Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор основных видов неустоичивостеи границы раздела двух сред. учет релаксационных эффектов повязкости, поверхностному натяжению и заряду 12
1.1 Возмущения незаряженной и заряженной плоской поверхности жидкости 12
1.2 Обзор экспериментальных работ по параметрической неустойчивости поверхности проводящей жидкости в переменном электрическом поле 21
ГЛАВА 2. Изучение особенностей гравитационно-капиллярных волн на поверхности электропроводящей жидкости в различных'электрических полях 25
2.1 Общая постановка задачи. Вывод граничных условий. Дисперсионное уравнение для поверхностных волн в общем случае 25
2.2 Учет релаксационных эффектов 34
2.3 Численный анализ дисперсионного уравнения 36
2.4 Анализ бифуркационного поведения полученных зависимостей 40
2.5 Эффективное снижение пороговых значений неустойчивости Тонкса--Френкеля в условиях стационарного фонового течения 47
2.6 Параметрическое возбуждение поверхностных волн в однородном электрическом поле 51
ГЛАВА 3. Теория импульсного воздействия электрического поля на поверхность электропроводящей жидкости 57
3.1 Статистика времен ожидания пробоя поверхности жидкости в допороговом режиме 57
3.2 Деформация поверхности электропроводящей жидкости под действием импульса сильного поля 59
3.3 О влиянии рельефа дна на условие возникновения неустойчивости под действием импульсного электрического поля 61
3.4 Поверхностная неустойчивость жидкого металла в электрической дуге с плавящимся электродом 62
ГЛАВА 4. Исследование некоторых видов неустоичивостеи, возникающих на границе раздела сред 67
4.1 Дисперсионное уравнение волн в заряженных тонких пластинках 67
4.2 Эйлерова неустойчивость заряженных закрепленных пластинок 72
4.3 Модификация неоднородной поверхности сыпучих тел 75
4.4 О возможности управления испарением жидкости с помощью электрического поля 79
Заключение 81
Литература
- Обзор экспериментальных работ по параметрической неустойчивости поверхности проводящей жидкости в переменном электрическом поле
- Учет релаксационных эффектов
- Деформация поверхности электропроводящей жидкости под действием импульса сильного поля
- Эйлерова неустойчивость заряженных закрепленных пластинок
Обзор экспериментальных работ по параметрической неустойчивости поверхности проводящей жидкости в переменном электрическом поле
Эффект динамического поверхностного натяжения проявляется в увеличении коэффициента поверхностного натяжения на коротких временных интервалах (т 0,1 мс) [77,81,83-87].
В полярных жидкостях молекулы вблизи свободной поверхности испытывают некое ориентирующее влияние поверхности, проявляющееся в том, что для молекулы, находящейся на поверхности, энергетически выгодна такая пространственная ориентация, когда один из ее полюсов (скажем, отрицательный) направлен наружу из объема. Естественно, что тепловое движение разрушает упорядоченность в расположении молекул приповерхностного слоя, но общая тенденция к упорядочению сохраняется. Это приводит к тому, что в пределах мономолекулярного слоя поверхности жидкости положительные заряды диполей молекул в основном ориентированы внутрь жидкости и притягивают к поверхности отрицательные ионы, существующие в жидкости благодаря диссоциации ее молекулы или наличию примесей. В итоге в объеме жидкости вблизи ее поверхности, в слое толщиной порядка сотни ангстрем появляется объемный отрицательный заряд. Все вышеотмеченные эффекты изменяют энергию поверхности жидкости и, следовательно, величину коэффициента ее поверхностного натяжения. Если теперь подействовать на жидкость некой импульсной внешней силой, разрушающей двойной электрический слой у ее поверхности, то на интервале времени порядка времени восстановления двойного электрического слоя изменится удельная энергия поверхности и величина коэффициента поверхностного натяжения. Это явление и называется эффектом динамического поверхностного натяжения или эффектом релаксации поверхностного натяжения. Математически динамическое поверхностное натяжение можно описать введением комплексного коэффициента поверхностного натяжения [81-83] и характерным временем релаксации поверхностного натяжения (характерным временем перестройки поверхностного слоя жидкости) 7р.
Влияние эффекта динамического поверхностного натяжения на капиллярное волновое движение кратко исследовалось в [81-83]. В этих работах было получено дисперсионное уравнение для капиллярных волн с учетом обсуждаемого феномена и получены некоторые асимптотики по физическим свойствам жидкости. В [84] дисперсионное уравнение для волновых движений в жидкости получено методами статистической динамики.
В работе Саночкина Ю.В. «Введение в физику жидкостей и капиллярных явлений» [88] описаны эффекты Марангони. В 1872 г. Марангони писал, что если по какой-либо причине существует разность поверхностных натяжений вдоль свободной границы жидкости, жидкость будет двигаться к области с более высоким поверхностным натяжением. Наблюдаемое при этом движение жидкости называется термокапиллярной конвекцией. Эффекты Марангони являются одной из причин развития начальных возмущений поверхности жидкости. Вязкость и теплопроводность являются факторами, препятствующими движению жидкости. Неоднородность распределения электрического заряда по поверхности способствуют смещению поверхности жидкости. Описанный процесс образования начальных возмущений поверхности называется неустойчивостью Марангони. В экспериментах неустойчивость Марангони отмечается в тонких слоях, порядка нескольких миллиметров, однако эффекты Марангони должны иметь место и при больших толщинах жидких слоев.
В средах, характеризующихся конечными величинами диэлектрической проницаемости е и электропроводности а время выравнивания электрического потенциала является конечным и определяется как характерное время электрической релаксации т = є/о . В задачах электрогидродинамической устойчивости капиллярных волн конечность г должна сказываться на закономерностях реализации волнового движения и на условиях потери устойчивости заряженной поверхностью жидкости. Общие методы и подходы к аналитическому решению соответствующих задач разработаны и сведены в систему в работах Мелчера с сотрудниками в шестидесятые годы прошлого столетия [89-91]. В последующие годы с разной степенью корректности было решено много различных конкретных задач с плоской и цилиндрической геометрией, в которых учитывалась конечность времени электрической релаксации заряда в капиллярном волновом движении [92-94]. Однако физическая сторона закономерностей взаимодействия электрического заряда, перетекающего вдоль поверхности жидкости при ее волновом возмущении с собственно волновым движением, равно как и особенности влияния конечности времени релаксации заряда на условия проявления неустойчивости заряженной поверхности остались не изученными.
Учет релаксационных эффектов
Введя капиллярную постоянную жидкости а = \—, получаем условие неустойчивости Тонкса-Френкеля при Е=4жо в более наглядном виде:
Отсюда несложно увидеть, что неустойчивость имеет место, когда электростатическое давление на поверхности жидкости не превышает Лапласово давление под цилиндрическим искажением поверхности масштаба капиллярной постоянной. В более общей постановке условие неустойчивости можно представить в виде Ana2 ykmn (т.е. критерий развития неустойчивости плоской поверхности жидкости в электростатическом поле по отношению к возмущениям характерного линейного масштаба). Очевидно к п - характерное волновое число для геометрии каждой задачи, может быть определено ( яЛ линейными размерами L зеркала поверхности жидкости кш — . Рассматривая полученное дисперсионное уравнение, легко записать выражение для спектра капиллярных волн на поверхности маловязкой (w vk2) жидкости в присутствии поля. В этом случае
В нашем выводе до сих пор предполагалось, что вязкость и поверхностное натяжение являются числовыми параметрами. Это справедливо пока движение является достаточно медленным, т.е. до тех пор, пока периоды движения велики по сравнению с молекулярными временами. При уменьшении характерных времен все большую роль начинают играть процессы релаксации, учет которых приводит к зависимости от частоты поверхностного натяжения и вязкости. Действительно, в жидкости как и в твердом теле, при мгновенном сдвиге слоев относительно друг друга возникают сдвиговые напряжения, которые, однако, в отличии от напряжений в твердом теле, затухают с определенным характерным временем т или тр (см. раздел 1.1). Этот процесс связан со способностью молекулы и даже целых молекулярных кластеров менять свое пространственное положение. Явление релаксации сдвиговых напряжений (или, несколько неточно, релаксации вязкости) есть одно из проявлений вязко упругих свойств жидкости.
Согласно Максвеллу свойства этих жидкостей могут быть описаны следующим образом [54]. Примем, что в течение малого промежутка времени жидкость упруго деформируется. После прекращения силового воздействия в ней остаются затухающие со временем напряжения сдвига. Если периодически меняющаяся во времени внешняя сила имеет период — много больший чем со характерное время релаксации, т.е. озт « 1, то рассматриваемая жидкость будет себя вести как обычная. Напротив, при достаточно высоких частотах жидкость будет вести себя, как аморфное тело. Такие жидкости можно характеризовать одновременно коэффициентом вязкости т] и некоторым «модулем сдвига» ц. Легко получить соотношения, связывающие друг с другом порядки величин 77, /и и время релаксации т. При воздействии периодических сил с достаточно малой частотой, когда жидкость ведет себя как обычная, тензор напряжений определяется обычным выражением для вязких напряжений в жидкости, т.е. а # = 2-quik, где uik - производная тензора деформации по времени.
В предельном случае весьма больших частот жидкость ведет себя как твердое тело, и внутренние напряжения должны определяться по формуле теории упругости: аік=2рш При частотах со— напряжения, определяющиеся этими двумя выражениями должны совпадать по порядку величины. Таким образом имеем: 7— М— откуда r\ т/л,. Это и есть искомое соотношение. аналитического описания динамики жидкости в переходной области можно пользоваться уравнениями Навье-Стокса, принимая, что выражение для коэффициента вязкости в них определено формулой Максвелла
Релаксация поверхностного натяжения объясняется аналогично релаксации вязкости - если структура приповерхностных слоев жидкости, ответственная за поверхностное натяжение в какой-то момент времени отличается от равновесной, то требуется некоторое время тр чтобы восстановить равновесие.
Комплексный коэффициент поверхностного натяжения поэтому уместно представить в виде [84]: у(со) = у0+у , ; гР=Гоо-Гоу (2.11) \-1СОТр где у0и ух- коэффициенты поверхностного натяжения соответственно на очень малых и очень больших частотах. Для жидкостей с чистой поверхностью времени т и т имеют, по-видимому, один и тот же порядок, поскольку оба релаксирующих процесса являются результатами аналогичных необратимых процессов в жидкости. Очевидно, что если на поверхности имеются адсорбированные вещества, то времена релаксации могут существенно нарушиться.
Как было показано [101] при нормальных условиях для многих жидкостей, даже без водородных связей, в том числе маловязких и неполярных (бензол и четыреххлористый углерод), характерное время релаксации сдвиговых деформаций малой амплитуды порядка 10 "5 с. Очевидно, что это типичный звуковой спектр, причем скорость сдвиговой волны равна \с = Затухание этой волны определяется исключительно временем релаксации упругих напряжений, что вполне естественно: твердотельное поведение жидкости (например, распространение поперечных звуковых волн) возможно лишь в течение промежутков времени меньших г (и соизмеримых с ним). Таким образом, мы имеем возможность исследования по длинам волн не ограничиваясь ни коротковолновыми (рябь Фарадея), ни длинноволновыми (гравитационные волны) приближениями.
Деформация поверхности электропроводящей жидкости под действием импульса сильного поля
Таким образом совместное рассмотрение всех факторов влияющих на поверхностные волны на границе жидкость-газ (вязкость, поверхностное натяжение, тяжесть и электрическое поле) привело к появлению ряда принципиальных положений, таких как поверхностная неустойчивость и бифуркации в дисперсионных кривых.
Интерес к исследованию поверхностей вызван рядом причин. Во-первых, поверхность тела наиболее доступна к воздействию на нее различными способами, такими, как электрический, лучевой, химический, механический и т.п. Во-вторых, физические процессы, происходящие на поверхности твердого тела и жидкостей, играют определяющую роль во многих практических приложениях, использующих свойства поверхностей. В тоже время сложная структура поверхностей на молекулярном уровне значительно осложняет теоретические исследования поверхностей, предсказуемость и повторяемость их свойств. Электрическое поле позволяет управлять устойчивостью поверхности, потоками заряда и энергии и, таким образом, расширяет границы использования свойств поверхностей на практике.
Поэтому теоретическое исследование воздействия постоянного электрического поля на поверхность проводящей жидкости приведенное в настоящей работе весьма актуально. Выведенное дисперсионное уравнение позволяет управлять волновым движением заряженной поверхности раздела жидкость - газ, возбуждать или подавлять это движение, определить пороги неустойчивости. На основе предложенного дисперсионного уравнения вязко-упругой жидкости, оказалось возможным выявить условия неустойчивости поверхности в дополнение к классической неустойчивости Тонкса-Френкеля. Развитый метод позволяет воспроизвести в пределе малой вязкости известные результаты теории поверхности жидкой фазы, в пределе высокой вязкости -демонстрирует устойчивость поверхности, а при промежуточных значениях определяет многообразие новых явлений на поверхности, которые сопровождаются неустойчивостью возмущений при наличии внешнего поля. С математической точки зрения, неустойчивые моды соответствуют точкам бифуркации решений. Предложенная методика решений дисперсионного уравнения, которая сводит исследование к анализу алгебраического уравнения третьей степени с дальнейшим построением кривых с помощью численного счета, позволяет учитывать все многообразие факторов, влияющих на поверхностную неустойчивость.
Существует интересная в практическом отношении ситуация, которая не изучалась до настоящего времени, а именно: во всех исследованиях предполагалось, что в начальном состоянии (до развития каких-либо неустойчивостей) жидкость является неподвижной. Однако в наиболее общем случае в жидкости существуют горизонтальные течения. Если массивная жидкость бесконечной глубины находится в сдвиговом течении с постоянной скоростью, то, очевидно, с учетом относительности движения, возникновения неустойчивости остаются такими же, как для неподвижной жидкости. Если же имеется горизонтальный ток жидкости конечной толщины, то скорость в этой жидкости различна на разных глубинах, зануляясь на дне, и никаким переходом в другую систему отсчета ее нельзя исключить. По-видимому, такое движение должно влиять на спектр длинных волн, распространяющихся параллельно направлению потока [128,129,155-157]. Для таких волн, длина которых соизмерима или больше толщины жидкого слоя, должны изменяться условия возникновения неустойчивости поверхности в электрическом поле. Наша цель -изучение поверхностных движений проводящей жидкости конечной глубины, находящейся в состоянии стационарного потока.
Используем следующую систему координат: ось х направлена по потоку, ось z - нормально к поверхности вверх; начало координат находится на невозмущенной поверхности; дно соответствует координате z = - h(h- глубина потока). Рассмотрим стационарное невозмущенное движение жидкости, которое описывается уравнениями непрерывности и Навье-Стокса. Эти уравнения при одной отличной от нуля компоненте скорости vx(z) переписывается в виде:
Рассмотрим волновое движение поверхности жидкости. Наиболее важный случай соответствует волнам в направлениях, параллельных потоку. Используем предположение о малости амплитуды колебаний (по отношению к длине волны и глубине жидкости) [100]. Как указано выше, влияние потока жидкости на волновое движение следует ожидать в длинноволновом пределе. Это и будем рассматривать. Обозначим отклонение поверхности от равновесия через %(x,t). При этом изменение горизонтальной составляющей скорости v будет квадратично по , а вертикальная составляющая скорости vz будет изменяться пропорционально . В результате линеаризации уравнение Навье-Стокса (с использованием (2.17) преобразуется как
Нас интересует случай, когда роль горизонтального потока жидкости наиболее значима; поэтому примем: uh v, ик w, где Q) и А:- частота и волновое число для поверхностного движения (последнее неравенство проверяется после выполнения вычислений). Тогда из уравнения (2.18) следует простая связь давления и Vy.
Эйлерова неустойчивость заряженных закрепленных пластинок
Крайне сложной задачей является описание сыпучей неоднородной среды - порошков, грунтов и т.д. До настоящего времени неизвестен какой-либо достаточно адекватный подход к моделированию подобных сред. Этот объект исследования современная теория многофазных (гетерогенных) систем обходит вниманием (см., например, [116]). Ясно, что ни методы сплошной среды (гидромеханика), ни механику твердого тела здесь применять нельзя. Так, например, введение усредненной плотности среды, состоящей из плотной или близкой к плотной упаковки сферических частиц неодинакового радиуса, а также допущение некоторых феноменологических динамических характеристик (например, аналог вязкости) выведет из рассмотрения такие важные явления, как сыпучесть или структурная перестройка под действием внешних факторов. Последнее и является объектом обсуждения в настоящем разделе.
Подобная среда требует совершенно нового подхода. Однако некоторую частную задачу удается объяснить и провести оценки, используя общие принципы механики. Рассматриваемую среду можно смоделировать следующим образом. Объект исследования состоит из шариков разного размера (с различной степенью плотности упаковки). В природе это может быть сыпучий грунт с вкраплениями инородных тел, отличающихся от основной среды как свойствами (в частности, плотностью), так и размерами или формой. Поведение подобной среды представляет весьма важный интерес - достаточно вспомнить хорошо известный факт, что Земля «отторгает» структурно отличающиеся вкрапления, как бы выдавливая их на поверхность (эффект «мешка с картофелем», когда после многочисленных встрясок более крупные клубни оказываются сверху). Примыкают к этим вопросам и проблемы, связанные с нахождением различного рода боеприпасов (мин), неразорвавшихся снарядов в почвах, особенно в песчаных. Следует заметить, что в рамках предлагаемой модели все эффекты носят поверхностный характер. Хорошо известно, что в результате различного рода процессов (как чисто механических, так и физико-химических) на поверхности среды появляются структурные изменения, которые приводят к специфическим поверхностным явлениям.
Крайне важный практический интерес представляет задача о структурной перестройке поверхности под действием упругих волн. В частности, возможна также реализация различного рода неустойчивостей. Однако подавляющее большинство опубликованных по этой теме работ связано с поверхностями сплошной среды (твердого тела или жидкости (см., например, [117]).
Для решения данной задачи воспользуемся энергетическим подходом -применим метод минимизации потенциальной энергии системы. Здесь мы будем аппроксимировать структуру совокупностью большого числа шаров разного размера. Ясно, что если все шары имеют одинаковый радиус, то любое перемешивание их не изменит потенциальную энергию системы. Отметим важное обстоятельство - рассмотрение ведется для плотной упаковки шаров. Известно, что существуют два вида плотных упаковок: гексагональная и кубическая, а также их гибридные комбинации, при которых происходит переход от одной плотной упаковки к другой. Примечательно, что во всех этих структурах каждый шар касается двенадцати соседних шаров, и плотность упаковки (отношение объема, занятого шаром, к объему всего пространства) равна 7rVl8 « 0.74. Соответственно средняя плотность не зависит от радиусов шаров. Поэтому структура из шаров одинакового радиуса для нас интереса не представляет. Если же есть некоторое количество сортов шаров, причем шаров каждого сорта много, то задача моделируется горизонтально-слоистой (стратифицированной) структурой. При этом в пределах каждого слоя плотность одна и та же: р = р0я7л/І8 , где ро - плотность материала шаров, причем перемена местами слоев потенциальную энергию системы также не меняет.
Наибольший интерес представляет структура, моделируемая большим количеством шариков одного размера и вкраплениями (единичными или очень редкими) шаров гораздо большего размера (R2 10- 100R}). Поскольку область, примыкающая к крупному шару, неупорядочена, и имеет плотность, меньшую, чем плотность плотной упаковки, то при подъеме ее вверх потенциальная энергия системы уменьшается. Так происходит перестройка структуры с выдавливанием крупных фрагментов на поверхность. Реальный объект - грунты Земли - подвергается постоянным сейсмическим встряскам. При этом происходит «перетряхивание» структуры, и более крупномасштабные фрагменты могут выдавливаться вверх, уменьшая суммарную потенциальную энергию. По-видимому, «эффект мешка с картофелем» имеет место и в природе.
Поверхность Земли непрерывно испытывает довольно правильные синусоидальные колебания с переменной амплитудой, как это бывает при биениях. Такие колебания называют микросейсмами, их амплитуда обычно мала -70 мкм [118]. Однако иногда интенсивность микросейсм настолько возрастает, что они маскируют сейсмические волны, возникающие при землетрясениях. В настоящее время доказано, что источниками микросейсм являются циклоны и тайфуны, вызывающие переменные динамические нагрузки на земной или водной поверхности. Сильный шторм может вызвать микросейсмы, отмеченные сейсмическими станциями на расстояниях до 3000 км. Для оценки рассматриваемого эффекта нам понадобятся некоторые характеристики сейсмических волн. Так, преобладающие частоты находятся вблизи 30 кГц (для песчаных грунтов) и 100-150 кГц (для суглинков), а скорости распространения — 0.5-2 км/с (для песка) и 2-4 км/с (для песчаника) [119].
