
Задачи взаимодействия конструктивных элементов типа оболочек и пластин с электромагнитным полем возникают в различных областях современной техники. В последнее время выполнено много работ в области магнитоупругости тонких проводящих пластин и оболочек, находящихся в магнитном поле. Среди этих работ видное место занимают работы армянской школы механиков, выполненные в линеаризованной постановке для неферромагнитных материалов. На основе решений, полученных методом асимптотического интегрирования трехмерных уравнений магнитоупругости формулируются гипотезы магнитоупругости тонких тел, позволяющие свести трехмерные уравнения к двумерным. Эти гипотезы связаны с характером изменения электромагнитного поля упругих смещений по толщине оболочки и состоят из классической гипотезы тонких оболочек - гипотезы недеформируемых нормалей, а также предположения о том, что касательные составляющие вектора напряженности электрического поля и нормальная составляющая напряженности магнитного поля остаются постоянными по толщине оболочки [3, 8, 9, 1б].
Основные результаты применительно к задачам колебания и устойчивости токонесущих оболочек и пластин, а также задачи динамического и статического деформирования и устойчивости тонкостенных пластин и оболочек для неферромагнитных материалов представлены в монографии [5]. Обзор новых работ по магнитоупругости тонких пластин и оболочек можно найти в статье [4J.
В работе [ю] авторы получили систему линеаризованных уравнений в перемещениях для динамических задач магнитоупругости идеально-проводящих анизотропных тел при наличии внешнего однородного магнитного поля. Получены также условия, при которых среда в зависимости от ориентации магнитного поля находится в условиях плоской деформации.
Большинство известных работ по деформированию упругих проводящих тел выполнены для линеаризованной системы уравнений ( см. обзоры [51, 106]). Однако решения ряда прикладных задач (таких как магнитоимпульсная обработка металлов, конструирование демпфирующих устройств и т.п. особенно при импульсных воздействиях) требует более полного изучения механических процессов, включая волновые поля, сопровождающие магнитоупругое взаимодействие, на основе нелинейной системы уравнений магнитоупругости.
Следовательно, исследования нестационарных задач по деформированию упругих проводящих тел импульсными магнитными полями, на основе нелинейной системы уравнений магнитоупругости представляют собой актуальную научную задачу.
Интересный в научном и прикладном плане класс задач по нестационарной динамике магнитоупругости представляют собой задачи погружения упругих проводящих тел в неоднородное магнитное поле. При погружении тела с большой скоростью в неоднородное магнитное поле, на него начинают действовать большие механические силы, которые в свою очередь будут деформировать тело и изменять его скорость. Такие задачи встречаются при расчете различных типов магнитных ловушек, ускорителей макрочастиц (электромагнитные пушки).
Прежде, чем сформулировать цель настоящего исследования, остановимся на анализе некоторых работ в этом направлении.
Ф. Мун и С. Чатопадхайя [63] решили задачу о деформирова-нии упругого проводящего полупространства импульсным электромагнитным полем. В предположении о малом времени импульсного воздействия (~1 мкс), оказалось возможным пренебречь влиянием связности упругих и электромагнитных полей. Это позволило сначала решить задачу электродинамики, а затем, зная уже величину пондеромоторных сил, решить задачу теории упругости. Авторы дополнили теоретическое решение численными расчетами, графиками и экспериментальными данными.
В.И. Дресвянников в работах [36, 37] построил вариант теории проводящих тонких оболочек при воздействии импульсных магнитных полей. В основу построения положены гипотезы магнитоуп-ругости тонких тел [5]. Автору удалось получить двумерное ин-тегро-дифференциальное сингулярное уравнение для отыскания вектора плотности вихревых токов в оболочке, необходимого при определении пондеромоторных сил. Построен алгоритм численного решения этого уравнения, приведены графики для величин динамических прогибов и электродинамических сил для алюминиевой пластинки, подверженной действию импульсного магнитного поля спирального индуктора.
Работы [34, 35, 38] посвящены решению связанных уравнений магнитотермопластичности. В одномерной постановке для слоя и цилиндра разработан численный метод расчета сопряженных тепловых, механических и электромагнитных полей в упругопластических не- ферромагнитных материалах, физико-механические свойства которых зависят от температуры. Представлены результаты расчетов нелинейных переходных процессов в металлическом слое при воздействии на границе быстро нарастающего до некоторого значения магнитного поля. Исследован процесс динамического сжатия цилиндрических оболочек в сильном импульсном магнитном поле.
Из вышеизложенного видно, что к настоящему времени в литературе накопился некоторый материал по импульсной магнитоуп-ругости: решен ряд одномерных задач (в основном численно), есть попытки построения теории тонких проводящих оболочек. Однако завершенная теория деформирования упругих проводящих тел импульсными магнитными полями в литературе отсутствует.
Целью настоящей работы является дальнейшее развитие основ теории механического взаимодействия упругих проводящих тел с импульсными электромагнитными полями, а также исследования движения и деформирования упругих проводящих пространственных тел канонической формы (в частности сферы) при погружении их в неоднородное магнитное поле. Исследование в данной работе проводится для неферромагнитных хорошо проводящих материалов, таких как алюминий, медь, серебро и т.п.
В первой главе диссертации приведена полная система уравнений магнитоупругости, поставлены начальные и граничные условия, необходимые для однозначного решения. Приведено выражение для пондеромоторных сил электромагнитного поля, их связь с тензором максвелловых натяжений, исходя из теории Абрагама [і, 26]. Здесь же дается краткий обзор математических методов, применяемых в работе для решения нестационарных задач. Приводятся формулы теории преобразования Лапласа [31, 32], описаны методы вычисления оригиналов функций по их изображениям, в частности упоминается о так называемой "обобщенно-лучевой теории" [ЮЗ,
104], о методе сведения к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода [Ю0]. Описано преобразование Фурье с конечными пределами [79], преобразование Зоммерфельда-Ватсона [20, 21, 88], теорема Дюгамеля для решения нестационарных уравнений параболического типа [57, 79]. В последнем параграфе главы приведено решение пространственной задачи теории упругости для сплошной сферы с использованием метода собственных векторных функций (векторного разложения Ламе) [85].
Вторая глава посвящена обоснованию и уточнению упрощающих гипотез в задачах магнитоупругости проводящих тел для импульсных электромагнитных полей. Приведены оценки эффекта связности электромагнитных и упругих полей при воздействии импульсных магнитных полей [63]. Показано, что в задачах импульсной магнитоупругости можно пренебрегать связностью этих полей, т.к. продол-жительность импульса, как правило, не превосходит Ю С . Решена задача о влиянии отраженной волны на напряженное состояние упругого проводящего слоя [46, 48]. Найдено, что если падающий импульс имеет вид функции Хевисайда, то амплитуды проникающего в слой электромагнитного поля почти в два раза больше, а амплитуда пондеромоторных сил почти в четыре раза больше, чем в задаче без учета отраженной волны. При конечной крутизне падающего импульса эффект существенно уменьшается. На основании точного решения модельной задачи для упругого проводящего слоя исследовано влияние скорости погружения тела в магнитное поле на пондеромоторные силы, действующие на слой. Показано, что при скорости погружения значительно меньше скорости света можно пользоваться граничными условиями, которые не учитывают отраженную волну, т.е. можно не решать внешнюю задачу [48]. В заключительном параграфе главы приведены общие формулы для решения задач о взаимодействии проводящей сферы с электромагнитным полем. В качестве примера применения полученных общих формул при- ведено решение хорошо известной задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на проводящей сфере.
В третьей главе получено решение задачи о погружении проводящего бруса в магнитное поле [б]. Задача решалась при помощи преобразования ^урье с конечными пределами, преобразования Зоммерфельда-Ватсона для суммирования получившихся рядов и теоремы Дюгамеля. Найдено электромагнитное поле в брусе, получено выражение для вектора пондеромоторных сил, действующих на брус. Интегрированием этого выражения по сечению бруса вычислены силы, действующие на единицу длины бруса в зависимости от его скорости как в направлении движения, так и по нормали к нему. Применяя метод векторных собственных функций и преобразование Лапласа по времени и используя формулы, изложенные в 8, решена задача о погружении упругой проводящей сферы в магнитное поле. Решение, полученное в виде разложения по векторным гармоникам, удалось просуммировать и найти электромагнитное поле и пондеромоторные силы в сфере [47]. Интегрированием вектора пондеромоторныхсил по объему сферы вычислен главный вектор демпфирующих сил, действующий на сферу. Проведено сравнение решения этой задачи с задачей о погружении в магнитное поле идеально-проводящей сферы. Получено интегро-дифференци-альное уравнение для вектора скорости идеально-проводящей сферы, влетающей в магнитное поле. Численным интегрированием этого уравнения получен закон изменения скорости тела при проникании через "магнитный барьер". Представлено соотношение, позволяющее определять минимальную скорость, необходимую для преодоления "магнитного барьера".
Задаче о нахождении напряженно-деформированного состояния упругой сферы, подверженной воздействию импульсного магнитного поля посвящается четвертая глава [45]. Сформулированы и обосно- ваны гипотезы, позволяющие разбить данную задачу на две задачи: задачу динамической теории упругости без массовой силы, но с граничными условиями в виде тензора максвелловых натяжений и задачу квазистатической теории упругости с массовой силой, но без инерционного члена в уравнениях Ламе и с заданными граничными условиями. Решение задачи динамической теории упругости проводилось с использованием преобразования Лапласа и метода собственных векторных функций. Нахождение обращения сводилось к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Решение этого интегрального уравнения было получено численно. При решении задачи квазистатической теории упругости методом собственных векторных функций удалось построить решение для произвольной радиальной массовой силы, используя метод вариации произвольных постоянных. В последнем параграфе главы представлены графики и таблицы численного расчета динамических напряжений в упругой сфере, которые вызваны импульсным магнитным полем.
В заключении к диссертации отражены основные результаты проведенных исследований.
Отдельные вопросы, рассмотренные в диссертации, докладывались :
На научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Киевского госуниверситета (I98I-I984 гг.).
На Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (Канев, 1982 г.).
На конференциях молодых ученых Московского госуниверситета (Москва, 1983 г., 1984 г.).
На Ш Всесоюзном симпозиуме "Теоретические вопросы магнитоупругости" (Ереван, 1984 г.).
Основные результаты диссертации изложены в работах автора [45, 46, 47, 48], в статье [б], выполненной в соавторстве с научным руководителем А.Ф. Улитко и с В.А. Андрущенко. А.Ф. Улитко принадлежит идея о возможности построения теории задач погружения упругих проводящих тел в магнитное поле в квазистатической постановке (т.е., пренебрегая отраженными волнами), В.А. Андрущенко принадлежит экспериментальная часть работы. Диссер-танту принадлежит получение аналитического решения. Обсуждение результатов авторами проводилось совместно.
Математические методы решения нестационарных задач теории упругости и магнитоупругости
Вторая глава посвящена обоснованию и уточнению упрощающих гипотез в задачах магнитоупругости проводящих тел для импульсных электромагнитных полей. Приведены оценки эффекта связности электромагнитных и упругих полей при воздействии импульсных магнитных полей [63]. Показано, что в задачах импульсной магнитоупругости можно пренебрегать связностью этих полей, т.к. продол-жительность импульса, как правило, не превосходит Ю С . Решена задача о влиянии отраженной волны на напряженное состояние упругого проводящего слоя [46, 48]. Найдено, что если падающий импульс имеет вид функции Хевисайда, то амплитуды проникающего в слой электромагнитного поля почти в два раза больше, а амплитуда пондеромоторных сил почти в четыре раза больше, чем в задаче без учета отраженной волны. При конечной крутизне падающего импульса эффект существенно уменьшается. На основании точного решения модельной задачи для упругого проводящего слоя исследовано влияние скорости погружения тела в магнитное поле на пондеромоторные силы, действующие на слой. Показано, что при скорости погружения значительно меньше скорости света можно пользоваться граничными условиями, которые не учитывают отраженную волну, т.е. можно не решать внешнюю задачу [48]. В заключительном параграфе главы приведены общие формулы для решения задач о взаимодействии проводящей сферы с электромагнитным полем. В качестве примера применения полученных общих формул приведено решение хорошо известной задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на проводящей сфере.
В третьей главе получено решение задачи о погружении проводящего бруса в магнитное поле [б]. Задача решалась при помощи преобразования урье с конечными пределами, преобразования Зоммерфельда-Ватсона для суммирования получившихся рядов и теоремы Дюгамеля. Найдено электромагнитное поле в брусе, получено выражение для вектора пондеромоторных сил, действующих на брус. Интегрированием этого выражения по сечению бруса вычислены силы, действующие на единицу длины бруса в зависимости от его скорости как в направлении движения, так и по нормали к нему. Применяя метод векторных собственных функций и преобразование Лапласа по времени и используя формулы, изложенные в 8, решена задача о погружении упругой проводящей сферы в магнитное поле. Решение, полученное в виде разложения по векторным гармоникам, удалось просуммировать и найти электромагнитное поле и пондеромоторные силы в сфере [47]. Интегрированием вектора пондеромоторныхсил по объему сферы вычислен главный вектор демпфирующих сил, действующий на сферу. Проведено сравнение решения этой задачи с задачей о погружении в магнитное поле идеально-проводящей сферы. Получено интегро-дифференци-альное уравнение для вектора скорости идеально-проводящей сферы, влетающей в магнитное поле. Численным интегрированием этого уравнения получен закон изменения скорости тела при проникании через "магнитный барьер". Представлено соотношение, позволяющее определять минимальную скорость, необходимую для преодоления "магнитного барьера".
Задаче о нахождении напряженно-деформированного состояния упругой сферы, подверженной воздействию импульсного магнитного поля посвящается четвертая глава [45]. Сформулированы и обоснованы гипотезы, позволяющие разбить данную задачу на две задачи: задачу динамической теории упругости без массовой силы, но с граничными условиями в виде тензора максвелловых натяжений и задачу квазистатической теории упругости с массовой силой, но без инерционного члена в уравнениях Ламе и с заданными граничными условиями. Решение задачи динамической теории упругости проводилось с использованием преобразования Лапласа и метода собственных векторных функций. Нахождение обращения сводилось к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Решение этого интегрального уравнения было получено численно. При решении задачи квазистатической теории упругости методом собственных векторных функций удалось построить решение для произвольной радиальной массовой силы, используя метод вариации произвольных постоянных. В последнем параграфе главы представлены графики и таблицы численного расчета динамических напряжений в упругой сфере, которые вызваны импульсным магнитным полем.
В заключении к диссертации отражены основные результаты проведенных исследований. Отдельные вопросы, рассмотренные в диссертации, докладывались : 1. На научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Киевского госуниверситета (I98I-I984 гг.). 2. На Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (Канев, 1982 г.). 3. На конференциях молодых ученых Московского госуниверситета (Москва, 1983 г., 1984 г.). 4. На Ш Всесоюзном симпозиуме "Теоретические вопросы магнитоупругости" (Ереван, 1984 г.). Основные результаты диссертации изложены в работах автора [45, 46, 47, 48], в статье [б], выполненной в соавторстве с научным руководителем А.Ф. Улитко и с В.А. Андрущенко. А.Ф. Улитко принадлежит идея о возможности построения теории задач погружения упругих проводящих тел в магнитное поле в квазистатической постановке (т.е., пренебрегая отраженными волнами), В.А. Андрущенко принадлежит экспериментальная часть работы. Диссер-танту принадлежит получение аналитического решения. Обсуждение результатов авторами проводилось совместно.
Влияние тока смещения на электромагнитное поле и пондеромоторные силы в задачах импульсной магнитоупругости
Анализируя выражения (10.5) и (10.б), можно сделать вывод, что главный вектор силы Pz пропорционален скорости бруса. Это хорошо видно, если перейти к размерным координатам по формулам (9.1). В начальный момент времени, когда происходит соприкосно-вение бруса с магнитным полем, появляется сила, равная г ап . Это классическое слагаемое, соответствующее давлению на полупространство. Два других члена в выражении (10.5) - это поправки из-за наличия концов, причем они могут быть значительны.
Сжимающая сила по оси у тоже пропорциональна скорости бруса. Такой результат для сил можно было ожидать, поскольку электрическое поле в брусе пропорционально чВ0 » & пондеромоторная сила, которая равна произведению тока на магнитную индукцию поля, пропорциональна )/ВЦ , что хорошо согласуется с (10.5) и (10.6).
Предметом нашего дальнейшего рассмотрения в этой главе будет задача о движении проводящей сферы, погружающейся со скоростью v ( V« С ) в магнитное поле (рис. 8). В результате решения этой задачи будет: 1) вычислено электромагнитное поле в сфере, которое индуцируется внешним магнитным полем; 2) получена пондеромоторная сила, действующая на сферу со стороны магнитного поля; 3) найден закон движения сферы при преодолении границы раздела вакуум - магнитное поле; 4) проведено сравнение решения этой задачи с задачей о погружении в магнитное поле идеально-проводящей сферы. Пусть хорошо проводящая неферромагнитная сфера радиуса Г-о. погружается в магнитное поле 8 со скоростью V (рис. 8). Если связанная со сферой система координат движется по закону Z = vt » то, обращая задачу, можно считать, что сфера покоится, а на нее со скоростью V набегает магнитное поле В0 --) Ва H(H -Q +vt ) . Кроме этого, используя преобразования Лоренца [82] для \/ С , находим, что в этой системе координат появляется электрическое поле, которое имеет вид Е - VBa і H(Z -Q. +vt ) . Вводим безразмерные координаты При этом выражения для электромагнитного поля упрощаются следующим образом 1о 7н{г- «) ЦЬ2) Применяя к (II.2) преобразование Лапласа (3.1), получим е Т 7 -PU-rcosB) (ІІ-З) -р _ jj_a-P(4-rcosB) ba L Р U При решении этой задачи воспользуемся результатами, изложенными в 8. Согласно методу собственных векторных функций, выражение для электромагнитного поля в сфере будем искать в виде п=ок:-п г\ п Ln " ьп п (II.4) /4=1 І ї ,,+і мкп ї ії п=о к--п гпПіпп пп Разложим падающее поле (ІІ.З) по собственным векторным функциям (4.7) _ (ІІ.5) иа-їі u nL; v nprn w „rf Гї-О К--П С этой целью выпишем хорошо известные формулы, связывающие орты декартовой и сферической систем координат [50] Выражение 69 и соотношения (II.б) дают возможность легко вычислить интегралы обращения (4.II) для разложения (II.3) по гармоникам (4.7). Проделав соответствующие выкладки, находим Здесь и далее для сокращения записи введены следующие обозначения В 8 было установлено, что электромагнитное поле в проводящей сфере удовлетворяет системам уравнений (8.19) и (8.20). Если применить к этим системам уравнений В 7 мы установили, что в задачах погружения хорошо проводящих тел в магнитные поля можно пренебрегать влиянием отраженной волны на электромеханические характеристики тела. Поэтому граничное условие (8.21) в области изображений упрощается к виду ( Г =1) Подставляя в (II.II) формулы (II.10) и (II.8), находим выражения для постоянных интегрирования бл и gn ( г =1)
Таким образом, нахождение электромагнитного поля сферы свелось к нахождению комплексных интегралов Римана-Меллина (3.2) от функций (II.10) с постоянными (II.12). Нахождение точного обращения с использованием теоремы о вычетах сопряжено с большими трудностями, в частности, при малых значениях безразмерного времени. Именно при этих значениях времени происходят существенные явления в задачах взаимодействия упругих тел с импульсными магнитными полями. Хорошо известна формула, связывающая значение оригинала при малых значениях времени со значением изображения
Определение электромагнитного поля в проводящей сфере, которая погружается в магнитное поле
В качестве следующего шага в изучении процесса взаимодействия упругих тел с импульсными магнитными полями рассмотрим деформирование упругой проводящей сферы, погружающейся в магнитное поле. В предыдущей главе мы установили, что на сферу, которая погружается в магнитное поле, действует радиальная пондеро-моторная сила (12.2). Эта сила вызывает волны напряжений в упругой сфере.
Целью настоящей главы является изучение динамических напряжений в упругой сфере, которые вызываются пондеромоторными силами (12.2).
Результаты этой главы без труда распространяются на изучение напряженно-деформированного состояния зшругих тел сферической формы в электромагнитном поле кольцевого индуктора.
Для нахождения напряжений и деформаций сферы, которые вызывает пондеромоторная сила (12.2), необходимо проинтегрировать уравнение движения (1.2) с массовыми силами (12.2), учитывая тот факт, что поверхность сферы свободна от напряжений, т.е. Рл= (см. І.І2)).
Близкой по сути к этой задаче магнитоупругости является задача о деформировании упругой среды вокруг сферической полости при набегании ступенчатой волны давления [89]. В работе [85] была решена подобная задача - задача о внезапном сжатии упругого пространства со сферической полостью и сделан важный вывод, что для разыскания максимальных значений динамических напряжений и времени их достижения нет необходимости в исследовании весьма сложного дифрагированного поля в окрестности полости (как это сделано в работе [89]. Для этой цели достаточно воспользоваться значительно более простым решением внешней задачи для мгновенно приложенных напряжений к полной поверхности полости. При этом момент достижения максимальной концентрации напряжений необходимо увеличить примерно в 1,5 единицы безразмерного времени, отсчет которого производится от момента соприкосновения волнового фронта с полостью [85]. Различие коэффициентов концентрации с учетом дифракции на полости ( 6е =2,29 по данным [89]) и в пренебре-жении дифракционным рассеиванием ( =2,33 по результатам [85]) незначительное.
Используя этот результат, мы предположим, что и в нашем случае набегание пондеромоторных сил на сферу можно заменить обжатием сферы и приложением к сфере главного вектора силы. Главный вектор силы вызывает изменение движения сферы как единого целого. Характер этого движения мы установили в предыдущем параграфе. При больших скоростях погружения сферы ( 1/-3 10 м/с) наше утверждение очевидно в том плане, что за такое короткое время в сфере не успеют развиться упругие волны. Тогда, переходя к размерным координатам в (12.2), находим
В дальнейшем мы сформулируем гипотезы, которые позволяют значительно упростить исходную задачу. Для обоснования этих гипотез обратимся к физике процесса деформирования упругих проводящих тел импульсными магнитными полями. Рассмотрим проводящее полупространство X О , по которому в момент времени t =0 производится магнитный удар. Решение этой задачи хорошо известно [ЄЗ]. Процесс деформирования в данном случае происходит следующим образом. В начальный момент времени rr-(cos V+SLnz4 cos 0) Ш= Є kt Erjc - 13.1) на полупространство начинает действовать распределенная нагрузка В l po . Эта динамическая нагрузка вызывает в полупространстве продольную упругую волну. Затем магнитное поле начинает проникать (диффундировать в полупространство и "выбирает" те напряжения, которые вызвала ушедшая вперед упругая волна. Поэтому, если 8 является мерой диффузии магнитного поля в проводящее полупространство (5.2), то решение этой задачи можно разбить на две задачи: I. При расстояниях, больше чем О - на задачу динамики без массовых сил, т.к. электромагнитное поле попросту еще не успело проникнуть в точку наблюдения; П. При расстояниях, меньше чем Ь - на задачу квазистатики с массовыми силами, т.к. сюда уже проникло электромагнитное поле и действует только медленно меняющаяся пондеромоторная сила. Для получения решения исходной задачи необходимо "сшить" эти два решения. На рис. 12: I - решение задачи динамики, П -решение задачи квазистатики, Ш - численное решение в соответствии с [631. Видно, что погрешность от такого подхода для полупространства менее 1%. В связи с приведенными выше рассуждениями задачи деформирования упругих проводящих тел импульсными магнитными полями будем разбивать на две задачи: I - задачу динамической теории упругости с граничными условиями в виде натяжений Максвелла и нулевыми массовыми силами; П - задачу квазистатической теории упругости (без инерционного члена в уравнении (1.2)) с заданными граничными условиями и данной массовой силой. Затем сопрягаем эти два решения (при расстоянии, меньше чем О берем решение задачи квазистатики, при расстоянии, больше чем S - решение задачи динамики).
Волны упругих напряжений в проводящей сфере, возбуждаемые импульсным магнитным полем
Мы нашли, что перемещения в упругой сфере под действием массовой силы (13.6) определяются соотношениями (15.30), (15.32) и (15.34), а напряженное состояние - соотношениями (13.12) - (13.14). Расчеты по этим формулам были проведены на ЭВМ БЭСМ-6. Результаты счета представлены в следующем параграфе.
В 14 мы установили, что для нахождения вектора упругих смещений в задаче динамики необходимо найти решения интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода (14.II), (14.13) - (14.16). Применим численную схему (ЗЛІ) - (3.13), сводящую решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода к системе алгебраических уравнений с треугольной матрицей, решение которой находится последовательно, начиная с первого уравнения (см. (3.13)). Вычисления интегралов в правых частях приведенных интегральных уравнений проводились по методу Симпсона [41]. Была составлена программа на языке Фортран 1У для ЭВМ БЭСМ-б. Шаг интегрирования по времени равнялся ді =0,02. Численный расчет напряжений проводился по формулам (13.12) - (13.14). Результаты вычислений для безразмерных величин главных напряжений представлены в таблицах 5, б, 7 и на рисунках 13, 14, 15. Напряжения на рисунках и в таблицах приведены к безразмерному виду делением на величину магнитного давления B20/2jJ0 На рисунках 13, 14, 15 кривая I соответствует безразмерному времени t =0,4, П - 1 =0,6, Ш = 0,8, ІУ - t =1,0, У- t =1,4, УІ-І=2,4, yn=3,4. Характерно, что при t 4 , когда г—0 напряжения возрастают (конечно, если в данную точку пришла упругая волна). Например при t =1 и Г =0,02 , 6Ґ = 23,52 , Qg = 23,55, 6V --20,0k
В работе [бЗ] было указано, что напряжения не могут превзойти величины магнитного давления в неограниченном теле. Для динамических напряжений в сфере такой вывод не справедлив. Наличие отражающей поверхности для упругих волн приводит к тому, что появляются "пучности" напряжений, т.е. кроме сжимающих напряжений есть также и растягивающие. Например, наибольшее растягивающее напряжение бг =0,341 при t =2,4. Отметим, что наибольшие динамические сжимающие напряжения (без учета эффекта возрастания при Г 0) превосходят уровень магнитного давления в два-три раза. Например, при t =3,4 наибольшее сжимающее радиальное напряжение равно бг =3,64, меридиональное - QL =2,68, окружное - 6f =1,60.
Численный расчет напряжений для квазистатической задачи теории упругости представлен в таблицах 8, 9, 10 и на рис. 16. Кривая I соответствует безразмерному напряжению Qr , П -Ов , Ш - бч .
Все вышеприведенные вычисления были проделаны в меридиональном сечении сферы У =0. Как видно из (13.12) - (13.14) при У =0 напряжения не зависят от угла 0 , т.е. сфера в этой плоскости обжата пондеромоторными силами как "обручем".
Для получения решения общей задачи о деформировании сферы импульсным магнитным полем, необходимо уменьшить напряжения на поверхности сферы, которые получены в результате решения динамической задачи, на величину разности между динамическими и квазистатическими напряжениями. Другими словами, необходимо снять напряжения на поверхности сферы, полученные из решения задачи динамики, и положить их равными статическим.
Следовательно, на основе предложенных гипотез о возможности разбиения задач о деформировании упругих проводящих тел импульсными магнитными полями на задачу динаїлики без массовых сил и с граничными условиями в виде натяжений Максвелла и на задачу квазистатики без инерционного члена в уравнениях Ламе и заданными граничными условиями, удалось с помощью численно-аналитического метода описать волны напряжений в упругой проводящей сфере, которые возникают при приложении тангенциального к поверхности сферы электромагнитного импульсного поля.
Похожие диссертации на Деформирование и движение упругих проводящих тел в импульсном магнитном поле
