Введение к работе
Актуальность работы. В настоящее время существует определённый разрыв между механикой разрушения (механикой трещин) и механикой деформирования. В механике разрушения не рассматриваются вопросы возникновения трещин (они считаются заданными), но и в механике деформирования этот вопрос также не изучается, так как используются критерии разрушения, основанные на появлении в теле напряжений, превосходящих некоторые предельные значения. После выполнения такого критерия, рассмотрение процесса деформирования заканчивается, хотя понятно, что в отдельных областях превышение напряжениями критических значений необязательно связано с общим или даже местным разрушением.
Сравнительно новый раздел механики деформируемого твёрдого тела, а именно, континуальная механика разрушения (механика рассеянного разрушения), изучающая процессы подготовки и зарождения разрушения в изначально сплошной среде, имеет все перспективы для описания перехода от механики деформирования к механике трещин. Механика континуального разрушения рассматривает все стадии деформирования, включая и стадию разупрочнения (стадию неустойчивости материала), которая возникает после достижения напряжениями предельных значений и предшествует окончательному разрушению и образованию трещины. Образование зон с неустойчивым состоянием материала, в конце концов, приводит к потери устойчивости процесса деформирования. Это согласуется с тем, что разрушения различных конструкций разнообразных сооружений как раз и представляют в общем случае глобальные явления того же характера, что и явления невозможности равновесия.
Введение в рассмотрение неустойчивых состояний материала приводит к формулировке определяющих соотношений, имеющих особенности, при которых краевые задачи становятся некорректными по Адамару (Hadamard), то есть имеет место неединственность и неустойчивость некоторых решений. Исследование таких задач требует новых, нетрадиционных для механики деформируемого твёрдого тела математических методов. В результате решения данных задач, возможно найти момент разрушения конструкции (или образования трещины), который связан с возникновением нескольких равновесных состояний для заданных граничных условий и скачкообразным переходом из одного положения равновесия в другое. Так как получение аналитического решения краевых задач с определяющими соотношениями с разупрочнением в общем случае ещё невозможно, то является актуальным анализ некоторых частных задач, позволяющих, по крайней мере на качественном уровне, исследовать закономерности влияния разупрочнения на устойчивость процесса деформирования, а следовательно, и разрушение дискретных и континуальных механических систем.
Выше изложенное определяет актуальность дальнейших исследований и позволяет сформулировать цель настоящей диссертационной работы.
Цель работы. Анализ научных публикаций по механике континуального разрушения показывает, что разработаны некоторые общие положения механики разупрочняющегося материала. Однако, дальнейшее развитие исследований сдерживает отсутствие примеров, которые наглядно бы демонстрировали методы решения конкретных задач, иллюстрировали преимущество подхода и позволяли исследовать эффекты, скрытые при общем рассмотре-
ний. Аналогичная ситуация сложилась в своё время с теорией катастроф, после того как основные её концепции, в общей постановке, были опубликованы Тома P. (R. Thorn). Существенное развитие теория и её приложения получили тогда, когда было исследовано поведение так называемой машины Зимана (Zeeman) — простой механической системы, которая на качественном уровне иллюстрировала основные положения теории.
В данной работе была поставлена цель провести полное и математически корректное исследование устойчивости процесса деформирования и разрушения некоторой простой механической системы с элементом из разупроч-няющегося материала. Так как основным экспериментом для определения закономерностей сложного нагружения является опыт на растяжение с кручением, то в качестве такой системы была выбрана стержневая конструкция, посредством которой осуществляется совместное растяжение с кручением детали специальной формы из материала, обладающего эффектом деформационного разупрочнения. Исследование процесса деформирования этой системы играет ту же роль в механике разупрочняющегося тела, что и задача Зимана в теории катастроф.
Научная новизна работы определяется тем, что осуществлён переход от одномерных моделей механических систем и тел из разупрочняющегося материала к неодномерной (двумерной) задаче для произвольной системы деформирования, и проведено строгое математическое исследование устойчивости процесса деформирования выбранной механической системы. При этом:
Определяющие соотношения (связь между напряжениями и деформациями) представлены как отображение пространства деформаций в пространство напряжений, которое имеет особенности, связанные с вырожденностью матрицы Якоби (Jacobi) данного отображения. Эта вырожденность является следствием разупрочнения материала;
Сформулированы критерии, определяющие состояние деформационного упрочнения и разупрочнения (полного или частичного) материала;
При задании отображения пространства деформаций в пространство напряжений с помощью потенциальной функции (потенциала напряжений), когда матрица Якоби является матрицей Гессе (Hesse) данной потенциальной функции (матрицей тангенциальных жёсткостей или матрицей инкрементальных модулей), установлено, что для описания разупрочнения эта потенциальная функция должна быть невыпуклой. Кроме того, показано, что в области разупрочнения отсутствует полное разупрочнение материала, так как матрица Якоби имеет там собственные значения разных знаков и, следовательно, потенциальная функция имеет седловую точку;
Показано, что при описании свойств материала единым потенциалом, наблюдаются эффекты, свойственные деформационным теориям (запаздывание векторных и скалярных свойств при изломе траектории деформирования);
Проведено полное исследование устойчивости процесса деформирования конструктивного элемента, осуществляющего растяжение с кручением детали из разупрочняющегося материала при мягком, жёстком и смешанном нагружениях конструктивного элемента. Построены сепаратрисы, разделяющие пространство управлений на открытые области, каждая из которых параметризует лишь качественно подобные потенциальные функции систе-
мы, имеющие одно и тоже число положений равновесия;
Методом дискриминантных конусов матриц Гессе определён момент потери устойчивости процесса деформирования конструктивного элемента при монотонно возрастающих параметрах управления системой (нагрузок). Рассмотрены мягкое, жёсткое и смешанное нагружения. Установлено несовпадение моментов потери устойчивости при различных способах нагружения;
Разработаны итерационные процедуры для расчёта параметров равновесия конструктивного элемента с деталью из разупрочняющегося материала, подверженной растяжению с кручением. Рассмотрены случаи жёсткого, мягкого и смешанного нагружения системы;
Получены условия сходимости итерационных процедур и показано, что начало их расходимости связано с потерей устойчивости процесса деформирования.
Достоверность и обоснованность научных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задачи, использующей минимальное число допущений, и корректным применением при её решении современного математического аппарата.
На защиту выносятся:
Методы построения определяющих соотношений с особенностями, возникающими при разупрочнении материала, и описания свойств материала на стадии разупрочнения при жёстком нагружении образца по различным путям деформирования, реализуемым при совместном растяжении с кручением;
Методы исследования устойчивости процесса деформирования специальной механической системы, осуществляющей растяжение с кручением образца разупрочняющегося материала, при жёстком, мягком и смешанном её нагружении;
Итерационные методы расчёта параметров равновесия рассматриваемой механической системы при невыпуклом потенциале напряжений для материала образца и установление связи начала расходимости этих методов с моментом потери устойчивости процесса деформирования всей системы.
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные методы могут быть использованы для дальнейшего развития теории разу-прочняющихся сред и разработки методов расчёта различных конструкций, которые вследствие учёта разупрочнения позволят полностью использовать ресурс материала и находить реальную несущую способность элементов конструкций, а также прогнозировать момент разрушения.
Личный вклад автора. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат научному руководителю профессору В. В. Стружанову. Все аналитические исследования поставленных задач и основные результаты принадлежат автору диссертационной работы.
Аппробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях: 15-ая, 16-ая, 17-ая, 18-ая Всероссийская школа-конференция молодых учёных «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2006-2009); международный семинар «Устойчивость, управление и моделирование динамических систем» (г. Екатеринбург, 2006); XV, XVI Всероссийская зимняя школа по механике сплошных сред (г. Пермь, 2007, 2009); III, IV Российская научно-техническая конференция «Разрушение, контроль и диагностика материалов и конструкций»
(г. Екатеринбург, 2007, 2009); четвёртая, пятая, шестая Всероссийская конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2007-2009); Всероссийская научно-техническая конференция «Проблемы безопасности критичных инфраструктур территорий и муниципальных образований» (г. Екатеринбург, 2007-2008); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (г. Пермь, 2007-2008); VI, VII молодёжная Всероссийская школа-конференция «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2007-2008); V Всероссийская конференция «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (г. Екатеринбург, 2008); XXXIV, XXXV Гагаринские чтения, Международная молодёжная научная конференция (г. Москва, 2008-2009); XI, XII Всероссийская научно-техническая конференция «Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации» (г. Пермь, 2008-2009); 36th International Summer School «Advanced Problems in Mechanics» (Russia, St. Petersburg (Repino), 2008); Всероссийская конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твёрдого тела» (Пермь, 2008); Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложения» (г. Москва, 2009); Первая традиционная Всероссийская молодёжная летняя школа «Управление, информация и оптимизация» (г. Переславль-Залесский, 2009); Международная конференция по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2009); Международная конференция «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (г. Екатеринбург, 2009).
Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались на следующих семинарах: семинары кафедры математического моделирования систем и процессов, а также кафедры механики композиционных материалов и конструкций в Пермском государственном техническом университете.
Награды. Дважды стипендиат Губернатора Свердловской области (2007, 2008 г.); стипендиат Президента Российской Федерации (2008/2009 учебный год); победитель (вторая премия) XII областного конкурса научно-исследовательских работ «Научный Олимп» по направлению «Естественные науки»; победитель (I место) XXIV Всероссийского открытого конкурса научно-исследовательских, изобретательских и творческих работ обучающихся «Национальное Достояние России» (знак отличия «Национальное Достояние России», удостоверение № 748); победитель Всероссийского конкурса работ по теории управления и её приложениям; победитель открытого конкурса на лучшую научную работу студентов вузов по естественным, техническим и гуманитарным наукам (математические науки).
Настоящая работа была выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№№ 07-08-00125, 07-01-96087), в рамках интеграционного проекта «Разработка методов оценки и диагностики работоспособности ответственных объектов техники и сооружений при критических и предкритических состояниях материала и повышенных нагрузках» между Институтом машиноведения УрО РАН и Институтом гидродинамики СО РАН и программы Президиума РАН №11 «Фундаментальные проблемы механики взаимодействий в технических и природных системах».
Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 печатных работ, из них 4 статьи в журналах из перечня ВАК. Основное содержание первой главы отражено в публикациях [2, 6,14,17,18] , основное содержание второй главы
— в публикациях [1, 3, 9 — 13,15,19, 20] , и основное содержание третьей главы — в публикациях [4, 5, 7,8,16] .
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трёх глав, заключения и списка литературы, состоящего из 143 источников. Содержит 49 рисунков, 2 таблицы. Объём диссертационной работы составляет 135 страниц.
